1 Di erentiaaliyhtälöt

Transkriptio

1 Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y = dy(t)=dt huom. y on t:n funktio, eli dy(t)=dt = F (y(t); t) esim. y väestön koko ja _y = ry, väestön muutosnopeus jokaisella ajanhetkellä on verrannollinen väestön kokoon kertoimella r (kasvukerroin), eli tässä F (y; t) = ry ja t on aika di erentiaaliyhtälöillä mallinnetaan jatkuva-aikaisia ilmiöitä jos F ei riipu t:stä di erentiaaliyhtälöä sanotaan autonomiseksi tai aikariippumattomaksi Di erentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on t:n funktio y, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön kaikilla t jos y(t) ratkaisee di.yhtälön _y = F (y; t) alkuarvolla y 0, niin y on alkuarvotehtävän ratkaisu 1.2 Esimerkki: jatkuva korko Pääoma y(t) (ajanhetkellä t=vuosia), vuosikorko r kun korko maksetaan kerran vuodessa niin [y(t + 1) y(t)]=y(t) = r, eli y(t + 1) = (1 + r)y(t) (di erenssiyhtälö) kun korko maksetaan ajan t välein niin [y(t + t) y(t)]=y(t) = r t, jonka voi kirjoittaa [y(t + t) y(t)]=t = ry(t) Mitä tapahtuu, kun t menee nollaan? saadaan dy(t)=dt = ry(t), eli _y = ry, (di erentiaaliyhtälö) Kysymys: miten di erentiaaliyhtälö dy(t)=dt = ry(t) ratkaistaan? 1.3 Integrointia Antiderivaatta/integraalifunktio derivaatan käänteisoperaatio: f:n antiderivaatta on funktio F (x), jonka derivaatta on f, merk. F (x) = R f(x)dx esim jos f(x) = e x, niin F (x) = e x + C, missä C on integroimisvakio 1

2 huom. vakioon lisääminen ei muuta sitä, että F 0 (x) = f(x) (miksi?) merkintä: toisinaan merkitään F (x) = R x f(s)ds kun tarkoitetaan f:n integraalifunktiota, s on tässä integroimismuuttuja ominaisuus R f(u(x))(du=dx)dx = R f(u)du Määrätty integraali R b f(x)df = F (b) a F (a) huom. pinta-ala tulkinta Ratkaistavana dy(t)=dt = ry(t) Yleinen ratkaisu on y(t) = Ce rt, missä C on vakio ratkaisun johtaminen 1. kirjoitetaan yhtälö muodossa (1=y)dy(t)=dt = r (siirretään kaikki missä on y:tä samalle puolelle) 2. integroidaan puolittain t:n suhteen, oikeasta puolesta tulee rt + C 1, vasemmasta puolelta R (1=y)(dy(t)=dt)dt = R (1=y)dy = ln jyj + C 2 on saatu ln jyj = rt + c, missä c = C 1 C 2 3. otetaan e puolittain: y = e rt+c, eli y = Ce rt ( missä C = e c ) yleisesti tätä tapaa ratkaista di erentiaaliyhtälöitä sanotaan separoinniksi; voidaan ajatella, että yhtälö saatettiin muotoon dy=y = rdt ja sitten integroitiin vasen puoli y:n suhteen ja oikea puoli t:n suhteen 1.4 Korkeamman kertaluvun yhtälöt k:nnen kertaluvun di erentiaaliyhtälö F (y [k] ; y [k 1] ; : : : ; y [1] ; t) = 0, missä y [j] = d j y(t)=dt j Toisen kertaluvun lineaarinen di erentiaaliyhtälö ay + b _y + cy = 0 esim. mitkä ovat sellaisia hyötyfunktioita, joille u 00 (x)=u 0 (x) = a (vasen puoli on nk. Arrow-Pratt riskin karttamismitta), u 00 (x) + au 0 (x) = 0 tätä muotoa olevien di.yhtälöiden tämän (yleinen) ratkaisu löytyy yritteellä y = e t! kun yhtälöllä a 2 + b + c = 0 on erilliset, reaaliset juuret 1 ja 2, niin yleinen ratkaisu on y(t) = c 1 e 1t + c 2 e 2t huom. c 1 ja c 2 voidaan ratkaista kun alkuarvot y(0) ja _y(0) = 0 on annettu Esim. ratkaistaan di.yhtälö u 00 (x) + au 0 (x) = 0 ytite u = e x, saadaan yhtälö 2 + a = 0, eli = 0 tai = a, jolloin (yleinen) ratkaisu on u(x) = C 1 e 0x + C 2 e ax = C 1 + C 2 e ax 2

3 Huom. yleisessä ratkaisussa on yhtälön kertaluvun verran (integroimis)vakioita alkuarvotehtävässä oltava tarpeeksi alkuehtoja yritettä y = e t voi käyttää myös korkeamman kertaluvun lineaarisille, vakiokertoimisille di.yhtälöille Toisen kertaluvun di.yhtälöstä ensimmäisen kertaluvun yhtälösysteemiin otetaan käyttöön uusi muuttuja z = _y, jolloin a _z + bz + cy = 0, eli ratkaistavana on di erentiaaliyhtälöpari _z = bz=a cy=a, _y = z ylesemminkin: muuttujia lisäämällä korkeamman asteen di erentiaaliyhtälö voidaan muuttaa kertaluvun 1 di erentiaaliyhtälösysteemiksi 1.5 Di erentiaaliyhtälösysteemit Yleinen ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö _x = F (x; t), missä x 2 R n, t 2 R (jatkuva aika) ja F : R n+1 7! R n Esim. Solowin kasvumalli pääoma K, työvoima L, tuotantofunktio f(k; L), vakio-osuus s pääomasta investoidaan, työvoima kasvaa nopeudella, pääoma kuluu nopeudella : _K = sf(k; L) K _L = L 1.6 Lineaariset di.yhtälösysteemit Lineaarinen di erentiaaliyhtälösysteemi _x = A(t)x+b(t), missä x(t); b(t) 2 R n ja A(t) on n n-matriisi Jatkossa keskitytään homogeeniseen autonomiseen tapaukseen; A(t) = A ja b(t) = 0 kaikilla t, eli _x 1 = a 11 x 1 + : : : + a 1n x n. _x n = a n1 x 1 + : : : + a nn x n kuten edellä, jos haetaan alkuarvoa x 0 vastaavaa ratkaisua, puhutaan alkuarvotehtävästä 3

4 1.7 Ratkaisu diagonalisoimalla a11 a Oletetaan hetkeksi di erentiaaliyhtälö, jossa kerroinmatriisina A = 12 a 22 Kuten di erenssiyhtälöiden tapauksessa havaitaan, että jos a 12 = a 21 = 0, ratkaisu olisi x 1 (t) = C 1 e a11t ja x 2 (t) = C 2 e a22t! jos A ei ole diagonaalimatriisi, niin diagonalisoidaan se päädytään ratkaisuun samalla päättelyllä kuin di erenssiyhtälöille Lause: Kun A on diagonalisoituva ja i, i = 1; : : : ; n ovat erilliset, nollasta poikkeavat ominaisarvot, niin di erentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = C 1 e 1t v 1 + C 2 e 2t v 2 + : : : + C n e nt v n ; missä c i ovat vakioita, ja v i ovat ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit (i = 1; : : : ; n) a 21 Alkuarvotehtävän ratkaisu on x(t) = P e Dt P 1 x(0) samat oletukset kuin edellä huom. P e Dt P 1 = e At, eli ratkaisu on aivan samaa muotoa kuin skalaaritapauksessa (x(t) 2 R) 1 4 Esimerkki 1: di erentiaaliyhtälö _x = Ax, jossa A = 1 1 lasketaan A:n ominaisarvot: det(a I) = (1 )(1 ) 4 = 0, eli = 0, saadaan 1;2 = (2 p 2 2 4( 3))=2 = 12 = 3; 1 ominaisvektoreiksi saadaan: (1; 0:5) ja (1; 0:5) (miten?) di erentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on x1 (t) = c x 2 (t) 1 e 3t 1 + c 0:5 2 e t 1 0:5 Esimerkki 2: _z = bz=a cy=a, _y = z b=a c=a kerroinmatriisi A = 1 0 ominaisarvot: det(a I) = ( b=a )+c=a = 0 eli 2 +(b=a)+ c=a = 0, a 2 + b + c = 0 (huom. oletus a 6= 0) karakteristinen yhtälö on täsmälleen sama, joka saatiin yritteellä y = e t systeemille ay + b _y + c = 0 4

5 1.8 Stabiilisuus Origo x = 0 on systeemin _x = Ax tasapaino x = 0 on _x = Ax systeemin (globaalisti) asymptoottisesti stabiili tasapaino, jos ratkaisu suppenee kohti x = 0:aa kaikilla alkuarvoilla stabiilisuutta voi tutkia ominaisarvojen avulla: jos ominaisarvojen reaaliosat ovat negatiivisia, niin origo on (glob. as.) stabiili huom. osa ominaisarvoista voi olla kompleksisia globaali stabiilisuus: alkuarvo saa olla mitä tahansa, lokaali staabiilisuus: alkuarvon on oltava lähellä x = 0:aa 1.9 Tasapainojen stabiilisuus Tarkastellaan systeemejä (DY) _x = F (x), missä F : R n R 7! R n käsitteet yleinen ratkaisu ja alkuarvotehtävän ratkaisu kuten lineaarisille systeemeille huom. oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että F ei riipu t:stä Taloustieteessä dynaamiset systeemit ovat usein epälineaarisia, eli F on epälineaarinen (x:n suhteen)! analyyttinen ratkaiseminen hankalaa tai mahdotonta! pääkiinnostus on yleensä mallin tasapainoissa ja niiden stabiilisuudessa eikä niinkään analyyttisessä ratkaisemisessa Määritelmä: x on systeemin _x = F (x) tasapaino, jos F (x ) = 0 tasapaino (equilibrium) engl. myös steady state tai rest point huom. tasapainoja voi olla useita Määritelmä: x on systeemin _x = F (x) asymptoottisesti stabiili tasapaino alueessa S, jos x(t; x 0 )! x, kun t! 1 kaikilla x 0 2 S tässä x(t; x 0 ) on aluarvotehtävän ratkaisu alkuarvolla x 0 jos x on stabiili jollakin x :n ympäristöllä S niin, x on lokaalisti stabiili jos x on stabiili kaikilla mahdollisilla alkuarvoilla x 0, niin x on globaalisti stabiili Esim. kasvumalli k _ = sf(k) f on tuotantofunktio (1 + )k, missä k on pääoma per capita, ja kysymyksiä: milloin mallilla on tasapaino ja milloin se on stabiili? myös tasapainojen määrä voi olla kiinnostava/hyödyllinen tieto 5

6 1.10 1D tapaus - skalaarisysteemit Oletus x 2 R (eli x skalaari), _x = F (x) Vaihediagrammit halutaan tietää (1) mitkä ovat tasapainoja ja (2) miten ratkaisut käyttäytyvät x-akselin eri alueissa! ratkaistaan siis tasapainot ja piirretään funktion F (x) kuvaaja: alueissa, joissa F :n kuvaaja on x-akselin yläpuolella (eli _x > 0) ratkaisut liikkuvat oikealle ja päinvastaisessa tapauksessa vasemmalle tasapaino on lokaalisti stabiili silloin, kun sen molemmilla puolilla ratkaisu lähenee tasapainoa, näin käy kun tasapaino pisteessä x funktio F vaihtaa merkin positiivisesta (eli F pos. kun x < x ) negatiiviseksi, eli F 0 (x ) < 0 esim. hahmottele vaihediagrammi systeemille _x = x(2 x) 1.11 Stabiilisuus linearisoimalla Lause: Systeemin _x = F (x) tasapaino x on lokaalisti asymptoottisesti stabiili jos Jacobin matriisin DF (x ) ominaisarvojen reaaliosat ovat negatiiviset jos yksikin ominaisarvojen reaaliosista on positiivinen, niin tasapaino on epästabiili tasapainon lähellä systeemin linearisaatio kuvaa dynamiikkaa! Huom. F (x) F (x )+DF (x )(x x ) = DF (x )(x x ), siirtämällä origo x :een, eli y = x x saadaan _y = DF (x )y tulos on yleistys 1d havainnolle että F 0 (x ) < 0 Esim. kahden lajin populaatiomalli _x 1 = x 1 (4 x 1 x 2 ) _x 2 = x 2 (6 x 2 3x 1 ) lasketaan tasapainot: (i) (x 1 ; x 2 ) = (0; 0), (ii) (x 1 ; x 2 ) = (0; 6), (iii) (x 1 ; x 2 ) = (4; 0), (iv) (x 1 ; x 2 ) = (1; 3) huom. ratkaistavana on epälineaarinen yhtälöpari, joten ratkaiseminen voi olla hankalaa, tässä tapauksessa kuitenkin havaitaan että ratkaisut saadaan yhdistelemällä ehtoja x 1 = 0, x 2 = 0, 4 x 1 x 2 = 0 ja 6 x 2 3x 1 = 0 4 2x1 x lasketaan Jacobin matriisi 2 x 1 3x 2 6 2x 2 3x 1 ominaisarvot: (i) 1;2 = 4; 6, (ii) 1;2 = 2; 6, (iii) 1;2 = 4; 6, (iv) 1;2 = 2 p 10 6