Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:"

Transkriptio

1 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti, Frekvei, Kekihajota, Normaalijakauma, Odotuarvo, Odotuarvoje vertailuteti, Oto, Otokoko, Otovariai, Riippumattomat otoket, Riippumattomuu, Riippuvat otoket, Stadardoitu ormaalijakauma, Suhteellie frekvei, Suhteellie ouu, Suhteellite ouukie vertailuteti, Teti odotuarvolle, Teti parivertailuille, Teti uhteellielle ouudelle, Teti variaille, t-jakauma, t-teti, Todeäköiyy, Variai, Variaie vertailuteti, Ykikertaie atuaioto 0.. Tehda valmitaa auloja. Nauloje tavoitepituu o 0 cm. Nauloje pituu vaihtelee kuiteki atuaieti oudattae ormaalijakaumaa. Nauloje joukota poimittii ykikertaie atuaioto, joka koko oli 30. Otokekiarvoki aatii 9.95 cm ja otovariaiki 0.0 cm. Tetaa hypoteeia, että valmitettuje auloje todellie kekimääräie pituu o tavoitearvo mukaie, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että kekimääräie pituu o tavoitearvoa pieempi. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Ratkaiu: Olkoo X i = aula i pituu, i =,,, Yleie hypoteei H o muotoa: X i N( µ, σ ) X, X,, X ovat riippumattomia Nollahypoteei H 0 o muotoa: µ 0 = 0 Vaihtoehtoie hypoteei H o muotoa. µ 0 < 0 Sovelletaa yhde otoke t-tetiä. Tetiuureea o joa t = X µ / X = i= 0 X i = ( Xi X) i= Ilkka Melli (004) /7

2 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei : t t( ) Koka ollahypoteei H 0 pätieä E(t) = 0 ii iteiarvoltaa uuret tetiuuree t arvot johtavat ollahypoteei hylkäämiee. Tehtävä tapaukea jote X = 9.95 µ = 0 0 = 0.0 = 30 X µ t = = =.739 / 0./ 30 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaeki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t.739) = jote ollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla, koka p = < 0.0 t-jakauma taulukoide mukaa joa Pr(t.46) = 0.0 t t(9) Site %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki t 0.0 aadaa Koka.46 t =.693 <.46 ollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla. Johtopäätö: Koe tekee ruuveja, jotka ovat kekimääri liia lyhyitä. Ilkka Melli (004) /7

3 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket 0.. Tehtaaa o kaki amalaiia kuulalaakeri kuulia valmitavaa koetta, K ja K. Kummaki koee valmitamie kuulie paiot vaihtelevat atuaieti (ja toiitaa riippumatta) joki verra oudattae ormaalijakaumaa. Kummaki koee valmitamie kuulie joukota poimitaa toiitaa riippumattomat ykikertaiet atuaiotoket ja otokita laketaa otokee poimittuje kuulie paioje aritmeettiet kekiarvot ja kekihajoat. Otokita aadut tiedot o aettu alla olevaa taulukoa. Tetaa hypoteeia, että koeet K ja K valmitavat kekimääri amapaioiia kuulia, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että koeide K ja K valmitamie kuulie paiot eroavat kekimääri toiitaa. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Koe Aritmeettie kekiarvo (g) Kekihajota (g) Otokoko K K Ratkaiu: Olkoo X i = koee K tekemä kuula paio, i =,,, X j = koee K tekemä kuula paio, j =,,, Yleie hypoteei H o muotoa: () X i () X j, i =,,, N( µ, σ ) N( µ, σ ), j =,,, (3) Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j Nollahypoteei H 0 o muotoa: µ = µ = µ Vaihtoehtoie hypoteei H o muotoa: µ µ Määritellää euraavat otouureet: k Xk = Xik, k =, k i= ( X X ), k =, k k = ik k k i= ( ) + ( ) p = + Ilkka Melli (004) 3/7

4 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Kahde riippumattoma otoke odotuarvoje vertailuu o tarjolla kaki erilaita tetiuuretta. Tetiuuretta t A = X X + voidaa käyttää kaikia tilateia, joia yleie hypoteei H pätee. Jo ollahypoteei µ = µ = µ pätee, tetiuure t A oudattaa uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa: t A a N(0,) Pieiä otokia tetiuuree t A jakaumalle aadaa parempi approkimaatio käyttämällä approkimaatioa Studeti t-jakaumaa, joa vapauateide lukumäärää käytetää lukua ν = + + Iteiarvoltaa uuret tetiuuree t A arvot otivat ollahypoteeia µ = µ = µ vataa. Jo myö hypoteei σ = σ = σ pätee, voidaa käyttää tetiuuretta t B = Jo ollahypoteei P X µ = µ = µ X + pätee, tetiuure t B oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei + : t B t( + ) Iteiarvoltaa uuret tetiuuree t B arvot otivat ollahypoteeia µ = µ = µ vataa. Ilkka Melli (004) 4/7

