Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Transkriptio

1 Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Jos jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, sanotaa, että vektorit v 1, v 2,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia. Jos jono ei ole vapaa, sanotaan, että se on sidottu. LM1, Kesä /218

2 Esimerkki 19 Merkitään v 1 = (1, 2) ja v 2 = ( 3, 1). Onko jono ( v 1, v 2 ) vapaa vai sidottu? v 1 v 2 LM1, Kesä /218

3 Oletetaan, että c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0 joillakin reaaliluvuilla c 1 ja c 2. Tällöin c 1 (1, 2) + c 2 ( 3, 1) = (0, 0) eli komponentteittain: { c1 3c 2 = 0 2c 1 c 2 = 0. Ratkaistaan tästä c 1 ja c 2 : [ ] [ ] r 2 2r r 2 /5 [ ] [ ] r1 + 3r Ainoa ratkaisu on c 1 = 0 ja c 2 = 0. Jono ( v 1, v 2 ) on vapaa. LM1, Kesä /218

4 Esimerkki 20 Merkitään v 1 = (1, 2), v 2 = ( 3, 1) ja v 3 = ( 1, 1). Onko jono ( v 1, v 2, v 3 ) vapaa vai sidottu? v 3 v 1 v 2 LM1, Kesä /218

5 Oletetaan, että c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = 0 joillakin c 1, c 2, c 3 R. Tällöin c 1 (1, 2) + c 2 ( 3, 1) + c 3 ( 1, 1) = (0, 0) eli komponentteittain: { c1 3c 2 c 3 = 0 2c 1 c 2 + c 3 = 0. Ratkaistaan tästä c 1 ja c 2 : [ ] [ ] r 2 2r r 2 /5 [ ] [ ] r1 + 3r / / /5 0 Voidaan valita esimerkiksi c 3 = 5, jolloin c 2 = 3 ja c 1 = 4. Näin 4 v 1 3 v v 3 = 0. Jono ( v 1, v 2, v 3 ) on sidottu. LM1, Kesä /218

6 5 v 3 4 v 1 3 v 2 4 v 1 3 v v 3 = 0 LM1, Kesä /218

7 Esimerkki 21 Merkitään w 1 = (2, 1) ja w 2 = ( 4, 2). Onko jono ( w 1, w 2 ) vapaa vai sidottu? w 1 w 2 Esimerkiksi 2 w 1 + w 2 = 0, joten jono ( w 1, w 2 ) on sidottu. LM1, Kesä /218

8 Vähintään kahdesta vektorista muodostuva vektorijono on sidottu, jos ja vain jos jokin sen vektoreista voidaan ilmaista toisten lineaarikombinaationa: Lause 15 Oletetaan, että v 1,..., v k R n, missä k 2 ja n {1, 2,...}. (a) Jono ( v 1 ) on sidottu, jos ja vain jos v = 0. (b) Jono ( v 1,..., v k ) on sidottu, jos ja vain jos v i span( v 1,..., v i 1, v i+1,..., v k ) jollakin i {1,..., k}. LM1, Kesä /218

9 Perustelu: (a) Tarkastellaan eri mahdollisuudet: Jos v 1 = 0, niin esim. 8 v 1 = 8 0 = 0. Siis jono ( v 1 ) on sidottu. Jos v 1 0, niin t v 1 = 0 t = 0. Siis jono ( v 1 ) on vapaa. Havaitaan, että jono ( v 1 ) on sidottu, jos ja vain jos v 1 = 0. (b) : Oletetaan, että jono ( v 1,..., v k ) on sidottu. Tällöin c 1 v c k v k = 0, missä ainakin yksi kertoimista c i 0. Oletetaan, että esim. c 2 0. Tällöin c 2 v 2 = c 1 v 1 c 3 v 3 c k v k ja v 2 = c 1 v 1 + c 3 c 2 c 2 v c k c 2 v k. Tässä jokainen c i /c 2 R, joten v 2 span( v 1, v 3,..., v k ). LM1, Kesä /218

10 : Oletetaan, että esimerkiksi v 3 span( v 1, v 2, v 4,..., v k ). Tällöin v 3 = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 4 v a k v k joillakin reaaliluvuilla a 1, a 2, a 4,..., a k. Siten 0 = a 1 v 1 + a 2 v 2 v 3 + a 4 v a k v k. Tässä ainakin vektorin v 3 kerroin 1 0, joten jono ( v 1,..., v k ) on sidottu. LM1, Kesä /218

11 Esimerkki 22 Merkitään v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 2) ja v 4 = (3, 1, 0). Tällöin esimerkiksi 2 v 1 + v v 3 v 4 = 0, joten jono ( v 1, v 2, v 3, v 4 ) on sidottu. Lisäksi esimerkiksi v 2 = 2 v v 3 + v 4 mutta v 3 a v 1 + b v 2 + c v 4 kaikilla a, b, c R. LM1, Kesä /218

12 Lause 16 Vapaan jonon osajono on vapaa. Huom. Osajono tarkoittaa jonoa, joka saadaan jättämällä alkuperäisestä jonosta pois yksi tai useampia vektoreita. Myös alkuperäinen jono sellaisenaan on yksi osajono. Lauseista 16 ja 15 seuraa, että vapaassa jonossa ( v 1, v 2,..., v k ) ei ole nollavektoria; jokainen vektori esiintyy vain kerran; v i v j kaikilla i j. LM1, Kesä /218

13 Lauseen 16 perustelun idea: Oletetaan, että v 1,..., v 5 R n ja jono ( v 1,..., v 5 ) on vapaa. Osoitetaan, että sen osajono ( v 2, v 4, v 5 ) on vapaa. Tarkastellaan yhtälöä x v 2 + y v 4 + z v 5 = 0: x v 2 + y v 4 + z v 5 = 0 0 v 1 + x v v 3 + y v 4 + z v 5 = 0 Oletuksen mukaan jono ( v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) on vapaa, joten oikeanpuoleinen yhtälö toteutuu vain, jos kaikki kertoimet ovat nollia. Tästä seuraa, että vasemmanpuoleisen yhtälön ainoa ratkaisu on x = 0, y = 0 ja z = 0. Siis jono ( v 2, v 4, v 5 ) on vapaa. LM1, Kesä /218

14 Jos virittäjäjono on vapaa, niin kaikki aliavaruuden vektorit voidaan esittää tasan yhdellä tavalla virittäjävektorien lineaarikombinaatioina: Lause 17 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,...}. Jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden span( v 1, v 2,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaationa. LM1, Kesä /218

15 Perustelu: : Oletetaan, että jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. Oletetaan, että w span( v 1, v 2,..., v k ). Tämä tarkoittaa, että w voidaan kirjoittaa ainakin yhdellä tavalla vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Oletetaan nyt, että w = a 1 v a k v k ja w = b 1 v b k v k joillakin a 1,..., a k, b 1,..., b k R. Tällöin a 1 v a k v k = b 1 v b k v k, joten a 1 v a k v k (b 1 v b k v k ) = 0 ja edelleen (a 1 b 1 ) v (a k b k ) v k = 0. Jono ( v 1,..., v k ) on oletuksen mukaan vapaa, joten viimeisestä yhtälöstä seuraa, että a 1 b 1 = 0, a 2 b 2 = 0,..., a k b k = 0. Siten a 1 = b 1,..., a k = b k. Näin ollen vektoria w ei voida kirjoittaa lineaarikombinaationa usealla eri tavalla. LM1, Kesä /218

16 : Oletetaan, että jokainen aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Osoitetaan, että jono ( v 1,..., v k ) on vapaa. Sitä varten oletetaan, että luvut c 1,..., c k R ovat sellaisia, että c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0. Koska vektori 0 on aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio, se voidaan kirjoittaa vektorien lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla. Tiedetään, että 0 v v v k = 0, joten täytyy päteä c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Siten jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM1, Kesä /218

17 Homogeeniset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarinen yhtälöryhmä, jonka kaikki vakiot ovat 0, on nimeltään homogeeninen yhtälöryhmä. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0. =. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Huom. Homogeenisella yhtälöryhmällä on aina ainakin yksi ratkaisu: x 1 = 0, x 2 = 0,..., x n = 0. LM1, Kesä /218

18 Lause 18 Jos homogeenisessa yhtälöryhmässä tuntemattomien määrä n on suurempi kuin yhtälöiden määrä m, niin homogeenisella yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Esim. n = 5 ja m = 3: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 34 x 4 + a 25 x 5 = 0 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 = 0 Homogeenisella yhtälöryhmällä on ainakin yksi ratkaisu. Johtavia alkioita enintään yksi joka rivillä; siis enintään m kpl. Vapaita muuttujia on ainakin yksi, koska tuntemattomien määrä n > m; ts. yhtälöryhmän matriisissa on ainakin yksi sarake, jossa ei ole johtavaa alkiota! LM1, Kesä /218

19 Lause 19 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v m R n, missä n {1, 2,...}. Jos m > n, niin jono ( v 1, v 2,..., v m ) on sidottu. Huom. Merkitsemällä v k = (v 1k, v 2k,..., v nk ) kaikilla k {1,..., m} saadaan yhtälöä x 1 v 1 + x 2 v x m v m = 0 vastaavaksi matriisiksi v 11 x 1 + v 12 x v 1n x m = 0 v 21 x 1 + v 22 x v 2n x m = 0. =. v n1 x 1 + v n2 x v nm x m = 0. LM1, Kesä /218

20 Huom. Jos homogeenisessa yhtälöryhmässä tuntemattomien määrä n on pienempi tai yhtä suuri kuin yhtälöiden määrä m, ei lausetta 18 voi käyttää. Ratkaisuja voi olla yksi (x 1 = 0,..., x n = 0) tai äärettömän monta. Esim. n = 2 ja m = 4: a 11 x 1 + a 12 x 2 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 = 0 a 31 x 1 + a 32 x 2 = 0 a 41 x 1 + a 42 x 2 = 0 LM1, Kesä /218

21 Esimerkki 23 Oletetaan, että v 1, v 2, v 3 R n, missä n {1, 2,... }. Oletetaan lisäksi, että jono ( v 1, v 2, v 3 ) on vapaa. Onko jono tällöin vapaa? ( v 1 + v 2 + v 3, 2 v 1 v 2 + v 3, v 3 4 v 1 5 v 2 ) Oletetaan, että c 1, c 2 ja c 3 ovat sellaisia reaalilukuja, että c 1 ( v 1 + v 2 + v 3 ) + c 2 (2 v 1 v 2 + v 3 ) + c 3 ( v 3 4 v 1 5 v 2 ) = 0. Muokataa yhtälöä kertomalla sulut auki: c 1 v 1 + c 1 v 2 + c 1 v 3 + 2c 2 v 1 c 2 v 2 + c 2 v 3 + c 3 v 3 4c 3 v 1 5c 3 v 2 = 0. LM1, Kesä /218

22 Otetaan yhteisiksi tekijöiksi vektorit v 1, v 2 ja v 3 : (c 1 + 2c 2 4c 3 ) v 1 + (c 1 c 2 5c 3 ) v 2 + (c 1 + c 2 + c 3 ) v 3 = 0. Jono ( v 1, v 2, v 3 ) on oletuksen mukaan vapaa, joten saatu yhtälö toteutuu, jos ja vain jos sen kaikki kertoimet ovat nollia. Saadaan homogeeninen yhtälöryhmä c 1 + 2c 2 4c 3 = 0 c 1 c 2 5c 3 = 0 c 1 + c 2 + c 3 = Ainoa ratkaisu on c 1 = 0, c 2 = 0 ja c 3 = 0, joten alkuperäinen jono on vapaa. LM1, Kesä /218

23 Kanta Oletetaan, että v 1,..., v j R n, missä n {1, 2,...}. Merkitään W = span( v 1,..., v j ); ts. W on vektoreiden v 1,..., v j virittämä aliavaruus. Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos (a) W = span( w 1, w 2,..., w k ) (b) ( w 1, w 2,..., w k ) on vapaa. LM1, Kesä /218

24 Kanta Esimerkki 24 Merkitään ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1). Osoitetaan, että jono (ē 1, ē 2 ) on avaruuden R 2 kanta. ē 2 ē 1 Huom. Lukion merkinnöillä kysymyksessä on jono (ī, j). Vastaavasti voidaan osoittaa, että jono (ē 1,..., ē n ) on avaruuden R n kanta. Vektorin ē i komponentit ovat nollia lukuunottamatta i:nnettä komponenttia, joka on 1. LM1, Kesä /218

25 Esimerkin 24 ratkaisu Käytetään kannan määritelmää: (a) Oletetaan, että w R 2. Tällöin w = (w 1, w 2 ) joillakin reaaliluvuilla w 1 ja w 2. Havaitaan, että w = w 1 (1, 0) + w 2 (0, 1) = w 1 ī + w 2 j. Näin mikä tahansa avaruuden R 2 vektori voidaan esittää vektoreiden ī ja j lineaarikombinaationa. Siten span(ī, j) = R 2. (b) Oletetaan, että c 1 ī + c 2 j = 0 joillakin c 1, c 2 R. Tällöin c 1 (1, 0) + c 2 (0, 1) = (0, 0) eli (c 1, c 2 ) = (0, 0), mistä seuraa, että c 1 = 0 ja c 2 = 0. Siis jono (ī, j) on vapaa. LM1, Kesä /218

26 Lause 20 Kanta ja koordinaatit Jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden W vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. Lause 20 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Oletetaan, että B = ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. Oletetaan, että ū W. Vektorin ū koordinaateiksi kannan B suhteen kutsutaan reaalilukuja a 1,..., a k, joilla ū = a 1 w a k w k. LM1, Kesä /218

27 Lauseen 20 perustelu: : Oletetaan, että jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. Tällöin kannan määritelmän nojalla W = span( w 1,..., w k ) ja jono ( w 1,..., w k ) on vapaa. Lauseesta 17 seuraa, että jokainen aliavaruuden W = span( w 1,..., w k ) vektori voidaan kirjoittaa tasan yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. : Oletetaan, että jokainen aliavaruuden W vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. Tästä seuraa ensinnäkin, että W = span( w 1,..., w k ). Tämän jälkeen voidaan käyttää lausetta 17, jonka mukaan jono ( w 1,..., w k ) on tällöin vapaa. Näin kannan määritelmän molemmat ehdot täyttyvät. Siis ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. LM1, Kesä /218

28 Kanta ja koordinaatit Esimerkki 25 Merkitään w 1 = (2, 1), w 2 = (1, 3) ja ū = (8, 3). (a) Osoita lauseen 20 avulla, että ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta. (b) Määritä vektorin ū koordinaatit avaruuden R 2 ns. luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen. (c) Määritä vektorin ū koordinaatit kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen. LM1, Kesä /218

29 (a) Oletetaan, että v R 2. Ratkaistaan yhtälö x 1 w 1 + x 2 w 2 = v eli yhtälö x 1 (2, 1) + x 2 (1, 3) = (v 1, v 2 ). Komponenteittain: { 2x1 + x 2 = v 1 x 1 + 3x 2 = v 2. [ ] 2 1 v v 2 [ ] 1 0 (3v1 v 2 )/ (v 1 + 2v 2 )/7 Tasan yksi ratkaisu riippumatta vektorista v R 2. Siis jono ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta lauseen 20 nojalla. LM1, Kesä /218

30 Kanta ja koordinaatit (b) Vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen ovat 8 ja 3, sillä ū = 8(1, 0) + 3(0, 1) = 8ē 1 + 3ē 2. 3ē 2 ē 2 ū = 8ē 1 + 3ē 2 ē 1 8ē 1 LM1, Kesä /218

31 (c) Vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen saadaan a-kohdan avulla. Sen mukaan x 1 w 1 +x 2 w 2 = ū, jos ja vain jos { x1 = (3u 1 u 2 )/7 = (24 3)/7 = 3 x 2 = (u 1 + 2u 2 )/7 = (8 + 6)/7 = 2. Siis ū = 3 w w 2 eli kysytyt koordinaatit ovat 3 ja 2. LM1, Kesä /218

32 Kanta ja koordinaatit 2 w 2 w 2 ū = 3 w w 2 w 1 3 w 1 LM1, Kesä /218

33 Kanta ja dimensio Lause 21 Aliavaruuden W jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria. Lause 21 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Aliavaruuden W kannan vektorien lukumäärä on aliavaruuden W dimensio. Sitä merkitään dim(w ). Jos aliavaruuden dimensio on n, sanotaan, että aliavaruus on n-ulotteinen. LM1, Kesä /218

34 Kanta ja dimensio Esimerkki 26 Esimerkin 24 mukaan vektorit ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1) muodostavat avaruuden R 2 kannan. Siten dim(r 2 ) = 2. ē 2 ē 1 Esimerkki 27 Merkitään v 1 = (3, 1, 5), v 2 = (2, 1, 3) ja v 3 = (0, 5, 1). Olkoon W = span( v 1, v 2, v 3 ). Määritä aliavaruuden W dimensio. LM1, Kesä /218

35 Esimerkin 27 ratkaisu Oletetaan, että ū R 3. Ratkaistaan yhtälö x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = ū eli yhtälö x 1 (3, 1, 5) + x 2 (2, 1, 3) + x 3 (0, 5, 1) = (u 1, u 2, u 3 ). Komponentteittain 3x 1 + 2x 2 = u 1 x 1 + x 2 5x 3 = u 2 5x 1 + 3x 2 + x 3 = u u u u (u 1 + 3u 2 )/ u (5u 3 + u 2 8u 1 )/5 LM1, Kesä /218

36 Havaitaan, että yhtälöryhmällä on ratkaisu, jos ja vain jos 5u 3 + u 2 8u 1 = 0. Siten W = span( v 1, v 2, v 3 ) = { (x, y, z) 8x + y + 5z = 0 } on origon kautta kulkeva taso, jonka yksi normaali on ( 8, 1, 5). Jos 5u 3 + u 2 8u 1 = 0, niin x 3 on vapaa muuttuja ja voidaan valita x 3 = 0. Siten jokainen tason vektori voidaan ilmaista vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaationa; ts. W = span( v 1, v 2, v 3 ) = span( v 1, v 2 ). Lisäksi v 1 v 2, joten lauseen 15 nojalla jono ( v 1, v 2 ) on vapaa. Näin jono ( v 1, v 2 ) on avaruuden W kanta ja siten dim(w ) = 2. LM1, Kesä /218

37 Lauseen 21 perustelu: Oletetaan, että B = ( v 1,..., v j ) ja C = ( w 1,..., w k ) ovat aliavaruuden W kantoja. Pyritään osoittamaan, että j = k. Tehdään se osoittamalla, että muut vaihtoehdot j < k ja k < j johtavat ristiriitaan. Oletetaan, että j < k. Tarkastellaan yhtälöä x 1 w x k w k = 0. (1) Koska B on W :n kanta, voidaan kaikki kannan C vektorit kirjoittaa kannan B vektorien lineaarikombinaatioina: w 1 = a 11 v 1 + a 12 v a 1j v j w 2 = a 21 v 1 + a 22 v a 2j v j. w k = a k1 v 1 + a k2 v a kj v j LM1, Kesä /218

38 Sijoittamalla nämä yhtälöön 1 saadaan yhtäpitävä yhtälö: x 1 (a 11 v 1 + a 12 v a 1j v j ) + x 2 (a 21 v 1 + a 22 v a 2j v j ) + + x k (a k1 v 1 + a k2 v a kj v j ) = 0 ja edelleen ryhmittelemällä: (x 1 a 11 + x 2 a x k a k1 ) v 1 + (x 1 a 12 + x 2 a x k a k2 ) v (x 1 a 1j + x 2 a 2j + + x k a kj ) v j = 0 LM1, Kesä /218

39 Jono B = ( v 1,..., v j ) on kanta, joten se on vapaa. Siten edellinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos kaikki kertoimet ovat nollia: x 1 a 11 + x 2 a x k a k1 = 0 x 1 a 12 + x 2 a x k a k2 = 0. =. x 1 a 1j + x 2 a 2j + + x k a kj = 0 Kyseessä on homogeeninen yhtälöryhmä, jossa tuntemattomien määrä k on suurempi kuin yhtälöiden määrä j. Lauseen 18 mukaan yhtälöryhmällä on muitakin ratkaisuja kuin x 1 = 0,..., x k = 0. Siis jono C = ( w 1,..., w k ) on sidottu. Ristiriita! Tapaus j > k käsitellään vastaavasti. LM1, Kesä /218