ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 5: Navat ja nollat, systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri

Transkriptio

1 ELEC-C3 Säätötekniikka Luku 5: Navat ja nollat, yteemin nopeu, tabiiliuu ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri

2 Syteemin käyttäytyminen Syteemin tai järjetelmän tärkein ominaiuu on tabiiliuu. Muita ominaiuukia ovat eim. Nopeu Värähtelyt ja niiden luonne, reonani Minimivaiheiuu (minimum phae / non minimum phae), alkutranientit Herkkyy ja robutiuu (enitivity / robutne), häiriönietokyky Mahdollinen integroiva tai derivoiva käyttäytyminen Aitou (trictly proper, proper, not proper) Aikaiemmilla luennoilla yteemin käyttäytyminen määritettiin tarkati vateita joka edellytti Laplacekäänteimuuntamita. Tällä luennolla kekitytään käyttäytymien tarkateluun mallin ominaiuukien peruteella ilman vateen analyyttitä ratkaiemita.

3 Syteemin navat ja nollat Siirtofunktio kootuu ooittaja- ja nimittäjäpolynomeita G () nz nz b b b b b n n n n n n z z z p p p a a a a a n n n p p p Nimittäjäpolynomi on yteemin karakteritinen polynomi R S Karakteritinen polynomi: Q () TKarakteritinen yhtälö: Q () Polynomit voidaan eittää juuriena tuloina b( z)( z) ( z( n z) )( zn ) z G () ( )( ) ( )( ) p p p( n ) pn P () Q () Ooittajan nollakohdat (juuret) ovat yteemin nollia ja nimittäjän nollakohdat (juuret) ovat yteemin napoja. p p

4 Syteemin navat ja nollat Napa-nollakuvioa yteemin navat ja nollat eitetään graafieti komplekitaoa. G () ( )( 3) ( )( ) ( )( 3) ( )(( ) ) ( )( 3) ( )( i)( i) Im R S T Karakteritinen yhtälö: Järjetelmän nollat: Järjetelmän navat: ( )( ), 3 z z, i, i p p p3-3 - i -i Re Komplekiet juuret eiintyvät aina komplekikonjugaatteina: i = a ± bi => Napa-nollakuvio on aina ymmetrinen reaaliakelin uhteen.

5 Stabiiliuu Stabiiliuudelle on kehitetty ueita erilaiia määritelmiä. Eim. Yhden ratkaiun tabiiliuu (epälineaariet ja/tai aikavariantit yteemit) Syteemin tabiiliuu (lineaariten yteemien globaali ominaiuu) Globaali tabiiliuu v. lokaali tabiiliuu (epälineaariet yteemit) Ljapunov-tabiiliuu Aymptoottinen tabiiliuu BIBO-tabiiliuu (Bounded Input - Bounded Output) Marginaalinen tabiiliuu Tällä opintojakolla käitellään ainoataan lineaariten järjetelmien tabiiliuutta, jolloin tabiiliuu on yteemin globaali ominaiuu tabiiliu ei riipu tulouureita eikä toiminta-alueeta.

6 Syteemin tabiiliuu Syteemi Stabiili. Epätabiili. Aymptoottieti tabiili. Marginaalieti tabiili.

7 Stabiiliuu Epälineaariella järjetelmällä tabiiliuu aattaa riippua toimintaalueeta ja tulouureeta. Tarkatellaan eimerkiki kiviä vuorenrinteellä. Syteemillä on yki tabiili taapainopite (laako, 3) ja kaki epätabiilia (huiput, ja 5) Stabiilia toimintapiteeä pienillä ohjaukilla vate pyyy tabiilina, mutta kun kiviä työnnetään riittävän uurilla voimilla, niin vateeta voi tulla epätabiili (kivi voi joutua piteen vaemmalle tai piteen 5 oikealle puolelle. Epätabiililta alueelta voidaan päätyä opivalla tulouureella tabiilille alueelle. Eimerkiki piteetä voidaan päätä huipun ohi tabiiliin laakoon, mutta piteetä 6 on huomattavati vaikeampaa päätyä tabiiliin ratkaiuun, koka kivi kerää niin paljon liike-energiaa, että e helpoti ujahtaa tabiilin laakon läpi uudelle epätabiilille alueelle

8 Ljapunov-tabiiliuu Luennolla 3 eitettiin tilayhtälön yleinen ratkaiu x( t) Ax() t Bu() t zt x() t () t x( ) ( t ) Bu( ) d, () t e A Tilan x(t) käyttäytyminen tulevaiuudea riippuu kahdeta termitä: autonomieta ouudeta (alkuarvot) ja ohjauten vaikutuketa. Ljapunov-tabiiliuu tutkii autonomita tabiiliutta. Ykinkertaitettuna voidaan anoa, että menetelmää poikkeutetaan tilaa aavituken verran alkutilata ja katotaan mitä tapahtuu, kun ulkoiia ohjaukia ei käytetä. Jo lineaarinen yteemi on tabiili yhdelle alkuarvolle, niin e on tabiili myö kaikille muille mielivaltaiille alkuarvoille. t

9 BIBO-tabiiliuu BIBO-tabiiliuudea taa tutkitaan input/output-käyttäytymien tabiiliutta ja e liittyykin läheieti edellä eitetyn tilaeityken ratkaiun toieen termiin. Syteemi on BIBO-tabiili (bounded input bounded output), jo rajoitetulla ohjaukella u aadaan aina rajoitettu vate y. Eimerkiki varato (integraattori) ja ideaalinen heiluri (harmoninen värähtelijä) ovat marginaalieti tabiileja (yleieti tabiileja) ja Ljapunov-tabiileja, mutta eivät aymptoottieti tabiileja eivätkä BIBOtabiileja. Käänteinen heiluri ja raketti avaruudea ovat epätabiileja kaikkien tabiiliuukriteerien mukaan. Ideaaliekoitin (alipäätöuodatin) ekä maakappale jouen ja vaimentimen varaa ovat tabiileja kaikkien edellä eitettyjen tabiiliuukriteerien mukaieti. Aymptoottinen ja marganaalinen tabiiliuu voidaan lineaariella yteemillä tutkia eim. impulivateen käyttäytymien peruteella.

10 Eimerkki: Harmoninen värähtelijä (lineaariapprokimaatio) (t) G () a a Nimittäjäpolynomin juuret Im ai Re vate alkuarvolle impulivate T m -ai Siniherätteellä heiluri joutuu reonaniin ja muuttuu epätabiiliki => alkuarvoita johtuva vate on tabiili, mutta on löydettäviä rajoitettu heräte (iniignaali), jolla vateeta tulee rajoittamaton. Lineaarioitu heiluri on Ljapunov-atbiili, muttei BIBO-tabiili inivate

11 Impulivate ja en tabiiliuu Vahvati aidon (trictly proper, iirtofunktion ooittaja alempaa kertalukua kuin nimittäjä) yteemin impulivate eli painofunktio on Laplace-taoa iirtofunktio G () Siirtofunktio voidaan hajoittaa oamurtokehitelmän avulla tekijöidenä ummalauekkeeki (oletetaan aluki kaikkien juurten olevan reaaliia ja ykinkertaiia). n n n n b b bn bn bn b b bn bn bn n n n a a a a a ( )( ) ( )( ) n n n p p p( n) pn K K Kn Kn p p pn ( ) pn pt pt p( n) t pnt Käänteimuunnettuna gt () Ke Ke Kn e Ke n Jo kaikki nimittäjäpolynomin juuret ovat negatiiviia, niin ajan lähetyeä ääretöntä vate lähetyy nollaa - jo ykikin juuri on poitiivinen, niin vataava umman termi lähetyy ääretöntä. Kun yki umman termi lähetyy ääretöntä, niin koko umma lähetyy ääretöntä.

12 Impulivate ja en tabiiliuu Jo juurten joukoa on komplekiia juuria, niin ne voidaan laventaa toien ateen nimittäjäpolynomiki: A B, juuret: Re{ pi} Im{ pi} i Re{ } Im{ } d i d i pi pi Käänteimuunnettuna Re{ pi } t Ae co Im{ } t B ARe{ Re{ pi } t } e in Im{ } t pi pi pi Jo nimittäjäpolynomin juurien reaalioat ovat negatiiviia, niin ajan lähetyeä ääretöntä vate lähetyy nollaa - poitiiviilla reaalioilla vate lähetyy ääretöntä. Tarkatellaan vielä moninkertaiia juuria. Moninkertaiet (q-kertaiet) juuret eiintyvät oamurtokehitelmää muodoa: Qq Qq Q Q q q ( pi ) ( pi ) ( pi ) pi Käänteimuunnettuna: Qq Q q pit q q pit pit pit t e t e Qte Qe ( q )! ( q )!

13 Impulivate ja en tabiiliuu Jo nimittäjäpolynomin moninkertainen juuri on negatiivinen, niin ajan lähetyeä ääretöntä vateen kaikki termit lähetyvät nollaa - poitiiviella juurella vate lähetyy ääretöntä. Moninkertaiilla komplekiilla juurilla aadaan vatelauekkeeeen termejä i Re{ } d i t i Re{ } d i t i pi i pi pi pi Kte in Im{ } t ja Kte co Im{ } t Nämä termit lähetyvät nollaa ajan lähetyeä ääretöntä, jo moninkertaien komplekien juuren reaalioa on negatiivinen - poitiiviella reaalioalla termit lähetyvät ääretöntä. Yhteenvetona voidaan todeta impulivateen lähetyvän nollaa ajan lähetyeä ääretöntä vain jo jokaien nimittäjäpolynomin juuren reaalioa on negatiivinen. Tämä on aymptoottien tabiiliuuden kriteeri. Jo yhdenkin juuren reaalioa on poitiivinen, niin vate lähetyy ääretöntä ajan lähetyeä ääretöntä ja yteemi on epätabiili.

14 Marginaalinen tabiiliuu Mikäli yteemin kaikki navat ovat komplekitaon vaemmaa puolitaoa, niin yteemi on aymptoottieti tabiili ja mikäli ykikin napa on oikeaa puolitaoa, niin yteemi on epätabiili - entä jo yteemillä ei ole napoja oikeaa puolitaoa vaan rajalla eli imaginääriakelilla - miten impulivate illoin käyttäytyy?.5 Ykinkertainen napa Kakinkertainen napa Kolminkertainen napa

15 Marginaalinen tabiiliuu Mikäli yteemillä on ykinkertaiia napoja imaginääriakella eikä lainkaan napoja oikeaa puolitaoa, niin e on marginaalieti tabiili (eli Ljapunov-tabiili). Mikäli yteemillä on moninkertaiia napoja imaginääriakelilla, niin e on epätabiili kaikkien tabiiliuukriteerien mukaan. Mikäli yteemillä on ykikin napa imaginääriakella, niin e ei ole aymptoottieti tabiili eikä BIBO-tabiili.

16 Stabiiliuu Syteemi on aymptoottieti tabiili, jo kaikki en navat ovat ovat komplekitaon vaemmaa puolitaoa. Syteemi on epätabiili, jo illä on ykikin napa komplekitaon oikeaa puolitaoa tai illä on moninkertaiia napoja imaginääriakelilla Syteemi on marginaalieti tabiili, jo illä on yki tai ueampia ykinkertaiia napoja imaginääriakelilla eikä ainoatakaan napaa oikeaa puolitaoa. Lineaariella yteemillä aymptoottinen tabiiliu vataa BIBO-tabiiliuutta. Im Re Stabiili Epätabiili

17 Värähtelyt Laplace-muunnopareita tiedetään, että jo yteemillä on nimittäjää komplekiia juuria, niin kyeiet termit voidaan täydentää neliöki, jolloin Laplace-käänteimuunnokeki aadaan ini- ja koinifunktioita (komplekiet juuret voidaan myö käänteimuuntaa uoraan komplekiiki exponenttifunktioiki, joita aadaan inejä ja koineja Eulerin kaavoilla). Aivan kuten tabiiliuudellakin, niin värähtelylle voidaan todeta, että jo ykikin umman termi värähtelee, niin koko umma värähtelee. Järjetelmän vate ei värähtele, mikäli en navat ovat reaaliia. Vate värähtelee, jo ykikin napapari on aidoti komplekinen (ei ijaite reaaliakelilla). Im Värähtelee Re Ei värähtele Värähtelee

18 Nopeu Etäiyy imaginääriakelita kuvaa ekponentiaalita käyttäytymitä (mitä kauempana imaginääriakelita ollaan itä nopeammin yteemi aavuttaa loppuarvona (vaemmaa puolitaoa) tai karkaa äärettömyyteen (oikeaa puolitaoa). Etäiyy reaaliakelita kuvaa värähtelyn taajuutta (mitä kauempana reaaliakelita ollaan itä uurempi taajuu). Järjetelmä on itä nopeampi mitä kauempana en navat ovat origota Nopea ekponentiaalinen käyttäytyminen Im Hida ekponentiaalinen käyttäytyminen Re Nopea ekponentiaalinen käyttäytyminen korkeataajuinen värähtely Im matalataajuinen värähtely Re matalataajuinen värähtely Nopea Nopea Im Hida Nopea Re Nopea korkeataajuinen värähtely

19 Värähtelyn vaimennuuhde Syteemin vaimennuuhde, kuvaa värähtelyn vaimenemita. Vaimennuuhde aadaan lakettua komplekien napaparin ja negatiivien reaaliakelin välien kulman koinita tämä pätee vain illoin kun kulma on olemaa eli aidoti komplekiella napaparilla. Jo vaimennuuhde on ykkötä uurempi, niin yteemi on ylivaimennettu (reaaliet negatiiviet navat). Jo vaimennuuhde on yki, niin yteemi on kriittieti vaimennettu (kakinkertainen negatiivinen napapari reaaliakelilla). Jo vaimennuuhde on yhden ja nollan välillä, niin yteemi on alivaimennettu (aidoti komplekinen napapari vaemmaa puolitaoa). Jo vaimennuuhde on nolla, niin yteemi on harmoninen värähtelijä (navat imaginääriakelilla). Jo vaimennuuhde on negatiivinen, niin yteemi on epätabiili (navat opikeaa puolitaoa). Jo vaimennuuhteen iteiarvo on ykkötä uurempi, niin yteemi ei värähtele (navat reaaliakelilla). co( ) Im Re

20 R S T Eimerkki: vaimennuuhde ja vateet Tarkatellaan kolmea eri proeia 5 G()., n 5 p, i 3 G ()., n 3 p, i G3()., n p, i Kaikilla on ama vaimennuuhde, mutta eri etäiyy origota. Piirretään napanollakuvio MATLABia y=tf(5,[ 5]) y=tf(3,[.6 9]) y3=tf(,[. ]) pzmap(y,y,y3) grid

21 Eimerkki: vaimennuuhde ja vateet Vateiki aadaan: impule(y) impule(y) impule(y3) Syteemeillä on eri nopeudet, mutta jokaien yteemin värähtely vaimenee yhtä tehokkaati. Jo kukin impulivate kaalattaiiin ajan uhteen, niin vateet oliivat identtiiä.

22 Tarkatellaan yteemiä: Tämän akelvate on Dominoivat navat G () ( )( )( ) yt ().3e 35. e. e t t t Mitä kauempana imaginääriakelita napa on, itä pienemmällä kertoimella e eiintyy vateen lauekkeea. Stabiilia käyttäytymitä dominoivat navat ja napaparit ovat ne, jotka ovat kaikkein lähimpänä imaginääriakelia ama pätee myö nolliin ja nollapareihin. Epätabiili käyttäytyminen on kuitenkin aina dominoivaa.

23 Nollat Jo navat vaikuttavat tabiiliuuteen, värähtelyyn ja nopeuteen, niin mitä nollat itten tekevät? Otetaan eimerkki: proei, joa on kaki tabiilia napaa (piteiä - ja -3) ja yki nolla. G () Laketaan akelvate: Y () ( 3 ) ( )( ) ( 3 ) ( )( ) ( ) ( )( ) yt () ( 6 ) e t ( 6 3) e 3 Nollat vaikuttavat eri tekijöiden kertoimiin. Kokeillaan erilaiia nollan arvoja ja tarkatellaan miten akelvate muuttuu. aa arvot :,,,,,, 3 (vataavat nollat ovat :,,,ei nollaa,,, ) 3 3 t

24 Nollat vaikuttavat vateiden alkukäyttäytymieen - ne vataavat vaikutukeltaan alkuarvoja. Mikäli yteemillä on ykikin nolla oikeaa puolitaoa, niin yteemi on eiminimivaiheinen ja vataavati jo kaikki en nollat ovat vaemmaa puolitaoa (ja e on viiveetön), niin e on minimivaiheinen. Nollat Nollat voivat kumota vataavan navan ja amalla kyeien käyttäytymien (eim. värähtelyn). On kuitenkin huomattava, että epätabiilia napaa ja käyttäytymitä ei voida kompenoida ei-minimivaiheiella nollalla.

25 Nollat ja kompenointi Katotaan kahta kompenointieimerkkiä. Kompenoidaan hida napa vataavalla nollalla Kompenoidaan epätabiili napa vataavalla nollalla Proein malli on: R S T G() ( )(. ) G () ( )(. ) Kompenoituna: R S T G G K K () () ( ) ( )(. ) ( ) ( )(. )

26 Nollat ja kompenointi Epätabiilia napaa on mahdotonta kompenoida täydellieti. Vaikka yteemi näyttääkin aluki toimivan hyvin, niin vate muuttuu epätabiiliki pitkän ajan kuluttua. Stabiilit värähtelevät ja hitaat moodit voidaan kompenoida vataavilla nollilla, vaikka kyeiiä napoja ei tunnettaiikaan tarkati Nolla, joka on uunnilleen amalla alueella kuin napa kompenoi uurin piirtein kyeitä napaa vataavan käyttäytymien - jo kyeeä on tabiili moodi.

27 Nollat ja kompenointi Otetaan eimerkki värähtelyn kompenoinnita Tarkatellaan proeia, joa on dominoiva värähtelevä moodi ja (väityvä) värähtelemätön moodi G () ( 5)(. ) Kompenoidaan värähtelevä moodi täydellieti (tarkalla polynomilla) ja ummittaieti neljällä eri kompenaattorilla (polynomilla, jonka navat ovat % pieleä eri uuntiin reaali- ja komplekiakelien uhteen).

28 Stabiiliuutetit Jo tunnetaan yteemin navat (nimittäjäpolynomin nollakohdat), niin tabiiliuu on helppo todeta. Juuret voidaan määrittää numeerieta polynomita iteratiiviilla lakentarutiineilla (kuten komennot eig, root tai pole MATLABia). Eim. polynomille 3 4 root([ 4 ]) an = i i Jo jokin polynomin kertoimita on nolla tai negatiivinen, niin polynomilla on vähintään yki juuri imaginääriakelilla tai oikeaa puolitaoa. Jo polynomia on mukana ymboliia parametreja ja tahdotaan ratkaita, millä parametrien arvoilla yteemi on tabiili, niin juurien ratkaiu numeerieti ei enää onnitu. Tällöin voidaan käyttää Routhin kaaviota.

29 Routhin kaavio Polynomille n n muododtetaan Routhin kaavio euraavati: n a a a a a n a a a a a n b b b b n3 b b b b n4 c c c n5 c c c z z n n a a a a a a a a a a b, b, b, a a a3 a a a5 a a a7 a a a a a a b, b, b, b b b b b b4 b b b6 b b b b b b c, c, c, z b b b 3 b b b5 b b b7 a n

30 Routhin kaavio Routhin kaavion enimmäieä arakkeea olevien merkinvaihtojen lukumäärä on amalla myö polynomin oikeaa puolitaoa olevien juurien lukumäärä. Jo yteemin karakteritinen polynomi ijoitetaan Routhin kaavioon, niin yteemi on tabiili, jo enimmäieä arakkeea ei ole ainoatakaan merkinvaihtoa. Jo kaaviota muodotettaea en enimmäieen arakkeeeen tulee nolla, niin en tilalle kaavioon ijoitetaan pieni poitiivinen luku ja jatketaan kaavion muodotamita. Lopullieta kaaviota voidaan lakea merkinvaihdot tutkimalla :ta riippuvien termien raja-arvot, kun. Mikäli kaavioon muodotuu koko rivi nollia, niin välittömäti nollariviä ylemmätä rivitä voidaan muodotaa polynomi, jolla alkuperäinen polynomi on jaollinen.

31 Eimerkit: Routhin kaavio Polynomit: / 5 Kaki merkinvaihtoa - ja - eli kaki juurta oikeaa puolitaoa Ei merkinvaihtoja enimmäieä arakkeea eli ei juuria oikeaa puolitaoa

32 Eimerkit: Routhin kaavio Polynomi: 3 3 Saadaan nollarivi, jolloin ylemmältä riviltä aadaan polynomi jolla alkuperäinen polynomi on jaollinen. Laketaan tämän polynomin derivaatta :n uhteen ja ijoitetaan e kaavioon ja jatketaan d d ( ) 3 Ei merkinvaihtoja, joten ei juuria oikeaa puolitaoa

33 Eimerkit: Routhin kaavio Polynomi: ( 36)/ UVW 36 lim RST Enimmäieen arakkeeeen tulee nolla, jolloin korvataan e pienellä poitiiviella luvulla ja jatketaan kaavion muodotamita kaki merkinvaihtoa - ja - kaki juurta oikeaa puolitaoa

34 Eimerkit: Routhin kaavio Syteemiä, jonka iirtofunktio on äädetään P-äätimellä. Millä K P :n arvoilla äädetty järjetelmä on tabiili? G () + _ KP G() G TOT 3 () KP KG P () 3 KP KG K P () P 4 ( KP 6) KP 6 KP 4 K 6 P Stabiili, jo KP ja KP K P

35 Tilaeityken navat ja nollat Kolmannella luennolla johdettiin iirtofunktion ja tilaeityken välinen muunnokaava. G() C IA BD R S T b g Käänteimatriii laketaan jakamalla liittomatriii (adjoint) determinantilla. G() b b g g Cadj I A B det I A Karakteritinen polynomi: Syteemin navat ovat polynomin:" det b g b g b g D C adj I A B D det I A det I A det b IA g b g I A " juuret b g b g Syteemin nollat ovat polynomin:" Cadj IA BDdet IA " juuret MIMO-yteemeillä karakteritiea polynomia on kaikkien yteemin iirtofunktioiden navat ja ooittajapolynomita tulee polynomimatriii, joa on kunkin iirtofunktion nollat erikeen - oa nollita ja navoita upituu.

36 Eimerkki Määritetään yteemin navat ja nollat Karakteritinen yhtälö: Cadj IA BDdet IA = adj R S T G() b g det IA det NM QP ( )( ) 3 3 b g b g L NM L O NM QP L ( ) N M O 3 Q P 3 3 L O L ( ) NM 3 3 QP ( )( 3) ( )( 3) NM L x( t) Ax() t Bu() t O x() t u() t 3 yt () Cx() t x() t 3 ( 3) ( )( 3) Syteemillä on kaki napaa (- ja 3) ekä yki nolla (-3) NM QP L N M O Q P L O O QP L N M O Q P O QP

37 Eimerkki: äädetyn järjetelmän käyttäytyminen Tutkitaan äädetyn järjetelmän käyttäytymitä äätimen (P-äädin) eri viritykillä. + KP G() _ G () ( ) Säätämätön proei on epätabiili Amplitude 3 Step Repone Säätämätön proei G TOT () Säädetylle järjetelmälle K KG () K( ) P P KG P ( ) KP( ) ( ) P ( KP ) KP

38 Eimerkki: äädetyn järjetelmän käyttäytyminen Säädetyn järjetelmän karakteritinen yhtälö Säädetyn järjetelmän navat (toien ateen yhtälön ratkaiu): p,, K P KP KP KP KP Säädetty järjetelmä ei värähtele, kun navat ovat reaaliia P P P P ( ) K K K 5 6 K 5 6 K 5 6. tai K P Säädetty järjetelmä on tabiili, kun navat ovat vaemmaa puolitaoa K ja K K P P P P

39 Eimerkki: äädetyn järjetelmän käyttäytyminen Määritetään navat ja piirretään äädetyn järjetelmän napanollakuviot muutamalla eri K P :n arvolla Pole-Zero Map Pole-Zero Map.5 Pole-Zero Map Imaginary Axi KP =.5 Imaginary Axi KP =.5 Imaginary Axi KP = R l A i Pole-Zero Map R l A i Pole-Zero Map R l A i Imaginary Axi - KP = Imaginary Axi KP = R l A i R l A i

40 Eimerkki: äädetyn järjetelmän käyttäytyminen Vataavat akelvateet ovat: 3 5 Step Repone KP = KP = Step Repone KP =.5 5 KP =.5.5 Amplitude 5 KP = Amplitude.5 KP = Time (ec) -.5 KP = Time (ec) KP =

41 Eimerkki: äädetyn järjetelmän käyttäytyminen Tämän peruteella voidaan todeta äädetylle järjetelmälle KP 5 6, Vate on värähtelemätön ja epätabiili 5 6 KP, Vate on amplitudiltaan kavavaa, epätabillia värähtelyä KP, Vate on harmonita värähtelyä KP 5 6, Vate on vaimenevaa, tabiilia värähtelyä (alivaimennettu) KP 5 6, Vate on värähtelemätön ja tabiili (kriittieti vaimennettu) KP 5 6, Vate on värähtelemätön ja tabiili (ylivaimennettu)

42 Yleiet iirtofunktiomallit:. kertaluku. kertaluvun dynamiikka Differentiaaliyhtälö ja iirtofunktio: K on yteemin vahvitu on yteemin aikavakio K yt () yt () Kut () G () K Impulivate: yt ( ) e Akelvate: yt ( ) Ke t t > => Stabiili Im Re < => Epätabiili Im Re -/ -/

43 Yleiet iirtofunktiomallit:. kertaluku > => Stabiili < => Epätabiili

44 Yleiet iirtofunktiomallit:. kertaluku. kertaluvun värähtelevä dynamiikka (komplekiet navat) Differentiaaliyhtälö ja iirtofunktio: K on yteemin vahvitu n on yteemin ominaitaajuu ( n > ) on yteemin vaimennuuhde (- > > ) K Impulivate: ( ) in n nt yt e n t yt yt yt K ut () n () n () n () G () K n nn nt Akelvate: yt ( ) K e co t in t n n nt K e in t co n

45 Yleiet iirtofunktiomallit:. kertaluku Navat: P, n n i P, n n i > > => Stabiili -n Im n n i Re i = co n Im Re n i Im Re = co n Im Re - > > => Epätabiili n i -n

46 Yleiet iirtofunktiomallit:. kertaluku > > => Stabiili - > > => Epätabiili

47 Yleiet iirtofunktiomallit:. kertaluku. kertaluvun värähtelemätön dynamiikka (reaaliet navat) Differentiaaliyhtälö ja iirtofunktio: K on yteemin vahvitu ja ovat yteemin aikavakiot ( ) yt () ( ) yt () yt () Kut () t t K Impulivate: yt ( ) e e G () t t Akelvate: yt ( ) K e e K ( )( ) Luonnollieti värähtelevät yteemit voidaan myö formuloida tähän mallirakenteeeen, mutta illoin aikavakiot ovat komplekiia Toiaalta värähtelemättömät yteemit voidaan formuloida käyttäen vaimennuuhdetta ja ominaitaajuutta, mutta tällöin vaimennuuhteen iteiarvo on ykkötä uurempi (ylivaimennettu yteemi)

48 Yleiet iirtofunktiomallit:. kertaluku Navat: P, P, > => Stabiili -/ Im -/ Re < tai < => Epätabiili Im Re Im Re -/ -/ -/ -/

49 Yleiet iirtofunktiomallit:. kertaluku > => Stabiili < tai < => Epätabiili

50 Korkeamman kertaluvun mallit Korkeamman kertaluvun mallit voidaan koota ykinkertaiita. ja. kertaluvun elementeitä Tiedetään, että vate on kaikkien elementtien painotettu umma (lähellä imaginääriakelia olevat navat ja nollat dominoivat käyttäytymitä, jolleivat napa-nollaparit kumoa toitena vaikutukia) Tarkatellaan kolmannen kertaluvun värähtelevää yteemiä G () K ( )( ) n n n Tämän järjetelmän käyttäytyminen on painotettu umma toien kertaluvun käyttäytymietä ja enimmäien kertaluvun käyttäytymietä. G () K A B C ( )( ) n n n n n

51 Korkeamman kertaluvun mallit Alla on yteemin napa-nollakuviot ja akelvateet eräillä parametriarvoilla Im Re a) Im Re b).5.5 a) b) Im Im Re Re 5 c) d) c) d) 3 4 5

52 Ykinkertaiten yteemien vateita K K K Impulivate Akelvate , K,, n

53 Ykinkertaiten yteemien vateita Impulivate.5.5 K ( ) K K ( )( ) Akelvate , K,, n

54 Ykinkertaiten yteemien vateita K n nn K n n K ( )( )( 3 ) Impulivate Akelvate , K,, n

55 Ykinkertaiten yteemien vateita Impulivate 5 5 K K n nn Akelvate , K,, n