Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159"

Transkriptio

1 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

2 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2 ) Kommutatiivisuus Assosiatiivisuus u+v = v+u (u+v)+w = u+(v+w)

3 Lineaarialgebra (muut ko) p. 3/159 Pituus ja sisätulo Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) sisätulo Pituudelle ax = a x (u,v) = u v = u 1 v 1 +u 2 v 2. Muistetaan, että u 2 = (u,u). Ortogonaalisuus: u v (u,v) = 0

4 Lineaarialgebra (muut ko) p. 4/159 Sisätulo Sisätulon ominaisuuksia (s.3) (u,u) 0 (u,u) = 0 u = 0 (u,v) = (v,u) (u+v,w) = (u,w)+(v,w). (au,v) = a(u,v), a R.

5 Lineaarialgebra (muut ko) p. 5/159 Sisätulo Sisätulon ominaisuuksia (s.3) (u,u) 0 (u,u) = 0 u = 0 (u,v) = (v,u) (u+v,w) = (u,w)+(v,w). (au,v) = a(u,v), a R. Myös (u,v+w) = (u,v)+(u,w) ja(u v,w) = (u,w) (v,w).

6 Lineaarialgebra (muut ko) p. 6/159 Avaruusvektorit, s. 4 Avaruusvektorien joukko R 3 = {(x,y,z) x,y,z R}. Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) operaatiot Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2,u 3 +v 3 ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2,au 3 )

7 Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/159 Avaruusvektorit Avaruusvektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) aiemmat tulokset (1.3) (1.7) toimivat myös R 3 :ssa, kun määritellään u = u 2 1 +u2 2 +u2 3 ja (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3.

8 Lineaarialgebra (muut ko) p. 8/159 Suorat Suoran L standardiesitys L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c missä P = (x 0,y 0,z 0 ) on jokin L:n piste ja s = (a,b,c) (0,0,0) on suoran suuntavektori P

9 Lineaarialgebra (muut ko) p. 9/159 Suorat Suoran L standardiesitys L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c missä P = (x 0,y 0,z 0 ) on jokin L:n piste ja s = (a,b,c) (0,0,0) on suoran suuntavektori P s

10 Lineaarialgebra (muut ko) p. 10/159 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc (t R)

11 Lineaarialgebra (muut ko) p. 11/159 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc t = 1 (t R) P ts vektoreina r = r 0 +ts, t R.

12 Lineaarialgebra (muut ko) p. 12/159 Parametriesitys Suoran L koordinaattimuotoinen parametriesitys x = x 0 +ta y = y 0 +tb z = z 0 +tc (t R) P t = 2 ts vektoreina r = r 0 +ts, t R.

13 Lineaarialgebra (muut ko) p. 13/159 Erikoistapaukset (standardiesitys) Tapaus c = 0: L : Tapaus b = c = 0: x x 0 a = y y 0 b, z = z 0 L : y = y 0, z = z 0

14 Lineaarialgebra (muut ko) p. 14/159 Tasot Tason piste P = (x 0,y 0,z 0 ) ja normaalivektori n = (a,b,c) (0,0,0). Tason T koordinaattimuotoinen esitys T : ax+by +cz = d missä d = ax 0 +by 0 +cz 0.

15 Lineaarialgebra (muut ko) p. 15/159 Mitä yhtälöryhmälle saa tehdä? 1) Yhtälön voi kertoa vakiolla 0 2) Yhtälön voi lisätä toiseen vakiolla kerrottuna 3) Yhtälöiden järjestystä voi vaihtaa

16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 16/159 n-ulotteinen avaruus, s.9 Vektorien joukko R n = {(x 1,x 2,...,x n ) x 1,x 2,...,x n R}. Vektoreille u = (u 1,u 2,...,u n ) ja v = (v 1,v 2,...,v n ) operaatiot Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2,...,u n +v n ) Skalaarilla kertominen (a R): au = (au 1,au 2,...,au n )

17 Lineaarialgebra (muut ko) p. 17/159 n-ulotteinen avaruus, s.9 Vektoreille u = (u 1,u 2,...,u n ) ja v = (v 1,v 2,...,v n ) aiemmat tulokset (1.3) (1.7) toimivat myös R n :ssa, kun määritellään u = u 2 1 +u u2 n ja (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 + +u n v n.

18 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/159 MATRIISIT: Johdanto (k = 20) { 2x+3y = 0 4x+ky = 0 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0, Ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0 (eli k = 6).

19 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/159 MATRIISIT: Johdanto (k = 7) { 2x+3y = 0 4x+ky = 0 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0, Ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0 (eli k = 6).

20 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/159 MATRIISIT: Johdanto { 2x+3y = 1 4x+ky = 5 Ratkaisuja 1, kun 2 k 3 4 0,

21 Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/159 MATRIISIT: Johdanto { 2x+3y = 1 4x+ky = 5 Ei ratkaisuja, kun 2 k 3 4 = 0, eli k = 6.

22 Lineaarialgebra (muut ko) p. 19/159 MATRIISIT: Johdanto Kertoimista "matriisi" ( k ) ja "determinantti" k = 2 k 3 4

23 Lineaarialgebra (muut ko) p. 20/159 MATRIISIT: Johdanto Kertoimista "matriisi" ( k ) ja "determinantti" k = 2k 3 4 "vakiot"pystyvektorina ( 1 5 )

24 Lineaarialgebra (muut ko) p. 21/159 MATRIISIT: Johdanto Yleistyykö edellinen tarkastelu? Entä kun tuntemattomia ja yhtälöitä eri määrä? Onko yhtälöryhmää, jossa tarkalleen 17 ratkaisua?

25 Lineaarialgebra (muut ko) p. 22/159 Matriiseista Samaa tyyppiä olevat m n-matriisit voidaan laskea yhteen A+B Nollamatriisi O = (0) m n Transponointi A T ( ) T =

26 Lineaarialgebra (muut ko) p. 23/159 Matriisien tulo, s. 13 Matriisien A = (a ij ) m s ja B = (b ij ) s n tulo on AB = (u ij ) m n missä kaikilla i, j. u ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a is b sj

27 Lineaarialgebra (muut ko) p. 24/159 Matriisien tulo Matriisitulo ( ) 2 2 ( ) 2 3 =

28 Lineaarialgebra (muut ko) p. 25/159 Matriisien tulo Matriisitulo ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( )

29 Lineaarialgebra (muut ko) p. 26/159 Matriisien tulo Matriisitulo ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( )

30 Lineaarialgebra (muut ko) p. 27/159 Matriisien tulo Yleensä ei KOMMUTOI AB BA

31 Lineaarialgebra (muut ko) p. 28/159 Matriisien tulo Kaikkien m n-matriisien joukko M m n

32 Lineaarialgebra (muut ko) p. 29/159 Laskusääntöjä, s. 18 skalaari r R (AB)C = A(BC) A(B +C) = AB +AC (A+B)C = AC +BC r(ab) = A(rB)

33 Lineaarialgebra (muut ko) p. 30/159 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x + y + t = 1 3x y + 2z t = 2 x + y z = 0

34 Lineaarialgebra (muut ko) p. 31/159 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0

35 Lineaarialgebra (muut ko) p. 32/159 Johdanto yhtälöryhmiin Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0 Tästä matriisit , x 1 x 2 x 3 x 4, 1 2 0

36 Lineaarialgebra (muut ko) p. 33/159 Johdanto yhtälöryhmiin, s.16 Tutkitaan ratkaisuja 5x 1 + x 2 + x 4 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0 Tästä matriisit , 1 } 1 1 {{ 0 } kerroinmatriisi x 1 x 2 x 3 x 4, }{{} tuntemattomat }{{} vakiot

37 Lineaarialgebra (muut ko) p. 34/159 Esimerkiksi { 2x + 3y = 1 4x + 5y = 3

38 Lineaarialgebra (muut ko) p. 35/159 Esimerkiksi { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3

39 Lineaarialgebra (muut ko) p. 36/159 Esimerkiksi { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 A = ( ) x = ( x 1 x 2 ) c = ( 1 3 ) Matriisikielellä Ax = c

40 Lineaarialgebra (muut ko) p. 37/ Lineaariset yhtälöryhmät Monisteessa (2.3) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = c 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m

41 Lineaarialgebra (muut ko) p. 38/159 Matriisien avulla Ax = c, missä A = a 11 a a 1n a 12 a a 2n , a m1 a m2... a mn ja x = x 1 x 2. c = c 1 c 2. x n c m

42 Lineaarialgebra (muut ko) p. 39/159 Homogeenisuus Yhtälöryhmä on homogeeninen, jos Monisteessa (2.5) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 eli matriisimuodossa Ax = 0. Muutoin epähomogeeninen

43 Lineaarialgebra (muut ko) p. 40/159 Esimerkiksi Epähomogeeninen { 2x 1 + 3x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 Homogeeninen { 2x 1 + 3x 2 = 0 4x 1 + 5x 2 = 0

44 Lineaarialgebra (muut ko) p. 41/159 Yhtälöryhmistä Olkoon x 0 yksittäisratkaisu epähomogeeniselle yhtälöryhmälle Ax = c. Silloin sen kaikki ratkaisut ovat muotoa x = x 0 +y missä y on homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 kaikki ratkaisut.

45 Lineaarialgebra (muut ko) p. 42/159 Tulon transponointi (AB) T = B T A T Matriisi on symmetrinen, jos järjestys! A T = A Identiteettimatriisi I = I n = Neliömatriisille A: AI = IA = A

46 Lineaarialgebra (muut ko) p. 43/159 Matriisin potenssi Kun kokonaisluku k 1 A k = A A A }{{} k Lisäksi A 0 = I

47 Lineaarialgebra (muut ko) p. 44/159 Matriisiyhtälöistä (s. 20) Matriisiyhtälöitä voidaan käsitellä kuten reaalilukuyhtälöitä, kunhan ei käytetä jakolaskua eikä kommutatiivisuutta Ei siis voi yleensä supistaa AB = AC B = C

48 Lineaarialgebra (muut ko) p. 45/159 Käänteismatriisi Määritelmä neliömatriisin A käänteismatriisille eli EI MERKITÄ 1 A vaana 1 Ei aina olemassa, esim A = AB = BA = I AA 1 = A 1 A = I ( ).

49 Lineaarialgebra (muut ko) p. 46/159 Säännöllisyys A on säännöllinen, jos A 1 on olemassa.

50 Lineaarialgebra (muut ko) p. 47/159 Säännöllisyys A on säännöllinen, jos A 1 on olemassa. Jos matriisin A = ( a b c d ) kertoimille ad bc 0, niin A 1 = 1 ad bc ( d b c a )

51 Lineaarialgebra (muut ko) p. 48/159 Laskusääntöjä Olkoot A ja B säännöllisiä matriiseja: (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T

52 Lineaarialgebra (muut ko) p. 49/159 Laskusääntöjä Olkoot A ja B matriiseja, missä pystyrivien avulla B = (b 1 b k ). Silloin kertolasku AB = (Ab 1 Ab k )

53 Lineaarialgebra (muut ko) p. 50/ Matriisien kertominen lohkomuodossa Lohkominen ( A B C D )( 1 0 a b 0 1 c d A B C D ) = ( ( I A O I ) AA +BC AB +BD CA +DC CB +DD ) Esimerkiksi ( I A O I )( A O I B ) = ( O AB I B )

54 Lineaarialgebra (muut ko) p. 51/159 Determinantti Neliömatriisille A: det(a) = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn = kaikki permutaatiot(j 1,j 2,...,j n ) sign(j 1,j 2,...,j n )a 1j1 a 2j2...a njn

55 Lineaarialgebra (muut ko) p. 52/159 2-rivinen determinantti a b c d = ad cb

56 Lineaarialgebra (muut ko) p. 53/159 Perusominaisuuksia, s. 26 1) 2) a ca 1k... a 1n a ca 2k... a 2n a n1... ca nk... a nn det(a T ) = det(a) = c a a 1k... a 1n a a 2k... a 2n a n1... a nk... a nn vastaavasti vaakariville

57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 54/159 Perusominaisuuksia, s. 27 3) a a 1k +b 1k... a 1n a a 2k +b 2k... a 2n a n1... a nk +b nk... a nn = a a 1k... a 1n a a 2k... a 2n a n1... a nk... a nn + a b 1k... a 1n a b 2k... a 2n a n1... b nk... a nn vastaavasti vaakariville

58 Lineaarialgebra (muut ko) p. 55/159 Perusominaisuuksia, s. 27 4) Jos pysty- tai vaakarivi on nollarivi, niin det(a) = 0. 5) Jos kaksi samaa pystyriviä (tai kaksi samaa vaakariviä), niin det(a) = 0. 6) Jos kaksi vaakariviä (tai kaksi pystyriviä) vaihdetaan keskenään, niin determinantti muuttuu vastaluvukseen. a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn = a 21 a a 2n a 11 a a 1n a n1 a n2... a nn

59 Lineaarialgebra (muut ko) p. 56/159 Perusominaisuuksia, s. 27 7) c + a a 1h... a 1k... a 1n a a 2h... a 2k... a 2n a n1... a nh... a nk... a nn = a a 1h... a 1k +ca 1h... a 1n a a 2h... a 2k +ca 2h... a 2n a n1... a nh... a nk +ca nh... a nn vastaavasti vaakariville

60 Lineaarialgebra (muut ko) p. 57/159 Tulon determinantti det(ab) = det(a) det(b) Jos A on säännöllinen, niin det(a 1 ) = 1 det(a)

61 Lineaarialgebra (muut ko) p. 58/159 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) det(a) = a i1 C i1 + +a in C in

62 Lineaarialgebra (muut ko) p. 59/159 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) ( = ) ( ) ( )

63 Lineaarialgebra (muut ko) p. 60/159 Alkion komplementti Matriisin alkion a ij komplementti C ij = ( 1) i+j det(a ij ) missä A ij saatu poistamalla matriisista A vaakarivi i ja pystyrivi j. Deteminantin rivikehitelmät (vaakariville) det(a) = a i1 C i1 + +a in C in = n a ik C ik k=1 ja pystyriville det(a) = n a kj C kj k=1

64 Lineaarialgebra (muut ko) p. 61/159 Käänteismatriisin kaava Matriisin A liittomatriisi adj(a) = (C ij ) T Jos A on säännöllinen, niin A 1 = 1 det(a) (C ij) T A on säännöllinen det(a) 0

65 Lineaarialgebra (muut ko) p. 62/159 Cramerin sääntö Jos yhtälöryhmän Ax = c kerroinmatriisi A on säännöllinen, niin sillä on yksikäsitteinen ratkaisu x j = det(a j) det(a) missä x = x 1 x 2. x n ja A j saadaan korvaamalla j:s pystyrivi c:llä

66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 63/159 Ristitulo, s. 34 Tarkastelussa vain R 3 Olkoon u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 v = (v 1,v 2,v 3 ) R 3 u v = (C 11,C 12,C 13 ).

67 Lineaarialgebra (muut ko) p. 64/159 Ristitulo, s. 34 Tarkastelussa vain R 3 Olkoon u = (u 1,u 2,u 3 ) R 3 u v = v = (v 1,v 2,v 3 ) R 3 u 2 u 3 u 1 u 3 u 1 u 2,, v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2. }{{}}{{}}{{} C 11 C 12 C 13

68 Lineaarialgebra (muut ko) p. 65/159 Ristitulo Eli (u,u v) = u 1 C 11 +u 2 C 12 +u 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = u 1 v 2 v 3 +u u 1 u 3 2 v 1 v 3 +u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 ja samoin (v,u v) = v 1 C 11 +v 2 C 12 +v 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 +v u 1 u 3 u 1 u 2 2 +v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 Johtavat determinantteihin (kehittämällä 1. vaakarivi) u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3

69 Lineaarialgebra (muut ko) p. 66/159 Ristitulo Eli (u,u v) = u 1 C 11 +u 2 C 12 +u 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = u 1 v 2 v 3 +u u 1 u 3 2 v 1 v 3 +u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 ja samoin (v,u v) = v 1 C 11 +v 2 C 12 +v 3 C 13 ( ) u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 +v u 1 u 3 u 1 u 2 2 +v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 Johtavat determinantteihin (kehittämällä 1. vaakarivi) u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = 0 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3

70 Lineaarialgebra (muut ko) p. 67/159 Ristitulo Siis u (C 11,C 12,C 13 ) = 0 v (C 11,C 12,C 13 ) = 0

71 Lineaarialgebra (muut ko) p. 68/159 Muistisääntö Ristitulo (vain R 3 :ssa) Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) u v = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 Jos u ja v eivät nollavektoreita ja α on niiden välinen kulma, niin u v = u v sinα. Vertaa (1.4): (u,v) = u v cosα. u u v ja v u v

72 Lineaarialgebra (muut ko) p. 69/159 Muistisääntö Ristitulo (vain R 3 :ssa) Vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ) ja v = (v 1,v 2,v 3 ) u v = Ei kommutatiivinen i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u v = v u Ei myöskään assosiatiivinen eli yleensä u (v w) (u v) w.

73 Lineaarialgebra (muut ko) p. 70/159 Skalaarikolmitulo Skalaarikolmitulo vektoreille u = (u 1,u 2,u 3 ), v = (v 1,v 2,v 3 ) ja w = (w 1,w 2,w 3 ): u (v w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Vektorien määräämän suuntaissärmiön (kts. kuva alla) tilavuus saadaan itseisarvosta u (v w) u w v

74 Lineaarialgebra (muut ko) p. 71/159 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U.

75 Lineaarialgebra (muut ko) p. 72/159 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U.

76 Lineaarialgebra (muut ko) p. 73/159 Aliavaruus Aliavaruudelle U R n kolme ehtoa: 1) U 2) u,v U u+v U 3) a R, u U au U. 0 kuuluu aina aliavaruuteen! U = {x R n Ax = 0} on R n :n aliavaruus Triviaalit aliavaruudet: {0} ja R n.

77 Lineaarialgebra (muut ko) p. 74/159 Ratkaisuavaruus (Lause 4.1.8) Lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = 0 ratkaisut x = x 1. x n muodostavat aliavaruuden (ns. ratkaisuavaruuden)

78 Lineaarialgebra (muut ko) p. 75/159 Ratkaisuavaruus (Lause 4.1.8) Lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisut x = x 1. x n muodostavat aliavaruuden (ns. ratkaisuavaruuden)

79 Lineaarialgebra (muut ko) p. 76/159 AliavaruudetR 3 :ssa {0} origon kautta kulkevat suorat origon kautta kulkevat tasot R 3

80 Lineaarialgebra (muut ko) p. 77/159 Viritetty aliavaruus vektorien x 1,x 2,...,x k R n lineaarikombinaatio vektorien virittämä aliavaruus c 1 x 1 +c 2 x c k x k L(x 1,x 2,...,x k ) = {c 1 x 1 +c 2 x c k x k c 1,c 2,...,c k R}

81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 78/159 Viritetty aliavaruus vektorien x 1,x 2,...,x k R n lineaarikombinaatio vektorien virittämä aliavaruus c 1 x 1 +c 2 x c k x k L(x 1,x 2,...,x k ) = {c 1 x 1 +c 2 x c k x k c 1,c 2,...,c k R} Esimerkiksi a(1,1)+b(1,0) ja L((1,1),(1,0)) sisältää mm. vektorit (0,0),(1,1),(1,0),(2,1),(0,1),( 2,0),...

82 Lineaarialgebra (muut ko) p. 79/159 Matriisien avulla Pystyrivien lineaarikombinaatio A = (a 1 a 2... a n ) Ac = c 1 a 1 + +c n a n

83 Lineaarialgebra (muut ko) p. 80/159 Matriisien avulla matriisin pystyriveille A = (a 1 a 2... a n ) m n Lause 4.2.8: neliömatriisille L(a 1,a 2,...,a n ) = {Ac c R n } L(a 1,a 2,...,a n ) = R n A on säännöllinen

84 Lineaarialgebra (muut ko) p. 81/159 Matriisien avulla matriisin pystyriveille A = (a 1 a 2... a n ) m n Lause 4.2.8: neliömatriisille L(a 1,a 2,...,a n ) = {Ac c R n } L(a 1,a 2,...,a n ) = R n A on säännöllinen Esimerkiksi L((1,1),(1,0)) = R 2, sillä

85 Lineaarialgebra (muut ko) p. 82/159 Johdanto: Lineaarinen riippumattomuus Olkoot x = (1,1,0) ja y = ( 2, 2,0). Näille lineaarikombinaatioina 0 x+0 y = (0,0,0) 2 x+1 y = (0,0,0) 20 x+10 y = (0,0,0).

86 Lineaarialgebra (muut ko) p. 83/159 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippuvuus c 1 x c m x m = 0 missä jokin c j 0 Lineaarinen riippumattomuus c 1 x c m x m = 0 = c 1 = c 2 =... = c m = 0

87 Lineaarialgebra (muut ko) p. 84/159 Matriisien avulla Lause : Neliömatriisin A = (a 1 a 2... a n ) pystyriveille: Pystyrivit ovat lin. riippumattomia A on säännöllinen

88 Lineaarialgebra (muut ko) p. 85/159 Lineaarinen riippumattomuus Lause sanoo: Vektorit ovat lineaarisesti riippuvia jokin niistä saadaan muiden lineaarikombinaationa x j = c 1 x 1 + +c j 1 x j 1 +c j+1 x j+1 + +c m x m

89 Lineaarialgebra (muut ko) p. 86/159 Lineaarinen riippumattomuus Kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvia toinen on toisen skalaarimonikerta Varoitus: ei toimi useammalla vektorilla: (1,1,0),(1,0,0),(0,1,0) vaikka t (1,0,0) (0,1,0) s (1,0,0) (1,1,0) r (0,1,0) (1,1,0) kaikilla t,r,s R, niin silti lin. riippuvuus (1,1,0) = (1,0,0)+(0,1,0)

90 Lineaarialgebra (muut ko) p. 87/159 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa? (x,y) = c 1 (2,2)

91 Lineaarialgebra (muut ko) p. 88/159 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa? (x,y) = c 1 (2,2)

92 Lineaarialgebra (muut ko) p. 89/159 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa: (x,y) = c 1 (2,2)+c 2 ( 4,2) = 12 0

93 Lineaarialgebra (muut ko) p. 90/159 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa: (x,y) = c 1 (2,2)+c 2 ( 4, 4)

94 Lineaarialgebra (muut ko) p. 91/159 Johdanto: kanta Jokainen vektori lin.kombinaationa (yksikäsitteisesti): (1, 2) = 1 2 (2,2) 1 2 ( 4,2)+0 (1, 2) (1, 2) = 0 (2,2)+0 ( 4,2)+1 (1, 2)

95 Lineaarialgebra (muut ko) p. 92/159 Kanta Vektorit u 1,...,u k muodostavat aliavaruuden U kannan, jos (i) ovat lineaarisesti riippumattomia, (ii) virittävät koko U:n.

96 Lineaarialgebra (muut ko) p. 93/159 Kanta Vektorit u 1,...,u k muodostavat aliavaruuden U kannan, jos (i) ovat lineaarisesti riippumattomia eli c 1 u 1 + +c m u k = 0 c 1 = = c k = 0, (ii) virittävät koko U:n eli L(u 1,...,u k ) = {c 1 u 1 + +c k u k c 1,...,c k R} = U.

97 Lineaarialgebra (muut ko) p. 94/159 Kannan merkitys Yksikäsitteinen kantaesitys vektorille u U R 4 :n luonnollinen kanta u = c 1 u 1 + +c k u k. {e 1,e 2,e 3,e 4 } = Jos U = R n, niin determinantit käteviä, mutta U R n eivät yleensä sovellu.

98 Lineaarialgebra (muut ko) p. 95/159 Kannan merkitys Yksikäsitteinen kantaesitys vektorille u U R 4 :n luonnollinen kanta u = c 1 u 1 + +c k u k. {e 1,e 2,e 3,e 4 } = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}. Jos U = R n, niin determinantit käteviä, mutta U R n eivät yleensä sovellu.

99 Lineaarialgebra (muut ko) p. 96/159 Perusominaisuuksia s. 45 1) Jokaisella aliavaruudella U on kanta. 2) Jokaisessa U:n kannassa on sama määrä vektoreita. 3) Lineaarisesti riippumaton U:n joukko {u 1,...,u k } voidaan täydentää U:n kannaksi {u 1,...,u k,u k+1,...u m }. 4) Jos L(u 1,...,u t ) = U, niin tästä saadaan kanta U:lle jättämällä ylimääräiset pois (kunnes lin. riippumaton).

100 Lineaarialgebra (muut ko) p. 97/159 Dimension ominaisuuksia s. 46 Olkoot U,V R n aliavaruuksia: 1) dimu n 2) Jos U V, niin dimu dimv. 3) Jos U V, niin dimu < dimv. 4) Jos u 1,...,u k U ja k < dimu, niin eivät viritä U:ta. 5) Jos u 1,...,u k U ja k > dimu, niin ovat lineaarisesti riippuvia.

101 Lineaarialgebra (muut ko) p. 98/159 Dimension ominaisuuksia s. 46 6) Vektorit u 1,...,u k U muodostavat kannan, jos kaksi seuraavista voimassa: (i) u 1,...,u k ovat lineaarisesti riippumattomia, (ii) U = L(u 1,...,u k ), (ii) k = dimu.

102 Lineaarialgebra (muut ko) p. 99/159 Dimension ominaisuuksia s. 46 7) Olkoon u 1,...,u k kanta U:lle ja vektoreiden v 1,...,v k U kantaesitykset v j = k a ij u i (j = 1,...,k). i=1 Vektorit v 1,...v k muodostavat kannan, jos on säännöllinen. A = (a ij ) k k

103 Lineaarialgebra (muut ko) p. 100/159 Tunnettuja dimensioita Aliavaruuden U R n dimensio dim U = kantavektoreiden lukumäärä Koko avaruudelle dimr n = n. Tasolle (origon kautta) T R 3 dimt = 2. Suoralle (origon kautta) L R 3 diml = 1.

104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 101/159 Vaaka- ja pystyriviavaruus Matriisin A = vaakariviavaruus ja pystyriviavaruus V(A) = L((1,3),(0,1),(1,2)) P(A) = L((1,0,1),(3,1,2))

105 Lineaarialgebra (muut ko) p. 102/159 Vaaka- ja pystyriviavaruus Nähtiin dimv(a) = 2 = dimp(a) Pitääkö yleisesti paikkansa kaikille A?

106 Lineaarialgebra (muut ko) p. 103/159 Vaaka- ja pystyriviavaruus P(AB) P(A) V(AB) V(B) jos C ja C ovat säännöllisiä, niin P(AC) = P(A) V(C A) = V(A)

107 Lineaarialgebra (muut ko) p. 104/159 Hajotelma Matriisi A M m n saadaan hajotettua A = }{{} B }{{} C m r r n Esimerkiksi

108 Lineaarialgebra (muut ko) p. 105/159 Hajotelma Matriisi A M m n saadaan hajotettua A = }{{} B }{{} C m r r n Esimerkiksi kanta

109 Lineaarialgebra (muut ko) p. 106/159 Hajotelma Matriisi A M m n saadaan hajotettua A = }{{} B }{{} C m r r n Esimerkiksi kanta = ( )

110 Lineaarialgebra (muut ko) p. 107/159 Hajotelma Matriisi A M m n saadaan hajotettua A = }{{} B }{{} C m r r n Esimerkiksi kanta = ( ) V(A) = V(BC) V(C) Saadaan dimv(a) dimp(a) ja dimv(a) = dimp(a)

111 Lineaarialgebra (muut ko) p. 108/159 Matriisin aste Matriisin aste r(a) = dimv(a) = dimp(a) Lause r(ab) r(a) r(ab) r(b) A säännöllinen r(ab) = r(b) B säännöllinen r(ab) = r(a) A = }{{} B }{{} C m r(a) r(a) n r(a T ) = r(a)

112 Lineaarialgebra (muut ko) p. 109/159 Alideterminantti, s. 56 Matriisin A M m n alideterminantti on determinantti det(b), missä B on neliömatriisi, joka saadaan A:sta pyyhkimällä pois jotkin sen vaaka- ja pystyriveistä. Alideterminantin riviluku on B:n riviluku Lause r(a) = A:n nollasta eroavien alideterminanttien suurin riviluku

113 Lineaarialgebra (muut ko) p. 110/159 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

114 Lineaarialgebra (muut ko) p. 111/159 Käänteismuunnokset AM1: Kahden vaakarivin vaihto Käänteismuunnos: Vaihdetaan vaakarivit takaisin AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 Käänteismuunnos: Kerrotaan vaakarivi skalaarilla 1/c AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna Käänteismuunnos: Lisätään vaakarivi toiseen skalaarilla c kerrottuna

115 Lineaarialgebra (muut ko) p. 112/159 Riviekvivalenssi ( ) ( ) ( ) ( )

116 Lineaarialgebra (muut ko) p. 113/159 Riviekvivalenssi ( ) ( ) ( ) ( ) vastaavat alkeismatriisit E 1 = ( ), E 2 = ( ), E 3 = ( ) eli E 3 E 2 E 1 ( ) = ( ).

117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 114/159 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto

118 Lineaarialgebra (muut ko) p. 115/159 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto aste r(a) =porrasluku ja V(A):n kanta on portaiden vaakarivit.

119 Lineaarialgebra (muut ko) p. 116/159 Redusoitu porrasmuoto Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden V(A) kanta {(1,1,0,2),(0,0,1,1)}.

120 Lineaarialgebra (muut ko) p. 117/159 Redusoitu porrasmuoto Myös I on redusoitu porrasmuoto Lause A on säännöllinen A I

121 Lineaarialgebra (muut ko) p. 118/159 Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla Alkeismuunnoksilla (A I) (I A 1 )

122 Lineaarialgebra (muut ko) p. 119/159 Ratkaisuavaruuden dimensio Yhtälöryhmän (n tuntematonta) Ax = 0 ratkaisuavaruuden dimensio n r(a)

123 Lineaarialgebra (muut ko) p. 120/159 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = c 1 (1,0)+c 2 (0,1) Luonnollinen kanta E = {(1,0),(0,1)}

124 Lineaarialgebra (muut ko) p. 121/159 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = 2 (1,0)+3 (0,1) Luonnollinen kanta E = {(1,0),(0,1)}

125 Lineaarialgebra (muut ko) p. 122/159 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = c 1 ( 1, 1)+c 2 (3,2) Toinen kanta B = {( 1, 1),(3,2)}

126 Lineaarialgebra (muut ko) p. 123/159 Johdanto: Kannanvaihto Vektori (2,3) = ( 5) ( 1, 1)+( 1) (3,2) Toinen kanta B = {( 1, 1),(3,2)}

127 Lineaarialgebra (muut ko) p. 124/159 Johdanto: Kannanvaihto Eli samalla vektorilla x = (2,3) on luonnollisen kannan suhteen (2,3) = 2 (1,0)+3 (0,1) ja kannan B suhteen (2,3) = ( 5) ( 1, 1)+( 1) (3,2) eli X E = ( 2 3 ) ja X B = ( 5 1 )

128 Lineaarialgebra (muut ko) p. 125/159 Koordinaattivektori Kanta B = {b 1,...,b n } avaruudelle R n. Vektorin x R n koordinaattivektori X B = r 1 r 2. r n missä kantaesitys x = r 1 b 1 + +r n b n.

129 Lineaarialgebra (muut ko) p. 126/159 Koordinaattivektori Olkoon x = (1,2,3) R 3 :n luonnollisen kannan suhteen 1 X E = 2 3 Kannan B = {(1,1,1),(1,0,2),( 1,2,1)} suhteen X B = 4/5 4/5 3/5

130 Lineaarialgebra (muut ko) p. 127/159 Kannanvaihdon matriisi Toinen kanta C = {c 1,...,c n }. Kannanvaihdon B C matriisi: c 1 = p 11 b 1 + +p n1 b n. c n = p 1n b 1 + +p nn b n. P B C = p 11 p 1n..... p n1 p nn Muista transponointi!

131 Lineaarialgebra (muut ko) p. 128/159 Kannanvaihdon matriisi X C = P C B X B P B C = (P C B ) 1

132 Lineaarialgebra (muut ko) p. 129/159 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x y A = määrittelyjoukko B = maalijoukko Yleensä A = R n ja B = R m

133 Lineaarialgebra (muut ko) p. 130/159 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x u z y Ei ole kuvaus!

134 Lineaarialgebra (muut ko) p. 131/159 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B Im(f) = {f(a) a A} kuvajoukko

135 Lineaarialgebra (muut ko) p. 132/159 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B B B 0 f 1 (B 0 ) = {a A f(a) B 0 } alkukuva

136 Lineaarialgebra (muut ko) p. 133/159 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B f on surjektio, jos Im(f) = B

137 Lineaarialgebra (muut ko) p. 134/159 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b Kuvauksessa voi olla

138 Lineaarialgebra (muut ko) p. 135/159 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b z f on injektio, jos a b f(a) f(b) a,b A Bijektio, jos surjektio ja injektio

139 Lineaarialgebra (muut ko) p. 136/159 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja kuvaus g : A B ovat yhtäsuuret, jos f(a) = g(a) a A Merkitään f = g

140 Lineaarialgebra (muut ko) p. 137/159 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B C A B C f g x g(f(x)) f(x) Yhdistetty kuvaus g f : A C, (g f)(x) = g(f(x))

141 Lineaarialgebra (muut ko) p. 138/159 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B A A B f x y g Käänteiskuvauksia, jos f g = id B ja g f = id A. f 1 olemassa f on bijektio

142 Lineaarialgebra (muut ko) p. 139/159 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0.

143 Lineaarialgebra (muut ko) p. 140/159 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0. Kantavektorien kuvien avulla f(b i ) = y i määräytyy koko f(x) yksikäsitteisesti.

144 Lineaarialgebra (muut ko) p. 141/159 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R 2 R 2,f(x,y) = (x y,x+y) on lineaarinen.

145 Lineaarialgebra (muut ko) p. 142/159 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax.

146 Lineaarialgebra (muut ko) p. 143/159 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Matriisi A = ( ) indusoi lineaarikuvauksen ( 1 1 f(x,y) = 1 1 )( x y ) = ( x y x+y ) eli f : R 2 R 2,f(x,y) = (x y,x+y)

147 Lineaarialgebra (muut ko) p. 144/159 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi M B,C (f) B = {b 1,...,b n } kanta R n :ssä C = {c 1,...,c m } kanta R m :ssä

148 Lineaarialgebra (muut ko) p. 145/159 Lineaarikuvauksen matriisi kuvien kantaesitykset f(b 1 ) = a 11 c 1 + +a m1 c m.. f(b n ) = a 1n c 1 + +a mn c m M B,C (f) = a 11. a 1n.... a m1 a mn Muista transponointi!

149 Lineaarialgebra (muut ko) p. 146/159 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B

150 Lineaarialgebra (muut ko) p. 147/159 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x

151 Lineaarialgebra (muut ko) p. 148/159 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M(f) x

152 Lineaarialgebra (muut ko) p. 149/159 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x Jos sama lähtö- ja maaliavaruus f : R n R n, niin yleensä sama kanta molemmilla puolilla ja merkitään M B (f) = M B,B (f).

153 Lineaarialgebra (muut ko) p. 150/159 Indusoidulle lineaarikuvaukselle Matriisin A M m n indusoima lineaarikuvaus f : R n R m,f(x) = Ax. Tällöin A = M E,E (f).

154 Lineaarialgebra (muut ko) p. 151/159 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f).

155 Lineaarialgebra (muut ko) p. 152/159 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f). Matriisien kertolasku

156 Lineaarialgebra (muut ko) p. 153/159 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M

157 Lineaarialgebra (muut ko) p. 154/159 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M M B,C (f) = P C CM B,C (f)p B B

158 Lineaarialgebra (muut ko) p. 155/159 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi M E (f) =

159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 156/159 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) =

160 Lineaarialgebra (muut ko) p. 157/159 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?

161 Lineaarialgebra (muut ko) p. 158/159 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi M B (f) = Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla? Näihin vastaaminen on loppukurssin tavoite!

162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 159/159 Ydin ja kuva Lineaarikuvauksen ydin ja kuva-avaruus f 0 0 Ker(f) Im(f) Ker(f) = {x R n f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x R n }

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Lineaarialgebra. Osa 2. Turun yliopisto. Markku Koppinen

Lineaarialgebra. Osa 2. Turun yliopisto. Markku Koppinen Lineaarialgebra Osa 2 Turun yliopisto Markku Koppinen Sisältö 1 Koordinaattivektorit ja kannan vaihdot 1 11 Koordinaattivektorit 1 12 Kannan vaihdot 2 2 Lineaarikuvaukset 6 21 Kuvauksista 6 22 Lineaarikuvaukset

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Lineaarialgebra. Osa 1. Turun yliopisto. Markku Koppinen

Lineaarialgebra. Osa 1. Turun yliopisto. Markku Koppinen Lineaarialgebra Osa 1 Turun yliopisto Markku Koppinen Alkusanat 9 elokuuta 2006 Lineaarialgebra on niitä perusteorioita, joita tarvitaan lähes kaikilla matematiikan aloilla ja monissa muissakin tieteissä

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti

Lineaarialgebra I. Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti Lineaarialgebra I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Esa Järvenpää Kirjoittanut Tuula Ripatti 2 1 Lineaarinen yhtälöryhmä 11 Esimerkki (a) Ratkaise yhtälö 5x = 7 Kerrotaan yhtälö puolittain

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

Lineaarialgebra, kertausta aiheita Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Paikannuksen matematiikka MAT

Paikannuksen matematiikka MAT TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Katri Syvänen Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot