Piiriteoria II Laskuharjoitukset - syksy 2016
|
|
- Ari-Matti Katajakoski
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Piiriteoria II Lakuharjoituket yky 6 TkT Marko Neitola marko.neitola@oulu.fi TS3 Siällyluettelo... ivu Harjoitu... 3 Harjoitu... 5 Harjoitu Harjoitu Harjoitu Harjoitu Harjoitu Harjoitu Harjoitu Harjoitu... 3 Liämateriaalia, aikatauluja ja kurin ilmoitukia löytyy Optiman Piiriteoria II työtilata: Optimaympäritö on: Oulun yliopito, TTK
2 VÄLIKOKEET Välikokeet eivät ole pakolliia, mutta niillä voi korvata lopputentin. Niitä pidetään joko lakarin tai luennon paikalla. Graafiet lakimet ovat allittuja välikokeea. LOPPUTENTTI Yliopitotenttiin pitää ilmoittautua tenttiä edeltävän viikon maanantaina. Opettajat eivät vataa tenttiin ilmoittautumieta. Lopputentiä aa olla graafinen lakin. HARJOITUSTYÖ Harjoitutyö on pakollinen ja e on ykilöuoritu. Työ kootuu Matlab ja LTpicetehtävitä. Matlab on erityieti numeerieen lakentaan ja eitygrafiikkaan tarkoitettu ohjelmito. Vuoden 6 aluta alkaen yliopiton Matlablieniin iältyy myö kotikäyttöoikeu opikelijoille. Ohjelman aennuohjeet löydät tietohallintopalveluiden ohjelmitojakeluta: LTpice on monelle tuttu kurita Piiriteoria, mutta Matlab on oalle uutta. Googlettamalla löydät paljon tietoa, mutta myö Matlabohjelmitopaketti iältää ohjeita aloittelijalle: Aja Matlab Commandikkunaa komento doc, jolloin aukeaa uui ikkuna "Help". Klikkaa Matlab ja itten Vaemmata valikota Documentation Getting tarted Suomenkielellä löytyy mm. lyhyt Matlabopa ooitteeta Hyödylliiä eimerkkejä luennoitijan wikiivuilta (eti linkki Matlab_kuri.zip): Yhteityötä ja avun antoa emme voi kieltää. Mutta jo palautukia on elkeätä kopiointia tai identtiet virheet, bumerangi tulee ja tarkataja aattaa kutua tekijät kuuluteluun. Eli vertaituki on OK, mutta työ pitää tehdä kaikin puolin itenäieti. Olkaapa kriittiiä kaverin neuvoille, jo teette työtä porukalla.
3 Harjoitu. HARJOITUS. Harjoitu on valtaoin Piiriteoria kertauta. Ilman PT perutaitoja, kurin uorittaminen voi tuntua kovin takkuielta: piiriä kuvaavan yhtälön tekeminen on edelleen tärkeää aemaa. PT lakarimonite on ladattavia eim. Optiman kautta. Jo alla olevaa litaniaa on joitain kohtia mitä et ihan ymmärrä, kannattaa kerrata. Kirchhoffin virta ja jännitelaki (KCL & KVL) Conventional current Jo piirielementti kuluttaa/tuottaa tehoa, mikä on tehon etumerkki? ( ) Sarjaan ja rinnankytkentä Impedanin (admittanin) käite (UZI, IYU) Lähteenmuunnoket Ohjatut lähteet (miten lähteen tyyppi ja lähteen ohjau merkitään) Reitiivinen jännite ja virtajako (toimii myö impedaneilla) Miten ilmaiet piirielimen (impedanin tai admittanin) virran olmujännitteillä? Solmupite ja ilmukkavirtamenetelmä Atettuneen (teadytate) vateen lakenta jatkuvalle inimuotoielle herätteelle (Ooitinlakenta) 3
4 Harjoitu KYSYMYKSET Tehtäviä ja kirjoitellaan piirejä kuvaavia yhtälöitä. Impedanit ja admittanit ovat tuttuja Piiriteoria :tä. Nyt käytetään alla olevan taulukon (ja kurin hengen) mukaieti Laplacemuunnettuja impedaneja. Yhtälöiden kirjoittamiia ei ole muuta ihmeellitä, kun e että jϖ:n paikalla onkin. Taulukko : Piirielinten Laplacemuunnoket Impedani Z AdmittaniY L L / (L) C / (C) C R R / R. Kirjoita alla olevalle piirille ilmukkavirtayhtälöt matriiimuodoa. H H H ς ς V I I I 3 /F F. Kirjoita alla olevalle piirille olmupiteyhtälöt matriiimuodoa. ς H U U ς U 3 A F A F 4
5 Harjoitu 3. Lake kuvan verkon portia ab näkyvä impedani. /ς /ς a ς v v ς b kuva LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVA TEHTÄVÄ: 4. Lake kuvaa olevan piirin portita ab näkyvä Thevenin ekvivalenttipiiri aettamalla tähän porttiin tetivirta v in a 4ς v in ς v 8v ς 3A b kuva VASTAUS: R Thev.ς, V Thev.57V 5
6 Harjoitu HARJOITUS. PT KERTAUSTA STEADYSTATE VASTEIDEN LASKEMINEN Fouriermuunno pyrkii eittämään aikataon ignaalin f(t) inimuotoiina komplekiooittimina exp(jϖt). Ooitinlakenta jatkuville inimuotoiille ignaaleille tuli tutuki PT:ä. Tää kuria tutuki tulevaa Laplacemuunnokea on Fouriermuunnokeen verrattuna liätty ekponentiaalinen vaimennu, mikä mahdollitaa ueampien funktioiden muuntamien. Laplacemuunno oveltuu erittäin hyvin jatkuvaaikaiten tranienttiignaalien vateen analyyiin. Laplacemuunnetuia funktioia on mukana aina taajuumuuttuja joka on muotoa ρjϖ. Tuo ρ kuvaa em. ekponentiaalita vaimennuta. Tätä taajuuvate aadaan ijoittamalla :n paikalle vakioamplitudita inivärähtelyä vataava jϖ. Impedanit ovat nyt taulukon (. 4) mukaiia. VIRTA JAKAANTUU ADMITTANSSIEN SUHTEESSA I in R I out C I ( out G / R Y C C I ( in C G C JÄNNITE JAKAANTUU IMPEDANSSIEN SUHTEESSA R V V C out ( in V out Z C / (C) V out ( V in ( C R C V in ( RC 6
7 Harjoitu EKVIVALENTIT JÄNNITE JA VIRTALÄHTEET Z V I V Y Z Z Z Y I Y V ZI Theveninin ekvivalentti tietylle piirille voidaan muodotaa aettamalla piirin tuloporttiin tetivirta I tet ja ratkaiemalla porttiin aiheutuva jännite muodoa: U in U Thev R Thev I tet. (k. PT harj. 4) Vataavati Nortonin ekvivalentti aadaan aettamalla tuloporttiin tetijännite U tet ja ratkaiemalla portin virta muodoa: I in I Nort G Nort U tet. R T I in U Thev U in I tet I Nort G Nort U tet 7
8 Harjoitu VERKKOYHTÄLÖIDEN MUODOSTAMINEN: Silmukkamenetelmä: Silmukkamenetelmää tuntemattomat virrat jaetaan verkon ilmukoita kiertäviin komponentteihin. Sen jälkeen kirjoitetaan Kirchhoffin jännitelain mukaiet yhtälöt jokaielle ilmukalle. Näin aadaan yhtälöryhmä, jota ilmukoita kiertävät virtakomponentit voidaan ratkaita. Solmupitemenetelmä: Solmupitemenetelmää valitaan tuntemattomiki jännitteiki eri olmujen ja yhden n. kantaolmun väliet jännitteet. Solmupiteyhtälöt kirjoitetaan kullekin olmulle Kirchhoffin virtalain mukainen yhtälö. Näin aadaan yhtälöryhmä, jota olmujännitteet voidaan ratkaita. Matriiimuotoiten verkkoyhtälöiden ratkaieminen: Silmukkavirta ja olmupiteyhtälöt voidaan kirjoittaa uoraan matriiimuotoon. Matriiiyhtälöitä voidaan ratkaita halutut virrat tai jännitteet eimerkiki Cramerin äännöllä, joa käytetään determinantteja. Eim. a 4a 5b 6c 8a b 3c Matriiimuodoa A a b c x i y Ratkaitaan muuttuja b Cramerin äännöllä: Sijoitetaan herätevektori y matriiiin A ratkaitavaa muuttujaa b vataavan arakkeen paikalle. Jaetaan edellä muodotetun matriiin determinantti alkuperäien matriiin A determinantilla ja näin aadaan haluttu ratkaiu. b ( ( rivinen determinantti laketaan kaavalla: abc def ghi a ef hi b df c de gi gh 8
9 Harjoitu OHJATUN LÄHTEEN ABSORPTIO: Ohjattu lähde voidaan muuttaa vataavaki impedaniki, jo ohjauuure vaikuttaa lähteen yli. trankonduktani g m : g m V x V x Z x V x Z x g m V x g m tranreitani r m : I x r m I r Z x V m I x x x Z x r m I x Ohjatun lähteen aborptiota ei käitelty Piiriteoria I kurilla, mutta e on ilmiönä varin helppotajuinen. Kun ohjauuure (virta tai jännite) vaikuttaa ohjatun lähteen yli, voidaan piirtää lähteen paikalle vatuken laatikkomalli. Reitanin (tai impedanin) arvon aat jännitteen ja virran uhteeta. Eimerkki aborptiota. Nyt virran I x uunta on eri, kun jännitteen. Niinpä lähteen ekvivalentti reitani on negatiivinen! 8ς I x I x 8,ς R tot < 7ς, 7ς < /ς 8ς I x 8ς I x 8ς I x I x I x Eli kertaukena PT ekata lakarita: Vatuken jännitteen ja virran uuntanuolet pitäiivät olla amanuuntaiia (conventional current). Jo ne ovat oikeati eriuuntaiia täytyy reitanin arvon olla negatiivinen (oikea vatu ei iihen kykene). I x 9
10 Harjoitu TEHTÄVÄ. H H H ς ς V I I I 3 /F F Impedanimatriiiin tulee ilmukan varrella olevat impedanit iten, että diagonaalielementille z ii tulee kaikkien ilmukan varrella olevien impedanien umma. Eidiagonaalilla ilmukoiden i ja j väliä olevat impedanit miinumerkkiinä (oletukena että ilmukkavirrat ovat kaikki amanuuntaiiki merkittynä). Kirjoita yhtälöryhmän (matriiin) oikealle puolelle ilmukkaan liittyvät jännitelähteet. Jo ilmukkavirta kiertää lähteen läpi niin että e tulee ulo plunavata, jännite laketaan poitiiviena, muutoin negatiiviena. z z z 3 I U z z z 3 I U z 3 z 3 z 33 I 3 U 3 I I I 3 Eli: kun lähteet ovat riippumattomia jännitelähteitä, ilmukkayhtälön voi kirjoittaa uoraan matriiimuotoon
11 Harjoitu TEHTÄVÄ. ς H U U ς U 3 A F A F Admittanimatriii: diagonaalielementeiki y ii tulee kaikkien olmuun i liittyvien konduktanien umma ja elementiki y ij tai y ji olmujen i ja j väliet admittanit miinumerkkienä. Kirjoita yhtälöryhmän (matriiin) oikealle puolelle olmuun liittyvät virtalähteet. Tuleva virta on plu ja lähtevä miinumerkkitä. U U U Eli: kun lähteet ovat riippumattomia virtalähteitä, olmuyhtälön voi kirjoittaa uoraan matriiimuotoon
12 Harjoitu TEHTÄVÄ 3. /ς /ς a ς v v ς b. tapa: Käytetään lähdeaborptiota Kahdennetaan aluki ohjattu virtalähde, jolloin aadaan ohjaujännite vaikuttamaan alemman lähteen yli: Monitu: Tää haaraa kulkee edelleen virta S v / / v v v Jo piirrät virtalähteiden välietä piteetä johtimen jonnekin muualle, e on allittua. Uuden johtimen virta on A: KCL: v Av / / A v v v Aborptio: ohjauuure v vaikuttaa alemman virtalähteen yli v z v ς (jännite per virta)
13 Harjoitu / / / v / v / {{ Seuraavaki muunnetaan jäljellä oleva ohjattu virtalähde ohjatuki jännitelähteeki. / / / / v o v Lähteenmuunno, jota jännitelähteen arvo: v zi v v i x v Alimmaa vatukea jännite on v ja virta on v /(ς). Samainen virta kulkee ohjetun lähteen läpi: z v x ς ς i x v v / 3/ 7/ς 3
14 Harjoitu TEHTÄVÄ 3 TOISIN.. tapa: Muodotetaan verkon Nortonekvivalentti ilmukkavirtamenetelmällä aettamalla tuloon tetijännite v tet. Muunnetaan piiriä oleva epäideaalinen virtalähde vataavaki jännitelähteeki /ς ς /ς I I N G N v tet ς v I v o I v tet Silmukkamatriiit: [ς] [A] [V] 5 3 I v I v tet v v lauuttuna I :n avulla on I ς Sijoitetaan ja iirretään ilmukkaviran kertoimet yhtälön vaemmalle puolelle: 5 3 I I v tet I 3 I I I v tet I v v tet tet ( v tet A 3 7 ( ( 7 v tet 4 3 A /7S 7/ς 4
15 Harjoitu. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Lake euraavien funktioiden Laplacemuunnoket. a) b) t c) e at d) co ϖt( e) e at in ϖt( f) u t a(, miä u(t) on ykikköakelfunktio. Olennaita on kuitenkin opetella, miten tehtävän muunnoket löytyvät ivun 9 taulukon avulla.. Lake euraavien funktioiden Laplacekäänteimuunnoket. a) b) c) d) 3 4 ( ( 3. Lake kuvan piirin jännitteen v (t) aikavate käyttämällä Laplacemuunnota. 4. Kirjoita kuvan piirille olmupiteyhtälö, joa kaikki mahdolliet alkutilat ovat mukana. LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVAT TEHTÄVÄT: 5. Kuvan 3 piiriä virran i in (t) Laplacemuunno on J/, miä J on vakio. Lake virta i out (t), kun t ja i out () A. (Oakoetehtävä 7) 6. Lake euraavien funktioiden Laplacekäänteimuunnoket. a) b) 3 c) 4 3 ( ( 3( ( Huom. c)kohdaa ei laketa oamurtoja, koka funktio voidaan muokata iten, että muunnotaulukkoa voidaan käyttää uoraan: G ( ( Vatauket teht. 5: a) ( ( R t L i out ( t J e teht. 6: a),5e t e t,5e 3t b) e t te t c) e t co ( t in t( ( 3e 3t 5
16 Harjoitu nf kς u(t) {, kun t <, kun t / kς 5u(t) v V Tranitorin ijaikytkentä: kollektori kanta αi b kollektori kanta < i b α emitteri emitteri Kuva L v in C R v Kuva i out (t) i in (t) R L Kuva 3 6
17 Harjoitu HARJOITUS. RATKAISUT LAPLACE MUUNNOS Määritelmä: Lft ( ( ft (e t dt F ( () Termi on komplekinen taajuumuuttuja, joten e t on komplekinen ekponentiaali. Muutujalla on reaalioa ρ ja imaginaarioa ϖ: ρjϖ. Fouriermuunnokea ei ole em. reaalioaa: Fmuunno mallintaa ignaaleja inimuotoiilla ignaaleilla. Reaalioan avulla Laplacemuunnokea mallinnetaan ignaaleja ekponentiaalieti kavavilla tai vaimenevilla iniignaaleilla. Laplacemuunnokea muunnetaan funkto aikataota komplekieen taajuutaoon (mm. verkkoyhtälöiden muodotaminen, taajuu ja tabiiliuutarkatelut) Käytännön lakutehtäviä kaavaa () ei käytetä, vaan turvaudutaan muunnotaulukkoon, ivu 9. LAPLACE KÄÄNTEISMUUNNOS Käyttö: differentiaaliyhtälöiden ratkaieminen: muunnetaan Laplacemuunnettu (taajutaon) ratkaiu aikataoon. Merkintätapa: L F (( ft (. Lakutehtäviä Laplacemuunnetut muuttujat kannattaa elkeyden vuoki kirjoittaa iolla. Eim. muunnotaulukoa x(t):n Laplacemuuno on X(). Matemaattieti käänteimuunno on vaikeahko tehdä, joten käänteimuunno tehdään taulukoiden avulla, k. ivu 9. Uein käytetään oamurtokehitelmää, jotta käänteimuunno pelkityii mahdolliimman ykinkertaiiki ummatermeiki. OSAMURTOKEHITELMÄ Laplacemuunnoken lineaariuuominaiuu (k. muunnotaulukko.9) mahdollitaa en, että kun Laplacemuunnettu funktio jaetaan oamurtoihin, kullekin oamurtotermille voidaan hakea erikeen vataava käänteimuunno taulukon avulla. H ( Y ( Y ( G ( p ( p (... p n ( A A A n p ( p ( p n (, () 7
18 Harjoitu Oamurtokehitelmä on mahdollita, jo ooittajan Y() ateluku < nimittäjän G() ateluku. Tällöin kertoimet A, A,..., A n voidaan määrittää joko: Laventamalla yhtälön oikean puolen termit amannimiiki ja merkitemällä ooittajat yhtäuuriki tai Heaviiden menetelmällä. Jo navat ovat moninkertaiia, käytetään mieluimmin jälkimmäitä. Jo Y():n ateluku G():n ateluku muokataan yhtälö käyttökelpoieen muotoon jakamalla kunne oamäärän ateluku < nimittäjän (vrt. tehtävä d) Huomaa kaavan () eitytapa. Kyeinen verkkofunktion eitytapa on n. nollanapa eity, joka oveltuu ivun 9 muunnotaulukon käyttöön. Liää verkkofunktioiden eitytavoita kannattaa lukea luentomateriaalita, kappale 5.3. OSAMURTOKEHITELMÄ HEAVISIDEN MENETELMÄ Lakueimerkeiä käytetään uein Heaviiden menetelmää. Nollanapamuodoa oleva verkkofunktio () kerrotaan ko. navalla ja tämän tulon arvo laketaan arvolla p i. A i H ( p i ( pi (3) Jo funktiolla H() on rkertainen napa /(p ) r, itä varten oamurtokehitelmään on kirjoitettava termit miä H ( Y ( G ( Y ( p ( r K K K r p p (... p ( r r n K n d Y ( r n(! d r n p G ( ( r p (4) Jo r : K K d d Y ( p G ( ( Y ( p G ( ( p p 8
19 Harjoitu Alla oleva taulukko on perinteieti ollut liitteenä lopputentiä Taulukko : Yleiimpia Laplacemuunnokia x(t) X() impuli χ(t) ykikköakel tai u(t) / ramppi t / n: poteni t n n! / n a: poteni (a>) t a /Φ(a) / a / (οt) / ekp.funktio e at / (a) e at a / ((a)) t n e at n! / (a) n ini in(ϖt) ϖ / ( ϖ ) koini co(ϖt) / ( ϖ ) inh inh(at) a / ( a ) coh coh(at) / ( a ) lineaariuu ax(t) by(t) ax() by() taajuuiirro e at x(t) X(a) aikaiirro x(tt) e T X() aikaderivaatta dx(t) / dt X() x() n: aikaderivaatta d n x(t) / dt n n X() n x() n x () ()... x (n) () aikaintegraali t xt ( dt X ( xt ( dt konvoluutio t xσ (gt σ( dσ o G()X() taajuuderivaatta (t) n x(t) d n X() / d n 9
20 Harjoitu Laplacemuuunnoken merkity Laplacemuunnoken merkittävimpiä ominaiuukia on, että muunnota käyttäen integrointi ja derivointi muuttuvat taajuumuuttujalla jakamieki ja kertomieki. Integrointia ja derivointia ei ii tarvita, vaan differentiaaliyhtälöt palautuvat lineaarieki yhtälöryhmäki, jota haluttu lähtöuure voidaan ratkaita matriiialgebran keinoin. Saatu tulo on taajuumuuttujan funktio, joka on itten pilkottava eim. oamurtokehitelmänä niin pieniin oiin, että jokaielle ummatermille löytyy käänteimuunno. AIKAVASTEIDEN LASKEMINEN ALKUEHTOINEEN Taulukon 3 kaavoja käyttämällä aadaan perukomponenttien virtajänniteyhtälöt alkuehtoineen muotoon, jotka voidaan ijoittaa uoraan ekä olmupite että ilmukkavirtayhtälöihin. Taulukko 3: Komponenttien virtayhtälöt alkuehtoineen U() I() R L R I ( G U ( L I ( Li ( U ( i ( L C I ( u ( C C U ( Cu ( Tentiä voi tarvita taulukon 3 kaavoja, mutta niitä ei tarvite opetella ulkoa. Kaavat aadaan johdettua helpoti edellien ivun taulukota aikaderivaatan Laplacemuunnokella: aikaderivaatta dx(t) / dt X x() Laketaan enin kapaitanin virtayhtälölle Laplacemuunno. i C ( t C du C ( t Laplacemuuunnetaan dt I C ( C Ζ U C ( u C ( C U C ( Cu C ( Vataava jänniteyhtälö aadaan ratkaiemalla U C () edellietä tuloketa: I C ( C U C ( Cu C ( U C ( I C ( u C ( C
21 Harjoitu Vataavat lakelmat induktanille, aloitetaan jänniteyhtälötä: u L ( t L di L ( t dt (ratkaie ite...) SINI JA KOSINIFUNKTIOT KOMPLEKSIOSOITTIMILLA (EULER) Toiinaan käänteifunktion ratkaiu aadaan elkeämpään muotoon, kun käytetään ini ja koinifunktion komplekiooitineitytä. Kyeiet kaavaat aadaan johdettua Eulerin kaavalla: e jϖt coϖt jinϖt inϖ t e jϖt e jϖt j coϖt e jϖt e jϖt TEHTÄVÄ. a) L ( e t dt b) Lt ( te t d t Käytetään oittaiintegrointikaavaa: uϒv uv uvϒ Nyt t v ja e t uϒ, joten e t e ( a)kohdaa on kyeeä n. ykikköakelfunktio, jota uein merkitään funktiolla u(t) ykköen aemeta. u(t) {, kun t <, kun t / Jo vaikkapa Laplacemuunnetaan vakio A, muunnokeki tulee A / eli A/.
22 Harjoitu TEHTÄVÄ. c) Le at( e at e td t e a (t dt Nyt kun < a, integraali ei uppene > a, integraali uppenee a e a (t () Oletetaan > a () a Ζ e e a a d) L co ϖt( (? Käytetään koinin komplekiooitin eitytä co ϖt( e jϖt e jϖt co ϖ t (e t dt Ζe j ϖ (t e jϖ ( t dt j ϖ e j ϖ (t jϖ e j ϖ ( t e:n potenien reaalioat ovat negatiiviet laueke uppenee j ϖ j ϖ j ϖ j ϖ j ϖ ( jϖ ( ϖ ( ϖ
23 Harjoitu TEHTÄVÄ. e) Le at in ϖt( ( e at in ϖt (e t dt Käytetään inin komplekiooitin eitytä in ϖt( e jϖt j e jϖt e a t e j ϖ t e j ϖ t j e td t e j ϖ a j dt e jϖ a (t e t ( t e t dt e j j ϖ a (t dt e jϖ a ( t dt j e jϖ a (t jϖ a e j ϖ a ( t vrt. d)kohta jϖ a ( j j ϖ a j ϖ a j j ϖ a ( j ϖ a ( j j ϖ a j ϖ a ϖ a ( j ϖ j ϖ a( ϖ a( ϖ f) L u t a( ( Kyeeä on viivätetty ykikköakelfunktio u t a( t; a t a a t L u t a( ( e t dt a a e t e e a e a vrt. a)kohta 3
24 Harjoitu TEHTÄVÄ. Jaetaan muunnolauekkeet oamurtoihin, joiden käänteimuunnoket nähdään taulukota a) L 4 F ( 4 4( A. tapa: Lavennetaan amannimiiki: B 4 F ( A 4( B A 4( B 4( A B 4A A B B A A 3 B 3 F ( 3 Joten 4 L F (( 3 e 4t vrt. a) ja c). tapa: Heaviiden kaavalla: A F ( B 4( F ( ft ( kuten edellä b) L Jaetaan oamurtoihin ( F ( A B C ( 4
25 Harjoitu Heaviiden kaavalla: A F ( ( B ( F ( C d ζ ( F ( d d d F ( ( ft ( L F (( te t e t c) L ( Oamurto: F ( ( Ζ j( j( j( j( Nähdään, että j ja j ovat kakinkertaiia nollakohtia, joten oamurtokehitelmäki tulee: F ( A B C D j( j j( j A j( F ( j j( j( j 4 B d Ζ j( F ( d d d j( j( 3 j( 3 j j j 4 j C j( F ( j j( j( j 4 D d Ζ j( F ( d d d j( j j j( 3 j j( 3 4 j F ( 4 4j 4 4j j( j j( j 5
26 Harjoitu ft ( te jt 4 e jt 4j 4 te jt e jt 4j t e jt e jt e jt e jt j Käyttämällä inin ja koinin komplekiooitin eitytä ft ( tcot int d) L Ooittajan ateluku > nimittäjän ateluku jaetaan 3 v in 3 3, Tehtävä 3. R, v V v in F ( ft ( χϒϒ t( χϒ ( t χt ( e t Käytetään tranitorin tilalla ykinkertaita ijaikytkentää C R i R C i b i c i b i v R V v in (t) 5u(t) Rkς Rkς v o ( t V R i i i b i c i b i b i i c CnF 5 C R t d v d o ( t, miä u(t) {, kun t <, kun t / Tarkatellaa oikeanpuoleita ijaikytkentää Kiinnotava uure on v, kun t, joten u(t):n voi aettaa ykköeki. v o ( t R 5 C d v R d t o ( t jota 5R v o ( t R R C d vo ( t dt 6
27 Harjoitu Differentiaaliyhtälö johdettiin kuten PT:ä pelkätään vertailun vuoki. Aloitetaan dctilanteen tarkkailulla, että aadaan alkutila elville. Tämä on tuttua puuhaa... Kondenaattorihan on dctilanteea avoin piiri, joten i c (). Myö i b, koka ini ja akefunktio ovat nollia kun t. Koka ii b, R on virraton ja v o () V i R i b i c i b i v R V Lähdetään alkuperäietä piirikaaviota eli muodotetaan yhtälö kuten edelliellä ivulla. Erona on e, että käytetään Laplacemuunnettuja virtoja ja jännitteitä. x(t) X() d v ( t V ( v ( dt o o Nämä uureet ovat ii komplekien taajuumuuttujan funktioita, ja ne kirjoitetaan elvyyden vuoki iolla. K (vakio) K DCjännitelähde on aikataoa vakio, ja Lmuunnettuna e on vakio jaettuna eli tulkitaan akelfunktioki. K v ( t K V ( V o ( I ( R I ( I b ( I c ( I b ( I b ( I ( I c ( L 5 C d vo ( t R d t 5 R C ΖV ( v ( alkutila, V V o ( V o ( R I b ( R 5 R C ΖV ( v ( 7
28 Harjoitu Käytetään kompenettien lukuarvoja ja ratkaitaan V (): V ( V ( v ( V ( (3), v () akohdata Tehdään oamurto termille ( ( A B A B 4 (3) V ( V ( Lopuki Laplacekäänteimuunno: v ( t 5e t 4 X() x(t) 5 3 5e t 4 4 8
29 Harjoitu Tehtävä 4. Kuvan piirille olmuyhtälö alkuehtoineen. Solmupitemenetelmää kirjoitetaan kuhunkin tuntemattomaan olmujännitteeeen liittyvien virtojen umma. Alkutilat ovat kelan virran alkutila ja kondenaattorin jännitteen alkutila, i() ja v (). L v in C R v R L C G I() U ( U ( i ( L C U ( Cu ( vatau: V ( V in ( i ( V ( C V L ( Cv ( R Toiinaan tentiä on tehtäviä, joa piiriä on nollata poikkeava alkutila. Tällainen tehtävä ei ole vaikea, kun hokaat miten taulukon 3 (ivu ) virta ja jännitekaavat aadaan johdettua. Jo piiriä on nollata poikkeava alkutila, ratkaiua ei voida käyttää eim. jännitejaon tai virtajaoin kaavoja. Kirchhoffin lait eli olmupite ja ilmukkavirtamenetelmät toimivat tää tapaukea. Jo alkutilat ovat nollia, poita alkuarvoja iältävät termit. Nollaalkuarvoilla myö jännitejaon tai virtajaon kaavaa voidaan käyttää. Tätä eimerkkeina euraavan ivun laku ja tehtävä 6. Harjoitukea laketaan tehtävän 4 piirille jännitteeniirtofunktio. Siirtofunktioiden tapaukea alkutilat oletetaan automaattieti nolliki. Nyt aatua tulota voi käyttää apuna (aeta alkutilat nolliki). 9
30 Harjoitu YLIMÄÄRÄINEN ESIMERKKI RCpiirin akelvate lakettiin PT:n harjoitukea 6. Vataava laku käyttäen Laplacemuunnota menee näin: R u in (t) C u out (t) u c () V u ( t in E, kun t {, kun t < joten U ( E in U ( out U ( C E C E RC in R R C C RC E RC RC x(t) e at X() a a( t RC u out ( t E Ee Jännitejaon kaavaa voitiin käyttää, koka alkuehto oli nolla. (muutoin käytetään olmupite tai ilmukkavirtayhtälöitä) Ratkaiu löytyii myö oamurtokehitelmällä, mutta itä ei nyt tarvittu koka tarvittu muunnopari löytyi taulukota. Vataavanlainen Laplacemuunnopari oli myö tehtävää 3b. Siinä käytettiin oamurtokehitelmää, jotta Laplacemuunnettu verkkofunktio aataiiin mahdolliimman ykinkertaieki käänteimuunnota varten (ooittajaa 3 ). Entäpä jo u c () oliikin nollata poikkeava? Tällöin jännitejaon kaava ei toimi ja käytetään Kirchhoffin lakeja, kuten edelliellä ivulla ohjeitettiin. Kokeillaan molempia, eli kirjoitetaan yllä olevalle piirille ekä olmu että ilmukkayhtälö (piirrä kuvaan maaolmu JA ilmukkavirta I() myötäpäivään): Solmuyhtälö Silmukkayhtälö U out ( U in ( U R out ( C C u c ( R I ( I ( u c ( U C in ( Kumpaa yhtälöä kannattaa käyttää? Riippuu iitä mitä ollaan ratkaiemaa: jännitettä tai virtaa. Yllä olevata olmuyhtälötä pitäii aada ama tulo u out (t), kun u c () merkataan nollaki. 3
31 Harjoitu 3 3. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Lake kuvan piirille a) Yleinen tranienttivateen Laplacemuunno. b) acjänniteiirtofunktio V /V in. c) Lähtöjännitteen ooitin taajuukilla Hz ja khz, kun tulojännitteen ooitin on º. d) Jänniteiirtofunktion V /V in nollanapakartta.. Yhditä kuvan akelvateet ja nollanapakartat (a) (b) (c) (d) x x x x x /4 x /4 /4 x x ().8.6 () (3) (4) Kuva LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVA: 3. Lake kuvan 3 piirille lähtöjänniteen ooitin taajuudella ϖrad/ ja ϖrad/ ja piirrä jänniteiirtofunktion nollanapakartta. Tee tämä kumpaiellekin komponenttiarvoille a) ja b). Viime lakuharjoitukea lakettiin piirille 3 olmuyhtälö alkutiloilla. Tulota voidaan käyttää tää tehtävää (merkite alkutilat nolliki). 3
32 Harjoitu 3 nf kς v in kς v V kollektori kanta αi b kollektori kanta < i b α emitteri emitteri Kuva co(ϖt ο/4) L C R v a) b) C F L /H R /3ς C /F L /H R /ς Kuva 3 Vatauket: Teht. 3: rad/ rad/ a) V.63 7 V. 8 b) V.8 8 V.4 3
33 Harjoitu 3 HARJOITUS 3. RATKAISUT TEHTÄVÄ. a) Harj. tehtävää 3 aadaan herätteellä vin(t) piiriä kuvaavaki differentiaaliyhtälöki aikaalueea: v o ( t V R vint ( C d v d t o ( t R Lmuunnettuna: d v o ( t vo ( t dt R C V ( V ( v ( R C V R C v in ( t R C V R C 4 V in ( ijoitetaan: R kς R kς C nf ja v ()V V ( 4 4 V 3 in ( 3 ( 3 Tehdään oamurto termille 4 3 ( 4 A B 3 ( 3 4 A 3 4 B V ( 3 4 V in ( V in ( 3 33
34 Harjoitu 3 TEHTÄVÄ b) Acjännitteeniirtofunktio a) kohdaa V ( v ( V V ( 3 V 4 V R C in ( Taajuuvateen analyyiä oletetaan, että piirin kaikki alkutranientit ovat vaimenneet ja vate on kokonaiuudeaan pakotettua acvatetta (n. teadytate tilanne). Poitetaan dcjännitelähteen vaikutu ekä alkuehto v o () V ( v ( V V ( 3 V 4 V R C in ( V o ( 3 4 V ( in V ( o V in ( V ( o 4 V in ( 3 4 jϖ 4 jϖ 34
35 Harjoitu 3 TEHTÄVÄ c) Tulojännitteen ooitin V o ο( 4 j ο( 4 8 ο( atan ο ,9 8 3, V o ο( ,9 j ο( ο( 8, d) V o ( V in ( 4 nollanapakartta Imag napa: (reaalinen) x Real nolla: (reaalinen) TEHTÄVÄ (a) x Navat piteiä j x H ( p( p) ( j ( j( 35
36 Harjoitu 3 Akelvateen Lmuunno: Lut ( ( R ( k k k 3 j j k R ( k j(r ( j j( j j( j( 4 k 3 j(r ( j j( j j( j (j j ( j j( 4 R ( j( j( 4 4 j j L R (( rt ( 4 j(e j(t j(e 4 j(t e 4 j (t j e 4 j (t e 4 j (t e t Ζ 4 e jt e jt j e t Ζ 4 e jt e jt e t Ζe jt e jt e t co t e t int e t j e 4 Ζe jt e jt j j (t e t Ζco t in t vataa akelvatetta () 36
37 Harjoitu 3 b) Muodotetaan aluki verkkofunktio (kuten akohdaa), jolle laketaan vate, kun tuloherätteenä on akelpuli. x /4 x Navat piteiä (/4 j) ja (/4 j), nolla nollaa F ( j 4 j 4 6 Kerrotaan F() akelvateen Lmuunnokella / R ( F ( 6 Tehtävä on helpointa ratkaita kirjoittamalla R() ekponentiaalieti vaimenevan iniaallon Lmuunnota vataavaan muotoon (huom! komplekiet napaparit aiheuttavat aina inimuotoien vateen): Le at ϖ in ϖt( ( a( ϖ R ( jonka käänteimuunno on rt ( e 4 vataa akelvatetta () (vaimeneva inivärähtely, jonka vaiheiirto ) c) t 4 in t ( x /4 x 37
38 Harjoitu 3 Navat piteiä (/4 j) ja (/4 j) F ( R ( j j 4 4 F ( 6 6 Tehtävän voi ratkaita kokonaan Heaviiden kehitelmällä, mutta tää tapaukea en käyttö vaatii paljon lakemita johtuen komplekiita navoita (ja inimuotoieta vateeta). Ratkaitaan tehtävä helpommin kirjoittamalla toien ateen termi yleitä vaimenevan iniaallon Lmuunnota vataavaan muotoon (myö edellien tehtävän voi lakea näin): R ( k a b 6 Laketaan vakio k Heaviiden menetelmällä: k 6 R ( 7 Laketaan euraavaki a ja b käyttämällä k :tä ja laventamalla amannimiiki: k k a b( k 6 a( 7k b 6 { k a k b { a k b k Kirjoitetaan euraavaki. ateen termi inin ja koinin Lmuunnokia vataavaan muotoon (vrt. edellieen tehtävään): k k k 3 k 7 3 k 4 38
39 Harjoitu 3 { 6 k 3 7 R ( 4 k rt ( t t e ( t 6 4 in e co t ( e 7 t 4 Ζ4 in ( t 6co t( 7 akelvate (4) (lähetyy T:n kavaea arvoa 6/7 ) d) x /4 x Navat piteiä (/4 j) ja (/4 j), kakinkertainen nolla nollaa F ( j 4 j 4 R ( F ( 6 Kirjoitetaan R() jälleen vaimenevan inin ja koinin Lmuunnokia vataavaan muotoon: rt ( e 4 6 k k 4 k R ( 4 k k 4 4 R ( t 4 in ( t co t( 4 { k k 4 39
40 Harjoitu 3 akelvate (3) (lähetyy t:n kavaea nollaa) 4
41 Harjoitu 4 4. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Yhditä kuvan piirien jännitteeniirtofunktiot V out /V in kuvan nollanapakarttoihin. Numero nollanapakartan kirjaimen perää kertoo, montako piiriä kyeieen karttaan liittyy. Kuvan komponenttiarvojen ykiköt ovat ohmeja, henryjä ja faradeja. Lukuunottamatta piirejä (6) ja (4) tulo on vaemmalla ja lähtö oikealla. a () () (3) / (5) (4) (8) v in (6) (7) v out / / (9) / / () () / / (4) /3 () (3) v in v out / Kuva 4
42 Harjoitu 4 nolla (ooittajan nollakohdat) x napa (nimittäjän nollakohdat) (a,) (b,3) (c,) x x x (d,) x x.6.38 (e,) x j x j (f,) x (g,) x j (h,) x j (i,) x j j x j x j x j j Kuva Piirien () ja () nollanapakartat ratkaitaan lakuharjoitukia. Liäki laketaan ylimääräinen tehtävä 4
43 Harjoitu 4 HARJOITUS 4. RATKAISUT OPERAATIOVAHVISTINKYTKENTÖJEN ANALYSOINTI Oletetaan operaatiovahvitin ideaalieki, jolloin. Tulonapojen impedani. Operaatiovahvitimen jännitevahvitu 3. Tulonapojen välinen jännite (eurau kohdata ) 4. Lähtöimpedani Analyoidaan piiri () näiden oletuten pohjalta V in I R I V I 3 C C I 4 R V x V out R /ς R ς C F C F Oletuken 3. peruteella jännite V x, koka poitiivinen tulonapa on maadotettu. Sovelletaan Kirchoffin virtalakia piteeeen V. I I I 3 () V in V V I V out V V x, I, I C ( 3 C ( R V C ( () V in V C V V out ( C V () R Oletuken. peruteella I 3 I 4, koka operaatiovahvitimen äärettömään tuloimpedaniin ei mene virtaa. V x V out V C V out V out V R C (3) R R () & (3) V in R V out R R C C V out C R C V out C V out R C 43
44 Harjoitu 4 V out V in R C R C C R R C C Sijoitetaan R /ς, R ς, C F, C F V out V in Nimittäjän nollakohdat: 4 4 j j V out V in j ( j( nolla nollaa navat j ja j Vataa kuvan nollanapakarttaa (e) Piiri () V out Z V out V V in in Z Jännitejaon peruteella V out V in Z Z Z R Z C R {{ R C, Z R R C R C V out R R R R C R R C R C V in R R R R R R C R R C R R R C R R C R C R C R C nolla napa vataa nollanapakarttaa (c) 44
45 Harjoitu 4 (3) C R ς C F V in R V out V out R RC kartta (b) V in R RC C RC (4) R R V I C C V V out /C * I in out I? I R ς C F Laketaan I V in R C C C R C I I, jota I R C V in V C C in R C C R 3R C C R C C CV in RC( 3RC I V out C V in RC( 3RC V out V in RC( 3RC 3,6(,38( kartta (d) 45
46 Harjoitu 4 (5) V in C R R R ς R ς C F I I I I V out V in V I out, I C R R R V in C V out R V out V in R R C RC R R kartta (b) (6) V in R a R v out b R C R ς R ς R ς C F R V a V, R R in V in V C b R C V V in RC in V out RC RC V in RC RC ( RC kartta (f),5 ( 46
47 Harjoitu 4 V in (7) R /ς R /ς I v I out C F V in R C I R I V in V I out V in, I C R V out V R in R C R C R V out R C V in CR R ( R R CR R ( R C R C R R C ( kartta (c) (8) V in C L V out C F L H _ V out V in L LC L LC C j j LC LC LC j( j( kartta (h) (9) V in R C L V out C /F L H R ς 47
48 Harjoitu 4 V out V in {{ L L C C L C R {{ L C R L L C C L RCL L R RC RC LC L C R C RL L C kartta (e) () Z V in Z R R C V out R ς R ς C F Piirin (5) pohjalta voidaan johtaa lakuääntö invertoivalle operaatiovahvitinkytkennälle: V out Z R {{ C R C( R C R R C R C R C V in Z R R kartta (a) R (3) V in R C V out R ς C F V out V in C RC R C RC RC kartta (a) 48
49 Harjoitu 4 (4) V in R a R v out R 3 b R R /3ς R ς R 3 ς R ς L H C /F L C V R a 3 Vin V R R 4 in V R L C b R 3 R L C V LC RC V in in LC C R R 3 ( R L LC R R V in V 3 L in LC V out V in V a ( 4 V in V b V in j ( j ( 4 j ( j( kartta (i) 49
50 Harjoitu 4 H4 YLIMÄÄRÄINEN TEHTÄVÄ: TENTTITEHTÄVÄ Lake kuvan 3 piirin lähtöjännite v out (t), kun t ja v in (t) on ykikköakelfunktio. Piiriin ei ole varatoitunut energiaa hetkellä t (eli laketaan nollaalkuehdoilla). Voit käyttää apuna taulukkoa 4. λf vin ς λf kς vout Kuva 3 Taulukko 4: Joitain Laplacemuunnopareja x(t) X() ykikköimpuli χ(t) ykikköakel u(t) / ramppi t / ekp.funktio e at / (a) ekp.funktio t n e at n! / (a) n 5
51 Harjoitu 5 5. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Kuvaa on edellien harjoituken nollanapakartat ja niihin liittyvät piirit iirtofunktioineen. Kuvaa on kaikkien piirien taajuuvateet eli amplitudi (mag) ja vaihe (phae) taajuuden funktiona. Vaiheen ykikkönä on ate. Päättele iirtofunktion avulla, mitkä vateet ja piirit vataavat toiiaan. (a) () (3) x V out V in V out V in (b) (5) () / x V out V in V out V in,5 / (c) () (7) x / / V out V in Kuva V out V in ( 5
52 Harjoitu 5 (d) (4) x x.6.38 V out V in 3 (e) x j x j () / V out V in V out V in (9) / (f) (6) x V out v in v V out in,5 ( (g) x j () x j / V out V in (h) x j (8) V out V in x j (i) x j j (4) /3 v in v out V out V in,5 ( x j j / Kuva 5
53 Harjoitu 5 ().5 Mag ().5 Mag ϖ (rad/) 8 35 Phae ϖ (rad/) (3) (4).5 Mag Phae ϖ (rad/) Mag ϖ (rad/) 45 9 Phae ϖ (rad/) Phae ϖ (rad/) (5) (6) Mag ϖ (rad/) ϖ (rad/) Mag ϖ (rad/) 8 35 Phae Phae ϖ (rad/) ϖ (rad/) Kuva 53
54 Harjoitu 5 (7) (8) Mag ϖ (rad/) Phae ϖ (rad/) (9) () ϖ (rad/) 5 5 Mag Phae ϖ (rad/) 5 Mag.5 Mag ϖ (rad/) 8 35 Phae ϖ (rad/) ϖ (rad/) 5 5 Phae ϖ (rad/) ().5 Mag () Mag ϖ (rad/) ϖ (rad/) Phae Kuva ϖ (rad/) 9 45 Phae ϖ (rad/) 54
55 Harjoitu 5 HARJOITUS 5. RATKAISUT TAAJUUSVASTE, SIIRTOFUNKTIO JA NOLLANAPAKARTTA: Taajuuvateella tarkoitetaan piirin teadytate vatetta (amplitudi ja vaihevate) inimuotoielle tuloignaalille. Sen voi aina lakea uoraan iirtofunktiota ijoittamalla :n paikalle jϖ ja lakemalla iirtofunktion iteiarvo ja vaihe eri ϖ:n arvoilla. Tehtäväpaperita nähdään, että amalla nollanapakartalla voi olla ueita eri piiritoteutukia ja iihen voi liittyä ueita iirtofunktioita riippuen vakiotermitä. Tämän vuoki tietyn piirin aboluuttita vaihe ja amplitudivatetta ei voi määrittää pelkätään nollanapakartan peruteella, vaan myö vakiotermi täytyy tuntea. Vakiotermin iteiarvon muuttuminen vaikuttaa vain amplitudivateeeen, kun taa vakiotermin merkin muuttuminen vaikuttaa ainoataan vaihevateeeen. Amplitudija vaihevateen perumuoto voidaan kuitenkin aina päätellä pelkän nollanapakartan peruteella, koka iihen vakiotermin muuttuminen ei vaikuta. Kuvaa 3on erä nollanapakartta ja itä vataava iirtofunktion H iteiarvo. Iteiarvokuvaaja on 3ulotteinen, koka nyt komplekiella taajuumuuttujalla on reaalija imaginäärioa. Navat ovat pinnan kohtia, joia H(ρjϖ) ja nollat kohtia, joia H(ρjϖ). Reaalioa vataa aikataoa ekponentiaalieti vaimenevaa tai kavavaa termiä. Nyt kun vate on jatkuva ja inimuotoinen, reaalioa on nolla. Siniherätteen graafinen taajuuvate iten on 3ulotteien pinnan leikkau jϖakelia pitkin (kuva 4a). Yleenä taajuuvatetta lakettaea käytetään vain poitiiviia ϖ:n arvoja, kuten kuvaa 4b. Tää harjoitukea etitään iirtofunktiota vataava taajuuvateen kuvaaja. Käytännöä tämä tapahtuu lakemalla iirtofunktiota valikoiduilla taajuukilla iteiarvo ja vaihe. Muitin virkitämieki euraavalla aukeamalla on kertauta ooitinlakennan äännöitä. 55
56 Harjoitu 5 jϖ navat nollat ρ jϖ H(ρ jϖ) ρ jϖ eli Im akeli ρ eli Reakeli Kuva 3. (a) H() :n leikkau jϖakelin kohdalta jϖ (b) H() ϖ < ϖ <.5 ρ likimääräinen amplitudivate (iteiarvo) jϖ Kuva 4. 56
57 Harjoitu 5 z x jy A x y ε y arctan x komplekinen vektori (uorakulmainen muoto) vektorin pituu vektorin vaihekulma z Ae jε A ε A co ε( j A in ε( komplekinen vektori (ooitinmuoto) Imag j 8 o Reaalien ja negatiivien vektorin vaihekulma on 8 o. Imag 7 o j 7 o 9 o j 8 o Real 9 o Real j j Jo laketun vaihekulman iteiarvo on > 8 o, valitaan yleenä vatakkainen kiertouunta. z x jy A ε z x jy A ε Summau z z x x jy y( Erotu z z x x jy y ( Kertolakut z z A ε A ε A A ε ε ( jakolakut z z A ε A ε A ε ε ( A poteniin korottaminen z n A ε ( n n A n ε ( 57
58 Harjoitu 5 PIIRI () ϖ, ϖ ϖ / jϖ jϖ 8 o ϖ arc tan ϖ 8 o 74 o o o 45 o,7 35 o 8 o 84 o, 96 o Nähdään, että ainoa lakettuja amplitudi ja vaihearvoja vataava tehtäväpaperin taajuuvate on numero (5). (5) Mag ϖ (rad/) 8 35 Phae ϖ (rad/) 58
59 Harjoitu 5 PIIRI (3) Jänniteiirtofunktio eroaa edellietä vain vakiotermin etumerkin oalta, joten en amplitudivateen täytyy olla ama, kuin piirillä (). Myö vaihevateen muoto on ama, mutta arvot ovat 8 :een vaiheiirroa edellieen. Näiden ehtojen peruteella piirin (3) taajuuvate on numero (4). (4).5 Mag ϖ (rad/) Phae ϖ (rad/) PIIRI (5) ϖ, ϖ ϖ > jϖ jϖ jϖ 8 o ϖ 9 o ϖ ϖ arc tan o 9 o 95 7 o o 9 45 o,4 35 o o 9 84 o 74 o 59
60 Harjoitu 5 taajuuvate () ().5.5 Mag Phae ϖ (rad/) PIIRI (),5 Siirtofunktio eroaa piiritä (3) ainoataan vakiotermin oalta. Suurilla taajuukilla iteiarvo lähetyy arvoa.5. piiriä vataa taajuuvate () ().8.6 Mag ϖ (rad/) 8 9 Phae ϖ (rad/) 6
61 Harjoitu 5 Laketaan loputkin tehtävät ijoittamalla ϖ:n paikalle,rad/, rad/ ja rad/. Iteiarvojen ja vaiheiden lakemien jälkeen etitään vataavat taajuuvatekuvaajat. Voit haluteai käyttää muitakin taajuukia. Voit kirjata tulokia euraavan taulukkoon, eimerkiki piirin () iteiarvot ja vaiheet em. taajuukilla on jo lakettu malliki. Ooitinlakenta on tärkeä apuväline monea kuria. Uein PT tentiä on tehtävä, joa piirretään taajuuvate käyttäen harjoitukea 6 opittavaa taajuuvateen viivaapprokimaatiota. Ooitinlakennalla voi tarkitaa tietyllä pitetaajuudella, onko oman approkimaation iteiarvo tai vaihe oikein. Lakaria 6 graafinen taajuuvate piirretään iten, että taajuuakeli on logaritminen (tää lakaria e on lineaarinen) ja iteiarvot ilmaitaan deibeleinä (tää e oli lineaariateikolla). 3 Eimerkki: verkkofunktio on H ( ja haluat tietää, mikä on iteiarvon ja vaiheen tarkka arvo taajuudella ϖ<///. Iteiarvo laketaan deibeleina, log tarkoittaa tää kantaita logaritmia. log Hjϖ ( 3 log jϖ log 3 ( log jϖ( ( ϖ ( log 3 ( log j( ( 6dB 6 4dB db H(jϖ):n vaihe taajuudella ϖ</// aadaan: Hjϖ ( 3 arctan 3 arc tan ϖ ϖ ( arctan ( arc tan o o 84 3 o 6
62 Harjoitu 5 piiri () (7) (4) () ja (9) (6) () (8) (4) iirtofunktio Mag, ϖ, Mag, ϖ Mag, ϖ Phae, ϖ, Phae, ϖ Phae, ϖ (,5,63,99,85 8,43 5,6 3,5 (,5 ( h vate (8) () (3) () (6) () (9) (7) 6
63 Harjoitu 6 6. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Piirrä euraavien verkkofunktioiden Boden amplitudi ja vaihekuvaajat a) Hjϖ ( b) Hjϖ ( jϖ( Ζ jϖ ( jϖ jϖ( Ζ jϖ ( c) Hjϖ ( jϖ( jϖ( Ζ jϖ (. Eti kuvan Boden amplitudikuvaajia vataavat verkkofunktiot. 3. Eti kuvan Boden vaihekuvaajia vataavat verkkofunktiot 4. Piirrä euraavan verkkofunktion Boden amplitudi ja vaihekuvaajat Hjϖ ( Ζ jϖ 3 jϖ( Ζ jϖ,( Ζ jϖ( ( { H { db) (a) { H { db) (b) ϖ (rad/) ϖ (rad/) Kuva 63
64 Harjoitu 6 H (deg) 45 (a) H (deg) 9 (b) ϖ (rad/) 7. ϖ (rad/) Kuva LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVA: 5.a) Määritä kuvan 3 vaihekuvaajaa vataava verkkofunktio. (vertaa tehtävään 3) b) Piirrä akohdan verkkofunktiolle Boden amplitudikuvaaja, kun verkkofunktion vakiotermi K on. H(jϖ) (deg) Kuva 3. ϖ (rad / ) 64
65 Harjoitu 6 BODEN KUVAAJAT Boden kuvaaja on taajuuvateen graafinen eity. Erona edellien harjoituken taajuuvateiden eitykeen on e, että taajuuakeli on Boden kuvaajaa logaritminen ja amplitudikuvaaja eitetään deibeliateikolla. Logarimien taajuuateikon käyttämien yy elvinnee alla olevata eimerkitä. Siinä on eitetty tehtävän b) verkkofunktion tarkka taajuuvate ekä lineaariilla että logaritmiilla ateikoilla. Lineaarinen taajuuateikko kätkee verkkofunktion kaitanpäätöluonteen, eli iteiarvo pienellä taajuudella ei olekaan, kuten vaemmata iteiarvokuvaajata voitaiiin tulkita. Myö vaihekuvaaja on paljon elkeämpi logaritmiella taajuuateikolla: nurkkataajuudet, joia vaihe taittuu, ovat helpommin havaittavia. Verkkofunktioiden iteiarvoilla voi olla eri taajuukilla uuria vahvitukia ja uuria vaimennukia, joten iteiarvokuvaajat eitetään deibeliateikolla. Eimerkiki 4dB on lineaariateikolla,, mikä on melko hankala havaita jo lineaarinen ateikko on vaikkapa nollata tuhanteen. Lineaariet ateikot Logaritmiet ateikot iteiarvo iteiarvo (db) taajuu rad/ (lineaar.) 3 taajuu rad/ (logateikko) vaihe vaihe taajuu rad/ (lineaar.) 9 3 taajuu rad/ (logateikko) 65
66 Harjoitu 6 BODEN KUVAAJIEN PIIRTÄMINEN Kuvaajia ei piirretä tarkan ooitinlakennan avulla, vaan n. viivaapprokimaatioiden avulla (traightline approximation), joiden avulla kuvaajien piirto ruutupaperille on mahdolliimman nopeaa. Piirtoäännöt ovat ivuilla 697, mutta itä ennen hiukan pohjututa. Kun kuvaajia aletaan piirtää, verkkofunktio kirjoitetaan muotoon Hjϖ ( K Ajϖ (,miä K on vakiotermi, A ja B ovat ooittaja ja nimittäjä. Bjϖ ( Jotta Boden kuvaajien piirtäminen menii oikein, reaaliet ja komplekiet nollat ja navat ovat kirjoitettuna tietyä tandardimuodoa, joka on muokattu verkkofunktion nollanapa eityketä. Reaaliet nollat ja navat. Jo H(jϖ) iältää vain reaaliia nollia ja napoja, e on muotoa: Ζ Hjϖ ( K jϖ ϖ z ( Ζ jϖ ϖ z ( Ζ jϖ ϖ zm ( Ζ jϖ ϖ p ( Ζ jϖ ϖ p ( Ζ jϖ ϖ pn (, (5) miä ϖ z...ϖ zm ja ϖ p...ϖ pn ovat nurkkataajuukia, joia amplitudivateen jyrkkyy muuttuu. Siirtofunktion nollanapaeitytä käytettiin edelliiä lakareia (eim. käänteimuunnoket). Eimerkiki H ( muokattaiiin tää lakaria muotoon ( ( ϖ K z ϖ p ϖ p, miä K, ϖ z rad/, ϖ p rad/ ja ϖ p rad/ Lakuohjeia eitetään jϖ, joten jϖ j ϖ ϖ K z j ϖ jϖ j ϖ jϖ ϖ p ϖ p 66
67 Harjoitu 6 Komplekiet nollat ja navat: Jo A(jϖ) ja B(jϖ) iältävät komplekiia nolla ja napapareja, niiden aiheuttamat termit ovat muotoa: jϖ( j ϖ ( Q z ϖ z ϖ z Hjϖ ( K jϖ( j ϖ ( Q p ϖ p ϖ p. (6) Qluku (eim. Q z ) on termi, jolla voidaan approkimoida amplitudivateen piikitytä ja vaihevateen jyrkkyyttä., Q z ja ϖ z aadaan verta Jo eimerkiki A(jϖ) on muotoa jϖ 3 jϖ( amalla kaavan (6) ooittajan muotoa: jϖ 3 jϖ( jϖ 3 j ϖ ( jϖ( j ϖ ( Q z ϖ z ϖ z Näin ollen ϖ z on ja Q z on 3/. Kun piirretään taajuuvatetta, reaaliet/komplekiet nollat ja navat on aina kirjoitettava kaavojen (6) ja (7) mukaieti Jo näin ei tehdä, vakiotermi menee erittäin todennäköieti pieleen. Eimerkkinä iirtofunktio, joa reaalinen napa: H ( Siirtofunktio H() muokataan ennen piirtämitä euraavati: H ( jϖ Eli vakiotermi K onkin eikä! 67
68 Harjoitu 6 DEKADI, DESIBELI Amplitudi ja taajuukuvaajia taajuuakeli on logaritminen, perutuen yleenä kantaieen logaritmiin. Tällöin taajuu kavaa taavälein kymmenkertaieki. Taajuuväliä, joa taajuu on kavanut kymmenkertaieki, kututaan dekadiki log ϖ 4 5 ϖ Ζrad/ Amplitudikuvaajaa verkkofunktion iteiarvo eitetään deibeleinä ( logζ{h(jϖ){ ) ja vaihekuvaajaa vaiheakeli on lineaarinen. Tehtäviä nurkkataajuudet, vakiokerroin, ja hyvyyluku (ϖ z, ϖ p, K ja Q) ovat numeeriia tunnulukuja, joiden mukaan iirtofunktion oatermit piirretään. Piirtoäännöiä pitää hokata yhditää numeeriet parametrit oikeaan piirtoääntöön, eim. nolla origoa reaalinen nolla jϖ jϖ jϖ jϖ j ϖ j ϖ ϖ K z jϖ jϖ ϖ p ϖ p vakiokerroin reaalinen napa Tehtävien iirtofunktioita näkee uoraan, onko nolla/napa reaalinen vai jopa origoa. Jo ooittajaa tai nimittäjää on toien ateen polynomi, kannattaa todeta lakemalla, ovatko nollat/navat komplekiia vai reaaliia. Jo reaaliia, eitä iirtofunktio kahden reaalien tekijän tulona. 68
69 Harjoitu 6 Vakiotermi ϑ: iteiarvo vaihe log{k{ kun K 8 kunk; {H(jϖ){ log K ϖ H(jϖ) 8 ϖ K < / K > / 8 K < / Reaalinen nkertainen nolla :a (origoa), tekijä (jϖ) n : iteiarvo nlog ϖ( vaihe n 9 {H(jϖ){ H(jϖ) ndb n9 jyrkkyy ndb/dek db / / ϖ ϖ ndb (lyhenne dek tarkoittaa dekadia eli taajuuden kymmenkertaitumita) Reaalinen nkertainen napa :a, tekijä /(jϖ) n : iteiarvo nlog ϖ( vaihe n 9 ndb {H(jϖ){ H(jϖ) jyrkkyy ndb/dek db / / ϖ ϖ ndb n9 69
70 Harjoitu 6 Reaalinen nolla, tekijä ( jϖ/ϖ z ) : db kun ϖ ; ϖ iteiarvo z vaihe db dek kun ϖ ϖ z ϖ ; ϖ z 45 dek ϖ z ; ϖ z ; ϖ z 9 ϖ z db jyrkkyy db/dek {H(jϖ){ 9 45 H(jϖ) jyrkkyy 45 /dek virhe 3dB db ϖ z./ ϖ z /ϖ z ϖ 45 ϖ z./ ϖ z /ϖ z (vaemman puolitaon nolla) ϖ 9 Reaalinen napa, tekijä /( jϖ/ϖ p ): db kun ϖ; ϖ p iteiarvo vaihe db dek kun ϖ ϖ p {H(jϖ){ db db ϖ p./ virhe 3dB ϖ p jyrkkyy db/dek 9 H(jϖ) 45 /ϖ p ϖ 45 9 ϖ ; ϖ p 45 dek ϖ p ; ϖ p ; ϖ p 9 ϖ ϖ p (vaemman puolitaon napa) ϖ p./ jyrkkyy 45 /dek ϖ p /ϖ p ϖ Reaalinen nolla ja napa kääntävät ii vaihetta 9 o. 7
71 Harjoitu 6 Komplekinen nollapari, tekijä : Q z ϖ jϖ( j ϖ ( z ϖ z iteiarvo {H(jϖ){ 4dB db kun ϖ; ϖ z vaiheen muuto 8 vaihe 4dB dek kun ϖ ϖ z muuto taajuudeta ϖ taajuuteen ϖ H(jϖ) 8. jyrkkyy 4dB/dek 9 (vaemman puolitaon kompl. nollapari) db ϖ z ϖ ϖ z ϖ ϖ z ϖ ϖ todelliea vateea on piikki rajataajuudella, piikin uuruu on log Q 4 Q db log ϖ ϖ 4Q( z, ϖ ϖ z log 4Q( Huomaa, että vaiheen muutojyrkkyy riippuu Qluvuta Komplekinen napapari tekijä : Q p ϖ jϖ( j ϖ ( p ϖ p db kun ϖ; ϖ p iteiarvo vaihe vaiheen muuto 8 4dB dek kun ϖ ϖ p muuto taajuudeta ϖ taajuuteen ϖ Kuten komplekiella nollaparilla, vaiheen muutojyrkkyy riippuu Qluvuta. {H(jϖ){ db todelliea vateea on piikki rajataajuudella, piikin uuruu on ϖ p ϖ p jyrkkyy 4dB/dek ϖ H(jϖ) 9 ϖ ϖ p log Q 4Q ϖ ϖ H(jϖ) db (vaemman puolitaon kompl. napapari) 4dB 8 log ϖ ϖ 4Q( p, ϖ ϖ p log 4Q( 7
72 Harjoitu 6 Lopullinen Bodenkuvaaja tehdään enin piirtämällä kunkin oatermin iteiarvo ja vaihe erikeen. Lopuki oatermien aiheuttamat kuvaajat ummataan. Kun piirrät Boden kuvaajia, noudata tarkkaan piirtoääntöjä. Kuvaa on eimerkki oatermien kuvaajien ummaamieta. Harmaalla on merkitty vakiotermin ja reaalien navan vaikutuket amplitudivateeeen. Muta käyrä on oatermien umma, eli lopullinen amplitudivate. (db) log ()db ϖ JOITAIN LISÄKOMMENTTEJA Approkimointiääntöjä on helpotettu iten, että nollat ja navat ijaitevat aina vaemmaa puolitaoa. Tällöin toteututa kututaan minimivaiheieki, illä vaemman puolitaon nollien aiheuttama vaiheen editäminen kompenoi napojen aiheuttamaa vaiheen jätättämitä. Nollanapa formaatia komplekinen nolla tai napapari on muotoa ϖ ϖ. Tämä muoto pitää muitaa Suodattimetkuria. Piirtoäännön Q mukainen muokkau olii: ϖ ϖ Q ϖ, miä ulkulauekkeen kerroin ϖ vaikuttaa vakiokertoimen K arvoon. Ekan ateen termien piirtöäännöt viittaavat nurkkataajuuteen, eim. (ϖ p ). Nollanapakartan piirroa merkintätapa olii (p ), miä navan p ollea negatiivinen, napa on vaemmaa puolitaoa. Yhtey piirtoääntöön on ii ϖ p p (tai p ϖ p ). Kuten edelieä lakaria mainittiin, piirretyn Boden kuvaajan voi tarkitaa ooitinlakennalla ijoittamalla ϖ:n paikalle jokin piirretyä kuvaajaa oleva taajuu ja lakemalla todellinen iteiarvo ja vaihe. Huomaa, että jo laket tarkan taajuudella, jolla vaihe tai amplitudivate taittuu, tarkka arvo aattaa hieman poiketa viivaapprokimaatiota. 7
73 Harjoitu 6 HARJOITUS 6. RATKAISUT TEHTÄVÄ. a) Hjϖ ( A jϖ( Ζ jϖ ( B C vakiotermi reaalien navan aiheuttavat termit jϖ/ ja jϖ/. Eli ϖ p ja ϖ p. {H(jϖ({ (db) A B C {H(jϖ({ (db) db/dek 4dB/dek H(jϖ) (deg) H(jϖ) (deg) ϖ (rad / ) A B C 3 45 o /dek 9 o /dek 45 o /dek 3 ϖ (rad / ) 73
74 Harjoitu 6 jϖ b) Hjϖ ( jϖ( Ζ jϖ ( vakiotermi nolla origoa: termi jϖ navat edelleen ( jϖ/) ja ( jϖ/) {H(jϖ({ (db) 4 B A A B C D C D {H(jϖ({ (db) db/dek db/dek H(jϖ) (deg) H(jϖ) (deg) ϖ (rad / ) B A C D 3 45 o /dek 9 o /dek 45 o /dek 3 ϖ (rad / ) 74
75 Harjoitu 6 jϖ( c) Hjϖ ( jϖ( Ζ jϖ ( vakiotermi kakinkertainen nolla origoa navat kuten edellä A B C D {H(jϖ({ (db) 4 B A C D {H(jϖ({ (db) H(jϖ) (deg) H(jϖ) (deg) ϖ (rad / ) db/dek 4dB/dek B A C D 3 45 o /dek 9 o /dek 45 o /dek 9 3 ϖ (rad / ) 75
76 Harjoitu 6 TEHTÄVÄ { H { db) (a) 6 6. ϖ (rad/) { H { db) (b). ϖ (rad/) a) : jyrkkyy db/dek, kun ϖ /jϖ termi : jyrkkyyden muuto db/dek, kun ϖ termi /( jϖ/) 3: jyrkkyyden muuto db/dek, kun ϖ termi ( jϖ/) 4: vakiotermi K: arvioidaan funktiota taajuudella ϖ., joa en arvo on 6dB: Hjϖ ( K jϖ ( jϖ jϖ ( ϖ, K, log K ( log ( log,( log ( 6 jϖ ( log K ( K Hjϖ ( jϖ jϖ ( b) : jyrkkyy db/dek, kun ϖ jϖ termi : jyrkkyy muuttuu db/dek, kun ϖ termi /( jϖ/) 3: jyrkkyy muuttuu db/dek, kun ϖ termi /( jϖ/) 4: vakiotermin täytyy olla Hjϖ ( jϖ jϖ( jϖ ( 76
77 Harjoitu 6 TEHTÄVÄ 3. H (deg) 45 9 H (deg) (a) 9 8 (b) 35. ϖ (rad/) 7. ϖ (rad/) a) : 9, kun ϖ <. termi /jϖ : jyrkkyyden muuto 45 /dek taajuudella ϖ. termi /( jϖ/) 3: jyrkkyyden muuto 45 /dek taajuudella ϖ termi ( jϖ/) Hjϖ ( K jϖ ( jϖ jϖ ( b) : jyrkkyyden muuto 45 /dek taajuudella ϖ. termi /( jϖ/) : jyrkkyyden muuto 45 /dek taajuudella ϖ termi /( jϖ/) 3: lopullinen arvo 7. Koka edelliet termit aiheuttavat yhteenä 8 vaiheiirron taajuuteen ϖ menneä, tarvitaan liäki termi /jϖ, joka aiheuttaa 9 :een vakiovaiheen Hjϖ ( K jϖ jϖ( jϖ ( 77
78 Harjoitu 6 TEHTÄVÄ 4, AMPLITUDIKUVAAJA Hjϖ ( jϖ( jϖ 3 Ζ jϖ,( Ζ jϖ( ( Jaetaan H(jϖ) tekijöihin: vakiotermi (kuvaaja A) Siirtofunktion nollat ovat komplekiet (lakemalla:.3333 j.948) komplekien nollaparin aiheuttava termi j ϖ j ϖ ( ϖ z < Q,5 (kuvaaja B) 3 5 j ϖ ( j ϖ ( reaalien navan. aiheuttava termi jϖ,( (kuvaaja C) reaalien navan aiheuttava termi jϖ ( (kuvaaja D) Lopullinen amplitudivate on piirretty harmaalla katkoviivalla. {H(jϖ){ (db) Iteiarvo db/dek C Α db/dek db/dek 4dB/dek D db/dek ϖ z ϖ (rad/) 78
79 Harjoitu 6 TEHTÄVÄ 4, VAIHEKUVAAJA (HAASTEELLINEN) Hjϖ ( Boden vaihekuvaaja jϖ( jϖ 3 Ζ jϖ,( Ζ jϖ( ( jϖ( jϖ 5 Ζ jϖ,( Ζ jϖ( ( poitiivinen vakiotermi : ei vaikuta vaiheeeen komplekien nollaparin nurkkataajuu ϖ z on. komplekien nollaparin Q on.5, joten ϖ on.39 ja ϖ on.57 (kuvaaja B) reaalien navan. aiheuttava termi jϖ,( (kuvaaja C) reaalien navan aiheuttava termi jϖ ( (kuvaaja D) Lopullinen vaihevate on piirretty harmaalla katkoviivalla. 5 Vaihe H(jϖ) (deg) o /dek Α o /dek 75 o /dek C 45 o /dek 45 o /dek D ϖ ϖ log ϖ ϖ 4Q( z ϖ ϖ z log 4Q( 8 o B: jyrkkyy log ϖ ( log ϖ ( o dek 79
80 Harjoitu 6 Kuvaaja B ja itä kautta käyrien umma on hankalahko piirtää ruutupaperilla. Kuvaajan taitekohten ϖ ja ϖ kaavoja ei tarvite muitaa tentiä. Jo tehtävänä oliikin Boden vaihekuvaajan uurpiirteinen luonnotelu (jollaieen voit törmätä vaikka uodattimetkuria), olennaita on tämä: komplekinen nollaja napapari kääntävät vaihetta 8º nurkkataajuuden molemmin puolin. 8
81 Harjoitu 7 7. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Synteoi taulukon avulla piirit, jotka toteuttavat alla olevat amplitudivateet. Suunnittele piirit, jo mahdollita, iten että tarvittavat kondenaattorit ovat nf:n uuruiia. Toteuta (a) ja (b)kohdia liäki piirit, jotka antavat aman vateen kertaiella taajuudella kuviin verrattuna. 3 4 (a) db ϖ db (b) 6dB db 6dB/oct 6dB/oct x 4x ϖ (c) db db/dec db/dec db 8 5 ϖ db 6dB/oct (d) 6dB db 3 db/oct 4 ϖ LASKUHARJOITUKSISA LASKETTAVAT:. Miten (d)kohta toteutetaan yhdellä operaatiovahvitimella? 8
82 Harjoitu 7 3. Tenttitehtävä 6..4: Kuvan piiritä: Lake Jännitteeniirtofunktio H() V out () / V in () ja piirrä H():lle Boden amplitudi ja vaihekuvaajat. mh mf V in ς V out Kuva Taulukko Nollanapakartta T() V () / V () piiri (ykiköt ovat ohmeja ja faradeja) /K p x z K z p toteuttaa mitkä tahana reaaliet nollan ja navan V /z K/p V /K p x K p V K/p V 3 /K p x p x K p ( p ( V /p K/p V 8
83 Harjoitu 7 HARJOITUS 7. RATKAISUT SIIRTOFUNKTIOIDEN REALISOINTI KASKADIKYTKENNÖILLÄ Kun iirtofunktion toteuttaminen ykinkertaiella perukytkennällä ei onnitu, voidaan näitä perumoduleja kytkeä peräkkäin eli kakadiin. Peräkkäiten ateiden iirtofunktiot voidaan kertoa kekenään, jo ne eivät kuormitta toiiaan. Tämä toteutuu jännitevahvitimea, mikäli ykittäien ateen tuloimpedani on ääretön tai lähtöimpedani nolla. Tällöin peräkkäiten ateiden iirtofunktiot voidaan kertoa kekenään, koka edellien ateen lähtöjännite kytkeytyy kokonaan euraavan ateen tuloon. Tarkatellaan eimerkiki kahden. ateen alipäätöuodattimen kakadikytkentää:. ateen alipäätöuodatin (iirtofunktio lakettu harj 4) V in R C V out V out V in RC RC. ateen alipäätöuodatin (iirtofunktio lakettu harj 4) V in R C R C V out V out V in RC( 3 RC( RC(. ateen alipäätöuodatin, joa ykittäiet ateet on erotettu ideaaliella operaatiovahvitimella, jonka tuloimpedani on ääretön ja lähtöimpedani nolla R V a V in C V b R C V out V out V in RC RC RC RC( RC RC( RC( Viimeieä piiriä käytetty operaatiovahvitinkytkentä voidaan analyoida harj. 4 ääntöjen pohjalta. Koka tulonapojen välinen jännite on nolla, V b V a. Ääretön tuloimpedani ja nolla lähtöimpedani ovat ideaalien operaatiovahvitimen ominaiuukia, joten operaatiovahvitin toteuttaa tää kytkennää ideaalien pukurin. Ykittäiten operaatiovahvitinkytkentöjen liittäminen peräkkäin toteuttaa aina kakadikytkennän ehdot, koka niiden lähtöimpedani on nolla (eim. tehtäväpaperin 83
Piiriteoria II Laskuharjoitukset - syksy 2015
Piiriteoria II Lakuharjoituket yky 5 TkT Marko Neitola marko.neitola@ee.oulu.fi TS3 Siällyluettelo... ivu Harjoitu... 3 Harjoitu... 7 Harjoitu 3... 33 Harjoitu 4... 43 Harjoitu 5... 53 Harjoitu 6... 65
LisätiedotHARJOITUS. KYSYMYKSET U 2 U 1 U 3 F 2A Laske kuvan 1 verkon portissa a-b näkyvä impedanssi.
Harjoitu Harjoitu. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Kirjoita alla olevalle piirille ilmukkavirtayhtälöt matriiimuodoa. H H H 4. Lake kuvan verkon portia ab näkyvä impedani. / / a I I I 3 /F F v v kuva b. Kirjoita
LisätiedotPiiriteoria II Laskuharjoitukset - Kevät 2015
Piiriteoria II Lakuharjoituket Kevät 5 TkT Marko Neitola marko.neitola@ee.oulu.fi office: TS3 Siällyluettelo... ivu Harjoitu... 3 Harjoitu... 7 Harjoitu 3... 35 Harjoitu 4... 45 Harjoitu 5... 55 Harjoitu
LisätiedotS Piirianalyysi 2 2. välikoe
S-55.22 Piirianalyyi 2 2. välikoe 6.5.23 Lake tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muita kirjoittaa jokaieen paperiin elväti nimi, opikelijanumero, kurin nimi ja koodi. Epäelvät vataupaperit voidaan
LisätiedotX 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k
Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011
S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011
S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω
LisätiedotELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 5: Navat ja nollat, systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri
ELEC-C3 Säätötekniikka Luku 5: Navat ja nollat, yteemin nopeu, tabiiliuu ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri Syteemin käyttäytyminen Syteemin tai järjetelmän tärkein ominaiuu on tabiiliuu. Muita ominaiuukia
LisätiedotRATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit
Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö
LisätiedotSATE1050 Piirianalyysi II syksy 2016 kevät / 6 Laskuharjoitus 3 / Laplace-muunnos
SAE1050 Piirianalyyi II yky 016 kevät 017 1 / 6 ehtävä 1. Muodota alla olevaa kuvaa eitetyn muotoien jännitteen aplace-muunno. u(t) - t Kuva 1. Jännitteen kuvaaja tehtävään 1. Määritetään funktio paloittain:
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007
S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.
LisätiedotPD-säädin PID PID-säädin
-äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen
Lisätiedot( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT
4 HAJOTUSTHTÄVÄ SÄHKÖST PUSSUUT -auton akku (84 V, 700 mah on ladattu täyteen Kuinka uuri oa akun energiata kuluu enimmäien viiden minuutin aikana, kun oletetaan moottorin ottavan vakiovirran 5 A? Oletetaan
Lisätiedot1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen) 6.4.5 Määrittele lyyeti euraavat käitteet a) Kvantiointivire. b) äytetaajuuden interpolointi. ) Adaptiivinen uodatu. a) Kvantiointivire yntyy, kun ignaalin ykittäinen
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen
LisätiedotELEC-C4120 Piirianalyysi II 2. välikoe
LC-C4 Piirianalyyi II 2. välikoe 8.4.4 Vataa KOLMN tehtävään.. e (t) R C Oheiea piiriä vaikuttaa taajännitelähde = V ekä e (t) = ê in(ω 0 t)+ê 2 in(2ω 0 t). Lake vatukea kuluva pätöteho P. ê = 2 V ê 2
LisätiedotLaplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jui Talja Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta en avulla Informaatiotieteiden ykikkö Matematiikka Huhtikuu 2 Tampereen yliopito Informaatiotieteiden
LisätiedotTehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.
Kem-9.7 Proeiautomaation peruteet Perutehtävät Tentti 9.. Tehtävä. Vaihtoehtotehtävät. Oikea vatau,p, väärä vatau -,p ja ei vatauta p Makimi,p ja minimi p TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN
LisätiedotSATE1150 Piirianalyysi, osa 2 syksy /10 Laskuharjoitus 1: RL- ja RC-piirit
SATE1150 Piirianalyyi, oa 2 yy 2017 1 /10 auharjoitu 1: R ja Rpiirit Tehtävä 1. a) Millainen uodatin on yeeä uvaa 1? Perutele aia taratelemalla unin yittäien omponentin impedanin taajuuäyttäytymitä. b)
LisätiedotOsa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos
Oa VII Laplace muunno 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 181 / 246 A.Raila,
LisätiedotKUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto
KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri
LisätiedotRATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino
Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn
LisätiedotS Piirianalyysi 2 Tentti
S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4.9.06. j(t) u(t) ake jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho, kun j(t) ĵ in(ω t)+ĵ 2 in(ω 2 t) ja piiri on jatkuvuutilaa. Ω 5µH 00 nf ĵ 300 ma ĵ 2 0 ma ω 0 6 rad/
LisätiedotHarjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt.
Harjoitus Malliratkaisut Tehtävä L[f(t)] ˆ f(t) e (t α) cos(ω t + β) f(t)e st dt ˆ e st t+α cos(ω t + β)dt cos(ω t + β) 2 (ej(ωt+β) + e j(ωt+β) ) L[f(t)] 2 eα 2 ˆ ˆ e st t+α (e j(ω t+β) + e j(ω t+β) )
LisätiedotTilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)
Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,
Lisätiedot4.3 Liikemäärän säilyminen
Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.
Lisätiedot12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut
1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä
LisätiedotPOSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI
S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6
LisätiedotParametrisen EQ:n siirtofunktio. Analysoitava kytkentä. restart. Perinteinen parametrinen EQ voidaan toteuttaa vaikkapa seuraavasti:
retart Parametrien E:n iirtofunktio Analyoitava kytkentä Perinteinen parametrinen E voidaan toteuttaa vaikkapa euraavati: R3 ja R4 korvataan yleenä potikalla, iten että pite G tulee potikan liukuun. Taajuuominaiuudet
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita
LisätiedotLaplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0
Laplacemuunnoten peruteet kurilla S; v.. Jarmo Malinen. joulukuuta 29 Siältö Alkuanat 2 2 Määritelmiä 2 3 Laplace-muunnoken ominaiuukia 6 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin
LisätiedotLuku 16 Markkinatasapaino
68 Luku 16 Markkinataaaino 16.1 Markkinataaainon määrity Tarkatelemme kilailulliia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaiuna uhteea makimihintoihin talouenitäjien
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 1. Janne Koponen versio 2.0
7.lk matematiikka 1 Janne Koponen verio 2.0 Tämä monite on tehty 7.lk. geometrian opetukeen ja olen käyttänyt itä ite Hatanpään koulua. Jo joku opettaja haluaa tätä kuitenkin käyttää omaa opetukeaan, on
LisätiedotFy07 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1 / 5
y07 Koe 8.9.05 Kuopion yeon lukio (KK) / 5 Vataa kolmeen tehtävään. Vatuken reitani on 60, käämin induktani on 0,60 H ja reitani 8 ja kondenaattorin kapaitani on 80. Komponentit ovat arjaan kytkettyinä
LisätiedotViikkotehtävät IV, ratkaisut
Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää
LisätiedotViivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli
hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
LisätiedotDEE Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Tasasähköpiirien systemaattinen ratkaisu: kerrostamismenetelmä, silmukkavirtamenetelmä, solmupistemenetelmä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet silmukkavirtamenetelmä
LisätiedotIntensiteettitaso ja Doplerin ilmiö
Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0
Lisätiedot521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 5
5384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Haroitu 5. Häviötön 5 Ω:n aaltoohto on päätetty tuntemattomaan impedaniin. Aaltoohdolla olevaki ännitteen eiovan aallon uhteeki aadaan 3 a enimmäinen minimi havaitaan 5 cm:n
LisätiedotErään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t.
DEE- Piirianalyysi Harjoitus / viikko 4 Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä jännitteen ja virran arvot ovat t Kun t, v te t 5t 8 V, i te t 5t 5 A, a) Määritä
Lisätiedot7. Pyörivät sähkökoneet
Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotKahdeksansolmuinen levyelementti
Levy8 ja RS hm.. Kahdekanolminen levyelementti akatellaan kvan kahdekanolmita levyelementtiä. q 6 y (,y q 8 ( 8,y 8 8 q 7 q 6 (,y q 5 q q q 7 q q ( 7,y 7 v ( 6,y 6 P 5 ( 5,y 5 q 9 6 q 5 (,y q (,y q q q
LisätiedotS Fysiikka III (Est) Tentti
S-114137 Fyiikka III (Et) Tentti 9008 1 Vetyatomin elektronin kulmaliikemäärää kuvaa kvanttiluku l =3 Lake miä kaikia kulmia kulmaliikemäärävektori voi olla uhteea kulmaliikemäärän z-komponenttiin ( )
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotELEC-C3230 Elektroniikka 1. Luento 1: Piirianalyysin kertaus (Lineaariset vahvistinmallit)
1 ELEC-C3230 Elektroniikka 1 Luento 1: Piirianalyysin kertaus (Lineaariset vahvistinmallit) 1 luennon pääaiheet Motivointi Piirianalyysin kertaus Vahvistinmallinnus (liuku 2. luentoon) 2 https://www.statista.com/outlook/251/100/consumer-electronics/worldwide
LisätiedotRATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy
LisätiedotS-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006
S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita
LisätiedotDEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit
DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin
Lisätiedot12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Eno Ikonen profeori äätö- ja yteemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopito Teknillinen tiedekunta Älykkäät koneet ja järjetelmät - yteemitekniikka
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotR = Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen on tällöin jännitteenjako = 1
Fysiikan mittausmenetelmät I syksy 206 Laskuharjoitus 4. Merkitään kaapelin resistanssin ja kuormaksi kytketyn piirin sisäänmenoimpedanssia summana R 000.2 Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotKahdeksansolmuinen levyelementti
Levy8 ja RS hm 7.. Kahdekanolminen levyelementti akatellaan kvan kahdekanolmita levyelementtiä. q 6 y (,y q 8 ( 8,y 8 8 q 7 q 6 (,y q 5 q q q 7 q q ( 7,y 7 v ( 6,y 6 P 5 ( 5,y 5 q 9 6 q 5 (,y q (,y q q
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotKertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.
5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotTL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut
TL536DSK-algoritmit (J. Laitie) 4. - 5..4 TTESN4X/4Z, TTESN5X/5Z Välikoe, ratkaiut a) Maiite väitää kaki digitaalite FIR-uotimie etua verrattua IIR-uotimii. b) Mite Reme-meetelmällä uuitellu FIR-uotime
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit
SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin lait,
LisätiedotKuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,
Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie
Lisätiedot(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
Lisätiedot14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä.
Luku 14 Lineaaripiirit Lineaaripiireillä ymmärretään verkkoja, joiden jokaisessa haarassa jännite on verrannollinen virtaan, ts. Ohmin laki on voimassa. Lineaariset piirit voivat siis sisältää jännitelähteitä,
LisätiedotThéveninin teoreema. Vesa Linja-aho. 3.10.2014 (versio 1.0) R 1 + R 2
Théveninin teoreema Vesa Linja-aho 3.0.204 (versio.0) Johdanto Portti eli napapari tarkoittaa kahta piirissä olevaa napaa eli sellaista solmua, johon voidaan kytkeä joku toinen piiri. simerkiksi auton
LisätiedotELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 4: Lohkokaaviomuunnokset, PID-säädin ja kompensaattorit,
ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 4: Lohkokaaviomuunnoket, PID-äädin ja kompenaattorit, Järjetelmien kokoaminen oayteemeitä Edelliillä luennoilla on tarkateltu ykittäiiä ilmiöitä ja niiden malleja (luento
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5
Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)
LisätiedotLUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA
LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että
Lisätiedot521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3
51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät helmikuu 2019 ENSO IKONEN PYOSYS
LisätiedotSMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset
SMG- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjitus (3) Tehtävien ratkaisuehdtukset 6 Tarkitus n laskea V ja eveninin ekvivalentin avulla Tämä tarkittaa sitä, että mudstetaan kytkennälle eveninin ekvivalentti vastuksen
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotÄänen nopeus pitkässä tangossa
IXPF24 Fyiikka, ryhälaboratoriotyö IST4S1 / E1 / A Okanen Janne, Vaitti Mikael, Vähäartti Pai Jyväkylän Aattikorkeakoulu, IT-intituutti IXPF24 Fyiikka, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pai Repo Äänen nopeu
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
LisätiedotS Piirianalyysi 1 2. välikoe
S-55.20 Piirianalyysi 2. välikoe 4.2.200 aske tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin selvästi nimi, opiskelijanumero, kurssin nimi ja koodi. Tehtävät lasketaan
LisätiedotSäätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002
Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty
LisätiedotHelsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology
Helinki Univerity of echnology Laboratory of elecommunication echnology Digitaalinen iirtojärjetelmä S-38. Signaalinkäittely tietoliikenteeä I Signal Proceing in Communication ( ov) Syky 998. Luento: Pulinmuokkauuodatu
LisätiedotS FYSIIKKA IV (ES), Koulutuskeskus Dipoli, Kevät 2003, LH2. f i C C. λ 2, m 1 cos60,0 1, m 1,2 pm. λi λi
S-11436 FYSIIKKA IV (S), Kulutukeku Dipli, Kevät 003, LH LH-1 Ftni, jnka energia n 10,0 kev, törmää leva levaan vapaaeen elektrniin ja irttuu uuntaan, jka mudtaa 60,0 kulman ftnin alkuperäien liikeuunnan
LisätiedotLCL-suodattimella varustetun verkkosuuntaajan virtasäätö tilasäädintä ja havaitsijaa käyttäen
LCL-uodattimella varutetun verkkouuntaajan virtaäätö tilaäädintä ja havaitijaa käyttäen Kimmo Haanpää Sähkötekniikan korkeakoulu Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkatettavaki diplomi-ininöörin
LisätiedotS SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen
S55.03 SÄHKÖTKNIIKKA 20.5.999 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät,3,5,8,9. välikoe: tehtävät,2,3,4,5 2. välikoe: tehtävät,7,8,9,0 Oletko muitanut täyttää palautekyelyn Teeenytja hauku amalla kokeet.. ake jännite
LisätiedotKimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka, Otatieto
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka, Otatieto 2003-2007 1 Sähkötekniikka ja elektroniikka Kirjan 3. ja 4. paino ovat identtiet. Keväällä 2009 kirjan iältöä laajennettiin huomattavati ja e jaettiin
LisätiedotDerivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan
87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotLuento 7. LTI-järjestelmät
Luento 7 Lineaaristen järjestelmien analyysi taajuustasossa Taajuusvaste Stabiilisuus..7 LTI-järjestelmät u(t) h(t) y(t) Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää n n m m d d d d yt () =
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedot1. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka, Otatieto 2003. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait Sähkötekniikka ja elektroniikka, sivut 5-62. Versio 3..2004. Kurssin Sähkötekniikka laskuharjoitus-,
LisätiedotH(s) + + _. Ymit(s) Laplace-tason esitykseksi on saatu (katso jälleen kalvot):
ELEC-C3 Säätötekniikka 5. laskuharjoitus Vastaukset Quiz: Luennon 4 luentokalvojen (luku 4) lopussa on esimerkki: Sähköpiiri (alkaa kalvon 39 tienoilla). Lue esimerkki huolellisesti ja vastaa seuraavaan:
LisätiedotS if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen.
T-79.148 yky 2003 Tietojenkäittelyteorian peruteet Harjoitu 7 Demontraatiotehtävien ratkaiut 4. Tehtävä: Ooita, että yhteydettömien kielten luokka on uljettu yhdite-, katenaatioja ulkeumaoperaatioiden
LisätiedotF {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKatso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/
4.1 Kirchhoffin lait Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/ Katso Kimmo Koivunoron video: Kirchhoffin 2. laki http://www.youtube.com/watch?v=2ik5os2enos
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät / systeemitekniikka Jan 019
Lisätiedot2. kierros. 1. Lähipäivä
2. kierros. Lähipäivä Viikon aihe Vahvistimet, kohina, lineaarisuus Siirtofunktiot, tilaesitys Mitoitus Kontaktiopetusta: 8 tuntia Kotitehtäviä: 4 + 4 tuntia Tavoitteet: tietää Yhden navan vasteen ekvivalentti
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIIANALYYSI I Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Kirja: luku 3 Luentomoniste: luvut 4.2, 4.3 ja 4.4
Lisätiedot