2.8. Kannanvaihto R n :ssä

Transkriptio

1 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit on kirjoitettu pystyvektoreina Vektorin koordinaatit annetaan kantavektoreiden mukaisessa järjestyksessä Vektorin koordinaatit tietyssä kannassa ovat yksikäsitteiset (Lause 24) Jos kantaa vaihdetaan, muuttuvat yleensä myös koordinaatit Koordinaatit S { x, x 2,, x n } vektoriavaruuden V kanta Vektorin u V koordinaatit kannassa S ovat a, a 2, a n, eli u a x + a 2 x a n x n Merkitään: a a 2 ( u) S S 2 { y, y 2,, y n } on vektoriavaruuden toinen kanta ja u b y + b 2 y b n y n, eli a n b b 2 ( u) S2 Miten koordinaatit a i ja b i riippuvat kantavektoreista? b n

2 Esimerkki 234 Vektorin u koordinaatit kannassa S {(, 3) T, (, 2) T } ovat 4 ja Määrää u:n koordinaatit luonnollisessa kannassa E {(, 0) T, (0, ) T } ( ) 4 Ratk ( u) S u 4 ( ) + 3 ( ) 2 ( 3 2 ) ( 4 ) ( ) 22 ( ) ( ) 0 Vektorin u koordinaatit luonnollisessa ovat ja 22 ( ) ( u) E ( u) 3 2 S Esimerkki jatkoa ( ) 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( u) E ( u) 3 2 S on kannanvaihtomatriisi kannalta S kannalle E P(E S) ( ) 3 2

3 Kannanvaihtomatriisi P(E S) S { x, x 2,, x n } avaruuden R n kanta E { e, e 2,, e n } avaruuden R n luonnollinen kanta Vektorin u koordinaatit kannassa S ovat a, a 2,,a n a a 2 u a x + a 2 x a n x n ( x x 2 x n ) a n ( u) E P(E S)( u) S Kannanvaihtomatriisi P(E S) kannasta S kantaan E saadaan kannan S vektoreista P(E S) ( x x 2 x n ) Esimerkki 23 Vektorin v koordinaatit luonnollisessa kannassa E ovat 3 ja 4 Määrää vektorin v koordinaatit kannassa S {(, 3) T, (, 2) T } Ratk Edellinen ( esimerkki: ) ( v) E P(E S)( v) S P(E S) 3 2 P(E S) sarakkeet ovat kannan vektoreina vapaita Käänteismatriisi (P(E S)) on olemassa (P(E S)) ( v) E (P(E S)) P(E S)( v) S ( v) S ( v) S ( v) S (P(E S)) ( v) E ( ) ( ) ( 2 3 eli vektorin v koordinaatit kannassa S ovat 2 ) ( ) ( ja 3 )

4 Esimerkki jatkoa ( 2 3 ) ( ) 3 2 on kannanvaihtomatriisi luonnolliselta kannalta E kannalle S P(S E) (P(E S)) ( 2 3 ) Kannanvaihtomatriisi P(S E) S { x, x 2,, x n } avaruuden R n kanta E { e, e 2,, e n } avaruuden R n luonnollinen kanta Jokaiselle vektorille u on ( u) E P(E S)(u) S, P(E S) ( x x 2 x n ) Matriisin P(E S) sarakkeet ovat kannan S vektoreina vapaita (P(E S)) on olemassa (P(E S)) ( u) E (P(E S)) P(E S)( u) S I ( u) S ( u) S (P(E S)) ( u) E Merkitään P(S E) (P(E S)) on kannanvaihtomatriisi luonnolliselta kannalta E kannalle S

5 Kannanvaihtomatriisi P(S E) jatkoa Vektorin u koordinaatit kannassa S { x, x 2,, x n } saadaan luonnollisen kannan koordinaattien ja kannanvaihtomatriisin P(S E) kannalta E kannalle S avulla matriisitulosta ( u) S P(S E)( u) E P(S E) (P(E S)) ( x x 2 x n ) Kannanvaihtomatriisi P(S 2 S ) S { x x n } R n :n kanta S 2 { y,, y n } R n :n kanta E R n :n luonnollinen kanta R n :n vektorille u on voimassa: ( u) S2 P(S 2 E)( u) E, missä P(S 2 E) ( y y 2 y n ) ( u) E P(E S )( u) S, missä P(E S ) ( x x 2 x n ) ( u) S2 P(S 2 E)( u) E P(S 2 E)P(E S )( u) S ( y y 2 y n ) ( x x 2 x n )( u) S

6 Kannanvaihtomatriisi P(S 2 S ) jatkoa ( u) S2 P(S 2 S )( u) S, P(S 2 S ) on kannanvaihtomatriisi kannalta S { x, x 2,, x n } kannalle S 2 { y,, y n } P(S 2 S ) ( y y 2 y n ) ( x x 2 x n ) Lause 29 Olkoot S { x x n } ja S 2 { y,, y n } kaksi vektoriavaruuden R n kantaa Jokaiselle vektorille u R n on voimassa: (i) ( u) S2 P(S 2 S )( u) S, missä kannanvaihtomatriisi P(S 2 S ) kannalta S kannalle S 2 saadaan matriisitulosta P(S 2 S ) ( y y 2 y n ) ( x x 2 x n ) (ii) ( u) S P(S S 2 )( u) S2, missä kannanvaihtomatriisi P(S S 2 ) kannalta S 2 kannalle S saadaan yhtälöstä P(S S 2 ) (P(S 2 S )) ( x x 2 x n ) ( y y 2 y n ) (iii) Kannanvaihtomatriisit P(S S 2 ) ja P(S 2 S ) ovat yksikäsitteisiä

7 Todistus (i) Edellä (ii) Vaihtamalla kantojen S ja S 2 roolit saadaan kohdan (i) perusteella: ( u) S P(S S 2 )( u) S2 ( x x 2 x n ) ( y y 2 y n )( u) S2 (P(S S 2 )) (( x x 2 x n ) ( y y 2 y n )) ( y y 2 y n ) ( x x 2 x n ) P(S 2 S ) (ii) on voimassa (iii) Tulos seuraa koordinaattiesityksen yksikäsitteisyydestä Esimerkki 236 Määrää kannanvaihtomatriisi R 3 :n kannasta S {(,, ), (0,, ), (0, 0, )} kantaan S 2 {(,, 0), (0,, ), (, 0, 2)} ja määrää sen avulla vektorin u koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S ovat, ja 3 Ratk ( x x 2 x 3 ) ja ( y y 2 y 3 ) , Kannanvaihtomatriisi P(S 2 S ) ( y y 2 y 3 ) ( x x 2 x 3 )

8 Esimerkki jatkoa P(S 2 S ) ( u) S2 P(S 2 S )( u) S eli vektorin u koordinaatit kannassa S 2 ovat, 3 ja 4 3 Matriisin determinantti -matriisin A (a ) determinantti, det A a 2 2-matriisin determinantti on a a 2 a 2 a 22 a ( ) + a 22 + a 2 ( ) +2 a 2 a a 22 a 2 a matriisin determinantti on a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 22 a 23 a 32 a 33 a 2 a 2 a 23 a 3 a 33 + a 3 a 2 a 22 a 3 a 32

9 Yleinen tapaus n n-matriisin determinantti on A a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn det A a A + a 2 A a n A n a a n a 2 a 2n, a n a nn missä A j on ( ) +j kertaa sen (n ) (n )-matriisin, joka saadaan kun A:sta poistetaan rivi ja j sarake, determinantti Kofaktori Merkitään: A ij on ( ) i+j kertaa sen (n ) (n )-matriisin, joka saadaan kun A:sta poistetaan i:s rivi ja j:s sarake, determinantti A ij :tä sanotaan alkion a ij kofaktoriksi A a a (j ) a j a (j+) a n a (i ) a (i )(j ) a (i )j a (i )(j+) a (i )n a i a i(j ) a ij a i(j+) a in a (i+) a (i+)(j ) a (i+)j a (i+)(j+) a (i+)n a n a n(j ) a nj a n(j+) a nn

10 Kofaktori jatkoa A ij ( ) i+j a a (j ) a (j+) a n a (i ) a (i )(j ) a (i )(j+) a (i )n a (i+) a (i+)(j ) a (i+)(j+) a (i+)n a n a n(j ) a n(j+) a nn Determinantin kehittäminen Voidaan osoittaa: det A a i A i + a i2 A i2 + + a in A in eli matriisi voidaan kehittää minkä tahansa rivin suhteen Myös: det A a j A j + a 2j A 2j + + a nj A nj eli matriisi voidaan kehittää minkä tahansa sarakkeen suhteen

11 Esimerkki 3 Määrää Ratk Tuloksia Seuraavat tulokset voidaan osoittaa: ) Jos A:ssa 0-rivi tai 0-sarake, niin det A 0 2) det A T det A 3) Jos jokin A:n rivi tai sarake kerrotaan k:lla, niin saadun matriisin determinantti k det A det(ka) k n det A 4 Jos A:n kaksi riviä (vast saraketta) vaihdetaan keskenään, niin saadun matriisin determinantti det A ) Jos A:ssa on kaksi samaa riviä (vast saraketta) niin det A 0

12 Jatkoa 6) a + x a 2 a n a 2 + x 2 a 22 a 2n a n + x n a n2 a nn a a 2 a n x a 2 a n a 2 a 22 a 2n x 2 a 22 a 2n + a n a n2 a nn x n a n2 a nn Vastaava sääntö muille sarakkeille ja riveille 7) Jos A:n i:nteen riviin lisätään c (k:s rivi), i k, niin saadun matriisin determinantti det A Vastaava sääntö sarakkeille 8) Yläkolmiomatriisin determinantti on lävistäjäalkioiden tulo 9) det AB det A det B Esimerkki 32 Laske Ratk ( ) ( ) ( ) + 3 ( 3) 2