Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria."

Transkriptio

1 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6, k 0, Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41 m 4,1cm ,00m 0,154...m 0,15 m 1,5cm,00m 0,646...m 0,646 m 64,6cm Vatau: Mitat ovat pituu 1,5 cm, leve 4,1 cm ja korkeu 64,6 cm. Kertauoa 1. β + 7 Koka kulmat ja βovat vierukulmia, niiden umma on β 180 β β 180 β 14 : β 71,5 71, , 5 Vatau: 108,5, β 71, 5. Kuvaan merkitt kulmat ovat amankotaiia kulmia. Koka uorat ja t ovat denuuntaiia, kulmat ovat tä uuria : a) 50 mm 5 cm,5 dm 0,5 m b) 0,1 kg 1, g 1 dag 10 g c) 4 cl,4 dl 0,4 l d) 1,5 1,5 60 min 75 min e) 400 dm 4 m 0,4 a f) 0,055 m 55 dm cm 4. Koka tieden kiköä eiint gramma, muutetaan veden maa mö grammoiki. 5 5 m 9,50 10 mg 9, g 9,50 10 m maa ρ tie V tilavuu m a) Koka ρ V 950, g V g 0,9654 cm 984,16...cm g b) ρ 0,99997 g 950, g, niin V m. ρ 980cm cm 950, g V m ρ g 0,99997 cm 950,8...cm Jäätneen veden tilavuu alkuperäietä proentteina on 950,8...cm 0, ,5...% 984,16...cm Tilavuu on pienentnt 100 % 96,5 %,46 %,5 % 79

2 Kertauoa 5. Koka nopeuden kiköä eiint tunti, muutetaan annettu aika 1,8 tunneiki. 1,8 1,8 1,8 1,8 min matka t aika v nopeu Koka v, niin vt. t Veneen etäi km 1,8 vt 54,4 600,671 km,7 km Koka v, niin t. t v Laiturilla ituja kuulee äänen ajanetken t kuluttua.,671 km t km 14,8 0, ,197...min 7, ,78 1,8 5,98 6,0 Vatau: Veneen etäi on,7 km. Laiturilla ituja kuulee äänen 6,0 ukeltajaa möemmin. 6. Merkitään kolmion lintä ivua kirjaimella. Piin ivu on ii ja toieki piin ivu + 15 cm Piin ivu on ii 1cm 6cm, toieki piin + 15 cm 1cm + 15cm 6cm ja lin ivu 1 cm. :5 7. Merkitään kulmien uuruukia ja 5. Suunnikkaan kulmien umma on 60 ja vatakkaiet kulmat ovat täuuret, joten aadaan tälö : , Kulmien uuruudet ii ovat 5, , , , Vatau: Kulmat ovat 51 ja 19 ( kpl kumpaakin) 8. Suorakulmion kulmat ovat kaikki uoria, joten : 4,5 Tarkatellaan uorakulmiota tiettä kotaa, joka on taaklkinen kolmio: β Kolmion kolma kulma on β ritikulmana. Kolmion kulmien umma on 180, joten aadaan tälö: + + β β 180 6,5 + β β 180 β 45 Vatau:,5, β 45 Vatau: 6 cm, 6 cm, 1 cm 80

3 Kertauoa 9. Merkitään kolmion ivua kirjaimella ja viiikulmion kirjaimella. Taaivuien kolmion piiri on. Säännöllien viiikulmion piiri on 5. Piirit ovat täuuret, joten aadaan tälö 5 : 5 : 5 1, ( ,66 )%66,66 % Vatau: 67% 10. Ptagoraan laueen mukaan + 9,5 1 5,75 ± 5,75 ± 7,1... Koka >0, niin 7,1 cm 7, cm. 1. 6, ,98... tai 4 6,0 86 1, Koka > 0, niin 16,98 cm. Kateetit ovat ii 16,98 cm 17 cm ja,0 cm 16,98 cm,0 cm 1,98 cm 14 cm Vatau: 17 cm ja 14 cm, m Merkitään korkeutta kirjaimella. +,,4 0,47 ± 0,47 ± 0, Koka >0, niin 0,685 m 0,69 m Vatau: 0,69 m,4 m Vatau: 7, cm 11. Merkitään toita kateettia kirjaimella. Toinen kateetti on tällöin,0 cm. +, ,0 ± 6,0 ± ( ) (,0)(,0),0,0 + 9, , ( 6,0) 4 ( 475) 4 1. a) Kolmio on uorakulmainen, joten 17cm co 5 cm 47, b) Kolmio on uorakulmainen, joten 5,4 m in5 in5 5,4 m :in5 5,4 m 9, m 9,4 m in5 Vatau: a) 47 b) 9,4 m 81

4 Kertauoa cm 18 cm 18cm tan 1 cm 56, cm tanβ 18cm β, Suorakulmaien kolmion kolma kulma on 90. Vatau: Suoran kulman liäki kulmat 56 ja 4. Laivojen välinen etäi on +. 15m tan8,5 tan8,5 15m 15m 100,67...m tan8,5 15m tan1 tan1 15m 15m 70,569...m tan1 Etäi + 100,67 m + 70,569 m 170,967 m 170 m Vatau: 170 m β 15 m 8, Korkeujana puolittaa uippukulman ja kannan cm 11 cm tan tan1 4,5... Koka korkeujana puolitti kannan, niin koko kannan pituu on ii 4,5...cm 8,445...cm 8,4 cm. Taaklkien kolmion kljen pituu aadaan tälötä 11 co1 co1 11 : co , co1 Kljen pituu on ii 11,785 cm 1 cm. Vatau: Klkien pituu 1 cm ja kanta 8,4 cm 17. Piirretään mallikuva: 8,5,5 m Merkitään puun korkeutta kirjaimella. 8

5 Kertauoa Tilanteeta muodotuu uorakulmainen kolmio. Muodotuvata uorakulmaieta kolmiota aadaan:,5,5 m co81,5 co81,5,5 : co81,5,5 16, co81,5 Puun pituu on 16,9167 m 17 m. Vatau 17 m 90-8,5 81,5 in in6 67, mm 67, mm 900 mm 9cm Vatau: a) 6,9 m b) 9 cm 889,4...mm 18. a),4m 5, m Laketaan eni kolmion korkeu. +,4 5, 16,5 ± 16,5 ± 4, Koka >0, niin 4,0657 m,4 m 4, m 6, m 6,9 m b) 77 mm mm Laketaan enin kolmion korkeu. 19. Merkitään kolmion kantaa lauekkeella. Koka korkeujana puolittaa kannan, on kannan puolika. 60 1,0 tan60 tan60 1,0 60 1,0 6,98... tan60 1,0 cm Kolmion kanta on ii 6,98...cm 1,856...cm. 1,856...cm 8,184...cm Vatau: 8,1 cm 1,0cm 8,1cm 1,0 cm 8

6 Kertauoa 0. Merkitään toita kateettia kirjaimella. Toinen kateetti on 5,0 cm. Suorakulmaien kolmion kateetit ovat amat kuin kolmion kanta ja korkeu. ( 5,0) 8 5,0 8 5,0 76 5, ,0 ± ( 5,0) 4 1 ( 76) 5,0 ± 9 5, , tai 5,0 9 6, Koka >0, niin 11,569 cm. Kateetit ovat ii 11,569 cm 1 cm ja 5,0 cm 11, 569 cm 5,0 cm 6,569 cm 6,6 cm. Vatau: Kateetit ovat 1 cm ja 6,6 cm. 1. Merkitään kolmion kantaa kirjaimella ja korkeutta kirjaimella. + Koka kolmion ala on 45 cm, niin aadaan tälö ( ) ± 4 ( 1) ( 90) ± 169 ± tai 5 Kolmion kanta 5,0 cm tai 18 cm Vatau: 5,0 cm tai 18 cm. Merkitään kolmion korkeutta kirjaimella. Korkeujana puolittaa uippukulman ja kannan. Muodotuu uorakulmainen kolmio. tan14 tan14 88,7... tan14 44 cm 1941,...cm Vatau: 19 dm. a) Laketaan uunnikkaan korkeu muodotuvata uorakulmaieta kolmiota. 88,7...cm 19dm 4,9 dm in45,,, in45,67..., dm 44 cm 14 8 cm ,9dm,67...dm 11,087...dm 11 dm 84

7 Kertauoa b) Keeä on taaklkinen puoliuunnika, koka kantakulmat ovat täuuret. Tilanteeta muodotuu uorakulmainen kolmio, jota voidaan lakea puoliuunnikka an korkeu. tan65 16,5 16,5 tan 65 16,5 5, ,84...cm 8 cm 197cm 5,84...cm 485,5...cm ( + 115cm) 5 dm Vatau: a) 11 dm b) 5 dm 4. Merkitään uorakulmion levettä kirjaimella. Pituu on ii 5,0 m. ( 5,0) 84 5, cm - 8cm 5,0 ± ( 5,0) 4 1 ( 84) 5,0 ± 61 5,0 ± 19 5, tai 5, Koka >0, niin 1 m Tällöin 5,0 m 1 m 5,0 m 7,0 m. Vatau: Mitat ovat 1 m ja 7,0 m ,5 cm 5. ( + +,0 ) ( +,0) , , : Koka >0, niin 1 m. Tällöin +,0 m15 m. 1 m 1,5 ± 1,5 4 1 ( 16) 1,5 ± 650,5 1,5 + 5,5 1 tai 1,5 5,5 1,5,0 m Puoliuunnikkaan viimeinen ivu aadaan muodotuneeta uorakulmaieta kolmiota. 1 +, ± +,0 m 1 m 1 m 15 ± 1,69... Koka >0, niin 1,69 m 1,4 m. Vatau: Sivut ovat 1 m, 1 m, 1,4 m ja 15 m. 85

8 Kertauoa 6. Sormuken alkaiija on 1,8 cm 18 mm, joten en keä on p 18 mm π 56,548...mm,0 mm timantteja iien matuu 56,548...mm 8, kappaletta.,0 mm 7. Koka koko keää p vataa 60 ateen kekukulma, aadaan verranto 15 4, dm 60 p 15 p 151 dm : 15 p 100, 8 dm p 100 dm Ymprän äde on tällöin 100, 8 dm 16, dm 16 dm. π 8. Kekukulmaa vataa kaari, jonka pituu on 75 cm. 60 ateen kulmaa vataa koko mprän keä p: p π 75 cm 471,...cm Tätä aadaan verranto , , :471,... 57, Olkoon mprän äde r, jolloin en ala on π r. Tätä alaa vataa 60 ateen kulma. Sektorin alaa 50 cm vataa 0 ateen kulma. Tätä aadaan verranto πr 0πr : 0π 000 r π 000 r ± ± 0, π eli mprän äde on 1 cm. 1. Kolmion uippukulma on 60, joten r tan0 6 r 6tan0, cm Tällöin π, cm 7, cm 8 cm ( ). Koka ektorin kekukulma on alle 180, egmentin ala aadaan väentämällä ektorin alata kolmion ala. r 1 cm mm 9. Olkoon mprän äde r. Tällöin πr 6 : π 6 r π 6 r ± ±, ( cm) π Keän pituu p on p π,85...cm 1,6...cm 1cm Sektorin ala 100 ektori π , ( mm ) 86

9 Kertauoa Kolmio on taaklkinen. Laketaan enin kolmion korkeu ja kannan puolika a. co co50 16, a in a 5in 50 a 19, ( mm) ( mm) Kolmion ala: a kolmio a 5in 50 5co50 07,75... Segmentin ala egmentti ektori 40mm ( mm ) kolmio 545,415...mm 7,66...mm a 100 : 50 5 mm 07,75...mm. Merkitään piteen etäittä mprän kekipiteetä kirjaimella. 4. Merkitään läetalueen 670 km b ulottuvuutta teenuuntaan kirjaimella b ja radiomaton korkeutta kirjaimella. 670 km 5 m 0,05 km 670 co 0, ,05 0, Läetalue ulottuu kaaren b päään. 0, b π 670km 60 1,116...km 1km 5. Maapallon äde 670 km. Merkitään näkvlauetta vataavaa kekukulmaa merkinnällä. Laketaan kekukulman puolika uorakulmaieta kolmiota. 670 km 670 co , km , : 17,5 1 m Koko näkvaluetta vataava kekukulma on koko maapallon kekukulmata proentteina 1 in17,5 in17,5 1 : in17,5 1 in17,5 4,... ( m) Etäi 4, m 1 m 0, m 0 m 18, , %

10 Kertauoa 6. Teatterin äde r 6 m : 1 m. 1 m 150 m b β Lin reitti teatterin mpäri kootuu kadeta uorata mprän kaareta b. Suorien oien pituu: ± 178,5... ( m) Laketaan kulman uuruu. 1 co 0, ,18... Ymprän keää pitkin kuljettavaa matkaa vataa kekukulma β , ,7... Kaaren b pituu on 199,7... b π 1m ,06...m 150 m + 1 m 181 m 1 m Koko matkan pituu b + 108,06...m + 178,5...m 464,711...m 460 m Laketaan enin kulman uuruu co 0, ,9... Koko näkökenttää vataava kekukulma on 69,9 18,79. Näkökentän kekukulma on koko mprän kekukulmata proentteina 18, , % Janat B ja DE ovat denuuntaiia. D E 7 cm 5 cm C B Kolmiot BC ja ECD ovat B denmuotoiet (kk-laue), koka kulmat C ritikulmina täuuret, kulmat E ja amankotaiina kulmina täuuret , 7 18,4 : 7 44, 61, cm Pödän korkeu 5 cm + 44, cm 96, cm 96 cm. 7. Pallon äde r 8 cm : 19 cm. 19 cm 5 cm 88

11 Kertauoa 9. Merkitään neliön ivua kirjaimella. C 4 cm E D 5 cm Kolmiot BC ja DBE ovat denmuotoiet (kk-laue), koka molemmia 90 kulma, kulma B teinen ( 5 ) : 9,..., Vatau:, m ( m) B a + 18 a + a a / a/ ( + 18) Kolmion korkeu on 54 cm + 18 cm 7 cm. Kolmion ala 6 cm 7 cm cm, dm dm 0,m ( ) 40. Merkitään ivun D pituutta kirjaimella a. Tällöin ivun DC pituu on a. C 41. Pituu kuvaa (cm) Pituu luonnoa (cm) 8, ,8 D a a 18 6 E B 8, , 8 8, , 6 165, 75 : 8,8 Vaimon todellinen pituu on 166 cm. Kolmiot BC ja DEC ovat denmuotoiet (kk-laue), koka kulmat ja D ovat amankotaiina kulmina täuuret, molemmia kolmioia on kulma C. 4. Olkoon ala luonnoa. Pinta-alojen ude on mittakaavan neliö eli la on cm 0,8 a. 89

12 Kertauoa 4. Olkoon pienemmän kuvion ala 1 ja uuremman ala. Tällöin Pienempi kuvio on iommata % π 10 : π 10 π 10, π Pojan alkaiija on ii, cm 6,7 cm ( cm) 44. Olkoon kuvan leve ennen uurennuta, jolloin e on uurennuken jälkeen 1,5. Leve la 1 1,5 1 1, , , 565 1, 565 Suurennuken jälkeen kuva on 1,565- kertainen vanaan näden eli en koko kavaa 56,5 % 56 %. 1 Olkoon ärmiön pojan lävitäjä ja avaruulävitäjä l. l l l, 0 18 ± l , 0 + 5, ± 4 ± 6, eli lävitäjän pituu on 6,6 dm. l,0 dm,0 dm 5,0 dm 45. Olkoon purkin äde. Sen tilavuu on tällöin π π. Koka purkkiin matuu 1, dl 0,1 l kalaa, en tilavuu on 0,1 dm 10 cm. 90

13 Kertauoa maa 47. Koka tie, tilavuu maa tilavauu. tie Jääkuution tilavuu on näin ollen 16, 1g 0, 0161k g kg kg 0,917 0,917 dm dm 0, dm 17, 55...cm Jo ärmän pituu on, 17, 55..., Pojana oleva äännöllinen 8-kulmio voidaan jakaa 8 tenevään taaklkieen kolmioon: Jo tämän kolmion korkeu on, 1, 7 cm tan,5 1, 7 cm tan,5 4, cm,5,5 Pojan ala on tällöin 8 4,104...cm 1,7 cm 55,816...cm ( ) 1,7 cm 1,7 cm 48. eli,60 cm. Koka vaippa muodotuu kadekata uorakulmiota, joiden kanta on,4 cm ja korkeu 10, cm, on kokonaipinta-ala 55, cm + 8, 4 cm 10, cm 89,07...cm 90 cm 50. Korkeu 1 dm Pojamprän äde r 8,0 dm : 4,0 dm Olkoon kuution ivun pituu, jolloin lieriön äde on. V π π lieriä kuutio 8 ( ) V Lieriön tilavuu kuution tilavuudeta on V V lieriä lkuutio π 8 π 0, % 8 Tilavuu: πr π ( 4,0dm) 1dm V 01,06...dm 00dm Vaipan lakemieki tarvitaan ivujanan pituu. + r ± ± 1,64... ( dm) r Vaipan ala: v πr π 4,0dm 1,64...dm 158,95..dm 160dm Vatau: Tilavuu on 00 dm ja vaipan ala 160 dm. 91

14 Kertauoa 51. Merkitään ivutakona olevan kolmion korkeutta kirjaimella. ja pramidin iälle muodotuvan uorakulmaien kolmion toita kateettia kirjaimella. Ratkaitaan enin kateetin pituu. Koka poja on äännöllinen viiikulmio, e voidaan jakaa viideki kekenään amanlaieki kolmioki. 4,1 m :,05 m Tällöin jokaien kolmion uippukulma on ja 6 5,05 tan 6 tan 6,05 : tan 6,05,81... tan 6 Sivutakon korkeu aadaan Ptagoraan laueella. + 6,4 48,91... ± +, ,91... ± 6, Kolmion ala 4,1 6, k 14,8... ( m) ( m) ( m ) 4,1 m 5. Laketaan enin ektorin kaaren pituu. 170 b π 5,4 dm 60 16,01...dm Sektorin kaaren pituu b on tä uuri kuin pojamprän keän pituu. Merkitään pojamprän ädettä kirjaimella r. Tällöin ( ) ( π) πr 16,01... : 16,01... r π r,55 dm Kartion ivujana ja alkuperäien mpräektorin äde ovat tä uuret. Kartion korkeu aadaan Ptagoraan laueella. +,55 5,4 5,4,55.,6575 ±,6575 ± 4, Kartion tilavuu πr π,55,6575 V,41... dm Vatau: dm ( ) ( dm),55 dm 5,4 dm Pramidin vaipan ala v 5 k 5 14,8...m 71,69...m 7m 9

15 Kertauoa 5. Samppanjalain uuaukon äde r 6,1 cm :,05 cm. Muutetaan tilavuu kuutioenttimetreiki. 1 cl 1, dl 0,1 l 0,1 dm 10 cm Saadaan tälö πr V π,05 10 π,05 60 :,05 60,05 π 1,18... ( π) ( cm) Koko lain korkeu 1,18 cm + 6,8 cm 19,111 cm 19 cm Vaipan alan lakemieki tarvitaan ivujanan pituu. a + a a 10a ± ± ( ) + 9a 10a 10 7,55... ± 56,44... ±, Vaipan ala πr v 5,00...cm π 7,55... cm,944...cm 50cm a a 54. Merkitään kartion pojan alkaiijaa merkinnällä a. Kartion korkeu on tällöin a. Pojan äde r a Kartion tilavuu πr πa / a V πa / a 55. Rantapallon tilavuu: V,0 dm 4π r,0 4πr 99,0 :4π r r 99,0 4π 99,0 4π 1, Koka tilavuu on 100 cm, aadaan tälö πa 100 : π 100 a π 100 a 81,97... ρ a 7,55... ( cm) 4πr 4π 49,758...dm ( 1, dm) Vatau: 49,8 dm 49,8 dm 9

16 Kertauoa 56. Merkitään kuution ivua kirjaimella km,5 b,5 Tällöin pallon äde on. kuutio pallo pallo kuutio 6 4 π 4π π 4 π π 0,5 6 6 π Vatau: 5 6 0, Ktt etäi on kuvaan muodotuneen ektorin (kekukulma,5 +,5 47 ) kaaren pituu b. 47 b π 670km 55,4... km 60 50km Vatau: 50 km 59. Laketaan kannateltavan aineken tilavuu. 57. V tanko π ( 0,95cm) 150cm 45,9... cm,0 mm 16 cm V pallot ( 14 cm) 4π 988,08... cm Valaiimen ulkoäde on ii 16, cm ja iääde 16 cm. V valai in Vulko Viä ( 16, cm) 4π( 16cm) 4π 4π 451,58 cm 4π 4096cm 651,47416 cm 0, dm Yteitilavuu on ii V V + V 41,7...cm tanko pallot,417...dm Tanko painaa kg,417...dm 7,8 dm 18,64...kg 180kg Vatau: 180 kg Valaiin painaa ii kg,5 0, dm dm 1,686...kg 1,6kg Vatau: 1,6 kg 94

17 Harjoitukokeiden ratkaiut 60. Merkitään pallon ädettä kirjaimella r. Tällöin lieriön pojan alkaiija on r eli pallon alkaiija. Samoin lieriön korkeu on r. Pallo ii juuri matuu lieriöön. V lieriö poja 4πr V pallo 4πr V pallo V πr lieriö r Vatau: 4πr π r r 1 πr πr 4 6 Harjoitukokeiden ratkaiut Harjoitukoe 1 1. a) Kulma β ja 80 :een kulma ovat amankotaiia kulmia. Koka uorat l ja m ovat denuuntaiia, β 80. Kolmion kulmien umma on γ 180 γ γ 65 r Kulmat ja γ ovat vierukulmia. + γ γ b) Kulma γ ja 0 :een kulma ovat amankotaiia kulmia. Koka uorat l ja m ovat denuuntaiia, γ 0. Kulmat γ ja muodotavat deä 90 :een kulman. γ γ Kulmat ja β ovat amankotaiia kulmia. Koka uorat l ja m ovat denuuntaiia, β 70. Vatau: a) 115, β 80 b) 70, β 70. a) Merkitään uoraa matkaa kirjaimella. koulu km ± 5 ±,6... Suoraan metän läpi kulkeva matka on, km. b) Pidempi matka km+ 1 km km. ikaa matkaan kuluu t 0 min 0,5. Nopeu v t km 0,5 Polkua pitkin aikaa kuluu 5 km t v km 6 0,76...km,6...min min km 6 km koti 95

18 Harjoitukokeiden ratkaiut. a) Merkitään lintä matkaa rannalta aareen kirjaimella : 40 ( m) 10 m b) 40 m Reijon etäi 50 m aaren kekipiteetä on Reijo 10 m + 40 m + 50 m 100 m Merkitään ktn kulman puolikata kirjaimella. 10 in 0, , , c) Veden pinta nouee ii 8 mm 0,8 cm 0,08 dm 0,008 m. Suorakulmion ala 650 m 100m 65000m uorakulmio 0 m 10 m 100 m 100 m Tilavuu kavaa V 64685,84...m 517,486...m 50m 0,008 m Muutetaan tilavuu litroiki: 50 m dm l Vatau: a) 40 m b) 11 c) l 4. a) Merkitään Suannan aaman palan kekukulmaa merkinnällä 15. Lain palan kekukulma on tällöin : 16, , , , ,54... b) Säde r 15 cm Reunan pituu on 45,45... π 15cm 64,59...cm cm Vatau: a) Suanna 45, Lai 115 b) 64 cm 5. Merkitään laivan etäittä vuoreta alua kirjaimella ja lopua kirjaimella. Ymprän ala πr mprä π 14,15...m Järven pinta-ala uorakulmio ( 10m) mprä 70 m v u o r i 4 laiva lopua 0 laiva alua m 14,15...m 64685,84... m 96

19 Harjoitukokeiden ratkaiut Etäi alua: 70 tan 0 tan 0 70 : tan 0 70 tan 0 005, ( m) ( m) Etäi lopua: 70 tan 4 tan 4 70 : tan 4 70 tan 4 810,74... Laivan on kuljettava matka. 005,658...m 810,74...m 1194,911...m 1, km 6. Vovelikartion uuaukon äde 5,0 cm r,5 cm a) Tilavuu πr π (,5 cm) V 81,81... cm 8 cm b) Vaipan alan lakemieki tarvitaan kartion ivujanan pituu. ( 1,5 cm) + (,5 cm) 16,5 cm ± + r 16,5 cm ± 1,747...cm 1,5cm r,5 cm 1,5 cm Sivujanan pituu on poitiivinen luku, joten 1,747 cm. Vaipan ala πr π,5cm 1, cm 100,119...cm 100 cm 1dm ( ) 7. a) Laketaan eitteen pinta-ala. 40mm 5 mm e ite 1000 mm 10cm Muutetaan rakennuken todellinen pintaala amaan kikköön (cm ). luonto 10 m 1000 dm cm Merkitään mittakaavaa kirjaimella k. Pinta-alojen ude on täuuri kuin mittakaavan neliö eli eite k luonto 10 cm k cm 1 k k ± k ± 0,01 Koka mittakaava on poitiivinen luku, 1 k 0,01 1 : b) Mitat luonnoa 40 mm mm 4,0 m 5 mm mm,5 m Vatau: a) Mittakaava on 1 : 100, b) Mitat ovat 4,0 m,5 m. 97

20 Harjoitukokeiden ratkaiut 8. Merkitään etäittä maanpinnata kirjaimella. atelliitti 86 Harjoitukoe Merkitään atelliitin etäittä maan kekipiteetä kirjaimella. ( km) 670 km km Ratkaitaan etäi uorakulmaieta kolmiota. 670 in 4 86 : in : in in4 940, Satelliitin etäi maanpinnata on 670 km 940,19... km 670 km 970,19... km 970 km b) Merkitään kttä etäittä kirjaimella b. Ratkaitaan enin kaarta b vataava kekukulma. Koka kolmion kulmien umma on 180, aadaan tälö atelliitti 4 b 1. a) Kolmio on uorakulmainen, joten in0 6,5 cm 6,5 cm in0,5 cm, cm b) Ydenmuotoiuuden nojalla aadaan 7, 0 + 5, 0 10, 0 10, 0 7, 0 + 5, , ( cm). a) Koka mittakaava on 1:50 000, on kartalla,8 cm pituu luonnoa 50000,8 cm cm 1,4 km b) Olkoon uon ala luonnoa. Tällöin 1, , ( cm ) la on ii luonnoa 5 a. Kaaren pituu 47 b π 670 km 60 55,4...km 50 km Vatau: a) 970 km b) 50 km 98

21 Harjoitukokeiden ratkaiut. 6, 1, 8,0 Merkitään tä kulmaa mbolilla. Tällöin tan1, 8, 0 8, 0 tan1, 7, mm 50 mm tan6, 7, , tan6, 18, io ektori π 60 ( 5 cm) 16, 6... cm Tornin korkeu on + 8,0 m 18, m + 8,0 m 6,9 m 4. 5-kulmio voidaan jakaa viideki identtieki taaklkieki kolmioki, jolloin kolmion uippukulma on ,5 dm,5 dm Kolmion korkeu olkoon pieni ektori π 60 Ktt ala on tällöin io ektori 16,6...cm 100cm pieni ektori ( 1dm ) ( 10 cm) 109, cm 109,08...cm 6. Olkoon keinen korkeu , 5 tan6, 5 tan6, kulmion ala on tällöin 5, 5 dm,449...dm ( ) 4, dm 4dm 99

22 Harjoitukokeiden ratkaiut Kulmaa vataavan ektorin kaaren pituu on 1900 km. 60 atetta vataa koko mprän keän pituu eli π π , co17, co17, co17, , Satelliitin on oltava 90 km korkeudea. + 1, 6 + 1, 6 + 1, 6, 7 4, 7 ± 4, 7 ±, , 7, 17 ±, 17 ± 1, Pramidin tilavuu poja V (, m) 1, m 5, m 5, 0 m 7. Puolipallon tilaavuu 1 4π 50 cm V 61, dm Jo virtaunopeu on tättmieen kuluu 61,79...dm dm 0,5 ( ) 747, ,5 min l dm 0, 5 0, 5, ( 1min 8 ) 8. Pramidin ivutako on taaklkinen kolmio, jonka korkeu olkoon. Pramidin korkeu taa olkoon.,7 m Harjoitukoe 1. a) Kartalla Luonnoa cm cm m 14 km 14 km b) t, 8 48min v 5km/ Vatau: a) 14 km b) 48 min, m 1,6 m 100

23 Harjoitukokeiden ratkaiut. a) Laketaan enin kolmion korkeu. 5,0 m 5,0 m 6,0 m ± 4 Koka korkeu aina poitiivinen, 4 m. a) ( ) πr π 11,4 cm 408,8...cm b) Koko palan pinta-ala 15 11, 4 1 π 17, Marjaoan pinta-ala 15 π ( 11,4 1,8 ) π 9,6 1, Ouu proentteina 1, , % 17, Kolmion ala 6,0m 4,0m 1,0m Vatau: a) 408 cm b) 71% b) 1, cm 4. a) Merkitään lipputangon pituutta kirjaimella. 6,4 cm 5 16,7 cm Laketaan enin puoliuunnikkaan korkeu. in5 6,4 6,4 6,4 in5 Puoliuunnikkaan ala 16,7 m+ 1, m 6,4 in 5 7,17...cm 7,0 m tan55 7,0 7,0 7,0 tan55 9, b) Merkitään lempää ivua kirjaimella. Pidempi ivu on tällöin. 55 Vatau: a) Kolmion ala 1 m b)puoliuunnikkaan ala on 7 cm. 101

24 Harjoitukokeiden ratkaiut Koka uorakulmion piiri on 5 cm, aadaan tälö: : 8 5,15 8,15 9,75 6. Piirretään mallikuva. Lentäjä näkee lentokoneeta kaaren b. 670 b 10,5 Vatau: a) 10 m b),1 cm ja 9,4 cm 5. Merkitään kolmion potenuuaa kirjaimella ja pidempää kateettia kirjaimella. Lempi kateetti on tällöin 6,5. 6,5 ( 6,5) ( 6,5) 55,8 111,6 6,5 111,6 0 6,5 ± 6,5 ± 14,0... 6, ,65 tai ( 111,6) 10,79... Koka ivunpituu aina poitiivinen, 14,0 cm Toinen kateetti tällöin 6,5 cm 7,80 cm Hpotenuua 14, , , 45 16, cm Laketaan enin kaarta b vataava kekukulma. 670 co ,5 670 co 680,5,87... Kaaren b pituu on b π , b 0, ,91% π 670 Vatau: 0,91 % 7. Piirretään mallikuva. Merkitään kttä etäittä kirjaimella. 8,0 m C B 1,9 m 5,5 m Kolmiot BC ja DE denmuotoiet, koka kummaakin uora kulma ja kulma on teinen. E D Vatau: Kateetit ovat 14 cm, 7,8 cm ja potenuua 16 cm. 10

25 Harjoitukokeiden ratkaiut ( 1, 9 1, 6) ( 5, 5 1, 6) 1, , 8, , 9 ( 8 + ) 467, 4 + 1, 908, 1, 440, 8 Vatau: 5,8 m 8. Merkitään pramidin pojaneliön ivua kirjaimella. 5, Laketaan ivukolmion korkeu kartion iään muodotuvata uorakulmaieta kolmiota. 4, 5 0, 75 + ± 4, Yden ivukolmion ala 4, 55...,. Kartion kokonaipinta-ala + 4 cm kok poja 14,88... cm + 4,...cm Laketaan pojaneliön ivun pituu. + 4 ± : a) Tilavuu 1 1 V 1 4, 5 b) Pojan pinta-ala poja cm Pramidin ivutakot ovat taaklkiiä kolmioita.,0 Vatau: a),0 cm b) 15 cm 9. Koka lieriön poikkileikkau on neliö, ovat pojan alkaiija ja lieriön korkeu täuuret. Lieriön tilavuu 57 l 57 dm. Saadaan ii tälö: πr 57 πr r 57 πr 57 : π 57 r π 57 r, π Korkeu r, , Vatau: Pojan äde 0,9 cm, korkeu 41,7 cm r r 10

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92 MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita MAB: Avaruuskappaleita Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Pyörädyskappaleen pinta syntyy, kun funktion kuvaaja pyörätää suoran ympäri., suomennos Matti Pauna LIERIÖ JA KARTIO Lieriöt ja kartiot ovat yksinkertiaisimpia

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm. Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä

Lisätiedot

Leppävaaran torni noussut täyteen korkeuteensa

Leppävaaran torni noussut täyteen korkeuteensa TAMK/ Rakennualan työnjoto Aikuikoulutu Valintakoe 6..0, Ratkaiut VASTAUSOSA, OSIO (Tektin ymmätäminen) Leppävaaan toni nouut täyteen kokeuteena Vataa euaaviin tetäviin valitemalla vaitoeto OIKEIN, jo

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Kuitinmäen koulu Syksy 2006 Avaruusgeometrian soveltavia tehtäviä... 3 1. Päästäänkö uimaan?... 3 2. Mummon kahvipaketti... 3 3. Tiiliseinä... 4 4. SISUSTUSTA... 5 5. Kirkon torni...

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Fy07 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1 / 5

Fy07 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1 / 5 y07 Koe 8.9.05 Kuopion yeon lukio (KK) / 5 Vataa kolmeen tehtävään. Vatuken reitani on 60, käämin induktani on 0,60 H ja reitani 8 ja kondenaattorin kapaitani on 80. Komponentit ovat arjaan kytkettyinä

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

Y56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä

Y56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä 1 Y6 Lakuharjoituket 3 alautu ma 3.. klo 16 menneä Harjoitu 1. Lue enin Vihmo, Jouni (006) Alkoholijuomien hintajoutot uomea vuoina 199 00, Yhteikuntaolitiikka 71, 006/1 ivut 9 ja vataa itten kyymykiin.

Lisätiedot

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

b) Laskiessani suksilla mäkeä alas ja hypätessäni laiturilta järveen painovoima tekee työtä minulle.

b) Laskiessani suksilla mäkeä alas ja hypätessäni laiturilta järveen painovoima tekee työtä minulle. nergia. Työ ja teho OHDI JA TSI -. Opettaja ja opikelija tekevät hyvin paljon aanlaita ekaanita työtä, kuten liikkuinen, kirjojen ja eineiden notainen, liikkeellelähtö ja pyähtyinen. Uuien aioiden oppiinen

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA

GEOMETRIAN PERUSTEITA GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 YMPYRÄ POHDITTAVAA 1. Piin likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella on 3,1. Lasketaan piin likiarvoja vaihe vaiheelta, kunnes saavutetaan haluttu tarkkuus. 1 π = 4 = 4 1 1 1 π = 4 =,66... 1 3 1 1 1 π =

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 6 5 4 5 4 3 + 4 3 2 3 2 1. a) 88 b) 66 c) 78 d) 76 Ratkaisu. Suoralla laskulla: 6 5 4 5 4 3 + 4 3 2 3 2 1

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateolliuuden Kutannuoakeyhtiö Opetuhallitu 00-uotiäätiö Otaa AMMATIKKA top..05 MALLIRATKAISUT Toien ateen ammatillien koulutuken kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

7. Pyörivät sähkökoneet

7. Pyörivät sähkökoneet Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot