Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A"

Transkriptio

1 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie kekiarvo, Frekvei, Frekveijakauma, Geometrie kekiarvo, Harmoie kekiarvo, Hitogrammi, Itervalliateikko, Järjetyateikko, Järjetytuuluvut, Kekeie raja-arvolaue, Kekiarvo, χ -jakauma, Kvatitatiiviet muuttujat, Kvalitatiiviet muuttujat, Laatueroateikko, Luokiteltu frekvei-jakauma, Makimi, Mediaai, Miimi, Nomiaaliateikko, Normaalijakauma, Ordiaaliateikko, Oto, Otohajota, Otojakauma, Ototuuluku, Otovariai, Pylvädiagrammi, Stadardipoikkeama, Suhdeateikko, Suhteellie frekvei, Tilatollie muuttuja, Vaihteluväli, Vaihteluväli pituu, Variai, Välimatka-ateikko, Ykikertaie atuaioto 8.. Alla o lueteltu joukko tilatolliia muuttujia.. Maikoide C-vitamiiipitoiuu; ykikkö: mg/00 g. Alvari aukiolta löydety kavi laji 3. Paie, joka vaaditaa teräkie äiliö murtumiee; ykikkö: kg/cm 4. Hekilöide reaktio väitteeee Suome o liityttävä NATO:o mitattua ateikolla: täyi eri mieltä, yhde tekevää, täyi amaa mieltä 5. Jokereide ijoitu jääkiekkoliigaa; ateikkoa,, 3, 6. Teekkari koulutuohjelma 7. Teekkari älykkyyoamäärä äo-piteiä; ykikkö äo-pito 8. Teekkari pitemäärä kuri. välikokeea; ateikkoa 0,,,, Letokoee opeu; ykikkö: km/h (a) Mitkä ovat muuttujie -9 mitta-ateikot? Mitkä muuttujita -9 ovat kvalitatiiviia ja mitkä kvatitatiiviia? (c) Mitkä muuttujita -9 ovat dikreettejä ja mitkä jatkuvia? Ratkaiu: (a) Laatueroateikolliia muuttujia:, 6 Järjetyateikolliia muuttujia: 4, 5, 7, 8 Suhdeateikolliia muuttujia:, 3, 9 Ilkka Melli (004) /4

2 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Kvalitatiiviia muuttujia:, (4), (5), 6 Kvatitatiiviia muuttujia:, 3, (4), (5), 7, 8, 9 Kvalitatiivite ja kvatitatiivite muuttujie välimaatoa olevat järjetyateikolliet muuttujat o merkitty ulkuihi. (c) Dikreettejä muuttujia:, 4, 5, 6, 7, 8 Jatkuvia muuttujia:, 3, 9 Mitta-ateikot Mittau o tehty omiaali- eli laatueroateikolla, jo mittau kertoo mihi luokkaa mittauke kohde kuuluu. Mittau o tehty ordiaali- eli järjetyateikolla, jo mittau kertoo oko mittauke kohteella mitattavaa omiaiuutta eemmä tai vähemmä kui jollaki toiella kohteella. Mittau o tehty itervalli- eli välimatka-ateikolla, jo mittau kertoo kuika paljo kahde mitattava kohtee omiaiuudet eroavat toiitaa. Mittau o tehty uhdeateikolla, jo mittau kertoo kuika mota kertaa eemmä tai vähemmä mittauke kohteella o mitattavaa omiaiuutta kui jollaki toiella kohteella. Kvalitatiiviet ja kvatitatiiviet muuttujat Omiaiuutta ja itä kuvaavaa muuttujaa kututaa kvalitatiivieki, jo mittauke kohteet voidaa luokitella mittauke peruteella toiitaa eroavii kategorioihi tai luokkii. Kvalitatiiviia omiaiuukia kuvataa laatueroateikolliilla muuttujilla. Omiaiuutta ja itä kuvaavaa muuttujaa kututaa kvatitatiivieki, jo mittau tuottaa omiaiuude määrällie arvo. Kvatitatiiviia omiaiuukia kuvataa välimatka- tai uhdeateikolliilla muuttujilla. Dikreetit ja jatkuvat muuttujat Mitattavaa omiaiuutta vataava muuttuja o dikreetti, jo e voi aada vai erilliiä arvoja. Dikreettejä muuttujia ovat eimerkiki kaikki laatueroateikolliet, järjetyateikolliet ja lukumäärämuuttujat. Mitattavaa omiaiuutta vataava muuttuja o jatkuva, jo e voi aada kaikki arvot joltaki väliltä. Tällaiia muuttujia ovat eimerkiki ueimmat fyikaaliet uureet kute pituu, pitaala, tilavuu, paio, aika, opeu ja paie ekä mutta myö moet talouelämää kuvaavat uureet kute rahamäärä ja korko. Ilkka Melli (004) /4

3 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 8.. Erää talo aukkailla o euraavat kuukauitulot ( /kk): Määrää aieitota euraavat tuuluvut: (a) miimi, makimi vaihteluväli, vaihteluväli pituu (c) mediaai Ratkaiu: Kaikki määrättäviki pyydetyt tuuluvut ovat järjetytuulukuja tai iihi perutuvia tuulukuja. Järjetytuulukuje määräämitä varte havaiot o järjetettävä uuruujärjetykee pieimmätä uurimpaa: (a) Miimi ja makimi: Mi = 4300, Ma = 500 Vaihteluväli: (Mi, Ma) = (4300, 500) Vaihteluväli pituu: Ma Mi = = iitä (c) Etitää havaitoje mediaai Me. Mediaai Me jakaa havaitoaieito kahtee yhtä uuree oaa ite, että puolet havaitoarvoita, jotka eivät ole yhtä uuria kui mediaai, ovat mediaaia pieempiä, Ilkka Melli (004) 3/4

4 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A ja puolet iitä havaitoarvoita, jotka eivät ole yhtä uuria kui mediaai, ovat mediaaia uurempia. Oletetaa, että havaitoa o järjetetty uuruujärjetykee pieimmätä uurimpaa. (i) (ii) Jo o parito, ii mediaaiki valitaa havaitoarvo, joka löytyy paikata ( + )/ Jo o parillie, mediaaiki valitaa kahde kekimmäie havaio aritmeettie kekiarvo. Havaitoje lukumäärä o tää parillie, jote Me = ( )/ = Muodota tehtävä aieitota luokiteltu frekveijakauma, joka luokkaväleiä ovat (4000, 000] (00, 8000] (8000, 60000] Määrää myö frekveijakaumaa vataava hitogrammikuvio uorakaiteide korkeudet, ku luokkaväliä [4000, 000] vataava uorakaitee korkeudeki valitaa 5 ykikköä. Hahmottele myö ko. hitogrammikuvio ruudullielle paperille. Miä luokaa o jakauma moodi? Ratkaiu: Hitogrammikuvio muodotuu uorakaiteita, joide pita-alat uhtautuvat toiiia kute vataavat luokkafrekveit (tai uhteelliet luokkafrekveit). Luokkaväli Luokkafrekve i Suorakaitee korkeu (ykikköä) (4000, 000] 5 5 (000, 8000] 9 9/ = 9.5 (8000, 60000] /4 = 0.5 () Valitaa luokkavälii (4000, 000] liittyvä uorakaitee korkeudeki 5 ykikköä. () Luokkaväli (000, 8000] o kaki kertaa pitempi kui luokkaväli (4000, 000]. Siki luokkavälii (000, 8000] liittyvä uorakaitee korkeu aadaa jakamalla luokkaväliä vataava frekvei 9 luvulla. (3) Luokkaväli (8000, 60000] o eljä kertaa pitempi kui luokkaväli (4000, 000]. Siki luokkavälii (8000, 60000] liittyvä uorakaitee korkeu aadaa jakamalla luokkaväliä vataava frekvei luvulla 4. Ilkka Melli (004) 4/4

5 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Alla oleva kuvio eittää yo. luokiteltua frekveijakaumaa vataavaa hitogrammia. 5 f/ Jakauma moodi o luokaa (4000, 000], koka iiä hitogrammi aavuttaa makimia. Huomaa, että moodi ei ole luokaa (000, 8000], vaikka itä vataava frekvei o uuri. Huomautukia: (i) Hitogrammia uorakaiteide pita-alat eivät ii korkeudet ovat uhteea luokkafrekveeihi. (ii) Oikea laatu pytyakelille o frekvei/ : Vaaka-akeli laatu: Pytyakeli laatu: frekvei/ Suorakaitee pita-ala: frekvei/ = frekvei (iii) Hitogrammia uorakaiteide korkeudet ovat uhteea luokkafrekveeihi vai, jo luokitu o taavälie. Ilkka Melli (004) 5/4

