Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017"

Transkriptio

1 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017

2 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien ratkaiseminen 2 Matriisien laskutoimituksia 3 Matriisin käänteismatriisi 4 Determinanteista 5 Determinantin määritelmä ja permutaatiot 6 Vektoriavaruus R n 61 Vektoriavaruus R 2 62 Vektoriavaruus R 3 63 Vektoriavaruus R n 7 Aliavaruudet 8 Lineaarinen riippuvuus 9 Kanta 10 Lineaarikuvaukset 2

3 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät Eräs lineaarialgebran perustehtävistä on lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Esimerkki 1 Etsitään sellaiset reaaliluvut a, b ja c, että käyrä y = a + bx + cx 2 kulkee pisteiden (1, 2, (3, 28 ja (5, 86 kautta Sijoittamalla annetut pisteet käyrän yhtälöön saadaan yhtälöryhmä a + b + c = 2 a + 3b + 9c = 28 a + 5b + 25c = 86 Ratkaistaan yhtälöryhmä eliminointimenetelmää käyttämällä Lisätään ensin ylin yhtälö luvulla 1 kerrottuna toiseen yhtälöön, jolloin saadaan yhtälöryhmä a + b + c = 2 2b + 8c = 26 a + 5b + 25c = 86 Lisätään sitten ensimmäinen yhtälö luvulla 1 kerrottuna kolmanteen yhtälöön, jolloin saadaan a + b + c = 2 2b + 8c = 26 4b + 24c = 84 Lopuksi lisätään toinen yhtälö luvulla 2 kerrottuna kolmanteen, jolloin päädytään yhtälöryhmään a + b + c = 2 2b + 8c = 26 8c = 32 Nyt alimmasta yhtälöstä nähdään, että c = 4 Sijoittamalla tämä keskimmäiseen yhtälöön saadaan b = 3 Tämän jälkeen ylimmästä yhtälöstä nähdään, että a = 1 Etsityn käyrän yhtälöksi saadaan y = 1 3x + 4x 2 Esimerkin 1 yhtälöryhmässä on kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta Yleisessä tapauksessa yhtälöryhmässä voi olla mielivaltainen määrä yhtälöitä ja mielivaltainen määrä tuntemattomia Yleisessä tapauksessa lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m 3

4 Sana lineaarinen viittaa siihen, että kaikki yhtälöt ovat ensimmäistä astetta Yhtälöryhmää kutsutaan homogeeniseksi, jos b 1 = b 2 = = b m = 0 Yleinen lineaarinen yhtälöryhmä ratkaistaan periaatteessa samalla tavalla kuin esimerkissä 1 Tuntemattomia eliminoidaan yksi kerrallaan lisäämällä yhtälöitä toisiinsa vakioilla kerrottuina 12 Matriisit Yhtälöryhmiä ratkaistaessa kannattaa käyttää matriiseja ja matriisien alkeismuunnoksia Määritelmä 1 Tyyppiä m n olevalla matriisilla tarkoitetaan järjestettyä kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn missä a ij :t ovat reaalilukuja Lukuja a ij kutsutaan matriisn alkioiksi Alkion a ij sanotaan olevan kohdassa (i, j Matriisi A on neliömatriisi, jos siinä on yhtä paljon vaaka- ja pystyrivejä, toisin sanoen, jos m = n Tyyppiä m n olevassa matriisissa on m vaakariviä ja n pystyriviä Jos matriisissa on vain yksi vaakarivi, sitä kutsutaan vaakavektoriksi Jos matriisissa on vain yksi pystyrivi, sitä kutsutaan pystyvektoriksi Määritelmässä 1 esiintyvä matriisi A kirjoitetaan usein lyhyemmin muodossa A = (a ij m n Esimerkki 2 Matriisi on tyyppiä 2 3 Matriisi A = B = ( on tyyppiä 4 4 oleva neliömatriisi Esimerkki 3 Matriisi C = (3, 1, 2, 4 on tyyppiä 1 4 oleva vaakavektori ja D =

5 on tyyppiä 3 1 oleva pystyvektori Vaakavektorin alkioiden välissä käytetään yleensä selvyyden vuoksi pilkkuja Neliömatriisin A = (a ij n n kohdissa (1, 1, (2, 2,, (n, n olevat alkiot muodostavat matriisin päälävistäjän Neliömatriisi on yläkolmiomatriisi, jos matriisissa kaikki päälävistäjän alapuolella olevat alkiot ovat nollia Alakolmiomatriisi määritellään vastaavasti Neliömatriisi a a a nn on diagonaalimatriisi Tyyppiä n n olevaa diagonaalimatriisia I =, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä, kutsutaan identiteettimatriisiksi Jos identiteettimatriisin tyyppi ei ole selvä asiayhteydestä, merkinnän I sijasta käytetään merkintää I n Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Esimerkki 4 Matriisi on yläkolmiomatriisi, koska kaikki päälävistäjän alapuolella olevat alkiot ovat nollia Se ei ole diagonaalimatriisi, koska päälävistäjän ulkopuolella on nollasta eroavia alkioita Esimerkki 5 Identiteettimatriisi on aina neliömatriisi: ( 1 0 I 2 = 0 1 ja mutta matriisi I 3 = ei ole minkään tyypin identiteettimatriisi, 5

6 Matriisin A transponoitu matriisi (eli transpoosi A T saadaan vaihtamalla A:n vaakarivit pystyriveiksi Esimerkki 6 Matriisin transponoitu matriisi on A = A T = ( Pystyvektorit kannattaa usein tilan säästämiseksi kirjoittaa transponointia käyttämällä Esimerkki 7 Pystyvektori voidaan kirjoittaa muodossa (1, 2, 7, 3 T eli jos A on sym- Neliömatriisia A kutsutaan symmetriseksi, jos A = A T metrinen päälävistäjänsä suhteen Esimerkki 8 Matriisi on symmetrinen B = Jokaisesta yhtälöryhmästä saadaan matriisi jättämällä tuntemattomat merkitsemättä Esimerkki 9 Yhtälöryhmästä 2x 1 3x 2 + 5x 3 x 4 = 2 3x 1 + 2x 2 8x 3 = 6 x 1 + 5x 2 + 3x 3 2x 4 = 4 saadaan matriisi

7 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit Yhtälöryhmä ratkaistaan muuntamalla sitä vastaava matriisi alkeismuunnoksilla porrasmuotoon Määritelmä 2 Matriisin alkeismuunnoksella tarkoitetaan jotakin seuraavista muunnoksista: AM1 Kahden vaakarivin vaihto AM2 Vaakarivin kertominen nollasta eroavalla reaaliluvulla AM3 Vaakarivin lisääminen reaaliluvulla kerrottuna johonkin toiseen vaakariviin Jos matriisi B saadaan matriisista A jonolla alkeismuunnoksia, sanotaan, että A ja B ovat riviekvivalentit, ja merkitään A B Määritelmä 3 Matriisi on porrasmatriisi, jos sen jokaisen nollarivistä eroavan rivin alussa on enemmän nollia kuin edellisen vaakarivin alussa Porrasmatriisi on redusoitu porrasmatriisi, jos jokaisella nollarivistä eroavalla rivillä ensimmäinen nollasta eroava alkio on 1 ja näiden ykkösten yläpuolella kyseisessä pystyrivissä kaikki alkiot ovat nollia Porrasmatriisin nollarivistä eroavien rivien lukumäärää kutsutaan matriisin porrasluvuksi Esimerkki 10 Matriisit , ovat porrasmatriiseja Niiden porrasluvut ovat 3 ja 2 Matriiseista , kumpikaan ei ole porrasmatriisi Mikään tämän esimerkin matriiseista ei ole redusoitu porrasmatriisi Esimerkki 11 Matriisi on tyyppiä 7 12 oleva redusoitu porrasmatriisi Sen porrasluku on r = 6 7

8 Esimerkki 12 Muunnetaan matriisi porrasmuotoon Lisätään ensin ylin rivi luvulla 2 kerrottuna toiseen riviin Tällöin saadaan matriisi Sen jälkeen hankitaan nolla alimman rivin alkuun lisäämällä ylin rivi alimpaan Saadaan matriisi Lopuksi lisätään toinen rivi luvulla 2 kerrottuna alimpaan riviin, jolloin saadaan Saatu matriisi on porrasmatriisi Se ei vielä ole redusoitu porrasmatriisi Jatketaan matriisin muuntamista kunnes saadaan redusoitu porrasmatriisi Kerrotaan seuraavaksi alin rivi luvulla 1 2 Saadaan matriisi Lisätään sitten alin rivi luvulla 5 kerrottuna toiseen riviin ja luvulla 4 kerrottuna ensimmäiseen riviin, jolloin saadaan Lopuksi lisätään toinen rivi luvulla 3 kerrottuna ensimmäiseen riviin ja saadaan redusoitu porrasmatriisi Lause 1 Mielivaltainen matriisi A voidaan muuntaa alkeismuunnoksilla porrasmatriisiksi ja redusoiduksi porrasmatriisiksi Todistus Sivuutamme yksityiskohtaisen todistuksen, mutta ei ole vaikea nähdä, että edellisessä esimerkissä käytetty menetelmä toimii mille tahansa matriisille 8

9 14 Yhtälöryhmien ratkaiseminen Seuraavissa esimerkeissä ratkaistaan yhtälöryhmiä matriisien alkeismuunnoksia käyttämällä Esimerkki 13 Ratkaistaan yhtälöryhmä 2x + 6y 5z = 142 x 2y + 7z = 115 5x 14y + 15z = 375 Yhtälöryhmän matriisi on Muunnetaan matriisi alkeismuunnoksilla porrasmuotoon Vaihdetaan ensin matriisin kaksi ensimmäistä riviä, jolloin saadaan Sen jälkeen lasku etenee tavalliseen tapaan Lisätään ylin rivi luvulla 2 kerrottuna toiseen riviin Sitten lisätään ylin rivi luvulla 5 kerrottuna alimpaan riviin Tuloksena on matriisi Seuraavaksi lisätään keskimmäinen rivi luvulla 2 kerrottuna alimpaan riviin, jolloin saadaan porrasmatriisi Saatu porrasmatriisi antaa yhtälöryhmän x 2y + 7z = 115 2y + 9z = 88 2z = 24 Tästä saadaan ratkaisu x = 11 y = 10 z = 12 9

10 Esimerkki 14 Esimerkin 13 loppuosassa voidaan haluttaessa saadun matriisi yksinkertaistamista jatkaa pitemmälle Seuraava luonnollinen askel on kertoa alin rivi luvulla 1 2 ja jatkaa saadun matriisin muuntamista lisäämällä alin rivi luvulla 9 kerrottuna toiseen riviin ja luvulla 7 kerrottuna ylimpään riviin Näin saadaan matriisi Lisätään vielä toinen rivi ensimmäiseen ja kerrotaan sitten toinen rivi luvulla 1 2 Saatu redusoitu porrasmatriisi antaa välittömästi yhtälöryhmän ratkaisun Esimerkki 15 Ratkaistaan yhtälöryhmä x + 3y 5z u = 1 2x + 3y + 8z + 4u = 2 2x 4y + 7z 3u = 3 5x + 11y + 8z + 2u = 4 Yhtälöryhmän matriisi on Muunnetaan matriisi jälleen porrasmuotoon Lisätään ylin rivi luvulla 2 kerrottuna toiseen riviin, luvulla 2 kerrottuna kolmanteen riviin ja luvulla 5 kerrottuna neljänteen riviin Tuloksena on matriisi

11 Seuraavaksi kannattaa kertoa toinen rivi luvulla 1 3, jolloin saadaan Sitten hankitaan lisää alkunollia riveille 3 ja 4 lisäämällä toinen rivi luvulla 2 kerrottuna kolmanteen riviin ja luvulla 4 kerrottuna alimpaan riviin Saadaan matriisi Lopuksi vähennetään kolmas rivi alimmasta rivistä ja saadaan Saadun matriisin alin rivi antaa yhtälön 0 x + 0 y + 0 z + 0 u = 6, mistä nähdään, että ryhmällä ei ole ratkaisua Esimerkki 16 Ratkaistaan yhtälöryhmä x + y + z + u + v = 1 x + 2y + 3z + 4u + 5v = 2 x + 3y + 6z + 9u + 12v = 3 Yhtälöryhmän matriisi on Kun ensimmäinen rivi vähennetään ensin toisesta rivistä ja sitten kolmannesta rivistä, saadaan Lisätään sitten toinen rivi luvulla 2 kerrottuna kolmanteen riviin, jolloin saadaan porrasmatriisi

12 Tämä antaa yhtälöryhmän x + y + z + u + v = 1 y + 2z + 3u + 4v = 1 z + 2u + 3v = 0 Nähdään, että tuntemattomille u ja v voidaan antaa mielivaltaiset arvot Sen jälkeen saadaan alimmasta yhtälöstä laskettua z, sitten keskimmäisestä yhtälöstä ratkaistaan y ja lopuksi ylimmästä x Ratkaisuksi saadaan x = 0 y = 1 + b + 2a z = 2b 3a, u = b v = a missä a, b R Esimerkki 17 Esimerkissä 16 voidaan jatkaa saadun porrasmatriisin muuntamista, kunnes saadaan redusoitu porrasmatriisi , josta ratkaisu saadaan vielä helpommin kuin esimerkin 16 porrasmatriisista 2 Matriisien laskutoimituksia Matriisien peruslaskutoimituksia ovat summa, skalaarilla kertominen ja tulo Näistä kaksi ensimmäistä ovat hyvin helppoja Kaksi matriisia voidaan laskea yhteen, jos matriisit ovat samaa tyyppiä Tällöin niiden summa saadaan laskemalla yhteen vastaavissa kohdissa olevat luvut Matriisien erotus määritellään vastaavasti Matriisi kerrotaan reaaliluvulla c kertomalla jokainen matriisin alkio luvulla c Seuraavassa määritelmässä tämä on ilmaistu täsmällisesti Määritelmä 4 Jos A = (a ij m n ja B = (b ij m n, niin A + B = (a ij + b ij m n ja Jos c R, niin A B = (a ij b ij m n ca = (ca ij m n 12

13 Esimerkki 18 Matriisien ( A = summa on A + B = ja B = ( ( Kun matriisi A kerrotaan luvulla 2, saadaan matriisi ( A = Esimerkki 19 Matriiseja ( A = ja B = ( ei voida laskea yhteen, koska matriisit ovat eri tyyppiä Matriisien tulon määritelmä voi aluksi vaikuttaa yllättävältä Tarkastellaan tulon määritelmää ensin esimerkin avulla Esimerkki 20 Olkoon A = ( ja B = Matriisi A on tyyppiä 2 3 ja matriisi B tyyppiä 3 4 Niiden tulo tulee olemaan tyyppiä 2 4 Tulo AB lasketaan alkio kerrallaan, seuraavan säännön mukaisesti: tulomatriisin AB kohtaan (i, j tuleva alkio saadaan kertomalla matriisin A i:nnen vaakarivin alkiot matriisin B j:nnen pystyrivin vastaavilla alkioilla ja laskemalla saadut tulot yhteen Esimerkiksi kohtaan (1, 2 tuleva alkio on ( = 1: ( ( = Vastaavalla tavalla saadaan lasketuksi tähdellä merkityt alkiot ja saadaan ( AB =

14 Jotta kahden matriisin tulo voitaisiin muodostaa annetun säännön avulla, on matriisin A vaakarivillä oltava sama määrä alkioita kuin matriisin B pystyrivillä Seuraavassa määritelmässä esiintyvä summalauseke on saatu soveltamalla yllä esitettyä sääntöä matriiseihin A = (a ij m n ja B = (b ij n p Määritelmä 5 Jos A = (a ij m n ja B = (b ij n p, niin matriisien A ja B tulo AB on matriisi C = (c ij m p, missä c ij = n a ik b kj k=1 = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Esimerkki 21 Olkoon A = ( ja B = ( Silloin ja = = AB = ( ( = ( ( ( BA = ( ( ( ( ( = ( ( Huomataan, että AB BA Tämä esimerkki osoittaa, että matriisitulo ei ole kommutatiivinen Tulo riippuu siitä, missä järjestyksessä matriisit kerrotaan Tässä suhteessa matriisitulo käyttäytyy täysin toisin kuin tavallinen lukujen tulo Esimerkki 22 Olkoon A = , B = ( ja Silloin AB = C = ( ( =

15 ja BA = ( = ( Koska matriisin A vaakarivillä on kaksi alkiota ja matriisin C pystyrivillä on kaksi alkiota, tulo AC voidaan laskea Saadaan AC = 3 1 ( = Tuloa CA ei voida laskea, koska C:n vaakarivillä on neljä alkiota, mutta A:n pystyrivillä on vain kolme alkiota Jos a ja b ovat reaalilukuja, tulo ab voi olla nolla vain, jos a = 0 tai b = 0 Tämä ominaisuus ei päde matriiseille Seuraavassa esimerkissä kahden matriisin tulo on nollamatriisi vaikka kumpikaan tekijä ei ole nollamatriisi Esimerkki 23 ( ( = ( Seuraava esimerkki antaa ensimmäisen viitteen matriisitulon käyttökelpoisuudesta Esimerkki 24 Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m Olkoon ja Silloin a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, X = a m1 a m2 a mn AX = C = c 1 c 2 c m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n x 1 x 2 x n, 15

16 joten tarkasteltava yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä AX = C Luku 1 on identiteettialkio reaalilukujen kertolaskun suhteen Tällä tarkoitetaan, että luku a ei muutu, jos se kerrotaan ykkösellä Identiteettimatriiseilla on samanlainen ominaisuus Lause 2 Olkoon A tyyppiä m n oleva matriisi Silloin I m A = A ja AI n = A Todistus Molemmat kaavat nähdään oikeaksi suorittamalla kyseiset laskut Usein matriiseja tarkasteltaessa kohdassa (i, j olevalle matriisin A alkiolle kannattaa käyttää merkintää A ij Tätä merkintätapaa käytettäessä kahden samaa tyyppiä olevan matriisin A ja B summan määrittelee yhtälö (A + B ij = A ij + B ij Jos A on m n-matriisi ja B on n p-matriisi, niin tulon määritelmä voidaan kirjoittaa muodossa n (AB ij = A ik B kj k=1 Käytämme tätä merkintätapaa seuraavan lauseen todistuksessa Lause 3 Matriiseille ovat voimassa seuraavat laskusäännöt: 1 A + B = B + A, 2 A + (B + C = (A + B + C, 3 A + O = O + A = A, 4 A(BC = (ABC, 5 A(B + C = AB + AC, 6 (A + BC = AC + BC, 7 r(ab = (rab = A(rB, 8 (r + sa = ra + sa, 9 r(a + B = ra + rb, missä A, B ja C ovat kussakin kohdassa sellaisia matriiseja, että kyseiset laskutoimitukset ovat määriteltyjä, ja r, s R 16

17 Todistus Kolme ensimmäistä ja kolme viimeistä sääntöä ovat ilmeisiä Todistetaan sääntö (4 Oletetaan, että A on tyyppiä m n oleva matriisi, B tyyppiä n p oleva matriisi ja C tyyppiä p q oleva matriisi Tällöin kaikki laskusäännössä (4 mainitut matriisit ovat määriteltyjä Lisäksi ja (A(BC ij = ((ABC ij = n A ik (BC kj = k=1 p (AB is C sj = s=1 n p A ik ( B ks C sj = k=1 s=1 k=1 s=1 p n ( A ik B ks C sj = n k=1 s=1 p s=1 k=1 p A ik B ks C sj n A ik B ks C sj aina, kun i = 1,, m, j = 1,, q Koska molemmissa summalausekkeissa on laskettu yhteen kaikki muotoa A ik B ks C sj olevat termit, (A(BC ij = ((ABC ij aina, kun i = 1,, m, j = 1,, q Täten A(BC = (ABC Todistetaan sitten laskusääntö (5 Olkoon A tyyppiä m n Olkoot B ja C tyyppiä n p Silloin = (A(B + C ij = n A ik B kj + k=1 n A ik (B + C kj = k=1 n A ik (B kj + C kj k=1 n A ik C kj = (AB ij + (AC ij = (AB + AC ij k=1 aina, kun i = 1,, m, j = 1,, p Tämä todistaa säännön (5 Sääntö (6 todistetaan kuten sääntö (5 Olkoon A neliömatriisi Matriisin A potenssit määritellään luonnollisella tavalla Kun k on positiivinen kokonaisluku, A k = AA A, missä oikealla puolella olevassa tulossa A esiintyy k kertaa Määritelmää täydennetään sopimalla, että A 0 = I, missä I on samankokoinen identiteettimatriisi kuin A Esimerkki 25 Olkoon Silloin A = A 2 = ( (

18 ja A 3 = ( Saadut matriisit A, A 2 ja A 3 antavat aiheen otaksua, että ( A k 1 k = 0 1 aina, kun k on positiivinen kokonaisluku Tämän osoittaminen ei ole vaikeaa lukijalle, joka tuntee täydellisen induktion 3 Matriisin käänteismatriisi Määritelmä 6 Olkoon A n n-matriisi Matriisi B on A:n käänteismatriisi, jos AB = BA = I Jos B on A:n käänteismatriisi, merkitään B = A 1 käänteismatriisi, matriisia A kutsutaan säännölliseksi Esimerkki 26 Olkoon Matriisi A = B = ( ( on A:n käänteismatriisi, koska ( 2 5 ( ja ( ( = = Esimerkki 27 Osoitetaan, että matriisilla ( 1 2 A = 2 4 ( ( ei ole käänteismatriisia Tehdään vastaoletus, että matriisi ( a b B = c d on A:n käänteismatriisi Siis AB = BA = I Jos matriisilla A on 18

19 Koska ( a + 2c b + 2d AB = 2a + 4c 2b + 4d saadaan yhtälö ( a + 2c b + 2d 2a + 4c 2b + 4d eli yhtälöryhmä = a + 2c = 1 b + 2d = 0 2a + 4c = 0 2b + 4d = 1 ( Tällä yhtälöryhmällä ei kuitenkaan ole yhtään ratkaisua, mikä nähdään esimerkiksi tarkastelemalla ensimmäistä ja kolmatta yhtälöä Täten matriisilla A ei ole käänteismatriisia Esimerkki 28 Tarkastellaan esimerkissä 24 saatua yhtälöä AX = C Oletetaan, että A on neliömatriisi Jos matriisilla A on käänteismatriisi, voidaan ryhmä ratkaista kertomalla vasemmalta matriisilla A 1, jolloin saadaan X = A 1 C Tämän menetelmän käyttökelpoisuutta rajoittaa se, että yleensä matriisin A 1 laskeminen on työlästä Lause 4 Jos matriisilla A on käänteismatriisi, niin sillä on tarkalleen yksi käänteismatriisi Todistus Oletetaan, että matriisit B ja C ovat A:n käänteismatriiseja Silloin AB = BA = I ja AC = CA = I Täten B = BI = B(AC = (BAC = IC = C Lause 4 esitetään usein muodossa: Jos matriisilla A on käänteismatriisi, niin se on yksikäsitteinen Lause 5 Oletetaan, että A ja B ovat säännöllisiä n n-matriiseja Olkoon k nollasta eroava reaaliluku Silloin 1 A 1 on säännöllinen ja (A 1 1 = A 2 ka on säännöllinen ja (ka 1 = 1 k A 1 3 AB on säännöllinen ja (AB 1 = B 1 A 1 19

20 Todistus Todistetaan viimeinen kohta Pitää siis osoittaa, että matriisi B 1 A 1 on matriisin AB käänteismatriisi Tämä nähdään laskemalla tulot ABB 1 A 1 ja B 1 A 1 AB ja toteamalla, että molemmista tulee identiteettimatriisi: ABB 1 A 1 = AIA 1 = AA 1 = I ja B 1 A 1 AB = B 1 IB = B 1 B = I Esimerkki 29 antaa kaavan 2 2-matriisin käänteismatriisille, mikäli käänteismatriisi on olemassa Esimerkki 29 Olkoon Merkitään ( a b A = c d ( d b B = c a Laskemalla todetaan, että AB = BA = (ad bci Jos ad bc 0, nähdään että ( 1 ( a b 1 d b = c d ad bc c a Myöhemmin nähdään, että käänteismatriisia ei ole olemassa, jos ad bc = 0 Annetun n n-matriisin A käänteismatriisi voidaan laskea seuraavasti Muodostetaan matriisi, jossa A:n oikealle puolelle on kirjoitettu samankokoinen identiteettimatriisi Näin saatavalle matriisille käytetään usein merkintää (A I ja sanotaan, että A ja I ovat sen lohkoja Sen jälkeen muunnetaan saatu matriisi alkeismuunnoksilla redusoituun porrasmuotoon Mikäli vasempaan lohkoon tulee identiteettimatriisi, oikea lohko antaa A:n käänteismatriisin Jos laskun kuluessa vasempaan lohkoon tulee jossakin vaiheessa nollarivi, matriisilla A ei ole käänteismatriisia Esimerkki 30 Etsitään matriisin A = käänteismatriisi A 1, mikäli A 1 on olemassa Muodostetaan ensin matriisi (A I = , 20

21 Sen jälkeen muunnetaan matriisi redusoituun porrasmuotoon tavalliseen tapaan: /2 3/2 1/ /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ /4 1/4 1/ /6 1/2 1/6 Täten A 1 = 1/2 1/2 1/2 1/4 1/4 1/4 1/6 1/2 1/6 = Determinanteista Neliömatriisiin A liittyy luku det(a, jota kutsutaan sen determinantiksi Jos ( a b A =, c d niin det(a = a c b d = ad bc Jos A = a b c d e f g h j, niin det(a = a b c d e f g h j = a e h f j b d g f j + c d g e h 21

22 Tämä kaava palauttaa kolmerivisen determinantin laskemisen kaksiriviseen tapaukseen Lausekkeessa on otettu ensimmäisen vaakarivin alkiot a, b ja c, näille on vuorotellen annettu etumerkiksi plus ja miinus, ja kukin on kerrottu kaksirivisellä determinantilla, joka syntyy, kun kolmerivisestä determinantista on jätetty pois kyseisen alkion sisältävä vaakarivi ja pystyrivi Esimerkki = = 10 Esimerkki = = ( ( ( = = 9 Yleinen n-rivinen determinantti voidaan määritellä samaa ideaa käyttämällä, kun oletetaan, että osaamme jo laskea n 1-rivisen determinantin Olkoon A = (a ij n n mielivaltainen n-rivinen neliömatriisi Tällöin kohtaan (i, j liittyvä alideterminantti D ij on sen (n 1 (n 1-matriisin determinantti, joka saadaan A:sta jättämällä pois i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi Kohtaan (i, j liittyvä komplementti C ij on C ij = ( 1 i+j D ij Komplementin merkki ( 1 i+j saadaan shakkilautasäännön mukaisesti: Seuraava määritelmä kertoo, miten n-rivinen determinantti lasketaan, kun oletetaan, että osaamme jo laskea n 1-rivisen determinantin Määritelmä 7 Neliömatriisin A = (a ij n n determinantti det(a on luku det(a = a 11 C 11 + a 12 C a 1n C 1n Edellisessä määritelmässä esiintyvää summalauseketta kutsutaan determinantin kehitelmäksi ensimmäisen vaakarivin mukaan Seuraava lause osoittaa, että determinantti voidaan kehittää minkä tahansa vaaka- tai pystyrivin mukaan 22

23 Lause 6 Olkoon A = (a ij n n neliömatriisi Silloin det(a = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in (kehitelmä i:nnen vaakarivin mukaan ja det(a = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj (kehitelmä j:nnen pystyrivin mukaan Sivuutamme lauseen todistuksen Esimerkki 33 Lasketaan determinantti kehittämällä ensimmäisen pystyrivin mukaan Saadaan , missä ei ole merkitty näkyviin kolmea termiä, jotka ovat yhtäsuuria kuin nolla Kehitetään saatu determinantti jälleen ensimmäisen pystyrivin mukaan ja saadaan = 80 Seuraava lause nähdään oikeaksi menettelemällä kuten esimerkissä 33 Lause 7 Jos A = (a ij n n on yläkolmiomatriisi (tai alakolmiomatriisi, niin det(a = a 11 a 22 a nn Yläkolmiomatriisin determinantin laskeminen sujuu helposti, koska matriisissa on runsaasti nollia Jos determinantissa ei valmiiksi ole nollia, niitä kannattaa yleensä hankkia determinanttiin ennen sen laskemista käyttämällä hyväksi alla selostettuja determinanttien perusominaisuuksia Determinantin laskeminen suoraan määritelmän avulla on yleensä erittäin työlästä Esimerkki 34 Jos viisirivinen determinantti palautetaan ensin nelirivisiin determinantteihin ja nämä kolmerivisiin, niin laskettavaksi tulee 20 kolmerivistä determinanttia Kuusirivisen determinantin tapauksessa kolmerivisiä determinantteja tulee 120 kappaletta Lause 8 Determinantilla on seuraavat perusominaisuudet: 23

24 1 Jos determinantin kaksi vaakariviä vaihdetaan keskenään, niin determinantin merkki vaihtuu 2 Jos matriisissa A on kaksi identtistä vaakariviä, niin det(a = 0 3 Kaikilla reaaliluvuilla c pätee a 11 a 1n ca i1 ca in a n1 a nn = c a 11 a 1n a i1 a in a n1 a nn 4 Jos A = (a ij n n ja c R, niin det(ca = c n det(a 5 Determinantin arvo ei muutu, jos johonkin vaakariviin lisätään toinen vaakarivi vakiolla kerrottuna 6 Determinantin arvo ei muutu, jos vaakarivit muutetaan pystyriveiksi järjestys säilyttäen, ts det(a = det(a T Lause 9 Laskusäännöt 1,2,3 ja 5 ovat voimassa, kun niissä vaakarivit korvataan pystyriveillä Sivuutamme lauseiden 8 ja 9 todistukset ja siirrymme tarkastelemaan säännön 5 käyttöä determinanttien laskemisessa Esimerkki 35 Lasketaan determinantti Lisätään ensimmäinen vaakarivi luvulla 1 kerrottuna ensin toiseen, sitten kolmanteen ja lopuksi neljänteen vaakariviin Saadaan determinantti Kehitetään ensimmäisen pystyrivin mukaan, jolloin saadaan

25 Jatketaan lisäämällä ensimmäinen vaakarivi luvulla 2 kerrottuna toiseen vaakariviin ja luvulla 3 kerrottuna kolmanteen vaakariviin, jolloin saadaan = = 13 Esimerkki 36 Tarkastellaan determinanttia 1 + x x x x x Lisätään ensin muut vaakarivit ensimmäiseen vaakariviin Kun saadussa determinantissa vähennetään ensimmäinen pystyrivi jokaisesta muusta pystyrivistä, saadaan determinantti laskettua: = 5 + x 5 + x 5 + x 5 + x 5 + x x x x x 5 + x x x x x = (5 + xx 4 Seuraava lause antaa determinattien tulokaavan Sivuutamme lauseen todistuksen, joka ei ole aivan helppo Lause 10 Jos A ja B ovat n n -matriiseja, niin det(ab = det(a det(b Kahden matriisin summan determinantille ei ole mitään vastaavaa kaavaa Jos esimerkiksi ( ( A = ja B =, niin det(a + B = 1, mutta det(a + det(b = = 0 Neliömatriisin determinantti kertoo, onko matriisilla käänteismatriisi Lause 11 Neliömatriisilla A on käänteimatriisi jos ja vain jos det(a 0 25

26 Todistus Oletetaan, että neliömatriislla A on käänteismatriisi B Silloin AB = I Täten det(a det(b = det(ab = det(i = 1 Koska det(a ja det(b ovat reaalilukuja, joiden tulo on 1, niistä kumpikaan ei voi olla nolla Siis, jos A:lla on käänteismatriisi, det(a 0 Sivuutamme lauseen todistuksen toiseen suuntaan Voidaan osoittaa, että jos A on n n-matriisi, jonka determinantti ei ole nolla, niin A 1 saadaan kaavasta A 1 = 1 det(a C 11 C 1n C n1 C nn missä C ij on kohtaan (i, j kuuluva komplementti Matriisin käänteismatriisn laskeminen sujuu yleensä helpommin alkeismuunnosten avulla kuin tällä kaavalla 5 Determinantin määritelmä ja permutaatiot Tarkastelemme tässä luvussa toista tapaa määritellä yleinen n-rivinen determinantti Halutessaan lukija voi sivuuttaa tämän tarkastelun, siihen ei viitata myöhemmin missään yhteydessä tällä kurssilla Määritellään aluksi eräitä apukäsitteitä Lukujen 1, 2,, n permutaatio on jono (j 1,, j n, jossa on samat luvut jossakin järjestyksessä Jonosta (j 1,, j n otettu pari (j p, j q on inversio, jos j p > j q Permutaatio (j 1,, j n on parillinen, jos siinä on parillinen määrä inversioita, muuten pariton Esimerkki 37 Lukujen 1, 2, 3 permutaatiot ovat (1, 2, 3, (1, 3, 2, (2, 1, 3, (2, 3, 1, (3, 1, 2, (3, 2, 1 Permutaatio (3, 1, 2 on parillinen, koska siinä on kaksi inversiota, parit (3, 1 ja (3, 2 Permutaatio (3, 2, 1 on pariton, koska kaikki siitä saatavat kolme paria ovat inversioita Permutaation (j 1,, j n merkki sign(j 1,, j n määritellään ehdolla T, sign(j 1,, j n = { +1, jos (j1,, j n on parillinen 1, jos (j 1,, j n on pariton Lause 12 Lukujen 1, 2,, n permutaatioita on n! = n(n kappaletta Todistus Permutaation ensimmäinen alkio voidaan valita n tavalla, tämän jälkeen toinen alkio n 1 tavalla ja niin edelleen Seuraavissa lauseissa luetellaan permutaatioiden perusominaisuuksia 26

27 Lause 13 Jos permutaatiossa vaihdetaan mitkä tahansa kaksi alkiota, niin permutaation merkki vaihtuu Lause 14 Lukujen 1, 2,, n permutaatioista parillisia on tarkalleen puolet (n 2 Permutaatioiden avulla voidaan nyt esittää determinantille toinen määritelmä Määritelmä 8 Neliömatriisin A = (a ij n n determinantti on reaaliluku det(a = sign(j 1, j 2,, j n a 1j1 a 2j2 a njn, missä summaan otetaan kaikki joukon {1, 2,, n} permutaatiot (j 1, j 2,, j n Determinantti on siis summa, jossa on n! yhteenlaskettavaa Suurilla luvun n arvoilla yhteenlaskettavien määrä on siis erittäin suuri Kussakin termissä a 1j1 a 2j2 a njn on tarkalleen yksi alkio kultakin vaaka- ja pystyriviltä Voidaan osoittaa, että tämä määritelmä on ekvivalentti aikaisemmin esillä olleen rekursiivisen määritelmän kanssa 6 Vektoriavaruus R n 61 Vektoriavaruus R 2 Joukko R 2 muodostuu reaalilukupareista (x, y Siis R 2 = {(x, y x, y R} Reaalilukupari (x, y vastaa tason pistettä P, jonka koordinaatit ovat x ja y Olkoot A ja B tason eri pisteitä Tällöin AB on vektori, jonka alkupiste on A ja loppupiste on B Vektoria AB esitetään nuolella pisteestä A pisteeseen B Sovimme, että vektoria AB esittävät lisäksi kaikki muutkin nuolet, jotka ovat samansuuntaisia ja yhtä pitkiä kuin AB Origolla O tarkoitetaan pistettä (0, 0 Vektoria OA kutsutaan pisteen A paikkavektoriksi Jatkossa kutsumme reaalilukupareja (x, y avaruuden R 2 vektoreiksi Vektoreille määritellään kaksi tärkeää laskutoimitusta, summa ja reaaliluvulla (eli skalaarilla kertominen Määritelmä 9 Kun u = (u 1, u 2 R 2, v = (v 1, v 2 R 2 ja a R, niin ja u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 au = (au 1, au 2 Vektori u + v on vektoreiden u ja v summa ja au on u:n skalaarimonikerta 27

28 Vektoria 0 = (0, 0 kutsutaan nollavektoriksi Geometrisesti summavektori u + v saadaan, kun vektoria v esittävä nuoli sijoitetaan alkamaan vektorin u kärjestä Pythagoraan lauseen avulla nähdään, että vektorin u = (u 1, u 2 pituus on u = u u2 2 Esimerkki 38 Kun u = (2, 3, v = ( 1, 2 ja w = (4, 3, niin ja u + v = (1, 1 3u + 5v 3w = 3 (2, ( 1, 2 3 (4, 3 = ( 11, 10 Vektorin w pituus on 62 Vektoriavaruus R 3 w = ( 3 2 = 5 Edellä on tarkasteltu tasovektoreita eli vektoreita, joilla on kaksi komponenttia Samalla tavalla voidaan tarkastella kolmiulotteisia vektoreita Merkitään R 3 = {(x, y, z x, y, z R} Summa ja skalaarilla kertominen määritellään kolmiulotteisille vektoreille samalla tavalla kuin tasovektoreille Määritelmä 10 Kun u = (u 1, u 2, u 3 R 3, v = (v 1, v 2, v 3 R 3 ja a R, niin u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ja au = (au 1, au 2, au 3 Pythagoraan lauseen avulla nähdään, että vektorin u = (u 1, u 2, u 3 pituus on u = u u2 2 + u2 3 Nollavektorin 0 = (0, 0, 0 pituus on nolla Kahden annetun vektorin välinen kulma voidaan laskea sisätulon avulla Vektoreiden u = (u 1, u 2, u 3 ja v = (v 1, v 2, v 3 sisätulo (eli pistetulo on (u, v = u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Voidaan osoittaa, että sisätulo toteuttaa kaavan (u, v = u v cos α, missä α on vektoreiden u ja v välinen kulma Erityisesti nollavektorista eroavat vektorit u ja v ovat kohtisuorassa (eli ortogonaaliset tarkalleen silloin kun (u, v = 0 Tällöin merkitään u v Yleensä sovitaan, että nollavektori on kohtisuorassa kaikkien vektoreiden kanssa 28

29 Esimerkki 39 Olkoon u = (3, 1, 2, v = (1, 3, 2 ja w = (1, 1, 1 Silloin Koska u 4v = (3, 1, 2 4 (1, 3, 2 = ( 1, 11, 10 (u 4v w = ( 1, 11, 10 (1, 1, 1 = ( 1 = 0, vektorit u 4v ja w ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan Tarkastelemme seuraavaksi lyhyesti suoria ja tasoja Nämä ovat lineaarialgebran kannalta R 3 :n mielenkiintoisimpia osajoukkoja Olkoon L suora, jonka suuntavektori on s ja joka kulkee pisteen P 0 kautta Olkoon pisteen P 0 paikkavektori r 0 Silloin suora voidaan esittää muodossa L : r = r 0 + ts (t R (1 Tämä yhtälö kertoo, että suoran L mielivaltaisen pisteen paikkavektori r saadaan lisäämällä vektoriin r 0 sopiva suuntavektorin skalaarimonikerta Kun merkitään r 0 = (x 0, y 0, z 0, r = (x, y, z ja s = (a, b, c ja sijoitetaan nämä yhtälöön (1, saadaan suoran L esitys muotoon eli r = (x, y, z = (x 0 + ta, y 0 + tb, z 0 + tc L : x = x 0 + ta y = y 0 + tb (t R z = z 0 + tc Tämä on suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys Jos a, b, c 0, niin parametrin t arvo voidaan ratkaista kaikista kolmesta yhtälöstä Kun saadut lausekkeet merkitään yhtäsuuriksi, saadaan suoran L standardiesitys L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Esimerkki 40 Etsitään pisteiden A = (7, 1, 2 ja B = (9, 1, 5 kautta kulkevan suoran L yhtälö Suuntavektoriksi voidaan valita AB = (9, 1, 5 (7, 1, 2 = (2, 2, 3 Suoran L koordinaattimuotoiseksi parametriesitykseksi saadaan x = 7 + 2t y = 1 2t (t R z = 2 + 3t Suoralle L saadaan standardiesitys x 7 2 = y 1 2 = z

30 Johdamme seuraavaksi tason yhälön Olkoon T taso ja n tason normaalivektori, toisin sanoen vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan Olkoon P 0 jokin tason T piste ja r 0 sen paikkavektori Olkoon P mielivaltainen avaruuden piste ja r sen paikkavektori Silloin piste P on tasossa T tarkalleen silloin kun vektori r r 0 on kohtisuorassa vektoria n vastaan Sisätuloa käyttämällä tämä ehto voidaan kirjoittaa muotoon (r r 0 n = 0 Kun merkitään r = (x, y, z, r 0 = (x 0, y 0, z 0 ja n = (a, b, c, saadaan tasolle T yhtälö a(x x 0 + b(y y 0 + c(z z 0 = 0 eli missä on merkitty d = ax 0 + by 0 + cz 0 ax + by + cz = d, Esimerkki 41 Etsitään pisteiden (2, 5, 1, (3, 8, 4 ja (5, 10, 6 kautta kulkevan tason T yhtälö Olkoon T :n normaalivektori (a, b, c Silloin tason T yhtälö on a(x 2 + b(y 5 + c(z 1 = 0 Sijoittamalla tähän yhtälöön pisteet (3, 8, 4 ja (5, 10, 6 saadaan yhtälöpari { a + 3b 5c = 0 3a + 5b 7c = 0 Yhtälöpari on ekvivalentti yhtälöparin { a + 3b 5c = 0 4b + 8c = 0 kanssa Täten sen ratkaisut ovat a = t b = 2t c = t (t R Valitsemalla t = 1, saadaan tasolle T yhtälö 1 (x 2 2(y 5 1 (z 1 = 0 eli x 2y z = 9 Esimerkki 42 Suoran L yhtälö on x 3 5 = y = z 2 7

31 ja tason T yhtälö on 3x + 2y 4z = 29 Etsitään suoran L ja tason T leikkauspiste Merkitsemällä suoran yhtälössa kaikki termit yhtäsuuriksi kuin t, saadaan suoralle L parametriesitys Täten joten saadaan yhtälö x = 3 + 5t y = 1 + 4t z = 2 + 7t 3x + 2y 4z = t 2 + 8t 8 28t = 1 5t, 1 5t = 29 Siis t = 6 Sijoittamalla suoran parametriesitykseen t = 6, saadaan leikkauspisteeksi ( 27, 25, 40 Esimerkki 43 Lasketaan tasojen x + 2y 5z = 3 ja 2x + 5y + z = 5 leikkaussuoran standardiesitys Leikkaussuoran pisteet ovat tarkalleen ne pisteet, jotka toteuttavat molempien tasojen yhtälöt Toisin sanoen, leikkaussuoran pisteet ovat yhtälöryhmän { x + 2y 5z = 3 2x + 5y + z = 5 ratkaisut Yhtälöryhmä on ekvivalentti yhtälöryhmän { x + 2y 5z = 3 y + 11z = 1 kanssa Täten sen ratkaisut ovat x = t y = 1 11t z = t Saadut yhtälöt antavat leikkaussuoran parametrimuodossa Standardimuotoon päästään ratkaisemalla t kaikista yhtälöistä ja merkitsemällä saadut lausekkeet yhtäsuuriksi Standardiesitykseksi saadaan 63 Vektoriavaruus R n x 5 27 = y = z 1 Tarkastelemme seuraavaksi joukkoa R n, missä n on mielivaltainen positiivinen kokonaisluku Määritelmä 11 Olkoon n positiivinen kokonaisluku Merkitään R n = {(x 1,, x n x 1,, x n R} 31

32 Kun x = (x 1,, x n R n, y = (y 1,, y n R n ja a R, niin vektoreiden x ja y summa on vektori ja skalaarimonikerta ax on vektori x + y = (x 1 + y 1,, x n + y n ax = (ax 1,, ax n Kun n > 3, avaruuden R n alkioita ei voida havainnollistaa nuolilla, mutta monissa käytännön tilanteissa on luonnollista tarkastella tällaisia vektoreita Esimerkki 44 Kauppa pitää kirjaa varastossa olevista Criminal Minds TVsarjan DVD bokseista Kyseistä sarjaa on (toistaiseksi saatavilla kymmenen tuotantokautta Kaupan varastotilannetta voidaan kuvailla avaruuden R 10 alkiolla v = (v 1, v 2,, v 10, missä vektorin i:s komponentti v i kertoo, montako i:nnen tuotantokauden jaksot sisältävää boksia varastosta löytyy Kun kauppaan saapuu täydennyserä, jota samalla tavalla kuvataan vektorilla t = (t 1, t 2,, t 10, päivitetty varastotilanne saadaan laskemalla summa v + t Esimerkki 45 Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää { x + y + z + u = 0 2x + 3y + 4z + 5u = 0 Ryhmä on ekvivalentti ryhmän { x + y + z + u = 0 y + 2z + 3u = 0 kanssa Täten sen ratkaisu on x = b + 2a y = 2b 3a z = b u = a, missä a, b R Toisin sanoen, yhtälöryhmän ratkaisujoukko on {(b + 2a, 2b 3a, b, a a, b R} Tämä on avaruuden R 4 osajoukko Käyttämällä edellä määriteltyjä laskutoimituksia tämä joukko voidaan kirjoittaa muodossa {b(1, 2, 1, 0 + a(2, 3, 0, 1 a, b R} Tarkastellaan joukon R n alkioita Kun j on jokin luvuista 1, 2,, n, niin e j R n on vektori e j = (0,, 0, 1, 0,, 0, 32

33 jonka j:s komponentti on 1 ja muut komponentit ovat nollia Vektoreiden e 1,, e n avulla voidaan esittää mikä tahansa avaruuden R n vektori Jos u = (u 1, u 2,, u n R n, niin u = u 1 e 1 + u 2 e u n e n (2 Vektoreita e 1,, e n kutsutaan avaruuden R n luonnollisiksi kantavektoreiksi ja yhdessä ne muodostavat R n :n luonnollisen kannan Yhtälön (2 oikeaa puolta kutsutaan vektorin u kantaesitykseksi luonnollisen kannan suhteen Selvästi jokaisella vektorilla on tällainen kantaesitys ja millään vektorilla ei ole kahta erilaista kantaesitystä Esimerkki 46 Avaruuden R 4 luonnollinen kanta muodostuu vektoreista e 1 = (1, 0, 0, 0, e 2 = (0, 1, 0, 0, e 3 = (0, 0, 1, 0, e 4 = (0, 0, 0, 1 Esimerkiksi vektorin u = (3, 2, 4, 5 kantaesitys luonnollisen kannan suhteen on 3e 1 2e 2 + 4e 3 + 5e 4 7 Aliavaruudet Edellisessä luvussa totesimme, että avaruudella R n on kanta e 1,, e n Tämän kannan avulla voidaan yksikäsitteisellä tavalla esittää mikä tahansa kyseisen avaruuden vektori Tarkastelemme jatkossa kysymystä, millaisille R n :n osajoukoille löytyy samantapainen kanta Seuraava määritelmä kertoo, millaisia R n :n osajoukkoja kutsutaan aliavaruuksiksi Osoittautuu, että osajoukolla ei voi olla kantaa, jos se ei ole aliavaruus Määritelmä 12 Avaruuden R n osajoukko U on aliavaruus, jos U ja U on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen, toisin sanoen, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: jos u, v U, niin u + v U ja jos u U, a R, niin au U Esimerkki 47 Triviaalisti {0} ja R n ovat avaruuden R n aliavaruuksia Niitä sanotaankin R n :n triviaaleiksi aliavaruuksiksi Esimerkki 48 Olkoon T taso, jonka yhtälö on x y + 2z = 0 Koska piste (0, 0, 0 toteuttaa yhtälön, taso T kulkee origon kautta Osoitetaan, että T on R 3 :n aliavaruus Tätä varten oletetaan, että u = (u 1, u 2, u 3 T, v = (v 1, v 2, v 3 T ja a R 33

34 Siis Pitää osoittaa, että u 1 u 2 + 2u 3 = 0 ja v 1 v 2 + 2v 3 = 0 (3 u + v T ja au T Tässä u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ja au = (au 1, au 2, au 3 Laskemalla yhteen yhtälöt (3 nähdään, että u 1 u 2 + 2u 3 + v 1 v 2 + 2v 3 = 0 Kun järjestellään termejä, saadaan yhtälö Tämä osoittaa, että (u 1 + v 1 (u 2 + v 2 + 2(u 3 + v 3 = 0 u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 T Kun yhtälö u 1 u 2 + 2u 3 = 0 kerrotaan luvulla a saadaan Täten au 1 au 2 + 2au 3 = 0 au = (au 1, au 2, au 3 T Siis T toteuttaa aliavaruudelta vaadittavat ehdot Seuraava lause osoittaa, että nollavektori kuuluu aina aliavaruuteen Lause 15 Jos joukko U R n on aliavaruus, niin 0 U Todistus Oletetaan, että U on aliavaruus Silloin U ei ole tyhjä joukko Olkoon u U Aliavaruuden määritelmän nojalla myös 0 u = 0 kuuluu joukkoon U Lauseen 15 nojalla sellaiset suorat ja tasot, jotka eivät kulje origon kautta, eivät ole aliavaruuksia Seuraava lause osoittaa, että origon kautta kulkevat suorat ja tasot ovat aliavaruuksia Lause 16 Origon kautta kulkevat R 3 :n suorat ja tasot ovat R 3 :n aliavaruuksia Vastaavasti origon kautta kulkevat R 2 :n suorat ovat R 2 :n aliavaruuksia Todistus Olkoon L origon kautta kulkeva suora R 3 :ssa Olkoon suoran suuntavektori s Tällöin L = {ts t R} Oletetaan, että u L ja v L Silloin on olemassa sellaiset t 1 R ja t 2 R, että u = t 1 s ja v = t 2 s 34

35 Täten Jos lisäksi a R, niin u + v = t 1 s + t 2 s = (t 1 + t 2 s L au = at 1 s L Siis L on R 3 :n aliavaruus Oletetaan sitten, että T on origon kautta kulkeva taso R 3 :ssa Tällöin T :n yhtälö on muotoa px + qy + rz = 0, missä p, q, r R Todistus etenee nyt samalla tavalla kuin esimerkissä 48 Ainoa ero on, että esimerkissä tarkasteltujen lukujen 1,-1 ja 2 tilalla on nyt luvut p, q ja r Lauseen viimeinen väite todistetaan kuten R 3 :n suoria koskeva väite Määritelmä 13 Olkoot u 1,, u k avaruuden R n vektoreita Niiden lineaarikombinaatioiksi kutsutaan vektoreita c 1 u c k u k, missä c 1,, c k R Merkinnällä L(u 1,, u k tarkoitetaan vektoreiden u 1,, u k kaikkien lineaarikombinaatioiden joukkoa L(u 1,, u k = {c 1 u c k u k c 1,, c k R} Esimerkki 49 Olkoon u = (0, 1 ja v = (1, 1 Silloin L(u, v on vektoreiden u ja v kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko eli muotoa c 1 u + c 2 v = c 1 (0, 1 + c 2 (1, 1 (c 1, c 2 R olevien vektoreiden joukko Tämän esimerkin tilanteessa on helppo nähdä, että saatu joukko on itse asiassa R 2 Esimerkki 50 Yhtälö L(e 1,, e n = R n on lyhyt tapa sanoa, että jokainen R n :n vektori voidaan esittää muodossa missä c 1,, c n R c 1 e c n e n, Lause 17 Oletetaan, että u 1,, u k R n Silloin joukko on R n :n aliavaruus L(u 1,, u k = {c 1 u c k u k c 1,, c k R} 35

36 Todistus Selvästi L(u 1,, u k ei ole tyhjä joukko Oletetaan, että x, y L(u 1,, u k ja a R Silloin on olemassa sellaiset reaaliluvut c 1,, c k, d 1,, d k, että Täten ja x = c 1 u c k u k ja y = d 1 u d k u k x + y = (c 1 + d 1 u (c k + d k u k L(u 1,, u k ax = ac 1 u ac k u k L(u 1,, u k Siis joukko L(u 1,, u k on aliavaruus Joukkoa L(u 1,, u k kutsutaan vektoreiden u 1,, u k virittämäksi aliavaruudeksi 8 Lineaarinen riippuvuus Oletetaan, että u 1,, u k R n Nollavektori voidaan aina esittää vektoreiden u 1,, u k lineaarikombinaationa valitsemalla yhtälössä 0 = c 1 u c k u k kaikki kertoimet c 1,, c k nolliksi Mikäli tämä on ainoa tapa esittää nollavektori vektoreiden u 1,, u k lineaarikombinaationa, sanotaan että vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippumattomia Määritelmä 14 Vektorit u 1,, u k R n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ehto c 1 u c k u k = 0, (4 missä c 1,, c k R, pätee vain jos c 1 = = c k = 0 Jos on olemassa sellaiset luvut c 1,, c k, että yhtälö (4 on voimassa ja ainakin yksi luvuista c i eroaa nollasta, vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippuvia Esimerkki 51 Tutkitaan, ovatko vektorit u 1 = (1, 1 ja u 2 = (1, 2 lineaarisesti riippuvia Tämän selvittamiseksi tarkastellaan yhtälöä c 1 u 1 + c 2 u 2 = 0 eli c 1 (1, 1 + c 2 (1, 2 = (0, 0, 36

37 ja tutkitaan toteutuuko tämä yhtälö joillakin luvuilla c 1, c 2, jotka eivät molemmat ole nollia Kirjoittamalla yhtälö komponenteittain saadaan yhtälöryhmä { c1 + c 2 = 0 c 1 + 2c 2 = 0 Koska tällä yhtälöryhmällä on vain triviaali ratkaisu c 1 = c 2 = 0, vektorit u 1, u 2 ovat lineaarisesti riippumattomia Esimerkki 52 Tutkitaan, ovatko vektorit u 1 = (1, 1, u 2 = (1, 2 ja u 3 = (1, 3 lineaarisesti riippuvia Nyt tarkastellaan yhtälöä eli c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 = 0 c 1 (1, 1 + c 2 (1, 2 + c 3 (1, 3 = (0, 0, ja tutkitaan toteutuuko se joillakin luvuilla c 1, c 2, c 3, jotka eivät kaikki ole nollia Kirjoittamalla yhtälö komponenteittain saadaan yhtälöryhmä { c1 + c 2 + c 3 = 0 c 1 + 2c 2 + 3c 3 = 0 Helposti nähdään, että tällä yhtälöryhmällä on epätriviaaleja ratkaisuja Esimerkiksi c 1 = 1, c 2 = 2 ja c 3 = 1 on ratkaisu Siis tarkasteltavat vektorit ovat lineaarisesti riippuvia Yhtälöstä 1 (1, 1 2 (1, (1, 3 = (0, 0 nähdään lisäksi, että esimerkiksi vektori (1, 3 voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa: (1, 3 = 1 (1, (1, 3 Seuraava lause osoittaa yleisesti, että jos vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippuvia, niistä jokin voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa Lause 18 Oletetaan, että u 1,, u k R n Silloin seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i Vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippuvia (ii Jokin vektoreista voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa Todistus Oletetaan ensin, että ehto (i on voimassa Tällöin on olemassa sellaiset reaaliluvut c 1,, c k, että c 1 u c k u k = 0 ja lisäksi jokin luvuista c i eroaa nollasta oletamme, että c k 0 Silloin saadaan Merkintöjen yksinkertaistamiseksi u k = c 1 c k u 1 c k 1 c k u k 1 37

38 Siis vektori u k voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa Oletetaan sitten, että jokin annetuista vektoreista voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa Oletetaan jälleen merkintöjen yksinkertaistamiseksi, että vektori u k voidaan lausua muiden avulla Siis on olemassa sellaiset reaaliluvut d 1,, d k 1, että u k = d 1 u d k 1 u k 1 Täten d 1 u d k 1 u k 1 + ( 1 u k = 0 Tästä yhtälöstä seuraa vektoreiden u 1,, u k lineaarinen riippuvuus, koska ainakin vektorin u k kerroin poikkeaa nollasta Esimerkki 53 Kaksi annettua vektoria u, v R n ovat lineaarisesti riippuvia silloin ja vain silloin, kun toinen niistä saadaan skalaarilla kertomalla toisesta Tämä seuraa suoraan edellisestä lauseesta Esimerkiksi vektorit (1, 2, 3 ja (1, 0, 2 ovat lineaarisesti riippumattomia, koska kumpikaan ei ole toisen skalaarimonikerta Sen sijaan vektorit (1, 2, 3 ja ( 2, 4, 6 ovat lineaarisesti riippuvia, koska niistä jälkimmäinen saadaan edellisestä kertomalla luvulla 2 Seuraava lause antaa helpon tavan selvittää vektoreiden lineaarinen riippuvuus siinä erikoistapauksessa, että tutkittavana on tarkalleen n vektoria avaruudessa R n Sivuutamme lauseen todistuksen Lause 19 Oletetaan, että u 1,, u n R n Silloin u 1,, u n ovat lineaarisesti riippumattomia tarkalleen silloin, kun determinantti, jonka pystyriveinä ovat vektorit u 1,, u n, eroaa nollasta Esimerkki 54 Vektorit (1, 5, 2, (2, 3, 2, (3, 1, 2 ovat lineaarisesti riippumattomia, koska = Esimerkki 55 Vektorit (2, 4, 2, (3, 1, 4, (4, 1, 3 ovat lineaarisesti riippuvia, koska = 0 9 Kanta Määritelmä 15 Olkoon U R n :n aliavaruus Vektorit u 1,, u k U muodostavat U:n kannan, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (i Jokainen U:n vektori voidaan esittää vektoreiden u 1,, u k lineaarikombinaationa (ii Vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippumattomia 38

39 Määritelmän 15 ehto (i voidaan kirjoittaa myös muodossa U = L(u 1,, u k Täydennämme määritelmää 15 sopimalla, että avaruuden {0} kanta on tyhjä joukko Esimerkki 56 Vektorit e 1 = (1, 0, e 2 = (0, 1 muodostavat avaruuden R 2 kannan, jota kutsutaan R 2 :n luonnolliseksi kannaksi Esimerkki 57 Vektorit e 1 = (1, 0, 0, e 2 = (0, 1, 0, e 3 = (0, 0, 1 muodostavat avaruuden R 3 kannan, jota kutsutaan R 3 :n luonnolliseksi kannaksi Esimerkki 58 Vektorit e 1 = (1, 0,, 0, e 2 = (0, 1, 0,, 0,, e n = (0,, 0, 1 kannan, jota kutsutaan R n :n luonnolliseksi kan- muodostavat avaruuden R n naksi Esimerkki 59 Olkoon L origon kautta kulkeva suora Silloin sen suuntavektori s muodostaa yksinään L:n kannan Olkoon U R n :n aliavaruus Oletetaan, että vektorit u 1,, u k U muodostavat U:n kannan Oleteaan, että u U Kannan määritelmän ehdon (i nojalla on olemassa sellaiset reaaliluvut c 1,, c k, että u = c 1 u c k u k Yhtälön oikaa puolta kutsutaan vektorin u kantaesitykseksi tarkasteltavan kannan suhteen Seuraava lause osoittaa, että kaikilla U:n vektoreilla on tarkalleen yksi kantaesitys Lause 20 Olkoon U avaruuden R n aliavaruus Oletetaan, että vektorit u 1,, u k U muodostavat U:n kannan Silloin jokainen U:n vektori voidaan yhdellä ja vain yhdellä tavalla esittää muodossa missä c 1,, c k R c 1 u c k u k, Todistus Koska u 1,, u k muodostavat U:n kannan, jokainen U:n vektori voidaan lausua vektoreiden u 1,, u k lineaarikombinaationa Osoitetaan vielä, että millään vektorilla ei ole kahta erilaista esitystä Oletetaan, että u U ja u = c 1 u c k u k ja u = d 1 u d k u k, (5 39

40 missä c 1,, c k, d 1,, d k R Tavoitteena on osoittaa, että mainitut u:n esitykset ovat samat, eli c 1 = d 1,, c k = d k Yhtälöiden 5 nojalla Täten c 1 u c k u k = d 1 u d k u k (c 1 d 1 u (c k d k u k = 0 Koska vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippumattomia, eli c 1 d 1 = 0,, c k d k = 0 c 1 = d 1,, c k = d k Täten kyseiset u:n esitykset olivat samat Tämä osoittaa, että jokaisella U:n alkiolla on vain yksi esitys vektoreiden u 1,, u k lineaarikombinaationa Seuraava lause sanoo, että jos jokainen aliavaruuden U vektori voidaan esittää yhdellä ja vain yhdellä tavalla vektoreiden u 1,, u k U lineaarikombinaationa, niin vektorit u 1,, u k muodostavat U:n kannan Lause 21 Olkoon U avaruuden R n aliavaruus Jos jokainen U:n alkio voidaan esittää tarkalleen yhdellä tavalla vektoreiden u 1,, u k U lineaarikombinaationa, niin vektorit u 1,, u k muodostavat U:n kannan Todistus Oletetaan, että jokainen U:n alkio voidaan esittää yhdellä ja vain yhdellä tavalla vektoreiden u 1,, u k U lineaarikombinaationa Silloin kannan määritelmän ehto (i on voimassa Lisäksi vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippumattomia, koska nollavektorilla on vain yksi esitys Siis kannan määritelmän molemmat ehdot toteutuvat Lause 22 Olkoon U avaruuden R n aliavaruus Silloin U:lla on kanta Sivuutamme lauseen 22 yksityiskohtaisen todistuksen, mutta todistuksen perusidea on yksinkertainen Oletetaan, että vektorit u 1,, u k virittävät U:n Jos ne lisäksi ovat lineaarisesti riippumattomia, ne muodostavat kannan Oletetaan, että ne ovat lineaarisesti riippuvia Silloin jokin niistä voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa Oletetaan, että u k voidaan lausua muiden avulla Silloin nähdään pienellä laskulla, että vektorit u 1,, u k 1 virittävät U:n Jos tämä joukko on lineaarisesti riippumaton, olemme löytäneet kannan Jos joukko on edelleen lineaarisesti riippuva, jätetään taas pois sellainen vektori, joka on muiden lineaarikombinaatio Tällä tavalla äärellisen monen askeleen jälkeen saamme U:n kannan Sivuutamme seuraavan lauseen todistuksen Lause 23 Olkoon U avaruuden R n aliavaruus Silloin kaikissa U:n kannoissa on yhtä monta vektoria 40

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 11. syyskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot