Matriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.

Transkriptio

1 Matriisilaskenta Harjoitusten ratkaisut (Kevät 9). Olkoot ja A = B = 5. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tapa Käänteismatriisin määritelmän nojalla riittää osoittaa, että AB = BA = I. Nyt AB = 5 = = ja BA = 5 = =. Näin ollen matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.

2 Tapa Työnpuolituslauseen nojalla riittää osoittaa, että jos A ja B ovat neliömatriiseja ja AB = I tai BA = I, niin tällöin A ja B ovat kääntyviä sekä A = B ja B = A. Nyt A, B M(, ), joten A ja B ovat neliömatriiseja. Vastaavasti kuin tavassa näemme, että AB = I, joten Työnpuolituslauseen nojalla matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.. Ratkaistaan matriisiyhtälö Ax = b, missä x x = x ja b = 4. Koska edellisen kohdan nojalla A on kääntyvä x ja A = B, niin luentojen nojalla yhtälöllä Ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x = A b = Bb. Siis + x = Bb = 5 4 = =. + 4 Näin ollen vektori x = (,, ) on matriisiyhtälön ainoa ratkaisu.. Alkeismatriisit E, E ja E saadaan, kun yksikkömatriisiin I = tehdään vastavaat rivimuunnokset, mitkä alkeismatriiseilla kertomiset aiheuttaisivat. Kun yksikkömatriisissa vaihdetaan rivien kaksi ja neljä paikka, saadaan E =. Kun yksikkömatriisin. rivi kerrotaan luvulla, saadaan E =.

3 Kun yksikkömatriisin. rivi lisätään luvulla kerrottuna yksikkömatriisin riviin yksi, saadaan E =. 4. Alkeismatriisien käänteismatriisit ovat ne alkeismatriisit, joilla kertominen palauttaa alkeismatriin takaisin yksikkömatriisiksi. Jotta matriisista E saataisin yksikkömatriisi, niin sen. ja 4. rivin paikat pitäisi vaihtaa. Jos tämä muutos tehdään yksikkömatriisiin saadaan E eli E = E. Matriisi E saadaan muutettua yksikkömatriisiksi siten, että sen. rivi kerrotaan luvulla. Täten E =. Kun matriisin E. rivi kerrotaan luvulla ja lisätään. riviin, saadaan yksikkömatriisi. Täten E =. Nyt ja E E = = = I, E E = = = I E E = = = I. Täten Työnpuolituslauseen nojalla käänteismatriisit ovat oikeat.

4 5. Olkoon A = Laajennettu kerroinmatriisi on M ( ) M ( 6 ) A ( 4) A ( 7) A ( ) Koska vasemmalle puolelle saatiin nollarivi, niin matriisi A ei ole kääntyvä. 6. Olkoon A =. Laajennettu kerroinmatriisi on A ( ) A ( ) Täten A =. M ( ).

5 7. Olkoon A =. Laajennettu kerroinmatriisi on A ( ) A 4 ( ) A () A 4 () M ( ) M 4 ( ) A ( ) A 4 ( ) A 4 ( ) A ( ) P 4 P Täten A =

6 8. Olkoon A =. Tällöin a [A I] = A ( ) A a ( ) a A () M ( ). A () a a Jos a =, niin = a jolloin A ei ole olemassa. Jos a, niin a jolloin A =. a M ( a ) 9. Oletus: A, B M(k, n) ja C M(n, l). Väite: (A + B)C = AC + BC. a a,, a a a Todistus. Tarkistettu, että laskutoimitukset ovat voimassa ja molemmilta puolilta on saatu samankokoiset matriisit, joten väite on järkevä Tällöin, ja vain tällöin A + B M(k, n), (A + B)C M(k, l), AC M(k, l), BC M(k, l) ja AC + BC M(k, l) ovat määriteltyjä. Nyt lähdetty tarkastelemaan matriisin (A + B)C mielivaltaisen paikan ij alkiota ( ) (A + B)C ij käytetty matriisien kertolaskun määritelmää = (A + B) ip C pj p=

7 käytetty matriisien yhteenlaskun määritelmää = (A ip + B ip )C pj p= käytetty reaalilukujen osittelulakia = (A ip C pj + B ip C pj ) p= summat on kirjoitettu auki = A i C j + B i C j + A i C j + B i C j + + A in C nj + B in C nj summan termejä järjestelty reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuuden nojalla = A i C j + A i C j + + A in C nj + B i C j + B i C j + + B in C nj käytetty reaalilukujen liitännäisyyttä ja eroteltu sen nojalla kaksi summaa = A ip C pj + B ip C pj p= p= käytetty matriisien kertolaskun määritelmää = (AC) ij + (BC) ij käytetty matriisien yhteenlaskun määritelmää = (AC + BC) ij kaikilla i =,,, k ja j =,,, l. koska joka paikalla kahdessa matriisissa on samat alkiot, niin matriisit ovat samat Täten (A + B)C = AC + BC.