Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A"

Transkriptio

1 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie kekiarvo, Frekvei, Frekveijakauma, Geometrie kekiarvo, Harmoie kekiarvo, Hitogrammi, Itervalliateikko, Järjetyateikko, Järjetytuuluvut, Kekeie raja-arvolaue, Kekiarvo, χ -jakauma, Kvatitatiiviet muuttujat, Kvalitatiiviet muuttujat, Laatueroateikko, Luokiteltu frekvei-jakauma, Makimi, Mediaai, Miimi, Nomiaaliateikko, Normaalijakauma, Ordiaaliateikko, Oto, Otohajota, Otojakauma, Ototuuluku, Otovariai, Pylvädiagrammi, Stadardipoikkeama, Suhdeateikko, Suhteellie frekvei, Tilatollie muuttuja, Vaihteluväli, Vaihteluväli pituu, Variai, Välimatka-ateikko, Ykikertaie atuaioto 8.. Alla o lueteltu joukko tilatolliia muuttujia.. Maikoide C-vitamiiipitoiuu; ykikkö: mg/00 g. Alvari aukiolta löydety kavi laji 3. Paie, joka vaaditaa teräkie äiliö murtumiee; ykikkö: kg/cm 4. Hekilöide reaktio väitteeee Suome o liityttävä NATO:o mitattua ateikolla: täyi eri mieltä, yhde tekevää, täyi amaa mieltä 5. Jokereide ijoitu jääkiekkoliigaa; ateikkoa,, 3, 6. Teekkari koulutuohjelma 7. Teekkari älykkyyoamäärä äo-piteiä; ykikkö äo-pito 8. Teekkari pitemäärä kuri. välikokeea; ateikkoa 0,,,, Letokoee opeu; ykikkö: km/h (a) Mitkä ovat muuttujie -9 mitta-ateikot? Mitkä muuttujita -9 ovat kvalitatiiviia ja mitkä kvatitatiiviia? (c) Mitkä muuttujita -9 ovat dikreettejä ja mitkä jatkuvia? Ratkaiu: (a) Laatueroateikolliia muuttujia:, 6 Järjetyateikolliia muuttujia: 4, 5, 7, 8 Suhdeateikolliia muuttujia:, 3, 9 Ilkka Melli (004) /4

2 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Kvalitatiiviia muuttujia:, (4), (5), 6 Kvatitatiiviia muuttujia:, 3, (4), (5), 7, 8, 9 Kvalitatiivite ja kvatitatiivite muuttujie välimaatoa olevat järjetyateikolliet muuttujat o merkitty ulkuihi. (c) Dikreettejä muuttujia:, 4, 5, 6, 7, 8 Jatkuvia muuttujia:, 3, 9 Mitta-ateikot Mittau o tehty omiaali- eli laatueroateikolla, jo mittau kertoo mihi luokkaa mittauke kohde kuuluu. Mittau o tehty ordiaali- eli järjetyateikolla, jo mittau kertoo oko mittauke kohteella mitattavaa omiaiuutta eemmä tai vähemmä kui jollaki toiella kohteella. Mittau o tehty itervalli- eli välimatka-ateikolla, jo mittau kertoo kuika paljo kahde mitattava kohtee omiaiuudet eroavat toiitaa. Mittau o tehty uhdeateikolla, jo mittau kertoo kuika mota kertaa eemmä tai vähemmä mittauke kohteella o mitattavaa omiaiuutta kui jollaki toiella kohteella. Kvalitatiiviet ja kvatitatiiviet muuttujat Omiaiuutta ja itä kuvaavaa muuttujaa kututaa kvalitatiivieki, jo mittauke kohteet voidaa luokitella mittauke peruteella toiitaa eroavii kategorioihi tai luokkii. Kvalitatiiviia omiaiuukia kuvataa laatueroateikolliilla muuttujilla. Omiaiuutta ja itä kuvaavaa muuttujaa kututaa kvatitatiivieki, jo mittau tuottaa omiaiuude määrällie arvo. Kvatitatiiviia omiaiuukia kuvataa välimatka- tai uhdeateikolliilla muuttujilla. Dikreetit ja jatkuvat muuttujat Mitattavaa omiaiuutta vataava muuttuja o dikreetti, jo e voi aada vai erilliiä arvoja. Dikreettejä muuttujia ovat eimerkiki kaikki laatueroateikolliet, järjetyateikolliet ja lukumäärämuuttujat. Mitattavaa omiaiuutta vataava muuttuja o jatkuva, jo e voi aada kaikki arvot joltaki väliltä. Tällaiia muuttujia ovat eimerkiki ueimmat fyikaaliet uureet kute pituu, pitaala, tilavuu, paio, aika, opeu ja paie ekä mutta myö moet talouelämää kuvaavat uureet kute rahamäärä ja korko. Ilkka Melli (004) /4

3 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 8.. Erää talo aukkailla o euraavat kuukauitulot ( /kk): Määrää aieitota euraavat tuuluvut: (a) miimi, makimi vaihteluväli, vaihteluväli pituu (c) mediaai Ratkaiu: Kaikki määrättäviki pyydetyt tuuluvut ovat järjetytuulukuja tai iihi perutuvia tuulukuja. Järjetytuulukuje määräämitä varte havaiot o järjetettävä uuruujärjetykee pieimmätä uurimpaa: (a) Miimi ja makimi: Mi = 4300, Ma = 500 Vaihteluväli: (Mi, Ma) = (4300, 500) Vaihteluväli pituu: Ma Mi = = iitä (c) Etitää havaitoje mediaai Me. Mediaai Me jakaa havaitoaieito kahtee yhtä uuree oaa ite, että puolet havaitoarvoita, jotka eivät ole yhtä uuria kui mediaai, ovat mediaaia pieempiä, Ilkka Melli (004) 3/4

4 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A ja puolet iitä havaitoarvoita, jotka eivät ole yhtä uuria kui mediaai, ovat mediaaia uurempia. Oletetaa, että havaitoa o järjetetty uuruujärjetykee pieimmätä uurimpaa. (i) (ii) Jo o parito, ii mediaaiki valitaa havaitoarvo, joka löytyy paikata ( + )/ Jo o parillie, mediaaiki valitaa kahde kekimmäie havaio aritmeettie kekiarvo. Havaitoje lukumäärä o tää parillie, jote Me = ( )/ = Muodota tehtävä aieitota luokiteltu frekveijakauma, joka luokkaväleiä ovat (4000, 000] (00, 8000] (8000, 60000] Määrää myö frekveijakaumaa vataava hitogrammikuvio uorakaiteide korkeudet, ku luokkaväliä [4000, 000] vataava uorakaitee korkeudeki valitaa 5 ykikköä. Hahmottele myö ko. hitogrammikuvio ruudullielle paperille. Miä luokaa o jakauma moodi? Ratkaiu: Hitogrammikuvio muodotuu uorakaiteita, joide pita-alat uhtautuvat toiiia kute vataavat luokkafrekveit (tai uhteelliet luokkafrekveit). Luokkaväli Luokkafrekve i Suorakaitee korkeu (ykikköä) (4000, 000] 5 5 (000, 8000] 9 9/ = 9.5 (8000, 60000] /4 = 0.5 () Valitaa luokkavälii (4000, 000] liittyvä uorakaitee korkeudeki 5 ykikköä. () Luokkaväli (000, 8000] o kaki kertaa pitempi kui luokkaväli (4000, 000]. Siki luokkavälii (000, 8000] liittyvä uorakaitee korkeu aadaa jakamalla luokkaväliä vataava frekvei 9 luvulla. (3) Luokkaväli (8000, 60000] o eljä kertaa pitempi kui luokkaväli (4000, 000]. Siki luokkavälii (8000, 60000] liittyvä uorakaitee korkeu aadaa jakamalla luokkaväliä vataava frekvei luvulla 4. Ilkka Melli (004) 4/4

5 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Alla oleva kuvio eittää yo. luokiteltua frekveijakaumaa vataavaa hitogrammia. 5 f/ Jakauma moodi o luokaa (4000, 000], koka iiä hitogrammi aavuttaa makimia. Huomaa, että moodi ei ole luokaa (000, 8000], vaikka itä vataava frekvei o uuri. Huomautukia: (i) Hitogrammia uorakaiteide pita-alat eivät ii korkeudet ovat uhteea luokkafrekveeihi. (ii) Oikea laatu pytyakelille o frekvei/ : Vaaka-akeli laatu: Pytyakeli laatu: frekvei/ Suorakaitee pita-ala: frekvei/ = frekvei (iii) Hitogrammia uorakaiteide korkeudet ovat uhteea luokkafrekveeihi vai, jo luokitu o taavälie. Ilkka Melli (004) 5/4

6 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 8.4. Määrää tehtävä aieito kahde eimmäie arakkee 8 luvuta aritmeettie kekiarvo, otovariai ja otohajota. Ratkaiu: Lakutoimituket voidaa tehdä kahdella eri tavalla. Alla oleva tauluko muodotamiea o käytetty apua MS Ecel -ohjelmaa. Tuloket: Aritmeettie kekiarvo = 556 Otovariai = Otohajota = 900 Jo ko. tuulukuje lakemieki laaditaa tietokoeohjelma, lakutoimituket voidaa järjetää lakutavaa ii, että havaiot käydää läpi vai kerra, ku taa lakutavaa havaiot o käytävä läpi kaki kertaa. Se ijaa lakutava kaavat ovat umeerieti vakaampia kui lakutavaa. Palkka i -Ka (-Ka)^ ^ Summa Ka = 96.5 Tapa : Var = Hajota = Tapa : Var = Hajota = Ilkka Melli (004) 6/4

7 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Kaavat tehtävää 4: Lakutapaa liittyvät kaavat: = i= = i = i i= ( ) Lakutapaa liittyvät kaavat: = i= = i i= = i Tehtäviä 5 ja 6 ooitetaa, että aritmeettie kekiarvo ei ole aia käypä tuuluku Olet ottaut 0000 euro laia, jota ei aa lyhetää kahde eimmäie vuode aikaa. Laiaopimuke mukaa korko o. vuotea 0 % ja. vuotea 0 %, jolloi takaii makettava laiapääoma kavaa kahdea vuodea % (lake ). Oletetaa, että laiaopimuta muutetaa ii, että korkoa käytetää koko aja amaa korkoa, mutta tämä vakioa pidettävä korko valitaa ii, että takaii makettava laiapääoma ei kava eempää kui alkuperäie opimuke mukaa. (a) Huomautu: Totea, että / % ei ole uude opimuke vakiokorko. Totea, että oikea vakiokorko aadaa lakutoimitukella (.. ) 00 % -kohdaa ovelletaa geometrie kekiarvo kaavaa: Poitiivite lukuje,,, geometrie kekiarvo o G = Ilkka Melli (004) 7/4

8 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.) 0000 = 000 Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.) 000 = 300 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea 3 %. Sii = 3 %. (a) / % = 6 % 6 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.6) 0000 = 600 Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.6) 600 = 3456 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea % 3 %. (.. ) 4.89 % 4.89 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopua: ( ) 0000 = 489 Laiapääoma. vuode lopua: ( ) 600 = 300 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea 3 % Paikkakutie A ja B välimatka o 0 km. Hekilö ajaa A:ta B:he kekiopeudella 60 km/h ja B:tä A:ha kekiopeudella 0 km/h. (a) Huomautu: Totea, että kekiopeu edetakaiella matkalla ei ole (60+0)/ = 90 km/h Totea, että oikea kekiopeu aadaa lakutoimitukella kohdaa ovelletaa harmoie kekiarvo kaavaa: Poitiivite lukuje,,, harmoie kekiarvo H o H = i= i Ilkka Melli (004) 8/4

9 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: A: ja B: välimatka: 0 km Ajoaika A:ta B:he (60 km/h): 0/60 = h Ajoaika B:ta A:ha (0 km/h): 0/0 = h Matka edetakaii: 40 km Ajoaika edetakaii: + = 3 h Kekiopeu edetakaiella matkalla: 40/3 = 80 km/h (a) 90 km/h 80 km/h = 80 km/h (a) Koe valmitaa kuulalaakeri kuulia, joide halkaiijat vaihtelevat atuaieti oudattae ormaalijakaumaa parametrei µ = 0 mm, σ = 0.0 mm Kuulie joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 0. Olkoot X ja kuulie halkaiijoide aritmeettie kekiarvo ja otovariai otokea. Mitkä ovat aritmeettie kekiarvo X ja otovariai muuoke ( ) /σ jakaumat otokea? Ääetäjitä 5 % kaattaa puoluetta ABC. Ääetäjie joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 000. Mikä o puoluee ABC kaattajie uhteellie ouude approkimatiivie jakauma otokea? Ratkaiu: (a) Oletetaa, että havaiot X, X,, X muodotavat ykikertaie atuaiotoke ormaalijakaumata N(µ, σ ). Tällöi havaiot X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ): X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Ilkka Melli (004) 9/4

10 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo o X X i i = = ja otovariai o = ( Xi X ) i= Ym. oletukie pätieä aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa: otokea σ X N µ, ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa: Nyt ( ) σ µ = 0 mm σ = 0.0 mm χ ( ) σ = mm Site kuulie halkaiijoide aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa N(µ, σ /) parametreiaa µ = 0 mm σ = = mm 0 ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa vapauatei = 0 = 9 Huomaa, että havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo X variai o aia pieempi kui havaitoje variai, jo otokoko >. Liäki aritmeettie kekiarvo X variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. Olkoo A S joki otoavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = Pr(A) = p Poimitaa otoavaruudeta S ykikertaie atuaioto, joka koko o. Ilkka Melli (004) 0/4

11 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Olkoo f A-tyyppite alkioide frekvei eli lukumäärä otokea ja f pˆ = vataava uhteellie frekvei. Yo. oletukie pätieä uhteellie frekvei ˆp oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa: Nyt p pq ˆ a N p, A = Puoluee ABC kaattajie muodotama joukko kaikkie ääioikeutettuje joukoa S p = Pr(A) = Pr(Satuaieti valittu ääioikeutettu kaattaa puoluetta ABC) = 0.5 q = Pr(A c ) = Pr(A) = p = 0.75 Site puoluee ABC kaattajie uhteellie frekvei ˆp oudattaa otokea approkimatiivieti ormaalijakaumaa parametreiaa p = 0.5 pq = = = Huomaa, että uhteellie frekvei ˆp variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa (a) Miete pituu eräää maaa vaihtelee atuaieti oudattae ormaalijakaumaa parametrei µ = 80 cm, σ = 5 cm Miete joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 00. Olkoot X ja pituukie aritmeettie kekiarvo ja otovariai otokea. Mitkä ovat aritmeettie kekiarvo X ja otovariai muuoke ( ) /σ jakaumat otokea? Koee valmitamita muttereita 5 % o vialliia. Muttereide joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 00. Mikä o viallite muttereide uhteellie ouude approkimatiivie jakauma otokea? Ilkka Melli (004) /4

12 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: (a) Oletetaa, että havaiot X, X,, X muodotavat ykikertaie atuaiotoke ormaalijakaumata N(µ, σ ). Tällöi havaiot X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ): X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo o X X i i = = ja otovariai o = ( Xi X ) i= Ym. oletukie pätieä aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa: otokea σ X N µ, ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa: ( ) σ Tää µ = 80 cm σ = 5 cm σ = 5 cm χ ( ) Site pituukie aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa N(µ, σ /) parametreiaa µ = 85 cm σ 5 = = 0.5 cm 00 ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa vapauatei = 00 = 99 Huomaa, että havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo X variai o aia pieempi kui havaitoje variai, jo otokoko >. Liäki aritmeettie kekiarvo X variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. Ilkka Melli (004) /4

13 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Olkoo A S joki otoavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = Pr(A) = p Poimitaa otoavaruudeta S ykikertaie atuaioto, joka koko o. Olkoo f A-tyyppite alkioide frekvei eli lukumäärä otokea ja f pˆ = vataava uhteellie frekvei. Yo. oletukie pätieä uhteellie frekvei ˆp oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa: Nyt p pq ˆ a N p, A = Viallite muttereide muodotama joukko kaikkie koee valmitamie muttereide joukoa S p = Pr(A) = Pr(Satuaieti valittu mutteri o viallie) = 0.05 q = Pr(A c ) = Pr(A) = p = 0.95 Site viallite muttereide uhteellie frekvei ˆp oudattaa otokea approkimatiivieti ormaalijakaumaa parametreiaa p = 0.05 pq = = = Huomaa, että uhteellie frekvei ˆp variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. Ilkka Melli (004) 3/4

14 Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Huomautukia tehtävii 7 ja 8: () Tehtävie 7 ja 8 lähtökohtaa ovat oletuket tutkimuke kohteea oleva atuaimuuttuja jakaumata ja e parametreita perujoukoa. () Tehtävie ideaa o kertoa iitä, millaiia ovat tavaomaite ototuulukuje jakaumat otokea, jo perujouko jakaumaa ja e parametreja kokevat oletuket pätevät. (3) Ototuulukuje jakaumia kokevat tuloket ovat kuiteki iiä mieleä epäoperatioaaliia, että käytäöä perujouko parametrit ei yleeä tueta. (4) Jo perujouko parametreja ei tueta, e pyritää etimoimaa eli arvioimaa otoke peruteella; k. lukua Tilatollite mallie parametrie etimoiti. (5) Perujouko parametreita tehtyjä oletukia voidaa tetata tilatollieti otoke peruteella; k. lukua Tilatollite hypoteeie tetau. (6) Myö perujouko jakauma tyyppiä kokevia oletukia voidaa tetata tilatollieti otoke peruteella; k. lukua Yhteeopivuude, homogeeiuude ja riippumattomuude tetaamie. Ilkka Melli (004) 4/4

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa, Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f 0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010 Valvotakortit Sovelletu Matematiika Erikoistyö Pastie Tommi 3.4. Tässä työssä perehdytää valvotakortteihi tilastollisessa laaduvalvoassa perusteoria ja esimerkkitapauste kautta. Sisältö Johdato... 3 Tilastollisesta

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

7. Pyörivät sähkökoneet

7. Pyörivät sähkökoneet Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

LASKENTA laskentakaavat

LASKENTA laskentakaavat LASKENA lketkvt Kvkokoelm älle ivulle o koottu yleiiät j ueiite trvitut lketkvt. Näitä käytetää hihleveyde j keliväli lket. Liäki o koottu muutmi muuokvoj. Hhih mitoittmie käy helpoti Heomitoituohjelmll.

Lisätiedot

Tilastotieteen perusteet

Tilastotieteen perusteet VAASAN YLIOPISTO Tilastotieteeperusteet Luetoruko Christia Gustafsso SISÄLLYSLUETTELO 1. JOHDANTO... 3 1.1. Mitä tilastotiede o?... 3 1.. Tilastotietee historiaa... 4. HAVAINTOAINEISTO JA MITTAAMINEN...

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

1 LAMMIMUURIN RAKENNE JA OMINAISUUDET 2 2 KÄYTTÖKOHTEET 2 3 MUURITYYPIT 2 4 LASKENTAOTAKSUMAT 3 4.1 Materiaalien ominaisuudet 3 4.2 Maanpaine 3 4.

1 LAMMIMUURIN RAKENNE JA OMINAISUUDET 2 2 KÄYTTÖKOHTEET 2 3 MUURITYYPIT 2 4 LASKENTAOTAKSUMAT 3 4.1 Materiaalien ominaisuudet 3 4.2 Maanpaine 3 4. 1 LAIUURIN RAKENNE JA OINAISUUDET KÄYTTÖKOHTEET 3 UURITYYPIT 4 LASKENTAOTAKSUAT 3 4.1 ateriaalien ominaiuudet 3 4. aanpaine 3 4.3 uurin ketävyy npaineelle 4 4.4 Kaatumi- ja liukumivarmuu 5 4.4.1. Kaatumivarmuu

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA LUKION FYSIIKKAKILPAILU 0..009, ratkaiut PERUSSARJA Vataa huolellieti ja iititi! Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooite, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on 00 inuuttia.

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.

Lisätiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

BH60A0900 Ympäristömittaukset

BH60A0900 Ympäristömittaukset BH60A0900 Yäitöittauket Lakuhajoitu Kuiva ja kotea kaau, tilavuuvita ehtävä Savukaau läötila o 00 ja aie 99 kpa. ekittäviät kaaukooetit ovat 0 %, H 0 %, 0 % ja lout tyeä. ikä o a) kotea ja kuiva kaau tilavuukie

Lisätiedot

OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2

OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2 OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013

PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013 Näyttötutkio perusteet PUUNKORJUUN ERIKOISAMMATTITUTKINTO 2013 Määräys 8/011/2013 Määräykset ja ohjeet 2013:17 Opetushallitus ja tekijät Määräykset ja ohjeet 2013:17 ISBN 978-952-13-5458-8 (id.) ISBN 978-952-13-5459-5

Lisätiedot

Nokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille

Nokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille Nokian kaupungin tiedotulehti Kolmenkulman yritykille Hyvä nykyinen ja tuleva kolmenkulmalainen U ui yrityalueemme alkoi yntyä Öljytien varteen ijaitee Nokian puolella. Tampereella iitä on yli 200 heh-

Lisätiedot

JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI

JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI KILPAILUKYKYÄ INVESTOIJILLE JA YRITYKSILLE Jäämeren rautatie parantaa yrityten ja invetoijien toimintamahdolliuukia arktiella alueella. Uuia

Lisätiedot

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 1 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 9 10 8 18 20 21 22 23 24 25 26

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011 S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω

Lisätiedot

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) 2012/MAT814 ISSN 1797-3457 (vekkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2408-2 TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) Vaiheistettu heijastipita valemaalia Joha Ste, Päivi Koivisto, Ato Hujae, Tommi Dufva, VTT,

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. Jäykistävä CLT-seinä

Esimerkkilaskelma. Jäykistävä CLT-seinä Eimerilaelma Jäyitävä CLT-einä 30.5.014 Siällyluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3 - LEVYJÄYKISTEEN TIEDOT... - 3-3 ATERIAALI... - 4-4 PANEELILEIKKAUSKESTÄVYYS... - 4-5 LAELLIN LEIKKAUSKESTÄVYYS... - 5-6 LAELLIEN

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Raitiotien varikkoalueen asemakaavan nro 8600 viitesuunnitelma

Raitiotien varikkoalueen asemakaavan nro 8600 viitesuunnitelma S U U N N IT T EL U JA T EK N IIK K A TAMPEREEN KAUPUNKI Raitiotien varikkoalueen aemakaavan nro 8600 viiteuunnitelma Raportti FCG SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA OY P26458 Raportti 1 (6) Siällyluettelo 1 Yleitä...

Lisätiedot

KUITUPUUN PINO- MITTAUS

KUITUPUUN PINO- MITTAUS KUITUPUUN PINO- MITTAUS Ohje KUITUPUUN PINOMITTAUS Ohje perustuu maa- ja metsätalousministeriön 16.6.1997 vahvistamaan pinomittausmenetelmän mittausohjeeseen. Ohjeessa esitettyä menetelmää sovelletaan

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset SMG-4200 Sähkömagneettiten järjetelmien lämmöniirto Harjoituken 1 ratkaiuehdotuket Vata 1800-luvun puoliväliä ymmärrettiin että lämpöenergia on atomien ja molekyylien atunnaieen liikkeeeen värähtelyyn

Lisätiedot

( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT

( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT 4 HAJOTUSTHTÄVÄ SÄHKÖST PUSSUUT -auton akku (84 V, 700 mah on ladattu täyteen Kuinka uuri oa akun energiata kuluu enimmäien viiden minuutin aikana, kun oletetaan moottorin ottavan vakiovirran 5 A? Oletetaan

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todeäköisyys ja se laskusääöt Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyys ja se laskusääöt 1. Johdato 2. Joukko opi peruskäsitteet 3. Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet 4. Todeäköisyyslaskea peruslaskusääöt 5. Klassie

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn

Lisätiedot

Tarpeenmukainen ilmanvaihto

Tarpeenmukainen ilmanvaihto YLEISKUVAUS Tarpeenmukainen ilmanvaihto Huipputuotteet tarpeenmukaieen ilmanvaihtoon! www.wegon.com Tarpeenmukainen ilmanvaihto tarjoaa hyvän viihtyiyyden ja pienet käyttökutannuket Kun huone on käytöä,

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

Äänen nopeus pitkässä tangossa

Äänen nopeus pitkässä tangossa IXPF24 Fyiikka, ryhälaboratoriotyö IST4S1 / E1 / A Okanen Janne, Vaitti Mikael, Vähäartti Pai Jyväkylän Aattikorkeakoulu, IT-intituutti IXPF24 Fyiikka, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pai Repo Äänen nopeu

Lisätiedot

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit 7.48 TY Juha Pyrhönen 7. Tahtikone Tahtikoneet muootavat kokonaien ähkökoneperheen. Päätyyppejä ovat vieramagnetoiut tahtikoneet, ynkroniet reluktanikoneet ja ketomagneettitahtikoneet. Vieramagnetoiut

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen

Lisätiedot

Kertaustehtäviä. Luku 1. Physica 3 Opettajan OPAS

Kertaustehtäviä. Luku 1. Physica 3 Opettajan OPAS (4) Luku 57. a) Mekaaniea poikittaiea aaltoliikkeeä aineen rakenneoat värähtelevät eteneiuuntaan vataan kohtiuoraa uunnaa. Eierkkejä ovat uun uaa jouen poikittainen aaltoliike tai veden pinnan aaltoilu.

Lisätiedot

Triathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner

Triathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner 12 viikon kilpailuuunnitelma--kilpailumatka: printti Urheilijan tao: aloitteleva urheilija, 1 tai 2 vuoden kokemu printtitriathlonkilpailuita Tunteja viikoa: 5-6 Tätä harjoituuunnitelmaa käytetään Garminin

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille. Heikki Ruskeepää

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille. Heikki Ruskeepää Todeäköisyyslasketa sivuaieopiskelijoille Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 5 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 7 1.4 Ehdollie todeäköisyys 12

Lisätiedot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

1. Oheinen kuvio esittää kolmen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona.

1. Oheinen kuvio esittää kolmen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. Fotoni 4 Kertau - 1 Kertautehtäviä Luku 1 1. Oheinen kuvio eittää kolen pyöräilijän A, B ja C paikkaa ajan funktiona. a) Kuka on kulkenut piiän atkan aikavälinä 0...7? b) Milloin B aavuttaa C:n? c) Kenellä

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005 Dro 1345/01/2005 Määräys sähköverkkotoimia tuuslukuje julkaisemisesta Aettu Helsigissä 2 päivää joulukuuta 2005 Eergiamarkkiavirasto o määräyt 17 päivää maaliskuuta 1995 aetu sähkömarkkialai (386/1995)

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004 MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 004 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6. Loppukoe 8.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2002

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2002 MAOL-Piteityhjeet Fyiikka kevät 00 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -/3 p - lakuvirhe, epäielekä tul, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuer liikaa -0

Lisätiedot

MIKROAALTOUUNI VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Tuomas Karri i78953 Jussi Luopajärvi i80712 Juhani Tammi o83312

MIKROAALTOUUNI VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Tuomas Karri i78953 Jussi Luopajärvi i80712 Juhani Tammi o83312 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Tuomas Karri i78953 Jussi Luopajärvi i80712 Juhani Tammi o83312 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria MIKROAALTOUUNI Sivumäärä: 12 Jätetty tarkastettavaksi:

Lisätiedot