DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 6, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

Transkriptio

1 DEE- ineaarie järjeelmä Harjoiu 6, harjoiuenpiäjille arkoieu rakaiuehdouke Tää harjoiukea käiellään aplace-muunnoa ja en hyödynämiä differeniaaliyhälöiden rakaiemiea Tehävä Määrielmän mukaan funkion f aplace-muunno aadaan lauekkeea - ( ) f F ò f e, - joa on aplace-muunnokeen liiyvä poiiivinen vakio Koka ällä kurilla rajoiuaan arkaelemaan ellaiia järjeelmiä, joka käynniyvä ajanhekellä, aplace-muunnokea eiinyvän inegroinnin alaraja voidaan muuaa nollaki Täen funkion f aplace-muunno voidaan kirjoiaa muodoa ( ) ò - f F f e Muodoeaan kohdia (a)-(d) eiinyvien ermien aplace-muunnoke yllä olevaan määrielmään peruuen (a) Tää ehävää on arkoiu hakea vakioermin, eli ajaa riippumaoman ermin, aplace-muunno Tällaiia ermejä eiinyy differeniaaliyhälöiden epähomogeeniuuermeiä Vakioermin a aplace-muunnokeki aadaan é ù ( a) òae aòe a e a - ê ú, - ë - û a ja amalla uli johdeua opikelijoille jaeavan aplace-aulukon koha (b) Tääkin ehävää haeaan differeniaaliyhälön epähomogeeniuuermin aplacemuunno Termin 3 aplace-muunnokea arviaan oiaiinegroinia: ò3e 3ò e ò f ' g fg-ò g' f, ì ì g ' g f ' e f e î î é - - ù é ù - é e e e 3 æ öù ò ê - ò e 3 ú ê - - ú ê-ç - ú ë - - û ê - ú ë è øû ë û Muodoeu laueke vaaa aplace-aulukon kohaa

2 (c) Edelleen käiellään differeniaaliyhälön epähomogeeniuuermien aplacemuunnokia Termin e -/ aplace-muunnokeki aadaan æ ö æ ö / - / - ç ç è ø è ø ò ò ( e ) e e e e - æ ö æ ö - ç ç + è ø è ø, joka vaaa aplace-aulukon kohaa 3 (d) Kohdia (a)-(c) käieliin differeniaaliyhälön epähomogeeniuuermin aplacemuunnoa Tää ehävää haeaan differeniaaliyhälön rakaiavan muuujan derivaaaermin aplace-muunno Jo eimerkiki arkaellaan differeniaaliyhälöä di( ) d i i + -, rakaiavan muuujan i aplace-muunno on ykinkeraiei I Tällöin on ii voimaa laueke - ( ) i ò i e I Ny kyymy kuuluu, mien differeniaaliyhälöä eiinyvien i:n derivaaaermien aplace-muunnoke aadaan lauuua I:n avulla Tähän kyymykeen haeaan euraavaa vaaua muodoamalla i:n oien keraluokan aikaderivaaaermin aplace-muunno määrielmään peruuen: - - ì g e ìg' e - æd i( ) ö d i( ) - ç e ò ò f ' g fg-ò g' f, d i è ø di f ' f î î d i ( ) di ( ) di ( ) di di ( ) - ò e e - ò e (- ) - + ò e ähdeiin liikkeelle ilaneea, joa inegroiavana oli oien aeen aikaderivaaaa iäläny ermi Oiaiinegroinnin euraukena derivaaan ae on onniuu pienenämään enimmäien keraluokan aikaderivaaaki Jo oiaiinegroinia käyeään vielä kerran, inegraalia eiinyvää aikaderivaaaa pääään eroon Tällöin pääään ilaneeeen, joa alkuperäien oien keraluokan derivaaaermin aplace-muunno pyyään lauumaan I:n avulla Käyeään ii viimeieen ermiin uudelleen oiaiinegroinia: - ì g e - ì g' e - di f ' î f i î æ è d i ç ö di di ò e ø

3 di é ù di é ù - + ê i e - i e - ú - + ê - i + i e ë û ë úû ò ò di i I - - Muodoeua lauekea ei ellaienaan löydy aplace-aulukoa, mua kyeeä on kuienkin läheinen ukulainen aulukon kohdalle 3, joka eiää enimmäien keraluokan aikaderivaaan aplace-muunnoken Tehävä Tehävänannoa pyydeään rakaiemaan kondenaaorin jännie y Siki enimmäinen ehävä on muodoaa differeniaaliyhälö kondenaaorin jännieelle Kun kykennälle kirjoieaan Kirchhoffin jännielain mukainen yhälö ( ³ ), aadaan di i + + y U Joa aadaan muodoeua differeniaaliyhälö y:lle, muuujaa i on pääävä eroon Koka kaikki komponeni ova arjaa, i:n ja y:n välinen riippuvuu aadaan kondenaaorin vira-jännie-yhälöä: dy i Kun ämä ijoiu ehdään alkuperäieen differeniaaliyhälöön, aadaan: d y( ) dy + + y U Yllä oleva yhälö on differeniaaliyhälö unemaomia muuujia y:lle, illä iinä ei eiinny muia Kun differeniaaliyhälöiä rakaiaan aplace-muunnokella, on eriäin uoavaa, eä yhälö muokaaan ennen aplace-muunnoa iihen muooon, joa korkeimman derivaaaermin edeä oleva kerroin on ykkönen Jo ää ei ehdä, oamurokehielmävaiheea ulee helpoi ehyä huolimaomuuvirhe Kun differeniaaliyhälö jaeaan :llä, aadaan: U && y + y& + y ukuarvo ijoiamalla aadaan 6 8 && y + 5y& + 4 y 4 Sien ehdään aplace-muunno: 3

4 8 dy ë - ùû + dy dy i Û i 6 Y y 5 éy y 4 Y y 4, Jälkimmäien alkuehdon arvo ulee iiä, eä piirin vira on nolla, kun kykin on auki Kun kykin uljeaan ajanhekellä, vira on edelleen nolla ällä kyeiellä ajanhekellä, illä vira ei voi muuua epäjakuvai Kun alkuarvo ijoieaan paikalleen, aadaan: é ù Y ë û Û Y Y on vielä kääneimuunneava, joa aadaan aikaaon rakaiu y Yllä olevalle muodolle ei löydy aikaaon vainea aplace-aulukoa, joen arviaan jälleen oamurokehielmää Nimiäjä on enin jaeava ekijöihinä Harjoiuenpiäjille arkoieu liäinfo alkaa Aiemmin oli puhea iiä, eä differeniaaliyhälö on aaeava muooon, joa korkeimman derivaaaermin edeä on kerroin yki Kun näin oimiaan, :n korkeina aea olevan ermin keroimeki ulee nimiäjään ykkönen Tämä on ärkeää, kun nimiäjää aleaan jakaa ekijöihinä, illä muua apaukea ekijöihin jaoa ulee helpoi ehyä huolimaomuuvirhe Tarkaellaan ää ykinkeraien eimerkin avulla Jo nimiäjää on eimerkiki polynomi + -, en nollakohdiki aadaan - ja 5 Jo nimiäjää onkin polynomi + 5-5, en nollakohdiki aadaan ama - ja 5 Ny ekii mieli kirjoiaa molemma edellä mainiu polynomi ekijöihinä jaeuina muodoa ( + )( - 5) Tämä muoo päee jälkimmäielle polynomille, joa korkeina aea olevan -ermin kerroin on yki Aiempaa polynomia, joa :n kerroin on kaki, ei kuienkaan voida kirjoiaa muodoa ( + )( - 5), illä joa ermien keroime ämäävä, ekijöihin jako on kirjoieava muodoa ( + )( - 5) Tää on ii yy iihen, miki differeniaaliyhälö kannaaa ennen aplace-muunnoa aaaa muooon, joa korkeimman derivaaaermin kerroin on yki Harjoiuenpiäjille arkoieu liäinfo loppuu Jaeaan Y:n lauekkeen nimiäjä ekijöihinä, joa aadaan ehyä oamurokehielmä: ì Û - Y î - ( + )( + 4) 4 A B A( + )( + 4) + B( + 4) + ( + )

5 ì A+ B+ 4 ìa 5 5A+ 4B+ Û B î 4 A 4 î Y Ny kääneimuunnokeki aadaan aplace-aulukon kohien ja avulla: y e e - +, ³ Kondenaaorin yli oleva jännie läheyy ii ajan funkiona lähdejännieen arvoa V Tehävä 3 Muodoeaan paiivikomponenien aplace-muunnoke vira-jännie-yhälöiden perueella Vau: u i i -muunno U I u U -muunno I Käämi: Aikaaon reiani äilyy muuumaomana aplace-aoa riippumaa iiä, kirjoieaanko Kirchhoffin viralain vai jännielain mukaiia yhälöiä di -muunno U ( I - i ) I -i u i u i ò + -muunno I U i + Jännieyhälöä kirjoieaea aikaaon indukani korvauuu aplace-aoa impedanin ja jännieläheen i arjaankykennällä Huomaa jännieläheen uuna! Virayhälöä kirjoieaea aikaaon indukani korvauuu aplace-aoa impedanin ja viraläheen i / rinnankykennällä Kondenaaori: du i u i u -muunno I ( U - u ) U -u ò + -muunno U I u + Virayhälöä kirjoieaea aikaaon kapaiani korvauuu aplace-aoa impedanin / ja viraläheen u rinnankykennällä Huomaa viraläheen uuna! Jännieyhälöä kirjoieaea aikaaon kapaiani korvauuu aplace-aoa impedanin / ja jännieläheen u / arjaankykennällä 5

6 Ny, kun komponenien vira-jännie-yhälö on aplace-muunneu, piiri voidaan muunaa joko jännie- (ilmukkavira) ai viralain (olmupie) arpeiiin (a) Kun ehävä rakaiaan ilmukkavirameneelmällä, kirjoieava yhälö peruuva Kirchhoffin jännielakiin Toiin anoen ilmukkavirameneelmää käyeäeä piiri aplace-muunneaan ykköehävän jännieyhälömuodon perueella aplacemuunneu piiri näyää euraavanlaiela Kun piirin molempiin ilmukoihin valiaan myöäpäivään kierävä ilmukkavira, ilmukkavirayhälöiki aadaan ì u E I + éi - I ù+ éi - I ù+ ë û ë û u I -i - + éi - I ù+ éi - I ù î ë û ë û (b) Kun ehävä rakaiaan olmupiemeneelmällä, kirjoieava yhälö peruuva Kirchhoffin viralakiin Toiin anoen olmupiemeneelmää käyeäeä piiri aplace-muunneaan ykköehävän virayhälömuodon perueella aplacemuunneu piiri näyää euraavanlaiela Piiriä on kolme eriuura poeniaalia Yki kykennän yläreunaa, oinen alareunaa ja kolma vauken alareunaa Kiinnieään referenipoeniaali V kykennän alareunaan Olkoon yläreunan poeniaali V ja vauken alapuolella oleva poeniaali V Kun näille olmuille kirjoieaan olmupiemeneelmän mukaie yhälö, aadaan 6

7 - - - ìv V V V i E V -V V - + u( ) î ( ) Tehävä 4 (luenomonieen ehävä 55) aplace-muunno on käevä yökalu differeniaaliyhälöryhmien rakaiemiea, koka differeniaaliyhälöiden rakaieminen muuuu ällöin algebrallien yhälöiden rakaiemieki aplace-muunneaan yhälöpari puoliain ja haeaan enin x:n ja y:n muunnoaon rakaiu: ì ì x & + 4x + y & + y X - x + 4X + Y - y + Y î x + y& + y î X + Y - y + Y ì X [ + 4] + Y[ + ] + Û î X + Y[ + ] Kun yhälö vähenneään oiiaan, aadaan + X[ + 4 ]-X + Û X[ + ] Û Tämän jälkeen Y:ki aadaan ( + ) ( + ) X Y -X + - ( + ) -4 + ( + ) ( + ) Välihuomauu alkaa uennolla on käyy läpi n Heaviiden meneelmä, jolla aadaan rakaiua oamurokehielmän keroime i huomaavan nopeai varinkin illoin, kun nimiäjää :n ae on korkea Keroime aadaan lauekkeea: i - a F i i a Tehdään oamurokehielmä X:lle ja Y:lle, ja rakaiaan keroime Heaviiden meneelmällä X:lle voidaan kirjoiaa X ( + ) Kerroin aadaan elville, kun X kerroaan :llä ja ehdään ijoiu : 7

8 ( ) ( ) Vaaavai löyyy, kun X kerroaan ( + ):lla ja ehdään ijoiu -: ( ) Samalla avalla aadaan Y:n oamurokehielmän keroime 3 ja 4 : Y Heaviidella aadaan: , ( + ) + 4 ( ) ( + ) Välihuomauu pääyy Tänä keväänä luennoilla ei ole käyy Heaviidea, joen oamurokehielmä kannaaa ehkä ehdä ihan perineiellä avalla Ny aadaan ehyä kääneimuunno aplace-aulukon kohien ja 3 avulla: ì X Y + î + x( ) ì + e îy - + e - -, ³ Tehävä 5 Kirjoieaan piirille Kirchhoffin jännielain mukainen yhälö, kun kykin on avau: di ( ) i u E + + Û Û di ( ) di E-u + i + i I i I I + i + i + u E ò aplace-muunno E-u E-u I - i + I + I é ù E-u I ê i ë ú û Û Û ò : 8

9 I Û Û I é ù E- u + i ê + + ë ú û E - u + i + + akaiaan alkuarvo u ja i Jakuvuuilaa käämi vaaa oikoulkua ja kondenaaori poikki olevaa haaraa, joen virran i arvo ennen kykimen avaamia aadaan Kirchhoffin jännielain mukaiea yhälöä - E Û i ( ) i E Kun kykin on kiinni, kondenaaorin yli oleva jännie on ama kuin :n yli oleva jännie Tai arkemmin anouna :n yli oleva jännie on :n ja :n arjaankykennän yli, mua koka kyeieä haaraa ei kulje vira, :n yli ei ole jännieä Täen kondenaaorin jännieen alkuarvo on E u E I voidaan ny kirjoiaa muodoa I E- E+ E E oppuarvoeoreemalla aadaan limi lim I lim E + + ( ) 9