VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

Transkriptio

1 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan. Transieniuormiuselle on yypillisä nopea asvu suurimpaan arvoonsa ja usein lyhyaiainen vaiuus. Kuormiusa voiaan mallinaa monella eri avalla, joisa ässä arasellaan olmea esimeriapausa, aseluormiusa, suoraulmaisa pulssiuormiusa ja ramppiuormiusa. Kuormiusen oleeaan vaiuavan uvan muaiseen jousimassa-vaimennin syseemiin, jossa eriyisapausessa voi olla vaimennusvaio c =. ASKELKUORMITUS Aseluormius aroiaa uvan muaisa ilannea, jossa syseemiin vaiuaa heellä = äillisesi voima, joa ämän jäleen pysyy vaiona. Syseemin liieyhälö on m& x + c x& + x = () Kuva. Aseluormius. Oleeaan, eä syseemi on ennen uormiusen vaiuusa levossa eli x ( ) = ja x & ( ) =. Yhälön () raaisu on muooa x = x h + xp, missä x h on session VMS9 aavan (5) muaisa ominaisvärähelyä vaimennusen ollessa aliriiinen. Ysiyisraaisu x p on xp = / () Liieyhälön yleisesi raaisusi ulee näin ollen x() = + e ζ ( A sin + A cos ) 3 4 (3), saaaan aseluormius- Kun vaio A 3 ja A 4 lasean aluehoisa x () = ja x &() = a vasaavasi siirymävaseesi x() = e ζ ζ sin + cos (4)

2 8/ Dynaamisa uormiusa uiaessa voiaan määriellä vahvisuserroin M (), joa eroo, miä on ynaamisen siirymävaseen suhe vasaavaan saaiseen siirymävaseeseen. Tässä apausessa vahvisuserroin on M() = x() /( / ) = x() / (5) jossa = / on saaisen voiman aiheuama siirymä. Kaavan (4) peruseella on M() = e ζ ζ sin + cos (6) M().5 ( a) ζ =, ( b) ζ = M() Kuvassa 3 (a) on esiey yypillinen vahvisuseroimen uvaaja ajan funiona. Koha M () = vasaa saaisa siirymää. Kosa uormius vaiuaa äillisesi, on siirymässä ylilyöni saaisen siirymän ohi, minä jäleen syseemi palaa saaiseen siirymään vaimenevaa värähelyä suoriaen. Vaimennusen suuruus määrää ylilyönnin määrän ja nopeuen, jolla värähely vaimenee ohi saaisa siirymäarvoa. Jos vaimennusa ei ole, on ζ = ja yhälösä (6) seuraa vahvisuserroin M() Kuva 3. Vahvisuserroin. = cos (7) joa on esiey uvassa 3 (b) ja M max =. Äillisesi vaiuavan voiman aiheuaman siirymän masimi vaimenamaomassa syseemissä on siis asinerainen saaiseen siirymään verrauna. Sama päee myös rasiusiin. Suunnielussa voiaan äyää varmuua oamaan huomioon uormiusen yhäinen vaiuus. Vaimennus pienenää ää vaiuusa, uen uvasa 3 (a) nähään, mua eroimen äyö on varmalla puolella. SUORAKULMIOPULSSIKUORMITUS Suoraulmiopulssiuormius aroiaa uvan 4 muaisa uormiusa, jossa voima alaa äillisesi vaiuaa heellä = ja pysyy sen jäleen vaiona, unnes heellä = voiman vaiuus äillisesi laaa. Liieyhälö on ässä uormiusapausessa

3 8/3 () m & x + c x& + x = (8) > Kuva 4 Suoraulmiopulssi. Syseemi on ennen uormiusen vaiuusa levossa eli x ( ) = ja x & ( ) =. Liieyhälön raaisu on aiavälillä aavan (4) muainen. Väliä > vasaava raaisu saaaan lisäämällä aavan (4) raaisuun heellä alava aseluormius, josa seuraa x() ζ ( ζ ζ ) ζ = e sin( ) + cos( ) e sin + cos (9) Dynaamisesi vahvisuseroimesi () = x()/( / ) ulee näin ollen M e M() = e ζ ζ ( ) ζ ζ sin + cos sin ( ) + cos ( ) e ζ ζ sin + cos > () Jos vaimennusa ei ole, on ζ = ja vahvisuserroin menee muooon cos M () = () cos( ) cos >.5 = 6τ / 5.5 = 6τ / = τ / 7 = τ / 7 / 7 6 / 5 / τ / 7 6 / 5 / τ Kuva 5. Vahvisuserroin.

4 8/4 Kuvassa 5 (a) on vahvisuseroimen () uvaaja uormiuspulssin esoajan arvoilla τ / 7 ja 6τ / 5, un ζ =, (τ on ominaisvärähysaia). Kuvassa 5 (b) on vasaava uvaaja vaimenemaomassa apausessa ζ =. Tapausessa = τ / 7 masimiampliui esiinyy uormiusen poisumisen jäleen alueella >. Tapausessa = 6 τ / 5 masimiampliui esiinyy uormiusen vaiuusaiana välillä. Syseemin masimi siirymä voi siis esiinyä uormiusen poisumisen jäleen, jos on riiävän pieni. RAMPPIKUORMITUS Ramppiuormius on esimerisi uvan 6 muainen uormiusilanne, jossa uormius asvaa lineaarisesi arvoon ajan uluessa, minä jäleen se on vaio. Kuormiusen nousuvaihea voiaisiin uvaa myös jollain epälineaarisella funiolla. Liieyhälö on () Kuva 6. Ramppiuormius. / m & x + c x& + x = () > Kun syseemi on ennen uormiusen vaiuusa levossa, ova alueho x () = ja x &() =. Liieyhälön () raaisu on aiavälillä x() c + e = ζ ( A sin + A cos ) (3) missä vaio A ja A saaaan aluehoisa x () = ja x &() =. Välillä > raaisu on () ζ ( ) = + e [ B sin ( ) + B cos ( ) ] x (4) Vaio B ja B saaaan aluehoisa x () = x ja x &() = x&, missä x ja x& laseaan raaisusa (3). Taraseluisa ulee vaimenneussa apausessa melo piä, joen yyyään ässä vaimenemaoman apausen uimiseen. Kun c =, ulee raaisusi + A sin + A cos x () = (5) + B sin( ) + B cos( ) > Aluehoisa x () = ja x & () = seuraa vaioille A ja A arvo A = A =.

5 8/5 Heen aluehoisi ulee x () = sin ja x& () = cos, jois- = B cos ja B = sin. a saaaan vaioille B ja B arvo Sijoiamalla vaio raaisuun (5) ja sievenämällä ulosa ulee siirymälle raaisu sin x () = (6) + [ sin( ) sin] > Dynaamisesi vahvisuseroimesi () = x()/( / ) ulee näin ollen M sin M () = (7) + [ sin( ) sin ] > M() / Kuva 7. Vahvisuserroin. =, 5τ =, τ Vahvisuserroin (7) on esiey uvassa 7 nousuajan arvoilla, τ ja,5 τ, jossa τ on ominaisvärähysaia. Kuvaajisa voiaan pääellä, eä vahvisuseroimen masimi M max on siä suurempi, miä pienempi on. Ääriapausessa = on M max =, jolloin yseessä on aseluormius. Jos >> τ, on ylilyöni saaisesa siirymäsä / pieni. Jos nousuaia on suuruusluoaa 3 τ, voiaan uormiusa piää saaisena ja ynaamise vaiuuse jäää oamaa huomioon.

6 8/6 ESIMERKKI VMS8E Kuvan syseemin parameri ova m = 5g, = N/ m ja c = Ns / m. Alueho ova x () = ja x &() =. Kuormiusena on uvan 6 ramppiuormius, jona = N ja nousuaia on a) =, τ ja b) =, 5 τ (τ on ominaisvärähysaia). Laai Mahcaoumeni, joa raaisee siirymän x () lauseeen aavoisa (3) ja (4) ja piirää sen uvaajan sopivalla aiavälillä. Doumenin ulee lasea vielä nopeus v () ja iihyvyys a() ja piirää niien uvaaja. Raaisu: Kyseinen oumeni on liieieosona. Seuraavassa on oeia oumenisa ja sen anamisa uloseisa. Kuvaajissa sininen pysyviiva on rampin nousuajan ohalla. a) m:= 5 g := N m c := Ns m := N ORIGIN:= := m c ζ := m := ζ τ := π := :=. τ = ra s ζ =. = ra s τ =.346s = 5mm =.683s. Asema x() x () x () () ,, Nopeus v() v () v () ,

7 8/7 Kiihyvyys a() a () a () , b) m:= 5 g := N m c := Ns m := N ORIGIN:= := m c ζ := m := ζ τ := π := :=.5 τ = ra s ζ =. = ra s τ =.346s = 5mm =.474s.6 Asema x() x () x () () ,,. Nopeus v() v () v () ,

8 8/8 Kiihyvyys a() a () a () , HARJOITUS VMS8H ()/N /s,, Kuvan syseemiin vaiuaa oheisessa uvassa esiey uormiusheräe. Syseemi on ennen uormiusen vaiuusa levossa asapainoasemassaan. Kirjoia siirymän x () lausee aseluormiusen raaisua (4), ramppiuormiusen raaisua (6) seä yheenlasuperiaaea hyväsi äyäen. Piirrä siirymän uvaaja aiavälillä [, τ ]. Syseemin parameri ova m = 4g, = 3N / m ja c =. Vas. Vihjee: HARJOITUS VMS8H ()/N /s,, Kuvan syseemiin vaiuaa oheisessa uvassa esiey uormiusheräe. Syseemi on ennen uormiusen vaiuusa levossa asapainoasemassaan. Kirjoia siirymän x () lausee ramppiuormiusen raaisua (6) ja yheenlasuperiaaea hyväsi äyäen. Piirrä siirymän uvaaja aiavälillä [, τ ]. Syseemin parameri ova m = 4g, = 3N / m ja c =. Vas. Vihjee: