ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 8: Säädetyn järjestelmän hyvyys aika- ja taajuustasossa, suunnittelu taajuustasossa, kompensaattorit

Transkriptio

1 ELEC-C3 Säätötekniikka Luku 8: Säädetyn järjestelmän hyvyys aika- ja taajuustasossa, suunnittelu taajuustasossa, kompensaattorit

2 Hyvyyskriteerit Aikaisemmilla luennoilla on havainnollistettu, miten systeemien käyttäytymiseen voi vaikuttaa säätämällä niitä. Epästabiileista systeemeistä saadaan stabiileja, värähtelevistä värähtelemättömiä ja hitaista nopeita. Tällä luennolla tarkastellaan säädetyn järjestelmän suorituskykyä ja tutkitaan, mikä on hyvää käyttäytymistä sekä käydään läpi säädetyn järjestelmän hyvyyskriteereitä.

3 Yleinen säädetyn järjestelmän askelvaste

4 Yleinen säädetyn järjestelmän askelvaste Askelvasteen käyttäytymistä kuvataan seuraavilla suureilla t d = kuollut aika, viive (d ~ dead time) y f = lopputila (f ~ final) y ref = referenssi, haluttu lopputila e = pysyvä poikkeama, säätöpoikkeama (e = y ref y f ) t r = nousuaika - usein määritetty ajaksi, joka kuluu, kun vaste nousee arvosta.y f arvoon.9y f (r ~ rise). t = värähtelyn jaksonaika t s = asettumisaika tavallisimmin määritetty ajaksi, jonka jälkeen vaste pysyy putken y f ±% tai y f ± 5% sisällä vastaavat termit ovat kahden ja viiden prosentin asettumisajat (s ~ settling) t p = vastehuipun aika (p ~ peak time) o = ylitys (o ~ overshoot) d = vaimennuskerroin (d ~ damping)

5 Napa-nollakuvio ja hyvyyskriteerit Säädetyn järjestelmän vasteen tahdotaan olevan stabiili eli napojen on oltava vasemmassa puolitasossa Säädetyn järjestelmän vasteen on oltava nopea eli napojen on oltava riittävän kaukana origosta Säädetty järjestelmä ei saa värähdellä liikaa (vaimennuskertoimen on oltava riittävän suuri) eli napojen ja negatiivisen reaaliakselin välisen kulman on oltava riittävän pieni Säädetyn järjestelmän on asetuttava riittävän lyhyessä ajassa (asettumisaika pieni) eli napojen etäisyyden imaginääriakselista on oltava riittävän suuri (negatiivisen reaaliakselin suuntaan). Im Im Im Im Re Re Re Re

6 Napa-nollakuvio ja hyvyyskriteerit Hyvin käyttäytyvä vaste saadaan, jos säädetyn järjestelmän dominoivat navat sijaisevat kuvassa esitetyllä alueella. Im Re

7 Säädetty järjestelmä Systeemin siirtofunktio on Gs () s s s Systeemiä säädetään joko P-, PI-, PD- tai PID-säätimellä GP() s 3, GPI() s 3, GPD() s 3 s, GPID() s 3 s s s Tutkitaan napa-nollakuvioilla, mikä säätimistä (annetuilla virityksillä) sopii parhaiten systeemin säätöön. sys=tf(3,[ 3 3 ]); sys=tf([3 ],[ 3 3 ]) sys3=tf([ 3],[ 3 3 ]); sys4=tf([ 3 ],[ 3 3 ]) sysb=feedback(sys,)... pzmap(sysb)...

8 Säädetty järjestelmä Saadaan seuraavat säädetyn järjestelmän napa-nollakuviot Imaginary Axis - Pole-Zero Map P-säädin Imaginary Axis - Pole-Zero Map PI-säädin Real Axis Real Axis Imaginary Axis - Pole-Zero Map PD-säädin Imaginary Axis - Pole-Zero Map PID-säädin Real Axis Real Axis

9 Säädetty järjestelmä Saadaan seuraavat askelvasteet => PID-säädin on paras.5 Step Response.5 Step Response Amplitude.5 P-säädin 5 5 Amplitude.5 PI-säädin 3 Time (sec) Time (sec) Step Response.5 Step Response Amplitude.5 PD-säädin Amplitude.5 PID-säädin 5 5 Time (sec) Time (sec)

10 Ylitys (overshoot) Tarkastellaan yleistä toisen kertaluvun vastetta, jossa ei ole viivettä eikä nollia: K n K n Gs (), Ys () s s ( s s ) s F HG n n nt yt () Ke cosn t sinn t Vasteen ääriarvot saadaan, kun y(t) derivoidaan t:n suhteen ja derivaattojen nollakohdat ratkaistaan. Ääriarvokohdissa: e F G H Ensimmäinen huippu (maksimiylitys stabiileilla systeemeillä) saadaan, kun n e j e j sin t t,,,... n j tp y( tp) KKe n n F HG I KJ n I J K I KJ

11 Koska K on loppuarvo, niin ylityksen osuus vasteesta on: Ylitys esitetään tavallisesti prosentteina loppuarvosta: %OS e Kuvassa on esitetty prosentuaalinen ylitys, kun vaimennussuhde saa arvoja välillä [.,.] F HG Ylitys (overshoot) I KJ o Ke F HG I KJ

12 Asettumisaika (settling time) Kun säädetyn järjestelmän navat ovat aidosti kompleksisia, niin vaste värähtelee exsponentiaalisen varjokäyrän sisällä (varjokäyrän eksponentiaalisen pienenemisen määrittelee dominoivan napaparin reaaliosa). Varjokäyrän avulla voidaan määrätä konservatiivinen arvio asettumisajalle: kun varjokäyrä on ± % tai ± 5% etäisyydellä loppuarvosta, niin vastekin on. Todellisuudessa tarkka asettumisaika riippuu vasteen värähtelyn taajuudesta ja vaiheesta. Sopivalla taajuudella vaste sujahtaa haluttujen rajojen sisälle jo huomattavasti varjokäyrää aikaisemmin

13 Asettumisaika (settling time) Tarkalle asettumisajalle ja systeemin vaimennussuhteelle saadaan kuvassa esitetty riippuvuus (kun vaimennussuhde on ykköstä suurempi, niin järjestelmästä tulee ylivaimennettu ja se hidastuu).

14 Asettumisaika (settling time) Usein asettumisajalle käytetään yksinkertaisia approksimaatioita (esitetty edellisessä kuvassa katkoviivoilla. t t s s ( %) ( 5%) R S T R S T 4, 88. n 4., n n 3, 83. n 7.,

15 Nollien vaikutus vasteeseen Edellisistä luennoista tiedetään, että nollien vaikutus näkyy vasteen alkukäyttäytymisessä. Kuvasta nähdään, että nollat vaikuttavat selvästi sekä ylitykseen että asettumisaikaan. Tarkastellaan yleistä tapausta: G TOT () s K s F HG s I KJ n n ns n

16 Nollien vaikutus vasteeseen Tällöin saadaan asettumisajalle:

17 Ja ylitykselle: Nollien vaikutus vasteeseen

18 Nollien vaikutus vasteeseen Taulukon elementtien ylempi numero on prosentuaalinen ylitys ja alempi % asettumisaika Vahvennettujen rajojen sisällä on alue, jossa OS% < % ja t s (%) < 6/ n

19 Pysyvä poikkeama ja prosessiluokat Mikäli erosuure (referenssin ja mitatun vasteen erotus) ei lähesty nollaa ajan lähestyssä ääretöntä, niin järjestelmään jää pysyvä poikkeama e ss. e ss t l q lim e( t) Systeemit jaetaan eri luokkiin riippuen siitä, millaisilla signaaleilla säädettyyn järjestelmään jää pysyvä poikkeama. Jos järjestelmään jää pysyvä poikkeama askelherätteellä, niin se on tyyppiä nolla (G), jos sille jää pysyvä poikkeama pengerherätteellä, niin se on tyyppiä yksi (G) ja jos sille jää pysyvä poikkeama parabolisella herätteellä, niin se on tyyppiä kaksi (G3).

20 Pysyvä poikkeama ja prosessiluokat Edellisen kalvon systeemeistä G on tyyppiä nolla, G tyyppiä yksi ja G3 tyyppiä. Niiden avoimen silmukan siirtofunktiot ovat muotoa Q * (s) on määritelty siten, että sillä ei ole juuria origossa, jolloin k määrää suoraan systeemin tyypin (k = systeemi on tyyppiä nolla). Oheisessa taulukossa on pysyvät poikkeamat G OL () s K lim G ( s) p s OL K lim sg ( s) v s OL Ps () Qs () K lim s G ( s) a s l l m OL q q r Ps () k * s Q () s Input Type a at at a K p a Kv a K a

21 Taajuustason kriteerit Taajuustasossa yleinen (toisen kertaluvun) taajuusvasteen vahvistuskäyrä on muotoa: BW = Kaistanleveys (bandwidth) r = Resonanssitaajuus M r = Resonanssihuippu M = Stationääritilan vahvistus r -3dB BW r

22 Värähtelyn resonanssi ja kaistanleveys Resonanssitaajuus r r n Resonanssihuippu M r Kaistanleveys BW M r 4 BW n ( ) 4 4 Mitä suurempi kaistanleveys, sitä nopeampi systeemi

23 Avoimen silmukan taajuusvaste Avoimen silmukan taajuusvaste ja säädetyn järjestelmän käyttäytyminen riippuvat toisistaan Säädetyn järjestelmän käyttäytyminen taajuustasossa Nicholsin kartta Säädetyn järjestelmän käyttäytyminen aikatasossa Peukalosäännöt, jotka on johdettu yksinkertaisista perusmalleista - kuten yleisestä toisen kertaluvun systeemistä. Nämä peukalosäännöt perustuvat usein pelkästään vahvistus- ja vaihevaroihin, jolloin säännöt eivät välttämättä päde kaikille systeemeille. Toisen kertaluvun järjestelmälle pätee seuraava avoimen silmukan vaihevaran ja vaimennussuhteen välinen riippuvuus PM F G GG H arctan e 4 4 j I J JJ K

24 Vaihevara ja ylitys Vaihevaran ja vaimennussuhteen välille saadaan vasemmalla esitetty graafinen riippuvuus. Prosentuaalisen ylityksen ja vaihevaran välille saadan kuvassa oikealla esitetty riippuvuus.

25 Säädetty järjestelmä Systeemin siirtofunktio on Gs () s s s Systeemiä säädetään joko P-, PI-, PD- tai PID-säätimellä GP() s 3, GPI() s 3, GPD() s 3 s, GPID() s 3 s s s Tutkitaan taajuustasossa, mikä säätimistä (annetuilla virityksillä) sopii parhaiten systeemin säätöön. sys=tf(3,[ 3 3 ]); sys=tf([3 ],[ 3 3 ]) sys3=tf([ 3],[ 3 3 ]); sys4=tf([ 3 ],[ 3 3 ]) bode(sys);nichols(sys);grid sysb=feedback(sys,) bode(sysb);step(sysb

26 Säädetty järjestelmä (P-säädin) Magnitude (db) Phase (deg) Open-Loop Gain (db) F ( d/ ) Nichols Chart Avoin Bode Diagram.5 db.5 db db 3 db 6 db db - db -3 db -6 db - db - db -4 db -6 db -8 db - - db Open-Loop Phase (deg) Magnitude (db) Phase (deg) Amplitude Bode Diagram F ( d/ ) Step Response Säädetty 5 5 Time (sec)

27 Säädetty järjestelmä (PI-säädin) Magnitude (db) Avoin Bode Diagram Magnitude (db) Säädetty Bode Diagram Phase (deg) -8 Phase (deg) -9-8 Open-Loop Gain (db) -7 - F ( d/ ) Nichols Chart db.5 db db 3 db 6 db db - db -3 db -6 db - db - db -4 db -6 db Amplitude F ( d/ ) Step Response -8-8 db - - db Open-Loop Phase (deg) Time (sec)

28 Säädetty järjestelmä (PD-säädin) Avoin Bode Diagram Säädetty Bode Diagram Magnitude (db) - Magnitude (db) Phase (deg) Open-Loop Gain (db) F ( d/ Nichols Chart ) db.5 db db 3 db 6 db db - db -3 db -6 db - db - db -4 db Phase (deg) Amplitude F ( d/ ) Step Response -6-6 db Open-Loop Phase (deg) Time (sec)

29 Säädetty järjestelmä (PID-säädin) Magnitude (db) Phase (deg) Open-Loop Gain (db) Avoin.5 db.5 db db 3 db 6 db Bode Diagram -8 - F ( d/ ) Nichols Chart db - db -3 db -6 db - db - db -4 db -6 db Open-Loop Phase (deg) Magnitude (db) Phase (deg) Amplitude Bode Diagram Säädetty F ( d/ ) Step Response 5 5 Time (sec)

30 Säädetty järjestelmä P- ja PI-säädin ovat herkkiä värähtelyille (ja samalla lähempänä epästabiiliutta) PI-säädin on hidas (pitkä asettumisaika) P- ja PD-säätimillä säädettyyn järjestelmään jää pysyvä poikkeama PD- ja PID-säätimillä säädetyt järjestelmät ovat nopeita eivätkä värähtele liikaa. => Paras vaihtoehto on PID-säädin.

31 Avoimen silmukan taajuusvaste Tarkistetaan esimerkillä, miten hyvin edellä esitetty peukalosääntö toimii Tarkastellaan kolmea avointa systeemiä: G OL, s s.s G G 3 () s 3 3.6e () s s s3 4.9 () s s s OL, OL,3 Määritetään avoimen silmukan vaihevarat ja säädetyn järjestelmän askelvasteet MATLABissa sys=tf(3,[ 3]); sys=tf(3.6,[ 3]); sys.inputdelay=. sys3=tf(4.9,[ ])

32 Avoimen silmukan taajuusvaste margin(sys); margin(sys); margin(sys3) => 9 deg Kaikkien systeemien vaihevarat ovat 9 Simuloidaan säädettyjen järjestelmien askelvasteita 3 Nyquist Diagram r t To Workspace Clock To Workspace Step sys LTI System sys y To Workspace y Imaginary Axis - G3 LTI System To Workspace3 G sys3 y3 - LTI System To Workspace4-3 G Real Axis

33 Avoimen silmukan taajuusvaste Peukalosäännön mukaan säädetyn järjestelmän ylityksen tulisi olla n. 4%-5% Simuloitu ylitys on vähän yläkanttiin, mutta suunnilleen kohdalleen

34 Taajuustason säätimet Taajuustasossa säätimet vaikuttavat avoimen silmukan taajuusvasteeseen ja samalla myös vahvistus- ja vaihevaroihin. Tarkastellaan aluksi perinteisten säätimien (PID) taajuusvasteita. P-säädin vaikuttaa ainoastaan avoimen silmukan vahvistuskäyrään (vaihe pysyy ennallaan, vahvistusmuuttuu K P :n verran) b PD-säädin: GPD () s KP TD s nostaa vahvistuskäyrää /T D :tä suuremmilla taajuuksilla nostaa vaihekäyrää./t D :tä suuremmilla taajuuksilla g

35 PI-säädin: Taajuustason säätimet G s K K Ts I PD () d P i Ts I P Ts nostaa vahvistuskäyrää /T I :tä pienemmillä taajuuksilla laskee vaihekäyrää /T I :tä pienemmillä taajuuksilla I PID-säädin GPID () s K d P TsTDs I i nostaa vahvistuskäyrää pienillä ja suurilla taajuuksilla laskee vaihekäyrää pienillä ja nostaa suurilla taajuuksilla

36 Vaiheen johto- ja jättöpiirit Vaiheen johto- ja jättöpiirejä käytetään taajuusvasteen manipulointiin halutuilla taajuuksilla. Niiden avulla voidaan muuttaa systeemin vahvistus- ja vaihevaroja siten, että saadaan säädetylle järjestelmälle haluttu käyttäytyminen. Vaiheen johtopiirillä nostetaan vaihekäyrää halutuilla taajuuksilla Vaiheen jättöpiirillä lasketaan vaihekäyrää halutuilla taajuuksilla

37 Vaiheen johtopiiri Vaiheenjohtopiiri: nostaa vahvistuskäyrää nostaa vaihekäyrää halutulla taajuusalueella PD-säätimen kaltainen vaikutus s Glead s K k s (), k m k sin( ) m k k

38 Vaiheen jättöpiirit Vaiheenjättöpiiri laskee vahvistuskäyrää laskee vaihekäyrää pienillä ja halutulla taajuusalueella symmetrinen vaiheenjohtopiirin toiminnan kanssa PI-säätimen kaltainen vaikutus k s Glag s K k s (),

39 Vaiheen johtopiiri: esimerkki Systeemiä säädetään P-säätimellä (värähtelee). Suunnitellaan vaiheenjohtopiiri, jonka avulla saadaan%-os < % ja pengervasteen pysyvä poikkeama <. Pengervasteen pysyvä poikkeama saadaan.:een kun säätimen vahvistusta kasvatetaan arvoon 5 (edellinen luento) Gs () Kv lim l sgol ( s) q K. s s s pengervasteen pysyvä poikkeama:. K 5 K K v

40 Vaiheen johtopiiri: esimerkki Pengervasteen seurannan kriteeri täyttyy tällä vahvistuksella, mutta vaste värähtelee ja ylitys on huomattavasti sallittua suurempi. Tarkistetaan vaihevara (kompensoimaton): ainoastaan 8º vaihevaraa on kasvatettava vähintään arvoon 55º (lisäystä 37º), jotta ylitys olisi vain %. Lisäksi kriittinen taajuusalue siirtyy korkeammalla taajuudelle (vahvistuskäyrä nousee rajataajuudella), joten lisätään taajuutta vielä 9º (lisäystä 46º). Saadaan: k sin( m), m k k k. m R S T m Tällä saadaan vaihevaraksi: 57º R S T

41 Vaiheen johtopiiri: esimerkki Simuloidaan systeemin käyttäytymistä: Saadaan säädetty järjestelmä, joka täyttää annetut kriteerit

42 Vaiheen jättöpiiri: esimerkki Suunnitellaan vaiheenjättöpiiri, jonka avulla saadaan vaihevaraksi 54º sekä askelvasteen pysyvä poikkeama <. Askelvasteen pysyvä poikkeama saadaan.:een kun säätimen vahvistusta kasvatetaan arvoon 5 (edellinen luento) 4 l q Gs () Kp lim GOL ( s) 4K 3 s. s b askelvasteen pysyvä poikkeama:. Kp 4K K 5 Tällä arvolla saadaan epästabiili (kompensoimaton) järjestelmä g

43 Vaiheen jättöpiiri: esimerkki Vaihevaraksi saadaan n. 6º kulmataajuudella 84 rad/s. Kyseisellä taajuudella vahvistus on n. 33 db, jonka verran vahvistuskäyrää on laskettava. Lasku saadaan toteutettua, kun k = Kompensaattorin nolla on sijoitettava vähintään dekadin matalammalle taajuudelle, kun 84 rad/s. Vaiheen jättöpiiriksi saadaan: log( k) 33 db k G lag k 84 Kompensoidun järjestelmän vaihevaraksi saadaan 53.7º Simuloidaan: () s b g s 5 84 s 88.

44 Vaiheen jättöpiiri: esimerkki Saadaan säädetty järjestelmä, joka täyttää annetut kriteerit.

45 Vaiheen johtojättöpiiri Vaiheen johtopiiri käyttäytyy kuin PD-säädin ja jättöpiiri kuin PI-säädin. Kun samaan säätimeen yhdistetään molemmat piirit, niin saadaan säädin, joka toimii kuin PID-säädin. Vaiheen jättöpiiri suunnitellaan matalille taajuuksille (pitää huolen pysyvästä poikkeamasta). Vaiheen johtopiiri suunnitellaan korkeille taajuuksille (stabiloi ja tekee järjestelmästä nopeamman)

46 Vaiheen johtojättöpiiri: Esimerkki Säädettävälle systeemille muodostetaan vaiheen johtojättöpiiri, jonka avulla saadaan pengervasteen pysyväksi poikkeamaksi korkeintaan.5, ja vaihevaraksi vähintään 5º (ei korostettuja värähtelyjä eikä ylityksiä). Jotta säädetylle järjestelmälle saataisiin riittävä kaistanleveys, niin avoimen silmukan vahvistuskäyrä voi saada arvon db aikaisintaan taajuudella 6 rad/s (nopeutta säädettyyn järjestelmään). Vaiheen johtojättöpiiriksi saadaan s s. 5 Gs () G () s s(.s)(.s) lead lag s s.

47 Vaiheen johtojättöpiiri: Esimerkki Kompensoimattoman ja kompensoidun järjestelmän taajuusvasteet: