Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
|
|
- Timo-Jaakko Hämäläinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie kekiarvo, Frekvei, Frekveijakauma, Geometrie kekiarvo, Harmoie kekiarvo, Hitogrammi, Itervalliateikko, Järjetyateikko, Järjetytuuluvut, Kekeie raja-arvolaue, Kekiarvo, χ -jakauma, Kvatitatiiviet muuttujat, Kvalitatiiviet muuttujat, Laatueroateikko, Luokiteltu frekvei-jakauma, Makimi, Mediaai, Miimi, Nomiaaliateikko, Normaalijakauma, Ordiaaliateikko, Oto, Otohajota, Otojakauma, Ototuuluku, Otovariai, Pylvädiagrammi, Stadardipoikkeama, Suhdeateikko, Suhteellie frekvei, Tilatollie muuttuja, Vaihteluväli, Vaihteluväli pituu, Variai, Välimatka-ateikko, Ykikertaie atuaioto 8.. Alla o lueteltu joukko tilatolliia muuttujia.. Maikoide C-vitamiiipitoiuu; ykikkö: mg/00 g. Alvari aukiolta löydety kavi laji 3. Paie, joka vaaditaa teräkie äiliö murtumiee; ykikkö: kg/cm 4. Hekilöide reaktio väitteeee Suome o liityttävä NATO:o mitattua ateikolla: täyi eri mieltä, yhde tekevää, täyi amaa mieltä 5. Jokereide ijoitu jääkiekkoliigaa; ateikkoa,, 3, 6. Teekkari koulutuohjelma 7. Teekkari älykkyyoamäärä äo-piteiä; ykikkö äo-pito 8. Teekkari pitemäärä kuri. välikokeea; ateikkoa 0,,,, Letokoee opeu; ykikkö: km/h (a) Mitkä ovat muuttujie -9 mitta-ateikot? Mitkä muuttujita -9 ovat kvalitatiiviia ja mitkä kvatitatiiviia? (c) Mitkä muuttujita -9 ovat dikreettejä ja mitkä jatkuvia? Ratkaiu: (a) Laatueroateikolliia muuttujia:, 6 Järjetyateikolliia muuttujia: 4, 5, 7, 8 Suhdeateikolliia muuttujia:, 3, 9 Ilkka Melli (004) /4
2 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Kvalitatiiviia muuttujia:, (4), (5), 6 Kvatitatiiviia muuttujia:, 3, (4), (5), 7, 8, 9 Kvalitatiivite ja kvatitatiivite muuttujie välimaatoa olevat järjetyateikolliet muuttujat o merkitty ulkuihi. (c) Dikreettejä muuttujia:, 4, 5, 6, 7, 8 Jatkuvia muuttujia:, 3, 9 Mitta-ateikot Mittau o tehty omiaali- eli laatueroateikolla, jo mittau kertoo mihi luokkaa mittauke kohde kuuluu. Mittau o tehty ordiaali- eli järjetyateikolla, jo mittau kertoo oko mittauke kohteella mitattavaa omiaiuutta eemmä tai vähemmä kui jollaki toiella kohteella. Mittau o tehty itervalli- eli välimatka-ateikolla, jo mittau kertoo kuika paljo kahde mitattava kohtee omiaiuudet eroavat toiitaa. Mittau o tehty uhdeateikolla, jo mittau kertoo kuika mota kertaa eemmä tai vähemmä mittauke kohteella o mitattavaa omiaiuutta kui jollaki toiella kohteella. Kvalitatiiviet ja kvatitatiiviet muuttujat Omiaiuutta ja itä kuvaavaa muuttujaa kututaa kvalitatiivieki, jo mittauke kohteet voidaa luokitella mittauke peruteella toiitaa eroavii kategorioihi tai luokkii. Kvalitatiiviia omiaiuukia kuvataa laatueroateikolliilla muuttujilla. Omiaiuutta ja itä kuvaavaa muuttujaa kututaa kvatitatiivieki, jo mittau tuottaa omiaiuude määrällie arvo. Kvatitatiiviia omiaiuukia kuvataa välimatka- tai uhdeateikolliilla muuttujilla. Dikreetit ja jatkuvat muuttujat Mitattavaa omiaiuutta vataava muuttuja o dikreetti, jo e voi aada vai erilliiä arvoja. Dikreettejä muuttujia ovat eimerkiki kaikki laatueroateikolliet, järjetyateikolliet ja lukumäärämuuttujat. Mitattavaa omiaiuutta vataava muuttuja o jatkuva, jo e voi aada kaikki arvot joltaki väliltä. Tällaiia muuttujia ovat eimerkiki ueimmat fyikaaliet uureet kute pituu, pitaala, tilavuu, paio, aika, opeu ja paie ekä mutta myö moet talouelämää kuvaavat uureet kute rahamäärä ja korko. Ilkka Melli (004) /4
3 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 8.. Erää talo aukkailla o euraavat kuukauitulot ( /kk): Määrää aieitota euraavat tuuluvut: (a) miimi, makimi vaihteluväli, vaihteluväli pituu (c) mediaai Ratkaiu: Kaikki määrättäviki pyydetyt tuuluvut ovat järjetytuulukuja tai iihi perutuvia tuulukuja. Järjetytuulukuje määräämitä varte havaiot o järjetettävä uuruujärjetykee pieimmätä uurimpaa: (a) Miimi ja makimi: Mi = 4300, Ma = 500 Vaihteluväli: (Mi, Ma) = (4300, 500) Vaihteluväli pituu: Ma Mi = = iitä (c) Etitää havaitoje mediaai Me. Mediaai Me jakaa havaitoaieito kahtee yhtä uuree oaa ite, että puolet havaitoarvoita, jotka eivät ole yhtä uuria kui mediaai, ovat mediaaia pieempiä, Ilkka Melli (004) 3/4
4 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A ja puolet iitä havaitoarvoita, jotka eivät ole yhtä uuria kui mediaai, ovat mediaaia uurempia. Oletetaa, että havaitoa o järjetetty uuruujärjetykee pieimmätä uurimpaa. (i) (ii) Jo o parito, ii mediaaiki valitaa havaitoarvo, joka löytyy paikata ( + )/ Jo o parillie, mediaaiki valitaa kahde kekimmäie havaio aritmeettie kekiarvo. Havaitoje lukumäärä o tää parillie, jote Me = ( )/ = Muodota tehtävä aieitota luokiteltu frekveijakauma, joka luokkaväleiä ovat (4000, 000] (00, 8000] (8000, 60000] Määrää myö frekveijakaumaa vataava hitogrammikuvio uorakaiteide korkeudet, ku luokkaväliä [4000, 000] vataava uorakaitee korkeudeki valitaa 5 ykikköä. Hahmottele myö ko. hitogrammikuvio ruudullielle paperille. Miä luokaa o jakauma moodi? Ratkaiu: Hitogrammikuvio muodotuu uorakaiteita, joide pita-alat uhtautuvat toiiia kute vataavat luokkafrekveit (tai uhteelliet luokkafrekveit). Luokkaväli Luokkafrekve i Suorakaitee korkeu (ykikköä) (4000, 000] 5 5 (000, 8000] 9 9/ = 9.5 (8000, 60000] /4 = 0.5 () Valitaa luokkavälii (4000, 000] liittyvä uorakaitee korkeudeki 5 ykikköä. () Luokkaväli (000, 8000] o kaki kertaa pitempi kui luokkaväli (4000, 000]. Siki luokkavälii (000, 8000] liittyvä uorakaitee korkeu aadaa jakamalla luokkaväliä vataava frekvei 9 luvulla. (3) Luokkaväli (8000, 60000] o eljä kertaa pitempi kui luokkaväli (4000, 000]. Siki luokkavälii (8000, 60000] liittyvä uorakaitee korkeu aadaa jakamalla luokkaväliä vataava frekvei luvulla 4. Ilkka Melli (004) 4/4
5 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Alla oleva kuvio eittää yo. luokiteltua frekveijakaumaa vataavaa hitogrammia. 5 f/ Jakauma moodi o luokaa (4000, 000], koka iiä hitogrammi aavuttaa makimia. Huomaa, että moodi ei ole luokaa (000, 8000], vaikka itä vataava frekvei o uuri. Huomautukia: (i) Hitogrammia uorakaiteide pita-alat eivät ii korkeudet ovat uhteea luokkafrekveeihi. (ii) Oikea laatu pytyakelille o frekvei/ : Vaaka-akeli laatu: Pytyakeli laatu: frekvei/ Suorakaitee pita-ala: frekvei/ = frekvei (iii) Hitogrammia uorakaiteide korkeudet ovat uhteea luokkafrekveeihi vai, jo luokitu o taavälie. Ilkka Melli (004) 5/4
6 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 8.4. Määrää tehtävä aieito kahde eimmäie arakkee 8 luvuta aritmeettie kekiarvo, otovariai ja otohajota. Ratkaiu: Lakutoimituket voidaa tehdä kahdella eri tavalla. Alla oleva tauluko muodotamiea o käytetty apua MS Ecel -ohjelmaa. Tuloket: Aritmeettie kekiarvo = 556 Otovariai = Otohajota = 900 Jo ko. tuulukuje lakemieki laaditaa tietokoeohjelma, lakutoimituket voidaa järjetää lakutavaa ii, että havaiot käydää läpi vai kerra, ku taa lakutavaa havaiot o käytävä läpi kaki kertaa. Se ijaa lakutava kaavat ovat umeerieti vakaampia kui lakutavaa. Palkka i -Ka (-Ka)^ ^ Summa Ka = 96.5 Tapa : Var = Hajota = Tapa : Var = Hajota = Ilkka Melli (004) 6/4
7 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Kaavat tehtävää 4: Lakutapaa liittyvät kaavat: = i= = i = i i= ( ) Lakutapaa liittyvät kaavat: = i= = i i= = i Tehtäviä 5 ja 6 ooitetaa, että aritmeettie kekiarvo ei ole aia käypä tuuluku Olet ottaut 0000 euro laia, jota ei aa lyhetää kahde eimmäie vuode aikaa. Laiaopimuke mukaa korko o. vuotea 0 % ja. vuotea 0 %, jolloi takaii makettava laiapääoma kavaa kahdea vuodea % (lake ). Oletetaa, että laiaopimuta muutetaa ii, että korkoa käytetää koko aja amaa korkoa, mutta tämä vakioa pidettävä korko valitaa ii, että takaii makettava laiapääoma ei kava eempää kui alkuperäie opimuke mukaa. (a) Huomautu: Totea, että / % ei ole uude opimuke vakiokorko. Totea, että oikea vakiokorko aadaa lakutoimitukella (.. ) 00 % -kohdaa ovelletaa geometrie kekiarvo kaavaa: Poitiivite lukuje,,, geometrie kekiarvo o G = Ilkka Melli (004) 7/4
8 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.) 0000 = 000 Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.) 000 = 300 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea 3 %. Sii = 3 %. (a) / % = 6 % 6 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.6) 0000 = 600 Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.6) 600 = 3456 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea % 3 %. (.. ) 4.89 % 4.89 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopua: ( ) 0000 = 489 Laiapääoma. vuode lopua: ( ) 600 = 300 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea 3 % Paikkakutie A ja B välimatka o 0 km. Hekilö ajaa A:ta B:he kekiopeudella 60 km/h ja B:tä A:ha kekiopeudella 0 km/h. (a) Huomautu: Totea, että kekiopeu edetakaiella matkalla ei ole (60+0)/ = 90 km/h Totea, että oikea kekiopeu aadaa lakutoimitukella kohdaa ovelletaa harmoie kekiarvo kaavaa: Poitiivite lukuje,,, harmoie kekiarvo H o H = i= i Ilkka Melli (004) 8/4
9 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: A: ja B: välimatka: 0 km Ajoaika A:ta B:he (60 km/h): 0/60 = h Ajoaika B:ta A:ha (0 km/h): 0/0 = h Matka edetakaii: 40 km Ajoaika edetakaii: + = 3 h Kekiopeu edetakaiella matkalla: 40/3 = 80 km/h (a) 90 km/h 80 km/h = 80 km/h (a) Koe valmitaa kuulalaakeri kuulia, joide halkaiijat vaihtelevat atuaieti oudattae ormaalijakaumaa parametrei µ = 0 mm, σ = 0.0 mm Kuulie joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 0. Olkoot X ja kuulie halkaiijoide aritmeettie kekiarvo ja otovariai otokea. Mitkä ovat aritmeettie kekiarvo X ja otovariai muuoke ( ) /σ jakaumat otokea? Ääetäjitä 5 % kaattaa puoluetta ABC. Ääetäjie joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 000. Mikä o puoluee ABC kaattajie uhteellie ouude approkimatiivie jakauma otokea? Ratkaiu: (a) Oletetaa, että havaiot X, X,, X muodotavat ykikertaie atuaiotoke ormaalijakaumata N(µ, σ ). Tällöi havaiot X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ): X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Ilkka Melli (004) 9/4
10 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo o X X i i = = ja otovariai o = ( Xi X ) i= Ym. oletukie pätieä aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa: otokea σ X N µ, ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa: Nyt ( ) σ µ = 0 mm σ = 0.0 mm χ ( ) σ = mm Site kuulie halkaiijoide aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa N(µ, σ /) parametreiaa µ = 0 mm σ = = mm 0 ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa vapauatei = 0 = 9 Huomaa, että havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo X variai o aia pieempi kui havaitoje variai, jo otokoko >. Liäki aritmeettie kekiarvo X variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. Olkoo A S joki otoavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = Pr(A) = p Poimitaa otoavaruudeta S ykikertaie atuaioto, joka koko o. Ilkka Melli (004) 0/4
11 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Olkoo f A-tyyppite alkioide frekvei eli lukumäärä otokea ja f pˆ = vataava uhteellie frekvei. Yo. oletukie pätieä uhteellie frekvei ˆp oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa: Nyt p pq ˆ a N p, A = Puoluee ABC kaattajie muodotama joukko kaikkie ääioikeutettuje joukoa S p = Pr(A) = Pr(Satuaieti valittu ääioikeutettu kaattaa puoluetta ABC) = 0.5 q = Pr(A c ) = Pr(A) = p = 0.75 Site puoluee ABC kaattajie uhteellie frekvei ˆp oudattaa otokea approkimatiivieti ormaalijakaumaa parametreiaa p = 0.5 pq = = = Huomaa, että uhteellie frekvei ˆp variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa (a) Miete pituu eräää maaa vaihtelee atuaieti oudattae ormaalijakaumaa parametrei µ = 80 cm, σ = 5 cm Miete joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 00. Olkoot X ja pituukie aritmeettie kekiarvo ja otovariai otokea. Mitkä ovat aritmeettie kekiarvo X ja otovariai muuoke ( ) /σ jakaumat otokea? Koee valmitamita muttereita 5 % o vialliia. Muttereide joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 00. Mikä o viallite muttereide uhteellie ouude approkimatiivie jakauma otokea? Ilkka Melli (004) /4
12 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: (a) Oletetaa, että havaiot X, X,, X muodotavat ykikertaie atuaiotoke ormaalijakaumata N(µ, σ ). Tällöi havaiot X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ): X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo o X X i i = = ja otovariai o = ( Xi X ) i= Ym. oletukie pätieä aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa: otokea σ X N µ, ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa: ( ) σ Tää µ = 80 cm σ = 5 cm σ = 5 cm χ ( ) Site pituukie aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa N(µ, σ /) parametreiaa µ = 85 cm σ 5 = = 0.5 cm 00 ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa vapauatei = 00 = 99 Huomaa, että havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo X variai o aia pieempi kui havaitoje variai, jo otokoko >. Liäki aritmeettie kekiarvo X variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. Ilkka Melli (004) /4
13 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Olkoo A S joki otoavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = Pr(A) = p Poimitaa otoavaruudeta S ykikertaie atuaioto, joka koko o. Olkoo f A-tyyppite alkioide frekvei eli lukumäärä otokea ja f pˆ = vataava uhteellie frekvei. Yo. oletukie pätieä uhteellie frekvei ˆp oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa: Nyt p pq ˆ a N p, A = Viallite muttereide muodotama joukko kaikkie koee valmitamie muttereide joukoa S p = Pr(A) = Pr(Satuaieti valittu mutteri o viallie) = 0.05 q = Pr(A c ) = Pr(A) = p = 0.95 Site viallite muttereide uhteellie frekvei ˆp oudattaa otokea approkimatiivieti ormaalijakaumaa parametreiaa p = 0.05 pq = = = Huomaa, että uhteellie frekvei ˆp variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. Ilkka Melli (004) 3/4
14 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Huomautukia tehtävii 7 ja 8: () Tehtävie 7 ja 8 lähtökohtaa ovat oletuket tutkimuke kohteea oleva atuaimuuttuja jakaumata ja e parametreita perujoukoa. () Tehtävie ideaa o kertoa iitä, millaiia ovat tavaomaite ototuulukuje jakaumat otokea, jo perujouko jakaumaa ja e parametreja kokevat oletuket pätevät. (3) Ototuulukuje jakaumia kokevat tuloket ovat kuiteki iiä mieleä epäoperatioaaliia, että käytäöä perujouko parametrit ei yleeä tueta. (4) Jo perujouko parametreja ei tueta, e pyritää etimoimaa eli arvioimaa otoke peruteella; k. lukua Tilatollite mallie parametrie etimoiti. (5) Perujouko parametreita tehtyjä oletukia voidaa tetata tilatollieti otoke peruteella; k. lukua Tilatollite hypoteeie tetau. (6) Myö perujouko jakauma tyyppiä kokevia oletukia voidaa tetata tilatollieti otoke peruteella; k. lukua Yhteeopivuude, homogeeiuude ja riippumattomuude tetaamie. Ilkka Melli (004) 4/4
Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:
Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket / Tehtävät Aiheet: Avaiaat: Tetit uhdeateikolliille muuttujille Hypoteei, Kahde riippumattoma otoke t-tetit,
LisätiedotTilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)
Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,
LisätiedotVäliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Tetit uhdeateikolliille muuttujille Tetit laatueroateikolliille muuttujille
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
Lisätiedot7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut
7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotKuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,
Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotKertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.
5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41
LisätiedotMat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:
Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tilatollie aali peruteet, kevät 7 6. lueto: Johdatu regreioaalii Regreioaali idea Tavoitteea elittää elitettävä tekiä/muuttua havaittue arvoe vaihtelu elittävie tekiöide/muuttuie havaittue arvoe
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotTILASTOT: johdantoa ja käsitteitä
TILASTOT: johdatoa ja käsitteitä TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Tilastotietee tehtävää o esittää ja tulkita tutkimuskohteesee liittyvää havaitoaieistoa eli tilastoaieistoa. Tutkitaa valittua joukkoa ja se
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
Lisätiedot1 x 2 1 x 2 C 1 D. 1 x 2 C 1. x 2 C 1 C x2 D x 2 C 1; x 0: x 2 C 1 C 1. x 2 x 4 C 1 ja. x 4 C 1 D.x4 1/.x 4 C 1/
Matematiikan ja tilatotieteen valintakoetehtävien 9 ratkaiut Sivu. a). / 6,
LisätiedotStokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015
Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotVastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f
0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotKUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto
KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
Lisätiedot12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
Lisätiedot12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut
1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä
LisätiedotSisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.
Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie
LisätiedotPOSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI
S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotTL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut
TL536DSK-algoritmit (J. Laitie) 4. - 5..4 TTESN4X/4Z, TTESN5X/5Z Välikoe, ratkaiut a) Maiite väitää kaki digitaalite FIR-uotimie etua verrattua IIR-uotimii. b) Mite Reme-meetelmällä uuitellu FIR-uotime
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
LisätiedotTilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedot2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotRATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit
Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotTunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA
Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotValuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely
Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007
S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.
LisätiedotIntensiteettitaso ja Doplerin ilmiö
Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0
LisätiedotTalousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231
Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotParametrien oppiminen
38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)
LisätiedotViikkotehtävät IV, ratkaisut
Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
Lisätiedot3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisuja
3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,
LisätiedotHypoteesin testaus Alkeet
Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä
LisätiedotLuottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet
YLEMMÄT TOIMIHENKILÖT YTN RY OHJE YRY+K -ryhmä / Mko 19.8.2009 1 (13) Luottamumiehen / -valtuutetun valinta, aema ja oikeudet Siällyluettelo: Yleitä... 2 Oikeu luottamumiehen valintaan... 2 Luottamumiehen
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotValvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010
Valvotakortit Sovelletu Matematiika Erikoistyö Pastie Tommi 3.4. Tässä työssä perehdytää valvotakortteihi tilastollisessa laaduvalvoassa perusteoria ja esimerkkitapauste kautta. Sisältö Johdato... 3 Tilastollisesta
LisätiedotOtoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654
1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia TKK @ Ilkka Melli (6) 33
LisätiedotBM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8
(b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
LisätiedotTyö 55, Säteilysuojelu
Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja
LisätiedotX 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k
Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotKOHINAN JA VAIHEVIRHEEN VAIKUTUS VAIHEKOHERENTEILLA JÄRJESTELMILLÄ
KOHINAN JA VAIHVIRHN VAIKUTUS VAIHKOHRNTILLA JÄRJSTLMILLÄ Mie vaihee epävaruu vaikuaa kohereia ilaiua? Mikä o piloiigaali? 557A Tieoliikeeekiikka I Oa 6 Kari Kärkkäie Kevä 05 VAIHVIRHN YLINN ANALYYSI QSB
Lisätiedot