3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

Transkriptio

1 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan mm sähkömagnetiikassa, mekaniikassa, tietotekniikassa, taloustieteissä, ekologiassa jne Määritelmä Funktio T : R n R m on lineaarinen (eli lineaarikuvaus), jos (i) T (u + v) T (u) + T (v) kaikille u, v R n (ii) T (cu) ct (u) kaikille c R ja kaikille u R n / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 2 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Huomioita Ehdot (i) ja (ii) voidaan lausua myös yhdessä: T (cu + dv) ct (u) + dt (v) kaikille c, d R ja kaikille u, v R n Edelleen (induktiolla) T (c u + + c k u k ) c T (u ) + + c k T (u k ) kaikille k N, kaikille c,, c k R ja kaikille u,, u k R n Lineaarikuvaus säilyttää lineaarikombinaatiot Mielivaltaiselle u R n pätee T () T (u) T (u) Lineaarikuvaus pitää origon paikallaan Matriisin A R m n määräämä kuvaus T (u) Au on lineaarinen (määritelmä toteutuu) Lineaarikuvaus R n R m voidaan aina esittää matriisikuvauksena (nähdään esimerkin jälkeen) 3 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 Esimerkki 2 (lasketaan luennolla) Määritellään lineaarikuvaus T : R 2 R 2, T (x) Ax, missä A ( ) Määritä pisteiden u (4, ), v (2, 3) ja u + v (6, 4) kuvapisteet Totea, että T (u + v) T (u) + T (v) 4 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

2 3 3 Standardikantavektorit avaruudessa R n ovat e (,,,, ), e 2 (,,,, ), e n (,,,, ) Identtinen matriisi I n on matriisi, jonka j:s sarake (yhtä lailla rivi) on j:s standardikantavektori: I n ( ) e e n Lause 3 Jokainen lineaarikuvaus T : R n R m voidaan esittää matriisikuvauksena T (x) Ax, missä matriisin A sarakkeet ovat kantavektorien e j kuvat: Esimerkki 4 A ( T (e ) T (e n ) ) Olkoon T : R 2 R 3 lineaarikuvaus, jolle T (e ) (5, 7, 2) ja T (e 2 ) ( 3, 8, ) Etsitään matriisi A R 3 2 siten, että T (x) Ax kaikille x R 2 5 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 6 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Esimerkki 5 (jatkuu) Koska mielivaltainen x (x, x 2 ) R 2 voidaan esittää muodossa x x e + x 2 e 2 ja koska T on lineaarinen, niin T (x) T (x e + x 2 e 2 ) x T (e ) + x 2 T (e 2 ) x (5, 7, 2) + x 2 ( 3, 8, ) (5x 3x 2, 7x + 8x 2, 2x + x 2 ) eli sarakemuodossa 5x 3x 2 T (x) 7x + 8x 2 2x + x ( ) x x 2 Ax Avaruuden R n suora on joukko {u + tv t R} R n, missä u R n on eräs suoran piste ja v R n on suoran suuntavektori Lause 6 Lineaarikuvaus kuvaa suoran suoraksi Todistus Luentoharjoitus Matriisi A on lineaarikuvauksen T esitys standardikannassa 7 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 8 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

3 3 3 Kaikki tason lineaarikuvaukset (eli kuvaukset R 2 R 2 ovat) venytyksiä peilauksia kiertoja projektioita tai näiden yhdisteitä Projektiomatriiseja Projektio x-akselille: Projektio y-akselille: Venytysmatriiseja Venytys x-suunnassa kertoimella k: Venytys y-suunnassa kertoimella k: [ k ] [ ] k 9 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Peilausten matriiseja Peilaus x-akselin suhteen: Peilaus y-akselin suhteen: Peilaus suoran y x suhteen: Peilaus suoran y x suhteen: Peilaus origon suhteen: Pyöritysmatriisi Matriisi [ cos(ϕ) ] sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) pyörittää xy-tason pistettä kulman ϕ verran origon ympäri vastapäivään Esimerkki 7 Matlab-esimerkki: Talon lineaarikuvaukset / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 2 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

4 32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta 2 ta m ta 2 ta 22 ta 2m ta, ta n ta n2 ta nm A + B A 2 + B 2 A m + B m A 2 + B 2 A 22 + B 22 A 2m + B 2m A + B A n + B n A n2 + B n2 A nm + B nm 32 Esimerkki ( 2) [ ] Huom Jotta A + B olisi määritelty, on matriisien A ja B oltava samankokoiset!, 3 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 4 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Olkoon F : R m R n ja G : R n R p Yhdistetty kuvaus on mielekäs vain muodossa G F : R m R p Jos F ja G ovat lineaarikuvauksia, niin G F :kin on Olkoon B kuvauksen F matriisi ja A kuvauksen G matriisi Tällöin G F on AB on matriisitulo (G F )(x) G(F (x)) A(B(x)) ABx 5 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 Määritelmä 9 Olkoot missä A }{{} p n Muistisääntö: (α ij ) ja B }{{} n m C }{{} p m (β ij ) Tällöin }{{} C AB (γ ij ), p m γ ij }{{} A }{{} B p n n m n α ik β kj k Huom! Matriisitulo ei ole vaihdannainen eli se ei kommutoi: yleisesti AB BA! Huom! Tulo voi olla nolla, vaikka kumpikaan matriisi ei olisi nollamatriisi! 6 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

5 32 32 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ ] Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( ) + 8( 3) 7( ) + 6( 3) 5( ) + 4( 3) 9( 2) + 8( 4) ( 2) + 6( 4) ( 2) + 4( 4) 7 26 A 2 : AA ( )( ) + ( 2)( 3) ( )( 2) + ( 2)( 4) ( 3)( ) + ( 4)( 3) ( 3)( 2) + ( 4)( 4) / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 8 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Esimerkki (lasketaan luennolla) Olkoot A, B Laske AB, AC, BC ja CB 2 3 ja C Vastaus: AB B, AC C (vrt x x), 4 8 BC ja CB [ 3 ] 2 2 Esimerkki Olkoon x (, 2, 3) R 3 ja lineaarikuvauksen F : R 3 R 2 matriisi A F Silloin A F x ( ) + 3( 2) + 4( 3) 5( ) + 6( 2) + 7( 3) 2 38, joten F (, 2, 3) A F x ( 2, 38) 9 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 2 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

6 32 32 Esimerkki 2 Tason suorakulmion sivut ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja sen kulmat ovat vastapäivään lueteltuina a (2, ), b, c (4, 4) ja d Suorakulmiolle suoritetaan muunnos f, joka kuvaa sen peilatuksi neliöksi toiseen paikkaan tasossa Suorakulmion kulmat kuvautuvat muunnoksessa siten, että f (a) (, ) ja f (c) (, ), sivut koordinaattiakelien suuntaiset ja kulmat ovat vastapäivään lueteltaessa f (a), f (d), f (c) ja f (b) Etsi matriisi, jolla voit esittää muunnoksen, ja selvitä mikä on pisteen (3, ) kuva muunnoksessa Huom: Kyseessä ei ole lineaarikuvaus, mutta käyttämällä ns homogeenisia koordinaatteja eli kirjoittamalla piste (x, y) muodossa (x, y, ) se voidaan esittää matriiseilla! 2 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 Ratkaisu: Piirretään ensin kuvat: d a (2, ) c (4, 4) b f (b) f (c) (, ) f (a) f (d) Muunnoksen voi toteuttaa siirtämällä kuvio ensin siten, että sen piste (2, ) tulee origoon (matriisi M ), pienentämällä kuvio puolittamalla x-koordinaattiarvot ja jakamalla y-koordinaattiarvot luvulla 4 (matriisi M 2 ) ja lopulta peilaamalla suoran x y suhteen (koordinaattiarvojen vaihto keskenään, matriisi M 3 ) 22 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 32 Jotta saisimme myös siirron (joka ei ole lineaarikuvaus tasossa!) esitettyä matriisilla, tarkastellaan pisteen (x, y) sijaan pistettä (x, y, ) Viimeinen koordinaatti on vain apuna mukana, kaksi ensimmäistä esittävät todellisuudessa tarkasteltavaa tason pistettä Nyt siirto (x, y, ) (x 2, y, ) voidaan esittää matriisilla seuraavasti: 2 } {{ } M x x 2 y y 32 Matriisi, joka kutistaa puoleen x-suunnassa ja neljännekseen y-suunnassa, eli tekee operaation (x, y, ) (x/2, y/4, ) on /2 /4 } {{ } M 2 x x/2 y y/4 Lopuksi vielä peilaus (x, y, ) (y, x, ): x y y x } {{ } M 2 23 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 24 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

7 32 32 Koko operaation suorittava matriisi saadaan tekemällä nämä peräjälkeen: /2 2 M M 3 M 2 M /4 /4 /2 Piste (x, y) kuvautuu siis pisteeksi (y/4, x/2 ) ja erityisesti pisteen (3, ) kuva on (/4, /2) Matriiseille voidaan lisäksi määritellä laskutoimitus, joka tekee n m-matriisista m n-matriisin vaihtamalla rivit ja sarakkeet Määritelmä 3 (Transpoosi) Olkoon }{{} A (α ij ) Tällöin matriisin A transpoosi on matriisi n m A T (γ ij ), missä γ ij α ji Yhdistetylle kuvaukselle C AB pätee C T B T A T 25 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 26 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Määritelmä 4 Matriisi B on matriisin A käänteismatriisi, jos AB I ja BA I, missä I on sopivan kokoinen identiteettimatriisi Käänteismatriisia merkitään A Lause 5 Jos käänteismatriisi on olemassa, niin se on yksikäsitteinen Huom Jos matriisi A on kääntyvä, niin myös matriisi A on kääntyvä, ja (A ) A Jos A ja B ovat kääntyviä matriiseja, niin myös AB on kääntyvä, ja (AB) B A Jos A on kääntyvä, niin myös A T on kääntyvä, ja (A T ) (A ) T 27 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 28 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

8 32 Käänteismatriisin laskeminen: Olkoon A R n n kääntyvä Miten lasketaan A R n n? Nyt AA I n eli jos x j on matriisin A j:s sarake,niin saadaan n kpl lineaarisia yhtälöitä Ax j e j (j,, n) Ratkotaan nämä n yhtälöä yhtä aikaa Gauss-eliminaatiolla: liittomatriisi A A 2 A n A 2 A 22 A 2n A In A n A n2 A nn muunnetaan liittomatriisiksi [ I n A ] Siis [ A In ] [ I n A ] 32 Esimerkki 6 Lasketaan matriisin A [ A I2 ] Siten A käänteismatriisi: [ 3 ] 5 2 (Tarkista kertolaskulla!) [ I 2 A ] 29 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 3 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 32 Esimerkki 7 (lasketaan luennolla) Mikä on matriisin transpoosi? A Esimerkki 8 (lasketaan luennolla) Etsi matriisien käänteismatriisit A ( ) ja B 3 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 ( ) Terminologiaa: }{{} A on neliömatriisi; symmetrinen, jos A A T n n A on säännöllinen (sanotaan myös kääntyvä), jos käänteismatriisi on olemassa, muutoin singulaarinen A diag(α, α 2,, α nn ) α α 2 α (n )(n ) α nn on lävistäjä- eli diagonaalimatriisi 32 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

9 32 33 Yläkolmiomatriisi: α jk, kun j > k Alakolmiomatriisi: α jk, kun j < k A on ortogonaalinen, jos A A T Esimerkki 9 (lasketaan luennolla) Laadi 3 3-esimerkkimatriisit näistä kaikista Idea: Matriisin A R n n determinantti det(a) R ilmaisee miten paljon matriisia vastaava lineaarikuvaus skaalaa&peilaa avaruutta R n : Kuution [, ] n : {x R n j : x j [, ]} n-tilavuus on (-tilpituus, 2-tilpinta-ala, 3-tiltavallinen tilavuus, ) ja A:n sarakkeiden virittämän särmiön A[, ] n {Ax R n x [, ] n } n-tilavuus on det(a) (determinantin etumerkki kertoo peilautumisista) Determinantin laskemiseen tarvitaan neljä lakia: 33 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 34 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Laki : det(i n ) Tulkinta : Identiteettikuvaus x I n (x) x ei muuta n-tilavuutta tai suuntia Laki 2: Matriisin sarake t kertaistuu determinantti t kertaistuu Tulkinta 2: Särmiön n-tilavuus t-kertaistuu yhden särmän t-kertaistuessa Esimerkki det ( 2)(3) det det 5 2 (6)(5)(4) det det () det / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 36 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

10 33 33 Laki 3: Jos matriisissa A R n n on (ainakin) kaksi samaa saraketta, niin det(a) Tulkinta 3: Tällöin särmiö A[, ] n R n on litistynyt ja sen n-tilavuus on Esimerkki 2 Laki 4: Olkoon A j matriisin A R n n j:s sarake Kun A k B k + C k jollakin k {,, n}, niin det [ A A k B k + C k A k+ A n ] det [ A A k B k A k+ A n ] + det [ A A k C k A k+ A n ] 5 det , det , det Tulkinta 4: Särmiön yhden särmän summaus näkyy n-tilavuudessa summana 37 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 38 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Esimerkki 22 3 det 4 det 3, det joten det 4 det + det +, + det + det 39 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 + det Esimerkki 23 (lasketaan luennolla) a b Laske matriisin determinantti lakien - 4 avulla c d Ratkaisu: a b 4 a b b det det + det c d d c d 4 a a b b det + det + det + det d c c d 2 addet(i ) + abdet + bcdet + cddet & 3 ad + bc +, sillä äsken laskettiin det 4 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

11 33 33 Lait, 2, 3, 4 ovat ristiriidattomat ja riittävät determinantin laskemiseen Käytännössä determinantit kuitenkin lasketaan käsin muistamalla, että a b det c d ad bc a merkitään myös lyhyesti pystyviivoilla: Esimerkki 24 M : det(m), kun M on matriisi ja purkamalla matriisi 2 2-osiin alideterminanttisäännöllä det(a) ( ) k i ( ) i A ki det(a ki ), missä k on jokin rivinumero ja A ki matriisi A, josta on poistettu rivi k ja sarake i a b c d e f g h i a e f h i b d f g i + c d e g h a(ei fh) + b(fg di) + c(dh eg) 4 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 42 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi Huom Myös 3 3-matriisin determinantille on muistisääntö: a b c d e f aei + bfg + cdh afh bdi ceg g h i alamäkeen positiivisina, ylämäkeen negatiivisina Lause 26 Olkoon A R n n Silloin A det(a) ja det(a T ) det(a) Esimerkki 25 (lasketaan luennolla) 2 3 Laske matriisin A Vastaus: det(a) 42 determinantti Lause 27 Todistukset kirjassa det(ab) det(a) det(b) 43 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 44 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

12 33 Esimerkki 28 (lasketaan luennolla) Millä[ kertoimia ] a, b, c, d R koskevalla ehdolla matriisilla a b A on käänteismatriisi? c d Mikä silloin on käänteismatriisi A? Tarkista, että A A I AA 45 / 45 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3