Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:"

Transkriptio

1 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti, Frekvei, Kekihajota, Normaalijakauma, Odotuarvo, Odotuarvoje vertailuteti, Oto, Otokoko, Otovariai, Riippumattomat otoket, Riippumattomuu, Riippuvat otoket, Stadardoitu ormaalijakauma, Suhteellie frekvei, Suhteellie ouu, Suhteellite ouukie vertailuteti, Teti odotuarvolle, Teti parivertailuille, Teti uhteellielle ouudelle, Teti variaille, t-jakauma, t-teti, Todeäköiyy, Variai, Variaie vertailuteti, Ykikertaie atuaioto 0.. Tehda valmitaa auloja. Nauloje tavoitepituu o 0 cm. Nauloje pituu vaihtelee kuiteki atuaieti oudattae ormaalijakaumaa. Nauloje joukota poimittii ykikertaie atuaioto, joka koko oli 30. Otokekiarvoki aatii 9.95 cm ja otovariaiki 0.0 cm. Tetaa hypoteeia, että valmitettuje auloje todellie kekimääräie pituu o tavoitearvo mukaie, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että kekimääräie pituu o tavoitearvoa pieempi. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Ratkaiu: Olkoo X i = aula i pituu, i =,,, Yleie hypoteei H o muotoa: X i N( µ, σ ) X, X,, X ovat riippumattomia Nollahypoteei H 0 o muotoa: µ 0 = 0 Vaihtoehtoie hypoteei H o muotoa. µ 0 < 0 Sovelletaa yhde otoke t-tetiä. Tetiuureea o joa t = X µ / X = i= 0 X i = ( Xi X) i= Ilkka Melli (004) /7

2 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei : t t( ) Koka ollahypoteei H 0 pätieä E(t) = 0 ii iteiarvoltaa uuret tetiuuree t arvot johtavat ollahypoteei hylkäämiee. Tehtävä tapaukea jote X = 9.95 µ = 0 0 = 0.0 = 30 X µ t = = =.739 / 0./ 30 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaeki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t.739) = jote ollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla, koka p = < 0.0 t-jakauma taulukoide mukaa joa Pr(t.46) = 0.0 t t(9) Site %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki t 0.0 aadaa Koka.46 t =.693 <.46 ollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla. Johtopäätö: Koe tekee ruuveja, jotka ovat kekimääri liia lyhyitä. Ilkka Melli (004) /7

3 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket 0.. Tehtaaa o kaki amalaiia kuulalaakeri kuulia valmitavaa koetta, K ja K. Kummaki koee valmitamie kuulie paiot vaihtelevat atuaieti (ja toiitaa riippumatta) joki verra oudattae ormaalijakaumaa. Kummaki koee valmitamie kuulie joukota poimitaa toiitaa riippumattomat ykikertaiet atuaiotoket ja otokita laketaa otokee poimittuje kuulie paioje aritmeettiet kekiarvot ja kekihajoat. Otokita aadut tiedot o aettu alla olevaa taulukoa. Tetaa hypoteeia, että koeet K ja K valmitavat kekimääri amapaioiia kuulia, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että koeide K ja K valmitamie kuulie paiot eroavat kekimääri toiitaa. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Koe Aritmeettie kekiarvo (g) Kekihajota (g) Otokoko K K Ratkaiu: Olkoo X i = koee K tekemä kuula paio, i =,,, X j = koee K tekemä kuula paio, j =,,, Yleie hypoteei H o muotoa: () X i () X j, i =,,, N( µ, σ ) N( µ, σ ), j =,,, (3) Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j Nollahypoteei H 0 o muotoa: µ = µ = µ Vaihtoehtoie hypoteei H o muotoa: µ µ Määritellää euraavat otouureet: k Xk = Xik, k =, k i= ( X X ), k =, k k = ik k k i= ( ) + ( ) p = + Ilkka Melli (004) 3/7

4 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Kahde riippumattoma otoke odotuarvoje vertailuu o tarjolla kaki erilaita tetiuuretta. Tetiuuretta t A = X X + voidaa käyttää kaikia tilateia, joia yleie hypoteei H pätee. Jo ollahypoteei µ = µ = µ pätee, tetiuure t A oudattaa uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa: t A a N(0,) Pieiä otokia tetiuuree t A jakaumalle aadaa parempi approkimaatio käyttämällä approkimaatioa Studeti t-jakaumaa, joa vapauateide lukumäärää käytetää lukua ν = + + Iteiarvoltaa uuret tetiuuree t A arvot otivat ollahypoteeia µ = µ = µ vataa. Jo myö hypoteei σ = σ = σ pätee, voidaa käyttää tetiuuretta t B = Jo ollahypoteei P X µ = µ = µ X + pätee, tetiuure t B oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei + : t B t( + ) Iteiarvoltaa uuret tetiuuree t B arvot otivat ollahypoteeia µ = µ = µ vataa. Ilkka Melli (004) 4/7

5 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Huomautu: Tehtyje oletukie pätieä t A oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa (tai t-jakaumaa), ku taa tetiuuree t B jakauma o tarkka. Jotta tetiuuretta t B voitaiii käyttää, o ei tetattava hypoteeia σ = σ = σ Tähä käytetää F-tetiuuretta Jo hypoteei F = σ = σ = σ pätee, tetiuure F oudattaa Fiheri F-jakaumaa vapauatei ja : F F(, ) Sekä uuret että pieet tetiuuree F arvot otivat ollahypoteeia σ = σ = σ vataa. Huomautu: Taulukoita käytettäeä kaattaa toimia ii, että uurempi otovariaeita aetetaa tetiuuree ooittajaa. Tetataa ii ei hypoteeia σ = σ = σ Tehtävä tapaukea jote = 0.04 = 0.0 = 3 = 0 = 0.04 F = = Jo oletamme, että vaihtoehtoie hypoteei o -uutaie, tetiuuree arvoa vataavaki p-arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(F > 4) = Site hypoteei σ = σ = σ variaie yhtäuuruudeta voidaa hylätä %: merkitevyytaolla, koka p = < 0.0 Ilkka Melli (004) 5/7

6 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket F-jakauma taulukoide mukaa joa Pr(F.07) = 0.0 F F(30, 9) Site %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki F 0.0 aadaa Koka.07 F = 4 >.07 hypoteei σ = σ = σ variaie yhtäuuruudeta voidaa hylätä %: merkitevyytaolla. Koka variaie yhtä uuruutta kokeva hypoteei σ = σ = σ hylättii, käytämme tetiuuretta t A ollahypoteei tetaamiee. µ = µ = µ Tehtävä tapaukea jote X = 0. X = 0. = 0.04 = 0.0 = 3 = 0 t X X A = = = Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa ormaalijakauma-approkimaatiota käyttäe Pr(t >.363) = ( ) = 0.08 Site ollahypoteei jää voimaa %: merkitevyytaolla, koka p = 0.08 > 0.0 Jo käytämme t-jakauma-approkimaatiota, vapauateide lukumääräki tulee + ν = = Käytämme vapauateide lukumäärää alapäi pyöritettyä lukua 46. Ilkka Melli (004) 6/7

7 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa t-jakauma-approkimaatiota käyttäe eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t >.363) = 0.0 = 0.0 Site ollahypoteei jää voimaa %: merkitevyytaolla, koka p = 0.0 > 0.0 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, t-jakauma taulukoita aadaa %: merkitevyytaoa vataaviki kriittiiki rajoiki t ja +t luvut väleiltä Koka (.704,.678) ja (+.678, +.704).678 < t A =.363 < ollahypoteei jää voimaa %: merkitevyytaolla. Johtopäätö: Koeide tekemie ruuvie kekimääräiet pituudet eivät poikkea toiitaa. Huomaa kuiteki, että johtopäätö vaihtuii päivataieki, jo merkitevyytaoki valittaiii 5 % Eräää kokeea verrattii kahta ademäärä mittaukee käytettävää laitetta. Kummallaki laitteella mitattii ademäärät 0 adepäivä aikaa. Mittautuloket (ademäärät mm:ä) o aettu alla olevaa taulukoa. Tetaa hypoteeia, että mittarit tuottavat kekimääri amoja mittautulokia, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että mittarit tuottavat kekimääri eri mittautulokia. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Laite A B Ratkaiu: Huomaa, että tehtävää 0.. ovellettu riippumattomie otokie t-teti ei ole yt luvallie, koka havaiot riippuvat toiitaa, illä jokaie kymmee atee ademäärä o mitattu molemmilla laitteilla. Jo laitteet toimivat ede joaki määri luotettavati, A- ja B-laittee atavat amalle ateelle toiiaa lähellä olevia mittautulokia, t. mittaute välillä o tavallieti voimaka poitiivie korrelaatio; k. myö tehtävää 0.4. Ilkka Melli (004) 7/7

8 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Tehtävä tapaukea Cor(A-mittau, B-mittau) = joka elväti ooittaa otote riippuvuude toiitaa. Koka otoket ii riippuvat toiitaa, toimitaa tällaiea parivertailutilateea euraavati: Määrätää havaitoarvoje parikohtaiet erotuket ja tetataa ollahypoteeia, joka mukaa erotuket ovat kekimääri ollia. Olkoo X Ai = havaitoarvo ryhmää A, i =,,, X Bi = havaitoarvo ryhmää B, i =,,, i = X Ai X Bi, i =,,, Olkoo yleieä hypoteeia H : (i) (ii) Erotuket i N( µ, σ ) i =,,, Erotuket,,, ovat riippumattomia Olkoo ollahypoteeia H 0 : Tetiuureea o joa E( i ) = 0, i =,,, t = = / i= i = ( i ) i= Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei : t t( ) Iteiarvoltaa uuret tetiuuree t arvot johtavat ollahypoteei hylkäämiee. Tehtävä tapaukea jote =.7 = = 0.7 t = = = 8.8 / 0.4 / 0 Ilkka Melli (004) 8/7

9 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t < 8.8) 0 Site ollahypoteei voidaa hylätä kaikilla tavaomaiilla merkitevyytaoilla. %: merkitevyytaoa vataaviki kriittiiki rajoiki t ja +t aadaa t-jakauma taulukoita Koka 3.50 ja < t = 3.50 ollahypoteei H 0 hylätää. Johtopäätö: Mittarit A ja B eivät äytä amoi Tetattaea erätä verepaielääkettä amoje potilaide (8 kpl) verepaie mitattii ee ja jälkee lääkkee auttimie. Koetuloket (verepaieet mm/hg) o eitetty alla olevaa taulukoa. Tetaa hypoteeia, että lääke ei kekimääri alea verepaietta, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että lääke kekimääri aletaa verepaietta. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa Jälkee Ee Ratkaiu: Huomaa, että tehtävää 0.. ovellettu riippumattomie otokie t-teti ei ole yt luvallie, koka havaiot riippuvat toiitaa, illä ee- ja jälkee-mittauket o tehty amoille koehekilölle; k. myö tehtävä 3. Koka otoket ii riippuvat toiitaa, toimitaa tällaiea parivertailutilateea euraavati: Määrätää havaitoarvoje parikohtaiet erotuket ja tetataa ollahypoteeia, joka mukaa ämä erotuket ovat kekimääri ollia. Ilkka Melli (004) 9/7

10 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Olkoo X Ei = havaitoarvo ryhmää E, i =,,, X Ji = havaitoarvo ryhmää J, i =,,, i = X Ei X Ji, i =,,, Olkoo yleieä hypoteeia H : (i) (ii) Erotuket i N( µ, σ ) i =,,, Erotuket,,, ovat riippumattomia Olkoo ollahypoteeia H 0 : Tetiuureea o joa E( i ) = 0, i =,,, t = = / i= i = ( i ) i= Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei : t t( ) Suuret tetiuuree t iteiarvot johtavat ollahypoteei H 0 hylkäämiee. Tehtävä tapaukea jote = 4.5 = 8 = t = = = 3.3 / 4.07/ 8 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t > 3.3) = Jo merkitevyytaoa o %, ollahypoteei H 0 hylätää, koka p = < 0.0 Ilkka Melli (004) 0/7

11 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki käytettäeä aadaa %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki +t 0.0 aadaa t-jakauma taulukoita Koka.998 t = 3.3 >.998 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Johtopäätö: Lääke kekimääri aletaa verepaietta Erää tuottee valmitaja väittää, että tuotteita korkeitaa 5 % o vialliia. Aiaka poimii otoke, joka koko o 00 ja löytää 9 viallita tuotetta. Oko valmitaja väite oikeutettu? Tetaa ollahypoteeia, että valmitaja väite o oikeutettu, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että viallite uhteellie ouu o uurempi kui valmitaja väittämä 5 %. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Ratkaiu: Poimitaa valmitettuje tuotteide joukota ykikertaiella atuaiotaalla tuotetta tarkatettavaki. Olkoo ja A = Tuote o viallie Pr(A) = p Määritellää riippumattomat atuaimuuttujat Tällöi X i, jo i. tarkatettu tuote o viallie = 0, jo i. tarkatettu tuote ei ole viallie X i Ber(p) Aetetaa ollahypoteei H 0 : p = p 0 Ilkka Melli (004) /7

12 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Määritellää tetiuure joa Huomaa, että joa z = pˆ p 0 p0( p0) = Tarkatettavaki poimittuje tuotteide lukumäärä ˆp = Viallite tuotteide uhteellie ouu tarkatettuje joukoa ˆp = f / f = Viallite lukumäärä tarkatettuje joukoa Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure z oudattaa uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(0,) Tehtävää ollahypoteei H 0 o ja jote p 0 = 0.05 pˆ = 9 / 00 = = 00 z pˆ p =.9 p0( p0) 0.05( 0.05) 00 0 = = Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa ormaalijakauma taulukoita Pr(z >.9) = Site havaiot iältävät voimakata evideiä ollahypoteeia H 0 vataa. Nollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla olipa vaihtoehtoie hypoteei yki- tai kakiuutaie. Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, aadaa %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki +t 0.0 Koka.33 z =.9 >.33 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Ilkka Melli (004) /7

13 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Johtopäätö: Viallite uhteellie ouu o merkiteväti valmitaja ilmoittamaa uurempi erääee vakavaa tautii airatuutta potilata jaettii atuaieti kahtee ryhmää A ja B, joia kummaaki oli 300 potilata. Ryhmälle A aettii tautii kehitettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) (b) Ryhmää A taudita parai 95 potilata ja ryhmää B 5 potilata. Suoitteliitko uude lääkkee ottamita käyttöö koetuloke peruteella? Ryhmää A taudita parai 5 potilata ja ryhmää B 95 potilata. Suoitteliitko uude lääkkee ottamita käyttöö koetuloke peruteella? Ratkaiu: (a) Jo uui lääke parataa vähemmä potilaita kui vaha lääke, ei tetauta tarvita e johtopäätöke tekemieki, että uutta lääkettä ei kaata ottaa käyttöö aiakaa tämä kokee peruteella. Se ijaa, jo uui lääke parataa eemmä potilaita kui vaha lääke, o tetau tarpee, jotta aadaa elville oko paratueide määrä liäätymitä pidettävä attumavaraiea eli otovaihteluta johtuvaa vai ei. (b) Jaetaa potilaat arpomalla ryhmää A, joa o potilata ja ryhmää B, joa o potilata. Olkoo ja A = Potila paraee Pr(A) = p, jo potila kuuluu ryhmää A Pr(A) = p, jo potila kuuluu ryhmää B Määritellää riippumattomat atuaimuuttujat Tällöi X ik, jo i. potila paraee ryhmää k = 0, jo i. potila ei parae ryhmää k X i Ber(p ) X i Ber(p ) Aetetaa ollahypoteei H 0 : p = p Ilkka Melli (004) 3/7

14 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Määritellää tetiuure joa ja z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + ˆp = Paratueide uhteellie ouu ryhmää A = Potilaide lukumäärä ryhmää A ˆp = Paratueide uhteellie ouu ryhmää B = Potilaide lukumäärä ryhmää B Huomaa, että joa ja ˆp = Paratueide uhteellie ouu kaikkie potilaide joukoa ˆp = f / ˆp = f / f = Paratueide lukumäärä ryhmää A f = Paratueide lukumäärä ryhmää B f + f pˆ + pˆ p = = + + ˆ Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure z oudattaa uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa: Tehtävää jote z a N(0,) pˆ = 5/ 300 = 0.75 = 300 pˆ = 95/ 300 = 0.65 = 300 pˆ + pˆ p = = = ˆ 0.7 Ilkka Melli (004) 4/7

15 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket ja z pˆ pˆ = = pˆ( pˆ) + 0.7( 0.7) =.67 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree z arvoa vataava p-arvo o taulukoide mukaa Pr(z >.67) = Site aieito iältää voimakata evideiä ollahypoteeia H 0 vataa. Nollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoa o ykiuutaie hypoteei H : p > p Normaalijakauma taulukoita käytettäeä aadaa %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki Koka.3 z =.67 >.33 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Johtopäätö: Uude lääkkee käyttööotto o peruteltua Alueella A 300:ta atuaiotokee poimituita ääioikeutetuita 56 % kaatti ehdokata X. Alueella B ehdokkaa X kaatu 00: atuaiotokee poimitu ääioikeutetu joukoa oli 48 %. Muodota teti ollahypoteeille, että kaatuket eivät alueilla A ja B eroa toiitaa. Tetaa ollahypoteeia 5 %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o (a) X: kaatu o alueella A uurempaa kui alueella B. (b) X: kaatu eroaa alueilla A ja B. Ratkaiu: Käytetää amaa tetiuuretta kui tehtävää 0.6. Nollahypoteeia o H 0 : p A = p B Ilkka Melli (004) 5/7

16 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Tehtävää jote ja pˆ = 0.56 A A = 300 pˆ = 0.48 B B = 00 Apˆ A + Bpˆ B pˆ = = = A B pˆa pˆb z = = pˆ( pˆ) ( 0.53) A B =.76 (a) Nollahypoteei H 0 voidaa hylätä 5 %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoa o ykiuutaie hypoteei H : p A > p B koka tällöi tetiuuree arvoa vataava p-arvo Pr(z >.76) = < 0.05 Normaalijakauma taulukoita käytettäeä aadaa 5 %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki (koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki) Koka.65 z =.76 >.65 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Johtopäätö: X: kaatu o teti mukaa uurempaa alueella A kui alueella B. (b) Nollahypoteeia H 0 ei voida hylätä 5 %: merkitevyytaolla, jo vaihtoehtoa o kakiuutaie hypoteei koka H : p A p B Pr(z >.76) = = > 0.05 Ilkka Melli (004) 6/7

17 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Normaalijakauma taulukoita käytettäeä aadaa 5 %: merkitevyytaoa vataaviki kriittiiki rajoiki (koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki) Koka.96 ja < z =.76 < +.96 ollahypoteeia H 0 ei voida hylätä. Johtopäätö: Nollahypoteeia iitä, että X: kaatu o alueilla A ja B yhtä uurta ei voida hylätä. Huomautukia tilatollieta tetauketa () Teti tulo eli e, mitä ollahypoteeille tehdää, riippuu ekä valituta merkitevyytaota että vaihtoehtoie hypoteei muodota. () Käytäö tutkimukea apuai ei ole lueoitijaa, joka ataii vaihtoehtoie hypoteei muodo ja tetiä käytettävä merkitevyytao. (3) Tilato-ohjelmitot tulotavat uei ekä tetiuuree arvo että itä vataava p-arvo tai. hätätodeäköiyyde eli -uutaita vaihtoehtoita hypoteeia vataava p-arvo. (4) Tutkija joutuu ite päättämää p-arvo peruteella mitä hä ollahypoteeille tekee. Tämä o päätö, joho o aettava vaikuttaa myö päätöke euraukie; t. erilaiia tilateia o käytettävä erilaiia kyyarvoja. Ilkka Melli (004) 7/7

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa, Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA LUKION FYSIIKKAKILPAILU 0..009, ratkaiut PERUSSARJA Vataa huolellieti ja iititi! Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooite, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on 00 inuuttia.

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

Triathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner

Triathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner 12 viikon kilpailuuunnitelma--kilpailumatka: printti Urheilijan tao: aloitteleva urheilija, 1 tai 2 vuoden kokemu printtitriathlonkilpailuita Tunteja viikoa: 5-6 Tätä harjoituuunnitelmaa käytetään Garminin

Lisätiedot

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit 7.48 TY Juha Pyrhönen 7. Tahtikone Tahtikoneet muootavat kokonaien ähkökoneperheen. Päätyyppejä ovat vieramagnetoiut tahtikoneet, ynkroniet reluktanikoneet ja ketomagneettitahtikoneet. Vieramagnetoiut

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset SMG-4200 Sähkömagneettiten järjetelmien lämmöniirto Harjoituken 1 ratkaiuehdotuket Vata 1800-luvun puoliväliä ymmärrettiin että lämpöenergia on atomien ja molekyylien atunnaieen liikkeeeen värähtelyyn

Lisätiedot

7. Pyörivät sähkökoneet

7. Pyörivät sähkökoneet Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f 0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

Kantobiomassan määrän mallintaminen leimikoissa hakkuukonemittausten avulla

Kantobiomassan määrän mallintaminen leimikoissa hakkuukonemittausten avulla Metsätietee päivä, 6.0.0 Katobiomassa määrä mallitamie leimikoissa hakkuukoemittauste avulla Heikki Ovaskaie, Itä Suome yliopisto Pirkko Pihlaja, UPM Kymmee Teijo Palader, Itä Suome yliopisto Johdato Suomessa

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Raitiotien varikkoalueen asemakaavan nro 8600 viitesuunnitelma

Raitiotien varikkoalueen asemakaavan nro 8600 viitesuunnitelma S U U N N IT T EL U JA T EK N IIK K A TAMPEREEN KAUPUNKI Raitiotien varikkoalueen aemakaavan nro 8600 viiteuunnitelma Raportti FCG SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA OY P26458 Raportti 1 (6) Siällyluettelo 1 Yleitä...

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

Nokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille

Nokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille Nokian kaupungin tiedotulehti Kolmenkulman yritykille Hyvä nykyinen ja tuleva kolmenkulmalainen U ui yrityalueemme alkoi yntyä Öljytien varteen ijaitee Nokian puolella. Tampereella iitä on yli 200 heh-

Lisätiedot

Äänen nopeus pitkässä tangossa

Äänen nopeus pitkässä tangossa IXPF24 Fyiikka, ryhälaboratoriotyö IST4S1 / E1 / A Okanen Janne, Vaitti Mikael, Vähäartti Pai Jyväkylän Aattikorkeakoulu, IT-intituutti IXPF24 Fyiikka, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pai Repo Äänen nopeu

Lisätiedot

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011

SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011 SIUNTIO MARSEUDDENIN OSAYLEISKAAVA OSAYLEISKAAVAN SELOSTUS LUONNOS 21.02.2011 SISÄLLYSLUETTELO 1. PERUSTIEDOT JA TVISTELMÄ...3 1.1. SUUNNITTELUALUE...3 1.2. KAAVAN TARKOITUS...3 1.3. KAAVAN PÄÄSISÄLTÖ...3

Lisätiedot

1. Oheinen kuvio esittää kolmen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona.

1. Oheinen kuvio esittää kolmen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. Fotoni 4 Kertau - 1 Kertautehtäviä Luku 1 1. Oheinen kuvio eittää kolen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. a) Kuka on kulkenut piiän atkan aikavälinä 0...7? b) Milloin B aavuttaa C:n? c) Kenellä

