Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
|
|
- Anna-Leena Lahtinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 6-8 tulee palauttaa seuraavan viikon tiistaina laskaripalautuskaappiin (laskutupaa vastapäätä) klo mennessä. Alkuviikko: vektoriavaruudet, aliavaruudet, matriisien laskutoimitukset Tehtävä 1: Mitkä seuraavista eivät ole vektoriavaruuksia? Miksi? Reaalilukujen joukko R, n-ulotteinen reaaliavaruus R n, kompleksitaso C, kompleksisten m n matriisien joukko C m n, matriisijoukko {M R n n det(m) = 1}, suora {(x, 4x) x R}, suora {(x, 3x 2) x R}, käyrä {(x, x 2 ) x R}, triviaali avaruus {0}. Ratkaisu: Joukkoa sanotaan vektoriavaruudeksi, jos sen alkioille on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen, jotka toteuttavat tietyt ehdot (ks. Eirola, määritelmä 1.1.). Joukko ei ole vektoriavaruus, jos löytyy yksikin ehto, joka ei toteudu. Reaalilukujen joukko R on vektoriavaruus. n-ulotteinen reaaliavaruus R n on vektoriavaruus. Kompleksitaso C on vektoriavaruus. Kompleksisten m n matriisien joukko C m n on vektoriavaruus. Matriisijoukko {M R n n det(m) = 1} ei ole vektoriavaruus, sillä esim. 1
2 Joukon alkion kertominen skalaarilla pitäisi kuvautua joukolle, mutta esimerkiksi eli 2M ei kuulu annettuun joukkoon. det(2 M) = 2 n det(m) = 2 n 1 1, Nollamatriisille det(0) = 0, eli nolla-alkio ei kuulu joukkoon. Suora {(x, 4x) x R} on vektoriavaruus. Suora {(x, 3x 2) x R} ei ole vektoriavaruus, sillä nolla-alkio (0, 0) ei kuulu joukkoon. Käyrä {(x, x 2 ) x R} ei ole vektoriavaruus, sillä alkioiden yhteenlasku ei kuvaudu joukolle: (a, a 2 ) + (b, b 2 ) = (a + b, a 2 + b 2 ) (a + b, (a + b) 2 ). Triviaali avaruus {0} on vektoriavaruus. Tehtävä 2: Tutki, ovatko seuraavat vektorit lineaarisesti riippumattomia polynomiavaruudessa P 2. a) 1, x 2, x 2 2 b) x + 2, x + 1, x 2 1 c) 1, 2x, 4x 2 2. Mitkä ovat vektorien virittämien aliavaruuksien dimensiot? Ratkaisu: Vektorit v 1, v 2,..., v n V ovat lineaarisesti riippumattomia, jos yhtälön c 1 v 1 + c 2 v c n v n = 0 ainoa ratkaisu on c 1 = c 2 =... = c n = 0. (Eirola, määr. 1.4.) Jos jokin vektoreista v 1, v 2,..., v n V voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa, vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. (Eirola, lause 1.1.) a) Merkitään p 1 (x) = 1, p 2 (x) = x 2, p 3 (x) = x 2 2. Nyt p 3 (x) = x 2 2 = p 2 (x) 2p 1 (x), joten p 3 voidaan esittää p 1 :n ja p 2 :n lineaarikombinaationa, joten vektorit eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Vektoreiden virittämän aliavaruuden dimensio on sen lineaarisesti riippumattomien vektorien lukumäärä. Yhtälön c 1 p 1 + c 2 p 2 = c 1 + c 2 x 2 = 0 ainoa ratkaisu on c 1 = c 2 = 0, joten {1, x 2 } on lineaarisesti riippumaton joukko. Näin ollen lineaarisesti riippumattomia vektoreita on kaksi, ja siis dim(span{1, x 2, x 2 2}) = dim(span{1, x 2 }) = 2. 2
3 b) Merkitään p 1 (x) = x+2, p 2 (x) = x+1, p 3 (x) = x 2 1. Etsitään yhtälön c 1 p 1 +c 2 p 2 +c 3 p 3 = 0 ratkaisut: 0 = c 1 p 1 (x) + c 2 p 2 (x) + c 3 p 3 (x) = c 1 (x + 2) + c 2 (x + 1) + c 3 (x 2 1) = c 3 x 2 + (c 1 + c 2 )x + (2c 1 + c 2 c 3 ), joten c 3 = 0 c 1 + c 2 = 0 c 2 = c 1 2c 1 + c 2 c 3 = 0 2c 1 c 1 0 = 0 c 1 = 0 Ainoa ratkaisu on siis c 1 = c 2 = c 3 = 0, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Näin ollen dimensio on dim(span{x + 2, x + 2, x 2 1}) = 3. c) Merkitään p 1 (x) = 1, p 2 (x) = 2x, p 3 (x) = 4x 2 2. Etsitään jälleen yhtälön c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 = 0 ratkaisut: joten 0 = c 1 p 1 (x) + c 2 p 2 (x) + c 3 p 3 (x) = c 1 (1) + c 2 (2x) + c 3 (4x 2 2) = 4c 3 x 2 + 2c 2 x + (c 1 2c 3 ), 4c 3 = 0 c 3 = 0 2c 2 = 0 c 2 = 0 c 1 2c 3 = 0 c 1 = 2c 3 = 0 Ainoa ratkaisu on siis c 1 = c 2 = c 3 = 0, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Näin ollen dimensio on dim(span{1, 2x, 4x 2 2}) = 3. Tehtävä 3: Olkoon V sellaisten 2 2 matriisien joukko, joilla diagonaalialkioiden summa on 0. a) Näytä, että V on R 2 2 :n aliavaruus. b) Mikä on V :n dimensio? c) Etsi V :lle jokin kanta. Ratkaisu: Tarkasteltavana on joukko V = {M R 2 2 m 11 + m 22 = 0}, joka on reaalisten 2 2-matriisien osajoukko. Joukkoon V kuuluvat matriisit ovat siis muotoa ( ) ( ) m11 m M = 12 m11 m = 12. m 21 m 22 m 21 m 11 3
4 a) Koska R 2 2 on R-kertoiminen vektoriavaruus, riittää aliavaruuden määritelmän (Eirola määr. 1.2) mukaan tarkistaa, että V on ei-tyhjä, ja että V :n alkioiden yhteenlasku ja kertominen skalaarilla (c R) kuvautuvat aina V :lle. Koska ( ) V, niin V on ei-tyhjä. ( ) ( ) a11 a Olkoon A = 12 b11 b V ja B = 12 V. Tällöin myös a 21 a 11 b 21 b 11 ( ) a11 + b A + B = 11 a 12 + b 12 V a 21 + b 21 (a 11 + b 11 ) ja ( ca11 ca c A = 12 ca 21 ca 11 joten V on avaruuden R 2 2 aliavaruus. ) V, b) Vektoriavaruuden R 2 2 dimensio on 4 (2 2-matriisissa on neljä vapaasti valittavaa alkiota). Aliavaruudessa V vain toinen matriisin diagonaalialkioista voidaan valita vapaasti, eli on kolme vapaasti valittavaa alkiota, joten dim(v ) = 3. c) Mielivaltainen matriisi M V voidaan kirjoittaa muodossa ( ) ( ) ( ) ( ) m11 m M = = m m 21 m 11 +m m }{{}}{{}}{{} :=M 1 :=M 2 :=M 3 Kaikille M 1, M 2, M 3 diagonaalialkioiden summa on 0, joten M 1, M 2, M 3 V. Koska c 1 M 1 + c 2 M 2 + c 3 M 3 = 0 (c i R) vain, kun c 1 = c 2 = c 3 = 0, niin M 1, M 2, M 3 ovat lineaarisesti riippumattomia. Mikä tahansa M V voidaan siis kirjoittaa niiden lineaarikombinaationa, eli M 1, M 2 ja M 3 virittävät avaruuden V. Näistä kolmesta asiasta seuraa, että {M 1, M 2, M 3 } on avaruuden V kanta. 4
5 Loppuviikko: vektoriavaruudet, lineaarikuvaukset, kannat, kannanvaihdot Tehtävä 4: a) Lineaarikuvauksesta A : R 2 R 3 tiedetään, että A(1, 0) = (0, 5, 7) ja A(0, 1) = (1, 13, 16). Esitä kuvauksen matriisi (standardikannassa). b) Miten a)-kohdan matriisi muuttuu, jos avaruudessa R 2 käytetäänkin kantaa {(3, 1), (5, 2)} ja avaruudessa R 3 kantaa {(1, 0, 1), ( 1, 2, 2), (0, 1, 2)}? Ratkaisu: a) Standardikannalla R 3 :lle tarkoitetaan kantaa {[1, 0, 0] T, [0, 1, 0] T, [0, 0, 1] T } ja R 2 :lle kantaa {[1, 0] T, [0, 1] T }. Nyt on suoraan annettu R 2 :n kantavektorien kuvat, joten matriisi voidaan kirjoittaa suoraan asettamalla nämä sarakkeiksi, eli A = (Kokeile vaikka mitä tapahtuu, kun kerrot tällä matriisilla R 2 :n kantavektoreita!) Lineaarikuvauksen matriisin muodostamista on käsitelty tarkemmin kurssilla MS-A000x Matriisilaskenta. b) Matriisi A esittää siis tarkasteltavaa lineaarikuvausta R 2 R 3, kun kannat ovat U 1 := {[1, 0] T, [0, 1] T } ja V 1 := {[1, 0, 0] T, [0, 1, 0] T, [0, 0, 1] T }. Samaa lineaarikuvausta esittävä matriisi B kannoissa U 2 := {[3, 1] T, [5, 2] T } ja V 2 := {[1, 0, 1] T, [ 1, 2, 2] T, [0, 1, 2] T } saadaan seuraavasti: B = S 1 AS 2, missä S 1 on kannanvaihto R 3 :ssa kannasta V 1 kantaan V 2 ja S 2 on kannanvaihto R 2 :ssa kannasta U 2 kantaan U 1. Tällöin B suorittaa kannassa U 2 = {[3, 1] T, [5, 2] T } annetulle vektorille seuraavat toimenpiteet: kannanvaihto standardikantaan U 1, sitten kuvaus standardikannasta toiseen ja lopuksi kannanvaihto haluttuun kantaan V 2 kuvapuolella. Kannanvaihtomatriisit ovat nyt S 1 = ja S 2 = ( Miksi näin? Siirryttäessä toisesta kannasta standardikantaan tulevat kannanvaihtomatriisin sarakkeiksi aina tämän toisen kannan kantavektorit (kokeile kertoa S 2 :lla jotakin kannassa U 2 annettua vektoria ja mieti, mitä tapahtuu). Näin ollen S 2 saadaan suoraan asettamalla R 2 :n kantavektorit {[3, 1] T, [5, 2] T } sarakkeiksi. S 1 tekee vaihdon toiseen suuntaan, joten se on kohti standardikantaa muuntavan matriisin käänteismatriisi. Näin ollen B = ( ) = )
6 Tehtävä 5: Etsi kannat matriisin A = nolla-avaruudelle N(A) ja sarakeavaruudelle C(A). Näytä, että dimn(a) + dimc(a) = 4. Ratkaisu: Etsitään ensin nolla-avaruus, toiselta nimeltään ydin, eli yhtälön Ax = 0 ratkaisut: : / eli ratkaisuille pätee { x 1 + 2x 2 x 3 + 4x 4 = 0 x x 4 = 0 Valitaan vapaiksi muuttujiksi x 1 = s ja x 3 = t, jolloin kaksi muuta saadaan niiden avulla, alemmasta yhtälöstä x 4 = 5t ja sen avulla ylemmästä x 3 2 = 1(t s 4 5t) = 17t 1 s. Ratkaisut ovat siis 1 0 x = s t 17 6, s, t R. 0 Vektorit [1, 1/2, 0, 0] T ja [0, 17/6, 1, 5/3] T muodostavat ytimelle kannan, sillä ne ovat lineaarisesti riippumattomat, kaikki niiden lineaarikombinaatiot kuuluvat ytimeen ja kaikki ytimen alkiot voidaan esittää niiden lineaarikombinaatioina. Etsitään sitten sarakeavaruudelle kanta: Merkitään sarakevektoreita a 1, a 2, a 3 ja a 4. Sarakevektoreina on siis neljä R 3 :n vektoria, joten ne eivät mitenkään voi kaikki olla lineaarisesti riippumattomia. Nopeasti huomataan, että a 2 = 2a 1, joten a 2 voidaan jättää pois kantaa etsittäessä. Tarkistetaan sitten ovatko a 1, a 3 ja a 4 lineaarisesti riippumattomia: 0 = c 1 a 2 + c 3 a 3 + c 4 a = c c c 4 5 = c 1 c 3 + 4c 4 2c 1 + 3c 3 + 5c 4 = c 1 + 6c 3 7c 4 Kerroinmatriisi saadaan Gaussin eliminaatiolla muotoon / , c 1 c 3 c 4
7 joten sillä on olemassa nollasta poikkeava ratkaisu, esim. c 4 = 5/3, c 3 = 1, c 1 = 17/3. Vektorit a 1, a 3 ja a 4 ovat siis lineaarisesti riippuvat, ja sarakeavaruuden kannassa on enintään kaksi vektoria. Kaksi siellä onkin, sillä voidaan tarkistaa, että a 1 ja a 3 ovat lineaarisesti riippumattomat: ensimmäisten elementtien suhde on 1, mutta toisten 2/3, joten a 1 ca 3 kaikilla c R \ {0}. Sarakeavaruuden eräs kanta on siis {[1, 2, 1] T, [ 1, 3, 6] T }. Nolla-avaruuden kannassa on kaksi vektoria, joten dim N(A) = 2. Samoin sarakeavaruuden kannassa on kaksi vektoria, joten myös dim C(A) = 2, ja siis dim N(A) + dim C(A) = = 4. 7
8 Kotitehtävä 6: Massan värähtelyä jousen päässä (kitkattomasti) kuvaa toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö x (t) + ω 2 x(t) = 0 kaikilla t R missä x = x(t) on massan etäisyys tasapainopisteestä hetkellä t ja ω on vakio. Osoita, että yhtälön ratkaisut muodostavat vektoriavaruuden. Ratkaisu: Yhtälön x (t) + ω 2 x(t) = 0 kaikilla t R, ω vakio, ratkaisujen joukko on V = {x(t) : R R x (t) + ω 2 x(t) = 0}. Ratkaisut muodostavat vektoriavaruuden, jos V toteuttaa kaikki vektoriavaruuden määritelmässä (Eirola, määr 1.1.) mainitut ehdot. Tarkistetaan siis toteutuvatko ehdot. 0) Joukko V on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Yhteenlasku: Olkoon x 1 (t), x 2 (t) V. Tällöin summalle x 1 (t) + x 2 (t) pätee: (x 1 + x 2 ) + ω 2 (x 1 + x 2 ) = x 1 + x 2 + ω 2 x 1 + ω 2 x 2 = (x 1 + ω 2 x 1 ) + (x 2 + ω 2 x 2 ) = = 0, eli x 1 + x 2 V. Skalaarilla kertominen: Olkoon x(t) V, α R. Tällöin αx(t):lle pätee: eli αx V. (αx) + ω 2 (αx) = αx + αω 2 x = α(x + ω 2 x) = α 0 = 0, 1) Liitäntälaki: (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w V. Koska u, v, w ovat nyt kuvauksia R R, ja liitäntälaki pätee reaaliluvuille, se pätee myös yhtälön ratkaisuille. 2) Nolla-alkio: On olemassa alkio 0 V siten, että v + 0 = v v V. Olkoon x 0 (t) : R R vakiokuvaus x 0 (t) = 0 t. Tällöin pätee x 0 + ω 2 x 0 = (0) + ω 2 0 = = 0, eli x 0 V. Lisäksi kaikille x(t) V pätee x(t) + x 0 (t) = x(t), eli x 0 (t) = 0 on etsitty nolla-alkio. 3) Vasta-alkio: Jokaisella v V on olemassa v V siten, että v + ( v) = 0. Olkoon x 1 (t) V. Tällöin kuvaukselle x 2 (t) = x 1 (t) pätee eli x 2 V. Lisäksi eli x 1 (t) on x 1 (t):n vasta-alkio. x 2 + ω 2 x 2 = ( x 1 ) + ω 2 ( x 1 ) = x 1 ω 2 x 1 = (x 1 + ω 2 x 1 ) = 0, x 1 + x 2 = x 1 + ( x 1 ) = 0 = x 0 (t), 8
9 4) Vaihdantalaki: u + v = v + u u, v V. Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 5) Osittelulaki: α(u + v) = αu + αv u, v V, α R. Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 6) Osittelulaki: (α + β)v = αv + βv v V, α, β R. Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 7) Liitäntälaki: α(βv) = (αβ)v v V, α, β R Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 8) Kerroinkunnan ykkösalkio: 1 v = v v V. Olkoon x(t) V, 1 R. Tällöin 1 x(t) = x(t). Kaikki vektoriavaruuden ehdot toteutuvat, joten V on vektoriavaruus. 9
10 Kotitehtävä 7: Näytä, että B = {1, 2x, 4x 2 2} on polynomiavaruuden P 2 kanta. Määritä kannanvaihtomatriisi kannasta {1, x, x 2 } kantaan B. Ratkaisu: Joukko B P 2 on avaruuden P 2 kanta, jos se on lineaarisesti riippumaton ja virittää P 2 :n (eli span(b) = P 2 ). Tehtävässä 2c on jo näytetty, että B:n alkiot ovat lineaarisesti riippumattomat. Vielä pitää siis näyttää, että B virittää P 2 :n, eli että jokainen p P 2 voidaan esittää B:n alkioiden lineaarikombinaationa. P 2 :n yleinen alkio p (kannassa {1, x, x 2 }) on muotoa missä a 0, a 1, a 2 C. Toisaalta p(x) = a a 1 x + a 2 x 2, p(x) = a a 1 x + a 2 x 2 = a a 1 2 2x + a 2 4 4x2 = a a 1 2 2x + a 2 4 (4x2 2) + a ( = a 0 + a ) a x + a 2 4 (4x2 2), eli p(x) on esitettävissä myös joukon B alkioiden lineaarikombinaationa. Näin ollen P 2 span(b). Toisaalta B:n alkioiden lineaarikombinaatiot ovat aina korkeintaan toisen asteen polynomeja, joten span(b) P 2. Näin ollen span(b) = P 2. B on siis lineaarisesti riippumaton ja virittää P 2 :n, joten se on P 2 :n kanta. Kannanvaihtomatriisi kertoo, miten toinen kanta esitetään toisen avulla. Merkitään B:n alkioita b 1 = 1, b 2 = 2x, b 3 = 4x 2 2. Tällöin kantavektoreille {1, x, x 2 } pätee 1 = 1 b 1 x = 1 2 b 2 x 2 = 1 4 b b 1. Kannanvaihtomatriisi S kannasta {1, x, x 2 } kantaan B saadaan näiden yhtälöiden kertoimista: kunkin yhtälön kertoimet järjestyksessä muodostavat matriisin yhden sarakkeen, eli 1 0 1/2 S = 0 1/ /4 (Voidaan vielä tarkistaa, että tämä antaa samat kertoimet muutettaessa vektoria kannasta toiseen kuin yllä: a 0 a 0 + 1/2 a 2 S a 1 = a 2 1/2 a 1 1/4 a 2 eli kun kertoimet ovat a 0, a 1, a 2 kannassa {1, x, x 2 } niin ne vastaavat kertoimia a 0 + 1/2 a 2, 1/2 a 1, 1/4 a 2 kannassa B, aivan kuin p(x):lle aiemmin laskettiin.) 10
11 Kotitehtävä 8: Olkoon P 2 2 korkeintaan toista astetta olevien kahden muuttujan polynomien joukko (toisin sanoen funktioiden 1, x, y, x 2, xy, y 2 virittämä). Olkoon L = +. Etsi L:n ytimelle ja x y kuva-avaruudelle kannat ja tarkista dimensiolause tässä tapauksessa. Ratkaisu: Etsitään ensin lineaarikuvauksen L ydin N(L): Olkoon p = c c 2 x + c 3 y + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 y 2 P 2 2, missä kertoimet kuuluvat kerroinkuntaan c i K (oli se sitten mikä tahansa). Jos p kuuluu lineaarikuvauksen L ytimeen, niin L(p) = 0. Siis L(p) = ( x + ) (c c 2 x + c 3 y + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 y 2 ) y = c 2 + 2c 4 x + c 5 y + c 3 + c 5 x + 2c 6 y Tällöin = c 2 + c 3 + x(2c 4 + c 5 ) + y(c 5 + 2c 6 ) = 0. c 2 + c 3 = 0 2c 4 + c 5 = 0 c 5 + 2c 6 = 0 c 2 = c 3 c 4 = 1 2 c 5 c 6 = 1c 2 5 eli p N(L) p = c c 2 (x y) + c 5 ( 1 2 x2 + xy 1 2 y2 ), missä c 1, c 2, c 2 K. Tästä saadaan ytimelle kanta {1, x y, xy 1 2 (x2 + y 2 )}. (Muista: Kanta on lineaarisesti riippumaton ja virittää koko avaruuden.) Ytimen dimensio on dim N(L) = 3. Etsitään sitten kuva-avaruus R(L): Edellä laskettiin, että L(p) = c 2 + c 3 + x(2c 4 + c 5 ) + y(c 5 + 2c 6 ). Kaikki L:n kuva-avaruuden alkiot ovat siis tätä muoto. Kuva-avaruuden kannaksi voidaan siten valita {1, x, y}. Kuva-avaruuden dimension on dim R(L) = 3. Dimesiolauseen (Eirola lause 2.4) mukaan jos dim(u) < ja L : U V on lineaarikuvaus, niin dim R(L) + dim N(L) = dim U, eli lähtöjoukon dimensio on kuva-avaruuden dimension ja ytimen dimension summa. Nyt dim R(L) = 3, dim N(L) = 3 ja dim P 2 2 = 6, ja = 6, eli dimensiolauseen suhteen kaikki on kunnossa. 11
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
Lisätiedot2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot3 Skalaari ja vektori
3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
Lisätiedotja F =
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotSeuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Lisätiedot2 / :03
file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
Lisätiedot2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET
30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1
LisätiedotLineaarialgebra b, kevät 2019
Lineaarialgebra b, kevät 2019 Harjoitusta 4 Maplella with(linearalgebra); (1) Tehtävä 1. Lineaarisia funktioita? a) Asetelma on kelvollinen: lähtö- ja maalijoukko on R-kertoiminen lineaariavaruus ja L
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotMuistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
Lisätiedot