6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio"

Transkriptio

1 6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30. Olkoot v 1 =(1, 1) ja v 2 =( 2, 1). Esimerkiksi x =2v 1 =(2, 2), w = v 1 +2v 2 =( 3, 3), z = v 2 v 1 =(1, 2) ja u = 2v 1 =( 2, 2) ovat vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaatioita. Tarkastellaan sitten vektoria y = (1, 2). Se on vektorien v 1 ja v 2 lineaarikombinaatio, jos on olemassa reaaliluvut 1 ja 2,ettäy = 1 v v 2 eli (1, 2) = 1 (1, 1) + 2 ( 2, 1). Tämä on yhtäpitävä yhtälöryhmän ] = 1 [ = 2 kanssa. htälöryhmällä on ratkaisu 1 = 5 ja 3 2 = 1,joteny voidaan kirjoittaa 3 vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaationa y = 5 3 v v 2 = 5 3 (1, 1) + 1 ( 2, 1) = (1, 2). 3 37

2 i:s Merkintä 4. Merkitään e i = (0,...,0, 1, 0,...,0) œ R n, i =1,...,n. Vektoreita e 1,...,e n kutsutaan R n :n luonnollisiksi kantavektoreiksi. Esimerkki 31. (a) Vektori (3, 4, 5) œ R 3 on luonnollisten kantavektorien e 1,e 2,e 3 œ R 3 lineaarikombinaatio, sillä (3, 4, 5) = 3(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) = 3e 1 +4e 2 +5e 3. (b) Olkoot x =( 1, 1, 2), v 1 =(1, 2, 0), v 2 =(3, 0, 4) ja v 3 =(2, 1, 2). Onko x vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio? Tutkitaan, löytyykö sellaiset 1, 2, 3 œ R, että x = 1 v v v 3 ( 1, 1, 2) = 1 (1, 2, 0) + 2 (3, 0, 4) + 3 (2, 1, 2) ( 1, 1, 2) = ( , , ) _] = = 1 _[ = 2. _] 1 = = 1 2 _[ œ R. htälöryhmällä on siis äärettömän monta ratkaisua. Valitsemalla esimerkiksi 3 =0saadaan x = 1 2 v v 2 +0 v 3. Siten x on vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio. Huomaa, että esitys ei ole yksikäsitteinen. 6.2 Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Määritelmä 20. Vektorit v 1,...,v k œ R n ovat lineaarisesti riippuvia, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että i =0jollekin i =1,...,k ja q k i=1 i v i =0. Muutoin vektorit v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen ehdosta q ki=1 i v i =0seuraa, että 1 = = k =0. Huomautus 10. (a) Lineaarisesti riippuvien vektorien monikerroista voidaan muodostaa suljettu silmukka. 38

3 (b) Sanotaan, että joukko {v 1,...,v k } on lineaarisesti riippuva/riippumaton, jos vektorit v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippuvia/riippumattomia. (a) Lineaarisesti riippuvat (b) Lineaarisesti riippuvat (c) Lineaarisesti riippumattomat Esimerkki 32. (a) Vektorit v 1 =(1, 2, 0), v 2 =(3, 0, 4) ja v 3 =(2, 1, 2) ovat lineaarisesti riippuvia, sillä 1 v 1 +1 v 2 2 v 3 =(1, 2, 0) + (3, 0, 4) (4, 2, 4) = (0, 0, 0) = 0. (b) Joukko {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} µr 3 on lineaarisesti riippumaton, sillä ehdosta 1 (1, 0, 0)+ 2 (0, 0, 1) = (0, 0, 0), seuraa, että ( 1, 0, 2 )=(0, 0, 0) eli 1 =0= 2. (c) Olkoot v 1,...,v k œ R n. Jos v i =0jollakin i =1,...,k, niin vektorit v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippuvia. Todistus. Valitaan j =0kaikilla j = i ja i =1. Tällöin j v j =0 v v i 1 +1 v i +0 v i v k =0+1 0=0 j=1 ja i =0. (d) Olkoon V = {v} µr n. Tällöin V on lineaarisesti riippumaton täsmälleen silloin, kun v = 0. Todistus. : Jos v =0, niin (c)-kohdan perusteella V on lineaarisesti riippuva. : Jos v = 0, niin v =0vain, jos =0, joten V on lineaarisesti riippumaton. (e) Jos vektorit v 1,...,v k œ R n ovat lineaarisesti riippuvia, niin vektorit v 1,..., v k,v œ R n ovat lineaarisesti riippuvia olipa v œ R n mikä tahansa. Todistus. HT. 39

4 (f) Lineaarisesti riippumattoman joukon jokainen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti riippumaton. Todistus. HT. Lause 22. Olkoon äärellisessä joukossa V µ R n vähintään kaksi alkiota. Tällöin V on lineaarisesti riippuva täsmälleen silloin, kun jokin V :n alkio v on joidenkin joukon V \{v} alkioiden lineaarikombinaatio. Todistus. : Oleteaan, että v œ V on vektorien v 1,...,v k œ V \{v} lineaarikombinaatio, toisin sanoen v = q k i=1 i v i joillekin i œ R, i =1,...,k. Tällöin i v i 1 v =0, i=1 joten vektorit v 1,...,v k,vovat lineaarisesti riippuvia. Siten V on lineaarisesti riippuva esimerkin 32 (e) perusteella. : Olkoon V = {v 1,...,v k } lineaarisesti riippuva. Tällöin on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että i =0jollekin i =1,...,k ja q k j=1 j v j =0. Siten i v i = j v j eli v i = j=1 j =i j=1 j =i joten v i on joukon V \{v i } alkioiden lineaarikombinaatio. j i v j, Huomaa, että Lause 22 ei väitä, että jokainen vektori lineaarisesti riippuvassa joukossa voitaisiin esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Lineaarisesti riippuvassa joukossa voi siis olla vektoreita, jotka eivät ole muiden vektoreiden lineaarikombinaatioita. Vrt. esimerkiksi joukko V = {(1, 2), (3, 0), (4, 8)} µr 2. Lause 23. Olkoon A œm(n, k). Merkitään A = Ë È A 1 A k, missä Ai œ R n on A:n i:s sarakevektori kaikilla i =1,...,k. Tällöin vektorit A 1,...,A k œ R n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos homogeeniyhtälöllä Ax =0on vain triviaaliratkaisu x =0. S T a 11 a ik Todistus. Merkitään A = W X U.. V. Nyt a n1... a nk Ax =0 S T S T a 11 x a 1k x k W X U. V = W X U0. V a n1 x a nk x k 0 S T S T S T a 11 x 1 a 1k x k W X U. V + + W X U. V = W X U0. V x 1 A x k A k =0, a n1 x 1 a nk x k 0 40

5 missä x i œ R ja A i œ R n kaikilla i =1,...,k. Jos A 1,...,A k ovat lineaarisesti riippumattomia, niin x 1 = = x k =0,joten yhtälöllä Ax =0on vain triviaaliratkaisu x =0. Jos taas yhtälöllä Ax =0on vain triviaaliratkaisu, niin vektorit A 1,...,A k ovat lineaarisesti riippumattomia. Seuraus 1. Olkoot v 1,...,v n œ R n. Määritellään matriisi A œm(n, n) asettamalla A = Ë v 1 v n È. Tällöin vektorit v1,...,v n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos det A = 0. Todistus. Seuraa lauseista 23, 13 ja 18. Esimerkki 33. (a) Olkoot v 1 =(a 11,a 21 ) œ R 2 ja v 2 =(a 12,a 22 ) œ R 2. Tällöin v 1 ja v 2 ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos C D a11 a det 12 = 0, a 21 a 22 joka puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että vektorien v 1 ja v 2 virittämän suunnikkaan pinta-ala on positiivinen, joka tapahtuu täsmälleen silloin, kun v 1 ja v 2 ovat eri suuntaiset. (b) Olkoot v 1 =(0, 3, 1), v 2 =(1, 1, 1) ja v 3 =(3, 3, 5). Tutkitaan, ovatko v 1, v 2 ja v 3 lineaarisesti riippuvia: S T W X det U S T W X = det U3 1 6V = (6 6) = 0, V AS 23 ( 3) joten v 1, v 2 ja v 3 ovat lineaarisesti riippuvia. Kuitenkin ne ovat selvästi eri suuntaisia. 6.3 Lineaarinen verho Määritelmä 21. Olkoon S = {v 1,...,v k }µr n epätyhjä äärellinen joukko. Joukon S lineaarinen verho (peite) ÈSÍ = Èv 1,...,v k Í = { j v j j œ R, j=1,...,k} j=1 on vektorien v 1,...,v k kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko. Vektori w kuuluu siis joukon S = {v 1,...,v k } lineaariseen verhoon ÈSÍ, jos se voidaan kirjoittaa vektoreiden v 1,...,v k lineaarikombinaationa eli on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että w = 1 v v k v k. 41

6 (a) Vektorin v œ R 3 lineaarinen verho ÈvÍ on origon kautta kulkeva suora. Esimerkki 34. (b) Vektoreiden v, w œ R 3 määräämä lineaarinen verho Èv, wí on origon kautta kulkeva taso. (c) Nollavektorin 0 œ R 3 määräämä lineaarinen verho È0Í on nollavektori. Esimerkki 35. (a) Aina pätee, että S µèsí, sillä v =1 v + q wœs\{v} 0 w kaikilla v œ S. (b) È1Í = { 1 œ R} = R. (c) Avaruuden R n luonnolliset kantavektorit e 1,...,e n ovat lineaarisesti riippumattomia ja Èe 1,...,e n Í = R n. Todistus. HT. (d) Olkoon S = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1)} µr 3. Tällöin ÈSÍ = R 3. Todistus. Selvästi ÈSÍ µr 3, sillä S µ R 3. Osoitetaan, että R 3 µèsí. Olkoon x œ R 3. On löydettävä sellaiset 1,..., 4 œ R, että x= 1 (1, 0, 0) + 2 (2, 1, 0) + 3 (0, 0, 1) + 4 (0, 1, 1)=( , 2 + 4, ) _] = x = x 2 _[ = x 3 1 = x 1 2x _] 2 = x = x 3 4 _[ 4 œ R. Valitaan 4 =0, jolloin 1 = x 1 2x 2, 2 = x 2 ja 3 = x 3. Siis x =(x 1 2x 2 )(1, 0, 0) + x 2 (2, 1, 0) + x 3 (0, 0, 1) + 0 (0, 1, 1) œèsí eli R 3 µèsí. Näin ollen ÈSÍ = R 3. (e) Mikä on joukon S = {(1, 0, 1), (2, 0, 1)} lineaarinen verho? Selvästi ÈSÍ µr 3. Edelleen, x œèsí, jos ja vain jos on olemassa sellaiset 1, 2 œ R, että _] = x 1 _] 1 =2x 3 x 1 x = 1 (1, 0, 1) + 2 (2, 0, 1) 0=x 2 2 = x 1 x 3 _[ _[ = x 3 x 2 =0 Siis x œèsí, jos ja vain jos x 2 =0eli ÈSÍ = {x œ R 3 x 2 =0} on xz-taso. 42

7 Lause 24. Olkoon S = {v 1,...,v k }µr n epätyhjä joukko ja x œ R n. Tällöin (a) x œèsí ÈS fi{x}í = ÈSÍ. (b) Jos S on lineaarisesti riippumaton, niin x/œèsí v 1,...,v k,x ovat lineaarisesti riippumattomia. Todistus. (a) : Oletetaan, että x œèsí eli x = q k i=1 i v i joillekin 1,..., k œ R. On osoitettava, että ÈS fi{x}í = ÈSÍ. Selvästi ÈSÍ µès fi{x}í, sillä jos y œèsí, niin on olemassa sellaiset µ 1,...,µ k œ R, että y = µ i v i = µ i v i +0 x, i=1 i=1 joten y œès fi{x}í. Olkoon siis y œès fi{x}í. Tällöin on olemassa sellaiset µ 1,...,µ k,µ k+1 œ R, että y = µ i v i + µ k+1 x = µ i v i + µ k+1 i v i = (µ i + µ k+1 i )v i, i=1 i=1 i=1 i=1 joten y œèsí. Siis ÈS fi{x}í µ ÈSÍ ja ÈS fi{x}í = ÈSÍ. : Oletetaan, että ÈS fi{x}í = ÈSÍ. Esimerkin 35(a) nojalla x œ ÈS fi{x}í = ÈSÍ, joten x œèsí. (b) HT. Lause 25. Olkoon S = {v 1,...,v k }µr n epätyhjä joukko ja w 1,...,w l œèsí, missä l Ø k +1. Tällöin w 1,...,w l ovat lineaarisesti riippuvia. Todistus. Koska w j œèsí kaikilla j =1,...,l, löytyy sellaiset a ij œ R, i =1,...,k, j =1,...,l,että w 1 = a 11 v a k1 v k _] w 2 = a 12 v a k2 v k _[. w l = a 1l v a kl v k. Riittää löytää sellaiset 1,..., l œ R, että( 1,..., l ) = 0ja q l j=1 j w j =0, toisin sanoen yhtälöllä 1 (a 11 v a k1 v k )+ + l (a 1l v a kl v k ) =(a a 1l l )v 1 + +(a k a kl l )v k =0 (ú) 43

8 on epätriviaali ratkaisu =( 1,..., l ) = 0. htälö (ú) toteutuu ainakin silloin, kun jokaisen v i :n kerroin on nolla eli homogeeniyhtälö a _] a 1l l =0. _[ a k a kl l =0. toteutuu. Koska tässä yhtälöryhmässä on enemmän tuntemattomia kuin yhtälöitä (l >k), niin Gaussin ja Jordanin menetelmän tapaus (1) ei esiinny. Koska yhtälö on homogeeninen, tapaus (2) ei ole mahdollinen. Siten yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua. Erityisesti sillä on ratkaisu = 0. Seuraus 2. Olkoon S = {v 1,...,v k }µr n. (a) Jos k > n, niin S on lineaarisesti riippuva. (b) Jos k<n, niin ÈSÍ = R n. Todistus. (a) Koska Èe 1,...,e n Í = R n, v 1,...,v k œ R n ja k > n, niin lauseen 25 nojalla v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippuvia. (b) Jos ÈSÍ = R n, niin lauseen 25 nojalla e 1,...,e n œ R n olisivat lineaarisesti riippuvia (n >k), mikä on ristiriita. Seuraus 3. Olkoon S µ R n lineaarisesti riippumaton. Tällöin ÈSÍ = R n S : ssä on n alkiota. Todistus. : Seuraa seurauksessa 2. : Jos ÈSÍ = R n, niin on olemassa x œ R n \ÈSÍ. Lauseen 24(b) nojalla S fi{x} on lineaarisesti riippumaton, mikä on ristiriita seurauksen 2 kanssa. Esimerkki 36. (a) Joukko {(1, 1, 5), (3, 3, 2), (e, fi, e fi ), (10, 10 10, )} on lineaarisesti riippuva. (b) È(4, 3, 2, 1, 0), (1, 2, 3, 4, 5)Í = R 5. (c) È(0, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3)Í = R 3, sillä S T W X det U3 1 2V = 3 = 0, joten (0, 3, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 3) ovat lineaarisesti riippumattomia seurauksen 1 nojalla. 44

9 6.4 Avaruuden R n aliavaruudet Tässä kappaleessa tarkastellaan sellaisia avaruuden R n osajoukkoja, jotka ovat suljettuja yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Toisin sanoen, jos kaksi joukon vektoria lasketaan yhteen, summa kuuluu samaan joukkoon, ja jos joukon vektoria kerrotaan reaaliluvulla, monikerta kuuluu edelleen samaan joukkoon. Esimerkki 37. Joukko R voidaan upottaa tasoon R 2 samastamalla se joukon R = {(x, 0) œ R 2 x œ R} kanssa. Jos x, y œ R, niin x+y =(x 1, 0)+(y 1, 0) = (x 1 +y 1, 0) œ R ja x = (x 1, 0) = ( x 1, 0) œ R kaikilla œ R. Onko R 2 :ssa muita aitoja osajoukkoja, jotka ovat suljettuja yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen? Entä R n :ssä? (a) Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. (b) Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Esimerkki 38. Määritelmä 22. Epätyhjä joukko V µ R n on R n :n (vektori)aliavaruus, jos (a) v, w œ V v + w œ V ja (b) œ R, vœ V v œ V. Huomautus 11. Aliavaruus on epätyhjä joukko, joten siellä on vähintään yksi alkio v œ V.Koska v œ V kaikilla œ R, niin 0=0 v œ V. Nolla-alkio kuuluu siis aina aliavaruuteen. Esimerkki 39. (a) Joukot V = {0} ja V = R n ovat R n :n triviaalit aliavaruudet. (b) Joukko V = {(t, 5t) œ R 2 t œ R} on R 2 :n aliavaruus. Todistus. Koska (0, 0) = (0, 5 0) œ V, niin V = ÿ. Olkoot v, w œ V. Tällöin on olemassa sellaiset s, t œ R, ettäv =(s, 5s) ja w =(t, 5t). Nyt v + w =(s, 5s)+(t, 5t) =(s + t, 5(s + t)) = (h, 5h) œ V, 45

10 sillä h = s + t œ R. Samoin kaikilla œ R, v = (s, 5s) =( s, 5 s) =(h, 5h) œ V, missä h = s œ R. Siis V on aliavaruus. (c) Joukko H = {(x, y) œ R 2 x + y =1} ei ole R 2 :n aliavaruus, sillä 0 /œ H, koska 0+0 = 1. Huomaa, että (1, 0) œ H, mutta 2 (1, 0) /œ H, sillä 2+0 = 1. Samoin (0, 1) œ H, mutta (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) /œ H, sillä 1+1 = 1. (d) V 1 on R 2 :n aliavaruus, mutta V 2 ja V 3 eivät ole: (e) Joukko V = {x œ R 3 x 1 +2x 2 +3x 3 =0} on R 3 :n aliavaruus. Todistus. Koska =0, niin 0 œ V,jotenV = ÿ. Olkoot x, y œ V. Nyt (x + y) 1 +2(x + y) 2 +3(x + y) 3 = x 1 + y 1 +2x 2 +2y 2 +3x 3 +3y 3 = x 1 +2x 2 +3x 3 + y 1 +2y 2 +3y 3 =0+0=0, joten x + y œ V. Samoin kaikilla œ R ( x) 1 +2( x) 2 +3( x) 3 = x 1 +2 x 2 +3 x 3 = (x 1 +2x 2 +3x 3 )= 0=0, joten x œ V. Siis V on R 3 :n aliavaruus. Lause 26. Olkoot V,W µ R n aliavaruuksia. Tällöin V fl W on R n :n aliavaruus, mutta V fi W ei yleensä ole R n :n aliavaruus. Todistus. Koska 0 œ V ja 0 œ W, niin 0 œ V fl W,jotenV fl W = ÿ. Olkoot v, w œ V fl W ja œ R. Nyt v, w œ V,jotenv + w œ V,jav, w œ W joten v + w œ W. Siis v + w œ V fl W. Lisäksi v œ V ja v œ W,joten v œ V fl W. Näin ollen V fl W on R n :n aliavaruus. Tapaus V fi W HT. Lause 27. Olkoon V µ R n aliavaruus. Tällöin kaikilla k œ N pätee: jos v 1,...,v k œ V ja 1,..., k œ R, niin q k i=1 i v i œ V. Todistus. HT. 46

11 Esimerkin 39 kohdassa (e) osoitettiin, että tietyn homogeenisen lineaarisen yhtälön ratkaisut muodostavat aliavaruuden eli tietty origon kautta kulkeva taso on aliavaruus. Tämä yleistetään seuraavan lauseen (a)-kohdassa. Kohdassa (b) osoitetaan, että jos yhtälöllä Ax = b on ratkaisu, niin sen ratkaisujoukko saadaan siirtämällä homogeenisen yhtälöryhmän Ax =0ratkaisujoukko vektorin x 0 määräämään kohtaan, missä x 0 on jokin yhtälön Ax = b ratkaisu. Lause 28. (a) Olkoon A œm(k, n). htälöryhmän Ax =0ratkaisujoukko R 0 on R n :n aliavaruus. (b) Olkoon b œ R k ja A œm(k, n). Oletetaan, että yhtälöryhmällä Ax = b on jokin ratkaisu x 0. Tällöin yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko on R = x 0 + R 0 = {x 0 + y y œ R 0 }, missä R 0 on yhtälöryhmän Ax =0ratkaisujoukko. Todistus. (a) Koska A0 =0, niin 0 œ R 0. Olkoot x, y œ R 0. Tällöin joten x + y œ R 0. Samoin kaikilla œ R, joten x œ R 0. A(x + y) =Ax + Ay =0+0=0, A( x) = Ax = 0=0 (b) Olkoon z œ R. Tällöin z = x 0 + y jollakin y œ R 0. Nyt Az = A(x 0 + y) =Ax 0 + Ay = b +0=b, joten z on yhtälön Ax = b ratkaisu. Jos taas z on yhtälön Ax = b ratkaisu, niin A(z x 0 )=Az Ax 0 = b b =0, joten z x 0 œ R 0. Nyt z = x 0 + z x 0 œ R. Lause 29. Epätyhjän joukon S = {v 1,...,v k }µr n lineaarinen verho ÈSÍ on R n :n aliavaruus. Se on pienin R n :n aliavaruus, joka sisältää joukon S, toisin sanoen, jos V on R n :n aliavaruus ja S µ V, niin ÈSÍ µv. Todistus. Osoitetaan, ensin, että ÈSÍ on R n :n aliavaruus. Koska S µèsí ja S = ÿ, niin ÈSÍ = ÿ. Olkoot v, w œèsí. Tällöin on olemassa 1,..., k œ R ja µ 1,...,µ k œ R, joille v = q k i=1 i v i ja w = q k i=1 µ i v i. Tällöin v + w = i v i + µ i v i = ( i + µ i )v i œèsí. i=1 i=1 i=1 47

12 Samoin, jos œ R, niin v = i v i = ( i )v i œèsí. i=1 i=1 Siis ÈSÍ on R n :n aliavaruus. Olkoon V R n :n aliavaruus, jolle S µ V. Osoitetaan, että ÈSÍ µv. Olkoon v œèsí. Tällöin löytyy sellaiset 1,..., k œ R, ettäv = q k i=1 i v i.koskav i œ V kaikilla i =1,...,k, niin lauseen 27 nojalla v œ V. Siis ÈSÍ µv. Huomautus 12. (a) Joukon S lineaarista verhoa ÈSÍ kutsutaan usein S:n virittämäksi aliavaruudeksi. Jos V on aliavaruus ja V = ÈSÍ, niin S virittää V :n. (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,...,e n virittävät R n :n, sillä Èe 1,...,e n Í = R n. Lisäksi vektorit e 1,...,e n ovat lineaarisesti riippumattomia. 6.5 Kanta Kuten esimerkissä 35 ja Lauseessa 24 osoitettiin, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio voidaan esittää yksikäsitteisessä muodossa tämän vektorijoukon alkioiden lineaarikombinaationa. Määritelmä 23. Olkoon V µ R n aliavaruus. Vektorit v 1,...,v k œ V muodostavat aliavaruuden V kannan, jos (a) v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippumattomia ja (b) Èv 1,...,v k Í = V. Tällöin sanotaan, että joukko {v 1,...,v k } on V :n kanta. Esimerkki 40. (a) Vektori 1 œ R muodostaa R:n luonnollisen kannan (esimerkki 32(d) ja 35(b)). Myös 2 œ R on R:n kanta. (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,...,e n œ R n muodostavat R n :n kannan. (c) Joukko S = {(fi, e), (10, )} on R 2.n kanta. Perustelu: Vektorit (fi, e) ja (10, ) ovat lineaarisesti riippumattomia, sillä C D fi 10 det e = fi e = 0, koska fi > 100 ja 10 e<30. Selvästi ÈSÍ µr 2. Olkoon x œ R 2. Etsitään sellaiset, µ œ R, että (fi, e)+µ(10, )=(x 1,x 2 ) ] [ = 109 x 1 x fi e µ = fix 2 ex fi 10e. 48 I fi +10µ = x1 e µ = x 2

13 Siis (x 1,x 2 )= 109 x 1 x 2 (fi, e) + fix 2 ex 1 (10, 10 9 fi e fi 10e 1010 ). Näin ollen ÈSÍ = R 2 ja S on R 2 :n kanta. Huomaa, että seuraus 3 antaa suoraan tiedon ÈSÍ = R 2. (d) Aliavaruudella voi olla useita eri kantoja (vrt. (c)-kohta). (e) Joukko S = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1)} µr 3 ei ole R 3 :n kanta, vaikka ÈSÍ = R 3 (esimerkki 35(d)), sillä S on lineaarisesti riippuva seurauksen 2(a) perusteella. (f) Esimerkissä 39(f) todettiin, että V = {x œ R 3 x 1 +2x 2 +3x 3 =0} on R 3 :n aliavaruus. Etsitään V :lle kanta. Koska x œ V, jos ja vain jos x 1 = 2x 2 3x 3 on V = {( 2s 3t, s, t) œ R 3 s, t œ R}. Siis x œ V, jos ja vain jos on olemassa sellaiset s, t œ R, että x =( 2s 3t, s, t) =( 2s, s, 0) + ( 3t, 0,t)=s( 2, 1, 0) + t( 3, 0, 1). Näin ollen V = È( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1)Í. Osoitetaan vielä, että ( 2, 1, 0) ja ( 3, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomia. Olkoot, µ œ R sellaiset, että _] ( 2, 1, 0) + µ( 3, 0, 1) = 0 _[ 2 3µ = 0 = 0 µ = 0 I = 0 µ = 0. Siis vektorit ( 2, 1, 0) ja ( 3, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomat. Siten joukko {( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1)} on V :n kanta. (g) Jokainen lineaarisesti riippumaton joukko on lineaarisen verhonsa kanta. (h) Triviaalilla vektoriavaruudella {0} ei ole kantaa, sillä sillä ei ole yhtään lineaarisesti riippumatonta osajoukkoa. Lause 30. Jos vektorit v 1,...,v k œ R n ovat lineaarisesti riippumattomia, niin jokainen v œèv 1,...,v k Í voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa missä 1,..., k œ R. v = i v i, i=1 Todistus. Olkoon v œèv 1,...,v k Í. Tällöin on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että v = q k i=1 i v i. Olkoot µ 1,...,µ k œ R sellaiset, että v = q k i=1 µ i v i. Osoitetaan, että i = µ i kaikilla i =1,...,k. Nyt 0=v v = i v i µ i v i = ( i µ i )v i. i=1 i=1 i=1 Koska v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippumattomia, on i µ i =0kaikilla i =1,...,k eli i = µ i kaikilla i =1,...,k. 49

14 6.6 Koordinaatit Määritelmä 24. Olkoon K = {v 1,...,v k } aliavaruuden V µ R n kanta. Vektorin v œ ÈKÍ koordinaatit kannassa K ovat lauseen 30 antamat yksikäsitteiset kertoimet 1,..., k, joille v = q k i=1 i v i. Tällöin merkitään v =( 1,..., k ) K. Jos K on avaruuden R n luonnollinen kanta, niin alaindeksi K jätetään pois: x =(x 1,...,x n ). Huomautus 13. Kun käytetään koordinaattimerkintää ( 1,..., k ) K, on kannan K alkioiden järjestys kiinnitetty. Jos järjestystä vaihdetaan, myös koordinaattien 1,..., k järjestys vaihtuu vastaavasti. Koordinaattiesityksen yhteydessä kanta on siis järjestetty jono (v 1,...,v k ) eikö joukko {v 1,...,v k }. Kantavektoreiden permutointi antaa siten uuden kannan. Esimerkki 41. Kuva 6: Pisteen x koordinaatit kannassa {b 1,b 2 } ovat (3, 2). Esimerkki 42. Vektorin (1, 0) œ R 2 koordinaatit kannassa K = {(fi, e), (10, )} 10 ovat 9 ja e esimerkin 40(c) perusteella, sillä 10 9 fi e fi 10e (1, 0) = fi e (fi, e) e fi 10e (10, 1010 ) fi 10e ) K. Tällöin v:n koordi- Siis (1, 0) = ( 109, e ) fi e fi 10e K. Olkoon v =( naatit luonnollisessa kannassa ovat 0 ja 1, sillä v = 10 9 fi e, fi fi e (fi, e)+ fi fi 10e (10, 1010 )=(0, 1). Lause 31. Aliavaruuden V µ R n jokaisessa kannassa on sama määrä vektoreita. Erityisesti R n :n jokaisessa kannassa on n vektoria. 50

15 Todistus. Olkoon K V:n kanta, jossa on k vektoria. Olkoon L V:n jokin toinen kanta, jossa on l vektoria. Koska L µ V = ÈKÍ ja L on lineaarisesti riippumaton, niin l Æ k seurauksen 2(a) nojalla. Samoin K µ V = ÈLÍ ja K on lineaarisesti riippumaton, joten k Æ l. Siis k = l. KoskaR n :n luonnollisessa kannassa on n vektoria, on siten R n :n jokaisessa kannassa n vektoria. 6.7 Dimensio Määritelmä 25. Jos aliavaruudella V µ R n on k-alkioinen kanta, niin V :n dimensio eli ulottuvuus on k. Tällöin merkitään dim V = k. Lisäksi sovitaan, että dim {0} =0. Esimerkki 43. (a) dim R n = n. (b) Olkoon V = {x œ R 3 x 1 +2x 2 +3x 3 =0}. Esimerkin 40(f) perusteella K = {( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1)} on V :n kanta, joten dim V =2. Lause 32. Olkoon V µ R n aliavaruus ja {v 1,...,v k }µv lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen V :n kanta K, että {v 1,...,v k }µk. Todistus. Olkoon S = {v 1,...,v k }. Jos ÈSÍ = V, niin S on V :n kanta, joten K = S. Jos ÈSÍ = V, niin on olemassa w 1 œ V \ÈSÍ, sillä ÈSÍ µv. Tällöin S fi{w 1 } on lineaarisesti riippumaton lauseen 24(b) nojalla. Jos ÈSfi{w 1 }Í = V, niin Sfi{w 1 } = K on V :n kanta. Jos ÈS fi{w 1 }Í = V, niin löytyy w 2 œ V \ÈS fi{w 1 }Í. Tällöin S fi{w 1 }fi {w 2 } on lineaarisesti riippumaton. Jos ÈS fi{w 1 }fi{w 2 }Í = V, niin jatketaan näin. Valintaprosessi päättyy äärellisen monen askeleen jälkeen, sillä V µ R n ja jokaisessa R n :n lineaarisesti riippumattomassa joukossa on korkeintaan n alkiota (seuraus 2(a)). Siten tuloksena on V :n kanta K = S fi{w 1,...,w l } jollekin l, jolle k + l Æ n. Seuraus 4. Olkoon V = {0} R n :n aliavaruus. Tällöin V :llä on kanta. Todistus. Koska V = {0}, on olemassa v œ V \{0}. Esimerkin 32(d) nojalla {v} on lineaarisesti riippumaton. Lauseen 32 perusteella {v} voidaan laajentaa V :n kannaksi. Huomautus 14. Lauseen 29 perusteella lineaarinen verho ÈSÍ on aliavaruus. Seurauksen 4 perusteella jokainen R n :n aliavaruus on jonkin äärellisen joukon K lineaarinen verho. Lause 33. Olkoon V µ R n aliavaruus ja dim V = k>0. Olkoon K µ V k-alkioinen joukko. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: (a) K on V :n kanta. (b) K on lineaarisesti riippumaton. (c) ÈKÍ = V. 51

16 Todistus. Määritelmän perusteella (a) (b) ja (c). Riittää siis osoittaa, että (b) (c). (b) (c): Lauseen 32 nojalla K voidaan laajentaa V :n kannaksi L K. Lauseen 31 perusteella L:ssä on k alkiota. Siten L = K ja ÈKÍ = V. (c) (b): Jos K on lineaarisesti riippuva, niin k Ø 2, sillä jos K = {v}, niin v = 0, sillä V = {0}. Siten lauseen 22 nojalla löytyy v œ K ja 1,..., k 1 œ R, joille v = q v i œk\{v} i v i. Siten lauseen 24(a) perusteella V = ÈKÍ = ÈK\{v}Í, joten lauseen 25 nojalla jokainen V :n k-alkioinen joukko on lineaarisesti riippuva, mikä on ristiriita, sillä dim V = k. Seuraus 5. Olkoot v 1,...,v n œ R n. Tällöin Todistus. HT. det Ë v 1 v n È =0 {v1,...,v n } on R n :n kanta. Esimerkki 44. (a) Joukko {(fi, 0,e), (0, 1, 75), (2010, 0, 49)} on R 3 :n kanta, sillä siinä on kolme alkiota ja S T fi W X det U0 1 0 V =49fi 2010e = 0. e (b) Joukko {(1, 2)} µr 2 on lineaarisesti riippumaton, joten se voidaan laajentaa R 2 :n kannaksi. Esimerkiksi K = {(1, 2), (1, 1)} on R 2 :n kanta, sillä siinä on kaksi alkiota ja det C D 1 1 = 3 =

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Kanta ja dimensio 1 / 23

Kanta ja dimensio 1 / 23 1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti Lineaarialgebra I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti 2 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 11 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälö 5x = 7 Kerrotaan yhtälö puolittain

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6 Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det

Lisätiedot

802120P MATRIISILASKENTA (5 op)

802120P MATRIISILASKENTA (5 op) 802120P MARIIILAKENA (5 op) Oulun yliopisto Matemaattiset tieteet 2015 ero Vedenjuoksu 1 Alkusanat ämä luentomoniste pohjautuu osaksi Esa Järvenpään (2011) ja osaksi Hanna Kiilin (2014) kurssin Lineaarialgebra

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi, s2016, L2

Matemaattinen Analyysi, s2016, L2 Matemaattinen Analyysi, s2016, L2 riippumattomuus, 1 Esimerkkejä esimerkki Dieetti-välipala 1: Opiskelija Ken Obi on dieetillä. Lenkin jälkeen Ken pysähtyy välipalalle. Dieetin mukaan hänen pitäisi saada

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä 1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:

Lisätiedot

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151

8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151 Vaasan yliopiston julkaisuja 151 8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS KantaOrthogon Sec:LinIndep 8.1 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus on oikeastaan jo määritelty, mutta kirjoitamme määritelmät

Lisätiedot

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi I LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 1 Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi Tällä kurssilla käytämme kirjainta K tarkoittamaan reaalilukuja R, kompleksilukuja C tai rationaalilukuja Q (aluksi K = R) Nämä lukujoukot

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot