Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /"

Transkriptio

1 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x yleinen ratkaisu. b) Määritä differentiaaliyhtälön y + 3y = 1 ratkaisu alkuehdolla y(0) = 7. Ratkaisu 1: a) y 3y = 14e 4x Ratkaistaan ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö integroivan tekijän avulla. Kerrotaan yhtälöä puolittain tekijällä e 3x. e 3x y 3e 3x y = 14e 7x Huomataan, että DY:n vasemmalla puolella kyseessä on itseasiassa funktion ye 3x derivaata. Ketjusäännöllä: d dx ye 3x = e 3x y 3e 3x y, joten DY supistuu muotoon: d dx (ye 3x ) = 14e 7x Integroidaan puolittain. Vasemmalta katoaa derivaatta ja oikealle saadaan integroimisvakio d dx (ye 3x ) = 14e 7x dx ye 3x = e 7x + C Nyt voimme ratkaista DY:n yleisen ratkaisun: y = e 4x + Ce 3x 1

2 b) y + 3y = 1 ratkaisu alkuehdolla y(0) = 7. Ratkaistaan tehtävä a-kohdan tapaan integroivan tekijän e 3x avulla. e 3x y + 3e 3x = 1e 3x d dx ye3x = 1e 3x d dx ye3x = 1e 3x dx ye 3x = 4e 3x + C y = 4 + Ce 3x Ratkaistaan vakio C alkuehdon avulla: y(0) = 4 + Ce 0 = 7 C = 3 DY:n eksplisiittinen ratkaisu siis: 4 + 3e 3x Tehtävä : Määritä differentiaaliyhtälöiden ratkaisut, kun alkuehtoina on y(0) = 5, y (0) = 10. a) y + 6y 16y = 0, b) y 6y + 9y = 0. Ratkaisu : a) y + 6y 16y = 0. Kyseessä toisen asteen homogeeninen ja lineaarinen DY. Lähdetään ratkomaan sitä yritteellä: y = e λt,jolloin: Nyt: y = λe λt y = λ e λt λ e λt + 6λe λt 16e λt = 0 Termi e λt voidaan jakaa pois, ja jäljelle jää yhtälö: λ + 6λ 16 = 0 Tätä kutsutaan DY:n karkateristiseksi yhtälöksi, joka voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. λ = 6 ± ( 16) = 8 tai

3 y voi olla siis muotoa C 1 e 8x tai C e x. Yleinen ratkaisu on näiden lineaarikombinaatio. (Yleisesti toisen asteen homogeenisen ja lineaarisen DY:n yleinen ratkaisu on muotoa: y(x) = C 1 e λ 1t + C e λ t. Yleisen ratkaisun muoto riippuu kuitenkin karak.yhtälön juurista.) Tässä tapauksessa yleinen ratkaisu on muotoa: y(x) = C 1 e 8x + C e x, jolloin: y (x) = 8C 1 e 8x + C e x Nyt voidaan alkuehtojen avulla ratkaista vakiot C 1 ja C. y(0) = C 1 e 0 + C e 0 = 5 C = 5 C 1 DY siis: y (0) = 8C 1 e 0 + C e 0 = 10 8C C 1 = 10 10C 1 = 0 C 1 =, C = 3 y(x) = e 8x + 3e x b) y 6y + 9y = 0. Kyseessä taas toisen asteen homogeeninen ja lineaarinen DY. Ratkaistaan se samalla tavalla kuin edellä, eli yritteellä e λt, jolloin päästään seuraavaan karak.yhtälöön: λ 6λ + 9 = 0 λ = 6 ± Kyseessä on kaksoisjuuri, jolloin yleinen ratkaisu on muotoa: = 3 y(x) = C 1 e 3x + C xe 3x, jolloin: y (x) = 3C 1 e 3x + C e 3x + 3C e 3x Nyt saadaan alkuehdoilla ratkaistua tuntemattomat vakiot: y(0) = C 1 e 0 + C = 5 0 e 0 C 1 = 5 y (0) = 3C 1 + C = 10 C = 5 DY:n ratkaisu alkuehdoilla siis: y(x) = 5e 3x 5xe 3x 3

4 Tehtävä 3: Kun jousi, jonka päässä on punnus, päästetään värähtelemään, niin systeemi toteuttaa differentiaaliyhtälön F = ky my = ky, jossa y on systeemin etäisyys tasapainoasemasta ajan t funktiona, m > 0 on massa ja k > 0 on jousivakio. a) Määritä y = y(t), kun alkupoikkeama on y(0) = a > 0 ja alkunopeus y (0) = 0. b) Määritä värähdysliikkeen jaksonaika (eli pienin T > 0, jolla y(t + T ) = y(t) kaikilla t). Ratkaisu 3: a) Ratkaistaan DY: my = ky y = k m y y + k m y = 0 Kyseessä siis toisen asteen homogeeninen lineaarinen DY. Ratkaistaan se yritteellä y = e λt. Karakteristinen yhtälö: λ e λt + k m eλt = 0 e λt (λ + k m ) = 0 λ + k m = 0 λ = ± k k m = ±i m k Merkataan ω = helpottaaksemme tulevaa pyörittelyä. Nyt siis λ = ±iω. Toista astetta m olevan homogeenisen ja lineaarisen DY:n yleinen ratkaisu tässä tapauksessa siis muotoa: y(t) = C 1 e +iωt + C e iωt Seuraavaksi hyödynnämme Eulerin kaavaa, joka sanoo: e ix = cos(x) + i sin(x), jolloin e ix = cos(x) i sin(x), koska sin(x) on pariton funktio Siispä yleinen ratkaisu saadaan muotoon: y(t) = C 1 (cos(ωt) + i sin(ωt)) + C (cos(ωt) i sin(ωt)) y(t) = (C 1 + C ) cos(ωt) + i(c 1 C ) sin(ωt) y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) Kertoimet A ja B saadaan alkuehdoilla. y(0) = A cos(0) + B sin(0) = a a = A y (0) = A sin(0) + Bcos(0) = 0 B = 0 Näillä alkuehdoilla saadaan reaalinen ratkaisu DY:lle, joka on muotoa: y(t) = a cos(ωt) 4

5 b) Värähdysliikkeen jaksonaika T. Edellä ratkaistussa DY:ssä on vain yksi kosini-termi ja tiedämme, että kosinin arvot toistuvat aina πn välein. Kun t = T termissä cos(ωt), ω:n on oltava ω = π π, jolloin cos( T ) = T T cos(π). (ω = kulmanopeus) Ratkaistaan nyt alkuperäisestä differentiaaliyhtälöstä jaksonaika T hyödyntämällä tietoa ω = π T Nyt: my = ky y = aω sin(ωt) y = aω cos(ωt) maω cos(ωt) = ka cos(ωt) mω = k m( π T ) = k T = m k (π) m T = k π Tehtävä 4: Oletetaan, että tehtävän 3 jousi punnussysteemiin vaikuttaa lisäksi nopeuteen verrannollinen vastusvoima by, jossa b > 0, jolloin differentiaaliyhtälö saa muodon my = ky by. Helpotukseksi oletetaan lisäksi m = 1, k = ja b =. a) Määritä y = y(t), kun alkupoikkeama on y(0) = a > 0 ja alkunopeus y (0) = 0. b) Miten ratkaisu eroaa tehtävän 3 ratkaisusta (olettaen, että siinäkin m = 1 ja k = )? Ratkaisu 4: my = ky by, kun m = 1, k = ja b =. Kyseessä jälleen toisen asteen homogeeninen lineaarinen DY. Ratkaistaan se tismalleen samalla tavalla kuin aikasempien tehtävien vastaavat DY:t, eli yritteellä y = e λt. Yritteellä päädytään karakteristiseen yhtälöön: my + by + ky = 0 y + y + y = 0 λ + λ + = 0 λ = ± 4 4(1)() = ± i = 1 ± i 5

6 Kuten muistamme, yleinen ratkaisu toisen asteen lineaarisille ja homogeenisille yhtälöille on muotoa: y(t) = C 1 e λ 1t + C e λ t Tässä tapauksessa: y(t) = C 1 e ( 1+i)t + C e ( 1 i)t = e t (C 1 e it + C e it ) = e t [C 1 (cos(t) + i sin(t)) + C (cos(t) i sin(t))] = e t [(C 1 + C ) cos(t) + i(c 1 C ) sin(t)] = e t [A cos(t) + B sin(t)] Ratkaistaan tuntemattomat kertoimet alkuehtojen avulla. y(t) = e t [A cos(t) + B sin(t)] y (t) = e t (B cos(t) A sin(t)) e t (A cos(t) + B sin(t)) = e t [(B A) cos(t) (A + B) sin(t)] y(0) = A cos(0) + 0 = a A = a y (0) = e 0 [(B A) 0] = 0 B = A = a DY:n ratkaisu alkuehdoilla siis: ae t (cos(t) + sin(t)) b) Yleinen ratkaisu eroaa a-kohdan yleisestä ratkaisusta termillä e t. Tätä termiä kutsutaankin harmonisen värähtelyn vaimennustekijäksi. Kyseessä on siis vaimennettu harmoninen värähtelijä. Tässä tapauksessa vieläpä alivaimennettu, sillä karak.yhtälön diskriminantti on D < 0. Tehtävä 5: Ratkaise yleisesti differentiaaliyhtälö y + 8y + 0y = 0 ja osoita, että kaikilla ratkaisuilla on sama raja-arvo lim x y(x). Ratkaisu 5: y + 8y + 0y = 0. Kyseessä jälleen toisen asteen homogeeninen ja lineaarinen yhtälö. Karakteristinen yhtälö on muotoa: λ + 8λ + 0 = 0 λ = 8 ± 64 4(0) = 4 ± i Yleinen ratkaisu muotoa: y(t) = C 1 e ( 4+i)t + C e ( 4 i)t = e 4x [(C 1 + C ) cos(x) + (C 1 + C ) sin(x)] = e 4x [A cos(x) + B sin(x)] 6

7 Nyt raja-arvo: lim x e 4x [A cos(x) + B sin(x)] sin(x) 1 ja cos(x) 1, joten raja-arvo suurimmillaan: lim x e 4x [A + B] = 0 Kaikki DY:n ratkaisut x:n kasvaessa lähestyvät siis nollaa. Tehtävä 6: Eulerin differentiaaliyhtälö on muotoa ax y + bxy + cy = 0, kun a, b, c R ovat vakioita. Se voidaan ratkaista käyttämällä muotoa y(x) = x r olevaa yritettä, jossa r on vakio. a) Sijoita tällainen yrite differentiaaliyhtälöön x y + 5xy 1y = 0 ja ratkaise mahdolliset parametrin arvot r 1 ja r toisen asteen yhtälöstä. b) Määritä a-kohdan yhtälöön liittyvän alkuarvotehtävän y(1) =, y (1) = 4 ratkaisu, kun tiedetään, että yleinen ratkaisu on muotoa y(x) = Ax r 1 + Bx r. Ratkaisu 6: a) x y + 5xy 1y = 0. Yritteellä y = x r saamme: y = rx r ja y = r(r 1)x r Sijoitus: r(r 1)x r + 5rx r 1x r = 0 (r(r 1) + 5r 1)x r = 0 Yhtälö toteutuu kaikille x R. (Paitsi x = 0, jos r < 0). r(r 1) + 5r 1 = 0 r + 4r 1 = 0 Siis: r = 4 ± 16 4( 1) = 4 ± 8 r 1 = 6 ja r = (tai toisinpäin) = 6 tai b) Yleinen ratkaisu: y(x) = C 1 x 6 + C x y (x) = 6C 1 x 7 + C x y(1) = C C 1 = C = C 1 y (1) = 6C 1 + C = 4 8C = 4 C 1 = 0 C = 7

8 DY:n ratkaisu alkuehdoilla: y(x) = 0 x 6 + x = x Yleiset. kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Palautettava tehtävä 7: Määritä seuraavien differentiaaliyhtälön ratkaisut annetuilla alkuehdoilla. a) y + 6y 16y = e 3x, y(0) = 1, y (0) = 0, b) y 6y + 9y = 9x + 1, y(0) = 0, y (0) = 1. Huom: Homogeeniset osat ratkaistiin jo tehtävässä. Ratkaisu 7: a) y + 6y 16y = e 3x, y(0) = 1, y (0) = 0, Kyseessä toisen asteen epälineaarinen DY. Helppo tapa ratkaista kyseisisä differentiaaliyhtälöitä on ratkaista ensin DY:n homogeeninen osa, jonka jälkeen etsitään yritefunktiolla eräs erikoisratkaisu, joka myös toteuttaa DY:n. Lopullinen yleinen ratkaisu on näiden kahden lineaarikombinaatio. Eksplisiittinen ratkaisu saadaan jälleen alkuehtojen avulla. Homogeeninen osa (-tehtävästä): C 1 e 8x + C e x Kokeillaan löytää erikoisratkaisu yritteellä Ae 3x. Tällöin: Nyt siis DY: y = 9Ae 3x y = 3Ae 3x 9Ae 3x + 6(3Ae 3x ) 16(Ae 3x ) = e 3x 9A + 18A 16A = A = Vakio löytyi, joten erikoisratkaisu totetuttaa DY:n. Eräs erikoisratkaisu siis muotoa: y(t) = C 1 e 8x + C e x e 3x y (t) = 8C 1 e 8x + C e x 6e 3x, jolloin: alkuehdoilla saadaan vakiot: y(0) = C 1 e 0 + C e 0 e 0 = 1 C = 3 C 1 y (0) = 8C 1 + C 6 = 0 = 8C C 1 = 10C 1 C 1 = 0 C = 3 Eksplisiittinen ratkaisu siis: y(x) = 3e x e 3x 8

9 b) y 6y + 9y = 9x + 1, y(0) = 0, y (0) = 1. Edetään samalla tavalla, kuin a-kohdassa. Tässä tapauksessa yritefunktio kuitenkin on hieman erilainen. HY:n ratkaisu (b): C 1 e 3x + C xe 3x Erityisratkaisu DY:lle polynomiyritteellä ax + bx + c, jolloin: y = ax + b y = a Nyt siis DY: a 6(ax + b) + 9(ax + bx + c) = 9x + 1 9ax + (9b 1a)x + (a 6b + 9c) = 9x + 1 Nyt voimme ratkaista kunkin asteen polynomitermin kertoimen: x : 9a = 9 a = 1 x 1 : 9b 1a = 0 b = 4 3 Nyt saamme yleiseksi ratkaisuksi: x 0 : a 6b + 9 = 1 c = 7 9 y(x) = C 1 e 3x + C xe 3x + x x Nyt alkuehdoilla: y (x) = 3C 1 e 3x + C e 3x + 3C xe 3x + x y(0) = C = 0 C 1 = 7 9 y (0) = 3C 1 + C = 1 = 3( 7 9 ) + C = 1 Ratkaisu siis: C = C 1 = 7 9 y(t) = 7 9 e3x + xe 3x + x x

10 Palautettava tehtävä 8: Kaukolämpöputken sisäsäde on 1 ja ulkosäde. Putken sisäpinnan lämpötila on 100 ja ulkopinnan lämpötila 0. Määritä putken lämpötila u = u(r) säteen r funktiona arvoilla 1 r, kun lämpötila toteuttaa differentiaaliyhtälön ru + u = 0. Vihje: Merkitään u (r) = v(r), jolloin u = v. Ratkaise ensin v(r) ja sen jälkeen u(r) integroimalla. Menetelmä on nimeltään kertaluvun pudotus. (Vast: ln r/ ln ) Ratkaisu 8: Lämpötila toteuttaa differentiaaliyhtälön ru + u = 0 alkuehdoilla u(1) = 100 ja u() = 0. Yhtälö ei sisällä nollannen kertaluokan termiä u(r) vaan ainoastaan tämän derivaattoja. Voidaan siis tehdä kertaluvun pudotus. Merkitsemällä u (r) = v(r) saadaan rv (r) + v(r) = 0. Tämä on separoituva, joten voidaan ratkaista r dv dr = v dv dr v = r ln v = ln r + C v = e ln( 1 r )+ C = 1 r e C = C r. Alkuperäisen differentiaaliyhtälön ratkaisu on siis 1 u(r) = v(r) dr = C dr = C ln r + D. r Alkuehdoista saadaan { u(1) = C ln 1 + D = 100 u() = C ln = 0 { D = 100 C = 100 ln. Palautettava tehtävä 9: Määritä differentiaaliyhtälön y 5y + 6y = e x yleinen ratkaisu. Ratkaisu 9: Kyseessä jälleen toisen asteen epälineaarinen DY. Ratkaistaan ensin karakteristinen yhtälö: HY:n yleinen ratkaisu λ 5λ + 6 = 0 λ = 5 ± = 5 ± 1 C 1 e x + C e 3x 10 = tai 3

11 Etsitään nyt erikoisratkaisu yritteellä y = Axe x. (Ae x ei toteuttaisi yhtälöä). DY siis: Nyt saadaan yleinen ratkaisu: y = Axe x + Ae x y = 4Axe x + 4Ae x y 5y + 6y = e x A(4xe x ) 5A(e x + xe x ) + 6Axe x = e x 4A + 4Ax 5A 10Ax + 6Ax = y(x) = C 1 e x + C e 3x xe x A = Palautettava tehtävä 10: Besselin differentiaaliyhtälön x y + xy + (x m )y = 0 ratkaisu y(x) = J 0 (x) parametrin arvolla m = 0 kuvaa mm. pyöreän rummun kalvon radiaalisten ominaisvärähtelyjen muotoa. Tässä tehtävässä johdetaan funktion J 0 (x) sarjakehitelmä. Täydennä seuraavat välivaiheet: Sijoita yhtälöön x y + xy + x y = 0 (ei kannata supistaa x:llä!) yleinen potenssisarja y(x) = c k x k ja siirrä x-termit sarjan sisälle. Jotta kaikkiin sarjoihin saadaan samat x:n potenssit x k, niin viimeiseen sarjaan täytyy tehdä summausindeksin siirto k k, joka vaikuttaa myös summauksen alarajaan. Tällöin vain keskimmäisessä sarjassa esiintyy indeksiä k = 1 vastaava termi, josta seuraa c 1 = 0. Muilla indeksin arvoilla täytyy termien x k kerrointen summan olla = 0. Tämä johtaa palautuskaavaan c k = c k k. Edellisistä seuraa, että c n+1 = 0 aina ja Vihje: Kokeile aluksi pienillä n:n arvoilla. k=0 c n = c n (n) c n = ( 1)n n (n!) c 0. Valitsemalla c 0 = 1 saadaan differentiaaliyhtälön ratkaisu ( 1) n J 0 (x) = n (n!) xn. n=0 11

12 Ratkaisu 10: Tällöin: Sijoitus: x y + xy + (x m )y = 0, y(x) = y (x) = x k= c k kx k 1, k=1 c k kx k 1 + x y (x) c k x k k=0 c k k(k 1)x k k= c k kx k 1 + x k=1 k=0 c k x k = 0 Muokataan viimeistä sarjaa, jotta saadaan samat potenssit x k -termeille ja siirretään summien ulkopuolella olevat x-termit summien sisälle c k kx k + x c k kx k + x k= Nyt voidaan verrata x k -termien kertoimia k=1 k= c k x k = 0 k = 1 : c 1 1 x = 0 c 1 = 0 kaikilla x : n arvoilla k : c k k(k 1) + c k k + c k = 0 c k = c k k Nyt nähdään sijoittamalla k:n arvoja: että Toisaalta voisimme tutkia arvoja: c 1 = 0 c 3 = c 1 3 = 0 c 5 = c 3 5 = 0 jne. c n+1 = 0 Aina. k = n : c n = c n n n = 1 : c = c 0 1 n = : c 4 = c = + c 0 ( 1) n = 3 : c 6 = c 4 3 = c 0 6 (3 1) jne. Elikkäs: c n = ( 1)n n (n!) 1

13 Nyt saamme valitsemmalla c 0 = 1 DY:n ratkaisuksi: Suppenemissäde R =.. = y(x) = J 0 (x) = n=0 ( 1) n n (n!) xn 13

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos

Lisätiedot

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön 3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )). Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3 Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3 K. Tuominen 16. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 20.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20 Vaimennettu värähtely

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

12. Differentiaaliyhtälöt

12. Differentiaaliyhtälöt 1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan liopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analsi 8. harjoitus, viikko 18 R1 ma 16 18 D115 (27.4.) R2 ke 12 14 B209 (29.4.) 1. Määritä funktion (x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun (0) = 2 ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile

Lisätiedot

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 K. Tuominen 9. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 13.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4. DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että: Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike

Luento 13: Periodinen liike Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tavallinen differentiaalihtälö koostuu tuntemattoman hden muuttujan funktion derivaatoista sekä funktiosta riippumattomista termeistä. Esimerkki differentiaalihtälöstä on Newtonin

Lisätiedot

vakiokertoimisen toisen kertaluvun lineaarisen homogeeniyhtälön yleinen muoto on p 2 y +p 1 y +p 0 y = 0. (1)

vakiokertoimisen toisen kertaluvun lineaarisen homogeeniyhtälön yleinen muoto on p 2 y +p 1 y +p 0 y = 0. (1) Toisen kertaluvun yhtälöt Yleinen muoto Φ(x,y,y,y ) =, jossa Φ on neljän muuttujan funktio. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on normaalimuotoinen, jos toinen derivaatta y on ratkaistu muuttujan x,

Lisätiedot