3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

Transkriptio

1 31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan mm sähkömagnetiikassa, mekaniikassa, tietotekniikassa, taloustieteissä, ekologiassa jne Määritelmä 1 Funktio T : R n R m on lineaarinen (eli lineaarikuvaus), jos (i) T (u + v) T (u) + T (v) kaikille u, v R n (ii) T (cu) ct (u) kaikille c R ja kaikille u R n 1 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 2 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi Huomioita Ehdot (i) ja (ii) voidaan lausua myös yhdessä: T (cu + dv) ct (u) + dt (v) kaikille c, d R ja kaikille u, v R n Edelleen (induktiolla) T (c 1 u c k u k ) c 1 T (u 1 ) + + c k T (u k ) kaikille k N, kaikille c 1,, c k R ja kaikille u 1,, u k R n Lineaarikuvaus säilyttää lineaarikombinaatiot Mielivaltaiselle u R n pätee T (0) T (0u) 0T (u) 0 Lineaarikuvaus pitää origon paikallaan Matriisin A R m n määräämä kuvaus T (u) Au on lineaarinen (määritelmä toteutuu) Lineaarikuvaus R n R m voidaan aina esittää matriisikuvauksena (nähdään esimerkin jälkeen) Esimerkki 2 (lasketaan luennolla) Määritellään lineaarikuvaus T : R 2 R 2, T (x) Ax, missä A ( ) Määritä pisteiden u (4, 1), v (2, 3) ja u + v (6, 4) kuvapisteet Totea, että T (u + v) T (u) + T (v) 3 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 4 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

2 31 31 Standardikantavektorit avaruudessa R n ovat e 1 (1, 0,, 0, 0), e 2 (0, 1,, 0, 0), e n (0, 0,, 0, 1) Identtinen matriisi I n on matriisi, jonka j:s sarake (yhtä lailla rivi) on j:s standardikantavektori: I n ( ) 0 0 e 1 e n Lause 3 Jokainen lineaarikuvaus T : R n R m voidaan esittää matriisikuvauksena T (x) Ax, missä matriisin A sarakkeet ovat kantavektorien e j kuvat: Esimerkki 4 A ( T (e 1 ) T (e n ) ) Olkoon T : R 2 R 3 lineaarikuvaus, jolle T (e 1 ) (5, 7, 2) ja T (e 2 ) ( 3, 8, 0) Etsitään matriisi A R 3 2 siten, että T (x) Ax kaikille x R 2 5 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 6 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi Esimerkki 5 (jatkuu) Koska mielivaltainen x (x 1, x 2 ) R 2 voidaan esittää muodossa x x 1 e 1 + x 2 e 2 ja koska T on lineaarinen, niin T (x) T (x 1 e 1 + x 2 e 2 ) x 1 T (e 1 ) + x 2 T (e 2 ) x 1 (5, 7, 2) + x 2 ( 3, 8, 0) (5x 1 3x 2, 7x 1 + 8x 2, 2x 1 + 0x 2 ) eli sarakemuodossa 5x 1 3x 2 T (x) 7x 1 + 8x 2 2x 1 + 0x ( ) x1 x 2 Ax Avaruuden R n suora on joukko {u + tv t R} R n, missä u R n on eräs suoran piste ja v R n on suoran suuntavektori Lause 6 Lineaarikuvaus kuvaa suoran suoraksi Todistus Luentoharjoitus Matriisi A on lineaarikuvauksen T esitys standardikannassa 7 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 8 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

3 31 31 Kaikki tason lineaarikuvaukset (eli kuvaukset R 2 R 2 ovat) venytyksiä peilauksia kiertoja projektioita tai näiden yhdisteitä Projektiomatriiseja 1 0 Projektio x-akselille: Projektio y-akselille: Venytysmatriiseja Venytys x-suunnassa kertoimella k: Venytys y-suunnassa kertoimella k: [ k ] 0 [ 1 ] 0 0 k 9 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 10 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi Peilausten matriiseja 1 0 Peilaus x-akselin suhteen: Peilaus y-akselin suhteen: Peilaus suoran y x suhteen: Peilaus suoran y x suhteen: Peilaus origon suhteen: 0 1 Pyöritysmatriisi Matriisi [ cos(ϕ) ] sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) pyörittää xy-tason pistettä kulman ϕ verran origon ympäri vastapäivään Esimerkki 7 Matlab-esimerkki: Talon lineaarikuvaukset 11 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 12 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

4 32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta 11 ta 12 ta 1m ta 21 ta 22 ta 2m ta, ta n1 ta n2 ta nm A 11 + B 11 A 12 + B 12 A 1m + B 1m A 21 + B 21 A 22 + B 22 A 2m + B 2m A + B A n1 + B n1 A n2 + B n2 A nm + B nm 32 Esimerkki ( 2) [ ] Huom Jotta A + B olisi määritelty, on matriisien A ja B oltava samankokoiset!, 13 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 14 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi Olkoon F : R m R n ja G : R n R p Yhdistetty kuvaus on mielekäs vain muodossa G F : R m R p Jos F ja G ovat lineaarikuvauksia, niin G F :kin on Olkoon B kuvauksen F matriisi ja A kuvauksen G matriisi Tällöin G F on AB on matriisitulo (G F )(x) G(F (x)) A(B(x)) ABx Määritelmä 9 missä A }{{} p n Muistisääntö: (α ij ) ja B }{{} n m C }{{} p m (β ij ) Tällöin }{{} C AB (γ ij ), p m γ ij }{{} A }{{} B p n n m n α ik β kj k1 Huom! Matriisitulo ei ole vaihdannainen eli se ei kommutoi: yleisesti AB BA! Huom! Tulo voi olla nolla, vaikka kumpikaan matriisi ei olisi nollamatriisi! 15 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 16 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3

5 B 7 6 ja A 5 4 [ 1 ] Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( 1) + 8( 3) 7( 1) + 6( 3) 5( 1) + 4( 3) 9( 2) + 8( 4) ( 2) + 6( 4) ( 2) + 4( 4) A 2 : AA ( 1)( 1) + ( 2)( 3) ( 1)( 2) + ( 2)( 4) ( 3)( 1) + ( 4)( 3) ( 3)( 2) + ( 4)( 4) / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 18 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi Esimerkki 10 (lasketaan luennolla) A 1 0, B Laske AB, AC, BC ja CB ja C Vastaus: AB B, AC C (vrt 1 x x), BC ja CB [ 1 3 ] 2 2 Esimerkki 11 Olkoon x ( 1, 2, 3) R 3 ja lineaarikuvauksen F : R 3 R 2 matriisi A F Silloin A F x ( 1) + 3( 2) + 4( 3) 5( 1) + 6( 2) + 7( 3) 20 38, joten F ( 1, 2, 3) A F x ( 20, 38) 19 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3 20 / 20 N Hyvönen, c R Kangaslampi 3