Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Transkriptio

1 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä /218

2 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }. Avaruuden R 2 alkioita kutsutaan vektoreiksi. Jos c R ja d R, niin (c, d) on avaruuden R 2 vektori ja sanotaan, että c ja d ovat vektorin (c, d) komponentit. Huom. Jos ū R 2, niin ū = (u 1, u 2 ) joillakin u 1 R ja u 2 R. LM1, Kesä /218

3 Havainnollistuksia: Avaruuden R 2 vektoria v = (v 1, v 2 ) voi ajatella tason pisteenä: (1,3) ( 3, 2) (3,1) ( 1, 2) v = (v 1, v 2 ) LM1, Kesä /218

4 Avaruuden R 2 vektoria v = (v 1, v 2 ) voi ajatella sitä vastaavan tason pisteen paikkavektorina: ( 3, 2) (1,3) (3,1) v = (v 1, v 2 ) ( 1, 2) LM1, Kesä /218

5 Avaruuden R 2 vektoria v = (v 1, v 2 ) voi ajatella lukiosta tuttuna tason vektorina: ( 3, 2) v = (v 1, v 2 ) (1, 3) ( 1, 2) (3,1) LM1, Kesä /218

6 Yhteenlasku ja skalaarikertolasku Määritelmä Oletetaan, että v = (v 1, v 2 ) R 2, w = (w 1, w 2 ) R 2 ja c R. Vektoreiden v ja w summa on vektori v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ). Skalaarikertolasku tarkoittaa vektorin kertomista reaaliluvulla. On sovittu, että c v = (cv 1, cv 2 ). LM1, Kesä /218

7 Yhteenlasku ja skalaarikertolasku Esimerkki 1 Merkitään v = ( 5, 3) ja w = ( 2, 7). Lasketaan (a) v + w = ( 5, 3) + ( 2, 7) = ( 5 2, 3 7) = ( 7, 4) (b) 4 v = 4( 5, 3) = ( 20, 12) (c) 3 w = 3( 2, 7) = (6, 21) (d) 2 v + 6 w = ( 10, 6) + ( 12, 42) = ( 22, 36). LM1, Kesä /218

8 Havainnollistuksia: Vektoreiden yhteenlasku: w v + w w v v LM1, Kesä /218

9 Vektorin vastavektori ja vektoreiden erotus Määritelmä Vektorin v vastavektori on skalaarimonikerta ( 1) v. Sitä merkitään v. Vektoreiden v ja w erotus tarkoittaa summaa Sitä merkitään v w. v + ( w) = v + ( 1) w. LM1, Kesä /218

10 Havainnollistuksia: Vektorin kertominen skalaarilla: ū 3ū ū 2ū LM1, Kesä /218

11 Havainnollistuksia: Vektoreiden vähennyslasku: w v v w v w LM1, Kesä /218

12 Havainnollistuksia: Yhteenlasku vs. vähennyslasku: w v + w w w v w v w v v v LM1, Kesä /218

13 Avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja. Toisin sanottuna R n = { (v 1, v 2,..., v n ) v 1, v 2,..., v n R }. Avaruuden R n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Jos u 1, u 2,..., u n R, niin ū = (u 1, u 2,..., u n ) on avaruuden R n vektori ja sanotaan, että u 1, u 2,..., u n ovat vektorin ū komponentit. LM1, Kesä /218

14 Yhteenlasku ja skalaarikertolasku Määritelmä Oletetaan, että v = (v 1,..., v n ) R n, w = (w 1,..., w n ) R n ja c R. Vektoreiden v ja w summa on vektori v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ). Skalaarikertolasku tarkoittaa vektorin kertomista reaaliluvulla. On sovittu, että c v = (cv 1, cv 2,..., cv n ). LM1, Kesä /218

15 Vektorin vastavektori ja vektoreiden erotus Määritelmä Vektorin v vastavektori on skalaarimonikerta ( 1) v. Sitä merkitään v. Vektoreiden v ja w erotus tarkoittaa summaa Sitä merkitään v w. v + ( w) = v + ( 1) w. LM1, Kesä /218

16 Esimerkki 2 Merkitään v = ( 5, 3, 0, 1, 1) ja w = ( 2, 4, 2, 3, 5). Tällöin v ja w ovat avaruuden R 5 vektoreita. Lasketaan (a) 2 v 3 w = ( 10, 6, 0, 2, 2) ( 6, 12, 6, 9, 15) = ( 4, 18, 6, 7, 17) (b) 5 v w = (25, 15, 0, 5, 5) ( 2, 4, 2, 3, 5) = (27, 11, 2, 8, 0). LM1, Kesä /218

17 Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. LM1, Kesä /218

18 Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Alla esiintyvä vektori 0 = (0, 0,..., 0) on nimeltään nollavektori. Lause 1 Oletetaan, että v, w, ū R n ja a, c R. Tällöin (a) v + w = w + v (vaihdannaisuus) (b) (ū + v) + w = ū + ( v + w) (liitännäisyys) (c) v + 0 = v (d) v + ( v) = 0 (e) c( v + w) = c v + c w (osittelulaki) (f) (a + c) v = a v + c v (osittelulaki) (g) a(c v) = (ac) v (h) 1 v = v LM1, Kesä /218

19 Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Perustellaan malliksi kohta (a). Oletus: v, w R n. Väite: v + w = w + v. Perustelu: Oletuksesta v, w R n seuraa, että v = (v 1,..., v n ) ja w = (w 1,..., w n ) joillakin v 1,..., v n, w 1,..., w n R. Voidaan päätellä v + w (1) = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ) (2) = (w 1 + v 1, w 2 + v 2,..., w n + v n ) (1) = w + v Kohdissa (1) käytetään yhteenlaskun määritelmää ja kohdassa (2) reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuutta. Huomaa, että komponentit ovat tavallisia reaalilukuja! LM1, Kesä /218

20 Yhdensuuntaisuus Määritelmä Oletetaan, että v R n ja w R n. Vektorit v ja w ovat yhdensuuntaiset, jos v = t w jollakin t R {0}. Tällöin merkitään v w. w w 2 w w Jos vektorit v ja w eivät ole yhdensuuntaiset, merkitään v w. LM1, Kesä /218

21 Lineaarikombinaatiot Määritelmä Oletetaan, että w R n ja v 1, v 2,..., v k R n. Vektori w on vektoreiden v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset reaaliluvut a 1, a 2,..., a k, että w = a 1 v 1 + a 2 v a k v k. LM1, Kesä /218

22 Lineaarikombinaatiot Esimerkki 3 Merkitään v 1 = (1, 1), v 2 = ( 1, 2) ja w = (5, 1). Vektori w on vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaatio, sillä 3 v 1 2 v 2 = 3(1, 1) 2( 1, 2) = (3, 3) ( 2, 4) = (5, 1) = w. v 1 v 2 3 v 1 2 v 2 w w LM1, Kesä /218

23 Pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! Esimerkki 4 Merkitään ū = (1, 2, 3) ja w = ( 3, 5, 2). Lasketaan ū w: ū w = 1 ( 3) ( 3) 2 = = 1. LM1, Kesä /218

24 Pistetulon ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että v, w, ū R n ja c R. Tällöin (a) v w = w v (vaihdannaisuus) (b) v ( w + ū) = v w + v ū (osittelulaki) (c) (c v) w = c( v w) Huom. Muista, että lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. LM1, Kesä /218

25 Pistetulon ominaisuuksia; kohdan (b) perustelu Oletus: v, w, ū R n. Väite: v ( w + ū) = v w + v ū. Perustelu: Oletuksesta v, w, ū R n seuraa, että v = (v 1,..., v n ), w = (w 1,..., w n ) ja ū = (u 1,..., u n ), missä kaikki komponentit ovat reaalilukuja. Voidaan päätellä v ( w + ū) (1) = (v 1,..., v n ) (w 1 + u 1, w 2 + u 2,..., w n + u n ) (2) = (v 1 (w 1 + u 1 ), v 2 (w 2 + u 2 ),..., v n (w n + u n )) (3) = (v 1 w 1 + v 1 u 1, v 2 w 2 + v 2 u 2,..., v n w n + v n u n ) (1) = (v 1 w 1, v 2 w 2,..., v n w n ) + (v 1 u 1, v 2 u 2,..., v n u n ) (2) = v w + v ū LM1, Kesä /218

26 Pistetulon ominaisuuksia; kohdan (b) perustelu Selityksiä: (1) vektorien yhteenlaskun määritelmä; (2) pistetulon määritelmä; (3) reaalilukujen laskusäännöt (osittelulaki). LM1, Kesä /218

27 Vektorin pistetulo itsensä kanssa Lause 3 Oletetaan, että v R n. Tällöin (a) v v 0. (b) v v = 0, jos ja vain jos v = 0. Perustelun ideat: (a) v v = v1 2 + v v n = 0. (b) Jos v v = 0, niin v1 2 + v v n 2 = 0. Tästä seuraa, että v 1 = 0 ja v 2 = 0 ja... ja v n = 0 (huomaa, että jokainen yhteenlaskettava vi 2 0). Siten v = (0, 0,..., 0) = 0. Jos v = 0, niin v v = = 0. LM1, Kesä /218

28 Määritelmä Vektorin v R n normi on Huom. Vektorin normi (eli pituus) v = v v. Jos v = (v 1, v 2,..., v n ), niin v = v v v 2 n. Normin määritelmästä seuraa, että v 2 = v v. v v v LM1, Kesä /218

29 Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) = 13. w = v = LM1, Kesä /218

30 Normin ominaisuuksia I Lause 4 Oletetaan, että v R n. Tällöin v = 0, jos ja vain jos v = 0. Perustelun idea lausetta 3 hyödyntäen: v = 0 v 2 = 0 v v = 0 v = 0. LM1, Kesä /218

31 Normin ominaisuuksia I Lause 5 Oletetaan, että v R n ja c R. Tällöin c v = c v. Perustelun idea lausetta 2 hyödyntäen: c v 2 = (c v) (c v) = c 2 ( v v) = c 2 v 2, joten c v = ±c v. Normit epänegatiivisia, joten c v = c v. LM1, Kesä /218

32 Yksikkövektorit Määritelmä Vektori ū R n on yksikkövektori, jos sen normi (eli pituus) on 1; ts. ū = 1. Huom. Tuttuja yksikkövektoreita avaruuden R 2 vektorit ī = (1, 0) ja j = (0, 1); avaruuden R 3 vektorit ī = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). j ī LM1, Kesä /218

33 Yksikkövektorit Lause 6 Vektorin v R n { 0} suuntainen yksikkövektori on 1 v v. v v = v 1 5 v = 1 Voit perustella tämän hyödyntäen lausetta 5. LM1, Kesä /218

34 Vektoreiden välinen etäisyys Määritelmä Oletetaan, että v, w R n. Vektorien v ja w välinen etäisyys on d( v, w) = v w. Kaksi näkökulmaa: v v w v 2 w 2 v w v w v 1 w 1 w LM1, Kesä /218

35 Lause 7 (Schwarzin epäyhtälö) Normin ominaisuuksia II Oletetaan, että v R n ja w R n. Tällöin v w v w. Lause 8 (Kolmioepäyhtälö) Oletetaan, että v R n ja w R n. Tällöin v + w v + w. v + w w v LM1, Kesä /218

36 Vektorien välinen kulma Schwarzin epäyhtälöstä saadaan Lemma 9 Oletetaan, että v R n \ { 0} ja w R n \ { 0}. Tällöin 1 v w v w 1. LM1, Kesä /218

37 Määritelmä Vektorien välinen kulma Vektorien v R n \ { 0} ja w R n \ { 0} välinen kulma on se kulma α, jolle pätee 0 α 180 ja cos α = v w v w. Vektorit v R n ja w R n ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos v w = 0. Tällöin merkitään v w. w v LM1, Kesä /218

38 Havainnollistuksia: Kosinilauseen mukaan alla olevassa kolmiossa w v 2 = v 2 + w 2 2 v w cos α. w w v v Toisaalta normin määritelmän nojalla w v 2 = ( w v) ( w v) =... = v 2 + w 2 2( v w). Siten cos α = v w v w. LM1, Kesä /218

39 Lause 10 (Pythagoraan lause) Oletetaan, että v R n ja w R n. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset (eli kohtisuorassa toisiaan vastaan), jos ja vain jos v + w 2 = v 2 + w 2. v + w w v LM1, Kesä /218

40 Määritelmä Projektio Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Oletetaan, että v, w R n ja w 0. Vektorin v projektio vektorin w määräämälle suoralle on proj w ( v) = v w w w w. v proj w ( v) w LM1, Kesä /218

41 Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1, Kesä /218

42 Olkoon S avaruuden R n suora (n = 2). Tämä tarkoittaa, että missä p, v R n ja v 0. S = { p + t v t R}, Oletetaan, että a, b R. Jos (a, b) S, niin sanotaan, että piste (a, b) on suoralla S tai että suora S kulkee pisteen (a, b) kautta. t v (a, b) p Vastaavasti avaruudessa R 3. LM1, Kesä /218

43 Huom. Sama suora voidaan kirjoittaa joukkona { p + t v t R} usealla eri tavalla: vektoriksi p voidaan valita suoran minkä tahansa pisteen paikkavektori; vektoriksi v voidaan valita mikä tahansa suoran suuntainen vektori. v v p p LM1, Kesä /218

44 Esimerkki 5 (a) Määritä pisteiden A = (2, 3, 5) ja B = (4, 1, 7) kautta kulkeva suora S. (b) Määritä pisteen C = (4, 1, 9) etäisyys suorasta S. C B A LM1, Kesä /218

45 (a) Suoran jonkin pisteen paikkavektori; esim. OA = (2, 3, 5). Jokin suoran suuntainen vektori; esim. Näin AB = OB OA = (2, 4, 2). S = { OA + t AB t R } = { (2, 3, 5) + t(2, 4, 2) t R }. LM1, Kesä /218

46 Pisteen etäisyys suorasta Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Pisteen Q etäisyys suorasta S = { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0, saadaan projektion avulla: Q ā proj v (ā) v ā P proj v (ā) LM1, Kesä /218

47 (b) Vektori jostakin suoran pisteestä tutkittavaan pisteeseen; esim. AC = OC OA = (2, 2, 4). Jokin suoran suuntainen vektori; esim. AB = (2, 4, 2). Vektorin AC projektio suoralle S: Erotus proj AB ( AC) = AC AB AB AB AB = 20 AB = 5 AB AC proj AB ( AC) = AC 5 AB = (2, 2, 4) 5 (2, 4, 2) 6 Erotuksen normi = 1 6 (12 10, 12 20, 24 10) = 1 (1, 4, 7). 3 AC proj AB ( AC) = 1 3 (1, 4, 7) = = LM1, Kesä /218

48 Taso Määritelmä Avaruuden R 3 taso on joukko { p + s w + t v s, t R}, missä p, w, v R 3, w 0 v ja w v. Tässä p on tason jonkin pisteen paikkavektori ja v sekä w ovat kaksi tason suuntaista vektoria. w v p O LM1, Kesä /218

49 Olkoon T avaruuden R 3 taso. Tämä tarkoittaa, että T = { p + s w + t v s, t R}, missä p, w, v R 3, w 0 v ja w v. Oletetaan, että a, b, c R. Jos (a, b, c) T, niin sanotaan, että piste (a, b, c) on tasossa T tai että taso T kulkee pisteen (a, b, c) kautta. t v s w (a, b, c) p O LM1, Kesä /218

50 Huom. Sama taso voidaan kirjoittaa joukkona { p + s w + t v s, t R} usealla eri tavalla: vektoriksi p voidaan valita tason minkä tahansa pisteen paikkavektori; vektoreiksi w ja v voidaan valita mitkä tahansa tason suuntaisen vektorit, kunhan w v. w v w v p O p O LM1, Kesä /218

51 Esimerkki 6 Määritä pisteiden A = (0, 1, 0), B = ( 1, 3, 2) ja C = ( 2, 0, 1) kautta kulkeva taso T. C A B LM1, Kesä /218

52 Tason jonkin pisteen paikkavektori; esim. OA = (0, 1, 0). Jotkin tason suuntaiset vektorit; esim. AB = OB OA = ( 1, 2, 2) ja AC = OC OA = ( 2, 1, 1). Huomaa, että nämä eivät ole yhdensuuntaiset; ts. AB t AC kaikilla t R {0}. Näin T = { OA + s AB + t AC s, t R } = { (0, 1, 0) + s( 1, 2, 2) + t( 2, 1, 1) s, t R }. LM1, Kesä /218

53 Määritelmä Ristitulo Oletetaan, että v, w R 3. Vektorien v = (v 1, v 2, v 3 ) ja w = (w 1, w 2, w 3 ) ristitulo on vektori v w = (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 ). Muistisääntö ristitulon laskemiseen: yhtenäisellä viivalla yhdistettyjen komponenttien tulosta vähennetään katkoviivalla yhdistettyjen komponenttien tulo. v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 LM1, Kesä /218

54 Ristitulo Esimerkki 7 Merkitään ā = (2, 1, 2) ja b = (3, 1, 3). Lasketaan ā b. ā b = ( 3 ( 2), 6 ( 6), 2 3) = ( 1, 12, 5) LM1, Kesä /218

55 Ristitulon ominaisuuksia Lause 11 Oletetaan, että ū, v, w R 3 ja c R. Tällöin (a) v w = ( w v) (antikommutointi) (b) ū ( v + w) = ū v + ū w (osittelulaki) (c) ( v + w) ū = v ū + w ū (osittelulaki) (d) c( v w) = (c v) w = v (c w) (e) v v = 0 (f) 0 v = 0 ja v 0 = 0 (g) ū ( v w) = (ū v) w Paina mieleesi erikoiset ominaisuudet (a), (e) ja (g)! v w w v LM1, Kesä /218

56 Ristitulon ominaisuuksia Lause 12 Oletetaan, että ū, v, w R 3. Tällöin (h) (ū v) w = (ū w) v ( v w)ū (i) ū ( v w) = (ū w) v (ū v) w (j) v w 2 = v 2 w 2 ( v w) 2 (Lagrangen identiteetti) Lagrangen identiteetti voidaan perustella kohtien (g) ja (h) avulla. Muut kohdat lauseissa 11 ja 12 voidaan perustella ristitulon määritelmään nojautuen. LM1, Kesä /218

57 Ristitulon ominaisuuksia Lause 13 Oletetaan, että v, w R 3. Tällöin (a) ( v w) v ja ( v w) w; v w (b) jos v 0 ja w 0, niin v w = v w sin α, missä α on vektorien v ja w välinen kulma. w v w sin Ristitulovektorin v w pituus on yhtä suuri kuin vektorien v ja w määräämän suunnikkaan ala! LM1, Kesä /218

58 Suuntaissärmiön tilavuus Suuntaissärmiön tilavuus on pohjan pinta-alan v w ja korkeuden h tulo. cos β = cos(180 β), joten h = ū cos β. Siis tilavuus on v w ū cos β = v w ū cos β = ( v w) ū h ū v v w w Tilavuus on ns. skalaarikolmitulon itseisarvo! LM1, Kesä /218

59 Pisteen etäisyys tasosta Pisteen Q etäisyys tasosta T saadaan ristitulon ja projektion avulla: v w P proj v w (ā) w ā v Q LM1, Kesä /218

60 Tason normaalimuotoinen yhtälö Piste Q = (x, y, z) on tasossa T, jos ja vain jos n ( q p) = 0, missä n on jokin tasoa T vastaan kohtisuora vektori (ns. tason T normaali). n q p Q P p q Huom. jos T = { p + s w + t v s, t R}, voidaan valita n = v w. O LM1, Kesä /218

61 Tason normaalimuotoinen yhtälö Esimerkki 8 Merkitään A = (0, 1, 0), B = ( 1, 3, 2) ja C = ( 2, 0, 1). Taso T kulkee pisteiden A, B ja C kautta. Määritä (a) tason T normaalimuotoinen yhtälö; (b) pisteen D = (1, 2, 3) etäisyys tasosta T. D C A B LM1, Kesä /218

62 (a) Jokin tason normaali; esim. tason suuntaisten vektoreiden AB = ( 1, 2, 2) ja AC = ( 2, 1, 1) ristitulo AB AC = (4, 3, 5). Vektori jostakin tason pisteestä pisteeseen Q = (x, y, z); esim. AQ = OQ OA = (x, y 1, z). Tason normaalimuotoinen yhtälö on näin ( AB AC) AQ = 0 eli (4, 3, 5) (x, y 1, z) = 0 4x 3(y 1) + 5z = 0 4x 3y + 5z + 3 = 0. LM1, Kesä /218

63 (b) Jokin tason normaali; esim. tason suuntaisten vektoreiden AB = ( 1, 2, 2) ja AC = ( 2, 1, 1) ristitulo AB AC = (4, 3, 5). Vektori jostakin tason pisteestä pisteeseen D = (1, 2, 3); esim. AD = OD OA = (1, 1, 3). Vektorin AD projektio normaalin n = AB AC määräämälle suoralle proj n ( AD n 16 8 AD) = n = (4, 3, 5) = (4, 3, 5). n n Projektion normi eli pituus proj n ( AD) = 8 25 (4, 3, 5) = = = LM1, Kesä /218

64 Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden joukkoa; ts. span( v 1, v 2,... v k ) = { a 1 v 1 + a 2 v a k v k a 1,..., a k R }. LM1, Kesä /218

65 Yhden vektorin virittämä aliavaruus Oletetaan, että n = 2 tai n = 3 ja v R n. Jos v = 0, niin vektorin v virittämä aliavaruus on span( 0) = { t 0 t R } = { 0} eli joukko, johon kuuluu ainoastaan nollavektori (origo). span( 0) LM1, Kesä /218

66 Yhden vektorin virittämä aliavaruus Jos v 0, niin vektorin v virittämä aliavaruus on span( v) = { t v t R } = { 0 + t v t R } eli origon kautta kulkeva suora. span( v) LM1, Kesä /218

67 Kahden vektorin virittämä aliavaruus Oletetaan, että v, w R 3. Jos w 0 v ja w v, niin vektoreiden v ja w virittämä aliavaruus on span( v, w) = { s v + t w s, t R } = { 0 + s v + t w s, t R } eli origon kautta kulkeva taso. Huom. jos oletukset w 0 v ja w v eivät ole voimassa, niin span( v, w) on suora tai origon yksiö. LM1, Kesä /218

68 Vektoreiden virittämän aliavaruuden ominaisuuksia Lause 14 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n. Tällöin (a) jos ū, w span( v 1,..., v k ), niin ū + w span( v 1,..., v k ). (b) jos w span( v 1,..., v k ) ja a R, niin a w span( v 1,..., v k ). (c) 0 span( v 1,..., v k ). LM1, Kesä /218

69 Lauseen 14 perustelu: (a) Oletetaan, että ū, w span( v 1,..., v k ). Tällöin ū = a 1 v a k v k ja w = c 1 v c k v k joillakin reaaliluvuilla a 1,..., a k ja c 1,..., c k. Näin ū + w = (a 1 v a k v k ) + (c 1 v c k v k ) = (a 1 + c 1 ) v (a k + c k ) v k, missä kertoimet a 1 + c 1,..., a k + c k R. Siis ū + w on vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaatio; ts. ū + w span( v 1,..., v k ). (c) Nollavektori voidaan kirjoittaa muodossa Siis 0 span( v 1,..., v k ). 0 = 0 v v v k. LM1, Kesä /218

70 Vektoreiden virittämä aliavaruus Esimerkki 9 Selvitä, kuuluuko vektori w = (6, 3, 2, 1) vektoreiden v 1 = (0, 1, 2, 1), v 2 = (2, 0, 1, 1) ja v 3 = (4, 2, 2, 0) virittämään aliavaruuteen span( v 1, v 2, v 3 ). Toisin sanottuna selvitä, onko vektori w vektoreiden v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio. Ts. selvitä, onko yhtälöllä x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = w eli yhtälöllä x 1 (0, 1, 2, 1) + x 2 (2, 0, 1, 1) + x 3 (4, 2, 2, 0) = ( 2, 3, 2, 1) ratkaisuja reaalilukujen joukossa. LM1, Kesä /218

71 Päädytään lineaariseen yhtälöryhmään 2x 2 + 4x 3 = 6 x 1 + 2x 3 = 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 x 1 x 2 = 1, joka voidaan ratkaista Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmällä. LM1, Kesä /218

72 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Esimerkki 10 Muodostetaan lineaarisen yhtälöryhmän 2x 2 + 4x 3 = 6 x 1 + 2x 3 = 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 x 1 x 2 = 1, täydennetty matriisi kokoamalla kaikki kertoimet ja vakiot taulukkoon: LM1, Kesä /218

73 Muunnetaan tämä matriisi alkeisrivitoimituksia käyttäen redusoiduksi porrasmatriisiksi. Teet alkeisrivitoimituksen, jos I. vaihdat matriisin kaksi riviä keskenään; II. kerrot rivin jollakin nollasta poikkeavalla reaaliluvulla; III. lisäät johonkin riviin jokin toisen rivin reaaliluvulla kerrottuna; / / / LM1, Kesä /218

74 Redusoidusta porrasmatriisista ratkaisut on helppo lukea: matriisia / / / vastaa yhtälöryhmä x 1 = 1/2 x 2 = 1/2 x 3 = 5/4 0 = 0, jossa alin yhtälö on aina tosi. LM1, Kesä /218

75 Miten tunnistan redusoidun porrasmatriisin? Ensinnäkin se on porrasmatriisi eli nollarivit ovat alimpina, jos niitä on; jokaisella rivillä ensimmäinen nollasta poikkeava alkio (eli johtava alkio) on ylemmän rivin johtavan alkion oikealla puolella. Esimerkki porrasmatriisista: LM1, Kesä /218

76 Miten tunnistan redusoidun porrasmatriisin? Se on porrasmatriisi. Jokaisen rivin johtava alkio on 1. Jokainen johtava alkio on sarakkeensa ainoa nollasta poikkeava alkio. Esimerkki redusoidusta porrasmatriisista: 0 1 3/ / / LM1, Kesä /218

77 Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmän perusta Voidaan osoittaa, että jos lineaarisen yhtälöryhmän täydennettyä matriisia muokataan alkeisrivitoimituksilla, niin näin saatua uutta matriisia vastaavalla yhtälöryhmällä on täsmälleen samat ratkaisut kuin alkuperäisellä yhtälöryhmällä. a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2.. a m1 a m2... a mn b m alkeisrivi- toimituksia c 11 c c 1n d 1 c 21 c c 2n d 2.. c m1 c m2... c mn d m a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2. =.. a m1 x a mnx n = b m samat ratkaisut c 11 x c 1n x n = d 1 c 21 x c 2n x n = d 2. =.. c m1 x c mnx n = d m LM1, Kesä /218

78 Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmä Kirjoita yhtälöryhmän täydennetty matriisi. Muuta se alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi. Ohjeita: porrasmatriisia muodostetaan vasemmalta oikealle ja ylhäältä alaspäin; johtavat alkiot kannattaa useimmiten muuttaa ykkösiksi; johtavien alkioiden avulla muutetaan niiden alapuolella olevat alkiot nolliksi. Muuta porrasmatriisi redusoiduksi porrasmatriisiksi. Ohjeita: redusoitua porrasmatriisia muodostetaan oikealta vasemmalle ja alhaalta ylöspäin; johtavien alkioiden avulla muutetaan niiden yläpuolella olevat alkiot nolliksi. Lue ratkaisut redusoidusta porrasmatriisista. Tee alkeisrivitoimitukset yksi kerrallaan! LM1, Kesä /218

79 Esimerkki 11 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = r 1 + r r 3 4r r 2 3r r 2 / LM1, Kesä /218

80 r 3 4r r 1 + 3r Vastaava yhtälöryhmä on x = 4 y = 2 0 = 0. Alin yhtälö on aina tosi, joten yhtälöryhmän ratkaisu on x = 4 ja y = 2. LM1, Kesä /218

81 Esimerkki 12 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä { x + 2y + z = 8 3x 6y 3z = 21. [ ] r 2 + 3r 1 [ ] Vastaava yhtälöryhmä on { x + 2y + z = 8 0 = 3. Alin yhtälö on aina epätosi, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. LM1, Kesä /218

82 Esimerkki 13 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x 1 + 3x 2 15x 3 = 9 x 1 2x 3 = 1 2x 1 x 2 x 3 = r 1 / r 3 2r r 2 r r LM1, Kesä /218

83 r 3 + 3r r 1 r Alinta riviä vastaava yhtälö 0 = 0 on aina tosi. Tuntematonta x 3 vastaavassa sarakkeessa ei ole johtavaa alkiota, joten se on ns. vapaa muuttuja. Merkitään x 3 = t, missä t R. Ratkaistaan muut tuntemattomat: x 1 2t = 1 { x1 = 1 + 2t x 2 t = 2 t R. x 2 = 2 + t, 0 = 0 LM1, Kesä /218

84 Esimerkki 14 Lineaarisen yhtälöryhmän täydennetty matriisi muutettiin alkeisrivitoimituksilla redusoiduksi porrasmatriisiksi: Mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Havaitaan, että johtavat alkiot (rivien ensimmäiset nollasta poikkeavat alkiot) ovat sarakkeissa 1, 3 ja 6. Muita sarakkeita vastaavat tuntemattomat x 2, x 4 ja x 5 ovat vapaita muuttujia. Merkitään x 2 = r, x 4 = s ja x 5 = t, missä r, s, t R. LM1, Kesä /218

85 Yhtälöryhmä on tällöin x 1 + 3r + 4s = 0 x 3 + 2s = 0 x 6 = 3 x 1 = 3r 4s x 3 = 2s x 6 = 3. Ratkaisu on siis x 1 = 3r 4s x 2 = r x 3 = 2s x 4 = s x 5 = t x 6 = 3, r, s, t R. LM1, Kesä /218

86 Esimerkki 15 Tarkastellaan yhtälöryhmää x + y + kz = 1 x + ky + z = 1 kx + y + z = 2. Määritä ne reaaliluvut k, joilla tällä yhtälöryhmällä (a) ei ole ratkaisua; (b) on tasan yksi ratkaisu; (c) on äärettömän paljon ratkaisuja. LM1, Kesä /218

87 1 1 k k 1 1 k 1 1 r 2 r 1 0 k 1 1 k 0 k k r 3 kr k 1 0 k 1 1 k k 1 k 2 2 k r 3 + r k 1 0 k 1 1 k 0 r 2 /(k 1) k k 2 2 k Oletus: k k k k 2 2 k LM1, Kesä /218

88 Oletus: k 1 0 eli k 1. Alimman rivin johtavassa alkiossa esiintyy k, joten tarkastellaan eri tapaukset. Jos kerroin 2 k k 2 = 0 eli k = 2 (tai k = 1) on periaatteessa kaksi mahdollisuutta: Jos myös vakio 2 k = 0 eli k = 2, niin yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua. Alinta riviä nimittäin vastaa yhtälö 0 = 0 ja x 3 on vapaa muuttuja. Jos vakio 2 k 0 eli k 2, ei nyt voida päätellä mitään, koska on mahdotonta, että yhtä aikaa k = 2 ja k 2. Jos kerroin 2 k k 2 0 eli k 2 ja k 1, niin saadaan ratkaistua x 3 = ( 2 k)/(2 k k 2 ) ja ylemmistä yhtälöistä saadaan muut tuntemattomat. Yhtälöryhmällä on tasan yksi ratkaisu. LM1, Kesä /218

89 Tapaus k 1 = 0 eli k = 1. Yhtälöryhmä on tällöin x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 2. Ylin ja alin yhtälö ovat keskenään ristiriitaiset, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Yhteenveto: (a) ei ratkaisua, jos ja vain jos k = 1; (b) tasan yksi ratkaisu, jos ja vain jos k 2 ja k 1; (c) äärettömän monta ratkaisua, jos ja vain jos k = 2. LM1, Kesä /218

90 Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 16 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään aliavaruuteen span( v 1, v 2, v 3 )? Toisin sanottuna: Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w on vektoreiden v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatio? LM1, Kesä /218

91 Tarkastellaan yhtälöä x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = w eli yhtälöä x 1 (3, 2, 1) + x 2 (2, 2, 6) + x 3 (3, 4, 5) = (w 1, w 2, w 3 ). Muokataan vastaavan yhtälöryhmän täydennetty matriisi porrasmatriisiksi: w 1 ( 1) r w w w 2 r 2 2r w w w w 2 + 2w w 1 r 3 3r w w 2 + 2w w 1 + 3w 3 r 3 2r 2 r 1 LM1, Kesä /218

92 1 6 5 w w 2 + 2w 3 r 2 / w 1 + 3w 3 2(w 2 + 2w 3 ) w /5 (w 2 + 2w 3 )/ w 1 2w 2 w 3 Havaitaan, että yhtälöryhmällä on ratkaisuja, jos ja vain jos w 1 2w 2 w 3 = 0. Siten span( v 1, v 2, v 3 ) = { w R 3 w 1 2w 2 w 3 = 0 } = { (x, y, z) R 3 x 2y z = 0 } eli origon kautta kulkeva taso, jonka yksi normaali on (1, 2, 1). LM1, Kesä /218

93 Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 17 Merkitään ī = (1, 0) ja j = (0, 1). Osoita, että span(ī, j) = R 2. Toisin sanottuna: osoita, että jokainen avaruuden R 2 vektori voidaan esittää vektoreiden ī ja j lineaarikombinaationa. j ī LM1, Kesä /218

94 Oletetaan, että w R 2. Tällöin w = (w 1, w 2 ) joillakin reaaliluvuilla w 1 ja w 2. Huomataan, että w 1 ī + w 2 j = w 1 (1, 0) + w 2 (0, 1) = (w 1, 0) + (0, w 2 ) = (w 1, w 2 ) = w. Siis w voidaan kirjoittaa vektoreiden ī ja j lineaarikombinaationa eli w span(ī, j). Näin on osoitettu, että R 2 span(ī, j). Toinen suunta span(ī, j) R 2 on selvä, koska jokainen vektoreiden ī, j R 2 lineaarikombinaatio kuuluu avaruuteen R 2. LM1, Kesä /218

95 Vektoreiden virittämä aliavaruus Esimerkki 18 Onko totta, että span( v 1, v 2, v 3, v 4 ) = R 3, jos (a) v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 0, 1), v 3 = (0, 1, 1) ja v 4 = ( 2, 1, 1)? (b) v 1 = (1, 1, 0), v 2 = ( 1, 0, 1), v 3 = (0, 1, 1) ja v 4 = (2, 1, 1)? Kielteisessä tapauksessa määritä span( v 1, v 2, v 3, v 4 ). Myönteisessä tapauksessa tutki, kuinka monella tavalla vektori w = (w 1, w 2, w 3 ) voidaan esittää vektoreiden v 1, v 2, v 3 ja v 4 lineaarikombinaationa. LM1, Kesä /218

96 (a) Tarkastellaan yhtälöä x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 + x 4 v 4 = w. Muokataan vastaavan yhtälöryhmän täydennetty matriisi joksikin porrasmatriisiksi: w w w w w 1 w (w 3 + w 2 w 1 )/2 Havaitaan, että yhtälöryhmällä on aina ratkaisu; itseasiassa niitä on äärettömän monta, koska x 4 on vapaa muuttuja. Siis span( v 1, v 2, v 3, v 4 ) = R 3 ja jokainen avaruuden R 3 vektori voidaan esittää äärettömän monella tavalla vektoreiden v 1, v 2, v 3 ja v 4 lineaarikombinaationa. LM1, Kesä /218

97 (b) Tarkastellaan yhtälöä x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 + x 4 v 4 = w. Muokataan vastaavan yhtälöryhmän täydennetty matriisi joksikin porrasmatriisiksi: w w w w w 1 w w 1 + w 2 + w 3. Havaitaan, että yhtälöryhmällä on ratkaisu, jos ja vain jos w 1 + w 2 + w 3 = 0. Siten span( v 1, v 2, v 3, v 4 ) = { w R 3 w 1 + w 2 + w 3 = 0 } = { (x, y, z) R 3 x + y + z = 0 } eli origon kautta kulkeva taso, jonka yksi normaali on (1, 1, 1). LM1, Kesä /218

98 Jos w 1 + w 2 + w 3 = 0, niin vektori w voidaan esittää vektoreiden v 1, v 2, v 3 ja v 4 lineaarikombinaationa äärettömän monella tavalla, sillä x 3 ja x 4 ovat vapaita muuttujia. Erityisesti voidaan valita x 3 = 0 ja x 4 = 0 ja saadaan esitys w = w 2 v 1 + ( w 1 w 2 ) v 2. Näin ollen span( v 1, v 2, v 3, v 4 ) = span( v 1, v 2 ). LM1, Kesä /218

99 Havaintoja Edellisen esimerkin perusteella: Joskus osajono virittää saman aliavaruuden kuin alkuperäinen virittäjäjono ( v 1,..., v k ). Joskus aliavaruuden span( v 1,..., v k ) vektorit voidaan esittää usealla eri tavalla virittäjävektorien lineaarikombinaatioina. Miten löytää virittäjäjono, jossa ei ole turhia vektoreita? Miten löytää sellainen virittäjäjono, että kaikki aliavaruuden vektorit voidaan esittää tasan yhdellä tavalla virittäjävektorien lineaarikombinaatioina? LM1, Kesä /218

100 Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Jos jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, sanotaa, että vektorit v 1, v 2,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia. Jos jono ei ole vapaa, sanotaan, että se on sidottu. LM1, Kesä /218

101 Esimerkki 19 Merkitään v 1 = (1, 2) ja v 2 = ( 3, 1). Onko jono ( v 1, v 2 ) vapaa vai sidottu? v 1 v 2 LM1, Kesä /218

102 Oletetaan, että c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0 joillakin reaaliluvuilla c 1 ja c 2. Tällöin c 1 (1, 2) + c 2 ( 3, 1) = (0, 0) eli komponentteittain: { c1 3c 2 = 0 2c 1 c 2 = 0. Ratkaistaan tästä c 1 ja c 2 : [ ] [ ] r 2 2r r 2 /5 [ ] [ ] r1 + 3r Ainoa ratkaisu on c 1 = 0 ja c 2 = 0. Jono ( v 1, v 2 ) on vapaa. LM1, Kesä /218

103 Esimerkki 20 Merkitään v 1 = (1, 2), v 2 = ( 3, 1) ja v 3 = ( 1, 1). Onko jono ( v 1, v 2, v 3 ) vapaa vai sidottu? v 3 v 1 v 2 LM1, Kesä /218

104 Oletetaan, että c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = 0 joillakin c 1, c 2, c 3 R. Tällöin c 1 (1, 2) + c 2 ( 3, 1) + c 3 ( 1, 1) = (0, 0) eli komponentteittain: { c1 3c 2 c 3 = 0 2c 1 c 2 + c 3 = 0. Ratkaistaan tästä c 1 ja c 2 : [ ] [ ] r 2 2r r 2 /5 [ ] [ ] r1 + 3r / / /5 0 Voidaan valita esimerkiksi c 3 = 5, jolloin c 2 = 3 ja c 1 = 4. Näin 4 v 1 3 v v 3 = 0. Jono ( v 1, v 2, v 3 ) on sidottu. LM1, Kesä /218

105 5 v 3 4 v 1 3 v 2 4 v 1 3 v v 3 = 0 LM1, Kesä /218

106 Esimerkki 21 Merkitään w 1 = (2, 1) ja w 2 = ( 4, 2). Onko jono ( w 1, w 2 ) vapaa vai sidottu? w 1 w 2 Esimerkiksi 2 w 1 + w 2 = 0, joten jono ( w 1, w 2 ) on sidottu. LM1, Kesä /218

107 Vähintään kahdesta vektorista muodostuva vektorijono on sidottu, jos ja vain jos jokin sen vektoreista voidaan ilmaista toisten lineaarikombinaationa: Lause 15 Oletetaan, että v 1,..., v k R n, missä k 2 ja n {1, 2,...}. (a) Jono ( v 1 ) on sidottu, jos ja vain jos v = 0. (b) Jono ( v 1,..., v k ) on sidottu, jos ja vain jos v i span( v 1,..., v i 1, v i+1,..., v k ) jollakin i {1,..., k}. LM1, Kesä /218

108 Perustelu: (a) Tarkastellaan eri mahdollisuudet: Jos v 1 = 0, niin esim. 8 v 1 = 8 0 = 0. Siis jono ( v 1 ) on sidottu. Jos v 1 0, niin t v 1 = 0 t = 0. Siis jono ( v 1 ) on vapaa. Havaitaan, että jono ( v 1 ) on sidottu, jos ja vain jos v 1 = 0. (b) : Oletetaan, että jono ( v 1,..., v k ) on sidottu. Tällöin c 1 v c k v k = 0, missä ainakin yksi kertoimista c i 0. Oletetaan, että esim. c 2 0. Tällöin c 2 v 2 = c 1 v 1 c 3 v 3 c k v k ja v 2 = c 1 v 1 + c 3 c 2 c 2 v c k c 2 v k. Tässä jokainen c i /c 2 R, joten v 2 span( v 1, v 3,..., v k ). LM1, Kesä /218

109 : Oletetaan, että esimerkiksi v 3 span( v 1, v 2, v 4,..., v k ). Tällöin v 3 = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 4 v a k v k joillakin reaaliluvuilla a 1, a 2, a 4,..., a k. Siten 0 = a 1 v 1 + a 2 v 2 v 3 + a 4 v a k v k. Tässä ainakin vektorin v 3 kerroin 1 0, joten jono ( v 1,..., v k ) on sidottu. LM1, Kesä /218

110 Esimerkki 22 Merkitään v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 2) ja v 4 = (3, 1, 0). Tällöin esimerkiksi 2 v 1 + v v 3 v 4 = 0, joten jono ( v 1, v 2, v 3, v 4 ) on sidottu. Lisäksi esimerkiksi v 2 = 2 v v 3 + v 4 mutta v 3 a v 1 + b v 2 + c v 4 kaikilla a, b, c R. LM1, Kesä /218

111 Lause 16 Vapaan jonon osajono on vapaa. Huom. Osajono tarkoittaa jonoa, joka saadaan jättämällä alkuperäisestä jonosta pois yksi tai useampia vektoreita. Myös alkuperäinen jono sellaisenaan on yksi osajono. Lauseista 16 ja 15 seuraa, että vapaassa jonossa ( v 1, v 2,..., v k ) ei ole nollavektoria; jokainen vektori esiintyy vain kerran; v i v j kaikilla i j. LM1, Kesä /218

112 Lauseen 16 perustelun idea: Oletetaan, että v 1,..., v 5 R n ja jono ( v 1,..., v 5 ) on vapaa. Osoitetaan, että sen osajono ( v 2, v 4, v 5 ) on vapaa. Tarkastellaan yhtälöä x v 2 + y v 4 + z v 5 = 0: x v 2 + y v 4 + z v 5 = 0 0 v 1 + x v v 3 + y v 4 + z v 5 = 0 Oletuksen mukaan jono ( v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) on vapaa, joten oikeanpuoleinen yhtälö toteutuu vain, jos kaikki kertoimet ovat nollia. Tästä seuraa, että vasemmanpuoleisen yhtälön ainoa ratkaisu on x = 0, y = 0 ja z = 0. Siis jono ( v 2, v 4, v 5 ) on vapaa. LM1, Kesä /218

113 Jos virittäjäjono on vapaa, niin kaikki aliavaruuden vektorit voidaan esittää tasan yhdellä tavalla virittäjävektorien lineaarikombinaatioina: Lause 17 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,...}. Jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden span( v 1, v 2,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaationa. LM1, Kesä /218

114 Perustelu: : Oletetaan, että jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. Oletetaan, että w span( v 1, v 2,..., v k ). Tämä tarkoittaa, että w voidaan kirjoittaa ainakin yhdellä tavalla vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Oletetaan nyt, että w = a 1 v a k v k ja w = b 1 v b k v k joillakin a 1,..., a k, b 1,..., b k R. Tällöin a 1 v a k v k = b 1 v b k v k, joten a 1 v a k v k (b 1 v b k v k ) = 0 ja edelleen (a 1 b 1 ) v (a k b k ) v k = 0. Jono ( v 1,..., v k ) on oletuksen mukaan vapaa, joten viimeisestä yhtälöstä seuraa, että a 1 b 1 = 0, a 2 b 2 = 0,..., a k b k = 0. Siten a 1 = b 1,..., a k = b k. Näin ollen vektoria w ei voida kirjoittaa lineaarikombinaationa usealla eri tavalla. LM1, Kesä /218

115 : Oletetaan, että jokainen aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Osoitetaan, että jono ( v 1,..., v k ) on vapaa. Sitä varten oletetaan, että luvut c 1,..., c k R ovat sellaisia, että c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0. Koska vektori 0 on aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio, se voidaan kirjoittaa vektorien lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla. Tiedetään, että 0 v v v k = 0, joten täytyy päteä c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Siten jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM1, Kesä /218

116 Homogeeniset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarinen yhtälöryhmä, jonka kaikki vakiot ovat 0, on nimeltään homogeeninen yhtälöryhmä. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0. =. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Huom. Homogeenisella yhtälöryhmällä on aina ainakin yksi ratkaisu: x 1 = 0, x 2 = 0,..., x n = 0. LM1, Kesä /218

117 Lause 18 Jos homogeenisessa yhtälöryhmässä tuntemattomien määrä n on suurempi kuin yhtälöiden määrä m, niin homogeenisella yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Esim. n = 5 ja m = 3: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 34 x 4 + a 25 x 5 = 0 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 = 0 Homogeenisella yhtälöryhmällä on ainakin yksi ratkaisu. Johtavia alkioita enintään yksi joka rivillä; siis enintään m kpl. Vapaita muuttujia on ainakin yksi, koska tuntemattomien määrä n > m; ts. yhtälöryhmän matriisissa on ainakin yksi sarake, jossa ei ole johtavaa alkiota! LM1, Kesä /218

118 Lause 19 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v m R n, missä n {1, 2,...}. Jos m > n, niin jono ( v 1, v 2,..., v m ) on sidottu. Huom. Merkitsemällä v k = (v 1k, v 2k,..., v nk ) kaikilla k {1,..., m} saadaan yhtälöä x 1 v 1 + x 2 v x m v m = 0 vastaavaksi matriisiksi v 11 x 1 + v 12 x v 1n x m = 0 v 21 x 1 + v 22 x v 2n x m = 0. =. v n1 x 1 + v n2 x v nm x m = 0. LM1, Kesä /218

119 Huom. Jos homogeenisessa yhtälöryhmässä tuntemattomien määrä n on pienempi tai yhtä suuri kuin yhtälöiden määrä m, ei lausetta 18 voi käyttää. Ratkaisuja voi olla yksi (x 1 = 0,..., x n = 0) tai äärettömän monta. Esim. n = 2 ja m = 4: a 11 x 1 + a 12 x 2 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 = 0 a 31 x 1 + a 32 x 2 = 0 a 41 x 1 + a 42 x 2 = 0 LM1, Kesä /218

120 Esimerkki 23 Oletetaan, että v 1, v 2, v 3 R n, missä n {1, 2,... }. Oletetaan lisäksi, että jono ( v 1, v 2, v 3 ) on vapaa. Onko jono tällöin vapaa? ( v 1 + v 2 + v 3, 2 v 1 v 2 + v 3, v 3 4 v 1 5 v 2 ) Oletetaan, että c 1, c 2 ja c 3 ovat sellaisia reaalilukuja, että c 1 ( v 1 + v 2 + v 3 ) + c 2 (2 v 1 v 2 + v 3 ) + c 3 ( v 3 4 v 1 5 v 2 ) = 0. Muokataa yhtälöä kertomalla sulut auki: c 1 v 1 + c 1 v 2 + c 1 v 3 + 2c 2 v 1 c 2 v 2 + c 2 v 3 + c 3 v 3 4c 3 v 1 5c 3 v 2 = 0. LM1, Kesä /218

121 Otetaan yhteisiksi tekijöiksi vektorit v 1, v 2 ja v 3 : (c 1 + 2c 2 4c 3 ) v 1 + (c 1 c 2 5c 3 ) v 2 + (c 1 + c 2 + c 3 ) v 3 = 0. Jono ( v 1, v 2, v 3 ) on oletuksen mukaan vapaa, joten saatu yhtälö toteutuu, jos ja vain jos sen kaikki kertoimet ovat nollia. Saadaan homogeeninen yhtälöryhmä c 1 + 2c 2 4c 3 = 0 c 1 c 2 5c 3 = 0 c 1 + c 2 + c 3 = Ainoa ratkaisu on c 1 = 0, c 2 = 0 ja c 3 = 0, joten alkuperäinen jono on vapaa. LM1, Kesä /218

122 Kanta Oletetaan, että v 1,..., v j R n, missä n {1, 2,...}. Merkitään W = span( v 1,..., v j ); ts. W on vektoreiden v 1,..., v j virittämä aliavaruus. Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos (a) W = span( w 1, w 2,..., w k ) (b) ( w 1, w 2,..., w k ) on vapaa. LM1, Kesä /218

123 Kanta Esimerkki 24 Merkitään ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1). Osoitetaan, että jono (ē 1, ē 2 ) on avaruuden R 2 kanta. ē 2 ē 1 Huom. Lukion merkinnöillä kysymyksessä on jono (ī, j). Vastaavasti voidaan osoittaa, että jono (ē 1,..., ē n ) on avaruuden R n kanta. Vektorin ē i komponentit ovat nollia lukuunottamatta i:nnettä komponenttia, joka on 1. LM1, Kesä /218

124 Esimerkin 24 ratkaisu Käytetään kannan määritelmää: (a) Oletetaan, että w R 2. Tällöin w = (w 1, w 2 ) joillakin reaaliluvuilla w 1 ja w 2. Havaitaan, että w = w 1 (1, 0) + w 2 (0, 1) = w 1 ī + w 2 j. Näin mikä tahansa avaruuden R 2 vektori voidaan esittää vektoreiden ī ja j lineaarikombinaationa. Siten span(ī, j) = R 2. (b) Oletetaan, että c 1 ī + c 2 j = 0 joillakin c 1, c 2 R. Tällöin c 1 (1, 0) + c 2 (0, 1) = (0, 0) eli (c 1, c 2 ) = (0, 0), mistä seuraa, että c 1 = 0 ja c 2 = 0. Siis jono (ī, j) on vapaa. LM1, Kesä /218

125 Lause 20 Kanta ja koordinaatit Jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden W vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. Lause 20 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Oletetaan, että B = ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. Oletetaan, että ū W. Vektorin ū koordinaateiksi kannan B suhteen kutsutaan reaalilukuja a 1,..., a k, joilla ū = a 1 w a k w k. LM1, Kesä /218

126 Lauseen 20 perustelu: : Oletetaan, että jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. Tällöin kannan määritelmän nojalla W = span( w 1,..., w k ) ja jono ( w 1,..., w k ) on vapaa. Lauseesta 17 seuraa, että jokainen aliavaruuden W = span( w 1,..., w k ) vektori voidaan kirjoittaa tasan yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. : Oletetaan, että jokainen aliavaruuden W vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. Tästä seuraa ensinnäkin, että W = span( w 1,..., w k ). Tämän jälkeen voidaan käyttää lausetta 17, jonka mukaan jono ( w 1,..., w k ) on tällöin vapaa. Näin kannan määritelmän molemmat ehdot täyttyvät. Siis ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. LM1, Kesä /218

127 Kanta ja koordinaatit Esimerkki 25 Merkitään w 1 = (2, 1), w 2 = (1, 3) ja ū = (8, 3). (a) Osoita lauseen 20 avulla, että ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta. (b) Määritä vektorin ū koordinaatit avaruuden R 2 ns. luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen. (c) Määritä vektorin ū koordinaatit kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen. LM1, Kesä /218

128 (a) Oletetaan, että v R 2. Ratkaistaan yhtälö x 1 w 1 + x 2 w 2 = v eli yhtälö x 1 (2, 1) + x 2 (1, 3) = (v 1, v 2 ). Komponenteittain: { 2x1 + x 2 = v 1 x 1 + 3x 2 = v 2. [ ] 2 1 v v 2 [ ] 1 0 (3v1 v 2 )/ (v 1 + 2v 2 )/7 Tasan yksi ratkaisu riippumatta vektorista v R 2. Siis jono ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta lauseen 20 nojalla. LM1, Kesä /218

129 Kanta ja koordinaatit (b) Vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen ovat 8 ja 3, sillä ū = 8(1, 0) + 3(0, 1) = 8ē 1 + 3ē 2. 3ē 2 ē 2 ū = 8ē 1 + 3ē 2 ē 1 8ē 1 LM1, Kesä /218

130 (c) Vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen saadaan a-kohdan avulla. Sen mukaan x 1 w 1 +x 2 w 2 = ū, jos ja vain jos { x1 = (3u 1 u 2 )/7 = (24 3)/7 = 3 x 2 = (u 1 + 2u 2 )/7 = (8 + 6)/7 = 2. Siis ū = 3 w w 2 eli kysytyt koordinaatit ovat 3 ja 2. LM1, Kesä /218

131 Kanta ja koordinaatit 2 w 2 w 2 ū = 3 w w 2 w 1 3 w 1 LM1, Kesä /218

132 Kanta ja dimensio Lause 21 Aliavaruuden W jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria. Lause 21 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Aliavaruuden W kannan vektorien lukumäärä on aliavaruuden W dimensio. Sitä merkitään dim(w ). Jos aliavaruuden dimensio on n, sanotaan, että aliavaruus on n-ulotteinen. LM1, Kesä /218

133 Kanta ja dimensio Esimerkki 26 Esimerkin 24 mukaan vektorit ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1) muodostavat avaruuden R 2 kannan. Siten dim(r 2 ) = 2. ē 2 ē 1 Esimerkki 27 Merkitään v 1 = (3, 1, 5), v 2 = (2, 1, 3) ja v 3 = (0, 5, 1). Olkoon W = span( v 1, v 2, v 3 ). Määritä aliavaruuden W dimensio. LM1, Kesä /218

134 Esimerkin 27 ratkaisu Oletetaan, että ū R 3. Ratkaistaan yhtälö x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = ū eli yhtälö x 1 (3, 1, 5) + x 2 (2, 1, 3) + x 3 (0, 5, 1) = (u 1, u 2, u 3 ). Komponentteittain 3x 1 + 2x 2 = u 1 x 1 + x 2 5x 3 = u 2 5x 1 + 3x 2 + x 3 = u u u u (u 1 + 3u 2 )/ u (5u 3 + u 2 8u 1 )/5 LM1, Kesä /218

135 Havaitaan, että yhtälöryhmällä on ratkaisu, jos ja vain jos 5u 3 + u 2 8u 1 = 0. Siten W = span( v 1, v 2, v 3 ) = { (x, y, z) 8x + y + 5z = 0 } on origon kautta kulkeva taso, jonka yksi normaali on ( 8, 1, 5). Jos 5u 3 + u 2 8u 1 = 0, niin x 3 on vapaa muuttuja ja voidaan valita x 3 = 0. Siten jokainen tason vektori voidaan ilmaista vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaationa; ts. W = span( v 1, v 2, v 3 ) = span( v 1, v 2 ). Lisäksi v 1 v 2, joten lauseen 15 nojalla jono ( v 1, v 2 ) on vapaa. Näin jono ( v 1, v 2 ) on avaruuden W kanta ja siten dim(w ) = 2. LM1, Kesä /218

136 Lauseen 21 perustelu: Oletetaan, että B = ( v 1,..., v j ) ja C = ( w 1,..., w k ) ovat aliavaruuden W kantoja. Pyritään osoittamaan, että j = k. Tehdään se osoittamalla, että muut vaihtoehdot j < k ja k < j johtavat ristiriitaan. Oletetaan, että j < k. Tarkastellaan yhtälöä x 1 w x k w k = 0. (1) Koska B on W :n kanta, voidaan kaikki kannan C vektorit kirjoittaa kannan B vektorien lineaarikombinaatioina: w 1 = a 11 v 1 + a 12 v a 1j v j w 2 = a 21 v 1 + a 22 v a 2j v j. w k = a k1 v 1 + a k2 v a kj v j LM1, Kesä /218

137 Sijoittamalla nämä yhtälöön 1 saadaan yhtäpitävä yhtälö: x 1 (a 11 v 1 + a 12 v a 1j v j ) + x 2 (a 21 v 1 + a 22 v a 2j v j ) + + x k (a k1 v 1 + a k2 v a kj v j ) = 0 ja edelleen ryhmittelemällä: (x 1 a 11 + x 2 a x k a k1 ) v 1 + (x 1 a 12 + x 2 a x k a k2 ) v (x 1 a 1j + x 2 a 2j + + x k a kj ) v j = 0 LM1, Kesä /218

138 Jono B = ( v 1,..., v j ) on kanta, joten se on vapaa. Siten edellinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos kaikki kertoimet ovat nollia: x 1 a 11 + x 2 a x k a k1 = 0 x 1 a 12 + x 2 a x k a k2 = 0. =. x 1 a 1j + x 2 a 2j + + x k a kj = 0 Kyseessä on homogeeninen yhtälöryhmä, jossa tuntemattomien määrä k on suurempi kuin yhtälöiden määrä j. Lauseen 18 mukaan yhtälöryhmällä on muitakin ratkaisuja kuin x 1 = 0,..., x k = 0. Siis jono C = ( w 1,..., w k ) on sidottu. Ristiriita! Tapaus j > k käsitellään vastaavasti. LM1, Kesä /218

139 Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä i j. Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortonormaaliksi, jos se on ortogonaalinen ja lisäksi sen kaikkien vektorien normi on yksi eli w i = 1 kaikilla i {1, 2,..., k}. LM1, Kesä /218

140 Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Huom. Oletetaan, että n {1, 2,...}. Avaruuden R n luonnollinen kanta E n = (ē 1,..., ē n ) on ortonormaali, sillä ē i ē j = 0, jos i j ja ē i = 1 kaikilla i. ē 2 ē 3 ē 1 LM1, Kesä /218

141 Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Projektiota voidaan käyttää kannan ortogonalisoimiseen (tästä lisää jatkokurssilla): Esimerkki 28 Merkitään v 1 = ( 1, 2) ja v 2 = (3, 1). Tällöin jono ( v 1, v 2 ) on avaruuden R 2 kanta. v 1 (Voit osoittaa sen käyttämällä lausetta 20 tai kannan määritelmää.) v 2 LM1, Kesä /218

142 Muodostetaan uusi jono ( w 1, w 2 ) seuraavasti: Valitaan w 1 = v 1. Valitaan w 2 = v 2 proj w1 ( v 2 ). w 1 = v 1 proj w1 ( v 2 ) v 2 w 2 = v 2 proj w1 ( v 2 ) LM1, Kesä /218

143 Näin saatu jono ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 ortogonaalinen kanta. w 1 w 2 Tässä siis w 1 = ( 1, 2) ja w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = (3, 1) + ( 1, 2) = (2, 1). LM1, Kesä /218

144 Vielä voidaan muodostaa uusi jono (ū 1, ū 2 ) seuraavasti: Valitaan ū 1 = 1 w 1 w 1. Valitaan ū 2 = 1 w 2 w 2. ū 1 ū 2 Jono (ū 1, ū 2 ) on avaruuden R 2 ortonormaali kanta. Tässä ū 1 = 1 5 ( 1, 2) ja ū 2 = 1 5 (2, 1). LM1, Kesä /218

145 Ortonormaali kanta Vektorin koordinaatit ortonormaalin kannan suhteen on helppo määrittää: Lause 22 Oletetaan, että B = (ū 1,..., ū k ) on aliavaruuden W ortonormaali kanta. Oletetaan, että w W. Tällöin vektorin w koordinaatit kannan B suhteen ovat w ū 1, w ū 2,..., w ū k eli w = ( w ū 1 )ū 1 + ( w ū 2 )ū ( w ū k )ū k. LM1, Kesä /218

146 Lauseen 22 perustelu: Oletetaan, että B = (ū 1,..., ū k ) on aliavaruuden W ortonormaali kanta. Tutkitaan vektorin w W koordinaatteja kannan B suhteen. Merkitään koordinaatteja a 1,..., a k ; ts. Huomataan, että w = a 1 ū 1 + a 2 ū a k ū k. w ū 1 = (a 1 ū 1 + a 2 ū a k ū k ) ū 1 = a 1 (ū 1 ū 1 ) + a 2 (ū 2 ū 1 ) + + a k (ū k ū 1 ) = a a a k 0 = a 1. Vastaavalla tavalla nähdään, että w ū i = a i kaikilla i {1, 2,..., k}. Vektorin w koordinaatit saadaan siis laskemalla kantavektorien pistetulo vektorin w kanssa. LM1, Kesä /218

147 Esimerkki 29 Vektorin w = (2, 9, 7) koordinaantit ortonormaalin kannan E 3 = (ē 1, ē 2, ē 3 ) suhteen ovat lauseen 22 nojalla w ē 1 = (2, 9, 7) (1, 0, 0) = 2, w ē 2 = (2, 9, 7) (0, 1, 0) = 9, w ē 3 = (2, 9, 7) (0, 0, 1) = 7. Siis w = 2ē 1 + 9ē 2 7ē 3. LM1, Kesä /218

148 Esimerkki 30 Ortonormaali kanta Tarkastellaan esimerkissä 28 muodostettua avaruuden R 2 ortonormaalia kantaa (ū 1, ū 2 ), jossa ū 1 = 1 5 ( 1, 2) ja ū 2 = 1 5 (2, 1). Vektorin v = (3, 4) koordinaatit tämän kannan suhteen ovat lauseen 22 nojalla v ū 1 = 1 ) ((3, 4) ( 1, 2) = 5 = 5, 5 5 v ū 2 = 1 ) ((3, 4) (2, 1) = 10 = LM1, Kesä /218

149 v = 5ū ū 2 5 ū1 ū 1 ū ū2 LM1, Kesä /218

150 Matriisit Määritelmä Reaalialkioinen m n -matriisi on reaalilukutaulukko, jossa on m riviä ja n saraketta. Esimerkiksi a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn on m n -matriisi. Sanotaan, että matriisin A tyyppi on m n. Matriisissa olevia lukuja kutsutaan matriisin alkioiksi, ja rivillä i sarakkeessa j olevaa alkiota merkitään A(i, j) tai a ij. Kaikkien reaalialkioisten m n -matriisien joukkoa merkitään R m n. LM1, Kesä /218

151 Esimerkki 31 Merkitään B = Tällöin B on reaalikertoiminen 4 3 -matriisi eli B R 4 3. Nähdään, että B(1, 3) = 5 ja B(2, 2) = 11. LM1, Kesä /218

152 Määritelmä Matriisien yhteenlasku Oletetaan, että A, B R m n. Matriisien A ja B summa saadaan laskemalla yhteen samoissa kohdissa olevat alkiot. Tuloksena on m n -matriisi A + B, jolle pätee (A + B)(i, j) = A(i, j) + B(i, j). kaikilla i {1,..., m} ja j {1,..., n}. Esimerkiksi ( 1) = = Vain matriiseja, joilla on sama tyyppi, voidaan laskea yhteen. LM1, Kesä /218