Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

2 Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään raaka-aineita A, B ja C. Kuinka paljon raaka-aineita A, B ja C on valmistettava, kun 1. Tehdään 1 kg:n erä. Entsyymiä E on oltava 8 mg ja 3. Erä saa maksaa? Ehdoista 1-3 saadaan yhtälöryhmä: 1. x 1 + x + x 3 = 1. 4x x + 6x 3 = x 1 + 6x + x 3 = A B C Valmistettava määrä (kg) x 1 x x 3 Entsyymin E määrä (mg/kg) Hinta ( /kg) 1 6 Yhtälöryhmän voi esittää matriisimuodossa: Kerroinmatriisi A Muuttujavektori x x 1 x x 3 = Ax = b Side-ehto- Vektori b 1 8 //18

3 Tällä luennolla Tarkastelemme matriiseihin liittyviä peruskäsitteitä ja laskusääntöjä Vakiolla kertominen, yhteenlasku, vähennyslasku Matriisitulo Determinantti Ensi luennolla käytämme näitä käsitteitä ja sääntöjä yhtälöryhmän Ax = b ratkaisussa x = A 1 b tarvittavan käänteismatriisin A 1 muodostamiseen //18 3

4 Matriisit Esim. Ekonomisti E hankkii USA:sta terveysvaikutteisia luonnontuotteita: Kuntojuomaa (KJ), Terveysuutetta (TU) ja Ihmepillereitä (IP). Hän seuraa näiden hyödykkeiden hintoja ja viikon aikana kuluttamiaan määriä noin vuoden välein: Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) Eri vuosien määrätiedot voidaan esittää vaakavektoreina: q 14 = 35, 6, 3, q 15 = 5, 7, 5, q 16 = 1, 9,5 R 3 Eri tuotteiden määrätiedot voidaan esittää pystyvektoreina: q KJ = Ei vuosia ja tuotteita kuvaavat määrätiedot voidaan esittää matriisina Q = vaakavektorit q 14, q 15, q 16 ja sarakkeina pystyvektorit q KJ, q TU, q IP., q TU = , q IP = R 3 R 3 3, jonka riveinä ovat //18 4

5 Matriisit Matriisi A on avaruuden R m n alkio: A = a 11 a 1 a 1n a m1 a m a mn m vaakariviä eli riviä n pystyriviä eli saraketta Matriisin A alkiot a ij R ovat reaalilukuja Matriisia merkitään usein A = [a ij ] Matriisin alkiota merkitään usein a ij = [A] ij //18 5

6 Matriisit Matriisin A R m n sanotaan olevan tyyppiä m n oleva martiisi tai m n-matriisi Esim. A = Esim. B = R 3 on tyyppiä 3 ja esim. a 3 = [A] 3 = R 4 on tyyppiä 4 ja esim. b 13 = [B] 13 = 3 Erikoistapauksia: 1 n-matriisi samastetaan R n :n vaakavektoriksi n 1-matriisi samastetaan R n :n pystyvektoriksi 1 1-matriisi samastetaan reaaliluvuksi ( R) Matriiseja A ja B sanotaan yhtä suuriksi (merk. A = B), jos Ne ovat samaa tyyppiä m n ja Vastinalkiot ovat samat: a ij = b ij i, j (eli yhtäsuuruus pätee alkioittain) //18 6

7 Matriisityyppejä: Neliömatriisi Jos A R n n, niin A on tyyppiä n oleva neliömatriisi Esim. Määrämatriisi Q on tyyppiä 3 oleva neliömatriisi: Q = Neliömatriisin päälävistäjällä tarkoitetaan vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan kulkevaa lävistäjää (lihavoidut alkiot q ii ) //18 7

8 Matriisityyppejä: Lävistäjämatriisi Jos neliömatriisin A muut kuin päälävistäjäalkiot ovat nollia, on A lävistäjämatriisi eli diagonaalimatriisi: Esim. Tyyppiä 3 oleva lävistäjämatriisi: A = Jos lävistäjämatriisin kaikki päälävistäjäalkiot ovat ykkösiä, kutsutaan matriisia yksikkömatriisiksi eli identiteettimatriisiksi Yksikkömatriisista käytetään merkintää I tai I n, esim. I 3 = //18 8

9 Matriisityyppejä: Kolmiomatriisi Jos neliömatriisin päälävistäjän ylä- tai alapuoliset alkiot ovat nollia, sitä sanotaan kolmiomatriisiksi, esim. A = Usein tehdään ero alakolmio- ja yläkolmiomatriisin välillä: Alakolmiomatriisi L = Yläkolmiomatriisi U = Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia, on nollamatriisi O = //18 9

10 Matriisioperaatioita: Transponointi Matriisin transponointi tarkoittaa rivien ja sarakkeiden vaihtamista keskenään Esim. Terveysvalmisteiden kulutusta eri vuosina kuvaavan matriisin Q transpoosi Q T : Q = Q T = Kuten viime luennolla todettiin, transponointi muuttaa pystyvektorin (sarakkeen) vaakavektoriksi (riviksi) ja toisinpäin Pystyvektori a = 1 8 Vaakavektori a T =[1,8,] //18 1

11 Matriisioperaatioita: Transponointi Esim. Määritä A T, kun A = R 4 Ratkaisu: A T = R 4 Transponointi muuttaa m n-matriisin n m-matriisiksi Selvästi kaikille matriiseille A pätee A T T = A. Transponointi ei muuta matriisin sisältämää informaatiota, mutta on usein välttämätöntä laskutoimitusten kannalta. //18 11

12 Symmetrinen matriisi Neliömatriisia, jolle pätee A T = A, sanotaan symmetriseksi, esim. A = A T = Symmetrisessä matriisissa siis i. rivin ja j. sarakkeen alkio on sama kuin j. rivin ja i. sarakkeen alkio: a ij = a ji Kaikki lävistäjämatriisit (ja tällöin myös yksikkömatriisit) ovat symmetrisiä //18 1

13 Presemo-kysymys Määritä alkiot a, b ja c, kun A on symmetrinen matriisi A = a b c 1. a =, b = 5, c = 4. a = 4, b = 5, c = 3. a =, b = 1, c = 4 //18 13

14 Matriisioperaatioita: Vakiolla kertominen Esim. Mitkä ovat lisäravinteiden hinnat eri vuosina vuoden 14 euroissa, kun kurssi oli tuolloin 1 USD =.74 EUR? Hinnat Hinnat voidaan esittää matriisina P = Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) Kun hinnat muutetaan vuoden 14 euroiksi, kukin matriisin alkio kerrotaan vakiolla.74 Tämä vastaa koko matriisin kertomista vakiolla.74:.74 P = = Matriisin (aivan kuten vektorinkin) kertominen vakiolla tehdään siis alkioittain //18 14

15 Matriisioperaatioita: Yhteenlasku Myös matriisien A, B R m n yhteenlasku (aivan kuten vektorienkin) tapahtuu alkioittain: A + B = a ij + b ij = a ij + b ij Esim = //18 15

16 Matriisioperaatioita: Vähennyslasku Vähennyslasku tapahtuu niin ikään alkioittain (kuten vektorien tapauksessa), mikä on suora seuraus alkioittain tapahtuvasta vakiolla kertomisesta ja yhteenlaskusta: A B = A + 1 B = a ij + b ij = a ij b ij Esim. Yritys tuottaa kolmea tuotetta, joiden arvo (M ) kahtena kuukautena on koottu matriisiin A ja vastaavat tuotantokustannukset matriisiin B A = 1. kk. kk 1. kk. kk Tuote 1 Tuote Tuote = B Mitkä ovat eri tuotteista saatavat voitot eri kuukausina? A B = = //18 16

17 Lineaariavaruus Matriisit (kuten vektorit viime luennolla) muodostavat lineaariavaruuden R m n, sillä ne toteuttavat ehdot 1-8: 1. A + B = B + A (vaihdannaisuus). A + B + C = A + B + C (liitännäisyys) 3. On olemassa nollamatriisi O =, jolle pätee A + O = A 4. Matriisilla A = [a ij ] on vastamatriisi A = a ij = a ij, jolle pätee A + A = A A = O 5. a ba = b aa = ab A, missä a ja b ovat vakioita 6. 1 A = A 7. a A + B = aa + ab, missä a on vakio 8. a + b A = aa + ba, missä a ja b ovat vakioita //18 17

18 Presemo-kysymys Laske A 3B T, kun A = , B =

19 Matriisitulo Alun johdannossa rinnastettiin yhtälöryhmä ja matriisiyhtälö A x = b: x 1 + x + x 3 = 1 ቐ4x x + 6x 3 = 8 1x 1 + 6x + x 3 = Kerroinmatriisi A Muuttujavektori x x 1 x x 3 = Side-ehto- Vektori b 1 8 Matriisiyhtälössä esiintyy matriisin A ja vektorin x tulo, joka lasketaan Irrottamalla matriisista A kukin rivi eli vaakavektori kerrallaan ja laskemalla sen sisätulo vektorin x kanssa 1. 1, 1, 1 x 1, x, x 3 = x 1 + x + x 3. 4, 34, 6 x 1, x, x 3 = 4x x + 6x , 6, x 1, x, x 3 = 1x 1 + 6x + x 3 Ja kokoamalla näin saadut sisätulot pystyvektoriksi: x 1 + x + x 3 4x x + 6x 3 1x 1 + 6x + x 3 //18 19

20 Matriisitulo Yleisesti matriisien A R m n ja B R n p tulo määritellään AB = C = [c ij ] R m p missä c ij = a i1, a i,, a in b 1j, b j,, b nj Eli jotta saadaan tulomatriisin C alkio c ij, Matriisista A otetaan i. rivi (n-ulotteinen vaakavektori) Matriisista B otetaan j. sarake (n-ulotteinen pystyvektori) Ja lasketaan näiden sisätulo //18

21 Matriisitulo Esim. A = R 3, B = R 3 AB = 1,,3 [, 1,4] 1,,3 [1,,1] 4,5,6 [, 1,4] 4,5,6 [1,,1] = ( 1) = Jotta tulo AB on määritelty, pitää matriisien A ja B olla yhteensopivia, eli A:n sarakkeiden lukumäärä n = B:n rivien lukumäärä n (esim. edellä n = ) //18 1

22 Matriisitulo Yleisesti pätee: AI = IA = A Esim. I 3 D = = ( 3) ( 3) ( 3) = = D Vastaavasti DI 3 = D //18

23 Matriisikertolaskun säännöt 1. AB C = A BC, kun A R m n, B R n p, C R p r. A B + C = AB + AC, kun A R m n, B, C R n p 3. A + B C = AC + BC, kun A, B R m n, C R n p 4. A ab = aa B = a AB, kun A R m n, B R n p, ja a R on vakio 5. AB T = B T A T, kun A R m n, B R n p //18 3

24 Matriisikertolaskun säännöt Esim. Sääntö 5 AB T = B T A T A = 1 1 3, B = 1 1 A T = ja BT = 1 1 Tällöin AB = AB T = Samoin B T A T = = //18 4

25 Matriisitulo Huom! Matriisitulo ei yleisesti ole vaihdannainen, vaan tavallisesti pätee AB BA Voi olla, etteivät A ja B edes ole yhteensopivia molemmin päin, eli AB on määritelty mutta BA ei; esim. jos A R 3 ja B R 3 1 Vaikka AB ja BA olisivatkin määritelty, eivät ne välttämättä ole samantyyppisiä; esim. A = [,1], B = 3 AB = 6 4 = 4 BA = = Vaikka AB ja BA olisivatkin samantyyppisiä, eivät ne välttämättä ole samat: A = 1 3 4, B = 1 1 AB = mutta BA = //18 5

26 Presemo-kysymys Määritä tulo AB, kun A = 1 3, B = //18 6

27 Presemo-kysymys Määritä matriisitulot BA, kun A = , B =

28 Determinantti Neliömatriisille voi määrittää determinantin, jota merkitään det A, det A tai A Determinantti on eräänlainen matriisin skaalausvakio 1 1-matriisin (eli vakion) a determinantti on a -matriisin A = a b c d determinantti a b c d Esim. Määritä det(a), kun A = = ad bc det A = = = 43 //18 8

29 Determinantin geometrinen tulkinta Kuvalähde: -matriisin A = a b c d determinantin itseisarvo det A = ad bc on A:n rivitai sarakevektoreiden määräämän suunnikkaan pinta-ala Esim = 43 Esim. 1 4 = Huom! Rivivektorit (ja sarakevektorit) riippuvat lineaarisesti toisistaan. 1. rivi = [ 1,] Pintaala = rivi = [4,5]. rivi = [3, 7] Summa = [7, ] Summa = [1, ]. rivi = [, 4] //18 9

30 Determinantin geometrinen tulkinta 3 3-matriisin A = a d g b e h c f i determinantti on a e h f i b d g f i + c d e g h = a ei fh b di fg + c dh eg = aei + bfg + cdh ceg bdi afh 3 3-matriisin determinantin itseisarvo det A on A:n rivivektoreiden r 1 = a, b, c, r = d, e, f, r 3 = [g, h, i] (tai sarakevektoreiden) määräämän suuntaissärmiön tilavuus Mitä tilavuudelle tapahtuu, jos rivivektorit ovat kaikki samassa - ulotteisessa tasossa, eli keskenään lineaarisesti riippuvia? //18 3

31 Determinantti ja matriisin rivivektorien lineaarinen riippumattomuus Edellisten perusteella Matriisin A determinantti det A jos ja vain jos A:n rivit ovat lineaarisesti riippumattomat //18 31

32 Presemo-kysymys Laske matriisin A = determinantti //18 3

33 Presemo-kysymys Laske matriisin A = determinantti

34 Determinantin laskeminen Determinantin laskeminen käsin -tyyppiä korkeamman tyypin matriiseille on työlästä Esim. Määritä det(a), kun A = Excel: MDETERM() Syntaksi: det({{,1,3},{4,5,6},{7,8,9}}) //18 34

35 Determinantin ominaisuuksia Determinantilla on monia laskutoimituksia helpottavia ominaisuuksia: 1. Jos matriisin A jonkin rivin tai sarakkeen kaikki alkiot ovat nollia, niin det A = ; esim. A = 1 det A = 1 = 1. rivi = [ 1,] Summa = [ 1,]. rivi = [,]. Jos matriisi B saadaan kertomalla matriisin A jonkin rivin tai sarakkeen kaikki alkiot vakiolla c, niin det B = c det A; esim. A = B = det A = 8 15 = 43 det B = 56 3 = rivi = [4,5] 1. rivi = 4,5 = [8,1] Pintaala = 43 Summa = [11,3] 3. Jos matriisin kaksi riviä (tai saraketta) vaihdetaan keskenään, niin determinantin merkki muuttuu, esim. A = B = det A = 8 15 = 43 det B = = 43 Pintaala = 43. rivi = [3, 7] Summa = [7, ] //18 35

36 Determinantin ominaisuuksia 4. Jos matriisissa A on kaksi (tai usempi) samaa riviä, niin det A = (syy: nämä rivit riippuvat toisistaan lineaarisesti) 5. Jos matriisin k. rivi (sarake) kerrotaan vakiolla ja lisätään i. riviin (sarakkeeseen), determinantin arvo ei muutu, esim. 6. det AB = det A det B, esim. A = 4 A = det A = 8 15 = 43 B = det B = = 43 det A = = B = 1 det B = + 3 = AB = 8 6 det AB = 56 6 = det A T = det A, esim. A = 4 det A = = A T = det AT = = 1 //18 36

37 Yhteenveto Matriisi A R m n on reaalilukutaulukko, jossa on m riviä ja n saraketta Matriisin peruslaskutoimitukset (vakiolla kertominen, yhteenlasku, vähennyslasku) tapahtuvat alkioittain Matriisin transponointi muuttaa rivit sarakkeiksi ja sarakkeet riveiksi Matriisitulon C = AB alkio c ij lasketaan Ottamalla matriisista A i. rivi Ottamalla matriisista B j. sarake Ja laskemalla näiden sisätulo Yleisesti AB BA; kuitenkin AB T = B T A T //18 37

38 Yhteenveto Matriisin A = a c b d R determinantti det A = ad bc Matriisin A = a d g b e h c f i R 3 3 determinantti on a e h f i b d g f i + c d e g h

39 Harjoittele verkossa! Matrices Yhteenlasku: Add Vähennyslasku: Subtract Matriisitulo: Multiply