4.3 Liikemäärän säilyminen

Transkriptio

1 Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla. Jo törmäy ei ole uora, e on vino. Jo törmäävät kappaleet kimmahtavat törmäyken jälkeen erilleen muuttamatta muotoaan lopullieti, puhutaan kimmoiata törmäyketä (elatic colliion). Jo taa kappaleet takertuvat törmäykeä kiinni toiiina, kyeeä on kimmoton törmäy (inelatic colliion). Kimmoian törmäyken tapaukea myö liike-energia äilyy. Kimmottomankaan törmäyken tapaukea energia ei katoa mihinkään, mutta en tiedon hyödyntäminen on paljon mutkikkaampaa kuin kimmoian törmäyken tapaukea. Toiaalta, täyin tyylipuhtaita kimmoiia törmäykiä löytyy vain atomien maailmata. Jo olet pelannut biljardia, koronaa tai vaikkapa jääkiekkoa, inulla ei liene vaikeukia ukoa, että ainakin mainittujen pelien tuokinaa liikemäärä äilyy törmäykiä on pelitilanne kuinka kuuma tahana. Korotan tämän havainnon luonnonlain aemaan, en toki enimmäienä maailmaa. Liikemäärän äilymilaki (conervation of momentum) Suljetun yteemin liikemäärä äilyy. Tarkatellaan kappaleita m A ja m B ekä niitten impuleja, jotka ovat vataavati p A ja p B. Tällöin liikemäärän äilymilaki aa muodon Liikemäärän äilymilaki (conervation of momentum) p A p B = 0 Tämän lain käyttöalue ei rajoitu tietenkään ainoataan kahden kappaleen tilanteiiin. Voidaankin anoa yleieti, että alkutilanteen kaikkien liikemäärien umma on ama kuin lopputilanteen liikemäärien umma. Kirjoitetaan tämä vielä kahden kappaleen m A ja m B tilanteea muotoon m A v A m B v B =m A u A m B u B, miä v A, v B, u A ja u B ovat nopeudet ennen vuorovaikututa ja en jälkeen. Siinä kaavat ja nyt kokeillaan! Eimerkki 55 Korona on biljardia muituttava peli, jota pelataan niin, että lätkää lyödään kepillä ja yritetään aada oumaan nappulaan niin, että nappula menee puiin. Oletetaan, että koronalätkän maa on 15 g ja nappulan maa 7 g. Lätkä ouu nappulaan vauhdilla 0,8 m/ nappulaan. Oletetaan uora ja 1(7)

2 kekeinen ekä täyin kimmoia törmäy. Mitä tapahtuu? Merkitään lätkää m L :llä ja nappulaa m N :llä. Indekoidaan merkinnät ilmeiellä tavalla. Koka liikemäärä äilyy, niin m L v L =m N v N v N = m L m N v L =1,7 m. Vatau: Lätkä pyähtyy ja nappula lähtee lätkän alkuperäieen uuntaan vauhdilla 1,7 metriä ekunnia. Eimerkki 56 Kiväärinluoti ammutaan oralla täytettyyn laatikkoon niin, että en laatikolle antaman impulin uunta on tarkati vaakauora ja laatikon pituuakelin uuntainen. Laatikko roikkuu maattomien lankojen varaa ja e pääee heilumaan kannatinlankojen varaa vapaati. Laatikon ja en iältämän oran yhteenlakettu maa on 7,4 kg (ballitinen heiluri, ballitic pendulum). Kiväärinluodin maa on 8,0 grammaa. a) Mikä on oumihetkellä luodin nopeu vaakauunnaa, jo laatikko heilahtaa 2,7 entin korkeuteen? b) Kuinka uuri on luodin alkuperäinen liike-energia? c) Kuinka uuri oa luodin liike-energiata muuttuu heilurin mekaanieki energiaki? = 8g m 1 = 7,4 kg v 0 a) Merkitään luodin maaa kirjaimella ja laatikon maaa kirjaimella m 1 ekä luodin nopeutta kirjaimella v 0. Koka luodin ja laatikon törmäykeä liikemäärä äilyy, aadaan yhtälö = v 1, (1) kun luodin ja laatikon yhteinen nopeu on v 1. Huomaa, että mekaaninen energia ei äily luodin ja 2(7)

3 laatikon törmäykeä, mutta törmäyken jälkeen ii kun luoti on pyähtynyt laatikoa ja luoti ja laatikko liikkuvat yhtenä maana liike-energia äilyy heilahduken aikana. Täten laatikon ja luodin maan liike-energia heilahduken alimmaa piteeä eli kun laatikon ja luodin mekaaninen energia on kokonaan liike-energiana tämän energian täytyy olla yhtä uuri kuin iinä vaiheea kuin heiluri on ratana ylimmää piteeä eli yhtä uuri kuin heilurin uurin potentiaalienergia. Kun merkitään laatikon nouua h:lla, niin aadaan 1 2 m m v = g h. (2) Yhtälötä (1) aadaan, että v 1 = ja yhtälötä (2), että joten v 1 = 2 g h, = 2 g h v 0 = 2 g h =674 m. Vatau: Luodin nopeu ennen törmäämitä on 674 metriä ekunnia. b) Luodin liike-energian määrä on E kin = 1 2 m v 2 0=1816 J. Vatau: Luodin liike-energian määrä on 1816 joulea. c) Laatikko heilahtaa kuvaa oikealle ja ylö kunne kaikki en aama liike-energia on muuttunut potentiaalienergiaki. Laatikon ja luodin yhteinen mekaaninen energia on ii E pot = g h=2,0 J, 3(7)

4 joten heilurin mekaanieki energiaki muuttui 2,0 J 1816 J =0,1 %. Vatau: Mekaanieki energiaki muuttui 2,0 J 1816 J =0,1 proenttia. Eimerkki 57 Luoti liikkuu vaakauunnaa amaan tapaan kuin Eimerkiä 56 eli kyeeä on ballitinen heiluri. Luodin nopeu oumihetkellä on 767 metriä ekunnia ja en maa on 8,5 grammaa. Laatikon ja en iältämän oran yhteenlakettu maa on 6,3 kg. Kuinka ylö laatikko heilahtaa? Käytän tää eimerkiä vataavia merkintöjä kuin Eimerkiä 56: Merkiten luodin maaa kirjaimella ja laatikon maaa kirjaimella m 1 ekä luodin nopeutta kirjaimella v 0. Koka luodin ja laatikon törmäykeä liikemäärä äilyy, aadaan yhtälö = v 1, kun luodin ja laatikon yhteinen nopeu on v 1, joten v 1 = =1,0 m. (3) Huomaa taa, että mekaaninen energia ei äily luodin ja laatikon törmäykeä, mutta heilahduken aikana liike-energia äilyy. Laatikon ja luodin yhteien maan liike-energia heilahduken alimmaa piteeä eli kun laatikon ja luodin mekaaninen energia on kokonaan liike-energiana, tämän energian täytyy olla yhtä uuri kuin iinä vaiheea kuin heiluri on ratana ylimmää piteeä eli yhtä uuri kuin heilurin uurin potentiaalienergia. Kun merkitään laatikon nouua h:lla, niin aadaan 1 2 v 1 2 = g h, jota yhdeä yhtälön (3) kana, että m h= m m v m v g = 0 2 g Vatau: Laatikko heilahtaa noin 5,4 enttiä ylö lepotilata. 2 = 2 2 g 2 =0,054 m (4) 4(7)

5 Eimerkki 58 Kotivalo on peikentällä hiomaa lyöntejään, kun pallo tulee vaakauoraan kohti nopeudella 180 km/h. Hän kajauttaa itä mailalla niin, että e lähtee mailata 35 atetta yläviitoon nopeudella 216 km/h. a) Lake lyönnin voiman palloon kohditama impuli b) Jo mailan ja pallon kohtaaminen ketää 2 m, niin kuinka uuri on kekimääräinen voima, joka kohdituu palloon? c) Lake mailan aama impuli. Peäpallon maaki oletetaan 165g. Piirrän enin tilanteeta kaaviokuvat, joita näet myö koordinaatitonvalintani. Merkiten pallon lähtöliikemäärää vektorilla p 0 (kuvaa: p 0 ) ja en liikemäärää mailanikun jälkeen vektorilla p 1 (kuvaa: p 1 ). p 1 p 0 α = 35 x Piirrän vielä toien kuvan, johon laitan näkyviin impulivektorin, jonka vaikutuketa pallon liikemäärä muuttui. Piirrän vektorit fyikaalien todelliuuden ooittamiin kohtiin. Φ p 1 p 0 I Φ x 5(7)

6 Tämän jälkimmäien kuvan vektori I: I = p 1 p 0. a) Pallon liikemäärän lyönnin jälkeiet komponentit ovat: x: m v 1 co =0,165 kg 60 m kgm co 35 =8,110 y: m v 1 in =0,165 kg 60 m kgm in 35 =5,678 Valitua koordinaatitoa alkuperäien liikemäärän y akelin uuntainen komponentti on nolla ja vain x komponentti eroaa nollata. Alkuperäinen liikemäärä p 0 on ii p 0 = m i = 0,165 kg 50 m i= 8,25 kgm Nyt voin lakea impulin I. Sen komponentit ovat: x: I x = p 1x p 0x =8,110 kgm kgm 8,25 =16,360 kgm y: I y = p 1y p 0y =5,678 kgm 0=5,678 kgm Impulin eli liikemäärän muutoken uuruu on ii 17,32 kgm/ ja en vaihekulma 19,1 atetta. Vatau: Liikemäärän muuto on I =16,360 kgm i 5,678 kgm j eli en uuruu on 17,32 kgm/ ja en vaihekulma on 19,1 atetta. b) Yhtälötä I = F t F =8659 N r. Tää r on impulin uuntainen ykikkövektori. Myö gravitaatio vaikuttaa aiaa, mutta kuten tätä nähdään, en vaikutu pallon lähtöuuntaan 6(7)

7 ikun jälkeen on mitätön mailan voimaan verrattuna. Vatau: Kekimääräinen voima on 8659 newtonia. c) Maila aa aman uuruien, mutta vatakkaiuuntaien impulin kuin pallo eli e kokee impulin I = 16,360 kgm i 5,678 kgm j. Vatau: Maila aa impulin I = 16,360 kgm i 5,678 kgm j. 7(7)