Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I"

Kaarina Kahma
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26

2 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos seuraavat ehdot pätevät: a) W = span( w 1, w 2,..., w k ) b) ( w 1, w 2,..., w k ) on vapaa., 2/26

3 Esimerkki On osoitettu, että vektorit ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1) virittävät avaruuden R 2. Lisäksi on osoitettu, että jono (ē 1, ē 2 ) on vapaa. Siten (ē 1, ē 2 ) on avaruuden R 2 kanta. Vastaavasti avaruudella R n on kanta (ē 1, ē 2,..., ē n ), missä ē i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0). Kantaa kutsutaan avaruuden R n luonnolliseksi kannaksi., 3/26

4 Kertausta: Kannan karakterisointi Lause 1 Jono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden W vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden w 1, w 2,..., w k lineaarikombinaationa., 4/26

5 Kertausta: Esimerkki Merkitään w 1 = (2, 1), w 2 = (1, 3). Osoitetaan, että ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta. Ratkaisun antaa yhtälöryhmä, jonka matriisi on [ ] 2 1 u u 2 Päädytään redusoituun porrasmatriisiin [ (3u ] 1 u 2 ) (u u 2 ), 5/26

6 Kertausta: Koordinaatit Määritelmä Oletetaan, että B = ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. Oletetaan, että ū W. Vektorin ū koordinaateiksi kannan B suhteen kutsutaan reaalilukuja a 1,..., a k, joilla ū = a 1 w 1 + +a k w k. Edeltävän lauseen 1 nojalla koordinaatit ovat yksikäsitteisesti määrätyt., 6/26

7 Kertausta: Esimerkki Määritetään vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen. 3ē 2 ē 2 ū = 8ē 1 + 3ē 2 ē 1 8ē 1, 7/26

8 Esimerkki Määritetään vektorin ū = (8, 3) koordinaatit kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen, missä w 1 = (2, 1) ja w 2 = (1, 3). Käytetään aiemmin saatua matriisia [ (3u ] 1 u 2 ) (u u 2 ), 8/26

9 2 w 2 w 2 ū = 3 w w 2 w 1 3 w 1, 9/26

10 Dimensio Voidaan osoittaa, että jokaisella aliavaruudella on kanta jokaisessa tietyn aliavaruuden kannassa on yhtä monta vektoria. Määritelmä Aliavaruuden W dimensio dim(w) on aliavaruuden W kannan vektoreiden lukumäärä. Jos aliavaruuden dimensio on n, sanotaan, että aliavaruus on n-ulotteinen., 10/26

11 Esimerkki Avaruuden R 2 dimensio on 2, sillä avaruudella on luonnollinen kanta (ē 1, ē 2 ). Vastaavasti avaruuden R n dimensio on n, sillä avaruuden luonnollisen kannan vektorien lukumäärä on n., 11/26

12 Esimerkki Merkitään v 1 = (3, 1, 5), v 2 = (2, 1, 3) ja v 3 = (0, 5, 1). Olkoon W = span( v 1, v 2, v 3 ). Mikä on aliavaruuden W dimensio? Tapa 1: Tutkitaan, millä ehdolla vektori ū = (u 1, u 2, u 3 ) kuuluu aliavaruuteen: u u u (u 1 + 3u 2 ) u (5u 3 + u 2 8u 1 ) Aliavaruus on joukko {(u 1, u 2, u 3 ) 5u 3 + u 2 8u 1 = 0}., 12/26

13 Esimerkki jatkuu Muokataan joukkoa: W = {(u 1, u 2, u 3 ) 5u 3 + u 2 8u 1 = 0} = = {u 1 (1, 8, 0) + u 3 (0, 5, 1) u 1, u 3 R}. Siispä W = span ( (1, 8, 0),(0, 5, 1) ). Tarkistetaan vielä, että saatu jono on vapaa, jolloin dimensio on 2., 13/26

14 Esimerkki jatkuu Tapa 2: Tutkitaan, mitkä alkuperäisistä virittäjävektoreista voidaan jättää pois: Nähdään, että W = span( v 1, v 2 ). Tarkistetaan vielä, että saatu jono on vapaa, jolloin dimensio on 2., 14/26

15 Luentotehtävä Osoite: m.socrative.com Huone: Millä x:n arvolla seuraavien vektorien jono on sidottu? ( 1, 0, 0), (2, 11, 0), ( 3, 2, x) A vain arvolla 1 B vain arvolla 0 C kaikilla arvoilla D ei millään arvolla E en tiedä, 15/26

16 MATRIISIT a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn Matriisi A on m n -matriisi eli sen tyyppi on m n. Rivillä i sarakkeessa j olevaa alkiota merkitään A(i, j). Kaikkien reaalikertoimisten m n -matriisien joukkoa merkitään R m n., 16/26

17 Esimerkki Esimerkiksi π B = on 4 3-matriisi eli B R 4 3., 17/26

18 Matriisien yhteenlasku Matriiseja, joilla on sama tyyppi, voidaan laskea yhteen ( 1) = = , 18/26

19 Matriisin kertominen skalaarilla ( 1) = = , 19/26

20 Matriisikertolasku Kaksi matriisia voidaan kertoa keskenään vain, jos ensimmäisessä on yhtä paljon sarakkeita kuin toisessa on rivejä. [ ] AB = [ ] 2 1+( 1) ( 2) ( 1) ( 1)+0 1 = ( 2) ( 1)+2 1 [ ] 4 5 =. 5 1, 20/26

21 Esimerkki Matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen! Lasketaan matriisien [ ] 2 1 A = 1 2 tulo AB. Miltä näyttää tulo BA? ja B = [ 0 ] 3 4 1, 21/26

22 Matriisipotenssi Matriisikertolaskun avulla voidaan määritellä potenssiin korottaminen. Oletetaan, että A on n n-matriisi ja k {1, 2,... }. Tällöin määritellään A k = } AA {{ A}. k kpl, 22/26

23 Matriisien laskusääntöjä Lause 2 Seuraavat säännöt pätevät matriiseille A, B ja C sekä reaaliluvulle a, jos laskutoimitukset on määritelty: (a) A+B = B + A (b) A+(B + C) = (A+B)+C (c) A(BC) = (AB)C (d) A(B + C) = AB + AC (e) (A+B)C = AC + BC (f) a(ab) = (aa)b = A(aB) Huomaa, että yleisessä tapauksessa AB BA!, 23/26

24 Erityisiä matriiseja Nollamatriisi: Ykkösmatriisi: O m n =... Rm n I n =. R n n Usein merkitään O m n = O ja I n = I., 24/26

25 Erityisiä matriiseja Olkoon A R m n Nollamatriisi käyttäytyy yhteenlaskussa kuin luku 0: A+O m n = A Ykkösmatriisi käyttäytyy kertolaskussa kuin luku 1: I m A = A ja AI n = A, 25/26

26 Erityisiä matriiseja Lävistäjämatriisi: Skalaarimatriisi: Jälkimmäinen on sama kuin 2I 3, 26/26

Samankaltaiset tiedostot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja