1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät"

Transkriptio

1 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,, a n R ja vakio on b R (1):n ratkaisut ovat ne reaalilukujonot (s 1,, s n ), joilla (1) toteutuu, kun sijoitetaan x 1 s 1,, x n s n Esimerkki 111 a) Yhtälön 6x 1 3x + 4x 3 13 eräs ratkaisu on x 1, x 3, x 3 4 b) Tapaus n : Tuntemattomia merkitään usein symboleilla x ja y Yhtälön a 1 x + a y b (a 1 0 tai a 0) ratkaisut muodostavat suoran xy-tasossa (tästä nimitys lineaarinen ) () Äärellinen jono tuntemattomien x 1,, x n lineaarisia yhtälöitä a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n b m on lineaarinen yhtälöryhmä (tässä on m yhtälöä ja n tuntematonta; m 1, n 1), jonka kertoimet ovat a ij R (1 i m, 1 j n) ja vakiot b i (1 i m) ():n i:s yhtälö a i1 x 1 + a i x + + a in x n b i kirjoitetaan joskus muodossa L i 0, missä L i a i1 x 1 + a i x + + a in x n b i Lukujono (s 1,, s n ) on ():n ratkaisu, jos se on ():n jokaisen yhtälön ratkaisu Yhtälöryhmä () on homogeeninen, jos b 1 b n 0 Homogeenisella yhtälöryhmällä on aina triviaali ratkaisu x 1 x n 0 Homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisu, jossa jokin x i 0, on epätriviaali Kaksi tuntemattomien x 1,, x n yhtälöryhmää ovat ekvivalentit, jos niillä on täsmälleen samat ratkaisut, so sama ratkaisujoukko Tämä tarkoittaa sitä, että jokainen ensimmäisen yhtälöryhmän ratkaisu on myös toisen ratkaisu, ja kääntäen, jokainen toisen yhtälöryhmän ratkaisu on myös ensimmäisen ratkaisu

2 Yhtälöryhmän () ratkaiseminen tarkoittaa sen kaikkien ratkaisujen (ts ratkaisujoukon) määrittämistä Strategia: Muodostetaan ():n kanssa ekvivalentteja yhtälöryhmiä, joista ratkaisu voidaan helpommin lukea Seuraavat esimerkit 11 (a) (e) on tarkoitettu johdatukseksi lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen Systemaattinen ratkaisumenetelmä esitetään kappaleessa 15 Esimerkki 11 { x1 3x 7 (a) x 1 + x 7 (1) { x1 3x 7 7x 1 () { x1 3x 7 x 3 (3) { x x x 3 (4) { x1 x 3 Yhtälöryhmällä on siis täsmälleen yksi ratkaisu, nimittäin (x 1, x ) (, 3) Selitykset: (1) Alempaan yhtälöön lisätään ylempi yhtälö kerrottuna puolittain puolittain luvulla, jolloin saadaan eliminoitua tuntematon x 1 alemmasta yhtälöstä () Alempi yhtälö kerrotaan puolittain luvulla 1 7, jolloin saadaan ratkaistua tuntematon x alemmasta (3) Ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan tuntematon x 1 tuntemattoman x avulla (4) Sijoitetaan x 3 ylempään, jolloin saadaan x 1 Usein esitystä on tapana pelkistää yhdistämällä itsestään selviä välivaiheita Esimerkiksi vaiheet (), (3) ja (4) voidaan yhdistää: { x1 3x 7 x 1 + x 7 { x1 3x 7 7x 1 { x x x 3 8x 1 3x 7 7x 1 14 { x1 (b) 3x 1 x 0 7x 1 14 (1) 10x 1 x 14 () x 5x x 1 x 14 Saatiin siis yksikäsitteinen ratkaisu (x 1, x ) (, 3) Koska ratkaisu on sama kuin kohdassa (a), kyseiset yhtälöryhmät ovat ekvivalentit Selitykset: (1) Toiseen yhtälöön lisätään kolmas yhtälö kerrottuna puolittain luvulla 1, jolloin saadaan eliminoitua tuntematon x toisesta yhtälöstä Vastaavasti ensimmäiseen

3 yhtälöön lisätään kolmas yhtälö puolittain luvulla 3 kerrottuna, jolloin saadaan eliminoitua tuntematon x ensimmäisestä yhtälöstä () Koska ensimmäinen ja toinen yhtälö ovat samoja, voidaan toinen niistä pudottaa pois Kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla 1, jolloin kyseisestä yhtälöstä 7 saadaan x 1 Ratkaistaan kolmannesta yhtälöstä x x 1 :n avulla ja sijoitetaan x 1, jolloin saadaan x 3 3 (c) { x1 3x 7 x 1 6x 7 (1) { x1 3x Koska yhtälö 0 1 ei toteudu millään parilla (x 1, x ), yhtälöparilla ei ole ratkaisua Selitykset: (1) Lisätään alempaan yhtälöön ylempi yhtälö kerrottuna puolittain luvulla, jolloin saadaan eliminoitua alemmasta tuntematon x 1 Osoittautuu, että samalla eliminoituu myös tuntematon x (d) x 1 + x + 3x 3 6 x 1 3x + x x 1 + x x 3 x 1 + x + 3x 3 6 7x 4x 3 x + x 3 4 x 1 + x + 3x 3 6 x + x x 3 30 (3) (1) (5) x 1 + x + 3x 3 6 7x 4x 3 5x 10x 3 0 x 1 + x + 3x 3 6 x + x 3 4 7x 4x 3 (4) x 1 6 x 3x 3 1 x 4 x 3 x 3 3 () Saatiin yksikäsitteinen ratkaisu (x 1, x, x 3 ) (1,, 3) Selitykset: (1) Eliminoidaan tuntematon x 1 toisesta yhtälöstä lisäämällä toiseen yhtälöön ensimmäinen yhtälö luvulla kerrottuna Vastaavasti eliminoidaan x 1 kolmannesta yhtälöstä lisäämällä kolmanteen yhtälöön ensimmäinen yhtälö luvulla 3 kerrottuna () Sievennetään kolmas yhtälö kertomalla se puolittain luvulla 1 5 (3) Vaihdetaan keskenään toinen ja kolmas yhtälö

4 (4) Eliminoidaan tuntematon x (uudesta) kolmannesta yhtälöstä lisäämällä (uusi) toinen yhtälö luvulla 7 kerrottuna kolmanteen yhtälöön (5) Ratkaistaan tuntematon x 3 kolmannesta yhtälöstä kertomalla kyseinen yhtälö puolittain luvulla 1 10 ; saadaan x 3 3 Ratkaistaan toisesta yhtälöstä tuntematon x tuntemattoman x 3 avulla ja sijoitetaan edellä saatu x 3 3; saadaan x Ratkaistaan lopuksi ensimmäisestä yhtälöstä tuntematon x 1 tuntemattomien x ja x 3 avulla ja sijoitetaan edellä saadut x ja x 3 3; saadaan x (e) { x1 + x 3x 3 4 x 1 + x 3x 3 4 (1) { x1 + x 3x 3 4 3x + 3x 3 1 () { x1 4 x + 3x 3 4 (x 3 4) + 3x 3 x x x 3 4 Ratkaisut ovat siis (x 1, x, x 3 ) (t + 4, t 4, t), missä x 3 t R on mikä tahansa reaaliluku (parametri); ratkaisuja on ääretön määrä Selitykset: (1) Eliminoidaan muuttuja x alemmasta yhtälöstä lisäämällä alempaan yhtälöön ylempi yhtälö puolittain luvulla kerrottuna () Ratkaistaan alemmasta yhtälöstä tuntematon x tuntemattoman x 3 avulla ja ylemmästä yhtälöstä tuntematon x 1 tuntemattomien x ja x 3 avulla Sijoitetaan x :n lauseke ylempään yhtälöön, jolloin saadaan x 1 pelkästään x 3 :n avulla lausuttuna Nähdään, että jokaista arvoa x 3 t R kohti saadaan ratkaisu (x 1, x, x 3 ) (t + 4, t 4, t); kaikkiaan näitä rataisuja on ääretön määrä (niiden joukko on yhtä mahtava kuin reaalilukujen t joukko) Huomautus 113 Esimerkistä 11 nähdään, että lineaarisella yhtälöryhmällä voi olla ratkaisuja (ainakin) jokin seuraavista määristä: a) tasan yksi, b) ei yhtään, c) ääretön määrä Geometrinen tulkinta yhtälöparin { a11 x 1 + a 1 x b 1 (a 11 0 tai a 1 0) a 1 x 1 + a x b (a 1 0 tai a 0) tapauksessa: x 1 x -tason kahden suoran leikkaus on a) piste, b) tyhjä, c) suora l 1 a) b) l 1 l c) l 1 l l

5 Kuvailemme lopuksi yleisesti ne operaatiot, joilla yhtälöryhmiä esimerkissä 11 manipuloitiin Tarkastellaan yhtälöryhmää () eli L i 0, i 1,, m, missä L i a i1 x 1 + a i x + + a in x n b i Muodostetaan uusi yhtälöryhmä ( ) L i 0, i 1,, m, suorittamalla jokin seuraavista toimituksista: I Olkoon r s Määritellään L r L s, L s L r ja L i L i kaikilla i r, s; siis vaihdetaan ():n yhtälöt r ja s keskenään II Olkoon r {1,,, m} ja c R, c 0 Määritellään L r c L r ja L i L i kaikilla i r; siis kerrotaan ():n yhtälö r (puolittain) vakiolla c 0 III Olkoon r, s {1,,, m}, r s ja c R Määritellään L s L s + c L r ja L i L i kaikilla i s; siis ():n yhtälöön s lisätään c (yhtälö r) Lause 114 Yhtälöryhmät () ja ( ) ovat ekvivalentit Todistus Tapaus I on selvä Tapaus II Oletetaan, että L i 0 i Tällöin L i L i 0 i r ja L r c L r c 0 0 Oletetaan kääntäen, että L i 0 i Tällöin L i L i 0 i r ja L r (1/c) L r (1/c) 0 0 (Tässä tarvitaan ehtoa c 0!) Tapaus III Oletetaan, että L i 0 i Tällöin L i L i 0 i s ja L s L s + c L r 0 + c 0 0 Oletetaan kääntäen, että L i 0 i Tällöin L i L i 0 i s ja L s L s c L r L s c L r 0 c 0 0 Myöhemmin selitetään, millaiseen yhtälöryhmään toimituksilla I - III kannattaa pyrkiä 1 Matriisit ja matriisitoimitukset Kun edellä operoitiin lineaarisilla yhtälöryhmillä, käsiteltiin itse asiassa vain yhtälöryhmien kertoimia ja vakioita; tuntemattomat olivat vain paikanpitäjinä Kootaan kertoimet ja vakiot matriiseiksi Määritelmä 11 Olkoot m 1 ja n 1 kokonaislukuja (Reaalinen) m n - matriisi on lukukaavio a 11 a 1 a 1n a A 1 a a n a m1 a m a mn (a ij R kaikilla i, j); 5

6 6 reaaliluku a ij A(i, j) on A:n (i, j)-alkio; 1 n -matriisi [ a i1 a i a in ] on A:n i:s rivi (i 1,,, m); m 1 -matriisi a 1j a j a mj on A:n j:s sarake (j 1,,, n) Jos m n, A on neliömatriisi; tällöin a 11, a,, a nn ovat A:n lävistäjäalkiot Merkitään R m n kaikkien (reaalisten) m n -matriisien joukko; siis A R m n A on m n -matriisi Usein merkitään lyhyesti A [ a ij ] Määritelmä 11 Matriisit A [ a ij ] ja B [ b ij ] ovat samankokoiset jos niillä on yhtä monta riviä ja yhtä monta saraketta (esimerkiksi molemmat ovat m n - matriiseja) Edelleen matriisit A ja B ovat samat, merkitään A B, jos ne ovat samankokoiset ja a ij b ij i, j Esimerkki 13 1 [ 1 ] ; w x 4 w 1, x 3, y 0, z y 4 z Määritelmä 14 (Yhteenlasku) m n -matriisien A [ a ij ] ja B [ b ij ] summa on m n -matriisi A + B [ c ij ], missä c ij a ij + b ij i, j Esimerkki ei ole määritelty (matriisit ovat erikokoiset);

7 Määritelmä 16 (Skalaarilla kertominen) Jos A [ a ij ] on m n -matriisi ja t R on skalaari, niin ta [ c ij ] on se m n -matriisi, jolla c ij ta ij i, j Esimerkki 17 ( ) Kahden m n -matriisin erotus on Esimerkki A B A + ( 1)B Summamerkintä Kun a 1, a,, a n R, merkitään a 1 + a + + a n n a i R i1 Täsmällisemmin tämä merkintä määritellään rekursiivisesti: 1 a i a 1 ; i1 ( n+1 n ) a i a i + a n+1 i1 i1 Summausindeksi i on sidottu muuttuja ; summa ei riipu sen merkintätavasta: Laskusääntöjä: n a i i1 n a r r1 n ca i c i1 n a i Tapauksessa n kyseessä on osittelulaki ca 1 + ca c(a 1 + a ); yleisesti kaava todistetaan induktiolla i1

8 8 Kaksinkertaisen summan summausjärjestyksen vaihtamissääntö: m n a ij ( n m ) a ij i1 j1 j1 i1 Tapaus m n : i1 j1 a ij (a i1 + a i ) (a 11 + a 1 ) + (a 1 + a ), i1 ( ) a ij j1 i1 (a 1j + a j ) (a 11 + a 1 ) + (a 1 + a ) j1 Reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuudesta ja liitännäisyydestä seuraa, että yllä olevissa yhtälöissä oikealla olevat lausekkeet ovat samat, joten kaksoissummat ovat samat Yleinen tapaus voidaan todistaa induktiolla Kysymys on siitä, että matriisin [ a ij ] rivisummien summa ja sarakesummien summa ovat yhtäsuuret; molemmat antavat tulokseksi kaikkien lukujen a ij summan Määritelmä 19 (Matriisitulo) m n -matriisin A [ a ij ] ja n p -matriisin B [ b ij ] tulo on m p -matriisi AB [ c ij ], jolla c ij n a ik b kj a i1 b 1j + a i b j + + a in b n,j, k1 i {1,, m}, j {1,, p} Huomautus 110 AB on määritelty A:n sarakkeiden lukumäärä B:n rivien lukumäärä j b 1j b j i a i1 a i a in c ij b nj c ij a i1 b 1j + a i b j + + a in b nj

9 9 Esimerkki [ 1 ( ) ( 1) ( 3) + ( 1) 1 3 ( ) ( 3) ] Olkoon A R m n ja B R n p Tällöin siis AB R m p on määritelty Kysymys: Mitä voidaan sanoa matriisista BA? Vastaus: BA on määritelty vain, jos p m Tällöin BA R n n (ja siis AB R m p R m m ) Jos m n, AB ja BA eivät ole samankokoiset, joten AB BA Jos m n, AB ja BA ovat molemmat n n -matriiseja ja voi olla AB BA, mutta yleensä tällöinkin AB BA Esimerkki (a) ; ei ole määritelty (b) (c) [ 1 ] [ 1 ] (1 1 -matriisi), [ 1 ] ( -matriisi) Huomautus 113 Olkoon A R m n ja B R n p ; A 1,, A m R 1 n A:n rivit ja B 1,, B p R n 1 B:n sarakkeet Tällöin AB:n rivit ovat A 1 B,, A m B R 1 p ; AB:n sarakkeet ovat AB 1,, AB p R m 1 ; A i 0 B j0 [ (AB)(i 0, j 0 ) ] R 1 1 Lineaarisen yhtälöryhmän matriisiesitys Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n b (1) a m1 x 1 + a m x + + a mn x n b m

10 Merkitään a 11 a 1 a 1n a A 1 a a n a m1 a m a mn, X x 1 x x n, B A R m n, X R n 1, B R m 1 A on (1):n kerroinmatriisi, a 11 a 1 a 1n b 1 a [ A B ] 1 a a n b (m (n + 1) -matriisi) a m1 a m a mn sen täydennetty matriisi Tulo AX on määritelty ja a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n a AX 1 x 1 + a x + + a n x n a m1 x 1 + a m x + + a mn x n Siten (x 1, x,, x n ) on (1):n ratkaisu jos ja vain jos X toteuttaa matriisiyhtälön AX B Esimerkki e):n yhtälöryhmä on matriisimuodossa 1 3 x 1 x x 3 Yhtälöryhmän (1) voi A:n sarakkeiden avulla myös kirjoittaa muodossa a 11 b 1 a x x + + x n b a 1 a b m a 1n a n b 1 b b m ; 10 a m1 a m a mn b m Transponointi Määritelmä 115 m n -matriisin A [ a ij ] transpoosi eli transponoitu matriisi on n m -matriisi A T [ c ij ], jolla c ij a ji kaikilla i, j Esimerkki 116 T Huomautus 117 Jos A i on A:n i:s rivi ja A j A:n j:s sarake, niin (A i ) T A T :n i:s sarake ja (A j ) T on A T :n j:s rivi on

11 13 Matriisien laskulakeja m n -matriisien yhteenlasku toteuttaa samanlaiset laskulait kuin reaalilukujen yhteenlasku: (1) A + (B + C) (A + B) + C kaikilla A, B, C R m n (liitännäisyys) () A + 0 A kaikilla A R m n, missä mn Rm n on m n -nollamatriisi (nollarivejä m kappaletta ja nollasarakkeita n kappaletta) Jos m n, merkitään 0 n 0 nn (3) A + ( 1)A 0 kaikilla A R m n, missä A ( 1)A on A:n vastamatriisi (4) A + B B + A kaikilla A, B R m n (vaihdantalaki) Perustelu Yllä olevat tulokset seuraavat matriisien yhteenlaskun määritelmän nojalla reaalilukujen vastaavista ominaisuuksista Esimerkiksi liitäntälaki (1) seuraa reaalilukujen liitäntälaista, sillä a ij + (b ij + c ij ) (a ij + b ij ) + c ij kaikilla i, j 11 Skalaarilla kertomisen ominaisuudet on yhtä helppo johtaa: (5) s(a + B) sa + sb kaikilla A, B R m n, s R (6) (s + t)a sa + ta kaikilla A R m n, s, t R (7) s(ta) (st)a kaikilla A R m n, s, t R (8) 1A A kaikilla A R m n Matriisia I n Rn n kutsutaan ykkösmatriisiksi; siis I n [ δ ij ], missä { 1, kun i j δ ij 0, kun i j Matriisitulon ominaisuuksia:

12 Lause 131 Jos A, A R m n, B, B R n p, C R p q ja t R, niin seuraavat kaavat pätevät (ja erityisesti niissä esiintyvät matriisit ovat määriteltyjä): (a) A(B + B ) AB + AB, (b) (A + A )B AB + A B, (c) t(ab) (ta)b A(tB), (d) A(BC) (AB)C, (e) I m A A AI n Todistus Todistetaan malliksi kohdat (d) ja (e): 1 (d) ( ) n A(BC) (i, j) A(i, k) (BC)(k, j) k1 n ( p ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) k1 l1 p ( n ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) l1 k1 n ( p k1 l1 p ( n l1 k1 p (AB)(i, l) C(l, j) ( (AB)C ) (i, j) i, j l1 ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) ) A(i, k) B(k, l) C(l, j) (e) (I m A)(i, j) m δ ik A(k, j) δ ii A(i, j) + k1 m δ ik A(k, j) A(i, j) i, j, sillä δ ii 1 ja δ ik 0, kun i k Vastaavasti (AI n )(i, j) A(i, j) i, j Huomautus 13 Matriisitulolta puuttuu osa reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksista 11:ssa todettiin, että jos A, B R n n (ja n ), niin voi olla AB BA (tulo ei ole vaihdannainen ); lisäksi voi olla AB 0, vaikka A 0 ja B 0 ( tulon nollasääntö ei päde) Esimerkki Transponoinnin ominaisuuksia: k1 k i ( ) 1 ( 6) ( ) ( 6) + 4 3

13 13 Lause 134 Olkoot A, A R m n, B R n p ja t R Tällöin (a) (A T ) T A, (b) (A + A ) T A T + A T, (c) (AB) T B T A T, (d) (ta) T ta T Todistus Todistetaan malliksi (c): n n (AB) T (i, j) (AB)(j, i) A(j, k) B(k, i) B(k, i) A(j, k) k1 k1 n B T (i, k) A T (k, j) (B T A T )(i, j) i, j k1 14 Eräitä erityisiä matriiseja Neliömatriisi A [ a ij ] R n n on lävistäjämatriisi, jos a ij 0 aina, kun i j (so lävistäjän ulkopuoliset alkiot 0); jos lisäksi a ii a R kaikilla i, A on skalaarimatriisi ( a I n ) Esimerkki , , ovat lävistäjämatriiseja; ovat skalaarimatriiseja Jokainen skalaarimatriisi on tietysti myös lävistäjämatriisi Neliömatriisi A [ a ij ] R n n on yläkolmiomatriisi, jos a ij 0 aina kun i > j, ja alakolmiomatriisi, jos a ij 0 aina, kun i < j Esimerkki 14 Lävistäjämatriisi on sekä ylä- että alakolmiomatriisi; on yläkolmiomatriisi; on alakolmiomatriisi; (Neliö)matriisi A [ a ij ] on symmetrinen, jos A T A eli a ji a ij kaikilla i, j, ja antisymmetrinen, jos A T A eli a ji a ij kaikilla i, j Antisymmetrisellä matriisilla erityisesti a ii a ii kaikilla i, joten jokainen lävistäjäalkio a ii 0

14 14 Esimerkki on symmetrinen; on antisymmetrinen Säännölliset matriisit Määritelmä 144 Neliömatriisi A R n n on säännöllinen eli kääntyvä, jos on olemassa sellainen matriisi B R n n, että AB I n ja BA I n Muussa tapauksessa A on singulaarinen Huomautus 145 Jos A R n n on säännöllinen, niin 144:ssä mainittu B R n n on yksikäsitteinen Jos nimittäin myös C R n n toteuttaa ehdot AC I n ja CA I n, niin C CI n C(AB) (CA)B I n B B Voidaan siis merkitä B A 1, säännöllisen matriisin käänteismatriisi Esimerkki 146 a) 1 1 -matriisi [ a ] R 1 1 on säännöllinen a 0; tällöin [ a ] 1 [ 1/a ] b) R 1 0 on säännöllinen ja, sillä c) R 0 0 ei ole säännöllinen, sillä joka ei voi olla I b11 b 1 b1 b, 0 0 b 1 b Kappaleessa 16 kehitämme menetelmän, jolla voi selvittää, onko annettu A R n n säännöllinen, ja myönteisessä tapauksessa määrittää A 1 :n Lause 147 Jos A, B R n n ovat säännöllisiä, niin myös A 1, AB ja A T ovat säännöllisiä ja (A 1 ) 1 A, (AB) 1 B 1 A 1, (A T ) 1 (A 1 ) T

15 Todistus A 1 :n säännöllisyyttä ja käänteismatriisia koskevat väitteet seuraavat heti käänteismatriisin määritelmästä ja yhtälöistä AA 1 I n A 1 A Muut väitteet seuraavat yhtälöistä (AB)(B 1 A 1 ) A(BB 1 )A 1 AI n A 1 AA 1 I n, (B 1 A 1 )(AB) B 1 (A 1 A)B B 1 I n B B 1 B I n ; 15 A T (A 1 ) T (A 1 A) T I T n I n (A 1 ) T A T (AA 1 ) T I T n I n, joissa käytettiin laskulakeja 131 d) ja 134 c) Lineaariset yhtälöryhmät ja käänteismatriisit Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää, jossa on n yhtälöä ja n tuntematonta, matriisimuodossa AX B, missä A R n n ja X, B R n 1 Lause 148 Jos A R n n on säännöllinen, yhtälöryhmällä AX B on yksikäsitteinen ratkaisu X R n 1, nimittäin X A 1 B Todistus Jos X A 1 B, niin AX A(A 1 B) (AA 1 )B IB B, koska AA 1 I Kääntäen, jos AX B, niin X IX (A 1 A)X A 1 (AX) A 1 B, koska A 1 A I Todistuksessa tarvittiin siis molempia yhtälöitä AA 1 I ja A 1 A I Huomautus 149 Jos A R n n on säännöllinen ja B R n p, niin vastaavasti matriisiyhtälöllä AX B on yksikäsitteinen ratkaisu X A 1 B R n p 148:n tilanteessa(kin) yhtälöryhmä AX B on yleensä helpointa ratkaista suoraan 15:ssä esitettävillä menetelmillä, etsimättä käänteismatriisia A 1 15 Porrasmatriisit ja lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen Määritelmä 151 Matriisi on porrasmuotoinen eli porrasmatriisi, jos seuraavat ehdot (1), () ja (3) ovat voimassa: (1) Nollarivit (jos niitä on) ovat alimpina () Jokaisen nollasta eroavan rivin vasemmalta lukien ensimmäinen nollasta eroava alkio, ko rivin johtava alkio, on 1 (3) Alemman rivin johtavan alkion sarake sijaitsee aina ylemmän rivin johtavan alkion sarakkeen oikealla puolella Porrasmatriisi on redusoitu jos lisäksi (4) Jokainen johtava alkio on sarakkeensa ainoa nollasta eroava alkio

16 Olkoon A [ a ij ] R m n porrasmatriisi, jossa on r nollasta eroavaa riviä Ehdosta 151 (1) seuraa, että nollasta eroavat rivit ovat rivit 1,,, r ja nollarivit ovat rivit r + 1, r +,, m Olkoon i:nnen rivin johtava alkio kohdassa (i, j i ) (i 1,,, r) ():n nojalla a iji 1 kaikilla i {1,,, r} ja (3):n nojalla 1 j 1 < j < < j r n 16 Erityisesti täytyy olla 0 r min {m, n} A on muotoa a 1,j1 +1 a 1n a,j +1 a n a 3,j3 +1 a 3n a r,jr +1 a rn Jos A on redusoitu, niin lisäksi a kji 0, kun k < i (i 1,,, r) Havainto 15 Jos neliömatriisi A [ a ij ] R n n on redusoidussa porrasmuodossa, niin joko (1) A:ssa on nollarivejä, tai () A I n (Tapaukset (1) ja () eivät ole yhtä aikaa voimassa) Todistus Olkoot A:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),,(r, j r ) kuten yllä Oletetaan, että A:ssa ei ole nollarivejä Tällöin r n Koska 1 j 1 < j < < j n n ja lukuja j 1, j,, j n on n kappaletta, niin välttämättä j 1 1, j,, j n n, ja siis a 11 a a nn 1 151:n kohtien () (4) nojalla muut A:n alkiot 0 Rivitoimitukset Olkoot A, B R m n m n -matriiseja, joiden rivit ovat rivit A 1,, A m ja B 1,, B m

17 Määritelmä 153 B on saatu A:sta yhdellä alkeisrivitoimituksella seuraavissa kolmessa tapauksessa: I Eräillä r, s {1,,, m}, r s, on B r A s, B s A r ja B i A i Kaikilla i r, s (A:n rivit r ja s on vaihdettu) II Eräillä r {1,,, m} ja c R, c 0, on B r ca r ja B i A i Kaikilla i r (A:n rivi r on kerrottu vakiolla c 0) III Eräillä r, s {1,,, m}, r s, ja c R on B s A s + c A r ja B i A i kaikilla i s (A:n riviin s on lisätty c (A:n rivi r)) Määritelmä 154 Matriisi A R m n on riviekvivalentti matriisin B R m n kanssa, jos B saadaan A:sta äärellisen monella alkeisrivitoimituksella, ts jos on olemassa sellaiset matriisit A 0, A 1,, A k, että A 0 A, A k B ja A l+1 on saatu A l :stä yhdellä alkeisrivitoimituksella (l 0, 1,, k 1) Lause 155 Jokainen m n -matriisi A on riviekvivalentti jonkin redusoidun porrasmatriisin kanssa Todistus Esitämme algoritmin, joka muuntaa A:n alkeisrivitoimituksin redusoituun porrasmuotoon Jos A 0, A on jo redusoidussa porrasmuodossa (pelkkiä nollarivejä) Olkoon siis A 0 Vaihe 1: A muunnetaan porrasmuotoon (1) Etsitään (vasemmalta lukien) A:n ensimmäinen nollasta eroava sarake ja valitaan ko sarakkeesta jokin alkio a 0 () Siirretään a:n sisältävä rivi ylimmäksi vaihtamalla (tarvittaessa) kaksi riviä keskenään (3) Kerrotaan 1 (ylin) rivi luvulla 1/a On päästy muotoon (missä mikä tahansa luku) a 0 a m (4) Lisätään i:nteen riviin ( a i ) (1 rivi), i,, m; tuloksena on matriisi A,

18 missä A on (m 1) p -matriisi jollakin p < n (5) Jos A 0, on saatu porrasmatriisi; jos A 0, sovelletaan siihen kohtia (1) (4) Äärellisen monen askeleen jälkeen saadaan porrasmatriisi C Vaihe : Porrasmatriisi C muunnetaan redusoiduksi porrasmatriisiksi Olkoot C:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),, (r, j r ) (1) Muutetaan kohdissa (i, j r ), i 1,,, r 1, mahdollisesti olevat nollasta eroavat alkiot nolliksi lisäämällä kyseisiin riveihin r:nnen rivin sopivat kerrannaiset () Seuraavaksi tuotetaan vastaavasti nollat kohdan (r 1, j r 1 ) yläpuolelle jne Esimerkki 156 Muunnetaan annettu 4 5 -matriisi a) porrasmatriisiksi, b) redusoiduksi porrasmatriisiksi (a) (1) Selitykset: () (3) (4) (5) (6) [ 1 3 (7) 3 4 ] [ 1 3 (8) (1) Vaihdetaan rivit 1 ja 3 keskenään ja kerrotaan sen jälkeen rivi 1 vakiolla 1 () Lisätään riviin 4 rivi 1 vakiolla kerrottuna (3) Koska rivi 1 ja sarake 1 eivät tämän jälkeen muutu, ne voidaan jättää jatkotarkasteluissa pois (4) Vaihdetaan rivit 1 ja ja kerrotaan sen jälkeen rivi 1 luvulla 1 (5) Lisätään riviin 3 rivi 1 luvulla kerrottuna ] 18

19 (6) Koska rivi 1 ja sarake 1 eivät tämän jälkeen muutu, ne voidaan jättää jatkotarkasteluissa pois (7) Kerrotaan rivi 1 luvulla 1 (8) Lisätään riviin rivi 1 luvulla kerrottuna Koska saatiin matriisi, jonka alin rivi on nollarivi, tehtävä on valmis Lopuksi yhdistetään yllä olevat vaiheet (), (5) ja (8) jolloin saadaan alkuperäisen kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi b) Redusoidun porrasmatriisin saamiseksi jatketaan viimeksi saadusta muodosta (1) () Selitykset: (1) Koska alin johtava kerroin on kohdassa (3, 3), hävitetään aluksi kolmannelta sarakkeelta mainitun kohdan yläpuolella olevat nollasta eroavat alkiot Sitä varten lisätään toiseen riviin kolmas rivi luvulla 3 kerrottuna, ja ensimmäiseen riviin lisätään kolmas rivi luvulla 5 kerrottuna 19 () Koska seuraavaksi alin johtava kerroin sijaitsee kohdassa (, ), lisätään ensimmäiseen riviin toinen rivi luvulla 1 kerrottuna Näin saadaan alkuperäisen matriisin kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Haluamme ratkaista (matriisimuotoisen) lineaarisen yhtälöryhmän AX B, A R m n, X R n 1, B R m 1 Tarkastelemme täydennettyä matriisia [ A B ] R m (n+1) Lause 157 Jos [ A B ] on riviekvivalentti [ C D ]:n kanssa, yhtälöryhmät AX B ja CX D ovat ekvivalentit (eli niillä on samat ratkaisut) Todistus Tyyppiä I, II ja III olevat alkeisrivitoimitukset (ks 153) vastaavat lineaarisille yhtälöryhmille suoritettavia toimituksia I, II ja III (sivu 5) Väite seuraa siten lauseesta :n nojalla yllä [ C D ]:ksi voidaan valita (jopa redusoitu) porrasmatriisi Tällöin CX D on helppo ratkaista:

20 Esimerkki 158 Yhtälöryhmän CX D ratkaiseminen, kun [ C D ] on a) porrasmatriisi, b) redusoitu porrasmatriisi: a) Myös C on selvästi porrasmatriisi Olkoot C:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),, (r, j r ) Tällöin [ C D ] on muotoa c 1,j1 +1 d c,j +1 d c 3,j3 +1 d c r,jr +1 d r 0 0 d r missä d r+1 0 tai 1 (1) Jos r < m (C:ssä on nollarivejä) ja d r+1 1 0, mukana on mahdoton yhtälö 0 d r+1 1, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja tässä tapauksessa () Oletetaan, että r m (C:ssä ei ole nollarivejä) tai d r+1 0 i) Tuntemattomat x k, k / {j 1,, j r } (n r kappaletta), ovat vapaat muuttujat, joiden arvot voidaan valita vapaasti: annetaan vapaille muuttujille x k1, x k,, x kn r, missä 1 k 1 < k < < k n r n, arvot ii) Yhtälöstä r, x k1 s 1 R, x k s R,, x kn r s n r R x jr + k l >j r c rkl s l d r, lausutaan x jr parametrien s l (k l > j r ) avulla iii) Yhtälöön r 1, x jr 1 + c r 1,jr x jr + c r 1,kl s l d r 1, k l >j r 1 sijoitetaan takaisin x jr kohdasta ii) ja lausutaan x jr 1 parametrien s l (k l > j r 1 ) avulla iv) Ratkaistaan vastaavalla tavalla muita johtavien kertoimien sarakkeita vastaavat tuntemattomat järjestyksessä x jr,, x j, x j1 0,

21 Huomautus Jos ():ssa r n, vapaita muuttujia ei ole, ja ratkaisu on yksikäsitteinen Jos r < n, jokaista parametrijonoa (s 1,, s n r ) vastaa tietty ratkaisu (x 1,, x n ) (ääretön määrä ratkaisuja) b) Olkoon [ C D ] redusoitu porrasmatriisi Menetellään kuten a)-kohdassa, paitsi että kohdan () takaisinsijoituksia ei tarvita, vaan suoraan x jp d p k l >j p c pkl s l, p 1,, r 1 Esimerkki 159 Olkoon [ [ C D ] ] Tällöin CX D on { x1 + x + x 3 5 x 5 3 x x 5 1 Vapaat muuttujat ovat x, x 3 ja x 5 Merkitään x s 1 R, x 3 s R, x 5 s 3 R, jolloin ratkaisut ovat tai matriisimuodossa X x 1 x x 3 x 4 x 5 x 1 3 x x x 5 3 s 1 s + 5 s 3 x s 1 x 3 s x x s 3 x 5 s 3, s s 1 + s ; s 1, s, s 3 R Lineaarinen yhtälöryhmä AX B voidaan siis ratkaista (mm) jommallakummalla seuraavista menetelmistä: Gaussin eliminointimenetelmä: A Etsitään (rivitoimituksin) [ A B ]:n kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi [ C D ] B Ratkaistaan CX D takaisinsijoituksin (jos ratkaisuja on)

22 Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmä: A Etsitään (rivitoimituksin) [ A B ]:n kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi [ C D ] B Luetaan suoraan yhtälöryhmän CX D ratkaisut (jos niitä on) Esimerkki 1510 Ratkaise Gaussin menetelmällä x + 3x 3 4x 4 1 x 3 + 3x 4 4 x 1 + x 5x 3 + x 4 4 x 1 6x 3 + 9x 4 7 Ratkaisu [ A B ] muunnettiin rivitoimituksin porrasmuotoon [ C D ] 156 a):ssa Yhtälöryhmän CX D eli x 1 + x 5 x 3 + x 4 x + 3 x 3 x 4 1 x x ratkaisu on x 1 x + 5 x 3 x 4 ( s) + 5 ( 3 s) s 19 x 1 3 x 3 + x ( 3 s) + s s x 3 3 x 4 3 s x 4 s R 9s Huomautus 1511 Porrasmuotoon pyrkiminen ei aina ole nopein ratkaisumenetelmä Esimerkiksi yhtälöryhmästä x 1 1 x 1 1 x 1 x 3 0 saadaan heti x 1 + x 1 + x 3 1 x 1 x + x 3 1 x 3 x 1 1, vaikka matriisi ei ole porrasmuotoinen Homogeeniset yhtälöryhmät Tarkastellaan homogeenista ryhmää AX 0, A R m n, X R n 1 (m yhtälöä ja n tuntematonta) Tällä on aina triviaali ratkaisu X 0

23 Lause 151 Jos m < n (eli yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia), yhtälöryhmällä AX 0 on myös epätriviaaleja ratkaisuja Todistus Täydennetyn matriisin [ A 0 ] kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi on muotoa [ C 0 ], eli siinäkin vakiot ovat nollia Kun yhtälöryhmää CX 0 ratkaistaan kuten 158 a):ssa, tapaus (1) ei näin ollen ole mahdollinen, joten yhtälöryhmällä on ratkaisuja joko tasan yksi tai ääretön määrä sen mukaan, onko vapaiden muuttujien lukumäärä n r nolla vai positiivinen Koska m < n, on r min {m, n} m < n; siis vapaita muuttujia on n r > 0 kappaletta, ja ratkaisuja on ääretön määrä Ratkaisuista yksi on triviaali ja muut (joita on ääretön määrä) epätriviaaleja Tarkastellaan lopuksi yleistä lineaarista yhtälöryhmää AX B, A R m n, X R n 1, B R m 1 Lause 1513 Olkoon S 0 R n 1 yhtälöryhmän AX B eräs ratkaisu Silloin S R n 1 on ko ryhmän (yleinen) ratkaisu S S 0 + T, missä T R n 1 on homogeenisen ryhmän AX 0 (yleinen) ratkaisu Todistus Olkoon S S 0 + T, missä AT 0 Koska AS 0 B, on AS A(S 0 + T ) AS 0 + AT B + 0 B Olkoon AS B Tällöin S S 0 + (S S 0 ) S 0 + T, missä AT A(S S 0 ) AS AS 0 B B 0 16 Alkeismatriisit ja matriisin säännöllisyys Kun r, s {1,,, m}, määritellään neliömatriisi I rs [ e ij ] R m m asettamalla { 1, kun (i, j) (r, s) e ij 0, muulloin Siis I rs :n (r, s)-alkio 1, kaikki muut alkiot 0 (Samalla tavalla voidaan yleisemmin määritellä m n -matriisi I rs, kun r {1,, m}, s {1,, n}) Olkoon A [ a ij ] R m n m n -matriisi Lasketaan I rs A: m (I rs A)(i, j) e ik a kj k1 Kun i r, e ik a kj 0 a kj 0 kaikilla k; kun i r, { 1 asj a sj, kun k s e rk a kj 0 a kj 0, kun k s Näin ollen { asj, kun i r (I rs A)(i, j) 0, kun i r, ts I rs A:n r:s rivi A:n s:s rivi ja I rs A:n muut rivit 0 3

24 Määritelmä 161 m m -matriisi E on alkeismatriisi, jos se saadaan ykkösmatriisista I m yhdellä alkeisrivitoimituksella Lemma 16 Olkoon A R m n m n -matriisi, ja olkoon alkeismatriisi E R m m saatu I m :stä tietyllä alkeisrivitoimituksella Tällöin EA saadaan A:sta samalla alkeisrivitoimituksella Todistus Tutkitaan alkeisrivitoimitusten tyypit I, II ja III erikseen rivit A 1, A,, A m R 1 n 4 Olkoot A:n I Vaihdetaan rivit r ja s (r s) Tarkastellaan ensin erikoistapausta m 3, r, s 3, eli kolmirivisessä ykkösmatriisissa vaihdetaan toinen ja kolmas rivi Tällöin saadaan alkeismatriisi E I 3 + I 3 + I Yleisessä tapauksessa saadaan tämän erikoistapauksen mukaisesti E I rs + I sr + I kk, josta edelleen seuraa Edellä todetun mukaan k r,s EA I rs A + I sr A + (1) I rs A:n r:s rivi A s ; muut rivit 0 () I sr A:n s:s rivi A r ; muut rivit 0 k r,s I kk A (3) I kk A:n k:s rivi A k ; muut rivit 0 (k r, s) Näin ollen EA:n r:s rivi A s, s:s rivi A r, k:s rivi A k (k r, s) II Kerrotaan rivi r luvulla c, c 0 Tarkastellaan jälleen ensin erikoistapausta m 3, r 3, ts kerrotaan ykkösmatriisin I 3 kolmas rivi vakiolla c, jolloin saadaan alkeismatriisi E ci 33 + I 11 + I 0 0 c 0 0 c Tämän mukaisesti yleisessä tapauksessa E ci rr + k r I kk,

LINEAARIALGEBRA I. Hannu Honkasalo. Helsingin yliopiston matematiikan laitos v w u ...

LINEAARIALGEBRA I. Hannu Honkasalo. Helsingin yliopiston matematiikan laitos v w u ... LINEAARIALGEBRA I Hannu Honkasalo v w u h w A v Helsingin yliopiston matematiikan laitos 003 SISÄLTÖ 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 Matriisit ja matriisitoimitukset

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi).

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi). Liukuluvut Tietokonelaskuissa käytetään liukulukuja: mikä esittää lukua ± α α α M β k ± ( M α i β i )β k, i= β on järjestelmän kantaluku, α α M liukuluvun mantissa, α,, α M lukuja,,,, β, siten että α Esimerkki

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti Determinantit 1 2 2-matriisin ( A = on det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11a 22 a 12 a 21. 1 2 2-matriisin on det(a) = Esim. Jos A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 )

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa. Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L8 Esimerkki kvadraattinen Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 5 x + y + z = 4 4 x 4 + y x y z = + z 5 4 = 5 4 Esimerkki kvadraattinen Yhtälöryhmä on kvadraattinen,

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Antti Rasila 2016 Matriisihajotelmat 1/2 Usein matriisiyhtälön Ax = y ratkaiseminen on epäkäytännöllistä ja hidasta. Siksi numeerisessa matriisilaskennassa usein

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

4.6 Matriisin kääntäminen rivioperaatioilla

4.6 Matriisin kääntäminen rivioperaatioilla Vaasan liopiston julkaisuja 9 kuva.plot(,n, k-o,,n, k-s,,n3, k-d ); kuva.set_label( kausi ); kuva.set_label( lkm ); kuva.ais([,,,8]); kuva = fig.add_subplot(); kuva.plot(,tulo, k-o ); kuva.set_label( kausi

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot