Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141"

Transkriptio

1 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä /141

2 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja. Toisin sanottuna R n = { (v 1, v 2,..., v n ) v 1, v 2,..., v n R }. Avaruuden R n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Jos u 1, u 2,..., u n R, niin ū = (u 1, u 2,..., u n ) on avaruuden R n vektori ja sanotaan, että u 1, u 2,..., u n ovat vektorin ū komponentit. LM2, Kesä /141

3 Kertausta: avaruuden R n vektoreiden yhteenlasku ja skalaarikertolasku Määritelmä Oletetaan, että v = (v 1,..., v n ) R n, w = (w 1,..., w n ) R n ja c R. Vektoreiden v ja w summa on vektori v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ). Skalaarikertolasku tarkoittaa vektorin kertomista reaaliluvulla. On sovittu, että c v = (cv 1, cv 2,..., cv n ). LM2, Kesä /141

4 Kertausta: yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. LM2, Kesä /141

5 Kertausta: yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Alla esiintyvä vektori 0 = (0, 0,..., 0) on nimeltään nollavektori. Lause 1 Oletetaan, että v, w, ū R n ja a, c R. Tällöin (a) v + w = w + v (b) (ū + v) + w = ū + ( v + w) (c) v + 0 = v (d) v + ( v) = 0 (e) c( v + w) = c v + c w (f) (a + c) v = a v + c v (g) a(c v) = (ac) v (h) 1 v = v (vaihdannaisuus) (osittelulaki) (osittelulaki) (liitännäisyys) LM2, Kesä /141

6 Vektoriavaruus Ottamalla lähtökohdaksi avaruuden R n vektorien yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuudet, voidaan määritellä abstraktimpi ja yleisempi vektoriavaruuden käsite. LM2, Kesä /141

7 Vektoriavaruus Määritelmä (eli sopimus) Oletetaan, että joukossa V on määritelty jonkinlainen yhteenlasku ja skalaarikertolasku. Jos seuraavat ehdot pätevät kaikilla v, w, ū V ja a, b R, niin joukkoa V kutsutaan vektoriavaruudeksi ja sen alkioita vektoreiksi. (1) v + w = w + v (vaihdannaisuus). (2) (ū + v) + w = ū + ( v + w) (liitännäisyys). (3) On olemassa ns. nollavektori 0 V, jolle pätee v + 0 = v. (4) Jokaista vektoria v V kohti on olemassa ns. vastavektori v V, jolle pätee v + ( v) = 0. LM2, Kesä /141

8 (5) a( v + w) = a w + a v (osittelulaki). (6) (a + b) v = a v + b v (osittelulaki). (7) (ab) v = a(b v). (8) 1 v = v. Huom. Ehdossa (6) yhtälön vasemmalla puolella on skalaarien a R ja b R summa a + b; kyseessä on siis tavallinen reaalilukujen yhteenlasku. Yhtälön oikealla puolella on vektoreiden a v V ja b v V summa a v + b v; kyseessä on siis joukossa V määritelty vektorien välinen yhteenlasku. Ehdossa (7) yhtälön vasemmalla puolella sulkujen sisällä on skalaarien a R ja b R tulo ab; kyseessä on siis tavallinen reaalilukujen kertolasku. Yhtälön oikealla puolella on vektorin b v V ja skalaarin a R skalaaritulo a(b v); siinä kaikki tulot ovat skalaarituloja. LM2, Kesä /141

9 Huom. Skalaari tarkoittaa tällä kurssilla reaalilukua, sillä tällä kurssilla käsitellään reaalikertoimisia vektoriavaruuksia. Kompleksikertoimisilla vektoriavaruuksilla skalaarit ovat kompleksilukuja. Periaatteessa skalaarit voivat olla minkä tahansa ns. kunnan alkioita. Vektoriavaruuden V nollavektoria voidaan merkitä myös 0 V. Sen ei tarvitse ulkonäöltään muistuttaa avaruuden R n nollavektoria ollenkaan. LM2, Kesä /141

10 Esimerkkejä vektoriavaruuksista Voidaan osoittaa, että seuraavat joukot mainituilla yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla varustettuina ovat vektoriavaruuksia: Joukko R n varustettuna tavallisella yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla: v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ) c v = (cv 1, cv 2,..., cv n ). Joukko R varustettuna tavallisella reaalilukujen yhteenlaskulla ja kertolaskulla. Kaikkien m n -matriisien joukko M m n varustettuna matriisien tavallisella yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla. LM2, Kesä /141

11 Esimerkkejä vektoriavaruuksista Kaikkien kuvausten R R joukko F, jossa yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään ns. pisteittäin: Oletetaan, että f, g F ja a R. Kuvausten f : R R ja g : R R summa on kuvaus f + g : R R, jolla x f (x) + g(x). Kuvaus f : R R kerrottuna skalaarilla a on kuvaus af : R R, jolla x af (x). LM2, Kesä /141

12 Esimerkki 2 Kuvausten yhteenlasku Tarkastellaan kuvauksia f : R R, x sin x, ja g : R R, x 0,5x + 1. Niiden summa on kuvaus f + g : R R, jolla x sin x + 0,5x + 1. (x, f(x) + g(x)) (x, g(x)) (x, f(x)) g f + g (x,0) f LM2, Kesä /141

13 Esimerkki 3 Kuvauksen kertominen skalaarilla Tarkastellaan kuvausta f : R R, x sin x. Kuvaus f kerrottuna skalaarilla 2 on kuvaus 2f : R R, jolla x 2 sin x. (x, f(x)) 2f (x,0) f (x, 2f(x)) LM2, Kesä /141

14 Esimerkki 4 Osoitetaan, että kaikkien kuvausten R R joukko F, jossa yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään pisteittäin, on vektoriavaruus. Oletetaan, että f, g, h F ja a, b R. Tällöin f, g ja h ovat kuvauksia eli funktioita R R. Yhteenlasku ja skalaarikertolasku on määritelty niin, että f + g F ja af F. Käydään läpi vektoriavaruuden määritelmän ehdot: LM2, Kesä /141

15 (1) Osoitetaan, että f + g = g + f. Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan (f + g)(x) = f (x) + g(x) ja (g + f )(x) = g(x) + f (x). Kuvausten f ja g arvot f (x) ja g(x) ovat reaalilukuja, joten f (x) + g(x) = g(x) + f (x). Näin ollen (f + g)(x) = (g + f )(x). Kuvauksilla f + g : R R ja g + f : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. f + g = g + f. LM2, Kesä /141

16 (2) Osoitetaan, että (f + g) + h = f + (g + h). Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan ( (f + g) + h ) (x) = (f + g)(x) + h(x) = ( f (x) + g(x) ) + h(x) ja ( f + (g + h) ) (x) = f (x) + (g + h)(x) = f (x) + ( g(x) + h(x) ). Kuvausten f, g ja h arvot f (x), g(x) ja h(x) ovat reaalilukuja, joten ( f (x) + g(x) ) + h(x) = f (x) + ( g(x) + h(x) ). Näin ollen ( (f + g) + h ) (x) = ( f + (g + h) ) (x). Kuvauksilla (f + g) + h : R R ja f + (g + h): R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. (f + g) + h = f + (g + h). LM2, Kesä /141

17 (3) Osoitetaan, että nollavektoriksi kelpaa kuvaus f 0 : R R, jolla f 0 (x) = 0 kaikilla x R (eli x 0 kaikilla x R). Osoitetaan siis, että g + f 0 = g. Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan (g + f 0 )(x) = g(x) + f 0 (x) = g(x) + 0 = g(x). Kuvauksilla g + f 0 : R R ja g : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. g + f 0 = g. LM2, Kesä /141

18 (4) Osoitetaan, että kuvauksen h vastavektoriksi kelpaa kuvaus h : R R, jolla x h(x) kaikilla x R. Osoitetaan siis, että h + ( h) = f 0. Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan (h + ( h))(x) = h(x) + ( h)(x) = h(x) + ( h(x)) = 0 = f 0 (x). Kuvauksilla h + ( h): R R ja f 0 : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. h + ( h) = f 0. LM2, Kesä /141

19 (5) Osoitetaan, että a(f + g) = af + ag. Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun ja yhteenlaskun määritelmän mukaan ( a(f + g) ) (x) = a ( (f + g)(x) ) = a ( f (x) + g(x) ) ja (af + ag)(x) = (af )(x) + (ag)(x) = af (x) + ag(x). Kuvausten f ja g arvot f (x) ja g(x) ovat reaalilukuja, joten a ( f (x) + g(x) ) = af (x) + ag(x). Näin ollen ( a(f + g) ) (x) = (af + ag)(x). Kuvauksilla a(f + g): R R ja af + ag : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. a(f + g) = af + ag. LM2, Kesä /141

20 (6) Osoitetaan, että (a + b)f = af + bf. Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun ja yhteenlaskun määritelmän mukaan ( (a + b)f ) (x) = (a + b)f (x) ja (af + bf )(x) = (af )(x) + (bf )(x) = af (x) + bf (x). Kuvauksen f arvo f (x) on reaaliluku, joten (a + b)f (x) = af (x) + bf (x). Näin ollen ( (a + b)f ) (x) = (af + bf )(x). Kuvauksilla (a + b)f : R R ja af + bf : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. (a + b)f = af + bf. LM2, Kesä /141

21 (7) Osoitetaan, että (ab)f = a(bf ). Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun määritelmän mukaan ( (ab)f ) (x) = (ab)f (x) ja ( a(bf ) ) (x) = a ( (bf )(x) ) = a ( bf (x) ). Kuvauksen f arvo f (x) on reaaliluku, joten (ab)f (x) = a ( bf (x) ). Näin ollen ( (ab)f ) (x) = ( a(bf ) ) (x). Kuvauksilla (ab)f : R R ja a(bf ): R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. (ab)f = a(bf ). LM2, Kesä /141

22 (8) Osoitetaan, että 1f = f. Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun määritelmän mukaan (1f )(x) = 1 f (x) = f (x). Kuvauksilla 1f : R R ja f : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. 1f = f. LM2, Kesä /141

23 Esimerkkejä vektoriavaruuksista Kaikkien reaalikertoimisten polynomien joukko P, jossa yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään seuraavasti: yhteenlaskussa samanasteisten termien kertoimet lasketaan yhteen; esimerkiksi polynomien p = 3x 2 4x + 7 ja q = 2x 3 + 5x 2 + 4x summa on polynomi p + q = 2x 3 + (3 + 5)x 2 + ( 4 + 4)x + 7 = 2x 3 + 8x skalaarikertolaskussa jokaisen termin kerroin kerrotaan erikseen; esimerkiksi polynomi p = 3x 2 4x + 7 kerrottuna skalaarilla 2 on 2p = 6x 2 + 8x 14. LM2, Kesä /141

24 Vektoriavaruus Huom. Vektoriavaruuden määritelmässä vaaditaan, että yhteenlasku ja skalaarikertolasku on määritelty joukossa V. Tämä tarkoittaa, että jos v, w V ja a R, niin on oltava v + w V ja a v V. Esimerkki 5 Kokonaislukujen joukko Z varustettuna tavallisella yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla (reaaliluvulla kertominen) ei ole vektoriavaruus. Tämä johtuu siitä, että esimerkiksi 0,5 R ja 3 Z, mutta 0,5 3 = 1,5 Z. Skalaarikertolaskun tulos ei siis välttämättä ole joukossa Z. LM2, Kesä /141

25 Esimerkki 6 Määritellään joukossa R 2 skalaarikertolasku seuraavasti: jos (v 1, v 2 ) R 2 ja a R, niin a (v 1, v 2 ) = (av 1, 0). Osoitetaan, että joukko R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla + ja skalaarikertolaskulla ei ole vektoriavaruus. Havaitaan, että esimerkiksi Näin ollen 1 (5, 9) = (5, 0). 1 (5, 9) (5, 9), joten vektoriavaruuden määritelmän ehto (8) ei täyty. LM2, Kesä /141

26 Vektoriavaruuksien ominaisuuksia Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. Lause 7 Oletetaan, että V on vektoriavaruus. Tällöin (a) nollavektoriksi sopivia vektoreita on täsmälleen yksi; ts. nollavektori 0 v on yksikäsitteinen. (b) jokaisella vektorilla v V on täsmälleen yksi vastavektori. LM2, Kesä /141

27 Lauseen 7 todistus. (a) Oletetaan, että 0, 0 V ja sekä v + 0 = v että v + 0 = v kaikilla v V. Tällöin 0 = = = 0. Tässä käytettiin järjestyksessä seuraavia tietoja: v + 0 = v kaikilla v V, yhteenlaskun vaihdannaisuus, v + 0 = v kaikilla v V. LM2, Kesä /141

28 Lauseen 7 todistus. (b) Oletetaan, että v V. Oletetaan lisäksi, että ū, w V ovat kumpikin vektorin v vastavektori eli v + ū = 0 ja v + w = 0. Tällöin ū = ū + 0 = ū + ( v + w) = (ū + v) + w = ( v + ū) + w = 0 + w = w. Tässä käytettiin järjestyksessä seuraavia tietoja: nollavektorin olemassaolo, v + w = 0, yhteenlaskun liitännäisyys ja vaihdannaisuus, v + ū = 0, nollavektorin olemassaolo. LM2, Kesä /141

29 Vektoriavaruuksien ominaisuuksia Lause 8 Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v V, a R. Tällöin (a) 0 v = 0 (b) a 0 = 0 (c) ( 1) v = v (d) jos a v = 0, niin a = 0 tai v = 0 (tulon nollasääntö). LM2, Kesä /141

30 Lauseen 8 todistus. (b) Oletetaan, että a R. Tällöin a 0 = a( 0 + 0) = a 0 + a 0. Lisäämällä tämän yhtälön molemmille puolille vektori (a 0) saadaan 0 = a 0. Perustellussa tarvittiin vektoriavaruuden määritelmän ehtoja (2), (3), (4) ja (6). LM2, Kesä /141

31 Lauseen 8 todistus. (d) Oletetaan, että a v = 0. Jos a = 0, niin väite pätee. Oletetaan, että a 0. Tällöin on olemassa käänteisluku 1/a ja v = 1 v = ( 1 a a ) v = 1 a (a v) = 1 a 0 = 0. Tässä käytettiin vektoriavaruuden määritelmän ehtoja (8) ja (7) sekä oletusta ja b-kohdan tulosta. LM2, Kesä /141

32 Vektoreiden erotus ja lineaarikombinaatio Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v, w V. Vektoreiden v ja w erotus v w tarkoittaa summaa v + ( w). Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1, v 2,..., v k V. Vektoreiden v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaatio tarkoittaa summaa a 1 v 1 + a 2 v a k v k, missä kertoimet a 1, a 2,..., a k R. LM2, Kesä /141

33 Aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus. Sen osajoukko W on aliavaruus, jos seuraavat ehdot pätevät kaikilla ū, w W ja a R: (a) ū + w W (b) a w W (c) 0 V W. (W on suljettu yhteenlaskun suhteen). (W on suljettu skalaarikertolaskun suhteen). LM2, Kesä /141

34 Aliavaruus Esimerkki 9 Tarkastellaan n n -matriisien muodostamaa vektoriavaruutta M n n. Olkoon W symmetristen n n -matriisien joukko; ts. W = { C M n n C T = C }. Osoitetaan, että W on vektoriavaruuden M n n aliavaruus. Ensinnäkin W on määritelmänsä mukaan joukon M n n osajoukko. Oletetaan, että A, B W ja c R. Tällöin A T = A ja B T = B. LM2, Kesä /141

35 Käytetään transpoosin laskusääntöjä: (a) Tutkitaan summaa A + B: (A + B) T = A T + B T = A + B, joten A + B W. (b) Tutkitaan skalaarimonikertaa ca: (ca) T = ca T = ca, joten ca W. (c) Nollavektori on n n -nollamatriisi O: O T = O, joten O W. LM2, Kesä /141

36 Aliavaruus Esimerkki 10 Tarkastellaan enintään kolmatta astetta olevien polynomien muodostamaa vektoriavaruutta Merkitään P 3 = { a + bx + cx 2 + dx 3 a, b, c, d R }. W = { a + bx bx 2 + ax 3 a, b R }. Osoitetaan, että W on vektoriavaruuden P 3 aliavaruus. Ensinnäkin W on määritelmänsä mukaan joukon P 3 osajoukko. LM2, Kesä /141

37 Oletetaan, että p, q W ja r R. Tällöin voidaan merkitä p = a + bx bx 2 + ax 3 ja q = c + dx dx 2 + cx 3, missä a, b, c, d R. (a) Lasketaan summa p + q: p + q = = (a + c) + (b + d)x (b + d)x 2 + (a + c)x 3. Siten p + q W, sillä se on oikeaa muotoa. (b) Lasketaan skalaarimonikerta rp: rp = = ra + rbx rbx 2 + rax 3. Siten rp W, sillä se on oikeaa muotoa. (c) Nollavektori on nollapolynomi 0: 0 = 0 + 0x + 0x 2 + 0x 3. Siten 0 W, sillä se on oikeaa muotoa. LM2, Kesä /141

38 Esimerkki 11 Merkitään W = { [ ] } a a b a, b R. Onko W vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus? Havaitaan, että nollavektori eli nollamatriisi [ ] 0 0 O = W, 0 0 joten aliavaruuden määritelmän ehto (c) ei täyty. Siis W ei ole vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä /141

39 Esimerkki 12 Merkitään W = { A M 2 2 det(a) = 0 }. Onko W vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus? Valitaan esimerkiksi A = [ ] ja B = [ ] Tällöin det(a) = 0 ja det(b) = 0, joten A, B W. Kuitenkin A + B = [ ] ja siten det(a + B) = 2 0. Näin A + B W. Siis W ei ole vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä /141

40 Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1,..., v k V. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1,..., v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden joukkoa; ts. span( v 1,..., v k ) = { a 1 v a k v k a 1,..., a k R }. Lause 13 Jos v 1,..., v k V, niin span( v 1,..., v k ) on vektoriavaruuden V aliavaruus. Lisäksi span( v 1,..., v k ) on pienin aliavaruus, joka sisältää vektorit v 1,..., v k. LM2, Kesä /141

41 Lauseen 13 todistus Oletetaan, että ū, w span( v 1,..., v k ) ja c R. Tällöin ū = a 1 v a k v k ja w = b 1 v b k v k joillakin a 1,..., a k, b 1,..., b k R. (a) Lasketaan summa ū + w: ū + w = = (a 1 + b 1 ) v (a k + b k ) v k, joten ū + w span( v 1,..., v k ). LM2, Kesä /141

42 (b) Lasketaan skalaarimonikerta cū: joten cū span( v 1,..., v k ). cū = = ca 1 v ca k v k, (c) Nollavektori voidaan lauseen 8 a-kohdan nojalla kirjoittaa muodossa 0 = 0 v v k, joten 0 span( v 1,..., v k ). Siis span( v 1,..., v k ) on vektoriavaruuden V aliavaruus. LM2, Kesä /141

43 Vektorit v 1,..., v k kuuluvat aliavaruuteen V, sillä v 1 = 1 v v v k v 2 = 0 v v v k. v k = 0 v v v k LM2, Kesä /141

44 Osoitetaan, että span( v 1,..., v k ) on pienin aliavaruus, joka sisältää vektorit v 1,..., v k. Oletetaan, että W on vektoriavaruuden V jokin sellainen aliavaruus, että v 1,..., v k W. Koska W on aliavaruus, se sisältää kaikkien vektoriensa summat ja skalaarimonikerrat. Siis a 1 v a k v k W kaikilla a 1,..., a k R. Näin ollen span( v 1,..., v k ) W. LM2, Kesä /141

45 Vektoreiden virittämä aliavaruus Esimerkki 14 Osoitetaan, että joukko W = { (r, s, r) r, s R } on vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. Havaitaan, että W = { (r, s, r) r, s R } = { r(1, 0, 1) + s(0, 1, 0) r, s R } = span ( (1, 0, 1), (0, 1, 0) ). Siis W on vektoreiden (1, 0, 1) ja (0, 1, 0) virittämä vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. LM2, Kesä /141

46 Vektoreiden virittämä aliavaruus Esimerkki 15 Merkitään W = { [ ] } a b a, b, c R. 0 c Osoitetaan, että W on 2 2 -matriisien muodostaman vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä /141

47 Havaitaan, että W = = { [ ] } a b a, b, c R 0 c { a [ ] b 0 0 ([ ] 1 0 = span, 0 0 [ ] c 0 0 [ ] 0 1, 0 0 [ ] } 0 0 a, b, c R 0 1 [ ]) Siis W on vektoreiden (matriisien) [ ] 1 0, 0 0 [ ] ja [ ] virittämä vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä /141

48 Esimerkki 16 Merkitään Vektoreiden virittämä aliavaruus A = [ ] 1 1, B = 1 0 Määritetään span(a, B, I). [ ] ja I = [ ] Jokainen vektoreiden (matriisien) A, B ja I lineaarikombinaatio on muotoa [ ] x + z x + y xa + yb + zi = =, x + y z missä x, y, z R. Havaitaan, että tällainen lineaarikombinaatio on symmetrinen matriisi. Siten span(a, B, I) { C M 2 2 C T = C }. LM2, Kesä /141

49 Osoitetaan, että jokainen symmetrinen matriisi voidaan kirjoittaa vektoreiden A, B ja I lineaarikombinaationa: Oletetaan, että C on symmetrinen matriisi. Tällöin [ ] d e C =, e f missä d, e, f R. Ratkaisemalla yhtälö xa + yb + zi = C eli yhtälöä [ ] [ ] x + z x + y d e = x + y z e f vastaava yhtälöryhmä havaitaan, että ratkaisu on aina olemassa (x = d f, y = e d + f ja z = f ). Siis jokainen symmetrinen matriisi on vektoreiden A, B ja I lineaarikombinaatio. Näin span(a, B, I) = { C M 2 2 C T = C }. LM2, Kesä /141

50 Aliavaruus Jokainen aliavaruus on itsekin pieni vektoriavaruus: Lause 17 Oletetaan, että V on vektoriavaruus, jolla on aliavaruus W. Tällöin myös aliavaruus W on vektoriavaruus. Todistus. Vektoriavaruuden yhteenlaskua ja skalaarikertolaskua koskevat ehdot (1) (2) ja (5) (8) pysyvät voimassa, vaikka rajoitutaan tarkastelemaan alkuperäisen vektoriavaruuden V osajoukkoa W. Ehdot (3) ja (4) seuraavat aliavaruuden määritelmän ehdoista (c) ja (b), sillä v = ( 1) v. Aliavaruuden määritelmän ehdot (a) ja (b) takaavat, että yhteenlasku ja skalaarikertolasku ovat joukon W laskutoimituksia. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 11. syyskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot