Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia"

Martti Manninen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. LM1, Kesä /206

2 Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Alla esiintyvä vektori 0 = (0, 0,..., 0) on nimeltään nollavektori. Lause 1 Oletetaan, että v, w, ū R n ja a, c R. Tällöin (a) v + w = w + v (b) (ū + v) + w = ū + ( v + w) (c) v + 0 = v (d) v + ( v) = 0 (e) c( v + w) = c v + c w (f) (a + c) v = a v + c v (g) a(c v) = (ac) v (h) 1 v = v (vaihdannaisuus) (liitännäisyys) (osittelulaki) (osittelulaki) LM1, Kesä /206

3 Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Perustellaan malliksi kohta (a). Oletus: v, w R n. Väite: v + w = w + v. Perustelu: Oletuksesta v, w R n seuraa, että v = (v 1,..., v n ) ja w = (w 1,..., w n ) joillakin v 1,..., v n, w 1,..., w n R. Voidaan päätellä v + w (1) = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ) (2) = (w 1 + v 1, w 2 + v 2,..., w n + v n ) (1) = w + v Kohdissa (1) käytetään yhteenlaskun määritelmää ja kohdassa (2) reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuutta. Huomaa, että komponentit ovat tavallisia reaalilukuja! LM1, Kesä /206

4 Yhdensuuntaisuus Määritelmä Oletetaan, että v R n ja w R n. Vektorit v ja w ovat yhdensuuntaiset, jos v = t w jollakin t R {0}. Tällöin merkitään v w. w w 2 w w Jos vektorit v ja w eivät ole yhdensuuntaiset, merkitään v w. LM1, Kesä /206

5 Lineaarikombinaatiot Määritelmä Oletetaan, että w R n ja v 1, v 2,..., v k R n. Vektori w on vektoreiden v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset reaaliluvut a 1, a 2,..., a k, että w = a 1 v 1 + a 2 v a k v k. LM1, Kesä /206

6 Lineaarikombinaatiot Esimerkki 1 Merkitään v 1 = (1, 1), v 2 = ( 1, 2) ja w = (5, 1). Vektori w on vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaatio, sillä 3 v 1 2 v 2 = 3(1, 1) 2( 1, 2) = (3, 3) ( 2, 4) = (5, 1) = w. v 1 v 2 3 v 1 2 v 2 w w LM1, Kesä /206

7 Suora Määritelmä Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1, Kesä /206

8 Olkoon S avaruuden R 2 suora. Jos (a, b) S, niin sanotaan, että piste (a, b) on suoralla S tai että suora S kulkee pisteen (a, b) kautta. t v (a,b) p Vastaavia ilmauksia käytetään avaruudessa R n. LM1, Kesä /206

9 Huom. Sama suora voidaan kirjoittaa joukkona { p + t v t R} usealla eri tavalla: vektoriksi p voidaan valita suoran minkä tahansa pisteen paikkavektori; vektoriksi v voidaan valita mikä tahansa suoran suuntainen vektori. v v p p LM1, Kesä /206

10 Esimerkki 2 Määritä pisteiden A = (2, 3, 5) ja B = (4, 1, 7) kautta kulkeva suora S. Suoran jonkin pisteen paikkavektori; esim. OA = (2, 3, 5). Jokin suoran suuntainen vektori; esim. AB = OB OA = (2, 4, 2). Näin S = { OA + t AB t R } = { (2, 3, 5) + t(2, 4, 2) t R }. LM1, Kesä /206

11 Matriisit Määritelmä Reaalialkioinen m n -matriisi on reaalilukutaulukko, jossa on m riviä ja n saraketta. Esimerkiksi a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn on m n -matriisi. Sanotaan, että matriisin A tyyppi on m n. Matriisissa olevia lukuja kutsutaan matriisin alkioiksi, ja rivillä i sarakkeessa j olevaa alkiota merkitään A(i, j) tai a ij. Kaikkien reaalialkioisten m n -matriisien joukkoa merkitään R m n. LM1, Kesä /206

12 Esimerkki 3 Merkitään B = Tällöin B on reaalikertoiminen 4 3 -matriisi eli B R 4 3. Nähdään, että B(1, 3) = 5 ja B(2, 2) = 11. LM1, Kesä /206

13 Matriisien yhteenlasku Määritelmä Oletetaan, että A, B R m n. Matriisien A ja B summa saadaan laskemalla yhteen samoissa kohdissa olevat alkiot. Tuloksena on m n -matriisi A + B, jolle pätee (A + B)(i, j) = A(i, j) + B(i, j). kaikilla i {1,..., m} ja j {1,..., n}. Esimerkiksi ( 1) = = Vain matriiseja, joilla on sama tyyppi, voidaan laskea yhteen. LM1, Kesä /206

14 Matriisin kertominen skalaarilla Määritelmä Oletetaan, että A R m n ja c R. Matriisi A kerrottuna skalaarilla c tarkoittaa m n -matriisia ca, jota nimitetään skalaarimonikerraksi ja jolle pätee (ca)(i, j) = c A(i, j) kaikilla i {1,..., m} ja j {1,..., n}. Esimerkiksi ( 1) = = LM1, Kesä /206

15 Erityisiä matriiseja Määritelmä Mitä tahansa m n -matriisia, jonka kaikki alkiot ovat nollia, kutsutaan nollamatriisiksi ja merkitään O m n tai lyhyesti O. Ykkösmatriisi eli yksikkömatriisi puolestaan tarkoittaa n n -neliömatriisia, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä ja muut alkiot nollia. Sitä merkitään I n tai lyhyesti I O m n =..., I 0 1. n = LM1, Kesä /206

16 Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että A, B ja C ovat m n -matriiseja ja s, t R. Tällöin (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C) (c) A + O = A (d) A + ( A) = O (e) s(a + B) = sa + sb (f) (s + t)a = sa + ta (g) s(ta) = (st)a (h) 1A = A. (vaihdannaisuus) (liitännäisyys) (osittelulaki) (osittelulaki) LM1, Kesä /206

Samankaltaiset tiedostot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä