Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Transkriptio

1 Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20

2 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 2/20 20

3 Esimerkki 3 Ratkaise differentiaaliyhtälö d 2 r dt 6dr +9r =0. 2 dt 3 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 3/20 20

4 Esimerkki 4 Ratkaise differentiaaliyhtälö d 3 y y dx 3 +2d2 dx +2dy 2 dx =0. 4 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 4/20 20

5 Esimerkki 5 Ratkaise differentiaaliyhtälö ẍ 4ẋ = t 2. 5 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 5/20 20

6 Vakiokertoimiset n:n kertaluvun yhtälöt d n x a n dt n +...a dx 1 dt + a 0 = f(t). Etsitään homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu Yrite x(t) =e kt a n k n +...a 1 k + a 0 =0. 1-kertainen -juuri: ratkaisu e kt. m-kertainen juuri: m LI ratkaisua e kt,te kt,...,t m 1 e kt. -juuriparia ρ ± iω: ratkaisut e ρt sin(ωt) ja e ρt cos(ωt). Jos juuripari ρ ± iω on m-kertainen, vastaa sitä 2m ratkaisua e ρt cos(ωt),e ρt sin(ωt),te ρt cos(ωt),te ρt sin(ωt),......t m 1 e ρt cos(ωt),t m 1 e ρt sin(ωt). Epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu etsitään yritemenetelmällä kuten 2. kl:n yhtälön tapauksessa. 6 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 6/20 20

7 Harmoninen värähtelijä mẍ = kx ẋ = ω 2 x, Ratkaisu (HT:osoita, että...) (ω 2 = k/m) x(t) =A cos(ωt)+b sin(ωt) =M cos(ωt φ), missä M = A 2 + B 2, tan φ = B/A. Vaimennettu värähtelijä: mẍ + µẋ + kx =0 ẍ + λẋ + ω 2 x =0, Karakteristisen yhtälön ratkaisu k = λ 2 ± 1 2 λ2 4ω 2. λ 2 > 4ω 2 : ylivaimennettu, λ =4ω 2 : kriittinen vaimennus, λ<4ω 2 : alivaimennettu. HT: kirjoita ratkaisu x(t) em. kolmessa tapauksessa. (λ = µ/m) 7 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 7/20 20

8 Alivaimennettu ratkaisu Karakteristisen yhtälön juuret: k = λ/2 ± iσ, missä σ = 1 2 4ω2 λ 2. x(t) =e λt/2 (A cos(σt)+b sin(σt)). Värähtelee, mutta amplitudi pienenee eksponentiaalisesti. (ks. harj. 4/ tehtävä 4.) 8 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 8/20 20

9 Esimerkki Viikolla 3 ratkaistiin yhtälö Ratkaisuksi saatiin ẍ + x =8cost. x(t) =A cos t + B sin t +4t sin t. Tässä ratkaisussa oskillaatiot voimistuvat ajan kuluessa. Millaista fysiikkaa tämä kuvaa? 9 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 9/20 20

10 Pakotettu oskillaattori Lisätään harmoniseen oskillaattoriin ulkoinen pakote: HY:n ratkaisu oli ẍ + ω 2 x = a cos(αt). x(t) =A cos(ωt)+b sin(ωt), eli värähtelee ominaistaajuudella f = ω 2π. Ulkoiseen pakotteeseen liittyy taajuus α 2π. Mitä tapahtuu jos α ω? Esimerkki: lasin särkyminen (harj. 4 teht. 4 ja S1) 10 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 10/20 20

11 Esimerkki (Pesukone) Oletetaan, että liike vain x-suunnassa. MKP:n paikka X = mr cos θ Mx M + m. Oletetaan, että θ = α (vakio), jolloin X = mr cos(αt) Mx. M + m Newton II: (M + m) d2 X dt = kx. 2 Tämä yksinkertaistuu muotoon (HT) Mẍ + kx = mrα 2 cos(αt). 11 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 11/20 20

12 Esimerkki (Pesukone) Jos m =0, systeemi on harmoninen värähtelijä: ẍ + ω 2 x =0, ω 2 = k/m. Jos m 0ja r 0, ẍ + ω 2 x = a cos(αt), a = mrα 2 /M. Tarkastellaan ratkaisuja tapauksissa α ω, α = ω. 12 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 12/20 20

13 Esimerkki (Pesukone) Kun α ω: Etsitään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu yritteellä x p = C cos(αt). Tämän avulla saadaan Yleinen ratkaisu on siten C = a ω 2 α 2. x(t) =M cos(ωt φ)+ a ω 2 α 2 cos(αt). 13 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 13/20 20

14 Esimerkki (Pesukone) Otetaan sitten α = ω. Nyt on käytettävä yritettä x p = Ctsin(ωt)+Dt cos(ωt). Tämän avulla saadaan Ja yleinen ratkaisu on x p (t) = a 2ω t sin(ωt). A sin(ωt)+b cos(ωt)+ a 2ω t sin(ωt). Tämä on ns. resonanssi: ulkoinen pakote ominaistaajuudella α = ω vahvistaa systeemin oskillatioita. 14 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 14/20 20

15 Pseudoresonanssi Palataan nyt vaimennettuun värähtelijään, ja lisätään siihen ulkoinen pakote. ẍ + λẋ + ω 2 x = a cos(αt). Tarkastellaan nyt tilannetta λ 2 < 4ω 2. HY:n ratkaisu on x h (t) =e λt/2 (A cos(σt)+b sin(σt)). Etsitään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu: Sijoitetaan yrite x p (t) =C sin(αt)+d cos(αt), ja saadaan C = D = aαλ (ω 2 α 2 ) 2 +(λα), 2 a(ω 2 α 2 ) (ω 2 α 2 ) 2 +(λα) / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 15/20 20

16 Ratkaisu kuvaa värähtelyä, jonka amplitudi on (ks. s. 7) R(α) = a (ω 2 α 2 ) 2 +(λα) 2. Tällä on maksimi kun ts. α 2 = ω 2 (1/2)λ 2. Kun α = ω, on 4α(ω 2 α 2 )+2λ 2 α =0, R max (λ) = 2a λ 4ω 2 λ / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 16/20 20

17 EXTRA: ei-vakiokertoimiset yhtälöt Harjoitusten 3 ja 4 S-tehtävissä olemme konstruoineet homogeeniselle yhtälölle d 2 x dt + p(t)dx + q(t)x =0 2 dt kaksi LI ratkaisua, x 1 (t) ja x 2 (t). Yhtälön yleinen ratkaisu on siten x h (t) =Ax 1 (t)+bx 2 (t). Seuraavaksi tarkastellaan miten löydetään epähomogeenisen yhtälön d 2 x dt + p(t)dx + q(t)x = g(t) 2 dt yksittäisratkaisu x p (t), ja näin yleinen ratkaisu x(t) =x h (t)+x p (t). 17 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 17/20 20

18 Lähdetään etsimään ratkaisua muodossa x p (t) =u 1 (t)x 1 (t)+u 2 (t)x 2 (t). Sijoittamalla yrite differentiaaliyhtälöön saadaan yksi yhtälö, joka funktioiden u 1 ja u 2 on toteutettava. Koska tuntemattomia funktioita on kaksi, tarvitaan myös toinen yhtälö. Tämän relaation voimme valita vapaasti, ja tehdään valinta, joka helpottaa laskuja: Tämän avulla saadaan u 1 x 1 + u 2 x 2 =0. ẋ p = u 1 ẋ 1 + u 2 ẋ 2. ẍ p = u 1 ẋ 1 + u 1 ẍ 1 + u 2 x 2 + u 2 ẍ / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 18/20 20

19 Sijoitus differentiaaliyhtälöön antaa (kun muistetaan, että x 1 ja x 2 ovat HY:n ratkaisuja) Näin on siis saatu yhtälöryhmä u 1 ẋ 1 + u 2 ẋ 2 = g(t). u 1 x 1 + u 2 x 2 =0, u 1 ẋ 1 + u 2 ẋ 2 = g(t). Määritellään W (t) =x 1 ẋ 2 x 2 ẋ 1. Tämän avulla ja saadaan x p (t) = x 1 (t) u 1 = x 2(t)g(t), W (t) u 2 = x 1(t)g(t). W (t) x2 (t)g(t) dt + x 2 (t) W (t) x1 (t)g(t) dt. W (t) 19 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 19/20 20

20 EXTRA: esimerkkejä Käytetään edellä johdettua tulosta Esimerkki Etsi yhtälön yksittäisratkaisu. ẍ +ẋ 6x =5e 3t Esimerkki Etsi yhtälön yksittäisratkaisu. ẍ + x =tan(t) 20 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 20/20 20