Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Transkriptio

1 Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä. Massaan kiinnitetty kynä piirtää käyrää, joka esittää poikkeamaa ajan funktiona kuten videossa Tuloksena saadaan alla olevat kuvat. Määritä a) liikkeen amplitudi (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), b) liikkeen periodi (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), c) liikkeen kulmataajuus (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), d) liikkeen vaihekulma (eri jokaisessa kuvassa). e) Kirjoita alimmalle liikkeelle yhtälö x = Asin(ωt +φ), johon sijoitat vakioiden arvot. Oleta, että liike on vaimentumatonta.

2

3 T 6.2 (pakollinen): Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin 2 (rad/s) t + /4. a) Mikä on suurin poikkeama tasapainoasemasta? b) Montako edestakaista värähdystä tapahtuu sekunnissa? c) Mikä on liikkeen taajuus? d) Mikä on poikkeama ajanhetkellä t = 0? T 6.3 (pakollinen): Harmonisen värähtelijän liikettä kuvataan yhtälöllä x = Asin( t + ). Määritä harmonisen värähtelijän nopeus ajan funktiona ja kiihtyvyys ajan funktiona. T 6.4: Kappale, jonka massa on 3,0 kg, on kiinnitetty jouseen, jonka jousivakio on 22 N/m. Kappaletta poikkeutetaan 320 mm tasapainoasemastaan (jossa x = 0) eräällä ajanhetkellä t = 0 ja vapautetaan levosta. a) Mikä on liikkeen periodi? b) Mikä on syntyvän harmonisen liikkeen maksimikiihtyvyys? T 6.5: Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin 2 (rad/s) t + /4. a) Mikä on kappaleen poikkeama, kun t = 0,125 s? b) Mikä on kappaleen nopeus, kun t = 0,125 s? c) Mikä on kappaleen kiihtyvyys, kun t = 0,125 s? T 6.6: Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin 2 (rad/s) t + /4. a) Milloin poikkeama on nolla? b) Milloin nopeus on nolla? c) Milloin kiihtyvyys on nolla? T 6.7: Kappale, jonka massa on 0,20 kg, liikkuu nopeudella 5,0 m/s pitkin vaakasuoraa kitkatonta pintaa kohti massatonta vaakasuoraa jousta, joka on tasapainoasemassaan. Massa tarttuu kiinni jouseen, joka puristuu kokoon 0,50 m. a) Mikä on jousivakio k? b) Millä taajuudella jousi alkaa värähdellä? c) Mikä on massa-jousisysteemin kokonaisenergia? T 6.8: Yksinkertaista eli matemaattista heiluria (langan pituus 0,240 m) poikkeutetaan tasapainoasemasta 3,50 o ja sen jälkeen vapautetaan. a) Mikä on syntyvän heilahdusliikkeen jaksonaika? b) Mikä on syntyvän heilahdusliikkeen taajuus? c) Jos tätä samaa heiluria poikkeutetaan aluksi 1,75 o, mikä on nyt syntyvän heilahdusliikkeen jaksonaika? T 6.9 (pakollinen): Kappale, jonka massa on m, liikkuu harmonisen voiman F = - kx vaikutuksen alaisena. a) Kirjoita differentiaaliyhtälö, josta saa ratkaisuna kappaleen poikkeaman tasapainoasemasta ajan funktiona: x = A sin(ωt + φ). Yhtälöä ei tarvitse ratkaista, mutta selvitä pääpiirteittäin (esimerkiksi Fysiikan matematiikan kurssilla oppimasi perusteella), miten kyseinen differentiaaliyhtälö ratkaistaan. b) Mitä yllä olevassa lausekkeessa tarkoittavat A, ω ja φ? c) Miten lasketaan värähdysliikkeen periodi? d) Mikä on kyseisen värähtelijän hetkellinen potentiaalienergia ja kokonaisenergia.

4 T 6.10 (pakollinen): Kappale, jonka massa on m, liikkuu harmonisen voiman F = - kx vaikutuksen alaisena. Lisätään systeemiin liikettä hidastava voima, joka riippuu kappaleen nopeudesta seuraavalla tavalla: F = - bv a) Kirjoita differentiaaliyhtälö, josta saa ratkaisuna kappaleen poikkeaman tasapainoasemasta ajan funktiona. Yhtälöä ei tarvitse ratkaista. b) Differentiaaliyhtälön ratkaisu on: x = Ae -(b/2m)t sin(ωt + φ) Mitä tässä yhtälössä tarkoittavat A, b, m, ω ja φ? c) Milloin vaimennettu värähtelijä on ylivaimennettu? Mitä se käytännössä tarkoittaa? d) Jos piirtäisit tehtävän vaimentumattoman ja vaimennetun värähtelijän kuvaajan, miten ne eroaisivat toisistaan? Oleta, että m, k ja φ ovat samoja molemmille värähtelijöille. T 6.11 (pakollinen): Koejärjestely on muuten samanlainen kuin tehtävässä T 6.1., mutta nyt kappaleeseen vaikuttaa hidastava voima. Kappale on esimerkiksi upotettu nesteeseen. Asiaa havainnollistaa videossa vasemmanpuoleisin kuva tai video Alla olevassa kuvassa on esitetty kappaleen poikkeama ajan funktiona. Määritä vakion b/2m arvo, jos liikettä kuvataan yhtälöllä x = Ae -(b/2m)t sin(ωt + φ).

5 T 6.12 (bonustehtävä): Vaimenemattoman värähtelijän jaksonaika on 12.0 s. Vaimenevan värähtelijän kulmataajuus on 97 % vaimenemattoman värähtelijän kulmataajuudesta. a) Mikä on peräkkäisten maksimien amplitudien suhde? b) Missä ajassa värähtelijän amplitudi pienenee puoleen? Jakso 6: Vastaukset T 6.4: a) 2,32 s, b) 2,35 m/s 2 T 6.5: a) 0,10 m, b) 0, c) -3,95 m/s 2 T 6.6: a) -0,125 s [+ (n/2)t] b) 0,125 s [+ (n/2)t] c) -0,125 s [+ (n/2)t] T 6.7: a) 20 N/m, b) 1,6 Hz, c) 2,5 J T 6.8: a) 0,983 s, b) 1,02 Hz, c) 0,983 s T 6.11: noin 0,05 s -1 HUOM! Vastausta muutettu. T 6.12: a) 0,21, b) 5,45 s