6 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 8.4. Määrää tehtävä aieito kahde eimmäie arakkee 8 luvuta aritmeettie kekiarvo, otovariai ja otohajota. Ratkaiu: Lakutoimituket voidaa tehdä kahdella eri tavalla. Alla oleva tauluko muodotamiea o käytetty apua MS Ecel -ohjelmaa. Tuloket: Aritmeettie kekiarvo = 556 Otovariai = Otohajota = 900 Jo ko. tuulukuje lakemieki laaditaa tietokoeohjelma, lakutoimituket voidaa järjetää lakutavaa ii, että havaiot käydää läpi vai kerra, ku taa lakutavaa havaiot o käytävä läpi kaki kertaa. Se ijaa lakutava kaavat ovat umeerieti vakaampia kui lakutavaa. Palkka i -Ka (-Ka)^ ^ Summa Ka = 96.5 Tapa : Var = Hajota = Tapa : Var = Hajota = Ilkka Melli (004) 6/4

7 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Kaavat tehtävää 4: Lakutapaa liittyvät kaavat: = i= = i = i i= ( ) Lakutapaa liittyvät kaavat: = i= = i i= = i Tehtäviä 5 ja 6 ooitetaa, että aritmeettie kekiarvo ei ole aia käypä tuuluku Olet ottaut 0000 euro laia, jota ei aa lyhetää kahde eimmäie vuode aikaa. Laiaopimuke mukaa korko o. vuotea 0 % ja. vuotea 0 %, jolloi takaii makettava laiapääoma kavaa kahdea vuodea % (lake ). Oletetaa, että laiaopimuta muutetaa ii, että korkoa käytetää koko aja amaa korkoa, mutta tämä vakioa pidettävä korko valitaa ii, että takaii makettava laiapääoma ei kava eempää kui alkuperäie opimuke mukaa. (a) Huomautu: Totea, että / % ei ole uude opimuke vakiokorko. Totea, että oikea vakiokorko aadaa lakutoimitukella (.. ) 00 % -kohdaa ovelletaa geometrie kekiarvo kaavaa: Poitiivite lukuje,,, geometrie kekiarvo o G = Ilkka Melli (004) 7/4

8 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.) 0000 = 000 Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.) 000 = 300 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea 3 %. Sii = 3 %. (a) / % = 6 % 6 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.6) 0000 = 600 Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.6) 600 = 3456 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea % 3 %. (.. ) 4.89 % 4.89 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopua: ( ) 0000 = 489 Laiapääoma. vuode lopua: ( ) 600 = 300 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea 3 % Paikkakutie A ja B välimatka o 0 km. Hekilö ajaa A:ta B:he kekiopeudella 60 km/h ja B:tä A:ha kekiopeudella 0 km/h. (a) Huomautu: Totea, että kekiopeu edetakaiella matkalla ei ole (60+0)/ = 90 km/h Totea, että oikea kekiopeu aadaa lakutoimitukella kohdaa ovelletaa harmoie kekiarvo kaavaa: Poitiivite lukuje,,, harmoie kekiarvo H o H = i= i Ilkka Melli (004) 8/4

9 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: A: ja B: välimatka: 0 km Ajoaika A:ta B:he (60 km/h): 0/60 = h Ajoaika B:ta A:ha (0 km/h): 0/0 = h Matka edetakaii: 40 km Ajoaika edetakaii: + = 3 h Kekiopeu edetakaiella matkalla: 40/3 = 80 km/h (a) 90 km/h 80 km/h = 80 km/h (a) Koe valmitaa kuulalaakeri kuulia, joide halkaiijat vaihtelevat atuaieti oudattae ormaalijakaumaa parametrei µ = 0 mm, σ = 0.0 mm Kuulie joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 0. Olkoot X ja kuulie halkaiijoide aritmeettie kekiarvo ja otovariai otokea. Mitkä ovat aritmeettie kekiarvo X ja otovariai muuoke ( ) /σ jakaumat otokea? Ääetäjitä 5 % kaattaa puoluetta ABC. Ääetäjie joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 000. Mikä o puoluee ABC kaattajie uhteellie ouude approkimatiivie jakauma otokea? Ratkaiu: (a) Oletetaa, että havaiot X, X,, X muodotavat ykikertaie atuaiotoke ormaalijakaumata N(µ, σ ). Tällöi havaiot X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ): X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Ilkka Melli (004) 9/4

10 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo o X X i i = = ja otovariai o = ( Xi X ) i= Ym. oletukie pätieä aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa: otokea σ X N µ, ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa: Nyt ( ) σ µ = 0 mm σ = 0.0 mm χ ( ) σ = mm Site kuulie halkaiijoide aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa N(µ, σ /) parametreiaa µ = 0 mm σ = = mm 0 ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa vapauatei = 0 = 9 Huomaa, että havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo X variai o aia pieempi kui havaitoje variai, jo otokoko >. Liäki aritmeettie kekiarvo X variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. Olkoo A S joki otoavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = Pr(A) = p Poimitaa otoavaruudeta S ykikertaie atuaioto, joka koko o. Ilkka Melli (004) 0/4

11 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Olkoo f A-tyyppite alkioide frekvei eli lukumäärä otokea ja f pˆ = vataava uhteellie frekvei. Yo. oletukie pätieä uhteellie frekvei ˆp oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa: Nyt p pq ˆ a N p, A = Puoluee ABC kaattajie muodotama joukko kaikkie ääioikeutettuje joukoa S p = Pr(A) = Pr(Satuaieti valittu ääioikeutettu kaattaa puoluetta ABC) = 0.5 q = Pr(A c ) = Pr(A) = p = 0.75 Site puoluee ABC kaattajie uhteellie frekvei ˆp oudattaa otokea approkimatiivieti ormaalijakaumaa parametreiaa p = 0.5 pq = = = Huomaa, että uhteellie frekvei ˆp variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa (a) Miete pituu eräää maaa vaihtelee atuaieti oudattae ormaalijakaumaa parametrei µ = 80 cm, σ = 5 cm Miete joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 00. Olkoot X ja pituukie aritmeettie kekiarvo ja otovariai otokea. Mitkä ovat aritmeettie kekiarvo X ja otovariai muuoke ( ) /σ jakaumat otokea? Koee valmitamita muttereita 5 % o vialliia. Muttereide joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 00. Mikä o viallite muttereide uhteellie ouude approkimatiivie jakauma otokea? Ilkka Melli (004) /4

12 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: (a) Oletetaa, että havaiot X, X,, X muodotavat ykikertaie atuaiotoke ormaalijakaumata N(µ, σ ). Tällöi havaiot X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ): X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo o X X i i = = ja otovariai o = ( Xi X ) i= Ym. oletukie pätieä aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa: otokea σ X N µ, ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa: ( ) σ Tää µ = 80 cm σ = 5 cm σ = 5 cm χ ( ) Site pituukie aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa N(µ, σ /) parametreiaa µ = 85 cm σ 5 = = 0.5 cm 00 ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa vapauatei = 00 = 99 Huomaa, että havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo X variai o aia pieempi kui havaitoje variai, jo otokoko >. Liäki aritmeettie kekiarvo X variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. Ilkka Melli (004) /4

13 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Olkoo A S joki otoavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = Pr(A) = p Poimitaa otoavaruudeta S ykikertaie atuaioto, joka koko o. Olkoo f A-tyyppite alkioide frekvei eli lukumäärä otokea ja f pˆ = vataava uhteellie frekvei. Yo. oletukie pätieä uhteellie frekvei ˆp oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa: Nyt p pq ˆ a N p, A = Viallite muttereide muodotama joukko kaikkie koee valmitamie muttereide joukoa S p = Pr(A) = Pr(Satuaieti valittu mutteri o viallie) = 0.05 q = Pr(A c ) = Pr(A) = p = 0.95 Site viallite muttereide uhteellie frekvei ˆp oudattaa otokea approkimatiivieti ormaalijakaumaa parametreiaa p = 0.05 pq = = = Huomaa, että uhteellie frekvei ˆp variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. Ilkka Melli (004) 3/4

14 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Huomautukia tehtävii 7 ja 8: () Tehtävie 7 ja 8 lähtökohtaa ovat oletuket tutkimuke kohteea oleva atuaimuuttuja jakaumata ja e parametreita perujoukoa. () Tehtävie ideaa o kertoa iitä, millaiia ovat tavaomaite ototuulukuje jakaumat otokea, jo perujouko jakaumaa ja e parametreja kokevat oletuket pätevät. (3) Ototuulukuje jakaumia kokevat tuloket ovat kuiteki iiä mieleä epäoperatioaaliia, että käytäöä perujouko parametrit ei yleeä tueta. (4) Jo perujouko parametreja ei tueta, e pyritää etimoimaa eli arvioimaa otoke peruteella; k. lukua Tilatollite mallie parametrie etimoiti. (5) Perujouko parametreita tehtyjä oletukia voidaa tetata tilatollieti otoke peruteella; k. lukua Tilatollite hypoteeie tetau. (6) Myö perujouko jakauma tyyppiä kokevia oletukia voidaa tetata tilatollieti otoke peruteella; k. lukua Yhteeopivuude, homogeeiuude ja riippumattomuude tetaamie. Ilkka Melli (004) 4/4

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket Mat-.04 Tilatollie aalyyi peruteet. harjoituket / Tehtävät Aiheet: Avaiaat: Tetit uhdeateikolliille muuttujille Hypoteei, Kahde riippumattoma otoke t-tetit,

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?

Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit Mat-.03 Koeuuittelu ja tilatolliet mallit / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Tetit uhdeateikolliille muuttujille Tetit laatueroateikolliille muuttujille

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa, Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.4 Tilatollie aali peruteet, kevät 7 6. lueto: Johdatu regreioaalii Regreioaali idea Tavoitteea elittää elitettävä tekiä/muuttua havaittue arvoe vaihtelu elittävie tekiöide/muuttuie havaittue arvoe

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

TILASTOT: johdantoa ja käsitteitä

TILASTOT: johdantoa ja käsitteitä TILASTOT: johdatoa ja käsitteitä TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Tilastotietee tehtävää o esittää ja tulkita tutkimuskohteesee liittyvää havaitoaieistoa eli tilastoaieistoa. Tutkitaa valittua joukkoa ja se

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,

Lisätiedot

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f 0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude

Lisätiedot

TL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut

TL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut TL536DSK-algoritmit (J. Laitie) 4. - 5..4 TTESN4X/4Z, TTESN5X/5Z Välikoe, ratkaiut a) Maiite väitää kaki digitaalite FIR-uotimie etua verrattua IIR-uotimii. b) Mite Reme-meetelmällä uuitellu FIR-uotime

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen

Lisätiedot

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi. Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Parametrien oppiminen

Parametrien oppiminen 38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi

Lisätiedot

3 Lukujonot matemaattisena mallina

3 Lukujonot matemaattisena mallina 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet YLEMMÄT TOIMIHENKILÖT YTN RY OHJE YRY+K -ryhmä / Mko 19.8.2009 1 (13) Luottamumiehen / -valtuutetun valinta, aema ja oikeudet Siällyluettelo: Yleitä... 2 Oikeu luottamumiehen valintaan... 2 Luottamumiehen

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010 Valvotakortit Sovelletu Matematiika Erikoistyö Pastie Tommi 3.4. Tässä työssä perehdytää valvotakortteihi tilastollisessa laaduvalvoassa perusteoria ja esimerkkitapauste kautta. Sisältö Johdato... 3 Tilastollisesta

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia TKK @ Ilkka Melli (6) 33

Lisätiedot

BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8

BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8 (b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Tilastollinen todennäköisyys

Tilastollinen todennäköisyys Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,

Lisätiedot

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018 Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {

Lisätiedot

KOHINAN JA VAIHEVIRHEEN VAIKUTUS VAIHEKOHERENTEILLA JÄRJESTELMILLÄ

KOHINAN JA VAIHEVIRHEEN VAIKUTUS VAIHEKOHERENTEILLA JÄRJESTELMILLÄ KOHINAN JA VAIHVIRHN VAIKUTUS VAIHKOHRNTILLA JÄRJSTLMILLÄ Mie vaihee epävaruu vaikuaa kohereia ilaiua? Mikä o piloiigaali? 557A Tieoliikeeekiikka I Oa 6 Kari Kärkkäie Kevä 05 VAIHVIRHN YLINN ANALYYSI QSB

Lisätiedot