5 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Huomautu: Tehtyje oletukie pätieä t A oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa (tai t-jakaumaa), ku taa tetiuuree t B jakauma o tarkka. Jotta tetiuuretta t B voitaiii käyttää, o ei tetattava hypoteeia σ = σ = σ Tähä käytetää F-tetiuuretta Jo hypoteei F = σ = σ = σ pätee, tetiuure F oudattaa Fiheri F-jakaumaa vapauatei ja : F F(, ) Sekä uuret että pieet tetiuuree F arvot otivat ollahypoteeia σ = σ = σ vataa. Huomautu: Taulukoita käytettäeä kaattaa toimia ii, että uurempi otovariaeita aetetaa tetiuuree ooittajaa. Tetataa ii ei hypoteeia σ = σ = σ Tehtävä tapaukea jote = 0.04 = 0.0 = 3 = 0 = 0.04 F = = Jo oletamme, että vaihtoehtoie hypoteei o -uutaie, tetiuuree arvoa vataavaki p-arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(F > 4) = Site hypoteei σ = σ = σ variaie yhtäuuruudeta voidaa hylätä %: merkitevyytaolla, koka p = < 0.0 Ilkka Melli (004) 5/7

6 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket F-jakauma taulukoide mukaa joa Pr(F.07) = 0.0 F F(30, 9) Site %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki F 0.0 aadaa Koka.07 F = 4 >.07 hypoteei σ = σ = σ variaie yhtäuuruudeta voidaa hylätä %: merkitevyytaolla. Koka variaie yhtä uuruutta kokeva hypoteei σ = σ = σ hylättii, käytämme tetiuuretta t A ollahypoteei tetaamiee. µ = µ = µ Tehtävä tapaukea jote X = 0. X = 0. = 0.04 = 0.0 = 3 = 0 t X X A = = = Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa ormaalijakauma-approkimaatiota käyttäe Pr(t >.363) = ( ) = 0.08 Site ollahypoteei jää voimaa %: merkitevyytaolla, koka p = 0.08 > 0.0 Jo käytämme t-jakauma-approkimaatiota, vapauateide lukumääräki tulee + ν = = Käytämme vapauateide lukumäärää alapäi pyöritettyä lukua 46. Ilkka Melli (004) 6/7

7 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa t-jakauma-approkimaatiota käyttäe eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t >.363) = 0.0 = 0.0 Site ollahypoteei jää voimaa %: merkitevyytaolla, koka p = 0.0 > 0.0 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, t-jakauma taulukoita aadaa %: merkitevyytaoa vataaviki kriittiiki rajoiki t ja +t luvut väleiltä Koka (.704,.678) ja (+.678, +.704).678 < t A =.363 < ollahypoteei jää voimaa %: merkitevyytaolla. Johtopäätö: Koeide tekemie ruuvie kekimääräiet pituudet eivät poikkea toiitaa. Huomaa kuiteki, että johtopäätö vaihtuii päivataieki, jo merkitevyytaoki valittaiii 5 % Eräää kokeea verrattii kahta ademäärä mittaukee käytettävää laitetta. Kummallaki laitteella mitattii ademäärät 0 adepäivä aikaa. Mittautuloket (ademäärät mm:ä) o aettu alla olevaa taulukoa. Tetaa hypoteeia, että mittarit tuottavat kekimääri amoja mittautulokia, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että mittarit tuottavat kekimääri eri mittautulokia. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Laite A B Ratkaiu: Huomaa, että tehtävää 0.. ovellettu riippumattomie otokie t-teti ei ole yt luvallie, koka havaiot riippuvat toiitaa, illä jokaie kymmee atee ademäärä o mitattu molemmilla laitteilla. Jo laitteet toimivat ede joaki määri luotettavati, A- ja B-laittee atavat amalle ateelle toiiaa lähellä olevia mittautulokia, t. mittaute välillä o tavallieti voimaka poitiivie korrelaatio; k. myö tehtävää 0.4. Ilkka Melli (004) 7/7

8 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Tehtävä tapaukea Cor(A-mittau, B-mittau) = joka elväti ooittaa otote riippuvuude toiitaa. Koka otoket ii riippuvat toiitaa, toimitaa tällaiea parivertailutilateea euraavati: Määrätää havaitoarvoje parikohtaiet erotuket ja tetataa ollahypoteeia, joka mukaa erotuket ovat kekimääri ollia. Olkoo X Ai = havaitoarvo ryhmää A, i =,,, X Bi = havaitoarvo ryhmää B, i =,,, i = X Ai X Bi, i =,,, Olkoo yleieä hypoteeia H : (i) (ii) Erotuket i N( µ, σ ) i =,,, Erotuket,,, ovat riippumattomia Olkoo ollahypoteeia H 0 : Tetiuureea o joa E( i ) = 0, i =,,, t = = / i= i = ( i ) i= Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei : t t( ) Iteiarvoltaa uuret tetiuuree t arvot johtavat ollahypoteei hylkäämiee. Tehtävä tapaukea jote =.7 = = 0.7 t = = = 8.8 / 0.4 / 0 Ilkka Melli (004) 8/7

9 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t < 8.8) 0 Site ollahypoteei voidaa hylätä kaikilla tavaomaiilla merkitevyytaoilla. %: merkitevyytaoa vataaviki kriittiiki rajoiki t ja +t aadaa t-jakauma taulukoita Koka 3.50 ja < t = 3.50 ollahypoteei H 0 hylätää. Johtopäätö: Mittarit A ja B eivät äytä amoi Tetattaea erätä verepaielääkettä amoje potilaide (8 kpl) verepaie mitattii ee ja jälkee lääkkee auttimie. Koetuloket (verepaieet mm/hg) o eitetty alla olevaa taulukoa. Tetaa hypoteeia, että lääke ei kekimääri alea verepaietta, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että lääke kekimääri aletaa verepaietta. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa Jälkee Ee Ratkaiu: Huomaa, että tehtävää 0.. ovellettu riippumattomie otokie t-teti ei ole yt luvallie, koka havaiot riippuvat toiitaa, illä ee- ja jälkee-mittauket o tehty amoille koehekilölle; k. myö tehtävä 3. Koka otoket ii riippuvat toiitaa, toimitaa tällaiea parivertailutilateea euraavati: Määrätää havaitoarvoje parikohtaiet erotuket ja tetataa ollahypoteeia, joka mukaa ämä erotuket ovat kekimääri ollia. Ilkka Melli (004) 9/7

10 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Olkoo X Ei = havaitoarvo ryhmää E, i =,,, X Ji = havaitoarvo ryhmää J, i =,,, i = X Ei X Ji, i =,,, Olkoo yleieä hypoteeia H : (i) (ii) Erotuket i N( µ, σ ) i =,,, Erotuket,,, ovat riippumattomia Olkoo ollahypoteeia H 0 : Tetiuureea o joa E( i ) = 0, i =,,, t = = / i= i = ( i ) i= Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei : t t( ) Suuret tetiuuree t iteiarvot johtavat ollahypoteei H 0 hylkäämiee. Tehtävä tapaukea jote = 4.5 = 8 = t = = = 3.3 / 4.07/ 8 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa eim. Microoft Excel -ohjelmalla Pr(t > 3.3) = Jo merkitevyytaoa o %, ollahypoteei H 0 hylätää, koka p = < 0.0 Ilkka Melli (004) 0/7

11 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki käytettäeä aadaa %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki +t 0.0 aadaa t-jakauma taulukoita Koka.998 t = 3.3 >.998 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Johtopäätö: Lääke kekimääri aletaa verepaietta Erää tuottee valmitaja väittää, että tuotteita korkeitaa 5 % o vialliia. Aiaka poimii otoke, joka koko o 00 ja löytää 9 viallita tuotetta. Oko valmitaja väite oikeutettu? Tetaa ollahypoteeia, että valmitaja väite o oikeutettu, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o, että viallite uhteellie ouu o uurempi kui valmitaja väittämä 5 %. Käytä tetiä %: merkitevyytaoa. Ratkaiu: Poimitaa valmitettuje tuotteide joukota ykikertaiella atuaiotaalla tuotetta tarkatettavaki. Olkoo ja A = Tuote o viallie Pr(A) = p Määritellää riippumattomat atuaimuuttujat Tällöi X i, jo i. tarkatettu tuote o viallie = 0, jo i. tarkatettu tuote ei ole viallie X i Ber(p) Aetetaa ollahypoteei H 0 : p = p 0 Ilkka Melli (004) /7

12 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Määritellää tetiuure joa Huomaa, että joa z = pˆ p 0 p0( p0) = Tarkatettavaki poimittuje tuotteide lukumäärä ˆp = Viallite tuotteide uhteellie ouu tarkatettuje joukoa ˆp = f / f = Viallite lukumäärä tarkatettuje joukoa Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure z oudattaa uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(0,) Tehtävää ollahypoteei H 0 o ja jote p 0 = 0.05 pˆ = 9 / 00 = = 00 z pˆ p =.9 p0( p0) 0.05( 0.05) 00 0 = = Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree arvoa vataavaki p- arvoki aadaa ormaalijakauma taulukoita Pr(z >.9) = Site havaiot iältävät voimakata evideiä ollahypoteeia H 0 vataa. Nollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla olipa vaihtoehtoie hypoteei yki- tai kakiuutaie. Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, aadaa %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki +t 0.0 Koka.33 z =.9 >.33 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Ilkka Melli (004) /7

13 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Johtopäätö: Viallite uhteellie ouu o merkiteväti valmitaja ilmoittamaa uurempi erääee vakavaa tautii airatuutta potilata jaettii atuaieti kahtee ryhmää A ja B, joia kummaaki oli 300 potilata. Ryhmälle A aettii tautii kehitettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) (b) Ryhmää A taudita parai 95 potilata ja ryhmää B 5 potilata. Suoitteliitko uude lääkkee ottamita käyttöö koetuloke peruteella? Ryhmää A taudita parai 5 potilata ja ryhmää B 95 potilata. Suoitteliitko uude lääkkee ottamita käyttöö koetuloke peruteella? Ratkaiu: (a) Jo uui lääke parataa vähemmä potilaita kui vaha lääke, ei tetauta tarvita e johtopäätöke tekemieki, että uutta lääkettä ei kaata ottaa käyttöö aiakaa tämä kokee peruteella. Se ijaa, jo uui lääke parataa eemmä potilaita kui vaha lääke, o tetau tarpee, jotta aadaa elville oko paratueide määrä liäätymitä pidettävä attumavaraiea eli otovaihteluta johtuvaa vai ei. (b) Jaetaa potilaat arpomalla ryhmää A, joa o potilata ja ryhmää B, joa o potilata. Olkoo ja A = Potila paraee Pr(A) = p, jo potila kuuluu ryhmää A Pr(A) = p, jo potila kuuluu ryhmää B Määritellää riippumattomat atuaimuuttujat Tällöi X ik, jo i. potila paraee ryhmää k = 0, jo i. potila ei parae ryhmää k X i Ber(p ) X i Ber(p ) Aetetaa ollahypoteei H 0 : p = p Ilkka Melli (004) 3/7

14 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Määritellää tetiuure joa ja z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + ˆp = Paratueide uhteellie ouu ryhmää A = Potilaide lukumäärä ryhmää A ˆp = Paratueide uhteellie ouu ryhmää B = Potilaide lukumäärä ryhmää B Huomaa, että joa ja ˆp = Paratueide uhteellie ouu kaikkie potilaide joukoa ˆp = f / ˆp = f / f = Paratueide lukumäärä ryhmää A f = Paratueide lukumäärä ryhmää B f + f pˆ + pˆ p = = + + ˆ Jo ollahypoteei H 0 pätee, tetiuure z oudattaa uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa: Tehtävää jote z a N(0,) pˆ = 5/ 300 = 0.75 = 300 pˆ = 95/ 300 = 0.65 = 300 pˆ + pˆ p = = = ˆ 0.7 Ilkka Melli (004) 4/7

15 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket ja z pˆ pˆ = = pˆ( pˆ) + 0.7( 0.7) =.67 Koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki, tetiuuree z arvoa vataava p-arvo o taulukoide mukaa Pr(z >.67) = Site aieito iältää voimakata evideiä ollahypoteeia H 0 vataa. Nollahypoteei H 0 voidaa hylätä %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoa o ykiuutaie hypoteei H : p > p Normaalijakauma taulukoita käytettäeä aadaa %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki Koka.3 z =.67 >.33 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Johtopäätö: Uude lääkkee käyttööotto o peruteltua Alueella A 300:ta atuaiotokee poimituita ääioikeutetuita 56 % kaatti ehdokata X. Alueella B ehdokkaa X kaatu 00: atuaiotokee poimitu ääioikeutetu joukoa oli 48 %. Muodota teti ollahypoteeille, että kaatuket eivät alueilla A ja B eroa toiitaa. Tetaa ollahypoteeia 5 %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoiea hypoteeia o (a) X: kaatu o alueella A uurempaa kui alueella B. (b) X: kaatu eroaa alueilla A ja B. Ratkaiu: Käytetää amaa tetiuuretta kui tehtävää 0.6. Nollahypoteeia o H 0 : p A = p B Ilkka Melli (004) 5/7

16 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Tehtävää jote ja pˆ = 0.56 A A = 300 pˆ = 0.48 B B = 00 Apˆ A + Bpˆ B pˆ = = = A B pˆa pˆb z = = pˆ( pˆ) ( 0.53) A B =.76 (a) Nollahypoteei H 0 voidaa hylätä 5 %: merkitevyytaolla, ku vaihtoehtoa o ykiuutaie hypoteei H : p A > p B koka tällöi tetiuuree arvoa vataava p-arvo Pr(z >.76) = < 0.05 Normaalijakauma taulukoita käytettäeä aadaa 5 %: merkitevyytaoa vataavaki kriittieki rajaki (koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki) Koka.65 z =.76 >.65 ollahypoteei H 0 hylätää ja vaihtoehtoie hypoteei hyväkytää. Johtopäätö: X: kaatu o teti mukaa uurempaa alueella A kui alueella B. (b) Nollahypoteeia H 0 ei voida hylätä 5 %: merkitevyytaolla, jo vaihtoehtoa o kakiuutaie hypoteei koka H : p A p B Pr(z >.76) = = > 0.05 Ilkka Melli (004) 6/7

17 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Normaalijakauma taulukoita käytettäeä aadaa 5 %: merkitevyytaoa vataaviki kriittiiki rajoiki (koka vaihtoehtoie hypoteei oletettii -uutaieki) Koka.96 ja < z =.76 < +.96 ollahypoteeia H 0 ei voida hylätä. Johtopäätö: Nollahypoteeia iitä, että X: kaatu o alueilla A ja B yhtä uurta ei voida hylätä. Huomautukia tilatollieta tetauketa () Teti tulo eli e, mitä ollahypoteeille tehdää, riippuu ekä valituta merkitevyytaota että vaihtoehtoie hypoteei muodota. () Käytäö tutkimukea apuai ei ole lueoitijaa, joka ataii vaihtoehtoie hypoteei muodo ja tetiä käytettävä merkitevyytao. (3) Tilato-ohjelmitot tulotavat uei ekä tetiuuree arvo että itä vataava p-arvo tai. hätätodeäköiyyde eli -uutaita vaihtoehtoita hypoteeia vataava p-arvo. (4) Tutkija joutuu ite päättämää p-arvo peruteella mitä hä ollahypoteeille tekee. Tämä o päätö, joho o aettava vaikuttaa myö päätöke euraukie; t. erilaiia tilateia o käytettävä erilaiia kyyarvoja. Ilkka Melli (004) 7/7

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket / Tehtävät Aiheet: Avaiaat: Tetit uhdeateikolliille muuttujille Hypoteei, Kahde riippumattoma otoke t-tetit,

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Tetit uhdeateikolliille muuttujille Tetit laatueroateikolliille muuttujille

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?

Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet YLEMMÄT TOIMIHENKILÖT YTN RY OHJE YRY+K -ryhmä / Mko 19.8.2009 1 (13) Luottamumiehen / -valtuutetun valinta, aema ja oikeudet Siällyluettelo: Yleitä... 2 Oikeu luottamumiehen valintaan... 2 Luottamumiehen

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,

Lisätiedot

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa, Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

TL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut

TL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut TL536DSK-algoritmit (J. Laitie) 4. - 5..4 TTESN4X/4Z, TTESN5X/5Z Välikoe, ratkaiut a) Maiite väitää kaki digitaalite FIR-uotimie etua verrattua IIR-uotimii. b) Mite Reme-meetelmällä uuitellu FIR-uotime

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.4 Tilatollie aali peruteet, kevät 7 6. lueto: Johdatu regreioaalii Regreioaali idea Tavoitteea elittää elitettävä tekiä/muuttua havaittue arvoe vaihtelu elittävie tekiöide/muuttuie havaittue arvoe

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,

Lisätiedot

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Ratkaisu: Kaikki tehtävän laskutoimitukset on tehty Microsoft Excel -ohjelmalla; ks. taulukkoa tehtävän lopussa.

Ratkaisu: Kaikki tehtävän laskutoimitukset on tehty Microsoft Excel -ohjelmalla; ks. taulukkoa tehtävän lopussa. Mat-.09 Sovellettu todeäköyylaku. harjotuket Mat-.09 Sovellettu todeäköyylaku. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Regreoaalyy Etmot, Jääöelöumma, Jääöterm, Jääövara, Kekhajota, Kokoaelöumma, Korrelaato,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

Luku 16 Markkinatasapaino

Luku 16 Markkinatasapaino 68 Luku 16 Markkinataaaino 16.1 Markkinataaainon määrity Tarkatelemme kilailulliia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaiuna uhteea makimihintoihin talouenitäjien

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen.

S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen. T-79.148 yky 2003 Tietojenkäittelyteorian peruteet Harjoitu 7 Demontraatiotehtävien ratkaiut 4. Tehtävä: Ooita, että yhteydettömien kielten luokka on uljettu yhdite-, katenaatioja ulkeumaoperaatioiden

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA LUKION FYSIIKKAKILPAILU 0..009, ratkaiut PERUSSARJA Vataa huolellieti ja iititi! Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooite, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on 00 inuuttia.

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit 7.48 TY Juha Pyrhönen 7. Tahtikone Tahtikoneet muootavat kokonaien ähkökoneperheen. Päätyyppejä ovat vieramagnetoiut tahtikoneet, ynkroniet reluktanikoneet ja ketomagneettitahtikoneet. Vieramagnetoiut

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset SMG-4200 Sähkömagneettiten järjetelmien lämmöniirto Harjoituken 1 ratkaiuehdotuket Vata 1800-luvun puoliväliä ymmärrettiin että lämpöenergia on atomien ja molekyylien atunnaieen liikkeeeen värähtelyyn

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

7. Pyörivät sähkökoneet

7. Pyörivät sähkökoneet Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

Triathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner

Triathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner 12 viikon kilpailuuunnitelma--kilpailumatka: printti Urheilijan tao: aloitteleva urheilija, 1 tai 2 vuoden kokemu printtitriathlonkilpailuita Tunteja viikoa: 5-6 Tätä harjoituuunnitelmaa käytetään Garminin

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

Kantobiomassan määrän mallintaminen leimikoissa hakkuukonemittausten avulla

Kantobiomassan määrän mallintaminen leimikoissa hakkuukonemittausten avulla Metsätietee päivä, 6.0.0 Katobiomassa määrä mallitamie leimikoissa hakkuukoemittauste avulla Heikki Ovaskaie, Itä Suome yliopisto Pirkko Pihlaja, UPM Kymmee Teijo Palader, Itä Suome yliopisto Johdato Suomessa

Lisätiedot

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat

6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f 0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille

Lisätiedot

Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi Määritelmä Tarkasteltava

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Raitiotien varikkoalueen asemakaavan nro 8600 viitesuunnitelma

Raitiotien varikkoalueen asemakaavan nro 8600 viitesuunnitelma S U U N N IT T EL U JA T EK N IIK K A TAMPEREEN KAUPUNKI Raitiotien varikkoalueen aemakaavan nro 8600 viiteuunnitelma Raportti FCG SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA OY P26458 Raportti 1 (6) Siällyluettelo 1 Yleitä...

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 04 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 6. harjoitus, viikko 0 3. 7.3.04 R ma 0 D5 R5 ti 4 6 C09 R ma 4 6 D5 R6 to 4 C09 R3 ti 08 0 D5 R7 pe 08 0 D5 R4 ti 4 C09 R8 pe 0 D5. Laske

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Sosiaalihuollon kertomusmerkintä

Sosiaalihuollon kertomusmerkintä Soiaalihuollon kertomumerkintä Kommentoitava materiaali Terveyden ja hyvinvoinnin laito (THL) L 30 (Mannerheimintie 166) 0071 Helinki Telephone: 09 54 6000 www.thl.fi Siällyluettelo Soiaalihuollon kertomumerkintä...

Lisätiedot

S Fysiikka III (Est) Tentti

S Fysiikka III (Est) Tentti S-114137 Fyiikka III (Et) Tentti 9008 1 Vetyatomin elektronin kulmaliikemäärää kuvaa kvanttiluku l =3 Lake miä kaikia kulmia kulmaliikemäärävektori voi olla uhteea kulmaliikemäärän z-komponenttiin ( )

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,

Lisätiedot