3 Skalaari ja vektori

Transkriptio

1 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala, lämpötila ja tilavuus mittayksiköissään ovat skalaareja.pisteiden välinen etäisyys on skalaari. Esimerkiksi fysiikassa on suureita, joilla on myös suunta: nopeus, voima, magneettinen kenttä jne. Näiden kuvailemisessa tarvitaan seuraavia käsittettä. Määritelmä 3.3 Olkoot a = (a 1 ; a 2 ; ::a n ) ja b = (b 1 ; :::; b n ) pisteitä aaruudessa R n. Pisteiden a ja b välinen jana on joukko ft (a 1 ; a 2 ; ::a n ) + (1 t) (a 1 ; a 2 ; ::a n ) j t 2 [0; 1]g : Esimerkki 3.4 Piirrä jana avaruudessa ja tasossa. Määritelmä 3.5 Suuntajana on suure, jolla on suuruus sekä alku- ja loppupiste. Suuntajanaa joukossa R n merkitään AB, missä A 2 R n on suuntajan alkupiste ja B 2 R n on suuntajanan loppupiste. Suuntajanan AB suuruus AB on pisteiden A ja B välinen etäisyys. Origosta 0 = (0; :::; 0) alkavaa suuntajanaa sanotaan suuntavektoriksi (tai paikkavektoriksi). Jokainen piste a = (a 1 ; a 2 ; ::a n ) määrää avaruudessa R n suuntavektorin, joka on suuntajana, jonka alkupiste on origo ja loppupiste a. Pisteiden a = (a 1 ; a 2 ; ::a n ) ja b = (b 1 ; b 2 ; ::b n ) määräämät suuntavektorit ovat samoja, jos a i = b i jokaiselle i = 1; :::; n: Suuntajanan AB suuntavektori on pisteen B A määrämä suuntavektori. Suuntajanat AB ja CD ovat samoja, jos A = C ja B = D. Esimerkki 3.6 Olkoon A = (0; 1; 2) ja B = (1; 3; 5). Tällöin suuntajan AB suuntavektori on pisteen (1; 2; 7) : määräämä suuntavektori. Määritelmä 3.7 Pisteen a 2 R n kautta kulkeva suora, jonka suuntavektori on u 2 R n, on joukko fa + tu j t 2 Rg ; Suorat fa + tu j t 2 Rg ja fb + tv j t 2 Rg ovat yhdensuuntaisia, jos on olemassa sellainen s 2 R, että u = sv. 5

2 B A Määritelmä 3.8 Suuntajat AB ja CD avaruudessa R n ovat saman suuntaisia, jos niiden suuntavektorit B A ja D C toteuttavat ehdon B A = t (D C) jollekin reaaliluvulle t > 0. Tätä merkitään AB CD: Lause 3.9 Avaruuden R n suuntavektoreiden joukossa määritelty relaatio AB CD, kun B A = D C on ekvivalessirelaatio, toisin sanottuna se toteuttaa ehdot: AB AB; AB CD =) CD AB; AB CD ja CD EF =) AB EF : n o AB j A, B 2 R n Huom. AB CD jos ja vain jos AB ja CD ovat saman suuntaisia ja AB = CD : AB CD jos ja vain jos niiden määräämät suuntavektorit ovat samoja. n o Määritelmä 3.10 Joukon AB j A, B 2 R n ekvivalenssiluokkia h i n o AB = CD j CD AB 6

3 kutsutaan vektoreiksi. Vektoreita merkitaan h usein lihavoiduilla kirjaimilla u, h i v ja niin edelleen. Merkitsemme 0 = AA i. Vektori u = AB samastetaan usein sen edustajan suuntajanan AB määräämän suuntavektorin B A kanssa: Vektoreiden yhteenlasku määritellään seuraavasti h i h i h i samastus AB + CD = A (B + D C) = B A + D C h i r AB = A (A + r (B A)) samastus = r (B A) : Vektorit u ja v ovat samansuuntaisia, jos niiden edustajat ovat saman suuntaisia. Tätä merkitään u v, h i h i Lemma 1 Vektorit u = AB ja v = CD ovat samoja, jos ja vain jos AB CD ja AB = CD, toisin sanottuna B A = D C ja kb Ak = kd Ck. Lemma 2 Okoot u ja v vektoteita avaruudessa R n :Tällöin u v jos ja vain jos on olemassa sellainen > 0, että u = v. Huom. Samastuksen mukaan jokainen avaruuden piste R n on vektori, joka vastaa suuntavektorin määräämää ekvivalenssiluokkaa. Tämän perusteella avaruuden R n alkioita sanotaan vektoreiksi. 4 Vektoriavaruus, aliavaruus ja kanta Määritelmä 4.1 Vektoriavaruus V on joukkoa, jossa on määritelty lakutoimitukset + ja reaaliluvulla kertominen, jotka toteuttavat ehdot 1. u + v 2 V ja ru 2 V; 2. u + v = v + u; (vaihdantalaki eli kommutatiivisuus) 3. u + (v + w) = (u + v) + w jokaiselle w 2 V (liitäntälaki eli assosiatiivisuus), 4. on olemassa alkio 0 2 V, joka toteuttaa ehdon u + 0 = u jokaiselle u 2 V (nolla-alkio); 5. jokaiselle u 2 V on olemassa alkio u, joka toteuttaa ehdon u + ( u) = 0; (vasta-alkio) 7

4 B A 8

5 u+v v v u 9

6 6. r (u + v) = ru + rv; (osittelulaki eli distributiivisuus); 7. (r + s) u = ru + su jokaiselle s 2 V, 8. r(su) = (rs)u jokaiselle s 2 V ; 9. 1u = u. Määritelmä 4.2 Joukkoa U sanotaan avaruuden V aliavaruudeksi, jos se teoteuttaa ehdot A1 u + v 2 U jokaiselle u; v 2U, A2 ru 2 U jokaiselle r 2 R ja u 2U. Määritelmä 4.3 Vektoreita v 1,...,v k sanotaan lineaarisesti riippumattomiksi, jos vektoriyhtälöllä 1 v 1 + ::: + k v k = 0 on vain triviaali ratkaisu 1 = ::: = k = 0. Vektoreita v 1,...,v k sanotaan lineaarisesti riippuviksi, jos on olemassa sellaiset reaaliset vakiot 1,.., k, joista ainakin yksi on nollasta poikkeava, että 1 v 1 + ::: + k v k = 0: Määritelmä 4.4 Joukkoa fv 1 ; :::; v k g sanotaan avaruuden V kannaksi, jos vektorit v 1,...,v k ovat lineaarisesti riippumattomia ja jokainen vektori v 2 V voidaan esittaa vektoreiden v 1,...,v k lineaarikombinaationa, ts. joukko fv 1 ; :::; v k g virittää aliavaruuden eli jokaiselle v 2 V on olemassa sellaiset reaaliluvut 1 ; :::; k, että v = 1 v 1 + ::: + k v k : Aliavaruuden U dimensio dim U on aliavaruuden kannan vektoreiden määrä. Sovitaan, että dim ; = 0: Tällä kurssilla käsitellään vain äärellisulotteisia avaruuksia V elidim V < 1. Tälläisillä avaruuksilla on äärellinen kanta. Esimerkki 4.5 dim R n = n ja avaruuden R n lunnollinen kanta on fe 1 ; :::; e n g, missä e 1 = (1; 0; :::; 0) ; e 2 = (0; 1; :::; 0) ;. e n = (0; 0; :::; 1) : 10

7 Lemma 4.6 Jos v 1,...,v k ovat avaruudessa U ja k > dim U, niin joukko fv 1 ; :::; v k g on lineaarisesti riippuva. Lemma 3 Jos v 1,...,v k ovat avaruudessa U lineaarisesti riippumattomia, niin k dim U ja aliavaruudella U on olemassa kanta v 1 ; :::; v k ; w 1 ; ::; w (dim U) eli jokainen lineaarisesti riippumaton aliavaruuden joukko voidaan laajentaa kannaksi. k 5 Bivektori Ongelma Miten määritellä avaruuden R 2 vektoreille geometrinen kertolasku, joka olisi assosiatiivinen, distributiivinen ja toteuttaisi ehdon jokaiselle x 2 R 2? Merkitään x 2 = kxk 2 (1) e 1 = (1; 0) ; e 2 = (0; 1) : Jos edellä oleva ehto teteutuu, niin ja e 2 1 = 1 = e = (e 1 + e 2 ) 2 = e e 1 e 2 + e 2 e 1 + e 2 2 = 2 + e 1 e 2 + e 2 e 1 : Siis jotta normaalit yhtälöiden supistussäännöt toimisi, niin eli Tällöin e 1 e 2 + e 2 e 1 = 0 e 1 e 2 = e 2 e 1 (e 1 e 2 ) (e 1 e 2 ) = e 1 e 2 2e 1 = e 2 1e 2 2 = 1: Ehdon (1) nojalla e 1 e 2 ei ole vektori eikä skalaari eikä myöskään olemassa sellaisia vakioita a 0 ; ::::; a 2 että e 1 e 2 = a 0 + a 1 e 1 + a 2 e 2 ; sillä joukko f1; e 1,e 2 g on lineaarisesti riippumaton, mikäli e 1 e 2 = e 2 e 1 : 11

8 Määritelmä 5.1 Alkio e 1 e 2 on bivektori, jota kuvataan suunnistetulla neliö, jonka sivut ovat vektorit e 1 ja e 2 ;ja suunnistus on neliön reunan kulku vastapäivään aloittaen suunnasta e 1. Määritelmä 5.2 Cli ordin algebra Cl 2 on reaalinen vekoriavaruus, jonka kanta on f1; e 1; e 2 ; e 1 e 2 g ja jossa on määritelty assosiatiivien ja distributiivinen kertolasku, jonka ykkösalkio on 1 ja Alkioita e 1 e 2 = e 2 e 1 e 2 1 = e 2 2 = 1: x 1 e 1 + x 2 e 2 sanotaan vektoreiksi, kun x 1 ; x 2 2 R. Kun r 2 R; alkioita r1 sanotaan skalaareiksi ja alkiota re 1 e 2 sanotaan bivektoreiksi. Jokainen Cl 2 alkio voidaan kirjoittaa muodossa u = x 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 12 e 12 ja Cl 2 voidaan samastaa R R 2 ^2R 2 kanssa, missä ^2R 2 on avaruuden R 2 bivektorien joukko. Määritelmä 5.3 Vektoreiden a =a 1 e 1 +a 2 e 2 ja b =b 1 e 1 +b 2 e 2 skalaaritulo määritellään asettamalla Skalaarituloa merkitääm myös (a; b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 : (a; b) = a b Vektoreiden a =a 1 e 1 +a 2 e 2 ja b =b 1 e 1 +b 2 e 2 ulkotulo määritellään asettamalla a ^ b = (a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 1 e 2 Huom. a ^ b = b ^ a: Lemma 5.4 ja 1 b 2 a 2 b 1 j on suunnikkaan pinta-ala, jos a =a 1 e 1 +a 2 e 2 ja b =b 1 e 1 +b 2 e 2 ovat suunnikkaan sivut. 12

9 Määritelmä 5.5 Ulkotuloa a^b voidaan havainnollistaa suunnikkaalla, jonka sivut ovat a ja b;ja johon liitetään sunnistus, joka kulkee suunnikkaa piiriä suunnassa, jossa a on ensin ja sitten b. Lause 5.6 Vektoreiden a =a 1 e 1 +a 2 e 2 ja b =b 1 e 1 +b 2 e 2 tulo Clifordin algbebrassa Cl 2 saadaan kaavasta ab = a b + a ^ b Lause 5.7 Olkoot a =a 1 e 1 +a 2 e 2 ja b =b 1 e 1 +b 2 e 2 vektoreita. Tällöin a k b () ab = ba () a ^ b = 0 () ab = a b a? b () ab = ba () a b = 0 () ab = a ^ b: Lause 5.8 Vektorin r componentit suunissa a ja b, kun a, b, saadaan kaavoista kun r =a+b. = (r ^ b) (a ^ b) 1 merkintä = r ^ b a ^ b = (r ^ a) (b ^ a) 1 merkintä = r ^ a b ^ a 13