Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Transkriptio

1 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017

2 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien ratkaiseminen 2 Matriisien laskutoimituksia 3 Matriisin käänteismatriisi 4 Determinanteista 5 Determinantin määritelmä ja permutaatiot 6 Vektoriavaruus R n 61 Vektoriavaruus R 2 62 Vektoriavaruus R 3 63 Vektoriavaruus R n 7 Aliavaruudet 8 Lineaarinen riippuvuus 9 Kanta 10 Lineaarikuvaukset 2

3 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät Eräs lineaarialgebran perustehtävistä on lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Esimerkki 1 Etsitään sellaiset reaaliluvut a, b ja c, että käyrä y = a + bx + cx 2 kulkee pisteiden (1, 2, (3, 28 ja (5, 86 kautta Sijoittamalla annetut pisteet käyrän yhtälöön saadaan yhtälöryhmä a + b + c = 2 a + 3b + 9c = 28 a + 5b + 25c = 86 Ratkaistaan yhtälöryhmä eliminointimenetelmää käyttämällä Lisätään ensin ylin yhtälö luvulla 1 kerrottuna toiseen yhtälöön, jolloin saadaan yhtälöryhmä a + b + c = 2 2b + 8c = 26 a + 5b + 25c = 86 Lisätään sitten ensimmäinen yhtälö luvulla 1 kerrottuna kolmanteen yhtälöön, jolloin saadaan a + b + c = 2 2b + 8c = 26 4b + 24c = 84 Lopuksi lisätään toinen yhtälö luvulla 2 kerrottuna kolmanteen, jolloin päädytään yhtälöryhmään a + b + c = 2 2b + 8c = 26 8c = 32 Nyt alimmasta yhtälöstä nähdään, että c = 4 Sijoittamalla tämä keskimmäiseen yhtälöön saadaan b = 3 Tämän jälkeen ylimmästä yhtälöstä nähdään, että a = 1 Etsityn käyrän yhtälöksi saadaan y = 1 3x + 4x 2 Esimerkin 1 yhtälöryhmässä on kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta Yleisessä tapauksessa yhtälöryhmässä voi olla mielivaltainen määrä yhtälöitä ja mielivaltainen määrä tuntemattomia Yleisessä tapauksessa lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m 3

4 Sana lineaarinen viittaa siihen, että kaikki yhtälöt ovat ensimmäistä astetta Yhtälöryhmää kutsutaan homogeeniseksi, jos b 1 = b 2 = = b m = 0 Yleinen lineaarinen yhtälöryhmä ratkaistaan periaatteessa samalla tavalla kuin esimerkissä 1 Tuntemattomia eliminoidaan yksi kerrallaan lisäämällä yhtälöitä toisiinsa vakioilla kerrottuina 12 Matriisit Yhtälöryhmiä ratkaistaessa kannattaa käyttää matriiseja ja matriisien alkeismuunnoksia Määritelmä 1 Tyyppiä m n olevalla matriisilla tarkoitetaan järjestettyä kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn missä a ij :t ovat reaalilukuja Lukuja a ij kutsutaan matriisn alkioiksi Alkion a ij sanotaan olevan kohdassa (i, j Matriisi A on neliömatriisi, jos siinä on yhtä paljon vaaka- ja pystyrivejä, toisin sanoen, jos m = n Tyyppiä m n olevassa matriisissa on m vaakariviä ja n pystyriviä Jos matriisissa on vain yksi vaakarivi, sitä kutsutaan vaakavektoriksi Jos matriisissa on vain yksi pystyrivi, sitä kutsutaan pystyvektoriksi Määritelmässä 1 esiintyvä matriisi A kirjoitetaan usein lyhyemmin muodossa A = (a ij m n Esimerkki 2 Matriisi on tyyppiä 2 3 Matriisi A = B = ( on tyyppiä 4 4 oleva neliömatriisi Esimerkki 3 Matriisi C = (3, 1, 2, 4 on tyyppiä 1 4 oleva vaakavektori ja D =

5 on tyyppiä 3 1 oleva pystyvektori Vaakavektorin alkioiden välissä käytetään yleensä selvyyden vuoksi pilkkuja Neliömatriisin A = (a ij n n kohdissa (1, 1, (2, 2,, (n, n olevat alkiot muodostavat matriisin päälävistäjän Neliömatriisi on yläkolmiomatriisi, jos matriisissa kaikki päälävistäjän alapuolella olevat alkiot ovat nollia Alakolmiomatriisi määritellään vastaavasti Neliömatriisi a a a nn on diagonaalimatriisi Tyyppiä n n olevaa diagonaalimatriisia I =, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä, kutsutaan identiteettimatriisiksi Jos identiteettimatriisin tyyppi ei ole selvä asiayhteydestä, merkinnän I sijasta käytetään merkintää I n Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Esimerkki 4 Matriisi on yläkolmiomatriisi, koska kaikki päälävistäjän alapuolella olevat alkiot ovat nollia Se ei ole diagonaalimatriisi, koska päälävistäjän ulkopuolella on nollasta eroavia alkioita Esimerkki 5 Identiteettimatriisi on aina neliömatriisi: ( 1 0 I 2 = 0 1 ja mutta matriisi I 3 = ei ole minkään tyypin identiteettimatriisi, 5

6 Matriisin A transponoitu matriisi (eli transpoosi A T saadaan vaihtamalla A:n vaakarivit pystyriveiksi Esimerkki 6 Matriisin transponoitu matriisi on A = A T = ( Pystyvektorit kannattaa usein tilan säästämiseksi kirjoittaa transponointia käyttämällä Esimerkki 7 Pystyvektori voidaan kirjoittaa muodossa (1, 2, 7, 3 T eli jos A on sym- Neliömatriisia A kutsutaan symmetriseksi, jos A = A T metrinen päälävistäjänsä suhteen Esimerkki 8 Matriisi on symmetrinen B = Jokaisesta yhtälöryhmästä saadaan matriisi jättämällä tuntemattomat merkitsemättä Esimerkki 9 Yhtälöryhmästä 2x 1 3x 2 + 5x 3 x 4 = 2 3x 1 + 2x 2 8x 3 = 6 x 1 + 5x 2 + 3x 3 2x 4 = 4 saadaan matriisi

7 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit Yhtälöryhmä ratkaistaan muuntamalla sitä vastaava matriisi alkeismuunnoksilla porrasmuotoon Määritelmä 2 Matriisin alkeismuunnoksella tarkoitetaan jotakin seuraavista muunnoksista: AM1 Kahden vaakarivin vaihto AM2 Vaakarivin kertominen nollasta eroavalla reaaliluvulla AM3 Vaakarivin lisääminen reaaliluvulla kerrottuna johonkin toiseen vaakariviin Jos matriisi B saadaan matriisista A jonolla alkeismuunnoksia, sanotaan, että A ja B ovat riviekvivalentit, ja merkitään A B Määritelmä 3 Matriisi on porrasmatriisi, jos sen jokaisen nollarivistä eroavan rivin alussa on enemmän nollia kuin edellisen vaakarivin alussa Porrasmatriisi on redusoitu porrasmatriisi, jos jokaisella nollarivistä eroavalla rivillä ensimmäinen nollasta eroava alkio on 1 ja näiden ykkösten yläpuolella kyseisessä pystyrivissä kaikki alkiot ovat nollia Porrasmatriisin nollarivistä eroavien rivien lukumäärää kutsutaan matriisin porrasluvuksi Esimerkki 10 Matriisit , ovat porrasmatriiseja Niiden porrasluvut ovat 3 ja 2 Matriiseista , kumpikaan ei ole porrasmatriisi Mikään tämän esimerkin matriiseista ei ole redusoitu porrasmatriisi Esimerkki 11 Matriisi on tyyppiä 7 12 oleva redusoitu porrasmatriisi Sen porrasluku on r = 6 7

8 Esimerkki 12 Muunnetaan matriisi porrasmuotoon Lisätään ensin ylin rivi luvulla 2 kerrottuna toiseen riviin Tällöin saadaan matriisi Sen jälkeen hankitaan nolla alimman rivin alkuun lisäämällä ylin rivi alimpaan Saadaan matriisi Lopuksi lisätään toinen rivi luvulla 2 kerrottuna alimpaan riviin, jolloin saadaan Saatu matriisi on porrasmatriisi Se ei vielä ole redusoitu porrasmatriisi Jatketaan matriisin muuntamista kunnes saadaan redusoitu porrasmatriisi Kerrotaan seuraavaksi alin rivi luvulla 1 2 Saadaan matriisi Lisätään sitten alin rivi luvulla 5 kerrottuna toiseen riviin ja luvulla 4 kerrottuna ensimmäiseen riviin, jolloin saadaan Lopuksi lisätään toinen rivi luvulla 3 kerrottuna ensimmäiseen riviin ja saadaan redusoitu porrasmatriisi Lause 1 Mielivaltainen matriisi A voidaan muuntaa alkeismuunnoksilla porrasmatriisiksi ja redusoiduksi porrasmatriisiksi Todistus Sivuutamme yksityiskohtaisen todistuksen, mutta ei ole vaikea nähdä, että edellisessä esimerkissä käytetty menetelmä toimii mille tahansa matriisille 8

9 14 Yhtälöryhmien ratkaiseminen Seuraavissa esimerkeissä ratkaistaan yhtälöryhmiä matriisien alkeismuunnoksia käyttämällä Esimerkki 13 Ratkaistaan yhtälöryhmä 2x + 6y 5z = 142 x 2y + 7z = 115 5x 14y + 15z = 375 Yhtälöryhmän matriisi on Muunnetaan matriisi alkeismuunnoksilla porrasmuotoon Vaihdetaan ensin matriisin kaksi ensimmäistä riviä, jolloin saadaan Sen jälkeen lasku etenee tavalliseen tapaan Lisätään ylin rivi luvulla 2 kerrottuna toiseen riviin Sitten lisätään ylin rivi luvulla 5 kerrottuna alimpaan riviin Tuloksena on matriisi Seuraavaksi lisätään keskimmäinen rivi luvulla 2 kerrottuna alimpaan riviin, jolloin saadaan porrasmatriisi Saatu porrasmatriisi antaa yhtälöryhmän x 2y + 7z = 115 2y + 9z = 88 2z = 24 Tästä saadaan ratkaisu x = 11 y = 10 z = 12 9

10 Esimerkki 14 Esimerkin 13 loppuosassa voidaan haluttaessa saadun matriisi yksinkertaistamista jatkaa pitemmälle Seuraava luonnollinen askel on kertoa alin rivi luvulla 1 2 ja jatkaa saadun matriisin muuntamista lisäämällä alin rivi luvulla 9 kerrottuna toiseen riviin ja luvulla 7 kerrottuna ylimpään riviin Näin saadaan matriisi Lisätään vielä toinen rivi ensimmäiseen ja kerrotaan sitten toinen rivi luvulla 1 2 Saatu redusoitu porrasmatriisi antaa välittömästi yhtälöryhmän ratkaisun Esimerkki 15 Ratkaistaan yhtälöryhmä x + 3y 5z u = 1 2x + 3y + 8z + 4u = 2 2x 4y + 7z 3u = 3 5x + 11y + 8z + 2u = 4 Yhtälöryhmän matriisi on Muunnetaan matriisi jälleen porrasmuotoon Lisätään ylin rivi luvulla 2 kerrottuna toiseen riviin, luvulla 2 kerrottuna kolmanteen riviin ja luvulla 5 kerrottuna neljänteen riviin Tuloksena on matriisi

11 Seuraavaksi kannattaa kertoa toinen rivi luvulla 1 3, jolloin saadaan Sitten hankitaan lisää alkunollia riveille 3 ja 4 lisäämällä toinen rivi luvulla 2 kerrottuna kolmanteen riviin ja luvulla 4 kerrottuna alimpaan riviin Saadaan matriisi Lopuksi vähennetään kolmas rivi alimmasta rivistä ja saadaan Saadun matriisin alin rivi antaa yhtälön 0 x + 0 y + 0 z + 0 u = 6, mistä nähdään, että ryhmällä ei ole ratkaisua Esimerkki 16 Ratkaistaan yhtälöryhmä x + y + z + u + v = 1 x + 2y + 3z + 4u + 5v = 2 x + 3y + 6z + 9u + 12v = 3 Yhtälöryhmän matriisi on Kun ensimmäinen rivi vähennetään ensin toisesta rivistä ja sitten kolmannesta rivistä, saadaan Lisätään sitten toinen rivi luvulla 2 kerrottuna kolmanteen riviin, jolloin saadaan porrasmatriisi

12 Tämä antaa yhtälöryhmän x + y + z + u + v = 1 y + 2z + 3u + 4v = 1 z + 2u + 3v = 0 Nähdään, että tuntemattomille u ja v voidaan antaa mielivaltaiset arvot Sen jälkeen saadaan alimmasta yhtälöstä laskettua z, sitten keskimmäisestä yhtälöstä ratkaistaan y ja lopuksi ylimmästä x Ratkaisuksi saadaan x = 0 y = 1 + b + 2a z = 2b 3a, u = b v = a missä a, b R Esimerkki 17 Esimerkissä 16 voidaan jatkaa saadun porrasmatriisin muuntamista, kunnes saadaan redusoitu porrasmatriisi , josta ratkaisu saadaan vielä helpommin kuin esimerkin 16 porrasmatriisista 2 Matriisien laskutoimituksia Matriisien peruslaskutoimituksia ovat summa, skalaarilla kertominen ja tulo Näistä kaksi ensimmäistä ovat hyvin helppoja Kaksi matriisia voidaan laskea yhteen, jos matriisit ovat samaa tyyppiä Tällöin niiden summa saadaan laskemalla yhteen vastaavissa kohdissa olevat luvut Matriisien erotus määritellään vastaavasti Matriisi kerrotaan reaaliluvulla c kertomalla jokainen matriisin alkio luvulla c Seuraavassa määritelmässä tämä on ilmaistu täsmällisesti Määritelmä 4 Jos A = (a ij m n ja B = (b ij m n, niin A + B = (a ij + b ij m n ja Jos c R, niin A B = (a ij b ij m n ca = (ca ij m n 12

13 Esimerkki 18 Matriisien ( A = summa on A + B = ja B = ( ( Kun matriisi A kerrotaan luvulla 2, saadaan matriisi ( A = Esimerkki 19 Matriiseja ( A = ja B = ( ei voida laskea yhteen, koska matriisit ovat eri tyyppiä Matriisien tulon määritelmä voi aluksi vaikuttaa yllättävältä Tarkastellaan tulon määritelmää ensin esimerkin avulla Esimerkki 20 Olkoon A = ( ja B = Matriisi A on tyyppiä 2 3 ja matriisi B tyyppiä 3 4 Niiden tulo tulee olemaan tyyppiä 2 4 Tulo AB lasketaan alkio kerrallaan, seuraavan säännön mukaisesti: tulomatriisin AB kohtaan (i, j tuleva alkio saadaan kertomalla matriisin A i:nnen vaakarivin alkiot matriisin B j:nnen pystyrivin vastaavilla alkioilla ja laskemalla saadut tulot yhteen Esimerkiksi kohtaan (1, 2 tuleva alkio on ( = 1: ( ( = Vastaavalla tavalla saadaan lasketuksi tähdellä merkityt alkiot ja saadaan ( AB =

14 Jotta kahden matriisin tulo voitaisiin muodostaa annetun säännön avulla, on matriisin A vaakarivillä oltava sama määrä alkioita kuin matriisin B pystyrivillä Seuraavassa määritelmässä esiintyvä summalauseke on saatu soveltamalla yllä esitettyä sääntöä matriiseihin A = (a ij m n ja B = (b ij n p Määritelmä 5 Jos A = (a ij m n ja B = (b ij n p, niin matriisien A ja B tulo AB on matriisi C = (c ij m p, missä c ij = n a ik b kj k=1 = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Esimerkki 21 Olkoon A = ( ja B = ( Silloin ja = = AB = ( ( = ( ( ( BA = ( ( ( ( ( = ( ( Huomataan, että AB BA Tämä esimerkki osoittaa, että matriisitulo ei ole kommutatiivinen Tulo riippuu siitä, missä järjestyksessä matriisit kerrotaan Tässä suhteessa matriisitulo käyttäytyy täysin toisin kuin tavallinen lukujen tulo Esimerkki 22 Olkoon A = , B = ( ja Silloin AB = C = ( ( =

15 ja BA = ( = ( Koska matriisin A vaakarivillä on kaksi alkiota ja matriisin C pystyrivillä on kaksi alkiota, tulo AC voidaan laskea Saadaan AC = 3 1 ( = Tuloa CA ei voida laskea, koska C:n vaakarivillä on neljä alkiota, mutta A:n pystyrivillä on vain kolme alkiota Jos a ja b ovat reaalilukuja, tulo ab voi olla nolla vain, jos a = 0 tai b = 0 Tämä ominaisuus ei päde matriiseille Seuraavassa esimerkissä kahden matriisin tulo on nollamatriisi vaikka kumpikaan tekijä ei ole nollamatriisi Esimerkki 23 ( ( = ( Seuraava esimerkki antaa ensimmäisen viitteen matriisitulon käyttökelpoisuudesta Esimerkki 24 Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m Olkoon ja Silloin a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, X = a m1 a m2 a mn AX = C = c 1 c 2 c m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n x 1 x 2 x n, 15

16 joten tarkasteltava yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä AX = C Luku 1 on identiteettialkio reaalilukujen kertolaskun suhteen Tällä tarkoitetaan, että luku a ei muutu, jos se kerrotaan ykkösellä Identiteettimatriiseilla on samanlainen ominaisuus Lause 2 Olkoon A tyyppiä m n oleva matriisi Silloin I m A = A ja AI n = A Todistus Molemmat kaavat nähdään oikeaksi suorittamalla kyseiset laskut Usein matriiseja tarkasteltaessa kohdassa (i, j olevalle matriisin A alkiolle kannattaa käyttää merkintää A ij Tätä merkintätapaa käytettäessä kahden samaa tyyppiä olevan matriisin A ja B summan määrittelee yhtälö (A + B ij = A ij + B ij Jos A on m n-matriisi ja B on n p-matriisi, niin tulon määritelmä voidaan kirjoittaa muodossa n (AB ij = A ik B kj k=1 Käytämme tätä merkintätapaa seuraavan lauseen todistuksessa Lause 3 Matriiseille ovat voimassa seuraavat laskusäännöt: 1 A + B = B + A, 2 A + (B + C = (A + B + C, 3 A + O = O + A = A, 4 A(BC = (ABC, 5 A(B + C = AB + AC, 6 (A + BC = AC + BC, 7 r(ab = (rab = A(rB, 8 (r + sa = ra + sa, 9 r(a + B = ra + rb, missä A, B ja C ovat kussakin kohdassa sellaisia matriiseja, että kyseiset laskutoimitukset ovat määriteltyjä, ja r, s R 16

17 Todistus Kolme ensimmäistä ja kolme viimeistä sääntöä ovat ilmeisiä Todistetaan sääntö (4 Oletetaan, että A on tyyppiä m n oleva matriisi, B tyyppiä n p oleva matriisi ja C tyyppiä p q oleva matriisi Tällöin kaikki laskusäännössä (4 mainitut matriisit ovat määriteltyjä Lisäksi ja (A(BC ij = ((ABC ij = n A ik (BC kj = k=1 p (AB is C sj = s=1 n p A ik ( B ks C sj = k=1 s=1 k=1 s=1 p n ( A ik B ks C sj = n k=1 s=1 p s=1 k=1 p A ik B ks C sj n A ik B ks C sj aina, kun i = 1,, m, j = 1,, q Koska molemmissa summalausekkeissa on laskettu yhteen kaikki muotoa A ik B ks C sj olevat termit, (A(BC ij = ((ABC ij aina, kun i = 1,, m, j = 1,, q Täten A(BC = (ABC Todistetaan sitten laskusääntö (5 Olkoon A tyyppiä m n Olkoot B ja C tyyppiä n p Silloin = (A(B + C ij = n A ik B kj + k=1 n A ik (B + C kj = k=1 n A ik (B kj + C kj k=1 n A ik C kj = (AB ij + (AC ij = (AB + AC ij k=1 aina, kun i = 1,, m, j = 1,, p Tämä todistaa säännön (5 Sääntö (6 todistetaan kuten sääntö (5 Olkoon A neliömatriisi Matriisin A potenssit määritellään luonnollisella tavalla Kun k on positiivinen kokonaisluku, A k = AA A, missä oikealla puolella olevassa tulossa A esiintyy k kertaa Määritelmää täydennetään sopimalla, että A 0 = I, missä I on samankokoinen identiteettimatriisi kuin A Esimerkki 25 Olkoon Silloin A = A 2 = ( (

18 ja A 3 = ( Saadut matriisit A, A 2 ja A 3 antavat aiheen otaksua, että ( A k 1 k = 0 1 aina, kun k on positiivinen kokonaisluku Tämän osoittaminen ei ole vaikeaa lukijalle, joka tuntee täydellisen induktion 3 Matriisin käänteismatriisi Määritelmä 6 Olkoon A n n-matriisi Matriisi B on A:n käänteismatriisi, jos AB = BA = I Jos B on A:n käänteismatriisi, merkitään B = A 1 käänteismatriisi, matriisia A kutsutaan säännölliseksi Esimerkki 26 Olkoon Matriisi A = B = ( ( on A:n käänteismatriisi, koska ( 2 5 ( ja ( ( = = Esimerkki 27 Osoitetaan, että matriisilla ( 1 2 A = 2 4 ( ( ei ole käänteismatriisia Tehdään vastaoletus, että matriisi ( a b B = c d on A:n käänteismatriisi Siis AB = BA = I Jos matriisilla A on 18

19 Koska ( a + 2c b + 2d AB = 2a + 4c 2b + 4d saadaan yhtälö ( a + 2c b + 2d 2a + 4c 2b + 4d eli yhtälöryhmä = a + 2c = 1 b + 2d = 0 2a + 4c = 0 2b + 4d = 1 ( Tällä yhtälöryhmällä ei kuitenkaan ole yhtään ratkaisua, mikä nähdään esimerkiksi tarkastelemalla ensimmäistä ja kolmatta yhtälöä Täten matriisilla A ei ole käänteismatriisia Esimerkki 28 Tarkastellaan esimerkissä 24 saatua yhtälöä AX = C Oletetaan, että A on neliömatriisi Jos matriisilla A on käänteismatriisi, voidaan ryhmä ratkaista kertomalla vasemmalta matriisilla A 1, jolloin saadaan X = A 1 C Tämän menetelmän käyttökelpoisuutta rajoittaa se, että yleensä matriisin A 1 laskeminen on työlästä Lause 4 Jos matriisilla A on käänteismatriisi, niin sillä on tarkalleen yksi käänteismatriisi Todistus Oletetaan, että matriisit B ja C ovat A:n käänteismatriiseja Silloin AB = BA = I ja AC = CA = I Täten B = BI = B(AC = (BAC = IC = C Lause 4 esitetään usein muodossa: Jos matriisilla A on käänteismatriisi, niin se on yksikäsitteinen Lause 5 Oletetaan, että A ja B ovat säännöllisiä n n-matriiseja Olkoon k nollasta eroava reaaliluku Silloin 1 A 1 on säännöllinen ja (A 1 1 = A 2 ka on säännöllinen ja (ka 1 = 1 k A 1 3 AB on säännöllinen ja (AB 1 = B 1 A 1 19

20 Todistus Todistetaan viimeinen kohta Pitää siis osoittaa, että matriisi B 1 A 1 on matriisin AB käänteismatriisi Tämä nähdään laskemalla tulot ABB 1 A 1 ja B 1 A 1 AB ja toteamalla, että molemmista tulee identiteettimatriisi: ABB 1 A 1 = AIA 1 = AA 1 = I ja B 1 A 1 AB = B 1 IB = B 1 B = I Esimerkki 29 antaa kaavan 2 2-matriisin käänteismatriisille, mikäli käänteismatriisi on olemassa Esimerkki 29 Olkoon Merkitään ( a b A = c d ( d b B = c a Laskemalla todetaan, että AB = BA = (ad bci Jos ad bc 0, nähdään että ( 1 ( a b 1 d b = c d ad bc c a Myöhemmin nähdään, että käänteismatriisia ei ole olemassa, jos ad bc = 0 Annetun n n-matriisin A käänteismatriisi voidaan laskea seuraavasti Muodostetaan matriisi, jossa A:n oikealle puolelle on kirjoitettu samankokoinen identiteettimatriisi Näin saatavalle matriisille käytetään usein merkintää (A I ja sanotaan, että A ja I ovat sen lohkoja Sen jälkeen muunnetaan saatu matriisi alkeismuunnoksilla redusoituun porrasmuotoon Mikäli vasempaan lohkoon tulee identiteettimatriisi, oikea lohko antaa A:n käänteismatriisin Jos laskun kuluessa vasempaan lohkoon tulee jossakin vaiheessa nollarivi, matriisilla A ei ole käänteismatriisia Esimerkki 30 Etsitään matriisin A = käänteismatriisi A 1, mikäli A 1 on olemassa Muodostetaan ensin matriisi (A I = , 20

21 Sen jälkeen muunnetaan matriisi redusoituun porrasmuotoon tavalliseen tapaan: /2 3/2 1/ /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ /4 1/4 1/ /6 1/2 1/6 Täten A 1 = 1/2 1/2 1/2 1/4 1/4 1/4 1/6 1/2 1/6 = Determinanteista Neliömatriisiin A liittyy luku det(a, jota kutsutaan sen determinantiksi Jos ( a b A =, c d niin det(a = a c b d = ad bc Jos A = a b c d e f g h j, niin det(a = a b c d e f g h j = a e h f j b d g f j + c d g e h 21

22 Tämä kaava palauttaa kolmerivisen determinantin laskemisen kaksiriviseen tapaukseen Lausekkeessa on otettu ensimmäisen vaakarivin alkiot a, b ja c, näille on vuorotellen annettu etumerkiksi plus ja miinus, ja kukin on kerrottu kaksirivisellä determinantilla, joka syntyy, kun kolmerivisestä determinantista on jätetty pois kyseisen alkion sisältävä vaakarivi ja pystyrivi Esimerkki = = 10 Esimerkki = = ( ( ( = = 9 Yleinen n-rivinen determinantti voidaan määritellä samaa ideaa käyttämällä, kun oletetaan, että osaamme jo laskea n 1-rivisen determinantin Olkoon A = (a ij n n mielivaltainen n-rivinen neliömatriisi Tällöin kohtaan (i, j liittyvä alideterminantti D ij on sen (n 1 (n 1-matriisin determinantti, joka saadaan A:sta jättämällä pois i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi Kohtaan (i, j liittyvä komplementti C ij on C ij = ( 1 i+j D ij Komplementin merkki ( 1 i+j saadaan shakkilautasäännön mukaisesti: Seuraava määritelmä kertoo, miten n-rivinen determinantti lasketaan, kun oletetaan, että osaamme jo laskea n 1-rivisen determinantin Määritelmä 7 Neliömatriisin A = (a ij n n determinantti det(a on luku det(a = a 11 C 11 + a 12 C a 1n C 1n Edellisessä määritelmässä esiintyvää summalauseketta kutsutaan determinantin kehitelmäksi ensimmäisen vaakarivin mukaan Seuraava lause osoittaa, että determinantti voidaan kehittää minkä tahansa vaaka- tai pystyrivin mukaan 22

23 Lause 6 Olkoon A = (a ij n n neliömatriisi Silloin det(a = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in (kehitelmä i:nnen vaakarivin mukaan ja det(a = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj (kehitelmä j:nnen pystyrivin mukaan Sivuutamme lauseen todistuksen Esimerkki 33 Lasketaan determinantti kehittämällä ensimmäisen pystyrivin mukaan Saadaan , missä ei ole merkitty näkyviin kolmea termiä, jotka ovat yhtäsuuria kuin nolla Kehitetään saatu determinantti jälleen ensimmäisen pystyrivin mukaan ja saadaan = 80 Seuraava lause nähdään oikeaksi menettelemällä kuten esimerkissä 33 Lause 7 Jos A = (a ij n n on yläkolmiomatriisi (tai alakolmiomatriisi, niin det(a = a 11 a 22 a nn Yläkolmiomatriisin determinantin laskeminen sujuu helposti, koska matriisissa on runsaasti nollia Jos determinantissa ei valmiiksi ole nollia, niitä kannattaa yleensä hankkia determinanttiin ennen sen laskemista käyttämällä hyväksi alla selostettuja determinanttien perusominaisuuksia Determinantin laskeminen suoraan määritelmän avulla on yleensä erittäin työlästä Esimerkki 34 Jos viisirivinen determinantti palautetaan ensin nelirivisiin determinantteihin ja nämä kolmerivisiin, niin laskettavaksi tulee 20 kolmerivistä determinanttia Kuusirivisen determinantin tapauksessa kolmerivisiä determinantteja tulee 120 kappaletta Lause 8 Determinantilla on seuraavat perusominaisuudet: 23

24 1 Jos determinantin kaksi vaakariviä vaihdetaan keskenään, niin determinantin merkki vaihtuu 2 Jos matriisissa A on kaksi identtistä vaakariviä, niin det(a = 0 3 Kaikilla reaaliluvuilla c pätee a 11 a 1n ca i1 ca in a n1 a nn = c a 11 a 1n a i1 a in a n1 a nn 4 Jos A = (a ij n n ja c R, niin det(ca = c n det(a 5 Determinantin arvo ei muutu, jos johonkin vaakariviin lisätään toinen vaakarivi vakiolla kerrottuna 6 Determinantin arvo ei muutu, jos vaakarivit muutetaan pystyriveiksi järjestys säilyttäen, ts det(a = det(a T Lause 9 Laskusäännöt 1,2,3 ja 5 ovat voimassa, kun niissä vaakarivit korvataan pystyriveillä Sivuutamme lauseiden 8 ja 9 todistukset ja siirrymme tarkastelemaan säännön 5 käyttöä determinanttien laskemisessa Esimerkki 35 Lasketaan determinantti Lisätään ensimmäinen vaakarivi luvulla 1 kerrottuna ensin toiseen, sitten kolmanteen ja lopuksi neljänteen vaakariviin Saadaan determinantti Kehitetään ensimmäisen pystyrivin mukaan, jolloin saadaan

25 Jatketaan lisäämällä ensimmäinen vaakarivi luvulla 2 kerrottuna toiseen vaakariviin ja luvulla 3 kerrottuna kolmanteen vaakariviin, jolloin saadaan = = 13 Esimerkki 36 Tarkastellaan determinanttia 1 + x x x x x Lisätään ensin muut vaakarivit ensimmäiseen vaakariviin Kun saadussa determinantissa vähennetään ensimmäinen pystyrivi jokaisesta muusta pystyrivistä, saadaan determinantti laskettua: = 5 + x 5 + x 5 + x 5 + x 5 + x x x x x 5 + x x x x x = (5 + xx 4 Seuraava lause antaa determinattien tulokaavan Sivuutamme lauseen todistuksen, joka ei ole aivan helppo Lause 10 Jos A ja B ovat n n -matriiseja, niin det(ab = det(a det(b Kahden matriisin summan determinantille ei ole mitään vastaavaa kaavaa Jos esimerkiksi ( ( A = ja B =, niin det(a + B = 1, mutta det(a + det(b = = 0 Neliömatriisin determinantti kertoo, onko matriisilla käänteismatriisi Lause 11 Neliömatriisilla A on käänteimatriisi jos ja vain jos det(a 0 25

26 Todistus Oletetaan, että neliömatriislla A on käänteismatriisi B Silloin AB = I Täten det(a det(b = det(ab = det(i = 1 Koska det(a ja det(b ovat reaalilukuja, joiden tulo on 1, niistä kumpikaan ei voi olla nolla Siis, jos A:lla on käänteismatriisi, det(a 0 Sivuutamme lauseen todistuksen toiseen suuntaan Voidaan osoittaa, että jos A on n n-matriisi, jonka determinantti ei ole nolla, niin A 1 saadaan kaavasta A 1 = 1 det(a C 11 C 1n C n1 C nn missä C ij on kohtaan (i, j kuuluva komplementti Matriisin käänteismatriisn laskeminen sujuu yleensä helpommin alkeismuunnosten avulla kuin tällä kaavalla 5 Determinantin määritelmä ja permutaatiot Tarkastelemme tässä luvussa toista tapaa määritellä yleinen n-rivinen determinantti Halutessaan lukija voi sivuuttaa tämän tarkastelun, siihen ei viitata myöhemmin missään yhteydessä tällä kurssilla Määritellään aluksi eräitä apukäsitteitä Lukujen 1, 2,, n permutaatio on jono (j 1,, j n, jossa on samat luvut jossakin järjestyksessä Jonosta (j 1,, j n otettu pari (j p, j q on inversio, jos j p > j q Permutaatio (j 1,, j n on parillinen, jos siinä on parillinen määrä inversioita, muuten pariton Esimerkki 37 Lukujen 1, 2, 3 permutaatiot ovat (1, 2, 3, (1, 3, 2, (2, 1, 3, (2, 3, 1, (3, 1, 2, (3, 2, 1 Permutaatio (3, 1, 2 on parillinen, koska siinä on kaksi inversiota, parit (3, 1 ja (3, 2 Permutaatio (3, 2, 1 on pariton, koska kaikki siitä saatavat kolme paria ovat inversioita Permutaation (j 1,, j n merkki sign(j 1,, j n määritellään ehdolla T, sign(j 1,, j n = { +1, jos (j1,, j n on parillinen 1, jos (j 1,, j n on pariton Lause 12 Lukujen 1, 2,, n permutaatioita on n! = n(n kappaletta Todistus Permutaation ensimmäinen alkio voidaan valita n tavalla, tämän jälkeen toinen alkio n 1 tavalla ja niin edelleen Seuraavissa lauseissa luetellaan permutaatioiden perusominaisuuksia 26

27 Lause 13 Jos permutaatiossa vaihdetaan mitkä tahansa kaksi alkiota, niin permutaation merkki vaihtuu Lause 14 Lukujen 1, 2,, n permutaatioista parillisia on tarkalleen puolet (n 2 Permutaatioiden avulla voidaan nyt esittää determinantille toinen määritelmä Määritelmä 8 Neliömatriisin A = (a ij n n determinantti on reaaliluku det(a = sign(j 1, j 2,, j n a 1j1 a 2j2 a njn, missä summaan otetaan kaikki joukon {1, 2,, n} permutaatiot (j 1, j 2,, j n Determinantti on siis summa, jossa on n! yhteenlaskettavaa Suurilla luvun n arvoilla yhteenlaskettavien määrä on siis erittäin suuri Kussakin termissä a 1j1 a 2j2 a njn on tarkalleen yksi alkio kultakin vaaka- ja pystyriviltä Voidaan osoittaa, että tämä määritelmä on ekvivalentti aikaisemmin esillä olleen rekursiivisen määritelmän kanssa 6 Vektoriavaruus R n 61 Vektoriavaruus R 2 Joukko R 2 muodostuu reaalilukupareista (x, y Siis R 2 = {(x, y x, y R} Reaalilukupari (x, y vastaa tason pistettä P, jonka koordinaatit ovat x ja y Olkoot A ja B tason eri pisteitä Tällöin AB on vektori, jonka alkupiste on A ja loppupiste on B Vektoria AB esitetään nuolella pisteestä A pisteeseen B Sovimme, että vektoria AB esittävät lisäksi kaikki muutkin nuolet, jotka ovat samansuuntaisia ja yhtä pitkiä kuin AB Origolla O tarkoitetaan pistettä (0, 0 Vektoria OA kutsutaan pisteen A paikkavektoriksi Jatkossa kutsumme reaalilukupareja (x, y avaruuden R 2 vektoreiksi Vektoreille määritellään kaksi tärkeää laskutoimitusta, summa ja reaaliluvulla (eli skalaarilla kertominen Määritelmä 9 Kun u = (u 1, u 2 R 2, v = (v 1, v 2 R 2 ja a R, niin ja u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 au = (au 1, au 2 Vektori u + v on vektoreiden u ja v summa ja au on u:n skalaarimonikerta 27

28 Vektoria 0 = (0, 0 kutsutaan nollavektoriksi Geometrisesti summavektori u + v saadaan, kun vektoria v esittävä nuoli sijoitetaan alkamaan vektorin u kärjestä Pythagoraan lauseen avulla nähdään, että vektorin u = (u 1, u 2 pituus on u = u u2 2 Esimerkki 38 Kun u = (2, 3, v = ( 1, 2 ja w = (4, 3, niin ja u + v = (1, 1 3u + 5v 3w = 3 (2, ( 1, 2 3 (4, 3 = ( 11, 10 Vektorin w pituus on 62 Vektoriavaruus R 3 w = ( 3 2 = 5 Edellä on tarkasteltu tasovektoreita eli vektoreita, joilla on kaksi komponenttia Samalla tavalla voidaan tarkastella kolmiulotteisia vektoreita Merkitään R 3 = {(x, y, z x, y, z R} Summa ja skalaarilla kertominen määritellään kolmiulotteisille vektoreille samalla tavalla kuin tasovektoreille Määritelmä 10 Kun u = (u 1, u 2, u 3 R 3, v = (v 1, v 2, v 3 R 3 ja a R, niin u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ja au = (au 1, au 2, au 3 Pythagoraan lauseen avulla nähdään, että vektorin u = (u 1, u 2, u 3 pituus on u = u u2 2 + u2 3 Nollavektorin 0 = (0, 0, 0 pituus on nolla Kahden annetun vektorin välinen kulma voidaan laskea sisätulon avulla Vektoreiden u = (u 1, u 2, u 3 ja v = (v 1, v 2, v 3 sisätulo (eli pistetulo on (u, v = u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Voidaan osoittaa, että sisätulo toteuttaa kaavan (u, v = u v cos α, missä α on vektoreiden u ja v välinen kulma Erityisesti nollavektorista eroavat vektorit u ja v ovat kohtisuorassa (eli ortogonaaliset tarkalleen silloin kun (u, v = 0 Tällöin merkitään u v Yleensä sovitaan, että nollavektori on kohtisuorassa kaikkien vektoreiden kanssa 28

29 Esimerkki 39 Olkoon u = (3, 1, 2, v = (1, 3, 2 ja w = (1, 1, 1 Silloin Koska u 4v = (3, 1, 2 4 (1, 3, 2 = ( 1, 11, 10 (u 4v w = ( 1, 11, 10 (1, 1, 1 = ( 1 = 0, vektorit u 4v ja w ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan Tarkastelemme seuraavaksi lyhyesti suoria ja tasoja Nämä ovat lineaarialgebran kannalta R 3 :n mielenkiintoisimpia osajoukkoja Olkoon L suora, jonka suuntavektori on s ja joka kulkee pisteen P 0 kautta Olkoon pisteen P 0 paikkavektori r 0 Silloin suora voidaan esittää muodossa L : r = r 0 + ts (t R (1 Tämä yhtälö kertoo, että suoran L mielivaltaisen pisteen paikkavektori r saadaan lisäämällä vektoriin r 0 sopiva suuntavektorin skalaarimonikerta Kun merkitään r 0 = (x 0, y 0, z 0, r = (x, y, z ja s = (a, b, c ja sijoitetaan nämä yhtälöön (1, saadaan suoran L esitys muotoon eli r = (x, y, z = (x 0 + ta, y 0 + tb, z 0 + tc L : x = x 0 + ta y = y 0 + tb (t R z = z 0 + tc Tämä on suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys Jos a, b, c 0, niin parametrin t arvo voidaan ratkaista kaikista kolmesta yhtälöstä Kun saadut lausekkeet merkitään yhtäsuuriksi, saadaan suoran L standardiesitys L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Esimerkki 40 Etsitään pisteiden A = (7, 1, 2 ja B = (9, 1, 5 kautta kulkevan suoran L yhtälö Suuntavektoriksi voidaan valita AB = (9, 1, 5 (7, 1, 2 = (2, 2, 3 Suoran L koordinaattimuotoiseksi parametriesitykseksi saadaan x = 7 + 2t y = 1 2t (t R z = 2 + 3t Suoralle L saadaan standardiesitys x 7 2 = y 1 2 = z

30 Johdamme seuraavaksi tason yhälön Olkoon T taso ja n tason normaalivektori, toisin sanoen vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan Olkoon P 0 jokin tason T piste ja r 0 sen paikkavektori Olkoon P mielivaltainen avaruuden piste ja r sen paikkavektori Silloin piste P on tasossa T tarkalleen silloin kun vektori r r 0 on kohtisuorassa vektoria n vastaan Sisätuloa käyttämällä tämä ehto voidaan kirjoittaa muotoon (r r 0 n = 0 Kun merkitään r = (x, y, z, r 0 = (x 0, y 0, z 0 ja n = (a, b, c, saadaan tasolle T yhtälö a(x x 0 + b(y y 0 + c(z z 0 = 0 eli missä on merkitty d = ax 0 + by 0 + cz 0 ax + by + cz = d, Esimerkki 41 Etsitään pisteiden (2, 5, 1, (3, 8, 4 ja (5, 10, 6 kautta kulkevan tason T yhtälö Olkoon T :n normaalivektori (a, b, c Silloin tason T yhtälö on a(x 2 + b(y 5 + c(z 1 = 0 Sijoittamalla tähän yhtälöön pisteet (3, 8, 4 ja (5, 10, 6 saadaan yhtälöpari { a + 3b 5c = 0 3a + 5b 7c = 0 Yhtälöpari on ekvivalentti yhtälöparin { a + 3b 5c = 0 4b + 8c = 0 kanssa Täten sen ratkaisut ovat a = t b = 2t c = t (t R Valitsemalla t = 1, saadaan tasolle T yhtälö 1 (x 2 2(y 5 1 (z 1 = 0 eli x 2y z = 9 Esimerkki 42 Suoran L yhtälö on x 3 5 = y = z 2 7

31 ja tason T yhtälö on 3x + 2y 4z = 29 Etsitään suoran L ja tason T leikkauspiste Merkitsemällä suoran yhtälössa kaikki termit yhtäsuuriksi kuin t, saadaan suoralle L parametriesitys Täten joten saadaan yhtälö x = 3 + 5t y = 1 + 4t z = 2 + 7t 3x + 2y 4z = t 2 + 8t 8 28t = 1 5t, 1 5t = 29 Siis t = 6 Sijoittamalla suoran parametriesitykseen t = 6, saadaan leikkauspisteeksi ( 27, 25, 40 Esimerkki 43 Lasketaan tasojen x + 2y 5z = 3 ja 2x + 5y + z = 5 leikkaussuoran standardiesitys Leikkaussuoran pisteet ovat tarkalleen ne pisteet, jotka toteuttavat molempien tasojen yhtälöt Toisin sanoen, leikkaussuoran pisteet ovat yhtälöryhmän { x + 2y 5z = 3 2x + 5y + z = 5 ratkaisut Yhtälöryhmä on ekvivalentti yhtälöryhmän { x + 2y 5z = 3 y + 11z = 1 kanssa Täten sen ratkaisut ovat x = t y = 1 11t z = t Saadut yhtälöt antavat leikkaussuoran parametrimuodossa Standardimuotoon päästään ratkaisemalla t kaikista yhtälöistä ja merkitsemällä saadut lausekkeet yhtäsuuriksi Standardiesitykseksi saadaan 63 Vektoriavaruus R n x 5 27 = y = z 1 Tarkastelemme seuraavaksi joukkoa R n, missä n on mielivaltainen positiivinen kokonaisluku Määritelmä 11 Olkoon n positiivinen kokonaisluku Merkitään R n = {(x 1,, x n x 1,, x n R} 31

32 Kun x = (x 1,, x n R n, y = (y 1,, y n R n ja a R, niin vektoreiden x ja y summa on vektori ja skalaarimonikerta ax on vektori x + y = (x 1 + y 1,, x n + y n ax = (ax 1,, ax n Kun n > 3, avaruuden R n alkioita ei voida havainnollistaa nuolilla, mutta monissa käytännön tilanteissa on luonnollista tarkastella tällaisia vektoreita Esimerkki 44 Kauppa pitää kirjaa varastossa olevista Criminal Minds TVsarjan DVD bokseista Kyseistä sarjaa on (toistaiseksi saatavilla kymmenen tuotantokautta Kaupan varastotilannetta voidaan kuvailla avaruuden R 10 alkiolla v = (v 1, v 2,, v 10, missä vektorin i:s komponentti v i kertoo, montako i:nnen tuotantokauden jaksot sisältävää boksia varastosta löytyy Kun kauppaan saapuu täydennyserä, jota samalla tavalla kuvataan vektorilla t = (t 1, t 2,, t 10, päivitetty varastotilanne saadaan laskemalla summa v + t Esimerkki 45 Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää { x + y + z + u = 0 2x + 3y + 4z + 5u = 0 Ryhmä on ekvivalentti ryhmän { x + y + z + u = 0 y + 2z + 3u = 0 kanssa Täten sen ratkaisu on x = b + 2a y = 2b 3a z = b u = a, missä a, b R Toisin sanoen, yhtälöryhmän ratkaisujoukko on {(b + 2a, 2b 3a, b, a a, b R} Tämä on avaruuden R 4 osajoukko Käyttämällä edellä määriteltyjä laskutoimituksia tämä joukko voidaan kirjoittaa muodossa {b(1, 2, 1, 0 + a(2, 3, 0, 1 a, b R} Tarkastellaan joukon R n alkioita Kun j on jokin luvuista 1, 2,, n, niin e j R n on vektori e j = (0,, 0, 1, 0,, 0, 32

33 jonka j:s komponentti on 1 ja muut komponentit ovat nollia Vektoreiden e 1,, e n avulla voidaan esittää mikä tahansa avaruuden R n vektori Jos u = (u 1, u 2,, u n R n, niin u = u 1 e 1 + u 2 e u n e n (2 Vektoreita e 1,, e n kutsutaan avaruuden R n luonnollisiksi kantavektoreiksi ja yhdessä ne muodostavat R n :n luonnollisen kannan Yhtälön (2 oikeaa puolta kutsutaan vektorin u kantaesitykseksi luonnollisen kannan suhteen Selvästi jokaisella vektorilla on tällainen kantaesitys ja millään vektorilla ei ole kahta erilaista kantaesitystä Esimerkki 46 Avaruuden R 4 luonnollinen kanta muodostuu vektoreista e 1 = (1, 0, 0, 0, e 2 = (0, 1, 0, 0, e 3 = (0, 0, 1, 0, e 4 = (0, 0, 0, 1 Esimerkiksi vektorin u = (3, 2, 4, 5 kantaesitys luonnollisen kannan suhteen on 3e 1 2e 2 + 4e 3 + 5e 4 7 Aliavaruudet Edellisessä luvussa totesimme, että avaruudella R n on kanta e 1,, e n Tämän kannan avulla voidaan yksikäsitteisellä tavalla esittää mikä tahansa kyseisen avaruuden vektori Tarkastelemme jatkossa kysymystä, millaisille R n :n osajoukoille löytyy samantapainen kanta Seuraava määritelmä kertoo, millaisia R n :n osajoukkoja kutsutaan aliavaruuksiksi Osoittautuu, että osajoukolla ei voi olla kantaa, jos se ei ole aliavaruus Määritelmä 12 Avaruuden R n osajoukko U on aliavaruus, jos U ja U on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen, toisin sanoen, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: jos u, v U, niin u + v U ja jos u U, a R, niin au U Esimerkki 47 Triviaalisti {0} ja R n ovat avaruuden R n aliavaruuksia Niitä sanotaankin R n :n triviaaleiksi aliavaruuksiksi Esimerkki 48 Olkoon T taso, jonka yhtälö on x y + 2z = 0 Koska piste (0, 0, 0 toteuttaa yhtälön, taso T kulkee origon kautta Osoitetaan, että T on R 3 :n aliavaruus Tätä varten oletetaan, että u = (u 1, u 2, u 3 T, v = (v 1, v 2, v 3 T ja a R 33

34 Siis Pitää osoittaa, että u 1 u 2 + 2u 3 = 0 ja v 1 v 2 + 2v 3 = 0 (3 u + v T ja au T Tässä u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ja au = (au 1, au 2, au 3 Laskemalla yhteen yhtälöt (3 nähdään, että u 1 u 2 + 2u 3 + v 1 v 2 + 2v 3 = 0 Kun järjestellään termejä, saadaan yhtälö Tämä osoittaa, että (u 1 + v 1 (u 2 + v 2 + 2(u 3 + v 3 = 0 u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 T Kun yhtälö u 1 u 2 + 2u 3 = 0 kerrotaan luvulla a saadaan Täten au 1 au 2 + 2au 3 = 0 au = (au 1, au 2, au 3 T Siis T toteuttaa aliavaruudelta vaadittavat ehdot Seuraava lause osoittaa, että nollavektori kuuluu aina aliavaruuteen Lause 15 Jos joukko U R n on aliavaruus, niin 0 U Todistus Oletetaan, että U on aliavaruus Silloin U ei ole tyhjä joukko Olkoon u U Aliavaruuden määritelmän nojalla myös 0 u = 0 kuuluu joukkoon U Lauseen 15 nojalla sellaiset suorat ja tasot, jotka eivät kulje origon kautta, eivät ole aliavaruuksia Seuraava lause osoittaa, että origon kautta kulkevat suorat ja tasot ovat aliavaruuksia Lause 16 Origon kautta kulkevat R 3 :n suorat ja tasot ovat R 3 :n aliavaruuksia Vastaavasti origon kautta kulkevat R 2 :n suorat ovat R 2 :n aliavaruuksia Todistus Olkoon L origon kautta kulkeva suora R 3 :ssa Olkoon suoran suuntavektori s Tällöin L = {ts t R} Oletetaan, että u L ja v L Silloin on olemassa sellaiset t 1 R ja t 2 R, että u = t 1 s ja v = t 2 s 34

35 Täten Jos lisäksi a R, niin u + v = t 1 s + t 2 s = (t 1 + t 2 s L au = at 1 s L Siis L on R 3 :n aliavaruus Oletetaan sitten, että T on origon kautta kulkeva taso R 3 :ssa Tällöin T :n yhtälö on muotoa px + qy + rz = 0, missä p, q, r R Todistus etenee nyt samalla tavalla kuin esimerkissä 48 Ainoa ero on, että esimerkissä tarkasteltujen lukujen 1,-1 ja 2 tilalla on nyt luvut p, q ja r Lauseen viimeinen väite todistetaan kuten R 3 :n suoria koskeva väite Määritelmä 13 Olkoot u 1,, u k avaruuden R n vektoreita Niiden lineaarikombinaatioiksi kutsutaan vektoreita c 1 u c k u k, missä c 1,, c k R Merkinnällä L(u 1,, u k tarkoitetaan vektoreiden u 1,, u k kaikkien lineaarikombinaatioiden joukkoa L(u 1,, u k = {c 1 u c k u k c 1,, c k R} Esimerkki 49 Olkoon u = (0, 1 ja v = (1, 1 Silloin L(u, v on vektoreiden u ja v kaikkien lineaarikombinaatioiden joukko eli muotoa c 1 u + c 2 v = c 1 (0, 1 + c 2 (1, 1 (c 1, c 2 R olevien vektoreiden joukko Tämän esimerkin tilanteessa on helppo nähdä, että saatu joukko on itse asiassa R 2 Esimerkki 50 Yhtälö L(e 1,, e n = R n on lyhyt tapa sanoa, että jokainen R n :n vektori voidaan esittää muodossa missä c 1,, c n R c 1 e c n e n, Lause 17 Oletetaan, että u 1,, u k R n Silloin joukko on R n :n aliavaruus L(u 1,, u k = {c 1 u c k u k c 1,, c k R} 35

36 Todistus Selvästi L(u 1,, u k ei ole tyhjä joukko Oletetaan, että x, y L(u 1,, u k ja a R Silloin on olemassa sellaiset reaaliluvut c 1,, c k, d 1,, d k, että Täten ja x = c 1 u c k u k ja y = d 1 u d k u k x + y = (c 1 + d 1 u (c k + d k u k L(u 1,, u k ax = ac 1 u ac k u k L(u 1,, u k Siis joukko L(u 1,, u k on aliavaruus Joukkoa L(u 1,, u k kutsutaan vektoreiden u 1,, u k virittämäksi aliavaruudeksi 8 Lineaarinen riippuvuus Oletetaan, että u 1,, u k R n Nollavektori voidaan aina esittää vektoreiden u 1,, u k lineaarikombinaationa valitsemalla yhtälössä 0 = c 1 u c k u k kaikki kertoimet c 1,, c k nolliksi Mikäli tämä on ainoa tapa esittää nollavektori vektoreiden u 1,, u k lineaarikombinaationa, sanotaan että vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippumattomia Määritelmä 14 Vektorit u 1,, u k R n ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ehto c 1 u c k u k = 0, (4 missä c 1,, c k R, pätee vain jos c 1 = = c k = 0 Jos on olemassa sellaiset luvut c 1,, c k, että yhtälö (4 on voimassa ja ainakin yksi luvuista c i eroaa nollasta, vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippuvia Esimerkki 51 Tutkitaan, ovatko vektorit u 1 = (1, 1 ja u 2 = (1, 2 lineaarisesti riippuvia Tämän selvittamiseksi tarkastellaan yhtälöä c 1 u 1 + c 2 u 2 = 0 eli c 1 (1, 1 + c 2 (1, 2 = (0, 0, 36

37 ja tutkitaan toteutuuko tämä yhtälö joillakin luvuilla c 1, c 2, jotka eivät molemmat ole nollia Kirjoittamalla yhtälö komponenteittain saadaan yhtälöryhmä { c1 + c 2 = 0 c 1 + 2c 2 = 0 Koska tällä yhtälöryhmällä on vain triviaali ratkaisu c 1 = c 2 = 0, vektorit u 1, u 2 ovat lineaarisesti riippumattomia Esimerkki 52 Tutkitaan, ovatko vektorit u 1 = (1, 1, u 2 = (1, 2 ja u 3 = (1, 3 lineaarisesti riippuvia Nyt tarkastellaan yhtälöä eli c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 = 0 c 1 (1, 1 + c 2 (1, 2 + c 3 (1, 3 = (0, 0, ja tutkitaan toteutuuko se joillakin luvuilla c 1, c 2, c 3, jotka eivät kaikki ole nollia Kirjoittamalla yhtälö komponenteittain saadaan yhtälöryhmä { c1 + c 2 + c 3 = 0 c 1 + 2c 2 + 3c 3 = 0 Helposti nähdään, että tällä yhtälöryhmällä on epätriviaaleja ratkaisuja Esimerkiksi c 1 = 1, c 2 = 2 ja c 3 = 1 on ratkaisu Siis tarkasteltavat vektorit ovat lineaarisesti riippuvia Yhtälöstä 1 (1, 1 2 (1, (1, 3 = (0, 0 nähdään lisäksi, että esimerkiksi vektori (1, 3 voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa: (1, 3 = 1 (1, (1, 3 Seuraava lause osoittaa yleisesti, että jos vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippuvia, niistä jokin voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa Lause 18 Oletetaan, että u 1,, u k R n Silloin seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i Vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippuvia (ii Jokin vektoreista voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa Todistus Oletetaan ensin, että ehto (i on voimassa Tällöin on olemassa sellaiset reaaliluvut c 1,, c k, että c 1 u c k u k = 0 ja lisäksi jokin luvuista c i eroaa nollasta oletamme, että c k 0 Silloin saadaan Merkintöjen yksinkertaistamiseksi u k = c 1 c k u 1 c k 1 c k u k 1 37

38 Siis vektori u k voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa Oletetaan sitten, että jokin annetuista vektoreista voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa Oletetaan jälleen merkintöjen yksinkertaistamiseksi, että vektori u k voidaan lausua muiden avulla Siis on olemassa sellaiset reaaliluvut d 1,, d k 1, että u k = d 1 u d k 1 u k 1 Täten d 1 u d k 1 u k 1 + ( 1 u k = 0 Tästä yhtälöstä seuraa vektoreiden u 1,, u k lineaarinen riippuvuus, koska ainakin vektorin u k kerroin poikkeaa nollasta Esimerkki 53 Kaksi annettua vektoria u, v R n ovat lineaarisesti riippuvia silloin ja vain silloin, kun toinen niistä saadaan skalaarilla kertomalla toisesta Tämä seuraa suoraan edellisestä lauseesta Esimerkiksi vektorit (1, 2, 3 ja (1, 0, 2 ovat lineaarisesti riippumattomia, koska kumpikaan ei ole toisen skalaarimonikerta Sen sijaan vektorit (1, 2, 3 ja ( 2, 4, 6 ovat lineaarisesti riippuvia, koska niistä jälkimmäinen saadaan edellisestä kertomalla luvulla 2 Seuraava lause antaa helpon tavan selvittää vektoreiden lineaarinen riippuvuus siinä erikoistapauksessa, että tutkittavana on tarkalleen n vektoria avaruudessa R n Sivuutamme lauseen todistuksen Lause 19 Oletetaan, että u 1,, u n R n Silloin u 1,, u n ovat lineaarisesti riippumattomia tarkalleen silloin, kun determinantti, jonka pystyriveinä ovat vektorit u 1,, u n, eroaa nollasta Esimerkki 54 Vektorit (1, 5, 2, (2, 3, 2, (3, 1, 2 ovat lineaarisesti riippumattomia, koska = Esimerkki 55 Vektorit (2, 4, 2, (3, 1, 4, (4, 1, 3 ovat lineaarisesti riippuvia, koska = 0 9 Kanta Määritelmä 15 Olkoon U R n :n aliavaruus Vektorit u 1,, u k U muodostavat U:n kannan, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (i Jokainen U:n vektori voidaan esittää vektoreiden u 1,, u k lineaarikombinaationa (ii Vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippumattomia 38

39 Määritelmän 15 ehto (i voidaan kirjoittaa myös muodossa U = L(u 1,, u k Täydennämme määritelmää 15 sopimalla, että avaruuden {0} kanta on tyhjä joukko Esimerkki 56 Vektorit e 1 = (1, 0, e 2 = (0, 1 muodostavat avaruuden R 2 kannan, jota kutsutaan R 2 :n luonnolliseksi kannaksi Esimerkki 57 Vektorit e 1 = (1, 0, 0, e 2 = (0, 1, 0, e 3 = (0, 0, 1 muodostavat avaruuden R 3 kannan, jota kutsutaan R 3 :n luonnolliseksi kannaksi Esimerkki 58 Vektorit e 1 = (1, 0,, 0, e 2 = (0, 1, 0,, 0,, e n = (0,, 0, 1 kannan, jota kutsutaan R n :n luonnolliseksi kan- muodostavat avaruuden R n naksi Esimerkki 59 Olkoon L origon kautta kulkeva suora Silloin sen suuntavektori s muodostaa yksinään L:n kannan Olkoon U R n :n aliavaruus Oletetaan, että vektorit u 1,, u k U muodostavat U:n kannan Oleteaan, että u U Kannan määritelmän ehdon (i nojalla on olemassa sellaiset reaaliluvut c 1,, c k, että u = c 1 u c k u k Yhtälön oikaa puolta kutsutaan vektorin u kantaesitykseksi tarkasteltavan kannan suhteen Seuraava lause osoittaa, että kaikilla U:n vektoreilla on tarkalleen yksi kantaesitys Lause 20 Olkoon U avaruuden R n aliavaruus Oletetaan, että vektorit u 1,, u k U muodostavat U:n kannan Silloin jokainen U:n vektori voidaan yhdellä ja vain yhdellä tavalla esittää muodossa missä c 1,, c k R c 1 u c k u k, Todistus Koska u 1,, u k muodostavat U:n kannan, jokainen U:n vektori voidaan lausua vektoreiden u 1,, u k lineaarikombinaationa Osoitetaan vielä, että millään vektorilla ei ole kahta erilaista esitystä Oletetaan, että u U ja u = c 1 u c k u k ja u = d 1 u d k u k, (5 39

40 missä c 1,, c k, d 1,, d k R Tavoitteena on osoittaa, että mainitut u:n esitykset ovat samat, eli c 1 = d 1,, c k = d k Yhtälöiden 5 nojalla Täten c 1 u c k u k = d 1 u d k u k (c 1 d 1 u (c k d k u k = 0 Koska vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippumattomia, eli c 1 d 1 = 0,, c k d k = 0 c 1 = d 1,, c k = d k Täten kyseiset u:n esitykset olivat samat Tämä osoittaa, että jokaisella U:n alkiolla on vain yksi esitys vektoreiden u 1,, u k lineaarikombinaationa Seuraava lause sanoo, että jos jokainen aliavaruuden U vektori voidaan esittää yhdellä ja vain yhdellä tavalla vektoreiden u 1,, u k U lineaarikombinaationa, niin vektorit u 1,, u k muodostavat U:n kannan Lause 21 Olkoon U avaruuden R n aliavaruus Jos jokainen U:n alkio voidaan esittää tarkalleen yhdellä tavalla vektoreiden u 1,, u k U lineaarikombinaationa, niin vektorit u 1,, u k muodostavat U:n kannan Todistus Oletetaan, että jokainen U:n alkio voidaan esittää yhdellä ja vain yhdellä tavalla vektoreiden u 1,, u k U lineaarikombinaationa Silloin kannan määritelmän ehto (i on voimassa Lisäksi vektorit u 1,, u k ovat lineaarisesti riippumattomia, koska nollavektorilla on vain yksi esitys Siis kannan määritelmän molemmat ehdot toteutuvat Lause 22 Olkoon U avaruuden R n aliavaruus Silloin U:lla on kanta Sivuutamme lauseen 22 yksityiskohtaisen todistuksen, mutta todistuksen perusidea on yksinkertainen Oletetaan, että vektorit u 1,, u k virittävät U:n Jos ne lisäksi ovat lineaarisesti riippumattomia, ne muodostavat kannan Oletetaan, että ne ovat lineaarisesti riippuvia Silloin jokin niistä voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa Oletetaan, että u k voidaan lausua muiden avulla Silloin nähdään pienellä laskulla, että vektorit u 1,, u k 1 virittävät U:n Jos tämä joukko on lineaarisesti riippumaton, olemme löytäneet kannan Jos joukko on edelleen lineaarisesti riippuva, jätetään taas pois sellainen vektori, joka on muiden lineaarikombinaatio Tällä tavalla äärellisen monen askeleen jälkeen saamme U:n kannan Sivuutamme seuraavan lauseen todistuksen Lause 23 Olkoon U avaruuden R n aliavaruus Silloin kaikissa U:n kannoissa on yhtä monta vektoria 40