Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44"

Transkriptio

1 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 6-8 tulee palauttaa seuraavan viikon tiistaina laskaripalautuskaappiin (laskutupaa vastapäätä) klo mennessä. Alkuviikko: vektoriavaruudet, aliavaruudet, matriisien laskutoimitukset Tehtävä 1: Mitkä seuraavista eivät ole vektoriavaruuksia? Miksi? Reaalilukujen joukko R, n-ulotteinen reaaliavaruus R n, kompleksitaso C, kompleksisten m n matriisien joukko C m n, matriisijoukko {M R n n det(m) = 1}, suora {(x, 4x) x R}, suora {(x, 3x 2) x R}, käyrä {(x, x 2 ) x R}, triviaali avaruus {0}. Ratkaisu: Joukkoa sanotaan vektoriavaruudeksi, jos sen alkioille on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen, jotka toteuttavat tietyt ehdot (ks. Eirola, määritelmä 1.1.). Joukko ei ole vektoriavaruus, jos löytyy yksikin ehto, joka ei toteudu. Reaalilukujen joukko R on vektoriavaruus. n-ulotteinen reaaliavaruus R n on vektoriavaruus. Kompleksitaso C on vektoriavaruus. Kompleksisten m n matriisien joukko C m n on vektoriavaruus. Matriisijoukko {M R n n det(m) = 1} ei ole vektoriavaruus, sillä esim. 1

2 Joukon alkion kertominen skalaarilla pitäisi kuvautua joukolle, mutta esimerkiksi eli 2M ei kuulu annettuun joukkoon. det(2 M) = 2 n det(m) = 2 n 1 1, Nollamatriisille det(0) = 0, eli nolla-alkio ei kuulu joukkoon. Suora {(x, 4x) x R} on vektoriavaruus. Suora {(x, 3x 2) x R} ei ole vektoriavaruus, sillä nolla-alkio (0, 0) ei kuulu joukkoon. Käyrä {(x, x 2 ) x R} ei ole vektoriavaruus, sillä alkioiden yhteenlasku ei kuvaudu joukolle: (a, a 2 ) + (b, b 2 ) = (a + b, a 2 + b 2 ) (a + b, (a + b) 2 ). Triviaali avaruus {0} on vektoriavaruus. Tehtävä 2: Tutki, ovatko seuraavat vektorit lineaarisesti riippumattomia polynomiavaruudessa P 2. a) 1, x 2, x 2 2 b) x + 2, x + 1, x 2 1 c) 1, 2x, 4x 2 2. Mitkä ovat vektorien virittämien aliavaruuksien dimensiot? Ratkaisu: Vektorit v 1, v 2,..., v n V ovat lineaarisesti riippumattomia, jos yhtälön c 1 v 1 + c 2 v c n v n = 0 ainoa ratkaisu on c 1 = c 2 =... = c n = 0. (Eirola, määr. 1.4.) Jos jokin vektoreista v 1, v 2,..., v n V voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa, vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. (Eirola, lause 1.1.) a) Merkitään p 1 (x) = 1, p 2 (x) = x 2, p 3 (x) = x 2 2. Nyt p 3 (x) = x 2 2 = p 2 (x) 2p 1 (x), joten p 3 voidaan esittää p 1 :n ja p 2 :n lineaarikombinaationa, joten vektorit eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Vektoreiden virittämän aliavaruuden dimensio on sen lineaarisesti riippumattomien vektorien lukumäärä. Yhtälön c 1 p 1 + c 2 p 2 = c 1 + c 2 x 2 = 0 ainoa ratkaisu on c 1 = c 2 = 0, joten {1, x 2 } on lineaarisesti riippumaton joukko. Näin ollen lineaarisesti riippumattomia vektoreita on kaksi, ja siis dim(span{1, x 2, x 2 2}) = dim(span{1, x 2 }) = 2. 2

3 b) Merkitään p 1 (x) = x+2, p 2 (x) = x+1, p 3 (x) = x 2 1. Etsitään yhtälön c 1 p 1 +c 2 p 2 +c 3 p 3 = 0 ratkaisut: 0 = c 1 p 1 (x) + c 2 p 2 (x) + c 3 p 3 (x) = c 1 (x + 2) + c 2 (x + 1) + c 3 (x 2 1) = c 3 x 2 + (c 1 + c 2 )x + (2c 1 + c 2 c 3 ), joten c 3 = 0 c 1 + c 2 = 0 c 2 = c 1 2c 1 + c 2 c 3 = 0 2c 1 c 1 0 = 0 c 1 = 0 Ainoa ratkaisu on siis c 1 = c 2 = c 3 = 0, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Näin ollen dimensio on dim(span{x + 2, x + 2, x 2 1}) = 3. c) Merkitään p 1 (x) = 1, p 2 (x) = 2x, p 3 (x) = 4x 2 2. Etsitään jälleen yhtälön c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 = 0 ratkaisut: joten 0 = c 1 p 1 (x) + c 2 p 2 (x) + c 3 p 3 (x) = c 1 (1) + c 2 (2x) + c 3 (4x 2 2) = 4c 3 x 2 + 2c 2 x + (c 1 2c 3 ), 4c 3 = 0 c 3 = 0 2c 2 = 0 c 2 = 0 c 1 2c 3 = 0 c 1 = 2c 3 = 0 Ainoa ratkaisu on siis c 1 = c 2 = c 3 = 0, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Näin ollen dimensio on dim(span{1, 2x, 4x 2 2}) = 3. Tehtävä 3: Olkoon V sellaisten 2 2 matriisien joukko, joilla diagonaalialkioiden summa on 0. a) Näytä, että V on R 2 2 :n aliavaruus. b) Mikä on V :n dimensio? c) Etsi V :lle jokin kanta. Ratkaisu: Tarkasteltavana on joukko V = {M R 2 2 m 11 + m 22 = 0}, joka on reaalisten 2 2-matriisien osajoukko. Joukkoon V kuuluvat matriisit ovat siis muotoa ( ) ( ) m11 m M = 12 m11 m = 12. m 21 m 22 m 21 m 11 3

4 a) Koska R 2 2 on R-kertoiminen vektoriavaruus, riittää aliavaruuden määritelmän (Eirola määr. 1.2) mukaan tarkistaa, että V on ei-tyhjä, ja että V :n alkioiden yhteenlasku ja kertominen skalaarilla (c R) kuvautuvat aina V :lle. Koska ( ) V, niin V on ei-tyhjä. ( ) ( ) a11 a Olkoon A = 12 b11 b V ja B = 12 V. Tällöin myös a 21 a 11 b 21 b 11 ( ) a11 + b A + B = 11 a 12 + b 12 V a 21 + b 21 (a 11 + b 11 ) ja ( ca11 ca c A = 12 ca 21 ca 11 joten V on avaruuden R 2 2 aliavaruus. ) V, b) Vektoriavaruuden R 2 2 dimensio on 4 (2 2-matriisissa on neljä vapaasti valittavaa alkiota). Aliavaruudessa V vain toinen matriisin diagonaalialkioista voidaan valita vapaasti, eli on kolme vapaasti valittavaa alkiota, joten dim(v ) = 3. c) Mielivaltainen matriisi M V voidaan kirjoittaa muodossa ( ) ( ) ( ) ( ) m11 m M = = m m 21 m 11 +m m }{{}}{{}}{{} :=M 1 :=M 2 :=M 3 Kaikille M 1, M 2, M 3 diagonaalialkioiden summa on 0, joten M 1, M 2, M 3 V. Koska c 1 M 1 + c 2 M 2 + c 3 M 3 = 0 (c i R) vain, kun c 1 = c 2 = c 3 = 0, niin M 1, M 2, M 3 ovat lineaarisesti riippumattomia. Mikä tahansa M V voidaan siis kirjoittaa niiden lineaarikombinaationa, eli M 1, M 2 ja M 3 virittävät avaruuden V. Näistä kolmesta asiasta seuraa, että {M 1, M 2, M 3 } on avaruuden V kanta. 4

5 Loppuviikko: vektoriavaruudet, lineaarikuvaukset, kannat, kannanvaihdot Tehtävä 4: a) Lineaarikuvauksesta A : R 2 R 3 tiedetään, että A(1, 0) = (0, 5, 7) ja A(0, 1) = (1, 13, 16). Esitä kuvauksen matriisi (standardikannassa). b) Miten a)-kohdan matriisi muuttuu, jos avaruudessa R 2 käytetäänkin kantaa {(3, 1), (5, 2)} ja avaruudessa R 3 kantaa {(1, 0, 1), ( 1, 2, 2), (0, 1, 2)}? Ratkaisu: a) Standardikannalla R 3 :lle tarkoitetaan kantaa {[1, 0, 0] T, [0, 1, 0] T, [0, 0, 1] T } ja R 2 :lle kantaa {[1, 0] T, [0, 1] T }. Nyt on suoraan annettu R 2 :n kantavektorien kuvat, joten matriisi voidaan kirjoittaa suoraan asettamalla nämä sarakkeiksi, eli A = (Kokeile vaikka mitä tapahtuu, kun kerrot tällä matriisilla R 2 :n kantavektoreita!) Lineaarikuvauksen matriisin muodostamista on käsitelty tarkemmin kurssilla MS-A000x Matriisilaskenta. b) Matriisi A esittää siis tarkasteltavaa lineaarikuvausta R 2 R 3, kun kannat ovat U 1 := {[1, 0] T, [0, 1] T } ja V 1 := {[1, 0, 0] T, [0, 1, 0] T, [0, 0, 1] T }. Samaa lineaarikuvausta esittävä matriisi B kannoissa U 2 := {[3, 1] T, [5, 2] T } ja V 2 := {[1, 0, 1] T, [ 1, 2, 2] T, [0, 1, 2] T } saadaan seuraavasti: B = S 1 AS 2, missä S 1 on kannanvaihto R 3 :ssa kannasta V 1 kantaan V 2 ja S 2 on kannanvaihto R 2 :ssa kannasta U 2 kantaan U 1. Tällöin B suorittaa kannassa U 2 = {[3, 1] T, [5, 2] T } annetulle vektorille seuraavat toimenpiteet: kannanvaihto standardikantaan U 1, sitten kuvaus standardikannasta toiseen ja lopuksi kannanvaihto haluttuun kantaan V 2 kuvapuolella. Kannanvaihtomatriisit ovat nyt S 1 = ja S 2 = ( Miksi näin? Siirryttäessä toisesta kannasta standardikantaan tulevat kannanvaihtomatriisin sarakkeiksi aina tämän toisen kannan kantavektorit (kokeile kertoa S 2 :lla jotakin kannassa U 2 annettua vektoria ja mieti, mitä tapahtuu). Näin ollen S 2 saadaan suoraan asettamalla R 2 :n kantavektorit {[3, 1] T, [5, 2] T } sarakkeiksi. S 1 tekee vaihdon toiseen suuntaan, joten se on kohti standardikantaa muuntavan matriisin käänteismatriisi. Näin ollen B = ( ) = )

6 Tehtävä 5: Etsi kannat matriisin A = nolla-avaruudelle N(A) ja sarakeavaruudelle C(A). Näytä, että dimn(a) + dimc(a) = 4. Ratkaisu: Etsitään ensin nolla-avaruus, toiselta nimeltään ydin, eli yhtälön Ax = 0 ratkaisut: : / eli ratkaisuille pätee { x 1 + 2x 2 x 3 + 4x 4 = 0 x x 4 = 0 Valitaan vapaiksi muuttujiksi x 1 = s ja x 3 = t, jolloin kaksi muuta saadaan niiden avulla, alemmasta yhtälöstä x 4 = 5t ja sen avulla ylemmästä x 3 2 = 1(t s 4 5t) = 17t 1 s. Ratkaisut ovat siis 1 0 x = s t 17 6, s, t R. 0 Vektorit [1, 1/2, 0, 0] T ja [0, 17/6, 1, 5/3] T muodostavat ytimelle kannan, sillä ne ovat lineaarisesti riippumattomat, kaikki niiden lineaarikombinaatiot kuuluvat ytimeen ja kaikki ytimen alkiot voidaan esittää niiden lineaarikombinaatioina. Etsitään sitten sarakeavaruudelle kanta: Merkitään sarakevektoreita a 1, a 2, a 3 ja a 4. Sarakevektoreina on siis neljä R 3 :n vektoria, joten ne eivät mitenkään voi kaikki olla lineaarisesti riippumattomia. Nopeasti huomataan, että a 2 = 2a 1, joten a 2 voidaan jättää pois kantaa etsittäessä. Tarkistetaan sitten ovatko a 1, a 3 ja a 4 lineaarisesti riippumattomia: 0 = c 1 a 2 + c 3 a 3 + c 4 a = c c c 4 5 = c 1 c 3 + 4c 4 2c 1 + 3c 3 + 5c 4 = c 1 + 6c 3 7c 4 Kerroinmatriisi saadaan Gaussin eliminaatiolla muotoon / , c 1 c 3 c 4

7 joten sillä on olemassa nollasta poikkeava ratkaisu, esim. c 4 = 5/3, c 3 = 1, c 1 = 17/3. Vektorit a 1, a 3 ja a 4 ovat siis lineaarisesti riippuvat, ja sarakeavaruuden kannassa on enintään kaksi vektoria. Kaksi siellä onkin, sillä voidaan tarkistaa, että a 1 ja a 3 ovat lineaarisesti riippumattomat: ensimmäisten elementtien suhde on 1, mutta toisten 2/3, joten a 1 ca 3 kaikilla c R \ {0}. Sarakeavaruuden eräs kanta on siis {[1, 2, 1] T, [ 1, 3, 6] T }. Nolla-avaruuden kannassa on kaksi vektoria, joten dim N(A) = 2. Samoin sarakeavaruuden kannassa on kaksi vektoria, joten myös dim C(A) = 2, ja siis dim N(A) + dim C(A) = = 4. 7

8 Kotitehtävä 6: Massan värähtelyä jousen päässä (kitkattomasti) kuvaa toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö x (t) + ω 2 x(t) = 0 kaikilla t R missä x = x(t) on massan etäisyys tasapainopisteestä hetkellä t ja ω on vakio. Osoita, että yhtälön ratkaisut muodostavat vektoriavaruuden. Ratkaisu: Yhtälön x (t) + ω 2 x(t) = 0 kaikilla t R, ω vakio, ratkaisujen joukko on V = {x(t) : R R x (t) + ω 2 x(t) = 0}. Ratkaisut muodostavat vektoriavaruuden, jos V toteuttaa kaikki vektoriavaruuden määritelmässä (Eirola, määr 1.1.) mainitut ehdot. Tarkistetaan siis toteutuvatko ehdot. 0) Joukko V on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Yhteenlasku: Olkoon x 1 (t), x 2 (t) V. Tällöin summalle x 1 (t) + x 2 (t) pätee: (x 1 + x 2 ) + ω 2 (x 1 + x 2 ) = x 1 + x 2 + ω 2 x 1 + ω 2 x 2 = (x 1 + ω 2 x 1 ) + (x 2 + ω 2 x 2 ) = = 0, eli x 1 + x 2 V. Skalaarilla kertominen: Olkoon x(t) V, α R. Tällöin αx(t):lle pätee: eli αx V. (αx) + ω 2 (αx) = αx + αω 2 x = α(x + ω 2 x) = α 0 = 0, 1) Liitäntälaki: (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w V. Koska u, v, w ovat nyt kuvauksia R R, ja liitäntälaki pätee reaaliluvuille, se pätee myös yhtälön ratkaisuille. 2) Nolla-alkio: On olemassa alkio 0 V siten, että v + 0 = v v V. Olkoon x 0 (t) : R R vakiokuvaus x 0 (t) = 0 t. Tällöin pätee x 0 + ω 2 x 0 = (0) + ω 2 0 = = 0, eli x 0 V. Lisäksi kaikille x(t) V pätee x(t) + x 0 (t) = x(t), eli x 0 (t) = 0 on etsitty nolla-alkio. 3) Vasta-alkio: Jokaisella v V on olemassa v V siten, että v + ( v) = 0. Olkoon x 1 (t) V. Tällöin kuvaukselle x 2 (t) = x 1 (t) pätee eli x 2 V. Lisäksi eli x 1 (t) on x 1 (t):n vasta-alkio. x 2 + ω 2 x 2 = ( x 1 ) + ω 2 ( x 1 ) = x 1 ω 2 x 1 = (x 1 + ω 2 x 1 ) = 0, x 1 + x 2 = x 1 + ( x 1 ) = 0 = x 0 (t), 8

9 4) Vaihdantalaki: u + v = v + u u, v V. Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 5) Osittelulaki: α(u + v) = αu + αv u, v V, α R. Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 6) Osittelulaki: (α + β)v = αv + βv v V, α, β R. Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 7) Liitäntälaki: α(βv) = (αβ)v v V, α, β R Selvää reaalilukujen laskusääntöjen ja sen, että kyseessä ovat kuvaukset R R, perusteella. 8) Kerroinkunnan ykkösalkio: 1 v = v v V. Olkoon x(t) V, 1 R. Tällöin 1 x(t) = x(t). Kaikki vektoriavaruuden ehdot toteutuvat, joten V on vektoriavaruus. 9

10 Kotitehtävä 7: Näytä, että B = {1, 2x, 4x 2 2} on polynomiavaruuden P 2 kanta. Määritä kannanvaihtomatriisi kannasta {1, x, x 2 } kantaan B. Ratkaisu: Joukko B P 2 on avaruuden P 2 kanta, jos se on lineaarisesti riippumaton ja virittää P 2 :n (eli span(b) = P 2 ). Tehtävässä 2c on jo näytetty, että B:n alkiot ovat lineaarisesti riippumattomat. Vielä pitää siis näyttää, että B virittää P 2 :n, eli että jokainen p P 2 voidaan esittää B:n alkioiden lineaarikombinaationa. P 2 :n yleinen alkio p (kannassa {1, x, x 2 }) on muotoa missä a 0, a 1, a 2 C. Toisaalta p(x) = a a 1 x + a 2 x 2, p(x) = a a 1 x + a 2 x 2 = a a 1 2 2x + a 2 4 4x2 = a a 1 2 2x + a 2 4 (4x2 2) + a ( = a 0 + a ) a x + a 2 4 (4x2 2), eli p(x) on esitettävissä myös joukon B alkioiden lineaarikombinaationa. Näin ollen P 2 span(b). Toisaalta B:n alkioiden lineaarikombinaatiot ovat aina korkeintaan toisen asteen polynomeja, joten span(b) P 2. Näin ollen span(b) = P 2. B on siis lineaarisesti riippumaton ja virittää P 2 :n, joten se on P 2 :n kanta. Kannanvaihtomatriisi kertoo, miten toinen kanta esitetään toisen avulla. Merkitään B:n alkioita b 1 = 1, b 2 = 2x, b 3 = 4x 2 2. Tällöin kantavektoreille {1, x, x 2 } pätee 1 = 1 b 1 x = 1 2 b 2 x 2 = 1 4 b b 1. Kannanvaihtomatriisi S kannasta {1, x, x 2 } kantaan B saadaan näiden yhtälöiden kertoimista: kunkin yhtälön kertoimet järjestyksessä muodostavat matriisin yhden sarakkeen, eli 1 0 1/2 S = 0 1/ /4 (Voidaan vielä tarkistaa, että tämä antaa samat kertoimet muutettaessa vektoria kannasta toiseen kuin yllä: a 0 a 0 + 1/2 a 2 S a 1 = a 2 1/2 a 1 1/4 a 2 eli kun kertoimet ovat a 0, a 1, a 2 kannassa {1, x, x 2 } niin ne vastaavat kertoimia a 0 + 1/2 a 2, 1/2 a 1, 1/4 a 2 kannassa B, aivan kuin p(x):lle aiemmin laskettiin.) 10

11 Kotitehtävä 8: Olkoon P 2 2 korkeintaan toista astetta olevien kahden muuttujan polynomien joukko (toisin sanoen funktioiden 1, x, y, x 2, xy, y 2 virittämä). Olkoon L = +. Etsi L:n ytimelle ja x y kuva-avaruudelle kannat ja tarkista dimensiolause tässä tapauksessa. Ratkaisu: Etsitään ensin lineaarikuvauksen L ydin N(L): Olkoon p = c c 2 x + c 3 y + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 y 2 P 2 2, missä kertoimet kuuluvat kerroinkuntaan c i K (oli se sitten mikä tahansa). Jos p kuuluu lineaarikuvauksen L ytimeen, niin L(p) = 0. Siis L(p) = ( x + ) (c c 2 x + c 3 y + c 4 x 2 + c 5 xy + c 6 y 2 ) y = c 2 + 2c 4 x + c 5 y + c 3 + c 5 x + 2c 6 y Tällöin = c 2 + c 3 + x(2c 4 + c 5 ) + y(c 5 + 2c 6 ) = 0. c 2 + c 3 = 0 2c 4 + c 5 = 0 c 5 + 2c 6 = 0 c 2 = c 3 c 4 = 1 2 c 5 c 6 = 1c 2 5 eli p N(L) p = c c 2 (x y) + c 5 ( 1 2 x2 + xy 1 2 y2 ), missä c 1, c 2, c 2 K. Tästä saadaan ytimelle kanta {1, x y, xy 1 2 (x2 + y 2 )}. (Muista: Kanta on lineaarisesti riippumaton ja virittää koko avaruuden.) Ytimen dimensio on dim N(L) = 3. Etsitään sitten kuva-avaruus R(L): Edellä laskettiin, että L(p) = c 2 + c 3 + x(2c 4 + c 5 ) + y(c 5 + 2c 6 ). Kaikki L:n kuva-avaruuden alkiot ovat siis tätä muoto. Kuva-avaruuden kannaksi voidaan siten valita {1, x, y}. Kuva-avaruuden dimension on dim R(L) = 3. Dimesiolauseen (Eirola lause 2.4) mukaan jos dim(u) < ja L : U V on lineaarikuvaus, niin dim R(L) + dim N(L) = dim U, eli lähtöjoukon dimensio on kuva-avaruuden dimension ja ytimen dimension summa. Nyt dim R(L) = 3, dim N(L) = 3 ja dim P 2 2 = 6, ja = 6, eli dimensiolauseen suhteen kaikki on kunnossa. 11

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

ja F =

ja F = MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot