Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Transkriptio

1 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6, k 0, Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41 m 4,1cm ,00m 0,154...m 0,15 m 1,5cm,00m 0,646...m 0,646 m 64,6cm Vatau: Mitat ovat pituu 1,5 cm, leve 4,1 cm ja korkeu 64,6 cm. Kertauoa 1. β + 7 Koka kulmat ja βovat vierukulmia, niiden umma on β 180 β β 180 β 14 : β 71,5 71, , 5 Vatau: 108,5, β 71, 5. Kuvaan merkitt kulmat ovat amankotaiia kulmia. Koka uorat ja t ovat denuuntaiia, kulmat ovat tä uuria : a) 50 mm 5 cm,5 dm 0,5 m b) 0,1 kg 1, g 1 dag 10 g c) 4 cl,4 dl 0,4 l d) 1,5 1,5 60 min 75 min e) 400 dm 4 m 0,4 a f) 0,055 m 55 dm cm 4. Koka tieden kiköä eiint gramma, muutetaan veden maa mö grammoiki. 5 5 m 9,50 10 mg 9, g 9,50 10 m maa ρ tie V tilavuu m a) Koka ρ V 950, g V g 0,9654 cm 984,16...cm g b) ρ 0,99997 g 950, g, niin V m. ρ 980cm cm 950, g V m ρ g 0,99997 cm 950,8...cm Jäätneen veden tilavuu alkuperäietä proentteina on 950,8...cm 0, ,5...% 984,16...cm Tilavuu on pienentnt 100 % 96,5 %,46 %,5 % 79

2 Kertauoa 5. Koka nopeuden kiköä eiint tunti, muutetaan annettu aika 1,8 tunneiki. 1,8 1,8 1,8 1,8 min matka t aika v nopeu Koka v, niin vt. t Veneen etäi km 1,8 vt 54,4 600,671 km,7 km Koka v, niin t. t v Laiturilla ituja kuulee äänen ajanetken t kuluttua.,671 km t km 14,8 0, ,197...min 7, ,78 1,8 5,98 6,0 Vatau: Veneen etäi on,7 km. Laiturilla ituja kuulee äänen 6,0 ukeltajaa möemmin. 6. Merkitään kolmion lintä ivua kirjaimella. Piin ivu on ii ja toieki piin ivu + 15 cm Piin ivu on ii 1cm 6cm, toieki piin + 15 cm 1cm + 15cm 6cm ja lin ivu 1 cm. :5 7. Merkitään kulmien uuruukia ja 5. Suunnikkaan kulmien umma on 60 ja vatakkaiet kulmat ovat täuuret, joten aadaan tälö : , Kulmien uuruudet ii ovat 5, , , , Vatau: Kulmat ovat 51 ja 19 ( kpl kumpaakin) 8. Suorakulmion kulmat ovat kaikki uoria, joten : 4,5 Tarkatellaan uorakulmiota tiettä kotaa, joka on taaklkinen kolmio: β Kolmion kolma kulma on β ritikulmana. Kolmion kulmien umma on 180, joten aadaan tälö: + + β β 180 6,5 + β β 180 β 45 Vatau:,5, β 45 Vatau: 6 cm, 6 cm, 1 cm 80

3 Kertauoa 9. Merkitään kolmion ivua kirjaimella ja viiikulmion kirjaimella. Taaivuien kolmion piiri on. Säännöllien viiikulmion piiri on 5. Piirit ovat täuuret, joten aadaan tälö 5 : 5 : 5 1, ( ,66 )%66,66 % Vatau: 67% 10. Ptagoraan laueen mukaan + 9,5 1 5,75 ± 5,75 ± 7,1... Koka >0, niin 7,1 cm 7, cm. 1. 6, ,98... tai 4 6,0 86 1, Koka > 0, niin 16,98 cm. Kateetit ovat ii 16,98 cm 17 cm ja,0 cm 16,98 cm,0 cm 1,98 cm 14 cm Vatau: 17 cm ja 14 cm, m Merkitään korkeutta kirjaimella. +,,4 0,47 ± 0,47 ± 0, Koka >0, niin 0,685 m 0,69 m Vatau: 0,69 m,4 m Vatau: 7, cm 11. Merkitään toita kateettia kirjaimella. Toinen kateetti on tällöin,0 cm. +, ,0 ± 6,0 ± ( ) (,0)(,0),0,0 + 9, , ( 6,0) 4 ( 475) 4 1. a) Kolmio on uorakulmainen, joten 17cm co 5 cm 47, b) Kolmio on uorakulmainen, joten 5,4 m in5 in5 5,4 m :in5 5,4 m 9, m 9,4 m in5 Vatau: a) 47 b) 9,4 m 81

4 Kertauoa cm 18 cm 18cm tan 1 cm 56, cm tanβ 18cm β, Suorakulmaien kolmion kolma kulma on 90. Vatau: Suoran kulman liäki kulmat 56 ja 4. Laivojen välinen etäi on +. 15m tan8,5 tan8,5 15m 15m 100,67...m tan8,5 15m tan1 tan1 15m 15m 70,569...m tan1 Etäi + 100,67 m + 70,569 m 170,967 m 170 m Vatau: 170 m β 15 m 8, Korkeujana puolittaa uippukulman ja kannan cm 11 cm tan tan1 4,5... Koka korkeujana puolitti kannan, niin koko kannan pituu on ii 4,5...cm 8,445...cm 8,4 cm. Taaklkien kolmion kljen pituu aadaan tälötä 11 co1 co1 11 : co , co1 Kljen pituu on ii 11,785 cm 1 cm. Vatau: Klkien pituu 1 cm ja kanta 8,4 cm 17. Piirretään mallikuva: 8,5,5 m Merkitään puun korkeutta kirjaimella. 8

5 Kertauoa Tilanteeta muodotuu uorakulmainen kolmio. Muodotuvata uorakulmaieta kolmiota aadaan:,5,5 m co81,5 co81,5,5 : co81,5,5 16, co81,5 Puun pituu on 16,9167 m 17 m. Vatau 17 m 90-8,5 81,5 in in6 67, mm 67, mm 900 mm 9cm Vatau: a) 6,9 m b) 9 cm 889,4...mm 18. a),4m 5, m Laketaan eni kolmion korkeu. +,4 5, 16,5 ± 16,5 ± 4, Koka >0, niin 4,0657 m,4 m 4, m 6, m 6,9 m b) 77 mm mm Laketaan enin kolmion korkeu. 19. Merkitään kolmion kantaa lauekkeella. Koka korkeujana puolittaa kannan, on kannan puolika. 60 1,0 tan60 tan60 1,0 60 1,0 6,98... tan60 1,0 cm Kolmion kanta on ii 6,98...cm 1,856...cm. 1,856...cm 8,184...cm Vatau: 8,1 cm 1,0cm 8,1cm 1,0 cm 8

6 Kertauoa 0. Merkitään toita kateettia kirjaimella. Toinen kateetti on 5,0 cm. Suorakulmaien kolmion kateetit ovat amat kuin kolmion kanta ja korkeu. ( 5,0) 8 5,0 8 5,0 76 5, ,0 ± ( 5,0) 4 1 ( 76) 5,0 ± 9 5, , tai 5,0 9 6, Koka >0, niin 11,569 cm. Kateetit ovat ii 11,569 cm 1 cm ja 5,0 cm 11, 569 cm 5,0 cm 6,569 cm 6,6 cm. Vatau: Kateetit ovat 1 cm ja 6,6 cm. 1. Merkitään kolmion kantaa kirjaimella ja korkeutta kirjaimella. + Koka kolmion ala on 45 cm, niin aadaan tälö ( ) ± 4 ( 1) ( 90) ± 169 ± tai 5 Kolmion kanta 5,0 cm tai 18 cm Vatau: 5,0 cm tai 18 cm. Merkitään kolmion korkeutta kirjaimella. Korkeujana puolittaa uippukulman ja kannan. Muodotuu uorakulmainen kolmio. tan14 tan14 88,7... tan14 44 cm 1941,...cm Vatau: 19 dm. a) Laketaan uunnikkaan korkeu muodotuvata uorakulmaieta kolmiota. 88,7...cm 19dm 4,9 dm in45,,, in45,67..., dm 44 cm 14 8 cm ,9dm,67...dm 11,087...dm 11 dm 84

7 Kertauoa b) Keeä on taaklkinen puoliuunnika, koka kantakulmat ovat täuuret. Tilanteeta muodotuu uorakulmainen kolmio, jota voidaan lakea puoliuunnikka an korkeu. tan65 16,5 16,5 tan 65 16,5 5, ,84...cm 8 cm 197cm 5,84...cm 485,5...cm ( + 115cm) 5 dm Vatau: a) 11 dm b) 5 dm 4. Merkitään uorakulmion levettä kirjaimella. Pituu on ii 5,0 m. ( 5,0) 84 5, cm - 8cm 5,0 ± ( 5,0) 4 1 ( 84) 5,0 ± 61 5,0 ± 19 5, tai 5, Koka >0, niin 1 m Tällöin 5,0 m 1 m 5,0 m 7,0 m. Vatau: Mitat ovat 1 m ja 7,0 m ,5 cm 5. ( + +,0 ) ( +,0) , , : Koka >0, niin 1 m. Tällöin +,0 m15 m. 1 m 1,5 ± 1,5 4 1 ( 16) 1,5 ± 650,5 1,5 + 5,5 1 tai 1,5 5,5 1,5,0 m Puoliuunnikkaan viimeinen ivu aadaan muodotuneeta uorakulmaieta kolmiota. 1 +, ± +,0 m 1 m 1 m 15 ± 1,69... Koka >0, niin 1,69 m 1,4 m. Vatau: Sivut ovat 1 m, 1 m, 1,4 m ja 15 m. 85

8 Kertauoa 6. Sormuken alkaiija on 1,8 cm 18 mm, joten en keä on p 18 mm π 56,548...mm,0 mm timantteja iien matuu 56,548...mm 8, kappaletta.,0 mm 7. Koka koko keää p vataa 60 ateen kekukulma, aadaan verranto 15 4, dm 60 p 15 p 151 dm : 15 p 100, 8 dm p 100 dm Ymprän äde on tällöin 100, 8 dm 16, dm 16 dm. π 8. Kekukulmaa vataa kaari, jonka pituu on 75 cm. 60 ateen kulmaa vataa koko mprän keä p: p π 75 cm 471,...cm Tätä aadaan verranto , , :471,... 57, Olkoon mprän äde r, jolloin en ala on π r. Tätä alaa vataa 60 ateen kulma. Sektorin alaa 50 cm vataa 0 ateen kulma. Tätä aadaan verranto πr 0πr : 0π 000 r π 000 r ± ± 0, π eli mprän äde on 1 cm. 1. Kolmion uippukulma on 60, joten r tan0 6 r 6tan0, cm Tällöin π, cm 7, cm 8 cm ( ). Koka ektorin kekukulma on alle 180, egmentin ala aadaan väentämällä ektorin alata kolmion ala. r 1 cm mm 9. Olkoon mprän äde r. Tällöin πr 6 : π 6 r π 6 r ± ±, ( cm) π Keän pituu p on p π,85...cm 1,6...cm 1cm Sektorin ala 100 ektori π , ( mm ) 86

9 Kertauoa Kolmio on taaklkinen. Laketaan enin kolmion korkeu ja kannan puolika a. co co50 16, a in a 5in 50 a 19, ( mm) ( mm) Kolmion ala: a kolmio a 5in 50 5co50 07,75... Segmentin ala egmentti ektori 40mm ( mm ) kolmio 545,415...mm 7,66...mm a 100 : 50 5 mm 07,75...mm. Merkitään piteen etäittä mprän kekipiteetä kirjaimella. 4. Merkitään läetalueen 670 km b ulottuvuutta teenuuntaan kirjaimella b ja radiomaton korkeutta kirjaimella. 670 km 5 m 0,05 km 670 co 0, ,05 0, Läetalue ulottuu kaaren b päään. 0, b π 670km 60 1,116...km 1km 5. Maapallon äde 670 km. Merkitään näkvlauetta vataavaa kekukulmaa merkinnällä. Laketaan kekukulman puolika uorakulmaieta kolmiota. 670 km 670 co , km , : 17,5 1 m Koko näkvaluetta vataava kekukulma on koko maapallon kekukulmata proentteina 1 in17,5 in17,5 1 : in17,5 1 in17,5 4,... ( m) Etäi 4, m 1 m 0, m 0 m 18, , %

10 Kertauoa 6. Teatterin äde r 6 m : 1 m. 1 m 150 m b β Lin reitti teatterin mpäri kootuu kadeta uorata mprän kaareta b. Suorien oien pituu: ± 178,5... ( m) Laketaan kulman uuruu. 1 co 0, ,18... Ymprän keää pitkin kuljettavaa matkaa vataa kekukulma β , ,7... Kaaren b pituu on 199,7... b π 1m ,06...m 150 m + 1 m 181 m 1 m Koko matkan pituu b + 108,06...m + 178,5...m 464,711...m 460 m Laketaan enin kulman uuruu co 0, ,9... Koko näkökenttää vataava kekukulma on 69,9 18,79. Näkökentän kekukulma on koko mprän kekukulmata proentteina 18, , % Janat B ja DE ovat denuuntaiia. D E 7 cm 5 cm C B Kolmiot BC ja ECD ovat B denmuotoiet (kk-laue), koka kulmat C ritikulmina täuuret, kulmat E ja amankotaiina kulmina täuuret , 7 18,4 : 7 44, 61, cm Pödän korkeu 5 cm + 44, cm 96, cm 96 cm. 7. Pallon äde r 8 cm : 19 cm. 19 cm 5 cm 88

11 Kertauoa 9. Merkitään neliön ivua kirjaimella. C 4 cm E D 5 cm Kolmiot BC ja DBE ovat denmuotoiet (kk-laue), koka molemmia 90 kulma, kulma B teinen ( 5 ) : 9,..., Vatau:, m ( m) B a + 18 a + a a / a/ ( + 18) Kolmion korkeu on 54 cm + 18 cm 7 cm. Kolmion ala 6 cm 7 cm cm, dm dm 0,m ( ) 40. Merkitään ivun D pituutta kirjaimella a. Tällöin ivun DC pituu on a. C 41. Pituu kuvaa (cm) Pituu luonnoa (cm) 8, ,8 D a a 18 6 E B 8, , 8 8, , 6 165, 75 : 8,8 Vaimon todellinen pituu on 166 cm. Kolmiot BC ja DEC ovat denmuotoiet (kk-laue), koka kulmat ja D ovat amankotaiina kulmina täuuret, molemmia kolmioia on kulma C. 4. Olkoon ala luonnoa. Pinta-alojen ude on mittakaavan neliö eli la on cm 0,8 a. 89

12 Kertauoa 4. Olkoon pienemmän kuvion ala 1 ja uuremman ala. Tällöin Pienempi kuvio on iommata % π 10 : π 10 π 10, π Pojan alkaiija on ii, cm 6,7 cm ( cm) 44. Olkoon kuvan leve ennen uurennuta, jolloin e on uurennuken jälkeen 1,5. Leve la 1 1,5 1 1, , , 565 1, 565 Suurennuken jälkeen kuva on 1,565- kertainen vanaan näden eli en koko kavaa 56,5 % 56 %. 1 Olkoon ärmiön pojan lävitäjä ja avaruulävitäjä l. l l l, 0 18 ± l , 0 + 5, ± 4 ± 6, eli lävitäjän pituu on 6,6 dm. l,0 dm,0 dm 5,0 dm 45. Olkoon purkin äde. Sen tilavuu on tällöin π π. Koka purkkiin matuu 1, dl 0,1 l kalaa, en tilavuu on 0,1 dm 10 cm. 90

13 Kertauoa maa 47. Koka tie, tilavuu maa tilavauu. tie Jääkuution tilavuu on näin ollen 16, 1g 0, 0161k g kg kg 0,917 0,917 dm dm 0, dm 17, 55...cm Jo ärmän pituu on, 17, 55..., Pojana oleva äännöllinen 8-kulmio voidaan jakaa 8 tenevään taaklkieen kolmioon: Jo tämän kolmion korkeu on, 1, 7 cm tan,5 1, 7 cm tan,5 4, cm,5,5 Pojan ala on tällöin 8 4,104...cm 1,7 cm 55,816...cm ( ) 1,7 cm 1,7 cm 48. eli,60 cm. Koka vaippa muodotuu kadekata uorakulmiota, joiden kanta on,4 cm ja korkeu 10, cm, on kokonaipinta-ala 55, cm + 8, 4 cm 10, cm 89,07...cm 90 cm 50. Korkeu 1 dm Pojamprän äde r 8,0 dm : 4,0 dm Olkoon kuution ivun pituu, jolloin lieriön äde on. V π π lieriä kuutio 8 ( ) V Lieriön tilavuu kuution tilavuudeta on V V lieriä lkuutio π 8 π 0, % 8 Tilavuu: πr π ( 4,0dm) 1dm V 01,06...dm 00dm Vaipan lakemieki tarvitaan ivujanan pituu. + r ± ± 1,64... ( dm) r Vaipan ala: v πr π 4,0dm 1,64...dm 158,95..dm 160dm Vatau: Tilavuu on 00 dm ja vaipan ala 160 dm. 91

14 Kertauoa 51. Merkitään ivutakona olevan kolmion korkeutta kirjaimella. ja pramidin iälle muodotuvan uorakulmaien kolmion toita kateettia kirjaimella. Ratkaitaan enin kateetin pituu. Koka poja on äännöllinen viiikulmio, e voidaan jakaa viideki kekenään amanlaieki kolmioki. 4,1 m :,05 m Tällöin jokaien kolmion uippukulma on ja 6 5,05 tan 6 tan 6,05 : tan 6,05,81... tan 6 Sivutakon korkeu aadaan Ptagoraan laueella. + 6,4 48,91... ± +, ,91... ± 6, Kolmion ala 4,1 6, k 14,8... ( m) ( m) ( m ) 4,1 m 5. Laketaan enin ektorin kaaren pituu. 170 b π 5,4 dm 60 16,01...dm Sektorin kaaren pituu b on tä uuri kuin pojamprän keän pituu. Merkitään pojamprän ädettä kirjaimella r. Tällöin ( ) ( π) πr 16,01... : 16,01... r π r,55 dm Kartion ivujana ja alkuperäien mpräektorin äde ovat tä uuret. Kartion korkeu aadaan Ptagoraan laueella. +,55 5,4 5,4,55.,6575 ±,6575 ± 4, Kartion tilavuu πr π,55,6575 V,41... dm Vatau: dm ( ) ( dm),55 dm 5,4 dm Pramidin vaipan ala v 5 k 5 14,8...m 71,69...m 7m 9

15 Kertauoa 5. Samppanjalain uuaukon äde r 6,1 cm :,05 cm. Muutetaan tilavuu kuutioenttimetreiki. 1 cl 1, dl 0,1 l 0,1 dm 10 cm Saadaan tälö πr V π,05 10 π,05 60 :,05 60,05 π 1,18... ( π) ( cm) Koko lain korkeu 1,18 cm + 6,8 cm 19,111 cm 19 cm Vaipan alan lakemieki tarvitaan ivujanan pituu. a + a a 10a ± ± ( ) + 9a 10a 10 7,55... ± 56,44... ±, Vaipan ala πr v 5,00...cm π 7,55... cm,944...cm 50cm a a 54. Merkitään kartion pojan alkaiijaa merkinnällä a. Kartion korkeu on tällöin a. Pojan äde r a Kartion tilavuu πr πa / a V πa / a 55. Rantapallon tilavuu: V,0 dm 4π r,0 4πr 99,0 :4π r r 99,0 4π 99,0 4π 1, Koka tilavuu on 100 cm, aadaan tälö πa 100 : π 100 a π 100 a 81,97... ρ a 7,55... ( cm) 4πr 4π 49,758...dm ( 1, dm) Vatau: 49,8 dm 49,8 dm 9

16 Kertauoa 56. Merkitään kuution ivua kirjaimella km,5 b,5 Tällöin pallon äde on. kuutio pallo pallo kuutio 6 4 π 4π π 4 π π 0,5 6 6 π Vatau: 5 6 0, Ktt etäi on kuvaan muodotuneen ektorin (kekukulma,5 +,5 47 ) kaaren pituu b. 47 b π 670km 55,4... km 60 50km Vatau: 50 km 59. Laketaan kannateltavan aineken tilavuu. 57. V tanko π ( 0,95cm) 150cm 45,9... cm,0 mm 16 cm V pallot ( 14 cm) 4π 988,08... cm Valaiimen ulkoäde on ii 16, cm ja iääde 16 cm. V valai in Vulko Viä ( 16, cm) 4π( 16cm) 4π 4π 451,58 cm 4π 4096cm 651,47416 cm 0, dm Yteitilavuu on ii V V + V 41,7...cm tanko pallot,417...dm Tanko painaa kg,417...dm 7,8 dm 18,64...kg 180kg Vatau: 180 kg Valaiin painaa ii kg,5 0, dm dm 1,686...kg 1,6kg Vatau: 1,6 kg 94

17 Harjoitukokeiden ratkaiut 60. Merkitään pallon ädettä kirjaimella r. Tällöin lieriön pojan alkaiija on r eli pallon alkaiija. Samoin lieriön korkeu on r. Pallo ii juuri matuu lieriöön. V lieriö poja 4πr V pallo 4πr V pallo V πr lieriö r Vatau: 4πr π r r 1 πr πr 4 6 Harjoitukokeiden ratkaiut Harjoitukoe 1 1. a) Kulma β ja 80 :een kulma ovat amankotaiia kulmia. Koka uorat l ja m ovat denuuntaiia, β 80. Kolmion kulmien umma on γ 180 γ γ 65 r Kulmat ja γ ovat vierukulmia. + γ γ b) Kulma γ ja 0 :een kulma ovat amankotaiia kulmia. Koka uorat l ja m ovat denuuntaiia, γ 0. Kulmat γ ja muodotavat deä 90 :een kulman. γ γ Kulmat ja β ovat amankotaiia kulmia. Koka uorat l ja m ovat denuuntaiia, β 70. Vatau: a) 115, β 80 b) 70, β 70. a) Merkitään uoraa matkaa kirjaimella. koulu km ± 5 ±,6... Suoraan metän läpi kulkeva matka on, km. b) Pidempi matka km+ 1 km km. ikaa matkaan kuluu t 0 min 0,5. Nopeu v t km 0,5 Polkua pitkin aikaa kuluu 5 km t v km 6 0,76...km,6...min min km 6 km koti 95

18 Harjoitukokeiden ratkaiut. a) Merkitään lintä matkaa rannalta aareen kirjaimella : 40 ( m) 10 m b) 40 m Reijon etäi 50 m aaren kekipiteetä on Reijo 10 m + 40 m + 50 m 100 m Merkitään ktn kulman puolikata kirjaimella. 10 in 0, , , c) Veden pinta nouee ii 8 mm 0,8 cm 0,08 dm 0,008 m. Suorakulmion ala 650 m 100m 65000m uorakulmio 0 m 10 m 100 m 100 m Tilavuu kavaa V 64685,84...m 517,486...m 50m 0,008 m Muutetaan tilavuu litroiki: 50 m dm l Vatau: a) 40 m b) 11 c) l 4. a) Merkitään Suannan aaman palan kekukulmaa merkinnällä 15. Lain palan kekukulma on tällöin : 16, , , , ,54... b) Säde r 15 cm Reunan pituu on 45,45... π 15cm 64,59...cm cm Vatau: a) Suanna 45, Lai 115 b) 64 cm 5. Merkitään laivan etäittä vuoreta alua kirjaimella ja lopua kirjaimella. Ymprän ala πr mprä π 14,15...m Järven pinta-ala uorakulmio ( 10m) mprä 70 m v u o r i 4 laiva lopua 0 laiva alua m 14,15...m 64685,84... m 96

19 Harjoitukokeiden ratkaiut Etäi alua: 70 tan 0 tan 0 70 : tan 0 70 tan 0 005, ( m) ( m) Etäi lopua: 70 tan 4 tan 4 70 : tan 4 70 tan 4 810,74... Laivan on kuljettava matka. 005,658...m 810,74...m 1194,911...m 1, km 6. Vovelikartion uuaukon äde 5,0 cm r,5 cm a) Tilavuu πr π (,5 cm) V 81,81... cm 8 cm b) Vaipan alan lakemieki tarvitaan kartion ivujanan pituu. ( 1,5 cm) + (,5 cm) 16,5 cm ± + r 16,5 cm ± 1,747...cm 1,5cm r,5 cm 1,5 cm Sivujanan pituu on poitiivinen luku, joten 1,747 cm. Vaipan ala πr π,5cm 1, cm 100,119...cm 100 cm 1dm ( ) 7. a) Laketaan eitteen pinta-ala. 40mm 5 mm e ite 1000 mm 10cm Muutetaan rakennuken todellinen pintaala amaan kikköön (cm ). luonto 10 m 1000 dm cm Merkitään mittakaavaa kirjaimella k. Pinta-alojen ude on täuuri kuin mittakaavan neliö eli eite k luonto 10 cm k cm 1 k k ± k ± 0,01 Koka mittakaava on poitiivinen luku, 1 k 0,01 1 : b) Mitat luonnoa 40 mm mm 4,0 m 5 mm mm,5 m Vatau: a) Mittakaava on 1 : 100, b) Mitat ovat 4,0 m,5 m. 97

20 Harjoitukokeiden ratkaiut 8. Merkitään etäittä maanpinnata kirjaimella. atelliitti 86 Harjoitukoe Merkitään atelliitin etäittä maan kekipiteetä kirjaimella. ( km) 670 km km Ratkaitaan etäi uorakulmaieta kolmiota. 670 in 4 86 : in : in in4 940, Satelliitin etäi maanpinnata on 670 km 940,19... km 670 km 970,19... km 970 km b) Merkitään kttä etäittä kirjaimella b. Ratkaitaan enin kaarta b vataava kekukulma. Koka kolmion kulmien umma on 180, aadaan tälö atelliitti 4 b 1. a) Kolmio on uorakulmainen, joten in0 6,5 cm 6,5 cm in0,5 cm, cm b) Ydenmuotoiuuden nojalla aadaan 7, 0 + 5, 0 10, 0 10, 0 7, 0 + 5, , ( cm). a) Koka mittakaava on 1:50 000, on kartalla,8 cm pituu luonnoa 50000,8 cm cm 1,4 km b) Olkoon uon ala luonnoa. Tällöin 1, , ( cm ) la on ii luonnoa 5 a. Kaaren pituu 47 b π 670 km 60 55,4...km 50 km Vatau: a) 970 km b) 50 km 98

21 Harjoitukokeiden ratkaiut. 6, 1, 8,0 Merkitään tä kulmaa mbolilla. Tällöin tan1, 8, 0 8, 0 tan1, 7, mm 50 mm tan6, 7, , tan6, 18, io ektori π 60 ( 5 cm) 16, 6... cm Tornin korkeu on + 8,0 m 18, m + 8,0 m 6,9 m 4. 5-kulmio voidaan jakaa viideki identtieki taaklkieki kolmioki, jolloin kolmion uippukulma on ,5 dm,5 dm Kolmion korkeu olkoon pieni ektori π 60 Ktt ala on tällöin io ektori 16,6...cm 100cm pieni ektori ( 1dm ) ( 10 cm) 109, cm 109,08...cm 6. Olkoon keinen korkeu , 5 tan6, 5 tan6, kulmion ala on tällöin 5, 5 dm,449...dm ( ) 4, dm 4dm 99

22 Harjoitukokeiden ratkaiut Kulmaa vataavan ektorin kaaren pituu on 1900 km. 60 atetta vataa koko mprän keän pituu eli π π , co17, co17, co17, , Satelliitin on oltava 90 km korkeudea. + 1, 6 + 1, 6 + 1, 6, 7 4, 7 ± 4, 7 ±, , 7, 17 ±, 17 ± 1, Pramidin tilavuu poja V (, m) 1, m 5, m 5, 0 m 7. Puolipallon tilaavuu 1 4π 50 cm V 61, dm Jo virtaunopeu on tättmieen kuluu 61,79...dm dm 0,5 ( ) 747, ,5 min l dm 0, 5 0, 5, ( 1min 8 ) 8. Pramidin ivutako on taaklkinen kolmio, jonka korkeu olkoon. Pramidin korkeu taa olkoon.,7 m Harjoitukoe 1. a) Kartalla Luonnoa cm cm m 14 km 14 km b) t, 8 48min v 5km/ Vatau: a) 14 km b) 48 min, m 1,6 m 100

23 Harjoitukokeiden ratkaiut. a) Laketaan enin kolmion korkeu. 5,0 m 5,0 m 6,0 m ± 4 Koka korkeu aina poitiivinen, 4 m. a) ( ) πr π 11,4 cm 408,8...cm b) Koko palan pinta-ala 15 11, 4 1 π 17, Marjaoan pinta-ala 15 π ( 11,4 1,8 ) π 9,6 1, Ouu proentteina 1, , % 17, Kolmion ala 6,0m 4,0m 1,0m Vatau: a) 408 cm b) 71% b) 1, cm 4. a) Merkitään lipputangon pituutta kirjaimella. 6,4 cm 5 16,7 cm Laketaan enin puoliuunnikkaan korkeu. in5 6,4 6,4 6,4 in5 Puoliuunnikkaan ala 16,7 m+ 1, m 6,4 in 5 7,17...cm 7,0 m tan55 7,0 7,0 7,0 tan55 9, b) Merkitään lempää ivua kirjaimella. Pidempi ivu on tällöin. 55 Vatau: a) Kolmion ala 1 m b)puoliuunnikkaan ala on 7 cm. 101

24 Harjoitukokeiden ratkaiut Koka uorakulmion piiri on 5 cm, aadaan tälö: : 8 5,15 8,15 9,75 6. Piirretään mallikuva. Lentäjä näkee lentokoneeta kaaren b. 670 b 10,5 Vatau: a) 10 m b),1 cm ja 9,4 cm 5. Merkitään kolmion potenuuaa kirjaimella ja pidempää kateettia kirjaimella. Lempi kateetti on tällöin 6,5. 6,5 ( 6,5) ( 6,5) 55,8 111,6 6,5 111,6 0 6,5 ± 6,5 ± 14,0... 6, ,65 tai ( 111,6) 10,79... Koka ivunpituu aina poitiivinen, 14,0 cm Toinen kateetti tällöin 6,5 cm 7,80 cm Hpotenuua 14, , , 45 16, cm Laketaan enin kaarta b vataava kekukulma. 670 co ,5 670 co 680,5,87... Kaaren b pituu on b π , b 0, ,91% π 670 Vatau: 0,91 % 7. Piirretään mallikuva. Merkitään kttä etäittä kirjaimella. 8,0 m C B 1,9 m 5,5 m Kolmiot BC ja DE denmuotoiet, koka kummaakin uora kulma ja kulma on teinen. E D Vatau: Kateetit ovat 14 cm, 7,8 cm ja potenuua 16 cm. 10

25 Harjoitukokeiden ratkaiut ( 1, 9 1, 6) ( 5, 5 1, 6) 1, , 8, , 9 ( 8 + ) 467, 4 + 1, 908, 1, 440, 8 Vatau: 5,8 m 8. Merkitään pramidin pojaneliön ivua kirjaimella. 5, Laketaan ivukolmion korkeu kartion iään muodotuvata uorakulmaieta kolmiota. 4, 5 0, 75 + ± 4, Yden ivukolmion ala 4, 55...,. Kartion kokonaipinta-ala + 4 cm kok poja 14,88... cm + 4,...cm Laketaan pojaneliön ivun pituu. + 4 ± : a) Tilavuu 1 1 V 1 4, 5 b) Pojan pinta-ala poja cm Pramidin ivutakot ovat taaklkiiä kolmioita.,0 Vatau: a),0 cm b) 15 cm 9. Koka lieriön poikkileikkau on neliö, ovat pojan alkaiija ja lieriön korkeu täuuret. Lieriön tilavuu 57 l 57 dm. Saadaan ii tälö: πr 57 πr r 57 πr 57 : π 57 r π 57 r, π Korkeu r, , Vatau: Pojan äde 0,9 cm, korkeu 41,7 cm r r 10