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Kouvolan kaupunki. Tarjouspyyntö 28733/2015 Päiväys 23.03.2015

Kouvolan kaupunki. Tarjouspyyntö 28733/2015 Päiväys 23.03.2015 1/19 TARJOUSPYYNTÖ 28733/2015 Apteekkien koneellinen lääkepalvelu ja toimitupalvelu 1. Hankintaykikön perutiedot Hankintaykikkö: Heli Mäkinen Suomi puh. +358 206154012 Tarjouket lähetettävä: Tarjou tai

Lisätiedot

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys

Lisätiedot

( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT

( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT 4 HAJOTUSTHTÄVÄ SÄHKÖST PUSSUUT -auton akku (84 V, 700 mah on ladattu täyteen Kuinka uuri oa akun energiata kuluu enimmäien viiden minuutin aikana, kun oletetaan moottorin ottavan vakiovirran 5 A? Oletetaan

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2

OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2 OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9

Lisätiedot

Tarpeenmukainen ilmanvaihto

Tarpeenmukainen ilmanvaihto YLEISKUVAUS Tarpeenmukainen ilmanvaihto Huipputuotteet tarpeenmukaieen ilmanvaihtoon! www.wegon.com Tarpeenmukainen ilmanvaihto tarjoaa hyvän viihtyiyyden ja pienet käyttökutannuket Kun huone on käytöä,

Lisätiedot

SOSIAALIPÄIVYSTYKSEN KEHITTÄMISEN VUODET KESKI-SUOMESSA

SOSIAALIPÄIVYSTYKSEN KEHITTÄMISEN VUODET KESKI-SUOMESSA 0..0 () SOSIAALIPÄIVYSTYKSEN KEHITTÄMISEN VUODET KESKI-SUOMESSA Soiaalipäivytyke kehittämiellä o maakaamme eide voie jatkmo. Alkyäyke ille atoi vode valtioevoto periaatepäätö, joa aetettii tavoitteeki

Lisätiedot

Ajoketjusta seisontahaukkuun miten pysäyttävien koirien käytöstä tuli hirvenmetsästyksen valtavirtaa?

Ajoketjusta seisontahaukkuun miten pysäyttävien koirien käytöstä tuli hirvenmetsästyksen valtavirtaa? Suomen Riita : 79 (14) Ajoketjuta eiontahaukkuun miten pyäyttävien koirien käytötä tuli hirvenmetätyken valtavirtaa? Milla Niemi, Jani Pellikka ja Juha Hiedanpää Photo: Milla Niemi Vielä muutama vuoikymmen

Lisätiedot

... MOVING AHEAD. Rexnord Laatuketjut. Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimppuketjut

... MOVING AHEAD. Rexnord Laatuketjut. Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimppuketjut ... MOVING HED Rexnord Laatuketjut Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimuketjut Siällyluettelo Rexnord-laadun ominaiiirteet......................... 6 7 Huomioita ketjun valinnata...........................

Lisätiedot

PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013

PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013 Näyttötutkio perusteet PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013 Määräys 8/011/2013 Määräykset ja ohjeet 2013:17 Opetushallitus ja tekijät Määräykset ja ohjeet 2013:17 ISBN 978-952-13-5458-8 (id.) ISBN 978-952-13-5459-5

Lisätiedot

BH60A0900 Ympäristömittaukset

BH60A0900 Ympäristömittaukset BH60A0900 Yäitöittauket Lakuhajoitu Kuiva ja kotea kaau, tilavuuvita ehtävä Savukaau läötila o 00 ja aie 99 kpa. ekittäviät kaaukooetit ovat 0 %, H 0 %, 0 % ja lout tyeä. ikä o a) kotea ja kuiva kaau tilavuukie

Lisätiedot

NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.10.06

NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.10.06 NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.0.06 Siniellä värillä on eitetty rakennuala/rakennualan oa, joka ijaitee kahden metrin korkeukäyrän alapuolella. Silta Epoon Suviaaritoa. Yleitä Aemakaavaonnoken

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. Jäykistävä CLT-seinä

Esimerkkilaskelma. Jäykistävä CLT-seinä Eimerilaelma Jäyitävä CLT-einä 30.5.014 Siällyluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3 - LEVYJÄYKISTEEN TIEDOT... - 3-3 ATERIAALI... - 4-4 PANEELILEIKKAUSKESTÄVYYS... - 4-5 LAELLIN LEIKKAUSKESTÄVYYS... - 5-6 LAELLIEN

Lisätiedot

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010 Valvotakortit Sovelletu Matematiika Erikoistyö Pastie Tommi 3.4. Tässä työssä perehdytää valvotakortteihi tilastollisessa laaduvalvoassa perusteoria ja esimerkkitapauste kautta. Sisältö Johdato... 3 Tilastollisesta

Lisätiedot

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn

Lisätiedot

Teknologiakehitystä ei voi pysäyttääj. Hankintaprosessi sähköistynyt laajalti. Oston teknologiakehityksen alkuvaiheita. Luento 11 e-hankinnat

Teknologiakehitystä ei voi pysäyttääj. Hankintaprosessi sähköistynyt laajalti. Oston teknologiakehityksen alkuvaiheita. Luento 11 e-hankinnat Tieto- ja palvelutalouden laito / logitiikka Teknologiakehitytä ei voi pyäyttääj Luento 11 e-hankinnat Tietotekniikka otamien apuvälineenä Erilaita teknologiaa Miten ähköitämieä tulii edetä Cae etapharm

Lisätiedot

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Ympäristöministeriön asetus puurakenteista. Annettu Helsingissä 6 päivänä lokakuuta 2000

Ympäristöministeriön asetus puurakenteista. Annettu Helsingissä 6 päivänä lokakuuta 2000 B0 SUOMEN RAKENTAMISMÄÄRÄYSKOKOELMA YMPÄRISTÖMINISTERIÖ, Aunto- ja rakennuoato Puurakenteet OHJEET 00 Ympäritöminiteriön aetu puurakenteita Annettu Helingiä 6 päivänä lokakuuta 000 Ympäritöminiteriön päätöken

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta: Esitiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta: Esitiedot T (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan T (c) Ilkka Mellin (2004) 2 : Mitä oimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 7..005 MATEMATIIKAN KOE. ateen ammatillien oulutuen aiien alojen yteinen matematiia ilpailu Nimi: Oppilaito:. Koulutuala:... Luoa:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA. Teniia ja liienne:... Matailu-,raitemu-

Lisätiedot

Pikaohje Verio 1.0 marrakuu 2002 www.behringer.com SUOMI TURVALLISUUSOHJEET VAROITUS: Älä poita kantta (tai takaoaa) ähkäikuvaaran vähentämieki. Siällä ei ole käyttäjän huollettavia oia; käänny huolloa

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004 MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 004 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa

Lisätiedot

Fysiikkakilpailu 6.11.2007, avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA

Fysiikkakilpailu 6.11.2007, avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA Fyiikkakilpailu 6.11.007, avoimen ajan vatauket AVOIN SARJA Kijoita tektaten koepapeiin oma nimei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nimi ekä koului nimi. Kilpailuaikaa on 100 minuuttia. Sekä tehtävä-

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011 S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω

Lisätiedot

Suunniteltu toimivaksi... rakennettu kestämään

Suunniteltu toimivaksi... rakennettu kestämään - ja netekaaukäyttöiet vatapainotrukit Suunniteltu toimivaki... rakennettu ketämään 4 ja 5 tonnin polttomoottoritrukkien tehokkuu ja legendaarinen luotettavuu vaikeimmiakin olouhteia on jo vuoia ollut

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

Lyhyt käyttöopa Verio 1.1 maalikuu 2003 VAMPIRE VAMP PRO VAMP 2 SUOMI TÄRKEITÄ TURVALLISUUSOHJEITA YKSITYISKOHTAISET TURVALLISUUSOHJEET: 1) Lukekaa nämä ohjeet. 2) Säilyttäkää nämä ohjeet. 3) Huomioikaa

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

Tämä sivu on jätetty tarkoituksella tyhjäksi kaksipuoleista tulostusta varten

Tämä sivu on jätetty tarkoituksella tyhjäksi kaksipuoleista tulostusta varten Tämä ivu on jätetty tarkoukella tyhjäki kakiuoleita tulotuta varten KUSTANNUSKPAUKK KASVUMENESTKSEN EHTONA Mtauta, oatekijöä ja tulkintaa Mika Maliranta Elinkeinoelämän tutkimulao ETA Kirjotaja kitää Antti

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2002

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2002 MAOL-Piteityhjeet Fyiikka kevät 00 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -/3 p - lakuvirhe, epäielekä tul, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuer liikaa -0

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

CLEAR Virta 1 A 1 100100000 ka Teksti X-akseli Virta A. Muuta kaikki Kaavio selitysosio Verkon jännite U1 = 1 kv U2 = 1 kv U2

CLEAR Virta 1 A 1 100100000 ka Teksti X-akseli Virta A. Muuta kaikki Kaavio selitysosio Verkon jännite U1 = 1 kv U2 = 1 kv U2 Sähkötekniet lakentaohjelmat. Helinki 24.11.2014 Selektiiviyy (1-1-29) ohjelman eittely Selektiiviyy ohjelma on Microoft Excel ohjelmalla tehty lakentaovellu. Ohjelmat toimitetaan Microoft Office Excel

Lisätiedot

2.4 Erikoistapaus kantalukuna 10 eli kymmenen potenssit

2.4 Erikoistapaus kantalukuna 10 eli kymmenen potenssit 2.4 Kyenen potenit 2.4 Erikoitapau kantaukuna ei kyenen potenit Potenin kantaukuna käytetään kyentä erityieti, kun uku on erittäin uuri tai erittäin pieni. Tää auttaa näitten ääritapauten hahottaiea. Tarkateaan

Lisätiedot

RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike

RATKAISUT: 6. Pyörimisliike ja ympyräliike Phyic 9 pio () 6 Pyöiiliike j ypyäliike : 6 Pyöiiliike j ypyäliike 6 ) Pyöiiliikkeeä kpple pyöii joki keli ypäi Kpplee eto uuttuu b) Ypyäliikkeeä kpple liikkuu pitki ypyät dϕ c) Hetkellie kulopeu ω o kietokul

Lisätiedot

PT-36 Plasmarc-leikkausarvot

PT-36 Plasmarc-leikkausarvot PT-36 Plamarc-leikkauarvot Leikkauarvojen opa (FI) 0558007661 Verion 8.1 releaed on 28Oct11 VARMISTA, ETTÄ KÄYTTÄJÄ SAA NÄMÄ TIEDOT. VOIT TILATA MYYJÄLTÄ LISÄÄ KOPIOITA. VARO OHJEET on tarkoitettu kokeneille

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille. Heikki Ruskeepää

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille. Heikki Ruskeepää Todeäköisyyslasketa sivuaieopiskelijoille Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 5 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 7 1.4 Ehdollie todeäköisyys 12

Lisätiedot

Liekinleviämisen nopeuden määrittäminen eri ympäristön lämpötiloissa kokeellisilla ja laskennallisilla menetelmillä

Liekinleviämisen nopeuden määrittäminen eri ympäristön lämpötiloissa kokeellisilla ja laskennallisilla menetelmillä Liekinleviämien nopeuden määittäminen ei ympäitön lämpötiloia kokeelliilla ja lakennalliilla menetelmillä Johan Mang & Simo Hotikka VTT Palotutkimuken päivät 2011 2 Johdanto Liekin leviäminen kaapeleia:

Lisätiedot

SÄHKÖASEMAN ENSIÖPUOLEN SUUNNITTELUSSA KÄYTETTÄ- VIEN LASKENTAMENETELMIEN KEHITTÄMINEN

SÄHKÖASEMAN ENSIÖPUOLEN SUUNNITTELUSSA KÄYTETTÄ- VIEN LASKENTAMENETELMIEN KEHITTÄMINEN aalto-yliopito tenillinen oreaoulu Eletroniian, tietoliienteen ja automaation tiedeunta Rauno Hirvonen SÄHKÖASEMAN ENSIÖPUOLEN SUUNNIELUSSA KÄYEÄ- VIEN LASKENAMENEELMIEN KEHIÄMINEN Diplomityö, joa on jätetty

Lisätiedot

JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI

JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI KILPAILUKYKYÄ INVESTOIJILLE JA YRITYKSILLE Jäämeren rautatie parantaa yrityten ja invetoijien toimintamahdolliuukia arktiella alueella. Uuia

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

Luotettavuusteknisten menetelmien soveltaminen urheiluhallin poistumisturvallisuuden laskentaan

Luotettavuusteknisten menetelmien soveltaminen urheiluhallin poistumisturvallisuuden laskentaan ESPOO 00 VTT TIEDOTTEITA 8 Tuoma Palopoki, Jukka Myllymäki & Heny Weckman Luotettavuutekniten menetelmien oveltaminen uheiluhallin poitumituvalliuuden lakentaan VTT TIEDOTTEITA RESEARCH NOTES 8 Luotettavuutekniten

Lisätiedot

Kuormitus (N) 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 Jousen pituus (cm) 15,9 17,7 19,6 21,5 23,4 25,2 28,2 32,0

Kuormitus (N) 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 Jousen pituus (cm) 15,9 17,7 19,6 21,5 23,4 25,2 28,2 32,0 Fti 3 Kertautehtävät - 1 Kertautehtävie ratkaiuja Luku 1 1. Juivaki äärittäieki juee riutettii uukia ja e ituu ääritettii kurituke fuktia. a) Selitä kuvaaja ut. b) Määritä heie tauluk eruteella jue juivaki.

Lisätiedot

Kertaustehtäviä. Luku 1. Physica 3 Opettajan OPAS

Kertaustehtäviä. Luku 1. Physica 3 Opettajan OPAS (4) Luku 57. a) Mekaaniea poikittaiea aaltoliikkeeä aineen rakenneoat värähtelevät eteneiuuntaan vataan kohtiuoraa uunnaa. Eierkkejä ovat uun uaa jouen poikittainen aaltoliike tai veden pinnan aaltoilu.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot