Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen"

Transkriptio

1 Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

2 . 2

3 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät Matriisit Matriisien laskutoimitukset Matriisialgebraa Determinantti Kofaktori Käänteismatriisin kaava ja olemassaolo Lineaariset yhtälöryhmät Lineaariset yhtälöryhmät matriiseilla Vektorialgebraa ja analyyttistä geometriaa Geometriset vektorit Vektoriavaruus R n, n Z Vektorialgebraa vektoriavaruudessa R n Vektoreiden skalaaritulo eli pistetulo Määritelmä Algebrallisia ominaisuuksia Geometrisia ominaisuuksia Projektio Vektoritulo eli ristitulo Määritelmä Algebrallisia ominaisuuksia Geometrisia ominaisuuksia Skalaarikolmitulo Vektorikolmitulot Suora avaruudessa R Suora avaruudessa R Taso avaruudessa R

4 Luku 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 1.1 Matriisit Määritelmä Matriisi on suorakulmainen taulukko muotoa a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =.....,. a m1 a m2... a mn jossa m on rivien lukumäärä ja n on sarakkeiden lukumäärä. Lukuja a ij sanotaan matriisin alkioiksi tai elementeiksi. Matriisin A koko eli kertaluku on m n. Sanotaan, että A on m n matriisi. Matriisia voidaan lyhyesti merkitä A = [a ij ]. Huomautus. Luonnollisesti m, n Z +. Huomautus. Mikäli matriisin koko halutaan kirjoittaa näkyviin käytetään merkintää a 11 a a 1n a 21 a a 2n A m n = [a ij ] m n = a m1 a m2... a mn Esimerkki Matriisin A = on 3 4 matriisi, jossa esimerkiksi a 21 = 4 ja a 12 = 5. 4 m n

5 Merkintä. Joukko R m n on kaikkien reaalialkioisten m n matriisien joukko. Määritelmä Kokoa n n oleva matriisi on neliömatriisi. Neliömatriisin alkioita a 11, a 22,..., a nn kutsutaan diagonaalialkioiksi. Jos a ij = 0, kun i j, niin A on diagonaalimatriisi ja sitä merkitään notaatiolla A = diag(a 11,..., a nn ). Esimerkki Matriisi on 3 3 neliömatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat 1, 4 ja 1. Tämä matriisi ei ole diagonaalimatriisi. Esimerkki Matriisi on 3 3 neliömatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat 3, 5 ja 0. Tämä matriisi on diagonaalimatriisi. Määritelmä Matriisin alimatriisi on sellainen matriisi, joka saadaan poistamalla alkuperäisestä matriisista rivejä ja/tai sarakkeita. Alkuperäinen matriisi on myös itsensä alimatriisi. Esimerkki Matriisin [ 1 2 ] alimatriiseja ovat mm. [ ] 1 0, [ 1 2 ], [0] Matriisien laskutoimitukset Määritelmä (Matriisien summa). Olkoot A ja B samaa kokoa olevia matriiseja. Silloin niiden summa A + B on A + B = [a ij + b ij ]. Toisin sanoen matriisit lasketaan alkioittain yhteen. Esimerkki Lasketaan [ ] [ ] = [ ] ( 1) = [ ]

6 Esimerkki Summaa [ ] ei ole määritelty. Määritelmä (Matriisin kertominen skalaarilla). Olkoon A matriisi ja c R skalaari. Niiden tulo ca on ca = [ca ij ]. Toisin sanoen matriisi A kerrotaan alkioittain skalaarilla c. Esimerkki Lasketaan = 5 ( 1) 5 2 = Huomautus. Skalaarilla kertominen on aina määritelty. Määritelmä (Matriisien tulo). Olkoon A m r matriisi ja B r n matriisi. Niiden tulo AB on m n matriisi [ r ] AB = a ik b kj. k=1 Toisin sanoen AB = C, missä c ij = r k=1 a ik b kj. Esimerkki Olkoon ja A = [ ] B = Silloin [ ] ( 1) AB = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) [ ] =

7 Esimerkki Olkoon ja A = B = [ ] Tällöin AB ei ole määritelty, sillä A on 2 2 matriisi ja B on 3 2 matriisi, mutta 2 3. Huomautus. (Ks. pykälä 1.8.) Lineaarinen yhtälöryhmä { a1 x + b 1 y = c 1 voidaan kirjoittaa matriisimuodossa a 2 x + b 2 y = c 2 [ a1 b 1 a 2 b Matriisialgebraa ] [ ] x = y [ ] c1 Lause Olkoot A, B, C R m n. Silloin (1) A + B = B + A (2) (A + B) + C = A + (B + C). Todistus. Valitaan mielivaltaiset A, B, C R m n. Todistetaan ensin kohta (1). Nyt A + B = [a ij ] + [b ij ] = [a ij + b ij ] = [b ij + a ij ] = [b ij ] + [a ij ] = B + A, joten kohta (1) on todistettu. Todistetaan sitten kohta (2). Nyt joten kohta (2) on todistettu. c 2 (A + B) + C = ([a ij ] + [b ij ]) + [c ij ] = [a ij + b ij ] + [c ij ] = [(a ij + b ij ) + c ij ] = [a ij + (b ij + c ij )] = [a ij ] + [b ij + c ij ] = [a ij ] + ([b ij ] + [c ij ]) = A + (B + C),. 7

8 Lause Olkoot A, B, C R n n. Silloin Todistus. Harjoitustehtävä. (AB)C = A(BC). Huomautus. Matriisien tulo ei ole kommutatiivinen eli vaihdannainen, toisin sanoen on olemassa sellaiset matriisit A ja B, että Esimerkki Olkoon ja Tällöin mutta AB BA. A = B = AB = BA = [ ] [ ] [ ] 0 1, 0 0 [ ] Esimerkki Olkoon A R 2 3 ja B R 3 3. Tällöin tulo AB on määritelty, mutta tulo BA ei ole määritelty. Lause (Osittelulait). Olkoon A R n r, ja olkoot B, C R r m. Tällöin (1) A(B + C) = AB + AC. Olkoon A R r m, ja olkoot B, C R n r. Tällöin (2) (B + C)A = BA + CA. Todistus. Todistetaan kohta (1). Oletetaan sitä varten, että A R n r ja B, C R r m. Tällöin A(B + C) = [a ij ] ([b ij ] + [c ij ]) = [a ij ] [b ij + c ij ] [ r ] = a ik (b kj + c kj ) k=1 [ r ] r = a ik b kj + a ik c kj k=1 k=1 [ r ] [ r ] = a ik b kj + a ik c kj k=1 k=1 = [a ij ] [b ij ] + [a ij ] [c ij ] = AB + AC, 8

9 joten kohta (1) on saatu todistettua. Kohta (2) on harjoitustehtävä. Lause Olkoot B, C R m n ja a, b R. Tällöin (1) a(b + C) = ab + ac (2) (a + b)c = ac + bc. Todistus. Harjoitustehtävä. Määritelmä (Nollamatriisi). Sellaista m n matriisia, jonka jokainen alkio on 0, sanotaan m n nollamatriisiksi. Tätä matriisia merkitään symbolilla 0 m n tai lyhyemmin 0. Toisin sanoen 0 = [0] m n. Lause Olkoon A R m n, ja olkoon 0 m n nollamatriisi. Tällöin A + 0 = 0 + A = A. Todistus. Oletetaan, että A R m n ja että 0 on m n nollamatriisi. Tällöin A + 0 = [a ij ] + [0] = [a ij + 0] = [a ij ] = A. Lauseen nojalla puolestaan A + 0 = 0 + A. Siis on saatu, että A + 0 = 0 + A = A. Huomautus. On olemassa sellaiset matriisit A 0 ja B 0, että AB = 0. Määritelmä Matriisin A vastamatriisi A on sellainen matriisi, että A + ( A) = ( A) + A = 0. Lause Olkoon A matriisi. Tällöin A = [ a ij ] Todistus. Oletetaan, että A on matriisi. Tällöin A + [ a ij ] = [a ij ] + [ a ij ] = [a ij + ( a ij )] = [0] = 0. Vastaavasti voidaan osoittaa, että [ a ij ] + A = 0, joten määritelmän nojalla [ a ij ] = A. Määritelmä (Erotus). Olkoot A, B R m n. Matriisien erotus A B on A B = A + ( B). 9

10 Huomautus. Olkoot A, B R m n. Tällöin Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki Lasketaan [ ] A B = [a ij b ij ]. [ ] 4 1 = 1 4 [ ] Määritelmä Identiteettimatriisi on n n diagonaalimatriisi, jonka jokainen diagonaalialkio on 1. Merkitään I n n, I n tai I. Esimerkki Esimerkiksi I 2 = [ ] ja I 3 = Huomautus. Identiteettimatriisia voidaan kutsua myös identtiseksi matriisiksi tai yksikkömatriisiksi. Lause Olkoon A R n n. Tällöin AI n = I n A = A. Todistus. Oletetaan, että A R n n. Tällöin [ n ] AI n = a ik i kj k=1 = [a i1 i 1j a ij i jj a in i nj ] = [a i a ij a in 0] = [ a ij ] = [a ij ] = A, joten AI n = A. Vastaavasti saadaan, että I n A = A. Määritelmä (Käänteismatriisi). Olkoon A neliömatriisi. Silloin B on matriisin A käänteismatriisi, jos AB = BA = I. Jos tällainen B on olemassa, niin sanotaan, että A on kääntyvä. 10

11 Esimerkki Olkoon ja Tällöin AB = [ ] [ ] A = B = = [ 2 ] [ ] [ ] 1 0 = 0 1 [ Siis matriisi A on kääntyvä ja B on sen käänteismatriisi. ] [ ] 2 5 = BA. 1 3 Lause Jos käänteismatriisi on olemassa, se on yksikäsitteinen. Todistus. Oletetaan, että A on kääntyvä matriisi ja B, C ovat sen käänteismatriiseja. Tällöin AB = BA = I ja Nyt AC = CA = I. B = IB = (CA)B = C(AB) = CI = C. Siis käänteismatriisi on yksikäsitteinen. Merkintä. Kääntyvän matriisin A käänteismatriisia merkitään symbolilla A 1. Huomautus. Vastamatriisi on aina olemassa ja se on yksikäsitteinen. Huomautus. Kun A on matriisi, niin ja kun A on neliömatriisi, niin A + 0 = A, A + ( A) = 0, AI = A ja AA 1 = I, kun A on kääntyvä. Vastaavasti kun a on reaaliluku, niin a + 0 = a, a + ( a) = 0, ja a1 = a ja aa 1 = 1, kun a 0. 11

12 Lause Olkoot A ja B kääntyviä matriiseja. Silloin (a) AB on kääntyvä, (b) (AB) 1 = B 1 A 1. Todistus. Oletetaan, että A ja B ovat kääntyviä matriiseja. Siis on olemassa matriisit A 1 ja B 1. Nyt ja (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I, joten B 1 A 1 on matriisin AB käänteismatriisi. Siis AB on kääntyvä eli kohta (a) pätee ja (AB) 1 = B 1 A 1 eli kohta (b) pätee. Määritelmä Olkoon A neliömatriisi ja n Z +. Tällöin (a) A 0 = I, (b) A n = AA n 1 = (c) A n = (A 1 ) n = n kpl {}}{ A A, n kpl {}}{ A 1 A 1, kun A on kääntyvä. Lause Olkoon A kääntyvä matriisi. Silloin (a) A 1 on kääntyvä ja (A 1 ) 1 = A, (b) A n on kääntyvä ja (A n ) 1 = (A 1 ) n, n Z + (c) (ka) 1 = 1 k A 1, kun k 0. Todistus. Kohdat (a) ja (b) ovat harjoitustehtäviä. Todistetaan kohta (c). Oletetaan, että A on kääntyvä matriisi ja k R, k 0. Nyt (ka)( 1 k A 1 ) = (k 1 k )(AA 1 ) = 1I = I ja ( 1 k A 1 )(ka) = ( 1 k k)(a 1 A) = 1I = I, joten (ka) 1 = 1 k A 1. Määritelmä (Transpoosi). Olkoon A = [a ij ] m n matriisi. Sen transpoosi on A T = [a ji ] n m. 12

13 Esimerkki Olkoon 1 2 A = Tällöin ja A T = [ ] (A T ) T = = A. Määritelmä Matriisia A sanotaan symmetriseksi, jos A T = A. Esimerkki Matriisi on symmetrinen. a d e d b f e f c Huomautus. Vain neliömatriisi voi olla symmetrinen. Lause Olkoot A ja B matriiseja, ja olkoon k R skalaari. Silloin (a) (A T ) T = A, (b) (A + B) T = A T + B T, (c) (ka) T = ka T, (d) (AB) T = B T A T. Todistus. Kohdat (a), (b) ja (c) ovat harjoitustehtäviä. Todistetaan tässä kohta (d). Oletetaan sitä varten, että A ja B ovat matriiseja. Nyt (AB) T = = [ r ] T a ik b kj k=1 [ r ] a jk b ki. k=1 13

14 Merkitään A T = [c ij ] ja B T = [d ij ]. Tällöin Siis (AB) T = B T A T. B T A T = [d ij ] [c ij ] [ r = = = ] d ik c kj k=1 [ r ] b ki a jk k=1 [ r ] a jk b ki. k=1 1.4 Determinantti Määritelmä Olkoon A n n matriisi. Sen determinantti on det A = (j 1,...,j n) sgn(j 1,..., j n )a 1j1 a 2j2 a njn, missä (j 1,..., j n ) käy läpi kaikki joukon {1, 2,..., n} permutaatiot. Huomautus. Determinantin määritelmä ei kuulu tämän kurssin vaatimuksiin. Se käsitellään tarkemmin kurssilla Algebra 1. Merkintä. Matriisin A determinanttia merkitään notaatioilla det A ja A. Huomautus. Reaalialkioisen matriisin determinantti on kuvaus R n n R. Huomautus. Seuraavassa luvussa tarkastellaan determinantin laskemista ja sen ominaisuuksia ns. kofaktoriesityksen avulla. Huomautus. Determinanttia käytetään muun muassa käänteismatriisien laskemiseen, yhtälöryhmien ratkaisemiseen ja tilavuuksien määrittämiseen. 1.5 Kofaktori Määritelmä Olkoon A neliömatriisi, ja olkoot 1 i, j n. Silloin minori M ij on sellaisen matriisin determinantti, joka saadaan poistamalla i. rivi ja j. sarake matriisista A. Lukua ( 1) i+j M ij sanotaan (alkion a ij ) kofaktoriksi. Merkitään C ij = ( 1) i+j M ij. Esimerkki Olkoon A =

15 Saadaan esimerkiksi, että 5 6 M 11 = 4 8 ja C 11 = ( 1) 1+1 M 11 = M 11. Saadaan myös, että 3 4 M 32 = 2 6 ja C 32 = ( 1) 3+2 M 32 = M 32. Lause (Kofaktoriesitys 1. rivin suhteen). Olkoon A n n neliömatriisi. Tällöin det A = a 11 C 11 + a 12 C a 1n C 1n. Todistus. Sivuutetaan. Lause Olkoon A = [a] 1 1. Silloin Todistus. Sivuutetaan. Lause Olkoon 2 2 matriisi. Silloin Todistus. Harjoitustehtävä. det A = a. [ ] a b A = c d det A = ad bc. Esimerkki Lasketaan [ ] 1 0 det = = ja det Esimerkki Olkoon Silloin det A = [ ] 1 2 = = A = = 3 C C C 13 = 3( 1) ( 1) ( 1) = 3 1 ( 10) + 1 ( 1) =

16 Lause Olkoon A 3 3 matriisi. Silloin det A voidaan laskea kaavalla det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki Lasketaan = = Määritelmä (Kolmiomatriisi). Neliömatriisi A = [a ij ] on yläkolmiomatriisi, jos jokainen alkio diagonaalin alapuolella on 0. Toisin sanoen a ij = 0, kun i > j. Neliömatriisi A = [a ij ] on alakolmiomatriisi, jos jokainen alkio diagonaalin yläpuolella on 0. Toisin sanoen a ij = 0, kun i < j. Esimerkki Matriisi on yläkolmiomatriisi. Matriisi on alakolmiomatriisi. Matriisi a b c 0 d e 0 0 f a 0 0 b c 0 d e f a b c on diagonaalimatriisi ja tällöin sekä ylä- että alakolmiomatriisi. Lause Jos A on kolmiomatriisi, niin det A = a 11 a 22 a nn Todistus. Todistetaan 3 3 alakolmiomatriisille. Yleinen tapaus voidaan todistaa induktiolla. Olkoon A 3 3 alakolmiomatriisi. Merkitään a 0 0 A = b c 0. d e f 16

17 Nyt a 0 0 b c 0 = a C C C 13 d e f b 0 = a f c = a(bc 0f) = abc. Lause (Rivioperaatiot). 1) Olkoon A matriisi, joka saadaan matriisista A kertomalla yksi rivi skalaarilla k R. Silloin det A = k det A. 2) Olkoon A matriisi, joka saadaan matriisista A vaihtamalla kahden rivin paikkaa keskenään. Silloin det A = det A. 3) Olkoon A matriisi, joka saadaan matriisista A lisäämällä yksi rivi vakiolla kerrottuna toiseen riviin. Silloin Todistus. Luennot ja harjoitukset. det A = det A. Esimerkki Lasketaan = = = = ( 1) 5 1 = 5. Lause Olkoon A neliömatriisi. Silloin det A = det A T. 17

18 Todistus. Seuraa määritelmistä. Sivuutetaan. Seuraus. Rivioperaatioiden lisäksi voidaan käyttää sararakeoperaatioita samaan tapaan. Lause (Nollarivi). Olkoon A neliömatriisi, jonka jokin rivi koostuu pelkistä nollista. Silloin det A = 0. Todistus. Oletetaan, että A on neliömatriisi, jonka jokin rivi koostuu pelkistä nollista. Jos nollarivi ei ole ensimmäinen rivi, niin olkoon A matriisi, joka on saatu matriisista A vaihtamalla nollarivi ja ensimmäinen rivi keskenään. Tällöin det A = det A = (0 C C C 1n) = 0 = 0. Jos nollarivi on ensimmäinen rivi, niin det A = 0 C C C 1n = 0. Lause (Tulon determinantti). Olkoot A ja B samankokoisia neliömatriiseja. Silloin det(ab) = det A det B. Todistus. Sivuutetaan yleisessä tapauksessa. Esimerkki Olkoon A neliömatriisi. Tällöin det A 2 = (det A)(det A) = (det A) 2 0. Lause Olkoot A,B,C R n n sellaiset matriisit, että c 1j = a 1j + b 1j, j = 1, 2,..., n, ja a ij = b ij = c ij, kun j = 2, 3,..., n, j = 1, 2,..., n. Silloin det C = det A + det B. Todistus. Saadaan kofaktoriesityksestä. Huomautus. Rivin 1 sijasta voidaan tarkastella muutakin riviä tai saraketta. Esimerkki Lauseen perusteella Huomautus. Yleensä = det(a + B) det A + det B. 18

19 1.6 Käänteismatriisin kaava ja olemassaolo Määritelmä Matriisin A R n n adjugaatti on C 11 C C n1 adj A = [C ij ] T C 12 C C n2 = C 1n C 2n... C nn Lause Olkoon A neliömatriisi ja det A 0. Silloin A 1 = 1 adj A. det A Todistus. Oletetaan, että A on sellainen neliömatriisi, että det A 0. Merkitään [C ij ] T = [d ij ]. Tällöin A(adj A) = [a ij ] [C ij ] T = [a ij ] [d ij ] [ r = = ] a ik d kj k=1 [ r = B. ] a ik C jk k=1 Tarkastellaan tämän matriisin alkioita. Jos i = j, niin Jos i j, niin r b ii = a ik C ik = det A. k=1 r b ij = a ik C jk = det A, k=1 missä A on matriisi, joka on saatu matriisista A korvaamalla j. rivi i. rivillä. Tällöin matriisin A i. ja j. rivi ovat samat, joten det A = 0. Siis Nyt det A det A... 0 A(adj A) =.... = (det A)I det A 1 A( det A 1 1 adj A) = (A(adj A)) = (det A)I = I det A det A ja vastaavasti ( 1 det A adj A)A = I, joten adj A = A 1. 19

20 Esimerkki Olkoon A = Tällöin det A = 40 ja C 11 = ( 1) = 10 C 12 = ( 1) = 10 C 13 = ( 1) = 20. Vastaavasti saadaan, että C 21 = 5, C 22 = 15, C 23 = 10, C 31 = 2, C 32 = 6, C 33 = 4, jolloin adj A = Siis A 1 = Lause Neliömatriisi A on kääntyvä, jos ja vain jos det A 0. Todistus. Olkoon A neliömatriisi. Oletetaan ensin, että A on kääntyvä. Tällöin A 1 on olemassa. Nyt AA 1 = I det(aa 1 ) = det I (det A)(det A 1 ) = 1, joten det A 0. Oletetaan sitten, että det A 0. Tällöin lauseen nojalla käänteismatriisi on olemassa ja näin ollen A on kääntyvä. Esimerkki Olkoon ja Silloin A = B = [ ] [ ] det A = 1 0, 20

21 joten A on kääntyvä, mutta joten B ei ole kääntyvä. Seuraus. Jos A on kääntyvä, niin det B = 0, det A 1 = 1 det A. Todistus. Oletetaan, että A on kääntyvä. Tällöin det A 0. Lauseen todistuksen nojalla (det A)(det A 1 ) = 1, joten tästä saadaan, että det A 1 = 1 det A. Esimerkki Olkoot A, B R n n sellaisia, että BA = I. Silloin B = A 1. Todistus. Oletetaan, että A, B R n n ja BA = I. Nyt BA = I det(ba) = det I det B det A = 1, joten det A 0. Siis A 1 on olemassa. Tällöin BA = I (BA)A 1 = IA 1 B(AA 1 ) = A 1 BI = A 1 B = A Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, missä 21

22 luvut x 1, x 2,..., x n ovat tuntemattomia muuttujia, termit a ij ovat kertoimia, ij on indeksi, termit b i ovat vakiotermejä. Huomautus. Määritelmässä yhtälöitä on siis m kappaletta ja tuntemattomia muuttujia n kappaletta. Huomautus. Jos tuntemattomia muuttujia on kolme, merkitään niitä usein symboleiden x 1, x 2, x 3 sijaan symboleilla x, y, z. Jos tuntemattomia muuttujia on kaksi, merkitään niitä usein symboleiden x 1, x 2 sijaan symboleilla x, y. Huomautus. Lineaarisen yhtälöryhmän yhtälöt koostuvat siis vakiolla kerrotuista muuttujista, joita on laskettu yhteen, sekä vakiotermeistä. Esimerkki Esimerkiksi x + 2y + 3z = 2 x + y + 2z = 1 2x + 3y z = 2 on lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on kolme tuntematonta muuttujaa ja kolme yhtälöä. Esimerkki Yhtälöryhmät { x + xy = 1 x + 2y = 5 ja { x + y = 3 x y = sin x ovat eivät ole lineaarisia, mutta yhtälöryhmät { x + y = 3 x y = 2x ja { x + y = 5 ovat lineaarisia. 2y z = 2 Ratkaiseminen. Yhtälöryhmän ratkaisemisessa käytetään seuraavia elementaarisia rivioperaatioita: 22

23 1. Yhtälö voidaan kertoa puolittain nollasta eroavalla vakiolla. 2. Kahden yhtälön paikkaa voidaan vaihtaa. 3. Yhden yhtälön puolittainen monikerta voidaan lisätä puolittain toiseen yhtälöön. Esimerkki Ratkaistaan yhtälöryhmä { x + 3y = 3 x 6y = 3. Tehdään ratkaisu ensin niin, että eliminoidaan y toisesta yhtälöstä. Tällöin { x + 3y = 3 x 6y = 3 +2I { x + 3y = 3 3x = { x + 3y = 3 x = 1 x = 1 { 1 + 3y = 3 x = 1 { 3y = x = 1 { y = 2 3 x = 1. Toisaalta voitaisiin ratkaista yhtälöryhmä eliminoimalla x ensimmäisestä yhtälöstä. Tällöin { x + 3y = 3 II x 6y = 3 { 9y = 6 x 6y = 3. Ylemmästä yhtälöstä saadaan, että y = 2, jolloin sijoittamalla tämä toiseen 3 yhtälöön saadaan x = 6y 3 = = 4 3 = 1. 23

24 Tarkistetaan ratkaisun oikeellisuus sijoittamalla se alkuperäiseen yhtälöryhmään. Saadaan = = 3, = 1 4 = 3, joten ratkaisu on oikein. Esimerkki Ratkaistaan yhtälöryhmä x + 2y + 3z = 2 x + y + 2z = 1 2x + y + z = 1. Saadaan x + 2y + 3z = 2 x + y + 2z = 1 2x + y + z = 1 y + z = 1 x + y + 2z = 1 x z = 0 +I y + z = 1 x + y + 2z = 1 Yhtälöryhmän ratkaisu on siis x + y = 1 y + z = 1 II II +III 2z = x + y = 1 y + z = 1 z = 0 z = 0 x + y = 1 y = 1 z = 0 x + y = 1 y = 1. y = 1 z = 0 x = 0. x = 0 y = 1 z = 0. 24

25 Esimerkki Ratkaistaan yhtälöryhmä { x + 2y + 3z = 2 Saadaan x + y + 2z = 1. { x + 2y + 3z = 2 II x + y + 2z = 1 { y + z = 1 x + y + 2z = 1 { y + z = 1 x + z = 0. I Merkitään z = t, jolloin saadaan ensimmäisestä yhtälöstä y = 1 t ja toisesta yhtälöstä x = t. Siis yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan x = t y = 1 t, t R. z = t Huomautus. Käytännössä lineaarisia yhtälöryhmiä ratkotaan usein matemaattisilla ohjelmistoilla, esimerkiksi WolframAlphalla. Määritelmä Lineaarinen yhtälöryhmä on homogeeninen, jos b 1 = = b m = 0. Huomautus. Homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua tai vain ratkaisu x 1 = = x n = 0 eli ns. triviaaliratkaisu. Jos homogeenisessa lineaarisessa yhtälöryhmässä on enemmän muuttujia kuin yhtälöitä eli jos n > m, niin ratkaisuja on ääretön määrä. Esimerkki Ratkaistaan yhtälöryhmä { x + y + z = 0 Saadaan x + 2y + 2z = 0. { x + y + z = 0 x + 2y + 2z = 0 I { x + y + z = 0 II y + z = 0 { x = 0 y + z = 0. Merkitään y = t, jolloin saadan, että z = t. Siis ratkaisuksi saadaan x = 0 y = t, t R. z = t 25

26 1.8 Lineaariset yhtälöryhmät matriiseilla Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n, jossa on n yhtälöä ja n tuntematonta x 1, x 2,..., x n. Merkintä. Merkitään X = [x 1,..., x n ] T, B = [b 1,..., b n ] T ja A = [a ij ]. Tällöin saadaan matriisiyhtälö AX = B. Jos A on kääntyvä, niin ratkaisu on X = A 1 B. Lause (Cramerin sääntö). Tarkastellaan yhtälöä (1.1) AX = B, missä det A 0. Olkoon A j matriisi, joka saadaan matriisista A korvaamalla j. sarake matriisilla B. Toisin sanoen b 1 a a 1n b 2 a a 2n A 1 =.....,. b n a n2... a nn a 11 b 1... a 1n a 21 b 2... a 2n A 2 = a n1 b n... a nn ja niin edelleen. Silloin yhtälön (1.1) ratkaisu on x 1 = det A 1 det A,..., x n = det A n det A. 26

27 Todistus. Oletetaan, että A on kääntyvä matriisi, X = [x 1,..., x n ] T ja B = [b 1,..., b n ] T. Nyt Tällöin X = A 1 B = 1 det A adj(a)b b 1 = 1 det A [C ij] T. b n = 1 [ n ] C ki b k. det A k=1 x i = 1 det A n b k C ki k=1 = 1 det A det A i = det A i det A, missä A i on kuten lauseessa määriteltiin. Esimerkki Olkoon x 1 + 2x 3 = 6 3x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 30 x 1 2x 2 + 3x 3 = 8. Tällöin saadaan, että x 1 6 A = 3 4 6, X = x 2, B = 30, x A 1 = , A 2 = , A 3 = Lasketaan determinantit, jolloin saadaan det A = 44, det A 1 = 40, det A 2 = 72 ja det A 3 = 152. Näiden avulla saadaan yhtälöryhmän ratkaisu x 1 = = 10 11, x 2 = = 18 11, x 3 = =

28 Lause Olkoon A neliömatriisi. Silloin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: 1. A on kääntyvä, 2. det A 0, 3. yhtälöryhmällä AX = 0 on vain triviaali ratkaisu X = 0, 4. yhtälöryhmä AX = B on ratkeava aina, kun B R n 1. Todistus. Kohtien (1) ja (2) yhtäpitävyys on todistettu lauseessa Oletetaan, että A on kääntyvä. Tällöin AX = 0 X = A 1 0 X = 0, joten kohdasta (1) seuraa kohta (3). Oletetaan sitten, että A on kääntyvä ja B R n 1. Tällöin AX = B joten kohdasta (1) seuraa kohta (4). Muut suunnat sivuutetaan. X = A 1 B, 28

29 Luku 2 Vektorialgebraa ja analyyttistä geometriaa 2.1 Geometriset vektorit Vektorit ovat suuntajanojen ekvivalenssiluokkia. Yleensä ekvivalenssiluokan edustaja ja vektori eli ekvivalenssiluokka samaistetaan. Kaksi vektoria ovat samat, jos ja vain jos 1. niillä on sama suunta, 2. ne ovat yhtä pitkät. Kuvassa 2.1 t u = v w t. Kuva 2.1: Vektoreita. Summa. Vektoreiden summa saadaan yhdistämällä vektorit alku- ja loppupisteistään kuvan 2.2 tavalla. Kuva 2.2: Vektoreiden summa. 29

30 Skalaarilla kertominen. Skalaarilla kerrottu vektori saadaan venyttämällä (kun skalaari on > 1) alkuperäistä vektoria kuvan 2.3 tavalla. Kuva 2.3: Skalaarilla kertominen. 2.2 Vektoriavaruus R n, n Z + Joukko R n on R n = n kpl {}}{ R R = {(u 1, u 2,..., u n ) u 1, u 2,..., u n R}. Summa. Olkoot (u 1,..., u n ), (v 1,..., v n ) R n. Silloin (u 1,..., u n ) + (v 1,..., v n ) = (u 1 + v 1,..., u n + u n ). Skalaarilla kertominen. Olkoon (u 1,..., u n ) R n ja k R. Silloin k(u 1,..., u n ) = (ku 1,..., ku n ). Nyt joukko R n (varustettuna yo. laskutoimituksilla) on vektoriavaruus ja sen alkiota kutsutaan vektoreiksi. Merkitään u = (u 1,..., u n ). Huomautus. Vektoreiden yhtäsuuruudelle pätee Esimerkki Vektoriavaruuden u = v u 1 = v 1,..., u n = v n. R 2 = {(u 1, u 2 ) u 1, u 2 R} alkioita voidaan havainnollistaa xy-tason nuolilla. Kuvassa 2.4 P (3, 2) on piste ja u = (3, 2) on vektori. Suuntajana OP on vektorin u yksi edustaja. 30

31 Kuva 2.4: Vektoreiden havainnollistus xy-tasossa. 2.3 Vektorialgebraa vektoriavaruudessa R n Määritelmä Nollavektori 0 R n on sellainen vektori, että u + 0 = 0 + u = u aina, kun u R n. Vektorin u R n vastavektori u R n on sellainen vektori, että u + ( u) = ( u) + u = 0. Lause Olkoot u, v, w R n ja k, l R. Silloin (1) u + v = v + u (kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus), (2) (u + v) + w = u + (v + w) (assosiatiivisuus eli liitännäisyys), (3) 0 = (0,..., 0) (nollavektori), (4) u = ( u 1,..., u n ) (vektorin u vastavektori), (5) k(lu) = (kl)u, (6) k(u + v) = ku + kv, (7) (k + l)u = ku + lu, (8) 1u = u. 31

32 Todistus. Oletetaan, että u, v, w R n ja k, l R. Todistetaan kohta (1). Nyt u + v = (u 1,..., u n ) + (v 1,..., v n ) = (u 1 + v 1,..., u n + v n ) = (v 1 + u 1,..., v n + u n ) = (v 1,..., v n ) + (u 1,..., u n ) = v + u, joten kohta (1) on voimassa. Todistetaan kohta (3). Merkitään 0 = (t 1,..., t n ). Nyt u + 0 = (u 1,..., u n ) + (t 1,..., t n ) = (u 1 + t 1,..., u n + t n ). Nollavektorin ominaisuuksien nojalla u + 0 = u, joten u 1 + v 1 = u 1,..., u n + v n = u n. Tästä saadaan, että v 1 = 0,..., v n = 0, joten kohta (3) on voimassa. Todistetaan kohta (8). Nyt 1u = (1u 1,..., 1u n ) = (u 1,..., u n ) = u, joten kohta (8) on voimassa. Muut kohdat ovat harjoitustehtäviä. Määritelmä Olkoot u, v R n. Silloin vektoreiden u ja v erotus on u v = u + ( v). Lause Olkoot u, v R n. Silloin u v = (u 1 v 1,..., u n v n ). Todistus. Oletetaan, että u, v R n. Tällöin u v = u + ( v) = (u 1,..., u n ) + ( v 1,..., v n ) = (u 1 + ( v 1 ),..., u n + ( v n )) = (u 1 v 1,..., u n v n ). 32

33 2.4 Vektoreiden skalaaritulo eli pistetulo Määritelmä Määritelmä Olkoot u, v R n. Silloin niiden skalaaritulo (eli pistetulo) on u v = u 1 v u n v n. Esimerkki Olkoon u = (1, 1, 1) ja v = (2, 0, 1). Silloin u v = = 3. Huomautus. Pistetulo on ns. euklidinen sisätulo Algebrallisia ominaisuuksia Lause Olkoot u, v, w R n, ja olkoon k R. Silloin (1) u v = v u, (2) u (v + w) = u v + u w, (3) k(u v) = (ku) v = u (kv), (4) u 0 = 0 u = 0. Todistus. Oletetaan, että u, v, w R n ja että k R. Todistetaan kohta (1). Nyt u v = (u 1,..., u n ) (v 1,..., v n ) = u 1 v u n v n = v 1 u v n u n = (v 1,..., v n ) (u 1,..., u n ) = v u, joten kohta (1) pätee. Todistetaan kohta (3). Nyt (ku) v = (k(u 1,..., u n )) (v 1,..., v n ) = (ku 1,..., ku n ) (v 1,..., v n ) = (ku 1 )v (ku n )v n = k(u 1 v 1 ) + + k(u n v n ) = k(u 1 v u n v n ) = k((u 1,..., u n ) (v 1,..., v n )) = k(v u), joten kohta (3) pätee. Muut kohdat ovat harjoitustehtäviä. 33

34 Huomautus. Onko voimassa (a b) c = a (b c)? Onko olemassa sellaista vektoria b R n, että a b = b a = a aina, kun a R n? Onko olemassa käänteisvektoria pistetulon suhteen? Geometrisia ominaisuuksia Määritelmä Vektorin u R n pituus u on u = Kyseessä on ns. euklidinen pituus. Huomautus. Pituudelle pätee u u 2 n. u = u u. Esimerkki Määritelmän nojalla (1, 1) = = 2. Lause (Cauchy-Schwarz). Olkoot u, v R n. Silloin u v u v. Määritelmä Olkoot u, v R n \ {0} (missä n = 2 tai n = 3). Silloin vektoreiden u ja v välinen kulma θ [0, π] määritellään kaavalla cos θ = u v u v ts. θ = arccos u v u v. Esimerkki Olkoon u = (2, 0) ja v = (1, 1). Silloin joten θ = π 4. cos θ = = = 1, 2 Määritelmä Olkoot u, v 0. Silloin u v, jos u v = 0. Sanotaan, että vektorit u ja v ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 34

35 Lause Olkoot u, v 0. Silloin u v θ = π 2. Todistus. Oletetaan, että u, v 0. Nyt θ = π 2 cos θ = 0 u v u v = 0 u v = 0 u v. Esimerkki Vektoreille (1, 1) ja (1, 1) pätee (1, 1) (1, 1), koska (1, 1) (1, 1) = ( 1) = 0. Määritelmä Olkoon u, v 0. Silloin u v, jos u = kv, k R \ {0}. Sanotaan, että vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset. Huomautus. Jos k > 0, sanotaan, että vektorit ovat samansuuntaiset. Jos k < 0, sanotaan, että vektorit ovat vastakkaissuuntaiset. Lause Olkoot u, v 0. Silloin u v θ = 0 tai θ = π. Todistus. Oletetaan ensin, että u v. Siis on olemassa sellainen k R \ {0}, että u = kv. Tällöin u v = (kv) v = k(v v) = k v 2 ja u = u u = kv kv = k 2 (v v) = k v v = k v. Nyt cos θ = u v u v = joten θ = 0 tai θ = π. Toinen suunta sivuutetaan. Esimerkki Pitääkö paikkansa, että 1. u v ja v w u w, k v 2 k v v = k k = ±1, 35

36 2. u v ja v w u w? Ratkaisu. Väite (1) on oikein. Oletetaan, että u v ja v w. Tällöin u = kv, missä k 0, ja v w = 0. Nyt u w = (kv) w = k(v w) = k0 = 0, joten u w. Väite (2) on väärin. Annetaan tästä vastaesimerkki. Oletetaan, että u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0) ja w = (0, 0, 1). Tällöin u v = 0 ja v w = 0, mutta u kw, koska 1 = k0 ei päde millään luvun k arvolla. Huomautus. Olkoot u, v 0. Silloin u v u v = u v. Lause (Kolmioepäyhtälö). Olkoot u, v R n. Silloin u + v u v. Todistus. Oletetaan, että u, v R n. Tällöin u + v 2 = (u + v) (u + v) = u 2 + 2(u v) + v 2 ( u + v ) 2. Lause (Kosinilause). Olkoot kolmion sivujen pituudet a, b, c, ja olkoon pituudeltaan a olevan sivun vastakkainen kulma α. Silloin Todistus. Luennot/harjoitustehtävä. a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α. Esimerkki Olkoot kolmion sivujen pituudet 1, 1, 1. Mikä on kulma? Ratkaisu. Lasketaan kulma kosinilauseella. Saadaan 1 2 = cos α cos α = 1 2 α = π 3. 36

37 2.4.4 Projektio Olkoon a annettu suunta. Kirjoitetaan vektori u muodossa u = v + w, missä v a ja w a, mikäli se on mahdollista. Silloin v = ka, w = u ka ja w a = 0. Siis joten saadaan, että Näin ollen 0 = (u ka) a = u a (ka) a = u a k(a a) = u a k a 2, k = u a a 2. v = u a a 2 a. Määritelmä Olkoot u, a R n. Silloin vektorin u projektio suuntaan a on proj a u = u a 2 a, a 0. a Kuva 2.5: Projektio. Kuvassa 2.5 on vektorin u projektio suuntaan a. Huomautus. Projektioille pätee proj a u = proj a u. 37

38 Huomautus. Projektion pituudelle pätee u a proj a u = a 2 a u a cos θ = a 2 a = u cos θ. Kuva 2.6: Projektiokulma. Kuvassa 2.6 vasemmanpuoleisessa tapauksessa v = u cos θ ja oikeanpuoleisessa tapauksessa v = u cos θ. Esimerkki Olkoon a = (1, 1) ja u = (3, 5). Silloin Siis w = u v = ( 1, 1), joten missä (4, 4) ( 1, 1). proj a u = u a a 2 a = ( (1, 1) ) 2 = 8 (1, 1) 2 = 4(1, 1) = (4, 4) = v. u = v + w = (4, 4) + ( 1, 1), 2.5 Vektoritulo eli ristitulo Määritelmä Merkintä. Yksikkökoordinaattivektorit vektoriavaruudessa R 3 ovat i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). 38

39 Siis jokaista vektoria u R 3 kohti on olemassa sellaiset u 1, u 2, u 3 R, että u = u 1 i + u 2 j + u 3 k. Määritelmä Olkoot u, v R 3. Silloin niiden vektoritulo eli ristitulo u v on i j k u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u = 2 u 3 v 2 v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k. Esimerkki Olkoon u = (1, 2, 0) ja v = (3, 0, 1). Silloin 2 0 u v = 0 1 i j k = ( )u ( )j + ( )k = 2i j 6k Algebrallisia ominaisuuksia Lause Olkoot u, v, w R n, ja olkoon k R. Silloin (1) u v = (v u) (antikommutatiivisuus), (2) u (v + w) = u v + u w (osittelulaki), (3) (u + v) w = u w + v w (osittelulaki), (4) k(u v) = (ku) v = u (kv) (skalaarin siirto), (5) u 0 = 0 u = 0 (nollavektorin tulo), (6) u u = 0. Todistus. Oletetaan, että u, v, w R n ja k R. Todistetaan kohta (1). Nyt i j k i j k u v = u 1 u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 = (v u), v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 joten kohta (1) pätee. Todistetaan kohta (4). Nyt i j k i j k k(u v) = k u 1 u 2 u 3 = ku 1 ku 2 ku 3 = (ku) v v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 39

40 ja i j k i j k k(u v) = k u 1 u 2 u 3 = u 1 u 2 u 3 = u (kv), v 1 v 2 v 3 kv 1 kv 2 kv 3 joten kohta (4) pätee. Muut kohdat ovat harjoitustehtäviä. Huomautus. Yleisesti u (v w) (u v) w Geometrisia ominaisuuksia Lause Olkoot u, v R n. Silloin 1. u v u, 2. u v v. Todistus. Oletetaan, että u, v R n. Todistetaan kohta (1). Pitää siis osoittaa, että (u v) u = 0. Nyt (u v) u = u (u v) ( ) u = (u 1, u 2, u 3 ) 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2 u = u 2 u 3 1 v 2 v 3 u u 1 u 3 2 v 1 v 3 + u u 1 u 2 3 v 1 v 2 u 1 u 2 u 3 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = 0, joten määritelmän nojalla (u v) u. Kohta (2) voidaan todistetaan vastaavasti. Lause (Lagrange). Olkoot u, v R n. Silloin Todistus. Harjoitustehtävä. u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2. Lause Olkoot u, v R n \ {0}. Silloin u v = u v sin θ. 40

41 Todistus. Oletetaan, että u, v R n \{0}. Lauseen avulla saadaan, että u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 = u 2 v 2 ( u v cos θ) 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 (1 cos 2 θ) = u 2 v 2 sin 2 θ. Ottamalla tästä yhtälöstä neliöjuuri puolittain saadaan u v = u v sin θ. Vektorin pituus on aina ei negatiivinen ja sin θ 0, koska θ [0, π]. Siis u v = u v sin θ. Lause Vektoreiden u, v R 3 \{0} määräämän suunnikkaan pinta-ala on u v. Todistus. Oletetaan, että u, v R 3 \ {0}. Olkoon u suunnikkaan kanta ja h suunnikkaan korkeus. Tällöin h = v sin θ. Siis A = u h = u v sin θ, joten lauseen nojalla A = u v. Kuva 2.7: Suunnikas. Kuvassa 2.7 on havainnollistus lauseen todistuksesta, kun θ on terävä kulma. Huomautus. Kahden vektorin määräämän kolmion pinta-ala on puolet niiden määräämän suunnikkaan pinta-alasta eli Kuva 2.8 havainnollistaa tilannetta. A = 1 u v. 2 41

42 Kuva 2.8: Suunnikkaan määräämä kolmio. Huomautus. Pisteestä P (a 1, a 2, a 3 ) pisteeseen Q(b 1, b 2, b 3 ) kulkeva vektori on u = P Q = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ). Vektori voidaan laskea samalla tavalla missä tahansa vektoriavaruudessa R n. Kuvassa 2.9 on vektori P Q vektoriavaruudessa R 3. Kuva 2.9: Vektori pisteestä P pisteeseen Q. Lause Olkoot u, v R 3 \ {0}. Silloin u v = 0 u v. Todistus. Oletetaan, että u, v R 3 \ {0}. Nyt u v = 0, jos ja vain jos u v = 0. Lauseen nojalla u v = u v sin θ, joten u v = 0, jos ja vain jos u v sin θ = 0. Koska u, v 0, tämä on voimassa, jos ja vain jos sin θ = 0. Edelleen tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että θ = 0 tai θ = π. Lauseesta saadaan, että tämä pätee, jos ja vain jos u v. Siis on osoitettu, että u v = 0 u v. Huomautus. Olkoot u, v R 3 \ {0}. Silloin u v u v = 0 u v = u v ja u v u v = 0 u v = u v 42

43 Lause (Sinilause). Kolmiossa sivun pituuden suhde vastakkaisen kulman siniin on vakio. Todistus. Olkoon kolmion kaksi sivua vektorit a ja b. Tällöin kolmas sivu on vektori b a. Havainnollistus tästä on kuvassa Nyt saadaan yhtälöt Kuva 2.10: Vektoreiden muodostama kolmio. b (b a) = b b b a = a b ja a (b a) = a b a a = a b. Yhdistämällä nämä yhtälöt saadaan b (b a) = a (b a), ja edelleen b (b a) = a (b a). Lauseen avulla saadaan nyt, että b b a sin α = a b a sin(π β) b b a sin α = a b a sin β b sin α = a sin(β) a sin α = b sin β Skalaarikolmitulo Määritelmä Olkoot u, v, w R 3. Silloin u (v w) on vektoreiden ns. skalaarikolmitulo 43

44 Lause Olkoot u, v, w R 3. Silloin u 1 u 2 u 3 u (v w) = v 1 v 2 v 3. w 1 w 2 w 3 Todistus. Harjoitustehtävä. Lause Vektoreiden u, v, w R 3 määräämän suuntaissärmiön tilavuus on V = u (v w). Kuvassa 2.11 on havainnollistettu, kuinka tietyt vektorit u, v ja w määräävät suuntaissärmiön. Kuva 2.11: Vektoreiden määräämä suuntaissärmiö. Todistus. Lauseen nojalla särmiön pohjan pinta-ala on A = v w. Särmiön korkeus saadaan vektorin u projektion pituutena suuntaan u v = z eli u z h = proj z u = z. 44

45 Siis V = Ah = u z = u (v w). Esimerkki Lasketaan k (i j). Ristitulon ja pistetulon määritelmien avulla saadaan, että i j k i j = = k ja k (i j) = k k = (0, 0, 1) (0, 0, 1) = 1. Vastaavasti skalaarikolmitulon kaavalla saadaan k (i j) = = Esimerkki Skalaarikolmitulo u (u v) = 0, koska u u v. Geometrisesti tämä tarkoittaa tapausta, jossa suuntaissärmiön korkeus on 0 eli särmiö on luhistunut suunnikkaaksi Vektorikolmitulot Määritelmä Olkoot u, v, w R 3. Silloin ja u (v w) (u v) w ovat vektoreiden ns. vektorikolmituloja. Lause (kehityskaava). Olkoot u, v, w R 3. Silloin Todistus. Harjoitustehtävä. u (v w) = (u w)v (u v)w. 45

46 2.6 Suora avaruudessa R 3 Suora tunnetaan, kun tunnetaan sen yksi piste ja suunta. Kuvassa 2.12 l on suora, Kuva 2.12: Pisteen ja vektorin määräämä suora. P = P (x 0, y 0, z 0 ) on suoran l yksi piste, OP = r 0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k on suoran paikkavektori, d = d 1 i + d 2 j + d 3 k 0 on suoran suuntavektori. Edellä mainitut P ja d eivät ole yksikäsitteisiä. Suoran yhtälöitä Parametriesitys vektorimuodossa Suoran vektoriesitys parametrimuodossa on (6.1) l : r(t) = r 0 + td, t R. Tulkinta. Kun t käy läpi kaikki joukon R arvot, vektorin r(t) kärki piirtää suoran l. Muuttuja t on ns. parametri. Parametriesitys koordinaattimuodossa Merkitään Toisaalta r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. r(t) = r 0 + td = x 0 i + y 0 j + z 0 k + t(d 1 i + d 2 j + d 3 k) = (x 0 + td 1 )i + (y 0 + td 2 )j + (z 0 + td 3 )k. 46

47 Siis (6.2) l : x(t) = x 0 + td 1 y(t) = y 0 + td 2 z(t) = z 0 + td 3 (t R). Tulkinta. Kun t käy läpi kaikki joukon R arvot, piste Q(x(t), y(t), z(t)) käy läpi suoran l pisteet. Symmetrinen muoto Oletetaan, että d 1, d 2, d 3 0. Tällöin t = x(t) x 0 d 1 t = y(t) y 0 d 2 t = z(t) z 0 d 3. Siis ts. x(t) x 0 d 1 = y(t) y 0 d 2 = z(t) z 0 d 3, (6.3) l : x x 0 d 1 = y y 0 d 2 = z z 0 d 3. Tulkinta. Suora l koostuu niistä pisteistä Q(x, y, z), joiden koordinaatit toteuttavat yhtälön (6.3). Esimerkki Määritetään suoran yhtälöt, kun suora kulkee pisteiden P (1, 2, 3) ja Q(4, 1, 5) kautta. Valitaan r 0 = i + 2j + 3k. Valitaan suuntavektoriksi d = P Q = 4i + j + 5k (i + 2j + 3k) = 3i j + 2k. Tästä saadaan yhtälö (6.1) muodossa l : r(t) = r 0 + td = (i + 2j + 3k) + t(3i j + 2k), t R. Toisaalta r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = (1 + 3t)i + (2 t)j + (3 + 2t)k, 47

48 joten saadaan yhtälö (6.2) muodossa x(t) = 1 + 3t l : y(t) = 2 t z(t) = 3 + 2t Edelleen joten saadaan yhtälö (6.3) muodossa l : t = x(t) 1 3 t = y(t) 2 1 t = z(t) 3, 2 x 1 3 (t R). = y 2 1 = z Suora avaruudessa R 2 Asetetaan pykälän 2.6 yhtälöihin, että z 0 = 0 ja d 3 = 0. Tällöin saadaan yhtälöt (7.1) l : r(t) = r 0 + td, t R, (7.2) l : { x(t) = x0 + td 1 y(t) = y 0 + td 2 (t R), (7.3) l : x x 0 d 1 = y y 0 d 2, kun d 1, d 2 0. Yhtälö (7.3) voidaan kirjoittaa muodossa x x 0 = y y 0 d 1 d 2 d 2 (x x 0 ) = d 1 (y y 0 ) d 2 x d 1 y + (d 1 y 0 d 2 x 0 ) = 0 Yhtälö y = d 2 d 1 x + d 1y 0 d 2 x 0 d 1. (7.4) l : y = d 2 d 1 x + d 1y 0 d 2 x 0 d 1 on ns. normaaliyhtälö. 48

49 Määritelmä Vektori n on suoran l normaalivektori, jos n d, missä d on suoran l suuntavektori. Merkitään n l. Lause Olkoon l suora l : ax + by + c = 0, missä a, b 0. Silloin (a, b) l, ts. (a, b) on suoran l normaalivektori. Todistus. Oletetaan, että l : ax + by + c = 0, a, b 0. Nyt Siis Tällöin joten ja edelleen ax + by + c = 0 x b + y a + c ab = 0 x + c a b d = (b, a). = y 0 a. (a, b) d = (a, b) (b, a) = ab + b( a) = 0, (a, b) d, (a, b) l. Esimerkki Olkoon l suora l : x x 0 d 1 = y y 0 d 2, missä d 1, d 2 0. Etsi jokin suoran l normaalivektori n eli vektori, jolle pätee n d = 0. 49

50 Ratkaisu. Selvästi n = (d 2, d 1 ) (d 1, d 2 ) = d. Esimerkki Olkoon l suora l : y = kx + b, missä k 0. Saadaan Tällöin joten sillä tällöin y b k = x 0. 1 d = (1, k) = i + kj, n = ki + j, n d = 0. Lause Pisteen P (x 0, y 0 ) etäisyys suorasta l : ax + by + c = 0 on D = ax 0 + by 0 + c a2 + b 2. Todistus. Olkoon Q(x 1, y 1 ) jokin suoran l piste. Lauseen nojalla vektori n = (a, b) on suoran l normaalivektori. Tällöin D = proj nqp QP n = n = a(x 0 x 1 ) + b(y 0 y 1 ) a2 + b 2 = ax 0 + by 0 + c a2 + b 2. Kuvassa 2.13 on havainnollistettu lausetta

51 Kuva 2.13: Pisteen P etäisyys suorasta l. 2.8 Taso avaruudessa R 3 Taso p tunnetaan, kun tiedetään tason yksi piste P ja tason (yksi) normaalivektori N. Oletetaan, että P = P (x 0, y 0, z 0 ) ja N = Ai + Bj + Ck tunnetaan. Normaaliyhtälö koordinaattimuodossa Piste Q(x, y, z) P kuuluu tasoon p, jos ja vain jos P Q N. Tämä on edelleen yhtäpitävää sen kanssa, että P Q N = 0 ((x x 0 )i + (y y 0 )j + (z z 0 )k) (Ai + Bj + Ck) = 0 On siis johdettu yhtälö A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. (8.1) p : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0, joka on tason p normaaliyhtälö koordinaattimuodossa. Kun merkitään Ax 0 + By 0 + Cz 0 = E, saadaan vaihtoehtoinen muoto yhtälölle (8.1) (8.2) Ax + By + Cz = E. 51

52 Esimerkki Kirjoita taso p : x + 2y z = 5 muodossa (8.1). Ratkaisu. Valitaan N = Ai + Bj + Ck = i + 2j k ja Tällöin P (x 0, y 0, z 0 ) = P (0, 1, 3). p : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 Esimerkki Kirjoita taso muodossa (8.2). Ratkaisu. Yksinkertaisella algebralla Esimerkki Etsi tasojen leikkauspiste. 1(x 0) + 2(y 1) + 1(z + 3) = 0. p : (x 1) + 3(y 2) 2(z 5) = 0 (x 1) + 3(y 2) 2(z 5) = 0 x + 3y 2z = x + 3y 2z = 3. p : x + y + z = 6 q : x y + z = 0 r : 2x + 3y + z = 3 Ratkaisu. Leikkauspisteen on kuuluttava kaikkiin tasoihin eli sen on toteutettava jokaisen tason yhtälö. Siis saadaan yhtälöryhmä x + y + z = 6 x y + z = 0 2x + 3y + z = 3. Sen ratkaisu on joten leikkauspiste on P ( 9, 3, 12). x = 9 y = 3 z = 12, 52

53 Esimerkki Etsi tason ja suoran leikkauspiste. Ratkaisu. Nyt ja Tällöin joten p : 2x + 3y + z = 5 l : x 1 2 = y 2 1 = z 3 1 N = 2i + 3j + k d = 2i j k. N d = ( 1) + 1 ( 1) = 0, N d. Siis suora l on tason p suuntainen ja näin ollen joko suoran l jokainen piste on tasossa p tai suoralla l ja tasolla p ei ole yhtään yhteistä pistettä. Huomataan, että piste P (1, 2, 3) l, mutta P (1, 2, 3) / p. Siis leikkauspistettä ei ole. Toinen tapa ratkaista tehtävä on muodostaa yhtälöryhmä. Leikkauspisteen on kuuluttava tasoon ja suoraan, joten sen on toteutettava molempien yhtälöt. Suoran yhtälöstä saadaan x 1 2 = y 2 1 x + 2y = 5 ja x 1 = z 3 x + 2z = 7, 2 1 jolloin ratkaistavaksi yhtälöryhmäksi saadaan 2x + 3y + z = 5 x + 2y = 5 x + 2z = 7. Tällä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, joten leikkauspisteitä ei ole. Normaaliyhtälö vektorimuodossa Merkitään, että tason tunnetun pisteen P paikkavektori on r 0. Olkoon r pisteen Q ( P ) paikkavektori. Silloin vektorin r kärkipiste (eli piste Q) kuuluu tasoon, jos ja vain jos P Q = (r r 0 ) N. 53

54 Tämä on edelleen yhtäpitävää sen kanssa, että On siis saatu johdettua yhtälö (r r 0 ) N = 0. (8.3) p : (r r 0 ) N = 0, joka on tason p normaaliyhtälö vektorimuodossa. Esimerkki Kirjoita tason vektorimuotoinen normaaliyhtälö. p : x + 2y z = 5 Ratkaisu. Valitaan N = i + 2j k ja P = P (0, 1, 3), jolloin r 0 = j 3k. Tällöin yhtälö on siis (r r 0 ) N = 0 ((xi + yj + zk) (j 3k)) (i + 2j k) = 0. Lause Pisteen P (x 0, y 0, z 0 ) etäisyys tasosta p : Ax + By + Cz = E on D = Ax 0 + By 0 + Cz 0 E A2 + B 2 + C 2. Todistus. Olkoon Q(x 0, y 0, z 0 ) jokin tason p piste ja N tason p normaalivektori. Silloin D = projnqp QP N = N = A(x 0 x 1 ) + B(y 0 y 1 ) + C(z 0 z 1 ) A2 + B 2 + C 2 = Ax 0 + By 0 + Cz 0 (Ax 1 + By 1 + Cz 1 )) A2 + B 2 + C 2 = Ax 0 + By 0 + Cz 0 E) A2 + B 2 + C 2. 54

55 Parametriesitys vektorimuodossa Taso tunnetaan, kun tiedetään jokin tason piste P (x 0, y 0, z 0 ) ja kaksi tason sellaista vektoria u ja v, että u v. Näitä vektoreita sanotaan tason virittäjävektoreiksi. Olkoon r 0 pisteen P (x 0, y 0, z 0 ) paikkavektori. Silloin saadaan tason yhtälö (8.4) p : r(t, s) = r 0 + tu + sv, t, s R. Normaaliyhtälö vektorimuodossa on p : (r r 0 ) (u v) = 0. Parametriesitys koordinaattimuodossa Merkitään u = (u 1, u 2, u 3 ) ja v = (v 1, v 2, v 3 ). Tällöin voidaan kirjoittaa ylemmän yhtälön kooridinaatit erikseen yhtälöryhmäksi (8.5) p : x(t, s) = x 0 + tu 1 + sv 1 y(t, s) = y 0 + tu 2 + sv 2 z(t, s) = z 0 + tu 3 + sv 3 (t, s R). Esimerkki Oletetaan, että taso p sisältää pisteen P (1, 1, 1) ja sen virittävät vektorit u = 2i j + k ja Kirjoita p muodossa (8.2). v = j 3k. Ratkaisu. Lasketaan i j k u v = = 2(i + 3j + k) Valitaan tason normaalivektoriksi Siis N = i + 3j + k. p : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 1(x 1) + 3(y 1) + 1(z 1) = 0 x + 3y + z = 5. Esimerkki Taso sisältää pisteet P (1, 1, 1), Q(2, 3, 1) ja R(5, 2, 0). Määritä tason yhtälö. 55

56 Ratkaisu. Valitaan tason pisteeksi P (1, 1, 1) ja virittäjävektoreiksi Valitaan vielä normaaliksi P Q = i + 2j ja P R = 4i + j k. N = (i + 2j) (4i + j k) = 2i + j 7k. Tällöin saadaan, että p : x(t, s) = 1 + t + 4s y(t, s) = 1 + 2t + s z(t, s) = 1 s (t, s R) ja p : 2(x 1) + (y 1) 7(z 1) = 0. 56

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisin määritelmä.......................

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti Determinantit 1 2 2-matriisin ( A = on det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11a 22 a 12 a 21. 1 2 2-matriisin on det(a) = Esim. Jos A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 )

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine

Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot