Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Transkriptio

1 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä /141

2 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja. Toisin sanottuna R n = { (v 1, v 2,..., v n ) v 1, v 2,..., v n R }. Avaruuden R n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Jos u 1, u 2,..., u n R, niin ū = (u 1, u 2,..., u n ) on avaruuden R n vektori ja sanotaan, että u 1, u 2,..., u n ovat vektorin ū komponentit. LM2, Kesä /141

3 Kertausta: avaruuden R n vektoreiden yhteenlasku ja skalaarikertolasku Määritelmä Oletetaan, että v = (v 1,..., v n ) R n, w = (w 1,..., w n ) R n ja c R. Vektoreiden v ja w summa on vektori v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ). Skalaarikertolasku tarkoittaa vektorin kertomista reaaliluvulla. On sovittu, että c v = (cv 1, cv 2,..., cv n ). LM2, Kesä /141

4 Kertausta: yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. LM2, Kesä /141

5 Kertausta: yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Alla esiintyvä vektori 0 = (0, 0,..., 0) on nimeltään nollavektori. Lause 1 Oletetaan, että v, w, ū R n ja a, c R. Tällöin (a) v + w = w + v (b) (ū + v) + w = ū + ( v + w) (c) v + 0 = v (d) v + ( v) = 0 (e) c( v + w) = c v + c w (f) (a + c) v = a v + c v (g) a(c v) = (ac) v (h) 1 v = v (vaihdannaisuus) (osittelulaki) (osittelulaki) (liitännäisyys) LM2, Kesä /141

6 Vektoriavaruus Ottamalla lähtökohdaksi avaruuden R n vektorien yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuudet, voidaan määritellä abstraktimpi ja yleisempi vektoriavaruuden käsite. LM2, Kesä /141

7 Vektoriavaruus Määritelmä (eli sopimus) Oletetaan, että joukossa V on määritelty jonkinlainen yhteenlasku ja skalaarikertolasku. Jos seuraavat ehdot pätevät kaikilla v, w, ū V ja a, b R, niin joukkoa V kutsutaan vektoriavaruudeksi ja sen alkioita vektoreiksi. (1) v + w = w + v (vaihdannaisuus). (2) (ū + v) + w = ū + ( v + w) (liitännäisyys). (3) On olemassa ns. nollavektori 0 V, jolle pätee v + 0 = v. (4) Jokaista vektoria v V kohti on olemassa ns. vastavektori v V, jolle pätee v + ( v) = 0. LM2, Kesä /141

8 (5) a( v + w) = a w + a v (osittelulaki). (6) (a + b) v = a v + b v (osittelulaki). (7) (ab) v = a(b v). (8) 1 v = v. Huom. Ehdossa (6) yhtälön vasemmalla puolella on skalaarien a R ja b R summa a + b; kyseessä on siis tavallinen reaalilukujen yhteenlasku. Yhtälön oikealla puolella on vektoreiden a v V ja b v V summa a v + b v; kyseessä on siis joukossa V määritelty vektorien välinen yhteenlasku. Ehdossa (7) yhtälön vasemmalla puolella sulkujen sisällä on skalaarien a R ja b R tulo ab; kyseessä on siis tavallinen reaalilukujen kertolasku. Yhtälön oikealla puolella on vektorin b v V ja skalaarin a R skalaaritulo a(b v); siinä kaikki tulot ovat skalaarituloja. LM2, Kesä /141

9 Huom. Skalaari tarkoittaa tällä kurssilla reaalilukua, sillä tällä kurssilla käsitellään reaalikertoimisia vektoriavaruuksia. Kompleksikertoimisilla vektoriavaruuksilla skalaarit ovat kompleksilukuja. Periaatteessa skalaarit voivat olla minkä tahansa ns. kunnan alkioita. Vektoriavaruuden V nollavektoria voidaan merkitä myös 0 V. Sen ei tarvitse ulkonäöltään muistuttaa avaruuden R n nollavektoria ollenkaan. LM2, Kesä /141

10 Esimerkkejä vektoriavaruuksista Voidaan osoittaa, että seuraavat joukot mainituilla yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla varustettuina ovat vektoriavaruuksia: Joukko R n varustettuna tavallisella yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla: v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ) c v = (cv 1, cv 2,..., cv n ). Joukko R varustettuna tavallisella reaalilukujen yhteenlaskulla ja kertolaskulla. Kaikkien m n -matriisien joukko M m n varustettuna matriisien tavallisella yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla. LM2, Kesä /141

11 Esimerkkejä vektoriavaruuksista Kaikkien kuvausten R R joukko F, jossa yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään ns. pisteittäin: Oletetaan, että f, g F ja a R. Kuvausten f : R R ja g : R R summa on kuvaus f + g : R R, jolla x f (x) + g(x). Kuvaus f : R R kerrottuna skalaarilla a on kuvaus af : R R, jolla x af (x). LM2, Kesä /141

12 Esimerkki 2 Kuvausten yhteenlasku Tarkastellaan kuvauksia f : R R, x sin x, ja g : R R, x 0,5x + 1. Niiden summa on kuvaus f + g : R R, jolla x sin x + 0,5x + 1. (x, f(x) + g(x)) (x, g(x)) (x, f(x)) g f + g (x,0) f LM2, Kesä /141

13 Esimerkki 3 Kuvauksen kertominen skalaarilla Tarkastellaan kuvausta f : R R, x sin x. Kuvaus f kerrottuna skalaarilla 2 on kuvaus 2f : R R, jolla x 2 sin x. (x, f(x)) 2f (x,0) f (x, 2f(x)) LM2, Kesä /141

14 Esimerkki 4 Osoitetaan, että kaikkien kuvausten R R joukko F, jossa yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään pisteittäin, on vektoriavaruus. Oletetaan, että f, g, h F ja a, b R. Tällöin f, g ja h ovat kuvauksia eli funktioita R R. Yhteenlasku ja skalaarikertolasku on määritelty niin, että f + g F ja af F. Käydään läpi vektoriavaruuden määritelmän ehdot: LM2, Kesä /141

15 (1) Osoitetaan, että f + g = g + f. Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan (f + g)(x) = f (x) + g(x) ja (g + f )(x) = g(x) + f (x). Kuvausten f ja g arvot f (x) ja g(x) ovat reaalilukuja, joten f (x) + g(x) = g(x) + f (x). Näin ollen (f + g)(x) = (g + f )(x). Kuvauksilla f + g : R R ja g + f : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. f + g = g + f. LM2, Kesä /141

16 (2) Osoitetaan, että (f + g) + h = f + (g + h). Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan ( (f + g) + h ) (x) = (f + g)(x) + h(x) = ( f (x) + g(x) ) + h(x) ja ( f + (g + h) ) (x) = f (x) + (g + h)(x) = f (x) + ( g(x) + h(x) ). Kuvausten f, g ja h arvot f (x), g(x) ja h(x) ovat reaalilukuja, joten ( f (x) + g(x) ) + h(x) = f (x) + ( g(x) + h(x) ). Näin ollen ( (f + g) + h ) (x) = ( f + (g + h) ) (x). Kuvauksilla (f + g) + h : R R ja f + (g + h): R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. (f + g) + h = f + (g + h). LM2, Kesä /141

17 (3) Osoitetaan, että nollavektoriksi kelpaa kuvaus f 0 : R R, jolla f 0 (x) = 0 kaikilla x R (eli x 0 kaikilla x R). Osoitetaan siis, että g + f 0 = g. Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan (g + f 0 )(x) = g(x) + f 0 (x) = g(x) + 0 = g(x). Kuvauksilla g + f 0 : R R ja g : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. g + f 0 = g. LM2, Kesä /141

18 (4) Osoitetaan, että kuvauksen h vastavektoriksi kelpaa kuvaus h : R R, jolla x h(x) kaikilla x R. Osoitetaan siis, että h + ( h) = f 0. Oletetaan, että x R. Kuvausten yhteenlaskun määritelmän mukaan (h + ( h))(x) = h(x) + ( h)(x) = h(x) + ( h(x)) = 0 = f 0 (x). Kuvauksilla h + ( h): R R ja f 0 : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. h + ( h) = f 0. LM2, Kesä /141

19 (5) Osoitetaan, että a(f + g) = af + ag. Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun ja yhteenlaskun määritelmän mukaan ( a(f + g) ) (x) = a ( (f + g)(x) ) = a ( f (x) + g(x) ) ja (af + ag)(x) = (af )(x) + (ag)(x) = af (x) + ag(x). Kuvausten f ja g arvot f (x) ja g(x) ovat reaalilukuja, joten a ( f (x) + g(x) ) = af (x) + ag(x). Näin ollen ( a(f + g) ) (x) = (af + ag)(x). Kuvauksilla a(f + g): R R ja af + ag : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. a(f + g) = af + ag. LM2, Kesä /141

20 (6) Osoitetaan, että (a + b)f = af + bf. Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun ja yhteenlaskun määritelmän mukaan ( (a + b)f ) (x) = (a + b)f (x) ja (af + bf )(x) = (af )(x) + (bf )(x) = af (x) + bf (x). Kuvauksen f arvo f (x) on reaaliluku, joten (a + b)f (x) = af (x) + bf (x). Näin ollen ( (a + b)f ) (x) = (af + bf )(x). Kuvauksilla (a + b)f : R R ja af + bf : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. (a + b)f = af + bf. LM2, Kesä /141

21 (7) Osoitetaan, että (ab)f = a(bf ). Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun määritelmän mukaan ( (ab)f ) (x) = (ab)f (x) ja ( a(bf ) ) (x) = a ( (bf )(x) ) = a ( bf (x) ). Kuvauksen f arvo f (x) on reaaliluku, joten (ab)f (x) = a ( bf (x) ). Näin ollen ( (ab)f ) (x) = ( a(bf ) ) (x). Kuvauksilla (ab)f : R R ja a(bf ): R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. (ab)f = a(bf ). LM2, Kesä /141

22 (8) Osoitetaan, että 1f = f. Oletetaan, että x R. Kuvausten skalaarikertolaskun määritelmän mukaan (1f )(x) = 1 f (x) = f (x). Kuvauksilla 1f : R R ja f : R R on siis samat arvot, joten ne ovat sama kuvaus; ts. 1f = f. LM2, Kesä /141

23 Esimerkkejä vektoriavaruuksista Kaikkien reaalikertoimisten polynomien joukko P, jossa yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään seuraavasti: yhteenlaskussa samanasteisten termien kertoimet lasketaan yhteen; esimerkiksi polynomien p = 3x 2 4x + 7 ja q = 2x 3 + 5x 2 + 4x summa on polynomi p + q = 2x 3 + (3 + 5)x 2 + ( 4 + 4)x + 7 = 2x 3 + 8x skalaarikertolaskussa jokaisen termin kerroin kerrotaan erikseen; esimerkiksi polynomi p = 3x 2 4x + 7 kerrottuna skalaarilla 2 on 2p = 6x 2 + 8x 14. LM2, Kesä /141

24 Vektoriavaruus Huom. Vektoriavaruuden määritelmässä vaaditaan, että yhteenlasku ja skalaarikertolasku on määritelty joukossa V. Tämä tarkoittaa, että jos v, w V ja a R, niin on oltava v + w V ja a v V. Esimerkki 5 Kokonaislukujen joukko Z varustettuna tavallisella yhteenlaskulla ja skalaarikertolaskulla (reaaliluvulla kertominen) ei ole vektoriavaruus. Tämä johtuu siitä, että esimerkiksi 0,5 R ja 3 Z, mutta 0,5 3 = 1,5 Z. Skalaarikertolaskun tulos ei siis välttämättä ole joukossa Z. LM2, Kesä /141

25 Esimerkki 6 Määritellään joukossa R 2 skalaarikertolasku seuraavasti: jos (v 1, v 2 ) R 2 ja a R, niin a (v 1, v 2 ) = (av 1, 0). Osoitetaan, että joukko R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla + ja skalaarikertolaskulla ei ole vektoriavaruus. Havaitaan, että esimerkiksi Näin ollen 1 (5, 9) = (5, 0). 1 (5, 9) (5, 9), joten vektoriavaruuden määritelmän ehto (8) ei täyty. LM2, Kesä /141

26 Vektoriavaruuksien ominaisuuksia Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. Lause 7 Oletetaan, että V on vektoriavaruus. Tällöin (a) nollavektoriksi sopivia vektoreita on täsmälleen yksi; ts. nollavektori 0 v on yksikäsitteinen. (b) jokaisella vektorilla v V on täsmälleen yksi vastavektori. LM2, Kesä /141

27 Lauseen 7 todistus. (a) Oletetaan, että 0, 0 V ja sekä v + 0 = v että v + 0 = v kaikilla v V. Tällöin 0 = = = 0. Tässä käytettiin järjestyksessä seuraavia tietoja: v + 0 = v kaikilla v V, yhteenlaskun vaihdannaisuus, v + 0 = v kaikilla v V. LM2, Kesä /141

28 Lauseen 7 todistus. (b) Oletetaan, että v V. Oletetaan lisäksi, että ū, w V ovat kumpikin vektorin v vastavektori eli v + ū = 0 ja v + w = 0. Tällöin ū = ū + 0 = ū + ( v + w) = (ū + v) + w = ( v + ū) + w = 0 + w = w. Tässä käytettiin järjestyksessä seuraavia tietoja: nollavektorin olemassaolo, v + w = 0, yhteenlaskun liitännäisyys ja vaihdannaisuus, v + ū = 0, nollavektorin olemassaolo. LM2, Kesä /141

29 Vektoriavaruuksien ominaisuuksia Lause 8 Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v V, a R. Tällöin (a) 0 v = 0 (b) a 0 = 0 (c) ( 1) v = v (d) jos a v = 0, niin a = 0 tai v = 0 (tulon nollasääntö). LM2, Kesä /141

30 Lauseen 8 todistus. (b) Oletetaan, että a R. Tällöin a 0 = a( 0 + 0) = a 0 + a 0. Lisäämällä tämän yhtälön molemmille puolille vektori (a 0) saadaan 0 = a 0. Perustellussa tarvittiin vektoriavaruuden määritelmän ehtoja (2), (3), (4) ja (6). LM2, Kesä /141

31 Lauseen 8 todistus. (d) Oletetaan, että a v = 0. Jos a = 0, niin väite pätee. Oletetaan, että a 0. Tällöin on olemassa käänteisluku 1/a ja v = 1 v = ( 1 a a ) v = 1 a (a v) = 1 a 0 = 0. Tässä käytettiin vektoriavaruuden määritelmän ehtoja (8) ja (7) sekä oletusta ja b-kohdan tulosta. LM2, Kesä /141

32 Vektoreiden erotus ja lineaarikombinaatio Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v, w V. Vektoreiden v ja w erotus v w tarkoittaa summaa v + ( w). Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1, v 2,..., v k V. Vektoreiden v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaatio tarkoittaa summaa a 1 v 1 + a 2 v a k v k, missä kertoimet a 1, a 2,..., a k R. LM2, Kesä /141

33 Aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus. Sen osajoukko W on aliavaruus, jos seuraavat ehdot pätevät kaikilla ū, w W ja a R: (a) ū + w W (b) a w W (c) 0 V W. (W on suljettu yhteenlaskun suhteen). (W on suljettu skalaarikertolaskun suhteen). LM2, Kesä /141

34 Aliavaruus Esimerkki 9 Tarkastellaan n n -matriisien muodostamaa vektoriavaruutta M n n. Olkoon W symmetristen n n -matriisien joukko; ts. W = { C M n n C T = C }. Osoitetaan, että W on vektoriavaruuden M n n aliavaruus. Ensinnäkin W on määritelmänsä mukaan joukon M n n osajoukko. Oletetaan, että A, B W ja c R. Tällöin A T = A ja B T = B. LM2, Kesä /141

35 Käytetään transpoosin laskusääntöjä: (a) Tutkitaan summaa A + B: (A + B) T = A T + B T = A + B, joten A + B W. (b) Tutkitaan skalaarimonikertaa ca: (ca) T = ca T = ca, joten ca W. (c) Nollavektori on n n -nollamatriisi O: O T = O, joten O W. LM2, Kesä /141

36 Aliavaruus Esimerkki 10 Tarkastellaan enintään kolmatta astetta olevien polynomien muodostamaa vektoriavaruutta Merkitään P 3 = { a + bx + cx 2 + dx 3 a, b, c, d R }. W = { a + bx bx 2 + ax 3 a, b R }. Osoitetaan, että W on vektoriavaruuden P 3 aliavaruus. Ensinnäkin W on määritelmänsä mukaan joukon P 3 osajoukko. LM2, Kesä /141

37 Oletetaan, että p, q W ja r R. Tällöin voidaan merkitä p = a + bx bx 2 + ax 3 ja q = c + dx dx 2 + cx 3, missä a, b, c, d R. (a) Lasketaan summa p + q: p + q = = (a + c) + (b + d)x (b + d)x 2 + (a + c)x 3. Siten p + q W, sillä se on oikeaa muotoa. (b) Lasketaan skalaarimonikerta rp: rp = = ra + rbx rbx 2 + rax 3. Siten rp W, sillä se on oikeaa muotoa. (c) Nollavektori on nollapolynomi 0: 0 = 0 + 0x + 0x 2 + 0x 3. Siten 0 W, sillä se on oikeaa muotoa. LM2, Kesä /141

38 Esimerkki 11 Merkitään W = { [ ] } a a b a, b R. Onko W vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus? Havaitaan, että nollavektori eli nollamatriisi [ ] 0 0 O = W, 0 0 joten aliavaruuden määritelmän ehto (c) ei täyty. Siis W ei ole vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä /141

39 Esimerkki 12 Merkitään W = { A M 2 2 det(a) = 0 }. Onko W vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus? Valitaan esimerkiksi A = [ ] ja B = [ ] Tällöin det(a) = 0 ja det(b) = 0, joten A, B W. Kuitenkin A + B = [ ] ja siten det(a + B) = 2 0. Näin A + B W. Siis W ei ole vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä /141

40 Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus ja v 1,..., v k V. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1,..., v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden joukkoa; ts. span( v 1,..., v k ) = { a 1 v a k v k a 1,..., a k R }. Lause 13 Jos v 1,..., v k V, niin span( v 1,..., v k ) on vektoriavaruuden V aliavaruus. Lisäksi span( v 1,..., v k ) on pienin aliavaruus, joka sisältää vektorit v 1,..., v k. LM2, Kesä /141

41 Lauseen 13 todistus Oletetaan, että ū, w span( v 1,..., v k ) ja c R. Tällöin ū = a 1 v a k v k ja w = b 1 v b k v k joillakin a 1,..., a k, b 1,..., b k R. (a) Lasketaan summa ū + w: ū + w = = (a 1 + b 1 ) v (a k + b k ) v k, joten ū + w span( v 1,..., v k ). LM2, Kesä /141

42 (b) Lasketaan skalaarimonikerta cū: joten cū span( v 1,..., v k ). cū = = ca 1 v ca k v k, (c) Nollavektori voidaan lauseen 8 a-kohdan nojalla kirjoittaa muodossa 0 = 0 v v k, joten 0 span( v 1,..., v k ). Siis span( v 1,..., v k ) on vektoriavaruuden V aliavaruus. LM2, Kesä /141

43 Vektorit v 1,..., v k kuuluvat aliavaruuteen V, sillä v 1 = 1 v v v k v 2 = 0 v v v k. v k = 0 v v v k LM2, Kesä /141

44 Osoitetaan, että span( v 1,..., v k ) on pienin aliavaruus, joka sisältää vektorit v 1,..., v k. Oletetaan, että W on vektoriavaruuden V jokin sellainen aliavaruus, että v 1,..., v k W. Koska W on aliavaruus, se sisältää kaikkien vektoriensa summat ja skalaarimonikerrat. Siis a 1 v a k v k W kaikilla a 1,..., a k R. Näin ollen span( v 1,..., v k ) W. LM2, Kesä /141

45 Vektoreiden virittämä aliavaruus Esimerkki 14 Osoitetaan, että joukko W = { (r, s, r) r, s R } on vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. Havaitaan, että W = { (r, s, r) r, s R } = { r(1, 0, 1) + s(0, 1, 0) r, s R } = span ( (1, 0, 1), (0, 1, 0) ). Siis W on vektoreiden (1, 0, 1) ja (0, 1, 0) virittämä vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. LM2, Kesä /141

46 Vektoreiden virittämä aliavaruus Esimerkki 15 Merkitään W = { [ ] } a b a, b, c R. 0 c Osoitetaan, että W on 2 2 -matriisien muodostaman vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä /141

47 Havaitaan, että W = = { [ ] } a b a, b, c R 0 c { a [ ] b 0 0 ([ ] 1 0 = span, 0 0 [ ] c 0 0 [ ] 0 1, 0 0 [ ] } 0 0 a, b, c R 0 1 [ ]) Siis W on vektoreiden (matriisien) [ ] 1 0, 0 0 [ ] ja [ ] virittämä vektoriavaruuden M 2 2 aliavaruus. LM2, Kesä /141

48 Esimerkki 16 Merkitään Vektoreiden virittämä aliavaruus A = [ ] 1 1, B = 1 0 Määritetään span(a, B, I). [ ] ja I = [ ] Jokainen vektoreiden (matriisien) A, B ja I lineaarikombinaatio on muotoa [ ] x + z x + y xa + yb + zi = =, x + y z missä x, y, z R. Havaitaan, että tällainen lineaarikombinaatio on symmetrinen matriisi. Siten span(a, B, I) { C M 2 2 C T = C }. LM2, Kesä /141

49 Osoitetaan, että jokainen symmetrinen matriisi voidaan kirjoittaa vektoreiden A, B ja I lineaarikombinaationa: Oletetaan, että C on symmetrinen matriisi. Tällöin [ ] d e C =, e f missä d, e, f R. Ratkaisemalla yhtälö xa + yb + zi = C eli yhtälöä [ ] [ ] x + z x + y d e = x + y z e f vastaava yhtälöryhmä havaitaan, että ratkaisu on aina olemassa (x = d f, y = e d + f ja z = f ). Siis jokainen symmetrinen matriisi on vektoreiden A, B ja I lineaarikombinaatio. Näin span(a, B, I) = { C M 2 2 C T = C }. LM2, Kesä /141

50 Aliavaruus Jokainen aliavaruus on itsekin pieni vektoriavaruus: Lause 17 Oletetaan, että V on vektoriavaruus, jolla on aliavaruus W. Tällöin myös aliavaruus W on vektoriavaruus. Todistus. Vektoriavaruuden yhteenlaskua ja skalaarikertolaskua koskevat ehdot (1) (2) ja (5) (8) pysyvät voimassa, vaikka rajoitutaan tarkastelemaan alkuperäisen vektoriavaruuden V osajoukkoa W. Ehdot (3) ja (4) seuraavat aliavaruuden määritelmän ehdoista (c) ja (b), sillä v = ( 1) v. Aliavaruuden määritelmän ehdot (a) ja (b) takaavat, että yhteenlasku ja skalaarikertolasku ovat joukon W laskutoimituksia. LM2, Kesä /141