Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti"

Transkriptio

1 Lineaarialgebra I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti

2 2 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 11 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälö 5x = 7 Kerrotaan yhtälö puolittain luvulla 5 1, jolloin saadaan 5 1 5x = eli x = 7 5 (b) Ratkaise yhtälö ax = b, missä x on tuntematon ja a, b R ovat tunnettuja Jos a 0, niin on olemassa a 1, jolla yhtälö voidaan kertoa puolittain ja saadaan yksikäsitteinen vastaus x = b a Jos a = 0, niin a 1 ei ole olemassa ja ratkaisun olemassaolo riippuu b:stä Jos b = 0, niin yhtälö on 0 x = 0, joka toteutuu kaikilla x R Siis yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua Jos b 0, niin yhtälö on 0 x = b, joka ei toteudu millään x:n arvolla Yhtälöllä ei siis ole ratkaisua 12 Esimerkki Ratkaise yhtälöpari { 2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3 Alemmasta yhtälöstä voidaan ratkaista x 2 = 3 x 1 Sijoitetaan tämä ylempään yhtälöön, jolloin saadaan 2x 1 +3 x 1 = 1 eli x 1 = 2 Näin ollen x 2 = 3 ( 2) = 5 Siten yhtälöparilla on täsmälleen yksi ratkaisu { x1 = 2 x 2 = 5 Tarkistetaan vielä ratkaisu: (b) Ratkaise yhtälöpari { 2 ( 2)+5 = = 3 { 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2 Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan x 2 = 5x Sijoitetaan tämä toiseen yhtälöön, jolloin 10x 1 2(5x 1 +1) = 2 eli 2 = 2, mikä on ristiriita Siis yhtälöparilla ei ole ratkaisua 13 Esimerkki Tulkitse esimerkki 12 geometrisesti Yhtälö ax 1 + bx 2 = c kuvaa suoraa tasossa R 2, mikäli a 0 tai b 0, sillä tällöin x 1 = bx a 2+ c tai x a 2 = ax b 1+ c Pistepari (x b 1,x 2 ) toteuttaa siis yhtälönax 1 +bx 2 = c, jos ja vain jos se kuuluu suoralle x 1 = bx a 2 + c (a 0) Siten yhtälöparin a { ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

3 ratkaisu on suorien ax 1 + bx 2 = e ja cx 1 + dx 2 = f leikkauspiste Leikkauspiste on yksikäsitteinen täsmälleen silloin kun suorat eivät ole yhdensuuntaiset, toisin sanoen (b 0,d 0) a b c eli ad bc 0 d Jos ad bc = 0, niin suorat ovat yhdensuuntaiset Tällöin ne eivät leikkaa, eli yhtälöparilla ei ole ratkaisua, tai ne ovat sama suora, jolloin yhtälöparilla on äärettömän monta ratkaisua, sillä jokainen (x 1,x 2 ), joka kuuluu suoralle, on ratkaisu 3 x 2 = k 1 x 1 +e x 2 = k 2 x 1 +f x 2 = kx 1 +e x 2 = kx 1 +f x 2 = kx 1 +e x 2 = kx 1 +f e = f 14 Esimerkki Ratkaise yhtälöryhmä x 1 2x 2 + x 3 = 0 ( ) 2x 2 8x 3 = 0 4x 1 + 7x 2 3x 3 = 3 Jos x 1 2x 2 + x 3 = 0, niin 4(x 1 2x 2 + x 3 ) = 0, joten lisäämällä 0 kolmanteen yhtälöön molemmille puolille saadaan ( ) x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 0 4x 1 + 7x 2 3x 3 +4x 1 8x 2 +4x 3 = 3+0 x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 0 x 2 + x 3 = 3 Siten ( ) x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 4x 3 = 0 x 2 + x 3 = 3 x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 4x 3 = 0 x 3 = 1 x 1 = 7 x 2 = 4 x 3 = 1 x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 4x 3 = 0 3x 3 = 3 x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 = 4 x 3 = 1

4 4 Tarkistetaan ratkaisu: 7 2 ( 4) 1 = 0 2 ( 4) 8 ( 1) = 0 4 ( 7)+7 ( 4) 3 ( 1) = 3 15 Määritelmä Yleinen lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k, missä a ij,b i R, i = 1,,k, j = 1,,n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,,n ovat tuntemattomia Yhtälöryhmän toteuttavaa lukujonoa (x 1,,x n ) sanotaan yhtälöryhmän ratkaisuksi ja kaikkien ratkaisujen joukkoa sanotaan yhtälöryhmän ratkaisujoukoksi Jos b 1 = b 2 = = b k = 0, yhtälöryhmä on homogeeninen ja sillä on aina triviaaliratkaisu x 1 = x 2 = = x n = 0 16 Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan ratkaista käyttämällä seuraavia operaatioita: P ij : vaihdetaan yhtälöt i ja j keskenään M i (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c 0 A ij (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c R ja lisätään se yhtälöön j, missä i j Nämä eivät muuta yhtälöryhmän ratkaisuja, toisin sanoen uusi yhtälöryhmä on ekvivalentti alkuperäisen yhtälöryhmän kanssa Koska rivioperaatiot vaikuttavat vain kertoimiin a ij ja b i, on kätevää käyttää laajennettua kerroinmatriisia a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a k1 a k2 a kn b k Rivioperaatioilla kerroinmatriisi sievennetään muotoon, jossa pelkät nollarivit ovat alimmaisina, jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eroava luku on 1 ja sen ylä- ja alapuolella on pelkkiä nollia, ylemmän rivin ensimmäinen 1 on alemman rivin ensimmäisen 1:sen vasemmalla puolella Sieventämisen jälkeen on kolme mahdollisuutta:

5 (1) eli yksikäsitteinen ratkaisu d d d n x 1 = d 1 x 2 = d 2 x n = d n (2) Jokin riveistä on 0 0 c, missä c 0 Tällöin saadaan yhtälö 0 = c, mikä on ristiriita, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua (3) Tapaukset (1) ja (2) eivät esiinny Tällöin epätriviaaleja yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia ja yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua Esimerkiksi eli { x1 +2x 2 = 6 x 3 = 5 eli x 1 = 2x 2 +6 x 2 R x 3 = 5 Kerroinmatriisissa on siis vähintään yksi porras, jonka pituus on vähintään kaksi 17 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälöryhmä 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 10 x 1 3x 3 = 2 5x 2 3x 3 = 2 Laajennettu kerroinmatriisi on P A 13 ( 2) M 2 ( 1 5 ) M 3 ( 5 64 ) A 23( 3) A 31(3) A 32 ( 3 5 ) P eli x 1 = 1 x 2 = 1 x 3 = 1 5 (b) Miten yhtälöryhmän x 1 + ax 3 = b+1 2x 1 + x 2 + 4ax 3 = 4b+2 3x 2 5ax 3 = 5b 1 ratkaisujen lukumäärä riippuu vakioista a ja b?

6 6 Laajennettu kerroinmatriisi on 1 0 a b a 4b a 5b 1 A 23 (3) 1 0 a b a 2b 0 0 a b 1 A 12( 2) A 31( 1) A 32 ( 2) 1 0 a b a 2b 0 3 5a 5b a b 1 Jos a 0, niin yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 = b 1 a Jos a = 0 ja b 1, niin yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua Jos a = 0 ja b = 1, niin yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 R 2 Vektori ja matriisi 21 Esimerkki Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1,x 2 ) Jos vektorin suuntaa tai suuruutta muutetaan, niin loppupiste (x 1,x 2 ) muuttuu, joten eri vektoreita vastaa eri piste (x 1,x 2 ) Kääntäen, jokainen tason pistepari (x 1,x 2 ) määrää vektorin yllä olevalla tavalla Siten tason vektorit voidaan samastaa tason R 2 = {(x 1,x 2 ) x 1,x 2 R} kanssa x 2 (x 1,x 2 ) x 1

7 Vektorit x = (x 1,x 2 ) ja y = (y 1,y 2 ) lasketaan yhteen laittamalla ne peräkkäin Summavektorin x + y ensimmäinen koordinaatti on x 1 + y 1 ja toinen koordinaatti on x 2 +y 2 Siis (x 1,x 2 )+(y 1,y 2 ) = (x 1 +y 1,x 2 +y 2 ) 7 (x 1,x 2 ) y 2 x 2 x+y x 1 y 1 (y 1,y 2 ) Vektori x = (x 1,x 2 ) kerrotaan luvulla λ > 0 siten, että vektorin suunta säilyy ja pituus tulee kerrotuksi luvulla λ Merkitään λ (x 1,x 2 ) = (y 1,y 2 ) Koska suunta ei muutu, niin y 2 y 1 = x 2 x 1 eli y 2 = x 2 x 1 y 1 Nyt y 1 = tx 1 jollekin t R, joten y 2 = x 2 x 1 tx 1 = tx 2 Siis λ (x 1,x 2 ) = (tx 1,tx 2 ) jollekin t > 0 Koska vektorin λ (x 1,x 2 ) pituus on λ kertaa vektorin (x 1,x 2 ) pituus, saadaan Pythagoraan lauseesta t 2 x 2 1 +t2 x 2 2 = λ2 (x 2 1 +x2 2 ) eli t 2 = λ 2, joten t = λ Siis λ (x 1,x 2 ) = (λx 1,λx 2 ) Tämä pätee myös kun λ 0 (x 1,x 2 ) λ (x 1,x 2 ) = (y 1,y 2 ) 22 Määritelmä Olkoon n N = {1,2,3,} Jono x = (x 1,x 2,,x n ), missä x 1,x 2,,x n R, on n-ulotteinen tai n-komponenttinen vektori Kaikkien n- ulotteisten vektorien joukko on avaruus R n, ts R n = {(x 1,x 2,,x n ) x 1,x 2,,x n R} Vektorit x,y R n ovat samat, jos x i = y i kaikilla i = 1,,n Olkoot x,y R n ja λ R Tällöin x+y = (x 1 +y 1,x 2 +y 2,,x n +y n ) R n λx = (λx 1,λx 2,,λx n ) R n 23 Lause Olkoot x,y,z R n ja λ,µ R Tällöin (a) x+y = y +x (vaihdannaisuus) (b) x+(y +z) = (x+y)+z (liitännäisyys) (c) on olemassa nollavektori 0 = (0,,0) R n ja x+0 = x (d) on olemassa vastavektori x = 1 x ja x+( x) = 0 (e) λ(µx) = (λµ)x (f) 1 x = x ja

8 8 (g) (λ+µ)x = λx+µx (h) λ(x+y) = λx+λy (osittelulait) Todistus Todistetaan (h) Muut HT Olkoot x = (x 1,x n ), y = (y 1,,y n ) ja λ R Nyt λ(x+y) = λ ( (x 1,,x n )+(y 1,,y n ) ) = λ(x 1 +y 1,,x n +y n ) = ( λ(x 1 +y 1 ),,λ(x n +y n ) ) = (λx 1 +λy 1,,λx n +λy n ) = (λx 1,,λx n )+(λy 1,,λy n ) = λ(x 1,,x n )+λ(y 1,,y n ) = λx+λy 24 Huomautus Lauseen 23 (d)-kohdan nojalla jokaisella vektorilla y R n on vastavektori y R n Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä x y := x+( y) 25 Esimerkki Olkootx = (2a+3b+5c,a 3c,5b 3c) R 3 jay = (10, 2,2) R 3 Vektoriyhtälö x = y vastaa yhtälöryhmää 2a + 3b + 5c = 10 a 3c = 2 (Vrt Esimerkki 17(a)) 5b 3c = 2 26 Määritelmä Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,,k ja j = 1,,n muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a k1 a k2 a kn sanotaan k n-matriisiksi Usein merkitään A = [a ij ] Lukuja a ij sanotaan matriisin A alkioiksi (a ij on alkio rivillä i ja sarakkeessa j) Toinen merkintä alkiolle a ij on A ij Matriisit A ja B ovat samat, jos A ij = B ij kaikilla i ja j Kaikkien k n- matriisien joukkoa merkitään symbolilla M(k,n) Olkoot A,B M(k,n) ja λ R Tällöin A+B M(k,n) ja λa M(n,k), missä kaikilla i = 1,,k ja j = 1,,n (A+B) ij = A ij +B ij ja (λa) ij = λa ij 27 Esimerkki (a) Olkoot a b A = c d 2+d 2b ja B = c d

9 9 Tällöin A = B a = 2+d b = 2b c = c d = d a = 2 b = 0 c R d = 0 (b) Olkoot A = ja B = Tällöin A ja B ovat 2 3- matriiseja, joille pätee A+B = = A = = ja 28 Lause Olkoot A,B,C M(k,n) ja λ,µ R Tällöin (a) A+B = B +A, (b) A+(B +C) = (A+B)+C, (c) on olemassa nollamatriisi 0 M(k, n), jolle A + 0 = A, (d) on olemassa vastamatriisi A M(k, n), jolle A +( A) = 0, (e) λ(µa) = (λµ)a, (f) 1A = A, (g) (λ+µ)a = λa+µa, (h) λ(a+b) = λa+λb Todistus Todistetaan (c), muut HT (vertaa lause 23) OlkoonA = [a ij ] Määritellään k n-matriisi 0 asettamalla 0 ij = 0 kaikilla i = 1,,k ja j = 1,,n Tällöin 0 M(k,n) ja (A+0) ij = A ij +0 ij = a ij +0 = a ij = A ij kaikilla i = 1,,k ja j = 1,,n Siten A+0 = A 29 Merkintä Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä summalle: k a i = a 1 +a 2 + +a k i=1 Esimerkiksi 5 i 2 = ja 5 b ij = b i2 +b i3 +b i4 +b i5 i=1 j=2

10 Määritelmä Olkoot A M(k,n) ja B M(n,l) Matriisien A ja B tulo on matriisi AB M(k, l), missä (AB) ij = n A ip B pj = A i1 B 1j +A i2 B 2j + +A in B nj p=1 kaikilla i = 1,,k ja j = 1,,l 211 Huomautus (a) TulomatriisinAB alkio(ab) ij saadaan kertomallaa:ni:nen rivin alkiota i1,a i2,,a in vastaavillab:nj:nnen sarakkeen alkioillab 1j,B 2j,,B nj ja laskemalla näin saadut tulot yhteen (b) Tulo AB on määritelty vain, kun matriisin A sarakkeiden lukumäärä on sama kuin matriisin B rivien lukumäärä (c) Vaikka AB olisi määritelty, niin BA ei välttämättä ole määritelty Vaikka BA olisi määritelty, niin on mahdollista, että AB BA (d) On mahdollista, että AB = 0, vaikka A 0 ja B Esimerkki (a) Olkoot A = M(2,3) ja B = M(3,3) Tällöin AB on määritelty ja se on 2 3-matriisi AB = = = Tuloa BA ei ole määritelty (b) Olkoot A = [ ] M(1,3) ja B = 0 3 M(3,1) 1

11 11 Tällöin AB = [ ] 0 3 = [ ] = [ 7 ] M(1,1) ja 1 BA = 0 3 [ ] = = M(3,3) Erityisesti AB BA (c) Olkoot Tällöin A = AB = M(2,2) ja B = M(2,2) = M(2,2) Entä BA? Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja λ R Tällöin (a) A(B +C) = AB +AC, (b) (A+B)C = AC +BC, (c) A(BC) = (AB)C, (d) (λa)b = A(λB) = λ(ab), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty Todistus (a) OlkootA M(k,n) jab,c M(n,l) Tällöin, ja vain tällöin,b+c M(n,l), A(B +C) M(k,l), AB M(k,l), AC M(k,l) ja AC +BC M(k,l) ovat määriteltyjä Nyt ( n A(B +C) )ij = A ip (B +C) pj = p=1 n A ip (B pj +C pj ) = p=1 n (A ip B pj +A ip C pj ) p=1 = A i1 B 1j +A i1 C 1j +A i2 B 2j +A i2 C 2j + +A in B nj +A in C nj n n = A ip B pj + A ip C pj = (AB) ij +(AC) ij = (AB +BC) ij p=1 p=1 kaikilla i = 1,,k ja j = 1,,l Siten A(B +C) = AB +AC (b) ja (c) HT

12 12 (d) Olkoot A M(k, n), B M(n, l) ja λ R Tällöin, ja vain tällöin, AB, (λa)b ja A(λB) ovat määriteltyjä ja ( n n n n (λa)b )ij = (λa) ip B pj = (λa ip )B pj = λa ip B pj = λ A ip B pj p=1 p=1 p=1 p=1 = λ(ab) ij = ( λ(ab) ) ij kaikilla i = 1,,k ja j = 1,,l Siten (λa)b = λ(ab) Toinen väite HT 214 Merkintä Tulkitaan R n :n vektorit n 1-matriiseiksi eli pystyvektoreiksi x 1 x x = 2 x n Tämä tulkinta ei muuta vektorien yhteenlaskua eikä reaaliluvulla kertomista, ts x 1 y 1 x x+y = 2 + y 2 ja x n y n x 1 x λx = λ 2 x n Tällöin lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k voidaan kirjoittaa muodossa missä Ax = b, x a 11 a 1 b 1 1n x A =, x = 2 ja b = b 2 a k1 a kn x n b k Matriisi A on yhtälöryhmän kerroinmatriisi ja b vakiovektori 215 Esimerkki Yhtälöryhmän 3x 1 x 2 + 2x 3 = 3 x 1 + 4x 2 + x 3 2x 4 = 0 5x 2 + 3x 3 7x 4 = 1 kerroinmatriisi on A = ja vakiovektori on b =

13 216 Määritelmä Olkoon A M(k,n) Tällöin A määrää kuvauksen F A : R n R k, F A (x) = Ax R k kaikilla x R n Kuvauksen F A määrittelyjoukko on siis R n ja maalijoukko on R k Yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko on siten pisteen b alkukuva kuvauksessa F A eli F 1 A ({b}) = {x Rn F A (x) = Ax = b} 217 Lause Olkoon A M(k, n) Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä, toisin sanoen (a) (b) (c) (d): (a) Homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0 (b) Kaikilla b R k yhtälöllä Ax = b on korkeintaan yksi ratkaisu (c) Kuvaus F A : R n R k, F A (x) = Ax on injektio (d) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä yhtälöryhmälle Ax = b johtaa tilanteeseen J O 0 1 T 0 0 A I 0 0 N Todistus (b) (d): Katso kohta 16 (a) (b): Antiteesi: On olemassa b R k ja x,y R n, x y, joille Ax = b = Ay Tällöin lauseen 213 perusteella 0 = b b = Ax Ay = Ax+A( y) = A(x y), joten z = x y 0 on homogeeniyhtälön Ax = 0 ratkaisu Tämä on ristiriita, joten antiteesi on väärä (b) (c): HT (c) (a): jos Ax = 0, niin F A (x) = 0 = A0 = F A (0), joten F A :n injektiivisyyden perusteella x = 0 Siis yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu Nyt kaikki väitteet on todistettu 218 Lause Olkoon A M(k,n) Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) Kaikilla b R k yhtälöllä Ax = b on ainakin yksi ratkaisu (b) Kuvaus F A : R n R k, F A (x) = Ax on surjektio (c) Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmässä tapaus (2) (eli rivi 0 0 c, missä c 0) ei esiinny 13 Todistus (a) (c): Katso kohta 16 Muut HT

14 14 [ Esimerkki (a) Olkoon A = Ax = x 1 x = x 3 ] Tällöin x1 x 3, x 2 ( joten F A : R 3 R 2 on F A (x1,x 2,x 3 ) ) =: F(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1 x 3,x 2 ) Onko F A surjektio? Olkoon b = (b 1,b 2 ) R 2 Nyt F A (x) = b, jos { x x1 x 3 = b 1 = b 1 +x 3 1 x x 2 = b 2 = b 2 2 x 3 R Erityisesti, valitsemalla x 3 = 0 saadaan F A (b 1,b 2,0) = (b 1,b 2 ) Siis F A on surjektio Koska yhtälöllä Ax = b on äärettömän monta ratkaisua, F A ei ole injektio (b) Olkoon B = Kuvaus on injektio, sillä Bx = 0 F B : R 3 R 3, F B (x 1,x 2,x 3 ) = (x 1,x 1 +x 2,x 2 +3x 3 ) x 1 x 1 +x 2 = 0 0 x 2 +3x 3 0 x 1 = 0 x 1 +x 2 = 0 x 2 +3x 3 = 0 ja väite seuraa lauseesta 217 Kuvaus F B on myös surjektio, sillä x 1 = b 1 x 1 = b 1 x 1 +x 2 = b 2 x 2 = b 2 b 1 x 2 +3x 3 = b 3 x 3 = 1(b 3 3 b 2 +b 1 ), joten väite seuraa lauseesta 218 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 0, 220 Määritelmä Matriisi A on neliömatriisi, jos A M(n,n) jollakin n N Neliömatriisi A = [a ij ] on diagonaalimatriisi, jos a ij = 0 kaikilla i j Diagonaalimatriisi I = [δ ij ] = M(n,n) 0 1 on yksikkömatriisi eli identtinen matriisi Käytetään myös merkintää ½ Tässä { 1, i = j δ ij = 0, i j 221 Lause Olkoon A M(n,n) Tällöin IA = AI = A Todistus HT

15 222 Määritelmä Neliömatriisi A M(n, n) on kääntyvä, jos on olemassa B M(n,n), jolle AB = BA = I Tällöin B on A:n käänteismatriisi ja sitä merkitään B = A Esimerkki (a) Matriisi A = on kääntyvä ja A =, sillä = = a b (b) Matriisi A = ei ole kääntyvä Jos nimittäin olisi B =, jolle 2 4 c d 1 2 a b a+2c b+2d 1 0 = =, 2 4 c d 2a+4c 2b+4d 0 1 niin Erityisesti { a+2c = 1 2a+4c = 0 mikä on ristiriita Siten B:tä ei ole 224 Lause a+2c = 1 b+2d = 0 2a+4c = 0 2b+4d = 1 { 0 = 1 a = 2c, (a) Jos neliömatriisilla A on käänteismatriisi, niin se on yksikäsitteinen Erityisesti (A 1 ) 1 = A (b) Jos A, B M(n, n) ovat kääntyviä, niin AB on kääntyvä ja (AB) 1 = B 1 A 1 Todistus (a) Olkoot B ja C matriisin A käänteismatriiseja Tällöin B L221 = BI = B(AC) L213 = (BA)C = IC L221 = C Siis B = C eli käänteismatriisi on yksikäsitteinen Koska A 1 A = I = AA 1, on A = (A 1 ) 1 (b) Nyt B 1 A 1 M(n,n) ja (AB)(B 1 A 1 ) L213 = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 L213 = AA 1 = I ja (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I Siis (AB) 1 = B 1 A 1 15

16 Lause OlkoonA M(n,n) kääntyvä Tällöin kaikilla b R n yhtälöllä Ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x = A 1 b Todistus Vektori A 1 b on yhtälön ratkaisu, sillä A(A 1 b) = (AA 1 )b = Ib = b Toisaalta, jos Ax = b, niin A 1 b = A 1 (Ax) = (A 1 A)x = Ix = x, joten x = A 1 b 226 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälöryhmä { 2x1 + x 2 = 3 3x 1 + x 2 = 5 Koska A = (esim ) on kääntyvä ja A = 223(a), niin 3 2 x = A 1 b = on yhtälöryhmän ainoa ratkaisu = 3 2][ 5 1 eli { x1 = 2 x 2 = 1 (b) Jos A on kääntyvä, niin lauseen 224 nojalla A 2 = AA on kääntyvä ja (A 2 ) 1 = (AA) 1 = A 1 A 1 = (A 1 ) Lause (Työnpuolituslause) Olkoot A, B M(n, n) Jos AB = I tai BA = I, niin A ja B ovat kääntyviä sekä A = B 1 ja B = A 1 Todistus Sivuutetaan 228 Gaussin ja Jordanin algoritmi käänteismatriisille Matriisin A M(n, n) kääntyvyys voidaan testata ja A 1 voidaan etsiä Gaussin ja Jordanin menetelmällä seuraavasti: (1) Tarkastellaan laajennettua kerroinmatriisia [ A I ] (2) Sovelletaan Gaussin ja Jordanin menetelmää (3) Jos A muuttuu I:ksi, on viivan oikealla puolella A 1 Jos A ei muutu I:ksi, A ei ole kääntyvä

17 Perustelu: Lauseen 227 perusteella riittää löytää X M(n, n) jolle AX = I Merkitään X:n sarakkeita pystyvektoreilla x 1,,x n, ts X = [ x 1 x n], missä x i M(n,1) kaikille i = 1,,n Huomaa, että I = [ e 1 e n], missä 0 e j 1 = j:s alkio on Nyt ( ) AX = I Ax 1 = e 1 Ax 2 = e 2 Ax n = e n Yhtälöryhmä ( ) koostuu n:stä yhtälöryhmästä, joilla kaikilla on sama kerroinmatriisi Siten ne voidaan ratkaista Gaussin ja Jordanin menetelmällä samanaikaisesti, jolloin laajennettu kerroinmatriisi on [ A I ] Jos tämä muokkautuu muotoon [ I B ], niin matriisin X j:s sarake x j on B:n j:s sarake B j kaikilla j = 1,,n, joten X = B Siten AB = AX = I eli B = A 1 Jos vasemmalle puolelle ei saada I:tä, niin on päädytty tapaukseen (2) eli ristiriitaan Tällöin jollakin yhtälöllä Ax j = e j ei ole ratkaisua ja A ei ole kääntyvä Tapausta (3), jossa on äärettömän monta ratkaisua, ei voi esiintyä lauseen 224(a) nojalla (A 1 on yksikäsitteinen) 229 Esimerkki (a) Käännä A = Laajennettu kerroinmatriisi on A 21 ( 1) A 23 (2) A 12( 2) A 13 ( 3) Siis A 1 = A 32( 1)

18 18 Tarkistetaan ratkaisu: AA 1 = = (b) Onko A = Nyt 1 1 kääntyvä? 1 1 [ ] [ A 12 ( 1) joten tuloksena on ristiriita eli A ei ole kääntyvä 230 Määritelmä Olkoon A M(k,n) Matriisin A transpoosi on A T M(n,k), missä (A T ) ij = A ji kaikilla i = 1,,n ja j = 1,,k ], 231 Huomautus Transpoosin rivit ovat alkuperäisen matriisin sarakkeita ja transpoosin sarakkeet ovat alkuperäisen matriisin rivejä Esimerkki (a) Jos A =, niin A T = x 1 (b) T x 1 x n = x n 233 Lause Olkoot A,B M(k,n), C M(n,l) ja λ R Tällöin (a) (A T ) T = A (b) (A+B) T = A T +B T (c) (λa) T = λa T (d) (AC) T = C T A T Todistus (a) (c) HT (d) Nyt AC M(k,l) on määritelty, joten (AC) T M(l,k) Lisäksi C T M(l,n) ja A T M(n,k), joten C T A T M(l,k) Nyt ( ) n n n (AC) T = (AC) ij ji = A jp C pi = C pi A jp = (C T ) ip (A T ) pj = (C T A T ) ij p=1 p=1 p=1 kaikilla i = 1,,l ja j = 1,,k Siten (AC) T = C T A T

19 Lause Olkoon A M(n,n) kääntyvä Tällöin A T on kääntyvä ja (A T ) 1 = (A 1 ) T Todistus HT 3 Determinantti 31 Esimerkki Olkoot x,y R 2 Merkitään x = x 2 1 +x2 2 vektorin x pituutta Koulusta muistetaan vektorin pistetulo x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 = x y cosα, missä α on vektorien x ja y välinen kulma Vektorien x ja y määräämän suunnikkaan pinta-ala on A = x h = x y sinα = x y cos( π α) = b y, 2 missä b = x ja b:n ja y:n välinen kulma on π α Siis b on kohtisuorassa vektoria 2 x vastaan eli b x = 0 Kun valitaan b kuten kuvassa, on b = ( x 2,x 1 ), sillä tällöin b x = x 2 x 1 +x 1 x 2 = 0 ja b = ( x 2 ) 2 +x 2 1 = x Siten A = b y = x 2 y 1 +x 1 y 2 b π 2 α α y h x a11 a 12 sarakevekto- a 21 a Huomautus Esimerkin 31 perusteella matriisin A = a11 reiden ja a 21 a12 määräämän suunnikkaan ala on a a 11 a 22 a 12 a 21 Merkitään 22 deta = a 11 a 22 a 12 a 21 (vrt esim 31) Osoittautuu, että kolmen vektorin a 11, a 12 ja a 13 määräämän suuntaissärmiön tilavuus on lausekkeen deta = det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 itseisarvo a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 a 33 a22 a = a 11 det 23 a21 a a a 32 a 12 det 23 a21 a +a 33 a 31 a 13 det a 31 a 32

20 20 33 Määritelmä Matriisin A M(n,n) ij:s alimatriisi A ij M(n 1,n 1) saadaan poistamalla A:sta i:s rivi ja j:s sarake Neliömatriisin A M(n,n) determinantti on luku deta = n ( 1) 1+j A 1j deta 1j, j=1 missä det[a] = a 34 Huomautus Matriisin A M(n, n) sarakevektoreiden virittämän n-ulotteisen suuntaissärmiön tilavuus on det A Erityisesti, 1-ulotteisen suuntaissärmiön eli janan pituus on deta = a 35 Esimerkki (a) Olkoon A = Tällöin A 11 = 0 4, A = 3 4, A = jne (b) Olkoon A = deta = a11 a 12 Tällöin a 21 a 22 2 ( 1) 1+j a 1j deta 1j = ( 1) 1+1 a 11 deta 11 +( 1) 1+2 a 12 deta 12 j=1 = a 11 det[a 22 ] a 12 det[a 21 ] = a 11 a 22 a 12 a 21 (c) Olkoon A = Tällöin deta = ( 1) 2 2 det +( 1) 4 2 det 0 3 +( 1) det = 2( ) (1 2 3 ( 1))+2(1 1 0 ( 1)) = 9

21 a a (d) Olkoon A = diagonaalimatriisi Tällöin 0 a nn a deta = a 11 det a nn a = a 11 a 22 det 0 0 a nn = = a 11 a nn Siis diagonaalimatriisin determinantti on diagonaalialkioiden tulo Erityisesti det I = 1 Huomaa, että A:n sarakevektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, joten ne virittävät suorakaiteet, joiden sivujen pituudet ovat a ii Lause Neliömatriisin A determinantille pätee (a) kehittämissääntö i:nen rivin suhteen n deta = ( 1) i+k a ik deta ik, k=1 (b) kehittämissääntö j:nen sarakkeen suhteen n deta = ( 1) k+j a kj deta kj k=1 Todistus Sivuutetaan (Helppo uskoa tilavuustulkinnasta) 37 Esimerkki Olkoon A = Lasketaan deta (a) kehittämällä se 2 rivin suhteen deta = ( 1) det +( 1) det 1 2 +( 1) det = ( )+0 3(2 1 1 ( 1)) = 9,

22 22 (b) kehittämällä se 3 sarakkeen suhteen 1 0 deta = ( 1) det +( 1) det +( 1) det = 2(1 1 0 ( 1)) 3(2 1 1 ( 1))+2( ) = 9 38 Lause Olkoon A M(n, n) Seuraavat ominaisuudet pätevät: (a) Olkoon B matriisi, joka on saatu kertomalla jokin A:n rivi/sarake luvulla λ R Tällöin detb = λdeta (b) Jos jokin A:n rivi/sarake on nolla, niin deta = 0 (c) Olkoon A = [S 1 S n ], missä S j on A:n j:s sarake Jos S j = V 1 +V 2 jollekin j, niin deta = det[s 1 V 1 +V 2 S n ] Vastaavasti olkoon A = jollekin i, niin = det[s 1 V 1 S n ]+det[s 1 V 2 S n ] R 1, missä R i on A:n i:s rivi Jos R i = W 1 + W 2 R n R 1 deta = det W 1 +W 2 = det W 1 +det W 2 R n R n R n (d) Jos A:ssa on kaksi samaa riviä/saraketta, niin deta = 0 (e) Jos matriisi B saadaan A:sta vaihtamalla kaksi riviä/saraketta keskenään, niin detb = deta (f) Jos B saadaan A:sta lisäämällä riviin/sarakkeeseen i rivi/sarake j i, kerrottuna luvulla λ R, niin detb = deta Todistus (a) Todistetaan rivivaihtoehto Sarakevaihtoehto samoin Oletetaan, että B on saatu kertomalla A:n i:s rivi luvulla λ Tällöin kehittämällä i:nen rivin suhteen saadaan n n detb = ( 1) i+k B ik detb ik = ( 1) i+k λa ik deta ik = λ k=1 k=1 R 1 n ( 1) i+k A ik deta ik = λdeta k=1 R 1

23 (b) Seuraa (a)-kohdasta valitsemalla λ = 0 (c) Todistetaan saraketapaus Rivitapaus todistetaan vastaavasti Todistetaan väite induktiolla n:n suhteen Kun n = 1, on det[a+b] = a+b = det[a]+det[b], joten väite pätee Tehdään induktio-oletus, että väite pätee n n-matriiseille Osoitetaan, että se pätee tällöin myös (n+1) (n+1)-matriiseille Olkoot A = [ S 1 V 1 +V 2 S n+1], B = [ S 1 V 1 S n+1] ja C = [ S 1 V 2 S n+1], missä V 1 ja V 2 ovat j:nnessä sarakkeessa Tällöin n+1 deta = ( 1) 1+k A 1k deta 1k k=1 j 1 = ( 1) 1+k A 1k deta 1k +( 1) 1+j (V1 1 +V2 1 )deta1j + = k=1 n+1 k=1,k j n+1 k=j+1 23 ( 1) 1+k A 1k deta 1k ( 1) 1+k A 1k (detb 1k +detc 1k )+( 1) 1+j V1 1 detb1j +( 1) 1+j V1 2 detc1j n+1 n+1 = ( 1) 1+k B 1k detb 1k + ( 1) 1+k C 1k detc 1k = detb +detc k=1 (d) HT (induktiolla n:n suhteen) R 1 k=1 R 1 R i R j R i +R j (e) Olkoot A = ja B = Määritellään C = R j R i R i +R j R n R n R n Nyt (d)-kohdan perusteella detc = 0 Lisäksi (c)-kohdan nojalla 0 = detc R 1 R 1 R i R j R i R i R j R j = det +det = det +det +det +det R i +R j R i +R j R i R j R i R j R n R n = deta+detb R 1 R n R 1 R n R 1 R 1 R n R 1 R n

24 24 Siis detb = deta (f) HT 39 Merkintä Merkintä A S ij (c) tarkoittaa, että i:s sarake kerrotaan luvulla c ja lisätään sarakkeeseen j ja A R ij (c) tarkoittaa vastaavaa rivioperaatiota 310 Esimerkki (a) det = det A S 12 ( 1) = det A S 23 (1) L38(d) = 0 (b) det = 5 det L38(a) = 5 ( 1) 4+2 1det = 5 ( 1) det (c) Olkoon det Nyt ja det 2a 6b c 3d AS 12 (1) = 5 det A S 21 ( 2) = 5 det = 10 ( 6+8) = a b = 2 Lasketaan det c d L38(a) = 2 det d c det b+2d a+2c L38(e) = L38(a) det a 3b c 3d L38(c) = det b a +2det d c d c d c [ 2a 6b ja det c 3d L38(a) = 2 3det d c d c +det b a 2d 2c L38(e) = L38(d) ( 1)2 det ] d c b+2d a+2c a b = 6 2 = 12 c d a b +2 0 = 2 c d 311 Esimerkki (a) Olkoon A = [ a ] M(1,1) Tällöin A on kääntyvä, jos ja vain jos deta = a 0 a11 a (b) Olkoon A = 12 Jos deta 0, niin A on kääntyvä ja sen käänteismatriisi a 21 a [ 22 ] on A 1 = 1 a22 a 12, sillä deta a 21 a 11

25 25 a11 a 12 a 21 a 22 a22 a 12 a 21 a 11 1 deta = 1 a11 a 22 a 12 a 21 0 = deta 0 a 21 a 12 +a 11 a Jos deta = 0, niin (olettaen, että a 12 0) [ ] a11 a M 2 ( a 12 ) a 11 a a 21 a A 12 (a 22 ) a 12 a 21 +a 11 a 22 a 12 a 22 +a 12 a 22 a 22 a 12 det A=0 a11 a , 0 0 a 22 a 12 joten A ei ole kääntyvä (kun a 12 0) Tarkista tapaus a 21 0 Siis A M(2,2) on kääntyvä täsmälleen silloin, kun det A Lause Matriisi A M(n, n) on kääntyvä, jos ja vain jos det A 0 Todistus : Oletetaan, että A on kääntyvä Tällöin A muuttuu Gaussin ja Jordanin menetelmällä matriisiksi I Lauseen 38 nojalla operaatio P ij vaihtaa determinantin merkin, operaatio M i (c) kertoo determinantin c:llä (c 0) ja A R ij (c) ei muuta determinanttia Siten deta = c deti = c jollakin c 0, joten deta 0 : Oletetaan, että A ei ole kääntyvä Tällöin A muuttuu Gaussin ja Jordanin menetelmällä matriisiksi B, jossa on nollarivi Siten lauseen 38 nojalla deta = c detb = Lause Olkoot A, B M(n, n) Tällöin (a) det(ab) = detadetb, (b) det(a T ) = deta, (c) jos A on kääntyvä, niin det(a 1 ) = 1 deta Todistus (a) ja (b) sivuutetaan (c) Koska 1 = deti = det(aa 1 ) (a) = detadet(a 1 ), niin det(a 1 ) = 1 deta 314 Esimerkki (a) Onko matriisi kääntyvä? Koska deta = det ] = ( 1) 1 det[ 3+2 = 7 0, on A kääntyvä lauseen 312 perusteella

26 26 (b) Osoitetaan, että ei ole olemassa matriisia, jolle A T = A 1 Oletetaan, että tällainen A on olemassa Silloin deta = det(a T ) = det( A 1 ) = ( 1) 2011 det(a 1 ) = 1 deta, joten (deta) 2 = 1, mikä on mahdotonta Siis A:ta ei ole olemassa 315 Määritelmä Olkoon A M(n, n) Matriisin A liittomatriisi on cof A M(n,n), missä kaikilla i,j = 1,,n (cofa) ij = ( 1) i+j deta ij 316 Huomautus Olkoon A M(n,n) Tällöin kaikilla i = 1,,n n n deta = ( 1) i+k A ik deta ik = A ik (cofa) ik k=1 317 Esimerkki Olkoon A = Tällöin (cofa) 11 = ( 1) 1+1 det = 12, (cofa) = ( 1) 1+2 det Siten 2 3 (cofa) 32 = ( 1) 3+2 det = 2, jne 0 1 k= cofa = Lause Olkoon A M(n, n) Tällöin Erityisesti, jos A on kääntyvä, niin A(cofA) T = deta I A 1 = 1 deta (cofa)t 0 1 = 3, 3 7 Todistus Olkoot i,j {1,,n} Määritellään B M(n,n) seuraavasti: B = A paitsi B:n j:s rivi on sama kuin A:n i:s rivi Tällöin n n n ( detb = B jk (cofb) jk = A ik (cofa) jk = A ) ik (cofa) T kj k=1 = ( A(cofA) T) ij k=1 k=1

27 Jos i = j, niin B = A, joten detb = deta Jos i j, niin B:ssä on kaksi samaa riviä, joten detb = 0 Siis ( A(cofA) T ) ij = { deta, jos i = j 0, jos i j Jos A on kääntyvä, niin deta 0, joten A eli A(cofA) T = deta I 1 deta (cofa)t = I eli A 1 = 1 deta (cofa)t 319 Esimerkki (a) Olkoon A = Tällöin deta AS 23 = (1) det ] = ( 1) 1 det[ 2+2 = 3 0, joten A on kääntyvä ja A 1 = 1 deta (cofa)t esim 317 = (b) Olkoon A = deta 0, niin 1 3 a11 a 12 Tällöin cofa = a 21 a 22 A 1 = 1 deta (cofa)t = 1 deta T = a22 a 21 Jos A on kääntyvä eli a 12 a 11 a22 a 12 a 21 a 11 (vrt esim 311) 320 Lause (Cramerin sääntö) Olkoon A M(n, n) kääntyvä Tällöin yhtälöryhmän Ax = b yksikäsitteinen ratkaisu on x 1 = detc(1) deta x 2 = detc(2) deta x n = detc(n), deta missä A 11 b 1 A 1n A C(i) = 21 b 2 A 2n M(n,n) kaikilla i = 1,,n A n1 b n A nn i:s sarake

28 28 Todistus Lauseen 318 perusteella A 1 = 1 deta (cofa)t Siten lauseen 225 nojalla yhtälön Ax = b yksikäsitteinen ratkaisu on Nyt x i = 1 deta = 1 deta n k=1 n k=1 x = A 1 b = 1 deta (cofa)t b ( (cofa) T ) ik b k = 1 deta n b k (cofa) ki k=1 ( 1) k+i b k deta ki = detc(i) deta kaikilla i = 1,,n 321 Esimerkki Ratkaise yhtälöryhmä x 1 x 3 = 1 2x 1 + x 2 x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 2 Kerroinmatriisi on A = ja deta AS 13 = (1) = 4 0 Siten A on kääntyvä ja Cramerin sääntöä voi soveltaa Nyt b = 1 1, joten 2 C(1) = ja detc(1) AS 13 = (1) det = 7 Siis x 1 = Vastaavasti C(2) = , detc(2) = 7 ja x 2 = C(3) = , detc(3) = 3 ja x 3 = Yhtälöryhmän yksikäsitteinen ratkaisu on x 1 = 7 4 x 2 = 7 4 x 3 = 3 4 sekä

29 Lause Matriisille A M(n, n) seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) Yhtälöllä Ax = b on täsmälleen yksi ratkaisu kaikilla b R n (b) Homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0 (c) Gaussin ja Jordanin menetelmä muuntaa A:n identtiseksi matriisiksi (d) Kuvaus F A : R n R n, F A (x) = Ax, on bijektio (e) A on kääntyvä (f) deta 0 Todistus HT Kokoa jo todistetut tulokset 4 Vektoriavaruus R n 41 Määritelmä Vektori x R n on vektorien v 1,,v k R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset λ 1,,λ k R, että k x = λ i v i i=1 i:s 42 Merkintä Merkitään e i = (0,,0,1,0,,0) R n, i = 1,,n Vektoreita e 1,,e n kutsutaan R n :n luonnollisiksi kantavektoreiksi 43 Esimerkki (a) Vektori(3,4,5) R 3 on luonnollisten kantavektoriene 1,e 2,e 3 R 3 lineaarikombinaatio, sillä (3,4,5) = 3(1,0,0)+4(0,1,0)+5(0,0,1) = 3e 1 +4e 2 +5e 3 (b) Olkoot x = ( 1,1, 2), v 1 = (1,2,0), v 2 = (3,0,4) ja v 3 = (2,1,2) Onko x vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio? Tutkitaan, löytyykö sellaiset λ 1,λ 2,λ 3 R, että x = λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +λ 3 v 3 ( 1,1, 2) = λ 1 (1,2,0)+λ 2 (3,0,4)+λ 3 (2,1,2) ( 1,1, 2) = (λ 1 +3λ 2 +2λ 3,2λ 1 +λ 3,4λ 2 +2λ 3 ) λ 1 + 3λ 2 + 2λ 3 = 1 λ 1 = 1 1 λ λ 1 + λ 3 = 1 λ 2 = 1 1λ λ 2 + 2λ 3 = 2 λ 3 R Yhtälöryhmällä on siis äärettömän monta ratkaisua Valitsemalla esimerkiksi λ 3 = 0 saadaan x = 1 2 v v 2 +0 v 3

30 30 Siten x on vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio Huomaa, että esitys ei ole yksikäsitteinen 44 Määritelmä Vektorit v 1,,v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset λ 1,,λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,,k ja k i=1 λ iv i = 0 Muutoin vektorit v 1,,v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta k i=1 λ iv i = 0 seuraa, että λ 1 = = λ k = 0 45 Huomautus (a) Lineaarisesti riippuvien vektorien monikerroista voidaan muodostaa suljettu silmukka λ 4 v 4 λ 3 v 3 λ 1 v 1 λ 2 v 2 (b) Usein käytetään lyhenteitä LD = lineaarisesti riippuva ja LI = lineaarisesti riippumaton (c) Sanotaan, että joukko {v 1,,v k } on lineaarisesti riippuva/riippumaton, jos vektorit v 1,,v k ovat lineaarisesti riippuvia/riippumattomia 46 Esimerkki (a) Vektorit v 1 = (1,2,0), v 2 = (3,0,4) ja v 3 = (2,1,2) ovat lineaarisesti riippuvia, sillä 1 v 1 +1 v 2 2 v 3 = (1,2,0)+(3,0,4) (4,2,4) = (0,0,0) = 0 (b) Joukko {(1,0,0),(0,0,1)} R 3 on lineaarisesti riippumaton, sillä ehdosta λ 1 (1,0,0)+λ 2 (0,0,1) = (0,0,0), seuraa, että (λ 1,0,λ 2 ) = (0,0,0) eli λ 1 = 0 = λ 2 (c) Olkoot v 1,,v k R n Jos v i = 0 jollakin i = 1,,k, niin vektorit v 1,,v k ovat lineaarisesti riippuvia Todistus Valitaan λ j = 0 kaikilla j i ja λ i = 1 Tällöin k λ j v j = 0 v v i 1 +1 v i +0 v i v k = = 0 j=1 ja λ i 0 (d) Olkoon V = {v} R n Tällöin V on lineaarisesti riippumaton täsmälleen silloin, kun v 0 Todistus : Jos v = 0, niin (c)-kohdan perusteella V on lineaarisesti riippuva : Jos v 0, niin λv = 0 vain, jos λ = 0, joten V on lineaarisesti riippumaton (e) Jos vektorit v 1,,v k R n ovat lineaarisesti riippuvia, niin vektorit v 1,, v k,v R n ovat lineaarisesti riippuvia olipa v R n mikä tahansa

31 31 Todistus HT (f) Lineaarisesti riippumattoman joukon jokainen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti riippumaton Todistus HT 47 Lause Olkoon äärellisessä joukossa V R n vähintään kaksi alkiota Tällöin V on lineaarisesti riippuva täsmälleen silloin, kun jokin V :n alkio v on joidenkin joukon V\{v} alkioiden lineaarikombinaatio Todistus : Oleteaan, että v V on vektorien v 1,,v k V\{v} lineaarikombinaatio, toisin sanoen v = k i=1 λ iv i joillekin λ i R, i = 1,,k Tällöin k λ i v i 1 v = 0, i=1 joten vektoritv 1,,v k,v ovat lineaarisesti riippuvia SitenV on lineaarisesti riippuva esimerkin 46 (e) perusteella : Olkoon V = {v 1,,v k } lineaarisesti riippuva Tällöin on olemassa sellaiset λ 1,,λ k R, että λ i 0 jollekin i = 1,,k ja k j=1 λ jv j = 0 Siten λ i v i = k λ j v j eli v i = j=1 j i k j=1 j i joten v i on joukon V\{v i } alkioiden lineaarikombinaatio λ j λ i v j, 48 Lause Olkoon A M(n,k) Merkitään A = [ A 1 A k ], missä Ai R n on A:n i:s sarakevektori kaikilla i = 1,,k Tällöin vektorit A 1,,A k R n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos homogeeniyhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0 a 11 a ik Todistus Merkitään A = Nyt a n1 a nk a 11 x 1 + +a 1k x k Ax = 0 = 0 a n1 x 1 + +a nk x k 0 a 11 x 1 a 1k x k + + = 0 x 1 A 1 + +x k A k = 0, a n1 x 1 a nk x k 0 missä x i R ja A i R n kaikilla i = 1,,k

32 32 Jos A 1,,A k ovat lineaarisesti riippumattomia, niin x 1 = = x k = 0, joten yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0 Jos taas yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu, niin vektorit A 1,,A k ovat lineaarisesti riippumattomia 49 Seuraus Olkootv 1,,v n R n Määritellään matriisi A M(n,n) asettamalla A = [ v 1 v n ] Tällöin vektorit v1,,v n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos deta 0 Todistus Seuraa lauseista 48 ja Esimerkki (a) Olkoot v 1 = (a 11,a 21 ) R 2 ja v 2 = (a 12,a 22 ) R 2 Tällöin v 1 ja v 2 ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos a11 a det 12 0, a 21 a 22 joka puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että vektorien v 1 ja v 2 virittämän suunnikkaan pinta-ala on positiivinen, joka tapahtuu täsmälleen silloin, kun v 1 ja v 2 ovat eri suuntaiset (b) Olkoot v 1 = (0,3,1), v 2 = (1, 1,1) ja v 3 = (3,3,5) Tutkitaan, ovatko v 1, v 2 ja v 3 lineaarisesti riippuvia: det AS 23 = ( 3) det = (6 6) = 0, joten v 1, v 2 ja v 3 ovat lineaarisesti riippuvia Kuitenkin ne ovat selvästi eri suuntaisia 411 Määritelmä Olkoon S = {v 1,,v k } R n epätyhjä äärellinen joukko Joukon S lineaarinen verho (peite) S = v 1,,v k = { k λ j v j λ j R, j = 1,,k} on vektorien v 1,,v k kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko j=1 412 Esimerkki (a) Aina pätee, että S S, sillä v = 1 v + w S\{v} 0 w kaikilla v S (b) 1 = {λ 1 λ R} = R (c) Avaruuden R n luonnolliset kantavektorit e 1,,e n ovat lineaarisesti riippumattomia ja e 1,,e n = R n Todistus HT (d) Olkoon S = {(1,0,0),(2,1,0),(0,0,1),(0,1,1)} R 3 Tällöin S = R 3

33 Todistus Selvästi S R 3, sillä S R 3 Osoitetaan, että R 3 S Olkoon x R 3 On löydettävä sellaiset λ 1,,λ 4 R, että x=λ 1 (1,0,0)+λ 2 (2,1,0)+λ 3 (0,0,1)+λ 4 (0,1,1)=(λ 1 +2λ 2,λ 2 +λ 4,λ 3 +λ 4 ) λ λ 1 + 2λ 2 = x 1 1 = x 1 2x 2 +2λ 4 λ λ 2 + λ 4 = x 2 2 = x 2 λ 4 λ λ 3 + λ 4 = x 3 = x 3 λ 4 3 λ 4 R Valitaan λ 4 = 0, jolloin λ 1 = x 1 2x 2, λ 2 = x 2 ja λ 3 = x 3 Siis x = (x 1 2x 2 )(1,0,0)+x 2 (2,1,0)+x 3 (0,0,1)+0 (0,1,1) S eli R 3 S Näin ollen S = R 3 (e) Mikä on joukon S = {(1, 0, 1),(2, 0, 1)} lineaarinen verho? Selvästi S R 3 Edelleen, x S, jos ja vain jos on olemassa sellaiset λ 1,λ 2 R, että λ 1 + 2λ 2 = x 1 λ 1 = 2x 3 x 1 x = λ 1 (1,0,1)+λ 2 (2,0,1) 0 = x 2 λ 2 = x 1 x 3 λ 1 + λ 2 = x 3 x 2 = 0 Siis x S, jos ja vain jos x 2 = 0 eli S = {x R 3 x 2 = 0} on xz-taso 413 Lause Olkoon S = {v 1,,v k } R n epätyhjä joukko ja x R n Tällöin (a) x S S {x} = S (b) Jos S on lineaarisesti riippumaton, niin x / S v 1,,v k,x ovat lineaarisesti riippumattomia Todistus (a) : Oletetaan, että x S eli x = k i=1 λ iv i joillekin λ 1,,λ k R On osoitettava, että S {x} = S Selvästi S S {x}, sillä jos y S, niin on olemassa sellaiset µ 1,,µ k R, että k k y = µ i v i = µ i v i +0 x, i=1 joten y S {x} Olkoon siis y S {x} Tällöin on olemassa sellaiset µ 1,,µ k,µ k+1 R, että k k k k y = µ i v i +µ k+1 x = µ i v i +µ k+1 λ i v i = (µ i +µ k+1 λ i )v i, i=1 joten y S Siis S {x} S ja S {x} = S i=1 : Oletetaan, että S {x} = S Esimerkin 412(a) nojalla x S {x} = S, joten x S (b) HT i=1 i=1 i=1 33

34 Lause Olkoon S = {v 1,,v k } R n epätyhjä joukko ja w 1,,w l S, missä l k +1 Tällöin w 1,,w l ovat lineaarisesti riippuvia Todistus Koska w j S kaikilla j = 1,,l, löytyy sellaiset a ij R, i = 1,,k, j = 1,,l, että w 1 = a 11 v 1 + +a k1 v k w 2 = a 12 v 1 + +a k2 v k w l = a 1l v 1 + +a kl v k Riittää löytää sellaiset λ 1,,λ l R, että (λ 1,,λ l ) 0 ja l j=1 λ jw j = 0, toisin sanoen yhtälöllä ( ) λ 1 (a 11 v 1 + +a k1 v k )+ +λ l (a 1l v 1 + +a kl v k ) = (a 11 λ 1 + +a 1l λ l )v 1 + +(a k1 λ 1 + +a kl λ l )v k = 0 on epätriviaali ratkaisu λ = (λ 1,,λ l ) 0 Yhtälö ( ) toteutuu ainakin silloin, kun jokaisen v i :n kerroin on nolla eli homogeeniyhtälö a 11 λ 1 + +a 1l λ l = 0 a k1 λ 1 + +a kl λ l = 0 toteutuu Koska tässä yhtälöryhmässä on enemmän tuntemattomia kuin yhtälöitä (l > k), niin Gaussin ja Jordanin menetelmän tapaus (1) ei esiinny Koska yhtälö on homogeeninen, tapaus (2) ei ole mahdollinen Siten yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua Erityisesti sillä on ratkaisu λ Seuraus Olkoon S = {v 1,,v k } R n (a) Jos k > n, niin S on lineaarisesti riippuva (b) Jos k < n, niin S R n Todistus (a) Koska e 1,,e n = R n, v 1,,v k R n ja k > n, niin lauseen 414 nojalla v 1,,v k ovat lineaarisesti riippuvia (b) Jos S = R n, niin lauseen 414 nojalla e 1,,e n R n olisivat lineaarisesti riippuvia (n > k), mikä on ristiriita 416 Seuraus Olkoon S R n lineaarisesti riippumaton Tällöin S = R n Todistus : Seuraa seurauksessa 415 S : ssä on n alkiota : Jos S R n, niin on olemassa x R n \ S Lauseen 413(b) nojalla S {x} on lineaarisesti riippumaton, mikä on ristiriita seurauksen 415 kanssa

35 417 Esimerkki (a) Joukko {(1,1,5),(3,3,2),(e,π,e π ),(10,10 10, )} on lineaariseti riippuva (b) (4,3,2,1,0),(1,2,3,4,5) R 5 (c) (0,3,1),(1, 1,1),(1,2,3) = R 3, sillä det = 3 0, joten (0, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3) ovat lineaarisesti riippumattomia seurauksen 49 nojalla Esimerkki Joukko R voidaan upottaa tasoon R 2 samastamalla se joukon R = {(x,0) R 2 x R} kanssa Jos x,y R, niin x+y = (x 1,0)+(y 1,0) = (x 1 +y 1,0) R ja λx = λ(x 1,0) = (λx 1,0) R kaikilla λ R Onko R 2 :ssa muita aitoja osajoukkoja, jotka ovat suljettuja yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen? Entä R n :ssä? 419 Määritelmä Epätyhjä joukko V R n on R n :n (vektori)aliavaruus, jos (a) v,w V v +w V ja (b) λ R, v V λv V 420 Esimerkki (a) Jos V R n on aliavaruus, niin 0 V, sillä koska V, on olemassa v V, joten 0 = 0 v V (b) Joukot V = {0} ja V = R n ovat R n :n triviaalit aliavaruudet (c) Joukko V = {(t, 5t) R 2 t R} on R 2 :n aliavaruus Todistus Koska (0,0) = (0, 5 0) V, niin V Olkoot v,w V Tällöin on olemassa sellaiset s,t R, että v = (s, 5s) ja w = (t, 5t) Nyt v +w = (s, 5s)+(t, 5t) = (s+t, 5(s+t)) = (h, 5h) V, sillä h = s+t R Samoin kaikilla λ R, λv = λ(s, 5s) = (λs, 5λs) = (h, 5h) V, missä h = λs R Siis V on aliavaruus (d) Joukko H = {(x,y) R 2 x+y = 1} ei ole R 2 :n aliavaruus, sillä 0 / H, koska Huomaa, että (1,0) H, mutta 2 (1,0) / H, sillä Samoin (0,1) H, mutta (1,0)+(0,1) = (1,1) / H, sillä 1+1 1

36 36 (e) V 1 on R 2 :n aliavaruus, mutta V 2 ja V 3 eivät ole: V 1 V 2 V 3 (f) Joukko V = {x R 3 x 1 +2x 2 +3x 3 = 0} on R 3 :n aliavaruus Todistus Koska = 0, niin 0 V, joten V Olkoot x,y V Nyt (x+y) 1 +2(x+y) 2 +3(x+y) 3 = x 1 +y 1 +2x 2 +2y 2 +3x 3 +3y 3 = x 1 +2x 2 +3x 3 +y 1 +2y 2 +3y 3 = 0+0 = 0, joten x+y V Samoin kaikilla λ R (λx) 1 +2(λx) 2 +3(λx) 3 = λx 1 +2λx 2 +3λx 3 = λ(x 1 +2x 2 +3x 3 ) = λ 0 = 0, joten λx V Siis V on R 3 :n aliavaruus 421 Lause Olkoot V,W R n aliavaruuksia Tällöin V W on R n :n aliavaruus, mutta V W ei yleensä ole R n :n aliavaruus Todistus Koska 0 V ja 0 W, niin 0 V W, joten V W Olkoot v,w V W ja λ R Nyt v,w V, joten v+w V, ja v,w W joten v+w W Siis v+w V W Lisäksi λv V ja λv W, joten λv V W Näin ollen V W on R n :n aliavaruus Tapaus V W HT 422 Lause OlkoonV R n aliavaruus Tällöin kaikillak N pätee: josv 1,,v k V ja λ 1,,λ k R, niin k i=1 λ iv i V Todistus HT 423 Lause (a) Olkoon A M(k,n) Yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko R 0 on R n :n aliavaruus (b) Olkoon b R k ja A M(k,n) Oletetaan, että yhtälöryhmällä Ax = b on jokin ratkaisu x 0 Tällöin yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko on R = x 0 +R 0 = {x 0 +y y R 0 }, missä R 0 on yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko

37 37 Todistus (a) Koska A0 = 0, niin 0 R 0 Olkoot x,y R 0 Tällöin A(x+y) = Ax+Ay = 0+0 = 0, joten x+y R 0 Samoin A(λx) = λax = λ 0 = 0 kaikilla λ R, joten λx R 0 (b) Olkoon z R Tällöin z = x 0 +y jollakin y R 0 Nyt Az = A(x 0 +y) = Ax 0 +Ay = b+0 = b, joten z on yhtälön Ax = b ratkaisu Jos taas z on yhtälön Ax = b ratkaisu, niin A(z x 0 ) = Az Ax 0 = b b = 0, joten z x 0 R 0 Nyt z = x 0 +z x 0 R 424 Lause Epätyhjän joukons = {v 1,,v k } R n lineaarinen verho S onr n :n aliavaruus Se on pienin R n :n aliavaruus, joka sisältää joukon S, toisin sanoen, jos V on R n :n aliavaruus ja S V, niin S V Todistus Osoitetaan, ensin, että S on R n :n aliavaruus Koska S S ja S, niin S Olkoot v,w S Tällöin on olemassa λ 1,,λ k R ja µ 1,,µ k R, joille v = k i=1 λ iv i ja w = k i=1 µ iv i Tällöin k k k v +w = λ i v i + µ i v i = (λ i +µ i )v i S Samoin, jos λ R, niin i=1 Siis S on R n :n aliavaruus λv = λ i=1 k λ i v i = i=1 i=1 k (λλ i )v i S Olkoon V R n :n aliavaruus, jolle S V Osoitetaan, että S V Olkoon v S Tällöin löytyy sellaiset λ 1,,λ k R, että v = k i=1 λ iv i Koska v i V kaikilla i = 1,,k, niin lauseen 422 nojalla v V Siis S V 425 Huomautus (a) Joukon S lineaarista verhoa S kutsutaan usein S:n virittämäksi aliavaruudeksi Jos V on aliavaruus ja V = S, niin S virittää V :n (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,,e n virittävät R n :n, sillä e 1,,e n = R n Lisäksi vektorit e 1,,e n ovat lineaarisesti riippumattomia 426 Määritelmä Olkoon V R n aliavaruus Vektorit v 1,,v k V muodostavat aliavaruuden V kannan, jos i=1 (a) v 1,,v k ovat lineaarisesti riippumattomia ja (b) v 1,,v k = V Tällöin sanotaan, että joukko {v 1,,v k } on V :n kanta

38 Esimerkki (a) Vektori 1 R muodostaa R:n luonnollisen kannan (esimerkki 46(d) ja 412(b)) Myös 2 R on R:n kanta (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,,e n R n muodostavat R n :n kannan (c) Joukko S = {(π,e),(10,10 10 )} on R 2 n kanta Perustelu: Vektorit (π,e) ja (10,10 10 ) ovat lineaarisesti riippumattomia, sillä π 10 det e = π e 0, koska π > 100 ja 10 e < 30 Selvästi S R 2 Olkoon x R 2 Etsitään sellaiset λ,µ R, että λ(π,e)+µ(10,10 10 ) = (x 1,x 2 ) { πλ+10µ = x1 eλ µ = x 2 { λ = 10 9 x 1 x π e µ = πx 2 ex π 10e Siis (x 1,x 2 ) = 109 x 1 x π e (π,e) + πx 2 ex π 10e (10,1010 ) Näin ollen S = R 2 ja S on R 2 :n kanta Huomaa, että seuraus 416 antaa suoraan tiedon S = R 2 (d) Aliavaruudella voi olla useita eri kantoja (vrt (c)-kohta) (e) Joukko S = {(1,0,0),(2,1,0),(0,0,1),(0,1,1)} R 3 ei ole R 3 :n kanta, vaikka S = R 3 (esimerkki 412(d)), sillä S on lineaarisesti riippuva seurauksen 415(a) perusteella (f) Esimerkissä 420(f) todettiin, että V = {x R 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0} on R 3 :n aliavaruus Etsitään V :lle kanta Koska x V, jos ja vain jos x 1 = 2x 2 3x 3 on V = {( 2s 3t,s,t) R 3 s,t R} Siis x V, jos ja vain jos on olemassa sellaiset s,t R, että x = ( 2s 3t,s,t) = ( 2s,s,0)+( 3t,0,t) = s( 2,1,0)+t( 3,0,1) Näin ollen V = ( 2,1,0),( 3,0,1) Osoitetaan vielä, että ( 2,1,0) ja ( 3,0,1) ovat lineaarisesti riippumattomia Olkoot λ,µ R sellaiset, että λ( 2,1,0)+µ( 3,0,1) = 0 2λ 3µ = 0 λ = 0 µ = 0 { λ = 0 µ = 0 Siis vektorit ( 2, 1, 0) ja ( 3, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomat Siten joukko {( 2,1,0),( 3,0,1)} on V :n kanta (g) Jokainen lineaarisesti riippumaton joukko on lineaarisen verhonsa kanta (h) Triviaalilla vektoriavaruudella {0} ei ole kantaa, sillä sillä ei ole yhtään lineaarisesti riippumatonta osajoukkoa

39 428 Lause Jos vektorit v 1,,v k R n ovat lineaarisesti riippumattomia, niin jokainen v v 1,,v k voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa k v = λ i v i, missä λ 1,,λ k R i=1 Todistus Olkoon v v 1,,v k Tällöin on olemassa sellaiset λ 1,,λ k R, että v = k i=1 λ iv i Olkoot µ 1,,µ k R sellaiset, että v = k i=1 µ iv i Osoitetaan, että λ i = µ i kaikilla i = 1,,k Nyt k k k 0 = v v = λ i v i µ i v i = (λ i µ i )v i i=1 i=1 Koska v 1,,v k ovat lineaarisesti riippumattomia, on λ i µ i = 0 kaikilla i = 1,,k eli λ i = µ i kaikilla i = 1,,k 429 Määritelmä Olkoon K = {v 1,,v k } aliavaruuden V R n kanta Vektorin v K koordinaatit kannassa K ovat lauseen 428 antamat yksikäsitteiset kertoimet λ 1,,λ k, joille v = k i=1 λ iv i Tällöin merkitään v = (λ 1,,λ k ) K Jos K on avaruuden R n luonnollinen kanta, niin alaindeksi K jätetään pois: x = (x 1,,x n ) 430 Huomautus Kun käytetään koordinaattimerkintää (λ 1,,λ k ) K, on kannan K alkioiden järjestys kiinnitetty Jos järjestystä vaihdetaan, myös koordinaattien λ 1,,λ k järjestys vaihtuu vastaavasti Koordinaattiesityksen yhteydessä kanta on siis järjestetty jono (v 1,,v k ) eikä joukko {v 1,,v k } Kantavektoreiden permutointi antaa siten uuden kannan 431 Esimerkki Vektorin(1,0) R 2 koordinaatit kannassak = {(π,e),(10,10 10 )} 10 ovat 9 ja e esimerkin 427(c) perusteella, sillä 10 9 π e π 10e i=1 (1,0) = π e (π,e) e π 10e (10,1010 ) Siis (1,0) = ( 109, e ) π e π 10e K Olkoon v = (, π ) 10 9 π e π 10e K Tällöin v:n koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 0 ja 1, sillä 1 v = 10 9 π e (π,e)+ π π 10e (10,1010 ) = (0,1) 432 Lause Aliavaruuden V R n jokaisessa kannassa on sama määrä vektoreita Erityisesti R n :n jokaisessa kanssa on n vektoria Todistus Olkoon K V :n kanta, jossa on k vektoria Olkoon L V :n jokin toinen kanta, jossa on l vektoria Koska L V = K ja L on lineaarisesti riippumaton, niin l k seurauksen 415(a) nojalla Samoin K V = L ja K on lineaarisesti riippumaton, joten k l Siis k = l Koska R n :n luonnollisessa kannassa on n vektoria, on siten R n :n jokaisessa kannassa n vektoria 39

40 Määritelmä Jos aliavaruudella V R n on k-alkioinen kanta, niin V :n dimensio eli ulottuvuus on k Tällöin merkitään dim V = k Lisäksi sovitaan, että dim{0} = Esimerkki (a) dimr n = n (b) Olkoon V = {x R 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0} Esimerkin 427(f) perusteella K = {( 2,1,0),( 3,0,1)} on V :n kanta, joten dimv = Lause Olkoon V R n aliavaruus ja {v 1,,v k } V lineaarisesti riippumaton Tällöin on olemassa sellainen V :n kanta K, että {v 1,,v k } K Todistus Olkoon S = {v 1,,v k } Jos S = V, niin S on V :n kanta, joten K = S Jos S V, niin on olemassa w 1 V\ S, sillä S V Tällöin S {w 1 } on lineaarisesti riippumaton lauseen 413(b) nojalla Jos S {w 1 } = V, niin S {w 1 } = K on V :n kanta Jos S {w 1 } V, niin löytyy w 2 V\ S {w 1 } Tällöin S {w 1 } {w 2 } on lineaarisesti riippumaton Jos S {w 1 } {w 2 } V, niin jatketaan näin Valintaprosessi päättyy äärellisen monen askeleen jälkeen, sillä V R n ja jokaisessar n :n lineaarisesti riippumattomassa joukossa on korkeintaannalkiota (seuraus 415(a)) Siten tuloksena on V :n kanta K = S {w 1,,w l } jollekin l, jolle k +l n 436 Seuraus Olkoon V {0} R n :n aliavaruus Tällöin V :llä on kanta Todistus Koska V {0}, on olemassa v V\{0} Esimerkin 46(d) nojalla {v} on lineaarisesti riippumaton Lauseen 435 perusteella {v} voidaan laajentaa V :n kannaksi 437 Huomautus Lauseen 424 perusteella lineaarinen verho S on aliavaruus Seurauksen 436 perusteella jokainen R n :n aliavaruus on jonkin äärellisen joukon K lineaarinen verho 438 Lause Olkoon V R n aliavaruus ja dimv = k > 0 Olkoon K V k- alkioinen joukko Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: (a) K on V :n kanta (b) K on lineaarisesti riippumaton (c) K = V Todistus Määritelmän perusteella (a) (b) ja (c) Riittää siis osoittaa, että (b) (c) (b) (c): Lauseen 435 nojalla K voidaan laajentaa V :n kannaksi L K Lauseen 432 perusteella L:ssä on k alkiota Siten L = K ja K = V (c) (b): Jos K on lineaarisesti riippuva, niin k 2, sillä jos K = {v}, niin v 0, sillä V {0} Siten lauseen 47 nojalla löytyy v K ja λ 1,,λ k 1 R, joille

41 v = v i K\{v} λ iv i Siten lauseen 413(a) perusteella V = K = K\{v}, joten lauseen 414 nojalla jokainen V :n k-alkioinen joukko on lineaarisesti riippuva, mikä on ristiriita, sillä dimv = k 439 Seuraus Olkoot v 1,,v n R n Tällöin det [ v 1 v n ] 0 {v1,,v n } on R n :n kanta 41 Todistus HT 440 Lause Olkoot V W R n aliavaruuksia Tällöin (a) dimv dimw n (b) dimv = dimw V = W Todistus HT 441 Esimerkki (a) Joukko {(π,0,e),(0,1,75),(2010,0,49)} on R 3 :n kanta, sillä siinä on kolme alkiota ja det π = 49π 2010e 0 e (b) Joukko {(1,2)} R 2 on lineaarisesti riippumaton, joten se voidaan laajentaa R 2 :n kannaksi Esimerkiksi K = {(1,2),(1, 1)} on R 2 :n kanta, sillä siinä on kaksi alkiota ja 1 1 det = Yhtälöryhmän ratkaisun geometrinen tulkinta Olkoon A M(k, n) Tarkastellaan homogeeniyhtälöä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 Ax = 0 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = 0 Harjoituksissa 6 osoitetaan, että joukko V i = {x R n n a ij x j = 0} on R n :n (n 1)-ulotteinen aliavaruus kaikilla i = 1,,k, mikäli a ij 0 jollekin j = 1,,n (Jos a ij = 0 kaikilla j = 1,,n, niin V i = R n ) Siten Ax = 0, jos ja vain jos x V i kaikilla i = 1,,k, toisin sanoen x k i=1 V i Siten yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko on (n 1)-ulotteisten aliavaruuksien leikkaus, joka on l-ulotteinen aliavaruus jollekin l n 1 Jos n = 2, kyseessä on siis suorien leikkaus j=1

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti Determinantit 1 2 2-matriisin ( A = on det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11a 22 a 12 a 21. 1 2 2-matriisin on det(a) = Esim. Jos A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 )

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot