Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan

Transkriptio

1 87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen ja eliminoimalla x aadaan (4) x = a x + a x + b () = ax + a( ax + ax + b ( )) + b ( ) = a x + a a x + a ( x a x b()) + a b () + b (). Sii x oeuaa oien keraluvun vakiokeroimien lineaarien differeniaaliyhälön x ( a + a ) x + ( a a a a ) x = a b() + a b () + b (), (5) joka aadaan rakaiua eimerkiki määräämäömien keroimien meneelmällä. Jo a 0, aadaan myö x rakaiua muodoa x = ( x ( ) a x ( ) b( )). (6) a Jo aa a = 0, on yeemin enimmäinen yhälö enimmäien keraluvun differeniaaliyhälö funkiolle x, jonka rakaiun ijoiaminen jälkimmäieen anaa enimmäien keraluvun yhälön x :lle. Eim. Rakaiaan yhälö x = + x eliminoinimeneelmällä. Derivoimalla ja ijoiamalla aadaan x = x + x + = x + x + x + + = x + x + ( x x ) + +, joen x :lle aadaan yhälö x x + x = +, 4 3

2 88 jonka yleinen rakaiu on (ykiyirakaiu löydeään yrieellä 3 x() = ce + ce Tää aadaan x() = x () x() = ce + ce A + B + C ) Yleiemmin eliminoinimeneelmä menee vaaavalla avalla, jolloin ongelma palauuu korkeamman keraluvun lineaariiki vakiokeroimiiki yhälöiki (joille oin ällä kurilla ei arjoa muia rakaiumeneelmiä kuin Laplace-muunaminen).

3 Määräämäömien keroimien meneelmä Ideana on kokeilla ykiyirakaiuki ellaiia funkioia, joka voiiva anaa differeniaalioperaaorin Lx= x Ax ulokena oikean puolen funkion b. Tällöin kyeinen funkio on ueimmien "amaa yyppiä" kuin b. Meneelmää käyeiin jo aiemmin oien keraluvun vakiokeroimien yhälöiden rakaiemiea. Käydään läpi vain muuamia helpoimpia yyppiapaukia: ) x = Ax+ k, miä k 0 on vakiovekori ja mariii A käänyvä. Kokeillaan yrieä x= m= vakiovekori, jolloin x = 0 ja Ax=k. Sii vakiofunkio xp() =A k on eiy ykiyirakaiu. ) x = Ax+ e λ k, miä k 0 on vakiovekori. Yrie x() = e λ v, v vakiovekori, anaa illoin λ v= Av+ k ( A λi) v=k. Jo λ ei ole A:n ominaiarvo, on de( A λi) 0, jolloin jälkimmäiellä yhälöllä on ykikäieinen rakaiu v, joa aadaan ykiyirakaiu xp() = e λ v. Jo λ on ominaiarvo, rakaiuja on joko ääreömän mona ai ei yhään, jolloin meneelmä ei johda ulokeen. 3) x = Ax+ co βk, miä k on (reaalinen) vakiovekori. Tilanne palauuu ny kohaan. Koka Eulerin kaavan ja iiä konjugoimalla aadun kaavan mukaan on iβ e = co β+ iin β, iβ e = co βiin β

4 90 iβ iβ co β= ( e + e ). Sii ukiava differeniaaliyhälö aa komplekiena muodon iβ iβ x = Ax+ e k+ e k. Kohdan nojalla aadaan, mikäli iβ ei ole A:n ominaiarvo, ykiyirakaiuki iβ iβ () xp = e u+ e v, miä u on yhälön ( A iβ I) u=k / ykikäieinen rakaiu ja v yhälön ( A+ iβ I) v=k /. Mua ällöin v= u, joen xp e u e e u () = iβ + iβ u = Re( iβ ) on haeu reaalinen ykiyirakaiu.

5 9 Muia yyppiapaukia ova eimerkiki polynomin muooie oikea puole. Tarkaelemme erää ellaia eimerkin valoa: 3 3 Eim. 3 Haeaan yhälölle x = x ykiyirakaiu. Kokeillaan yrieä x a b () = a + b = + a b. Sijoiamalla yhälöön aadaan a 3 a + b 3 3a+ a 3b+ b + 3 a = 7 5 a b + = + 7a 5a 7b 5b Veraamalla :n keroimia ja vakioermejä aadaan yhälöryhmä 3a+ a = 0 7a+ 5a + = 0, 3b+ b + 3= a 7b+ 5b = a joia rakaiemalla kahdea enimmäieä aluki a = 4, a = 6 ja ien ijoiamalla nämä kahden viimeien oikealle puolelle lopula b = 7, b = 5. Sii haeu ykiyirakaiu on x 4 7 () p 6 = + 5.

6 9 6. Laplace-muunno Funkion f Laplace-muunno on inegraalimuunno, joka muunaa funkion epäoleellien inegraalin avulla lakeavaki oieki funkioki: () { } L f() = f() e d. 0 Tämä on muuujan funkio, ja määriely iellä, miä yo. inegraali uppenee. Jo muunno () on olemaa, funkioa f anoaan Laplacemuunuvaki. Tavalliei funkion f ( ) Laplace-muunnoa (lyh. L- muunno) merkiään vaaavalla iolla kirjaimella: F ( ) = L f ( ) ai F ( ) f ( ), () { } miä jälkimmäinen merkinä viiaa iihen, eä Laplace-muunno on käänneäviä: f () aadaan, kun kohdenneaan funkioon F () Laplace-kääneimuunno: (3) { } L F () = f (). Syvällinen Laplace-muunnoen ymmäräminen edellyää komplekimuuujien funkioiden eorian hallinaa. Mua ovelluen (eriyiei differeniaaliyhälöiden rakaieminen) kannala voidaan Laplace-muunnoen käyöä piää paljoli muodolliena kalkyylinä, joa käyeään muunno- ja kääneimuunnokaavoja ilman uppenemi- ai muia olemaaolopohdinoja. Laplace-muunnoken ominaiuukia Olkoo euraavaa f ( ), g( ) Laplace-muunuvia funkioia ja F (), G () niiden Laplace-muunnoke, ekä ab,. L. Lineaariuu { } L af () + bg() = af() + bg()

7 93 L. Skaalau { ( )} L f a = F a a L3. Siiro oikealle 0 { } Lu ( ) f( ) = e F ( ) ( 0) L4. Ekponenifunkiolla kerominen a { } L e f() = F( + a) L5. Poenifunkiolla kerominen (n = 0,,,...) n n n d L{ f() } = ( ) n F() d L6. Poenifunkiolla / kerominen L7. Derivaaan muunno L f () F ( u ) du = { } ( n) n n n ( n) ( n) L f ( ) = F( ) f(0) f (0) f (0) f (0) L8. Inegraalin muunno L9. Konvoluuion muunno L f( v) dv = F( ) 0 { } L f()* g() = F( ) G( )

8 94 Yllä eiinyvä funkio u on ykikköakel (Heaviiden funkio) 0, kun < 0 u () =, kun 0 ja funkioiden f ja g konvoluuio f ()* g() = f( u) g( u) du. 0 Seuraavaki lueellaan differeniaaliyhälöiden kannala ärkeimmä funkioiden muunnoke. Ne on käevinä eiää muodoa f () F( ), jolloin ne ova lueavia vaemmala oikealle: funkio muunno ai oikeala vaemmalle: funkio kääneimuunno. Lueellaan muunnoke funkion f ( ) mukaan: Diracin delafunkio δ () Ykikköakelfunkio u () Ekponenifunkio e a a Koini coω Sini ω inω +ω n n! Poenifunkio ( n = 0,,, ) n + Nollafunkio 0 0

9 95 Kaavojen oikealla puolella on muuujalle eho Re > 0, paii a ekponenifunkion e muunnokea, joa eho on Re > a. Laplace-muunnoen käyö differeniaaliyhälöiden rakaiemiea peruuu iihen, eä muunamalla yhälö muuuu algebrallieki yhälöki, joka ien rakaiaan algebran keinoin, ja kääneimuunnokella pääään lopula alkuperäien differeniaaliyhälön rakaiuun. Liäki, kuen derivaaojen muunnokaavaa nähdään, alkuarvo uleva auomaaiei huomioon oeuki jo alua alkaen. Tarkaellaan enin vakiokeroimia enimmäien keraluvun lineaaria epähomogeenia yhälöä (4) x () ax() = b(). L-muuamalla yhälö puoliain aadaan (5) X( ) x(0) ax( ) = B( ), joa rakaiuna (6) X() = x(0) + B(). a a Oamalla kääneimuunno nähdään, eä a a (7) x( ) = x(0) e + e * b( ), joa aadaan uu kaava (). 7: a a ( u) (8) x() = e x(0) + e b( u) du. 0 Laplace-muunnoen käyö ekee mahdollieki myö joidenkin ellaien differeniaaliyhälöiden käielyn, joia oikea puoli (häiriöfunkio) on epäjakuva.

10 96 Eim. Rakaiaan alkuarvoprobleema x () + x () = u ( ) u ( 5), x(0) = 0 Laplace-muunamalla aadaan 5 X () + X () = e e, joa rakaiemalla 5 5 X() = ( e e ) = ( e e ) ( + ) + 5 = e e + +. Kääneimuunamalla aadaan rakaiu ( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5) ( ) x = u u u e u ( 5) e. ( ) ( ) Tarkaellaan muia differeniaaliyhälöiä eimerkkien valoa. Eim. Rakaiaan alkuarvoprobleema y () 5 y () 4 y() e Oeaan Laplace-muunno puoliain + =, (0), (0) 0 y = y =. ( ) ( ) Y() y(0) y(0) 5 Y() y(0) + 4 Y() =, joa rakaiaan Y() = =. ( 5+ 4)( ) ( )( )( 4) Hajoamalla oikea puoli oamuroihin Y() = + + 4, joa kääneimuunamalla 5 4 y() = e e e. 3 6 Vaaavalla avalla rakaiaan korkeammankin keraluvun vakiokeroimiia lineaariia yhälöiä alkuehoineen. Lopuki kaoaan differeniaaliyhälöyeemejä. Vakiokeroimien lineaarien epähomogeenien yeemin alkuarvoprobleema (9) x () = Ax() + b(), x(0) = x 0

11 97 voidaan muunaa muooon (0) X() x0 = AX() + B (), miä vekorien ja mariiien muunnoke on ehy komponeneiain. Tää aadaan yhälö vekorille X ( ) : () ( I A ) X() = x0 + B (), jonka kerroinmariii AI on käänyvä, ellei ole mariiin A ominaiarvo. Riiävän uurilla :n arvoilla yhälöllä () on ii ykikäieinen rakaiu. Yhälö () on rakaiava ymboliei, jolloin aau rakaiufunkio voidaan kääneimuunaa ja aada x ( ).

12 98 Eim. 3. Rakaiaan alkuarvoprobleema x () 0 x () = = (), (0) x x + = x. () Tehdään Laplace-muunno: 0 X() () = + X, joa aadaan (merkiemällä enin X( ) = IX ( ) ) yhälö () X =. Rakaiaan Gauin eliminaaiolla X() = = (( ) ) ( )( 3) X ( )( 3) 3 () = joka on kääneimuunnoa varen kehieävä oamurohajoelmiki X() = X() = Kun nämä kääneimuunneaan, aadaan rakaiuki e + e 9 3 x () = e e