Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Transkriptio

1 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 6-8 tulee palauttaa seuraavan viikon tiistaina laskaripalautuskaappiin (laskutupaa vastapäätä) klo mennessä. Alkuviikko: vektoriavaruudet, aliavaruudet, matriisien laskutoimitukset Tehtävä 1: Mitkä seuraavista eivät ole vektoriavaruuksia? Miksi? Reaalilukujen joukko R, n-ulotteinen reaaliavaruus R n, kompleksitaso C, kompleksisten m n matriisien joukko C m n, matriisijoukko {M R n n det(m) = 1}, suora {(x, 4x) x R}, suora {(x, 3x 2) x R}, käyrä {(x, x 2 ) x R}, triviaali avaruus {0}. Ratkaisu: Joukkoa sanotaan vektoriavaruudeksi, jos sen alkioille on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen, jotka toteuttavat tietyt ehdot (ks. Eirola, määritelmä 1.1.). Joukko ei ole vektoriavaruus, jos löytyy yksikin ehto, joka ei toteudu. Reaalilukujen joukko R on vektoriavaruus. n-ulotteinen reaaliavaruus R n on vektoriavaruus. Kompleksitaso C on vektoriavaruus. Kompleksisten m n matriisien joukko C m n on vektoriavaruus. Matriisijoukko {M R n n det(m) = 1} ei ole vektoriavaruus, sillä esim. 1

2 Joukon alkion kertominen skalaarilla pitäisi kuvautua joukolle, mutta esimerkiksi eli 2M ei kuulu annettuun joukkoon. det(2 M) = 2 n det(m) = 2 n 1 1, Nollamatriisille det(0) = 0, eli nolla-alkio ei kuulu joukkoon. Suora {(x, 4x) x R} on vektoriavaruus. Suora {(x, 3x 2) x R} ei ole vektoriavaruus, sillä nolla-alkio (0, 0) ei kuulu joukkoon. Käyrä {(x, x 2 ) x R} ei ole vektoriavaruus, sillä alkioiden yhteenlasku ei kuvaudu joukolle: (a, a 2 ) + (b, b 2 ) = (a + b, a 2 + b 2 ) (a + b, (a + b) 2 ). Triviaali avaruus {0} on vektoriavaruus. Tehtävä 2: Tutki, ovatko seuraavat vektorit lineaarisesti riippumattomia polynomiavaruudessa P 2. a) 1, x 2, x 2 2 b) x + 2, x + 1, x 2 1 c) 1, 2x, 4x 2 2. Mitkä ovat vektorien virittämien aliavaruuksien dimensiot? Ratkaisu: Vektorit v 1, v 2,..., v n V ovat lineaarisesti riippumattomia, jos yhtälön c 1 v 1 + c 2 v c n v n = 0 ainoa ratkaisu on c 1 = c 2 =... = c n = 0. (Eirola, määr. 1.4.) Jos jokin vektoreista v 1, v 2,..., v n V voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa, vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. (Eirola, lause 1.1.) a) Merkitään p 1 (x) = 1, p 2 (x) = x 2, p 3 (x) = x 2 2. Nyt p 3 (x) = x 2 2 = p 2 (x) 2p 1 (x), joten p 3 voidaan esittää p 1 :n ja p 2 :n lineaarikombinaationa, joten vektorit eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Vektoreiden virittämän aliavaruuden dimensio on sen lineaarisesti riippumattomien vektorien lukumäärä. Yhtälön c 1 p 1 + c 2 p 2 = c 1 + c 2 x 2 = 0 ainoa ratkaisu on c 1 = c 2 = 0, joten {1, x 2 } on lineaarisesti riippumaton joukko. Näin ollen lineaarisesti riippumattomia vektoreita on kaksi, ja siis dim(span{1, x 2, x 2 2}) = dim(span{1, x 2 }) = 2. 2

3 b) Merkitään p 1 (x) = x+2, p 2 (x) = x+1, p 3 (x) = x 2 1. Etsitään yhtälön c 1 p 1 +c 2 p 2 +c 3 p 3 = 0 ratkaisut: 0 = c 1 p 1 (x) + c 2 p 2 (x) + c 3 p 3 (x) = c 1 (x + 2) + c 2 (x + 1) + c 3 (x 2 1) = c 3 x 2 + (c 1 + c 2 )x + (2c 1 + c 2 c 3 ), joten c 3 = 0 c 1 + c 2 = 0 c 2 = c 1 2c 1 + c 2 c 3 = 0 2c 1 c 1 0 = 0 c 1 = 0 Ainoa ratkaisu on siis c 1 = c 2 = c 3 = 0, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Näin ollen dimensio on dim(span{x + 2, x + 2, x 2 1}) = 3. c) Merkitään p 1 (x) = 1, p 2 (x) = 2x, p 3 (x) = 4x 2 2. Etsitään jälleen yhtälön c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 = 0 ratkaisut: joten 0 = c 1 p 1 (x) + c 2 p 2 (x) + c 3 p 3 (x) = c 1 (1) + c 2 (2x) + c 3 (4x 2 2) = 4c 3 x 2 + 2c 2 x + (c 1 2c 3 ), 4c 3 = 0 c 3 = 0 2c 2 = 0 c 2 = 0 c 1 2c 3 = 0 c 1 = 2c 3 = 0 Ainoa ratkaisu on siis c 1 = c 2 = c 3 = 0, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Näin ollen dimensio on dim(span{1, 2x, 4x 2 2}) = 3. Tehtävä 3: Olkoon V sellaisten 2 2 matriisien joukko, joilla diagonaalialkioiden summa on 0. a) Näytä, että V on R 2 2 :n aliavaruus. b) Mikä on V :n dimensio? c) Etsi V :lle jokin kanta. Ratkaisu: Tarkasteltavana on joukko V = {M R 2 2 m 11 + m 22 = 0}, joka on reaalisten 2 2-matriisien osajoukko. Joukkoon V kuuluvat matriisit ovat siis muotoa ( ) ( ) m11 m M = 12 m11 m = 12. m 21 m 22 m 21 m 11 3

4 a) Koska R 2 2 on R-kertoiminen vektoriavaruus, riittää aliavaruuden määritelmän (Eirola määr. 1.2) mukaan tarkistaa, että V on ei-tyhjä, ja että V :n alkioiden yhteenlasku ja kertominen skalaarilla (c R) kuvautuvat aina V :lle. Koska ( ) V, niin V on ei-tyhjä. ( ) ( ) a11 a Olkoon A = 12 b11 b V ja B = 12 V. Tällöin myös a 21 a 11 b 21 b 11 ( ) a11 + b A + B = 11 a 12 + b 12 V a 21 + b 21 (a 11 + b 11 ) ja ( ca11 ca c A = 12 ca 21 ca 11 joten V on avaruuden R 2 2 aliavaruus. ) V, b) Vektoriavaruuden R 2 2 dimensio on 4 (2 2-matriisissa on neljä vapaasti valittavaa alkiota). Aliavaruudessa V vain toinen matriisin diagonaalialkioista voidaan valita vapaasti, eli on kolme vapaasti valittavaa alkiota, joten dim(v ) = 3. c) Mielivaltainen matriisi M V voidaan kirjoittaa muodossa ( ) ( ) ( ) ( ) m11 m M = = m m 21 m 11 +m m }{{}}{{}}{{} :=M 1 :=M 2 :=M 3 Kaikille M 1, M 2, M 3 diagonaalialkioiden summa on 0, joten M 1, M 2, M 3 V. Koska c 1 M 1 + c 2 M 2 + c 3 M 3 = 0 (c i R) vain, kun c 1 = c 2 = c 3 = 0, niin M 1, M 2, M 3 ovat lineaarisesti riippumattomia. Mikä tahansa M V voidaan siis kirjoittaa niiden lineaarikombinaationa, eli M 1, M 2 ja M 3 virittävät avaruuden V. Näistä kolmesta asiasta seuraa, että {M 1, M 2, M 3 } on avaruuden V kanta. 4

5 Loppuviikko: vektoriavaruudet, lineaarikuvaukset, kannat, kannanvaihdot Tehtävä 4: a) Lineaarikuvauksesta A : R 2 R 3 tiedetään, että A(1, 0) = (0, 5, 7) ja A(0, 1) = (1, 13, 16). Esitä kuvauksen matriisi (standardikannassa). b) Miten a)-kohdan matriisi muuttuu, jos avaruudessa R 2 käytetäänkin kantaa {(3, 1), (5, 2)} ja avaruudessa R 3 kantaa {(1, 0, 1), ( 1, 2, 2), (0, 1, 2)}? Ratkaisu: a) Standardikannalla R 3 :lle tarkoitetaan kantaa {[1, 0, 0] T, [0, 1, 0] T, [0, 0, 1] T } ja R 2 :lle kantaa {[1, 0] T, [0, 1] T }. Nyt on suoraan annettu R 2 :n kantavektorien kuvat, joten matriisi voidaan kirjoittaa suoraan asettamalla nämä sarakkeiksi, eli A = (Kokeile vaikka mitä tapahtuu, kun kerrot tällä matriisilla R 2 :n kantavektoreita!) Lineaarikuvauksen matriisin muodostamista on käsitelty tarkemmin kurssilla MS-A000x Matriisilaskenta. b) Matriisi A esittää siis tarkasteltavaa lineaarikuvausta R 2 R 3, kun kannat ovat U 1 := {[1, 0] T, [0, 1] T } ja V 1 := {[1, 0, 0] T, [0, 1, 0] T, [0, 0, 1] T }. Samaa lineaarikuvausta esittävä matriisi B kannoissa U 2 := {[3, 1] T, [5, 2] T } ja V 2 := {[1, 0, 1] T, [ 1, 2, 2] T, [0, 1, 2] T } saadaan seuraavasti: B = S 1 AS 2, missä S 1 on kannanvaihto R 3 :ssa kannasta V 1 kantaan V 2 ja S 2 on kannanvaihto R 2 :ssa kannasta U 2 kantaan U 1. Tällöin B suorittaa kannassa U 2 = {[3, 1] T, [5, 2] T } annetulle vektorille seuraavat toimenpiteet: kannanvaihto standardikantaan U 1, sitten kuvaus standardikannasta toiseen ja lopuksi kannanvaihto haluttuun kantaan V 2 kuvapuolella. Kannanvaihtomatriisit ovat nyt S 1 = ja S 2 = ( Miksi näin? Siirryttäessä toisesta kannasta standardikantaan tulevat kannanvaihtomatriisin sarakkeiksi aina tämän toisen kannan kantavektorit (kokeile kertoa S 2 :lla jotakin kannassa U 2 annettua vektoria ja mieti, mitä tapahtuu). Näin ollen S 2 saadaan suoraan asettamalla R 2 :n kantavektorit {[3, 1] T, [5, 2] T } sarakkeiksi. S 1 tekee vaihdon toiseen suuntaan, joten se on kohti standardikantaa muuntavan matriisin käänteismatriisi. Näin ollen B = ( ) = )

6 Tehtävä 5: Etsi kannat matriisin A = nolla-avaruudelle N(A) ja sarakeavaruudelle C(A). Näytä, että dimn(a) + dimc(a) = 4. Ratkaisu: Etsitään ensin nolla-avaruus, toiselta nimeltään ydin, eli yhtälön Ax = 0 ratkaisut: : / eli ratkaisuille pätee { x 1 + 2x 2 x 3 + 4x 4 = 0 x x 4 = 0 Valitaan vapaiksi muuttujiksi x 1 = s ja x 3 = t, jolloin kaksi muuta saadaan niiden avulla, alemmasta yhtälöstä x 4 = 5t ja sen avulla ylemmästä x 3 2 = 1(t s 4 5t) = 17t 1 s. Ratkaisut ovat siis 1 0 x = s t 17 6, s, t R. 0 Vektorit [1, 1/2, 0, 0] T ja [0, 17/6, 1, 5/3] T muodostavat ytimelle kannan, sillä ne ovat lineaarisesti riippumattomat, kaikki niiden lineaarikombinaatiot kuuluvat ytimeen ja kaikki ytimen alkiot voidaan esittää niiden lineaarikombinaatioina. Etsitään sitten sarakeavaruudelle kanta: Merkitään sarakevektoreita a 1, a 2, a 3 ja a 4. Sarakevektoreina on siis neljä R 3 :n vektoria, joten ne eivät mitenkään voi kaikki olla lineaarisesti riippumattomia. Nopeasti huomataan, että a 2 = 2a 1, joten a 2 voidaan jättää pois kantaa etsittäessä. Tarkistetaan sitten ovatko a 1, a 3 ja a 4 lineaarisesti riippumattomia: 0 = c 1 a 2 + c 3 a 3 + c 4 a = c c c 4 5 = c 1 c 3 + 4c 4 2c 1 + 3c 3 + 5c 4 = c 1 + 6c 3 7c 4 Kerroinmatriisi saadaan Gaussin eliminaatiolla muotoon / , c 1 c 3 c 4

7 joten sillä on olemassa nollasta poikkeava ratkaisu, esim. c 4 = 5/3, c 3 = 1, c 1 = 17/3. Vektorit a 1, a 3 ja a 4 ovat siis lineaarisesti riippuvat, ja sarakeavaruuden kannassa on enintään kaksi vektoria. Kaksi siellä onkin, sillä voidaan tarkistaa, että a 1 ja a 3 ovat lineaarisesti riippumattomat: ensimmäisten elementtien suhde on 1, mutta toisten 2/3, joten a 1 ca 3 kaikilla c R \ {0}. Sarakeavaruuden eräs kanta on siis {[1, 2, 1] T, [ 1, 3, 6] T }. Nolla-avaruuden kannassa on kaksi vektoria, joten dim N(A) = 2. Samoin sarakeavaruuden kannassa on kaksi vektoria, joten myös dim C(A) = 2, ja siis dim N(A) + dim C(A) = = 4. 7

8 Kotitehtävä 6: Massan värähtelyä jousen päässä (kitkattomasti) kuvaa toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö x (t) + ω 2 x(t) = 0 kaikilla t R missä x = x(t) on massan etäisyys tasapainopisteestä hetkellä t ja ω on vakio. Osoita, että yhtälön ratkaisut muodostavat vektoriavaruuden. Ratkaisu: Yhtälön x (t) + ω 2 x(t) = 0 kaikilla t R, ω vakio, ratkaisujen joukko on V = {x(t) : R R x (t) + ω 2 x(t) = 0}. Ratkaisut muodostavat vektoriavaruuden, jos V toteuttaa kaikki vektoriavaruuden määritelmässä (Eirola, määr 1.1.) mainitut ehdot. Tarkistetaan siis toteutuvatko ehdot. 0) Joukko V on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Yhteenlasku: Olkoon x 1 (t), x 2 (t) V. Tällöin summalle x 1 (t) + x 2 (t) pätee: (x 1 + x 2 ) + ω 2 (x 1 + x 2 ) = x 1 + x 2 + ω 2 x 1 + ω 2 x 2 = (x 1 + ω 2 x 1 ) + (x 2 + ω 2 x 2 ) = = 0, eli x 1 + x 2 V. Skalaarilla kertominen: Olkoon x(t) V, α R. Tällöin αx(t):lle pätee: eli αx V. (αx) + ω 2 (αx) = αx + αω 2 x = α(x + ω 2 x) = α 0 = 0, 1) Liitäntälaki: (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w V. Koska u, v, w ovat nyt kuvauksia R R, ja liitäntälaki pätee reaaliluvuille, se pätee myös yhtälön ratkaisuille. 2) Nolla-alkio: On olemassa alkio 0 V siten, että v + 0 = v v V. Olkoon x 0 (t) : R R vakiokuvaus x 0 (t) = 0 t. Tällöin pätee x 0 + ω 2 x 0 = (0) + ω 2 0 = = 0, eli x 0 V. Lisäksi kaikille x(t) V pätee x(t) + x 0 (t) = x(t), eli x 0 (t) = 0 on etsitty nolla-alkio. 3) Vasta-alkio: Jokaisella v V on olemassa v V siten, että v + ( v) = 0. Olkoon x 1 (t) V. Tällöin kuvaukselle x 2 (t) = x 1 (t) pätee eli x 2 V. Lisäksi eli x 1 (t) on x 1 (t):n vasta-alkio. x 2 + ω 2 x 2 = ( x 1 ) + ω 2 ( x 1 ) = x 1 ω 2 x 1 = (x 1 + ω 2 x 1 ) = 0, x 1 + x 2 = x 1 + ( x 1 ) = 0 = x 0 (t), 8

9 4) Vaihdantalaki: u + v = v + u u, v V. Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 5) Osittelulaki: α(u + v) = αu + αv u, v V, α R. Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 6) Osittelulaki: (α + β)v = αv + βv v V, α, β R. Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 7) Liitäntälaki: α(βv) = (αβ)v v V, α, β R Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 8) Kerroinkunnan ykkösalkio: 1 v = v v V. Olkoon x(t) V, 1 R. Tällöin 1 x(t) = x(t). Kaikki vektoriavaruuden ehdot toteutuvat, joten V on vektoriavaruus. 9

10 Kotitehtävä 7: Näytä, että B = {1, 2x, 4x 2 2} on polynomiavaruuden P 2 kanta. Määritä kannanvaihtomatriisi kannasta {1, x, x 2 } kantaan B. Ratkaisu: Joukko B P 2 on avaruuden P 2 kanta, jos se on lineaarisesti riippumaton ja virittää P 2 :n (eli span(b) = P 2 ). Tehtävässä 2c on jo näytetty, että B:n alkiot ovat lineaarisesti riippumattomat. Vielä pitää siis näyttää, että B virittää P 2 :n, eli että jokainen p P 2 voidaan esittää B:n alkioiden lineaarikombinaationa. P 2 :n yleinen alkio p (kannassa {1, x, x 2 }) on muotoa missä a 0, a 1, a 2 C. Toisaalta p(x) = a a 1 x + a 2 x 2, p(x) = a a 1 x + a 2 x 2 = a a 1 2 2x + a 2 4 4x2 = a a 1 2 2x + a 2 4 (4x2 2) + a ( = a 0 + a ) a x + a 2 4 (4x2 2), eli p(x) on esitettävissä myös joukon B alkioiden lineaarikombinaationa. Näin ollen P 2 span(b). Toisaalta B:n alkioiden lineaarikombinaatiot ovat aina korkeintaan toisen asteen polynomeja, joten span(b) P 2. Näin ollen span(b) = P 2. B on siis lineaarisesti riippumaton ja virittää P 2 :n, joten se on P 2 :n kanta. Kannanvaihtomatriisi kertoo, miten toinen kanta esitetään toisen avulla. Merkitään B:n alkioita b 1 = 1, b 2 = 2x, b 3 = 4x 2 2. Tällöin kantavektoreille {1, x, x 2 } pätee 1 = 1 b 1 x = 1 2 b 2 x 2 = 1 4 b b 1. Kannanvaihtomatriisi S kannasta {1, x, x 2 } kantaan B saadaan näiden yhtälöiden kertoimista: kunkin yhtälön kertoimet järjestyksessä muodostavat matriisin yhden sarakkeen, eli 1 0 1/2 S = 0 1/ /4 (Voidaan vielä tarkistaa, että tämä antaa samat kertoimet muutettaessa vektoria kannasta toiseen kuin yllä: a 0 a 0 + 1/2 a 2 S a 1 = a 2 1/2 a 1 1/4 a 2 eli kun kertoimet ovat a 0, a 1, a 2 kannassa {1, x, x 2 } niin ne vastaavat kertoimia a 0 + 1/2 a 2, 1/2 a 1, 1/4 a 2 kannassa B, aivan kuin p(x):lle aiemmin laskettiin.) 10

11 Kotitehtävä 8: Olkoon P 2 2 korkeintaan toista astetta olevien kahden muuttujan polynomien joukko (toisin sanoen funktioiden 1, x, y, x 2, xy, y 2 virittämä). Olkoon L = +. Etsi L:n ytimelle ja x y kuva-avaruudelle kannat ja tarkista dimensiolause tässä tapauksessa. Ratkaisu: Etsitään ensin lineaarikuvauksen L ydin N(L): Olkoon p = c c 2 x + c 3 y + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 y 2 P 2 2, missä kertoimet kuuluvat kerroinkuntaan c i K (oli se sitten mikä tahansa). Jos p kuuluu lineaarikuvauksen L ytimeen, niin L(p) = 0. Siis L(p) = ( x + ) (c c 2 x + c 3 y + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 y 2 ) y = c 2 + 2c 4 x + c 5 y + c 3 + c 5 x + 2c 6 y Tällöin = c 2 + c 3 + x(2c 4 + c 5 ) + y(c 5 + 2c 6 ) = 0. c 2 + c 3 = 0 2c 4 + c 5 = 0 c 5 + 2c 6 = 0 c 2 = c 3 c 4 = 1 2 c 5 c 6 = 1c 2 5 eli p N(L) p = c c 2 (x y) + c 5 ( 1 2 x2 + xy 1 2 y2 ), missä c 1, c 2, c 2 K. Tästä saadaan ytimelle kanta {1, x y, xy 1 2 (x2 + y 2 )}. (Muista: Kanta on lineaarisesti riippumaton ja virittää koko avaruuden.) Ytimen dimensio on dim N(L) = 3. Etsitään sitten kuva-avaruus R(L): Edellä laskettiin, että L(p) = c 2 + c 3 + x(2c 4 + c 5 ) + y(c 5 + 2c 6 ). Kaikki L:n kuva-avaruuden alkiot ovat siis tätä muoto. Kuva-avaruuden kannaksi voidaan siten valita {1, x, y}. Kuva-avaruuden dimension on dim R(L) = 3. Dimesiolauseen (Eirola lause 2.4) mukaan jos dim(u) < ja L : U V on lineaarikuvaus, niin dim R(L) + dim N(L) = dim U, eli lähtöjoukon dimensio on kuva-avaruuden dimension ja ytimen dimension summa. Nyt dim R(L) = 3, dim N(L) = 3 ja dim P 2 2 = 6, ja = 6, eli dimensiolauseen suhteen kaikki on kunnossa. 11