2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

Transkriptio

1 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja ydin. Lineaarikuvauksen (matriisin) A : V Z kuva-avaruus: R(A) = { y y = A x jollakin x V } Lineaarikuvauksen (matriisin) A : V Z ydin: N(A) = { x V A x = }.

2 Ydin ja kuva-avaruus aliavaruuksia Lause Lineaarikuvauksen (matriisin) A : V Z kuva-avaruus R(A) on vektoriavaruuden Z aliavaruus ja ydin N(A) on vektoriavaruuden V aliavaruus. Tod. Kuva-avaruus: (1) y 1, y 2 R(A) mielivaltaisia. Silloin y 1 = A x 1 ja y 2 = A x 2 joillakin x 1, x 2 V. Siis y 1 + y 2 = A x 1 + A x 2 = A( x 1 + x 2 ). Koska V on vektoriavaruus, niin x 1 + x 2 V, joten y 1 + y 2 R(A) (2) Jos y R(A) ja a K, niin a y = aa x = A(a x), missä x V. Koska V on vektoriavaruus, niin a x V, joten a y R(A). (1) ja (2) perusteella R(A) on Z:n aliavaruus. Ydin. Väite: Ydin N(A) on vektoriavaruuden V aliavaruus. (1)Jos x 1, x 2 N(A), niin A( x 1 + x 2 ) = A( x 1 ) + A( x 2 ) = + =, eli x 1 + x 2 N(A). (2)Jos x N(A) ja a K, niin A(a x) = aa( x) = a =, eli a x N(A). (1) ja (2) perusteella N(A) on V :n aliavaruus.

3 Matriisin tunnuslukuja A:n aste (rangi, säännöllisyysaste) on dim R(A), eli avaruuden R(A) kantavektoreiden lukumäärä A:n nulliteetti (nollaantumisluku) on dim N(A), eli avaruuden N(A) kantavektoreiden lukumäärä. Esimerkki Määrää matriisin A = aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. Ratk. Ydin: Jokaiselle matriisin A ytimen vektorille x on A x =. Siis x x 2 x =, x 4 missä x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) T.

4 Ydin Ydin jatkoa Vastaava yhtälöryhmä: { x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = x 2 + x 4 = Alemmasta yhtälöstä: x 2 = x 4. Sijoitetaan ylempään: x 1 2x 4 + x 3 + 2x 4 = eli x 1 = x 3. x 1 A x 2 x 1 = x 3 x 3 = täsmälleen silloin kun x 2 = x 4 x 4 x 3, x 4 mielivaltaisia

5 x = x 1 x 2 x 3 x 4 x 3 x 3 = x 4 = x 3 x 3 x 4 1 x x s 1 Ydin N(A) = t s = s 1 t 1 N(A) = L({ 1, 1 }) t x 4 = x 4 1, s, t R. 1 1 N(A) = L({ 1, 1 }) 1 1 Vektorijoukko S = { 1 S on vapaa vektorijoukko., 1 } virittää A:n ytimen. 1 S on A:n ytimen kanta. Silloin A:n nulliteetti dim N(A) = 2.

6 Kuva-avaruus Kuva-avaruuden vektori x y = A x = x 2 x 2 x 4 x = x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 3x x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 4x = x x x x R(A) = L({ 1, 2, 1, 2 }) = L({ 1, 2 }) R(A) = L({ 1, 2 }) { 1, 2 } virittää R(A):n ja on vapaa { 1, 2 } on R(A):n kanta. 3 4 A:n aste dim R(A) = 2.

7 Aste ja pystyrivit Olkoon A = ( a 1 a 2 a n ) m n matriisi. Jos y R(A), niin y = A x, jollakin x = (x 1, x 2,, x n ) T. Silloin on x 1 x 2 x n y = ( a 1, a 2,, a n ). = x 1 a 1 + x 2 a x n a n eli y L({ a 1, a 2,..., a n }). Siis R(A) L({ a 1, a 2,..., a n }). Jatkoa Toisaalta, koska 1 1 a 1 = A, a 2 = A,..., a n = A,... 1 niin eli { a 1, a 2,..., a n } R(A) L({ a 1, a 2,..., a n }) R(A).

8 Jatkoa 2 Yhdistämällä edelliset tulokset, saadaan R(A) = L({ a 1, a 2,..., a n }). Silloin on matriisin A aste =dim R(A) = dim L({ a 1, a 2,..., a n }) = joukon { a 1, a 2,..., a n } vapaiden vektoreiden lukumäärä= A:n vapaiden sarakkeiden lukumäärä. Aste ja vapaat rivit/sarakkeet Lause Matriisin A aste on sama kuin 1) A:n vapaiden sarakkeiden lukumäärä. 2) A:n vapaiden rivien lukumäärä. Tod. 1): Edellä. 2):n tod. sivuutetaan.

9 Aste ja nullitetti Dimensiolause: Lause Jos A on m n-matriisi, niin A:n aste + A:n nulliteetti = n. Lineaarikuvaukselle A : V Z, missä dim V = n ja dim Z = m, on dim R(A) + dim N(A) = n. Huom. Yo. lause kun A : V Z, dim V = n, niin dim R(A) = n dim N(A) Dimensio ei kasva kuvattaessa V A:lla. Lause Kun A ja B matriiseja, niin AB:n aste min{a:n aste, B:n aste } Vaakarivimuunnokset ja aste Huom. Vaakarivimuunnoksissa matriisin A aste säilyy (muunnokset vastaavat rivien lin. yhdistelemistä). Siis rivien paikkojen vaihtaminen, rivin alkioiden kertominen vakiolla a ja/tai vakiolla kerrotun rivin lisääminen toiseen riviin, ei muuta matriisin astetta Menetelmä matriisin asteen määräämiseksi.

10 2.6. Matriisin asteen määrääminen Esimerkki 2.3. Määrää matriisin 1 1 A = aste. Ratk.... Porrasmuoto kertaus Matriisi on perusmuodossa (porrasmuodossa), jos 1) jokainen vain nollia sisältävä rivi on minkä tahansa muitakin kuin nollia sisältävän rivin alapuolella, 2) jos ensimmäinen nollasta poikkeava alkio rivillä r 1 on sarakkeessa c 1 ja rivillä r 2 sarakkeessa c 2 ja r 1 < r 2, niin c 1 < c 2. 3) jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeavan alkion alapuolella olevat vastaavan sarakkeen alkiot ovat nollia. Perusmuodossa olevia matriiseja: , ,

11 Redusoitu porrasmuoto kertaus Matriisi on redusoidussa porrasmuodossa, (redusoidussa perusmuodossa)jos se on porrasmuotoinen ja jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eriävä alkio on 1 ja kaikki muut tämän sarakkeen alkiot ovat :ia. 1 2 Redusoidussa porrasmuodossa oleva matriisi: 1 1 Perusmuodon yksikäsitteisyys Lause Jokainen matriisi A on ekvivalentti täsmälleen yhden redusoidussa porrasmuodossa olevan matriisin A R kanssa. A:n aste = A R :n aste = A R :n ei-nolla-rivien lukumäärä. Tod.... Algoritmi matriisin asteen ja nulliteetin määräämiseksi: 1. Muunnetaan matriisi A vaakarivialkeismuunnoksilla redusoituun porrasmuotoon A R. 2. Matriisin A aste on matriisin A R ei-nollarivien lukumäärä. 3. Matriisin A nulliteetti = A:n sarakkeiden lukumäärä A:n aste.

12 Esimerkki Määrää matriisin A = aste, nulliteetti, ydin,ytimen kanta, kuva-avaruus ja kuva-avaruuden kanta. Ratk. Aste: Esimerkki jatkoa Nyt A = = B Molemmilla sama aste. B:n aste = 2, eli A:n aste = 2. A:n nulliteetti = A:n sarakkeiden lukumäärä - A:n aste = 4 2 = 2.

13 Esimerkki jatkoa 2 Ydin: A x =, eli x 1 x 2 x 3 x =. Esimerkki jatkoa 3 Kuva-avaruus: Merkitään A = = ( a 1, a 2, a 3, a 4 ), a i on matriisin A i:s pystyvektori, i = 1, 2, 3, 4. Kuva-avaruuden vektori x x 1 y = A x = x 2 x = ( a 1, a 2, a 3, a 4 ) x 2 x 3 x 4 x 4 = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4. Silloin matriiisin A kuva-avaruus R(A) = L{ a 1, a 2, a 3, a 4 }.

14 Kuva-avaruuden kanta: Etsitään avaruuden L{ a 1, a 2, a 3, a 4 } virittävät vapaat vektorit. Tehdään vaakarivialkeismuunnoksia A T :lle. Löydetään vapaat vektorit. T a T 1 A T = = ( a 1, a 2, a 3, a 4 ) T = a T 2 a T a 4 T = Perusmuotona I Lause Jos A on n n-matriisi, niin A:n aste = n A R = I. Tod. 1) : A R = I A:n aste = n (= ei-nolla-rivien lukumäärä) 2) : A:n aste = n A R :n aste = n A R = I.

15 2.7 Sovelluksia 1) Käänteismatriisin olemassaolo: Lause Jos A on n n-matriisi, niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (i) A 1 on olemassa (ii) A:n aste on n (iii) A R = I (iv) A :n rivit (sarakkeet) ovat vapaita. Esimerkki Tutki onko matriisilla A = käänteismatriisia Ratk A = A:n aste = 2< A 1 ei ole olemassa.

16 2) Lineaarisen yhtälöryhmän ratkeavuus: Tarkastellaan yhtälöryhmää 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + x 2 2x 3 = 4 Ratk. Yhtälöryhmä vektorimuodossa: 2x 1 + 4x 2 + 6x x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + x 2 2x 3 4 2x 1 4x 2 6x x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 x 2 2x x x x 3 6 = Jatkoa 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + x 2 2x 3 = x x x 3 6 = Merkitään: x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 = v Yhtälöryhmällä ratkaisu v L({ u 1, u 2, u 3 }) Matriisin ( u 1, u 2, u 3 ) aste = Matriisin ( u 1, u 2, u 3, v) aste Kerroinmatriisin aste = Laajennetun kerroinmatriisin aste.

17 Ratkaisujen olemassaolo Lause Lineaarisella yhtälöryhmällä on ratkaisuja Kerroinmatriisin aste = Laajennetun kerroinmatriisin aste. Tod. Mielivaltainen yhtälöryhmä: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 A x = b. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Väite. Yo. yhtälöryhmällä on ratkaisu A:n aste = (A b):n aste Jatkoa (1): " " Oletus: Yhtälöryhmällä ratkaisu x = x 1. x n Väite: A:n aste= (A b):n aste Koska x on yhtälöryhmän ratkaisu, niin x 1 a 11. a m1 + + x n a 1n. a mn = b 1. b m b on lineaarikombinaatio A:n sarakkeista (A b):n vapaiden sarakkeiden lukumäärä = A:n vapaiden sarakkeiden lukumäärä. (A b):n aste = A:n aste.

18 Jatkoa 2. (2): " " Oletus: A:n aste= (A b):n aste Väite: Yhtälöryhmällä ratkaisu Koska (A b):n aste = A:n aste, niin b on lineaarinen kombinaatio A:n sarakkeista, jonka kertoimet olkoot c 1,..., c n. Siis: c 1 a 11. a m1 + + c n a 1n. a mn = b 1. b m Silloin x = (c 1,..., c n ) T on yhtälöryhmän ratkaisu. Kohtien (1) ja (2) perusteella Väite on voimassa. Esimerkki Tutki yhtälöryhmän x 1 x 2 + 2x 3 = 1 2x 1 x 2 + ax 3 = 2 x 1 + 2x 2 + x 3 = c ratkeavuutta eri a:n ja c:n arvoilla. Ratkaisu: Yhtälöryhmä matriisimuodossa a eli A x = b. x 1 1 x 2 = 2 x 3 c

19 Jatkoa Laajennettu kerroinmatriisi: (A b) = ( ) a 1 2 c ( ) a c ( ) a 4 a + 7 c + 1 Jatkoa 2 (A b) a 4 a + 7 c + 1 (1): a + 7, eli a 7 Matriisin A aste = matriisin (A b) aste = 3 Silloin yhtälöryhmällä on ratkaisuja. Koska kerroinmatriisi A on 3 3 matriisi ja A:n aste on 3, niin A:lla on käänteismatriisi A 1. Silloin A x = b saadaan muotoon x = A 1 b, eli yhtälöryhmällä on yksi ratkaisu. (2): a + 7 =, eli a = 7 ja c + 1 =, eli c = 1 A aste = matriisin (A b) aste = 2. Ratkaisuja ääretön määrä. (3): a + 7 =, eli a = 7 ja c + 1, eli c 1 A aste = 2 ja matriisin (A b) aste = 3. Ei ratkaisuja.