3. kierros. 2. Lähipäivä

Transkriptio

1 3. kierros. Lähipäivä

2 Viikon aihe (viikko /) Takaisinkytketyt vahvistimet Takaisinkytkentä, suljettu säätöluuppi Nyquistin kriteeri, stabiilisuus Taajuusanalyysi, Boden ja Nyquistin diagrammit Systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt PID-säädin

3 Tavoitteet: tietää Takaisinkytkentään liittyvät tärkeimmät käsitteet Avoimen ja suljetun silmukan vahvistus Takaisinkytkentäkerroin β Paluuerotus ja silmukkavahvistus Vaihe- ja vahvistusmarginaali Stabiilisuus ja Routhin kaavio Boden ja Nyquistin diagrammit PID-säädin

4 Tavoitteet: ymmärtää Takaisinkytkennän vaikutus vahvistimen ominaisuuksiin. Vahvistuksen herkkyys Kaistanleveys Lineaarisuus Lähteen, kuorman ja takaisinkytkentäverkon vaikutus paluuerotukseen ja silmukkavahvistukseen Miksi takaisinkytketty vahvistin voi olla epästabiili Taajuusanalyysin merkitys säädössä

5 Tavoitteet: soveltaa Analysoida idealisoitujen takaisinkytkettyjen systeemien ominaisuuksia (mm. stabiilisuus, nopeus, värähtelyt) Analysoida takaisinkytketyn vahvistimen stabiilisuutta Bode- ja Nyquistin diagrammien avulla

6 Tietoisku I: Stabiilisuus Matalilla taajuuksilla A s K, ja silmukkavahvistus A on vakio Korkeammilla taajuuksilla A(s) muuttuu ja vaihesiirto silmukan ympäri ei välttämättä ole enää 80 Jos silmukkavahvistuksen vaihe kääntyy toiset 80 astetta, takaisinkytkentä muuttuu positiiviseksi

7 Suljetun silmukan navat Stabiilin systeemin navat sijaitsevat vasemmassa puolitasossa (tai yksinkertaisina origossa) Tarkastellaan kahden navan vahvistimen suljetun silmukan vastetta: A ( s) ( s + )( s + ) A( s) K = + β A( s) s + s( + ) + ( β K ) ( + β K ) ( β K ) A f = + ( s) = K f + + f + Tulos pitää paikkansa vain kun suljetun silmukan navat ovat kaukana toisistaan.

8 Hyvyysluku Suljetun silmukan siirtofunktion Q saadaan helposti A f :n lausekkeesta ( ) ( ) ( ) β K s s K s A f = ( ) = s Q s K s H ( ) β + + = K Q

9 Ominaistaajuus ja vaimennussuhde Siirtofunktio K G(s)= n s + ζ n s+ n Ominaistaajuus n Vaimennussuhde ζ=cos(α)= Q x n Im α Re x

10 Boden diagrammi Tuttua asiaa esitietokurssilta Kerrataan säännöt

11 Stabiilisuus graafisesti Stabiilisuus voidaan tutkia suoraan silmukkavahvistuksen Bode-diagrammista Stabiilisuusehto A, kun vaihe on 80 o Vaihevaran määritelmä? Vahvistusvaran määritelmä? Mikä vahvistus määrää stabiiliuden?

12 Siirtofunktion nollat Siirtofunktion osoittajan nollakohtia sanotaan systeemin nolliksi Nollat vaikuttavat vasteiden alkukäyttäytymiseen ne vastaavat vaikutukseltaan alkuarvoja Systeemi on ei-minimivaiheinen, jos sillä on yksikin nolla oikeassa puolitasossa Nollat voivat kumota vastaavan navan (ja samalla navan käyttäytymise). Ei toimi kuitenkaan epästabiilin navan kohdalla.

13 Harjoituksia: Lasketaan tehtävät 4 ja 5

14 Simulaatio Kehitelkää muutamia siirtofunktioita ja kokeiltaa, miten saatte vahvistus- ja vaihekäyrät muodostettua Työvälineenä voi olla joko LTSpice tai MATLAB

15 Tietoisku II: Nyquistin diagrammi Systeemin käyttäytymistä voidaan tutkia taajuustasossa Boden diagrammin lisäksi Nyquistin diagrammin avulla G( j )=R{G( j )}+ j I {G( j )} Amplitudisuhde saadaan taajuusvasteen itseisarvosta ja vaihe-ero napakulmasta: A { } { } { } y A = 0, Re ( ) 0 A = G( j ) = Re G( j ) + Im G( j ) n = G j > u, ϕ = { G( j )} = arctan(im { G( j )} Re { G( j )} ) + nπ n =, Re { G( j )} < 0

16 Nyquistin diagrammi Nyquistin diagrammi on polaaridiagrammi, jossa systeemin taajuusvaste kuvataan kompleksitasossa taajuuden muuttuessa nollasta äärettömään Soveltuu erinomaisesti stabiilisuustarkasteluun: Takaisinkytketty järjestelmä on stabiili, jos avoimen silmukan Nyquistin diagrammi kiertää pisteen - vastapäivää täsmälleen yhtä monta kertaa kuin avoimen silmukan siirtofunktiolla on napoja oikeassa puolitasossa

17 Esimerkki: Nyquist Systeemiä säädetään P-säätimellä (vahvistus). Onko säädetty järjestelmä stabiili vahvistuksen arvoilla, 4 ja 7? G( s) = s s s + 5 G ( s) = K c P G ( s) = OL KP ( s ) s s + 5 Y ref (s) + _ E(s) G c (s) Säädin U(s) G(s) Prosessi Avoimella silmukalla napaa oikeassa puolitasossa Nyquistin diagrammin olisi kierrettävä piste - kaksi kertaa, jotta säädetty systeemi olisi stabiili Y(s)

18 Esimerkki: Nyquist Matlabilla saadaan diagrammit: Milloin systeemi stabiili?

19 Vahvistus- ja vaihevarat Nyquistin diagrammista nähdään myös vahvistus- ja vaihevarat: Nyquistin diagrammi leikkaa negatiivisen reaaliakselin pisteessä -a vahvistusvara on /a Negatiivisesta reaaliakselista on g:n suuruinen kulma Nyquistin diagrammin ja yksikköympyrän leikkauspisteeseen vaihevara on g

20 Harjoituksia: Lasketaan tehtävä

21 Tietoisku III: Routh-Hurwitz-kriteeri Jos systeemin navat tunnetaan, niin stabiilisuus on helppo todeta Jos napa-polynomissa on mukana symbolisia parametreja ja tahdotaan ratkaista, millä parametrien arvoilla systeemi on stabiili, ei juurien ratkaiseminen numeerisesti onnistu käytetään Routhin kaaviota

22 Routhin kaavio Polynomille a s n n 0 + as + + an s + an muodostetaan Routhin kaavio seuraavasti: n s a a a a a n s a a a a a n s b b b b n 3 s b b b b n 4 s c c c n 5 s c c c s s 0 z z b b b z 0 a0 a a0 a4 a0 a6 =, b =, b4 =, a a a a a a a a a a a3 a a5 a a7 =, b3 =, b5 =, b b b b b b b b b b0 b b0 b4 b0 b6 =, b3 =, b5 =, b b b b b b b b b = a n

23 Routhin kaavio Kaavion. sarakkeessa olevien merkinvaihtojen lukumäärä on polynomin oikeassa puolitasossa olevien juurien lukumäärä Eli: systeemi on stabiili, jos. sarakkeessa ei ole yhtään merkinvaihtoa Jos. sarakkeeseen tulee 0, korvataan se pienellä pos. luvulla ϵ. Lopuksi tutkitaan ϵ:stä riippuvien termien raja-arvot, kun ϵ 0.

24 Harjoituksia: lasketaan tehtäviä

25 Tietoisku IV: kotiprojekti Ryhmien tulosten purkaminen ensi viikolla keskiviikkona

26 Seuraavalla kerralla Jatketaan takaisinkytkennän parissa