9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

Transkriptio

1 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n 1) (1) n missä funktiot ak k = 012 n 1 ja b ovat jatkuvia välillä I Väli I voi olla avoin puoliavoin suljettu rajoitettu tai rajoittamaton Funktioavaruus CI ( ) { f: I fjatkuva} = on vektoriavaruus eli lineaariavaruus ja voimme käyttää sen tutkimiseen lineaarialgebran menetelmiä (Insmat 2 Laaja mat 2) Kertaamme ohessa tarvittavia käsitteitä ja tuloksia Joukko X jossa on määritelty laskutoimitukset yhteenlasku ( x y) x + y x y X ja skalaarilla kertominen ( a x) ax a x X on vektoriaviaruus jos seuraavat vektoriavaruuden aksioomat toteutuvat: VA1 Joukossa X on määritelty vektoreiden xy yhteenlasku: x + y X x y X VA2 ( x + y) + z= x+ ( y + z) x y X VA3 On olemassa nollavektori: x+ 0= 0+ x= x x X VA4 Jokaisella vektorilla on vastavektori: x+ ( x) = 0 x X VA5 x + y= y+ x x X VA6 Joukossa X on määritelty skalaarilla kertominen: ax X x X a VA7 a( x + y) = ax + ay x y X a VA8 ( a+ b) x= ax+ bx x X a b VA9 ab ( x) = ( ab) x x X ab

2 30 VA10 1x= x x X Lisäominaisuuksia (jotka siis ovat lauseina johdettavissa yllä olevista aksioomista) ovat mm seuraavat: - a0= 0 a R - n 0 x= 0 x R - ax= 0 a= 0 tai x= 0 n x R a R - n ( 1) x= x x R Kun avaruus X on jatkuvien funktioiden avaruus X = C( I) laskutoimitukset määritellään seuraavasti: Kun f g C( I) a niin (2) ( f + g)( x) = f( x) + g( x) (3) ( af )( x) = af ( x) Lause 1 Jatkuvien funktioiden joukko X = C( I) on laskutoimituksilla (2) ja (3) varustettuna vektoriavaruus Todistus: Aksiomat VA1-VA10 voidaan näyttää oikeiksi suoralla laskulla

3 31 Avaruuden X osajoukko H on aliavaruus jos seuraavat ehdot ovat voimassa kaikille xy ja kaikille skalaareille a: AA1 xy H x+ y H AA2 AA3 a & x H ax H 0 H Kaksi ensimmäistä ehtoa vaativat että laskutoimitusten lopputulos pysyy H:ssa eli että yhteenlasku ja skalaarilla kertominen "eivät vie ulos H:sta" Ehdot AA1-AA3 voidaan esittää myös tiivistetyssä muodossa ehtona: x y : x y x + y X a b H a b H ja lisäksi on vaadittava että H on epätyhjä Avaruus X itse ja {0} ovat triviaaleja aliavaruuksia Määritellään jatkuvasti derivoituvien funktioiden avaruudet ( n) ( n) (4) C ( I) = { f : I f f f jatkuvia} Silloin saadaan aliavaruuksien ketju ( n) ( n 1) 2 1 (5) C ( I) C ( I) C ( I) C ( I) C( I) ja jokainen inkluusio on aito Aliavaruuksista saadaan uusia leikkauksilla: Aliavaruuksien H1 H 2 leikkaus H1 H2 on aliavaruus Sen sijaan yhdiste ei yleensä anna aliavaruutta

4 32 Vektori v X on vektoreiden v1 v2 vk lineaarikombinaatio jos v= cv + c v + + c v k k joillakin kertoimilla (reaaliluvuilla) c1 c2 c k Esim 1 Funktio y missä yx ( ) = c1sin( x) + c2cos( x) on funktioiden 1 sin cos C ( I) lineaarikombinaatio Vektorit v1 v2 vk virittävät avaruuden H jos jokainen H:n vektori v voidaan esittää lineaarikombinaationa näistä vektoreista joillakin kertoimilla c 1 c 2 c k Vektorijoukkoa S = { v 1 v 2 vk } joka virittää H:n sanotaan avaruuden H virittäjistöksi ja merkitään H = spans = span{ v v v } 1 2 k Ilmeisesti jokaiseen virittäjistöön voidaan lisätä vektoreita ja näin laajennettu joukkokin on edelleen saman tai laajemman avaruuden virittäjistö Mutta voidaanko virittäjistöstä poistaa vektoreita niin että joukko säilyy edelleen saman avaruuden virittäjistönä? Jos voidaan niin silloin tällainen ylimääräisten vektorien karsinta yleensä tehdäänkin Virittämisen kannalta tarpeettomia S:n vektoreita ovat ilmeisesti sellaiset jotka ovat itse joidenkin muiden S:n vektoreiden lineaarikombinaatioita Jos vektorijoukossa S on tällaisia (edes yksi) niin vektorijoukkoa S = { v 1 v 2 vk }sanotaan lineaarisesti riippuvaksi (eli sen vektoreita v1 v2 vk lineaarisesti riippuviksi) Jos vektorit v1 v2 vk ovat lineaarisesti riippuvia niin siis ainakin yksi niistä esimerkiksi v m on muiden lineaarikombinaatio: v = av + + a v + a v + a v m 1 1 m 1 m 1 m+ 1 m+ 1 k k

5 33 Siirtämällä kaikki vasemmalle puolelle saadaan yhtälö cv + + c v = k k missä kertoimista c i ainakin yksi on nollasta eroava (sillä nyt ainakin c = 1 0) Tämä otetaan usein lineaarisen riippuvuuden määritelmäksi m Edelleen voidaan todeta että vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva jos ja vain jos sillä on sellainen aito osajoukko S' että span( S') = span( S) Toivottava ominaisuus virittäjistölle on että siellä ei ole turhia vektoreita mukana eli että se ei ole lineaarisesti riippuva Vektorijoukko S = { v 1 v 2 vk } on lineaarisesti riippumaton (eli vektorit v1 v2 vk lineaarisesti riippumattomia) jos ja vain jos S ei ole lineaarisesti riippuva Lineaariselle riippumattomuudelle saadaan siis seuraavia karakterisointeja: Joukon S = { v1 v2 v k } vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia täsmälleen silloin kun alla olevat keskenään yhtäpitävät ehdot ovat voimassa: - Mikään vektoreista v1 v2 vk ei ole muiden lineaarikombinaatio - Ehto c 1 v c k v k = 0 toteutuu vain kaikkien kertoimien c i ollessa nollia - c1v1+ + c v = 0 c1= = c = 0 k k k - S' S S' S span( S') span( S)

6 34 Erityisesti nähdään että 0-vektori ei voi olla mukana missään lineaarisesti riippumattomassa vektorijoukossa Huomattakoon vielä että kaksi nollasta eroavaa vektoria uv X ovat lineaarisesti riippuvia täsmälleen silloin kun toinen saadaan toisesta vakiolla kertomalla: uv lineaarisesti riippuvia c : u= cv Vektorijoukko S on avaruuden H kanta jos S on H:n lineaarisesti riippumaton virittäjistö Silloin siis H = span(s) ja S:n vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia eli siellä ei ole tarpeettomia vektoreita mukana Avaruuden H jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria Kannan alkioiden lukumäärä on siis avaruudelle ominainen vakio Avaruuden H ulottuvuus eli dimensio dim(h) on kannan vektorien lukumäärä (joka voi olla ääretön) Kantoja on avaruudella erilaisia ääretön määrä Jokainen lineaarisesti riippumaton vektorijoukko jossa on dimension ilmoittama määrä vektoreita käy kannaksi

7 35 Kahden vektoriavaruuden X Y välinen kuvaus L: X jos L( ax + by) = al( x) + bl( y ) kaikilla x y X a b Y on lineaarinen Esim 2 Derivointisääntöjen mukaan kuvaus Df = f on lineaarinen sillä D( f + g) = Df + Dg Tämä pitää paikkansa myös korkeamman kertaluvun derivaatoille Kuvausta L( yx ( )) = y ( x) + a ( xy ) ( x) + + a( xy ) ( x) + a( xy ) ( n) ( n 1) (6) n sanotaan differentiaalioperaattoriksi ja se on lineaarinen kuvaus: ( n C )( I ) C ( I ) Tässä funktiot a0 a1 an 1 oletetaan jatkuviksi Lineaarikuvauksen arvoja merkitään usein ilman sulkuja: Ly Tulemme jatkossa esittämään lineaariset differentiaaliyhtälöt muodossa Ly = 0 tai Ly= b Yhtälö Ly = 0 on homogeeninen ja Ly= b epähomogeeninen Helposti nähdään että homogeenisen yhtälön Ly = 0 ratkaisujen joukko ( n on avaruuden C ) ( I ) aliavaruus Tämä on kuvauksen L ydin KerL: ( n) (7) KerL { y C Ly 0} = =

8 36 Epähomogeenisen yhtälön Ly= b missä siis b 0 ratkaisujoukko ei ole aliavaruus koska 0-funktio ei kuulu siihen Mutta se voidaan ajatella ytimen KerL siirroksi eli translaatioksi funktion y verran: { n } ( y C ) ( I) Ly= b = KerL+ y p missä y p on jokin epähomogeenisen yhtälön ratkaisu eli jokin yksityisratkaisu Jos siis y h on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu y on (8) y= yh + yp p Seuraava keskeinen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause todistetaan myöhemmin differentiaalisysteemien vastaavan tuloksen seurauksena: Lause 2 Alkuarvoprobleemalla Ly= b y( x ) = y y ( x ) = y y ( x ) = y n ( n 1) (9) missä L on yhtälön (7) määrittelemä ja b jatkuva täsmälleen yksi ratkaisu välillä I kaikilla x0 I y0 yn 1 Strategiana on jatkossa hakea ensin aliavaruuden KerL kanta ja sen avulla homogeenisen yhtälön Ly = 0 yleinen ratkaisu Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu löydetään sitten yksityisratkaisun avulla muodossa (8) ja alkuehdot kiinnittävät ratkaisun parametrit Aloitamme tarkastelun toisen kertaluvun yhtälöillä