Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Transkriptio

1 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

2 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden V(A) kanta {(1,1,0,2),(0,0,1,1)}.

3 Lineaarialgebra (muut ko) p. 3/66 Redusoitu porrasmuoto Myös I on redusoitu porrasmuoto Lause A on säännöllinen A I

4 Lineaarialgebra (muut ko) p. 4/66 Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla Alkeismuunnoksilla (A I) (I A 1 )

5 Lineaarialgebra (muut ko) p. 5/66 Ratkaisuavaruuden dimensio Yhtälöryhmän (n tuntematonta) Ax = 0 ratkaisuavaruuden dimensio n r(a)

6 Lineaarialgebra (muut ko) p. 6/66 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = c 1 (1,0)+c 2 (0,1) Luonnollinen kanta E = {(1,0),(0,1)}

7 Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/66 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = 2 (1,0)+3 (0,1) Luonnollinen kanta E = {(1,0),(0,1)}

8 Lineaarialgebra (muut ko) p. 8/66 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = c 1 ( 1, 1)+c 2 (3,2) Toinen kanta B = {( 1, 1),(3,2)}

9 Lineaarialgebra (muut ko) p. 9/66 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = ( 5) ( 1, 1)+( 1) (3,2) Toinen kanta B = {( 1, 1),(3,2)}

10 Lineaarialgebra (muut ko) p. 10/66 Johdanto: Kannanvaihto Eli samalla vektorilla x = (2,3) on luonnollisen kannan suhteen (2,3) = 2 (1,0)+3 (0,1) ja kannan B suhteen (2,3) = ( 5) ( 1, 1)+( 1) (3,2) eli X E = ( 2 3 ) ja X B = ( 5 1 )

11 Lineaarialgebra (muut ko) p. 11/66 Koordinaattivektori Kanta B = {b 1,...,b n } avaruudelle R n. Vektorin x R n koordinaattivektori X B = r 1 r 2. r n missä kantaesitys x = r 1 b 1 + +r n b n.

12 Lineaarialgebra (muut ko) p. 12/66 Koordinaattivektori Olkoon x = (1,2,3) R 3 :n luonnollisen kannan suhteen 1 X E = 2 3 Kannan B = {(1,1,1),(1,0,2),( 1,2,1)} suhteen X B = 4/5 4/5 3/5

13 Lineaarialgebra (muut ko) p. 13/66 Kannanvaihdon matriisi Toinen kanta C = {c 1,...,c n }. Kannanvaihdon B C matriisi: c 1 = p 11 b 1 + +p n1 b n. c n = p 1n b 1 + +p nn b n. P B C = p 11 p 1n..... p n1 p nn Muista transponointi!

14 Lineaarialgebra (muut ko) p. 14/66 Kannanvaihdon matriisi X C = P C B X B P B C = (P C B ) 1

15 Lineaarialgebra (muut ko) p. 15/66 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x y A = määrittelyjoukko B = maalijoukko Yleensä A = R n ja B = R m

16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 16/66 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x u z y Ei ole kuvaus!

17 Lineaarialgebra (muut ko) p. 17/66 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B Im(f) = {f(a) a A} kuvajoukko

18 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/66 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B B B 0 f 1 (B 0 ) = {a A f(a) B 0 } alkukuva

19 Lineaarialgebra (muut ko) p. 19/66 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B f on surjektio, jos Im(f) = B

20 Lineaarialgebra (muut ko) p. 20/66 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b Kuvauksessa voi olla

21 Lineaarialgebra (muut ko) p. 21/66 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b z f on injektio, jos a b f(a) f(b) a,b A Bijektio, jos surjektio ja injektio

22 Lineaarialgebra (muut ko) p. 22/66 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja kuvaus g : A B ovat yhtäsuuret, jos f(a) = g(a) a A Merkitään f = g

23 Lineaarialgebra (muut ko) p. 23/66 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B C A B C f g x g(f(x)) f(x) Yhdistetty kuvaus g f : A C, (g f)(x) = g(f(x))

24 Lineaarialgebra (muut ko) p. 24/66 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B A A B f x y g Käänteiskuvauksia, jos f g = id B ja g f = id A. f 1 olemassa f on bijektio

25 Lineaarialgebra (muut ko) p. 25/66 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0.

26 Lineaarialgebra (muut ko) p. 26/66 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0. Kantavektorien kuvien avulla f(b i ) = y i määräytyy koko f(x) yksikäsitteisesti.

27 Lineaarialgebra (muut ko) p. 27/66 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R 2 R 2,f(x,y) = (x y,x+y) on lineaarinen.

28 Lineaarialgebra (muut ko) p. 28/66 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax.

29 Lineaarialgebra (muut ko) p. 29/66 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Matriisi A = ( ) indusoi lineaarikuvauksen ( 1 1 f(x,y) = 1 1 )( x y ) = ( x y x+y ) eli f : R 2 R 2,f(x,y) = (x y,x+y)

30 Lineaarialgebra (muut ko) p. 30/66 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi M B,C (f) B = {b 1,...,b n } kanta R n :ssä C = {c 1,...,c m } kanta R m :ssä

31 Lineaarialgebra (muut ko) p. 31/66 Lineaarikuvauksen matriisi kuvien kantaesitykset f(b 1 ) = a 11 c 1 + +a m1 c m.. f(b n ) = a 1n c 1 + +a mn c m M B,C (f) = a 11. a 1n.... a m1 a mn Muista transponointi!

32 Lineaarialgebra (muut ko) p. 32/66 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B

33 Lineaarialgebra (muut ko) p. 33/66 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x

34 Lineaarialgebra (muut ko) p. 34/66 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M(f) x

35 Lineaarialgebra (muut ko) p. 35/66 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x Jos sama lähtö- ja maaliavaruus f : R n R n, niin yleensä sama kanta molemmilla puolilla ja merkitään M B (f) = M B,B (f).

36 Lineaarialgebra (muut ko) p. 36/66 Indusoidulle lineaarikuvaukselle Matriisin A M m n indusoima lineaarikuvaus f : R n R m,f(x) = Ax. Tällöin A = M E,E (f).

37 Lineaarialgebra (muut ko) p. 37/66 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f).

38 Lineaarialgebra (muut ko) p. 38/66 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f). Matriisien kertolasku

39 Lineaarialgebra (muut ko) p. 39/66 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M

40 Lineaarialgebra (muut ko) p. 40/66 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M M B,C (f) = P C CM B,C (f)p B B

41 Lineaarialgebra (muut ko) p. 41/66 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Sama lähtö- ja maaliavaruus eli n = m Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B molemmissa R n m R f M M B (f) = P 1 M B (f)p missä P = P B B

42 Lineaarialgebra (muut ko) p. 42/66 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi M E (f) =

43 Lineaarialgebra (muut ko) p. 43/66 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) =

44 Lineaarialgebra (muut ko) p. 44/66 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?

45 Lineaarialgebra (muut ko) p. 45/66 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla? Näihin vastaaminen on loppukurssin tavoite!

46 Lineaarialgebra (muut ko) p. 46/66 Ydin ja kuva Lineaarikuvauksen ydin ja kuva-avaruus f 0 0 Ker(f) Im(f) Ker(f) = {x R n f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x R n }

47 Lineaarialgebra (muut ko) p. 47/66 Dimensioyhtälö Lineaarikuvauksen f : R n R m dimensioyhtälö n = dim Ker(f)+dim Im(f)

48 Lineaarialgebra (muut ko) p. 48/66 Matriisin avulla Jos niin A = M E,E (f) Im(f) = V(A T ). Alkeismuunnoksilla V(A T ):lle eli Im(f):lle kanta porrasmatriisin portaista.

49 Lineaarialgebra (muut ko) p. 49/66 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R m on injektio Ker(f) = {0}.

50 Lineaarialgebra (muut ko) p. 50/66 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R n on injektio surjektio bijektio

51 Lineaarialgebra (muut ko) p. 51/66 Aliavaruuksien summa Aliavaruuksien summa U 1 +U 2 U+ U 1 2 U 1 U 2 0 U 1 +U 2 = {u 1 +u 2 u 1 U 1,u 2 U 2 }.

52 Lineaarialgebra (muut ko) p. 52/66 Kertausta Suora summa U 1 U 2 jos yksikäsitteinen esitys x = u }{{} 1 + u }{{} 2 U 1 U 2,

53 Lineaarialgebra (muut ko) p. 53/66 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}.

54 Lineaarialgebra (muut ko) p. 54/66 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}. Ehto 2: jos u 1 +u 2 = 0, missä u 1 U 1 ja u 2 U 2, niin u 1 = u 2 = 0.

55 Lineaarialgebra (muut ko) p. 55/66 Aliavaruuksien summa Kahden aliavaruuden leikkaus on myös aliavaruus. U 1 U 2

56 Lineaarialgebra (muut ko) p. 56/66 Kannat aliavaruuksien summassa Summan kannat u k u 2 u y 1 1 y 2 y m U+ U 1 2

57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 57/66 Kannat aliavaruuksien summassa Suoran summan kannat u k u u 2 1 y y 1 2 U+ U y 1 2 m dim(u 1 U 2 ) = dimu 1 +dimu 2.

58 Lineaarialgebra (muut ko) p. 58/66 Kannat aliavaruuksien summassa Summan kannat u k u 2 u y 1 1 y 2 y m U+ U 1 2 dim(u 1 +U 2 ) = dimu 1 +dimu 2 dim(u 1 U 2 ).

59 Lineaarialgebra (muut ko) p. 59/66 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m.

60 Lineaarialgebra (muut ko) p. 60/66 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m. Ehto U i U j = {0} ei enää toimi, kts. monisteen huomautus sivulla 26.

61 Lineaarialgebra (muut ko) p. 61/66 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m. Ehto: kaikille i = 1,...,m täytyy olla U i (U 1 + +U i 1 +U i+1 + +U m ) = {0}

62 Lineaarialgebra (muut ko) p. 62/66 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi M E (f) =

63 Lineaarialgebra (muut ko) p. 63/66 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) =

64 Lineaarialgebra (muut ko) p. 64/66 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?

65 Lineaarialgebra (muut ko) p. 65/66 Johdanto Meillä oli esimerkki M E (f) = ( 20/7 3/7 2/7 15/7 ) saatiin sopivalla kannanvaihdolla M B (f) = ( )

66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 66/66 Johdanto Yleisestikin pyritään M B (f) = λ λ λ n Onnistuuko aina? Miten löydetään kanta?