Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
|
|
- Oskari Hovinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x yleinen ratkaisu. b) Määritä differentiaaliyhtälön y + 3y = 1 ratkaisu alkuehdolla y(0) = 7. Ratkaisu 1: a) y 3y = 14e 4x Ratkaistaan ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö integroivan tekijän avulla. Kerrotaan yhtälöä puolittain tekijällä e 3x. e 3x y 3e 3x y = 14e 7x Huomataan, että DY:n vasemmalla puolella kyseessä on itseasiassa funktion ye 3x derivaata. Ketjusäännöllä: d dx ye 3x = e 3x y 3e 3x y, joten DY supistuu muotoon: d dx (ye 3x ) = 14e 7x Integroidaan puolittain. Vasemmalta katoaa derivaatta ja oikealle saadaan integroimisvakio d dx (ye 3x ) = 14e 7x dx ye 3x = e 7x + C Nyt voimme ratkaista DY:n yleisen ratkaisun: y = e 4x + Ce 3x 1
2 b) y + 3y = 1 ratkaisu alkuehdolla y(0) = 7. Ratkaistaan tehtävä a-kohdan tapaan integroivan tekijän e 3x avulla. e 3x y + 3e 3x = 1e 3x d dx ye3x = 1e 3x d dx ye3x = 1e 3x dx ye 3x = 4e 3x + C y = 4 + Ce 3x Ratkaistaan vakio C alkuehdon avulla: y(0) = 4 + Ce 0 = 7 C = 3 DY:n eksplisiittinen ratkaisu siis: 4 + 3e 3x Tehtävä : Määritä differentiaaliyhtälöiden ratkaisut, kun alkuehtoina on y(0) = 5, y (0) = 10. a) y + 6y 16y = 0, b) y 6y + 9y = 0. Ratkaisu : a) y + 6y 16y = 0. Kyseessä toisen asteen homogeeninen ja lineaarinen DY. Lähdetään ratkomaan sitä yritteellä: y = e λt,jolloin: Nyt: y = λe λt y = λ e λt λ e λt + 6λe λt 16e λt = 0 Termi e λt voidaan jakaa pois, ja jäljelle jää yhtälö: λ + 6λ 16 = 0 Tätä kutsutaan DY:n karkateristiseksi yhtälöksi, joka voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. λ = 6 ± ( 16) = 8 tai
3 y voi olla siis muotoa C 1 e 8x tai C e x. Yleinen ratkaisu on näiden lineaarikombinaatio. (Yleisesti toisen asteen homogeenisen ja lineaarisen DY:n yleinen ratkaisu on muotoa: y(x) = C 1 e λ 1t + C e λ t. Yleisen ratkaisun muoto riippuu kuitenkin karak.yhtälön juurista.) Tässä tapauksessa yleinen ratkaisu on muotoa: y(x) = C 1 e 8x + C e x, jolloin: y (x) = 8C 1 e 8x + C e x Nyt voidaan alkuehtojen avulla ratkaista vakiot C 1 ja C. y(0) = C 1 e 0 + C e 0 = 5 C = 5 C 1 DY siis: y (0) = 8C 1 e 0 + C e 0 = 10 8C C 1 = 10 10C 1 = 0 C 1 =, C = 3 y(x) = e 8x + 3e x b) y 6y + 9y = 0. Kyseessä taas toisen asteen homogeeninen ja lineaarinen DY. Ratkaistaan se samalla tavalla kuin edellä, eli yritteellä e λt, jolloin päästään seuraavaan karak.yhtälöön: λ 6λ + 9 = 0 λ = 6 ± Kyseessä on kaksoisjuuri, jolloin yleinen ratkaisu on muotoa: = 3 y(x) = C 1 e 3x + C xe 3x, jolloin: y (x) = 3C 1 e 3x + C e 3x + 3C e 3x Nyt saadaan alkuehdoilla ratkaistua tuntemattomat vakiot: y(0) = C 1 e 0 + C = 5 0 e 0 C 1 = 5 y (0) = 3C 1 + C = 10 C = 5 DY:n ratkaisu alkuehdoilla siis: y(x) = 5e 3x 5xe 3x 3
4 Tehtävä 3: Kun jousi, jonka päässä on punnus, päästetään värähtelemään, niin systeemi toteuttaa differentiaaliyhtälön F = ky my = ky, jossa y on systeemin etäisyys tasapainoasemasta ajan t funktiona, m > 0 on massa ja k > 0 on jousivakio. a) Määritä y = y(t), kun alkupoikkeama on y(0) = a > 0 ja alkunopeus y (0) = 0. b) Määritä värähdysliikkeen jaksonaika (eli pienin T > 0, jolla y(t + T ) = y(t) kaikilla t). Ratkaisu 3: a) Ratkaistaan DY: my = ky y = k m y y + k m y = 0 Kyseessä siis toisen asteen homogeeninen lineaarinen DY. Ratkaistaan se yritteellä y = e λt. Karakteristinen yhtälö: λ e λt + k m eλt = 0 e λt (λ + k m ) = 0 λ + k m = 0 λ = ± k k m = ±i m k Merkataan ω = helpottaaksemme tulevaa pyörittelyä. Nyt siis λ = ±iω. Toista astetta m olevan homogeenisen ja lineaarisen DY:n yleinen ratkaisu tässä tapauksessa siis muotoa: y(t) = C 1 e +iωt + C e iωt Seuraavaksi hyödynnämme Eulerin kaavaa, joka sanoo: e ix = cos(x) + i sin(x), jolloin e ix = cos(x) i sin(x), koska sin(x) on pariton funktio Siispä yleinen ratkaisu saadaan muotoon: y(t) = C 1 (cos(ωt) + i sin(ωt)) + C (cos(ωt) i sin(ωt)) y(t) = (C 1 + C ) cos(ωt) + i(c 1 C ) sin(ωt) y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) Kertoimet A ja B saadaan alkuehdoilla. y(0) = A cos(0) + B sin(0) = a a = A y (0) = A sin(0) + Bcos(0) = 0 B = 0 Näillä alkuehdoilla saadaan reaalinen ratkaisu DY:lle, joka on muotoa: y(t) = a cos(ωt) 4
5 b) Värähdysliikkeen jaksonaika T. Edellä ratkaistussa DY:ssä on vain yksi kosini-termi ja tiedämme, että kosinin arvot toistuvat aina πn välein. Kun t = T termissä cos(ωt), ω:n on oltava ω = π π, jolloin cos( T ) = T T cos(π). (ω = kulmanopeus) Ratkaistaan nyt alkuperäisestä differentiaaliyhtälöstä jaksonaika T hyödyntämällä tietoa ω = π T Nyt: my = ky y = aω sin(ωt) y = aω cos(ωt) maω cos(ωt) = ka cos(ωt) mω = k m( π T ) = k T = m k (π) m T = k π Tehtävä 4: Oletetaan, että tehtävän 3 jousi punnussysteemiin vaikuttaa lisäksi nopeuteen verrannollinen vastusvoima by, jossa b > 0, jolloin differentiaaliyhtälö saa muodon my = ky by. Helpotukseksi oletetaan lisäksi m = 1, k = ja b =. a) Määritä y = y(t), kun alkupoikkeama on y(0) = a > 0 ja alkunopeus y (0) = 0. b) Miten ratkaisu eroaa tehtävän 3 ratkaisusta (olettaen, että siinäkin m = 1 ja k = )? Ratkaisu 4: my = ky by, kun m = 1, k = ja b =. Kyseessä jälleen toisen asteen homogeeninen lineaarinen DY. Ratkaistaan se tismalleen samalla tavalla kuin aikasempien tehtävien vastaavat DY:t, eli yritteellä y = e λt. Yritteellä päädytään karakteristiseen yhtälöön: my + by + ky = 0 y + y + y = 0 λ + λ + = 0 λ = ± 4 4(1)() = ± i = 1 ± i 5
6 Kuten muistamme, yleinen ratkaisu toisen asteen lineaarisille ja homogeenisille yhtälöille on muotoa: y(t) = C 1 e λ 1t + C e λ t Tässä tapauksessa: y(t) = C 1 e ( 1+i)t + C e ( 1 i)t = e t (C 1 e it + C e it ) = e t [C 1 (cos(t) + i sin(t)) + C (cos(t) i sin(t))] = e t [(C 1 + C ) cos(t) + i(c 1 C ) sin(t)] = e t [A cos(t) + B sin(t)] Ratkaistaan tuntemattomat kertoimet alkuehtojen avulla. y(t) = e t [A cos(t) + B sin(t)] y (t) = e t (B cos(t) A sin(t)) e t (A cos(t) + B sin(t)) = e t [(B A) cos(t) (A + B) sin(t)] y(0) = A cos(0) + 0 = a A = a y (0) = e 0 [(B A) 0] = 0 B = A = a DY:n ratkaisu alkuehdoilla siis: ae t (cos(t) + sin(t)) b) Yleinen ratkaisu eroaa a-kohdan yleisestä ratkaisusta termillä e t. Tätä termiä kutsutaankin harmonisen värähtelyn vaimennustekijäksi. Kyseessä on siis vaimennettu harmoninen värähtelijä. Tässä tapauksessa vieläpä alivaimennettu, sillä karak.yhtälön diskriminantti on D < 0. Tehtävä 5: Ratkaise yleisesti differentiaaliyhtälö y + 8y + 0y = 0 ja osoita, että kaikilla ratkaisuilla on sama raja-arvo lim x y(x). Ratkaisu 5: y + 8y + 0y = 0. Kyseessä jälleen toisen asteen homogeeninen ja lineaarinen yhtälö. Karakteristinen yhtälö on muotoa: λ + 8λ + 0 = 0 λ = 8 ± 64 4(0) = 4 ± i Yleinen ratkaisu muotoa: y(t) = C 1 e ( 4+i)t + C e ( 4 i)t = e 4x [(C 1 + C ) cos(x) + (C 1 + C ) sin(x)] = e 4x [A cos(x) + B sin(x)] 6
7 Nyt raja-arvo: lim x e 4x [A cos(x) + B sin(x)] sin(x) 1 ja cos(x) 1, joten raja-arvo suurimmillaan: lim x e 4x [A + B] = 0 Kaikki DY:n ratkaisut x:n kasvaessa lähestyvät siis nollaa. Tehtävä 6: Eulerin differentiaaliyhtälö on muotoa ax y + bxy + cy = 0, kun a, b, c R ovat vakioita. Se voidaan ratkaista käyttämällä muotoa y(x) = x r olevaa yritettä, jossa r on vakio. a) Sijoita tällainen yrite differentiaaliyhtälöön x y + 5xy 1y = 0 ja ratkaise mahdolliset parametrin arvot r 1 ja r toisen asteen yhtälöstä. b) Määritä a-kohdan yhtälöön liittyvän alkuarvotehtävän y(1) =, y (1) = 4 ratkaisu, kun tiedetään, että yleinen ratkaisu on muotoa y(x) = Ax r 1 + Bx r. Ratkaisu 6: a) x y + 5xy 1y = 0. Yritteellä y = x r saamme: y = rx r ja y = r(r 1)x r Sijoitus: r(r 1)x r + 5rx r 1x r = 0 (r(r 1) + 5r 1)x r = 0 Yhtälö toteutuu kaikille x R. (Paitsi x = 0, jos r < 0). r(r 1) + 5r 1 = 0 r + 4r 1 = 0 Siis: r = 4 ± 16 4( 1) = 4 ± 8 r 1 = 6 ja r = (tai toisinpäin) = 6 tai b) Yleinen ratkaisu: y(x) = C 1 x 6 + C x y (x) = 6C 1 x 7 + C x y(1) = C C 1 = C = C 1 y (1) = 6C 1 + C = 4 8C = 4 C 1 = 0 C = 7
8 DY:n ratkaisu alkuehdoilla: y(x) = 0 x 6 + x = x Yleiset. kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Palautettava tehtävä 7: Määritä seuraavien differentiaaliyhtälön ratkaisut annetuilla alkuehdoilla. a) y + 6y 16y = e 3x, y(0) = 1, y (0) = 0, b) y 6y + 9y = 9x + 1, y(0) = 0, y (0) = 1. Huom: Homogeeniset osat ratkaistiin jo tehtävässä. Ratkaisu 7: a) y + 6y 16y = e 3x, y(0) = 1, y (0) = 0, Kyseessä toisen asteen epälineaarinen DY. Helppo tapa ratkaista kyseisisä differentiaaliyhtälöitä on ratkaista ensin DY:n homogeeninen osa, jonka jälkeen etsitään yritefunktiolla eräs erikoisratkaisu, joka myös toteuttaa DY:n. Lopullinen yleinen ratkaisu on näiden kahden lineaarikombinaatio. Eksplisiittinen ratkaisu saadaan jälleen alkuehtojen avulla. Homogeeninen osa (-tehtävästä): C 1 e 8x + C e x Kokeillaan löytää erikoisratkaisu yritteellä Ae 3x. Tällöin: Nyt siis DY: y = 9Ae 3x y = 3Ae 3x 9Ae 3x + 6(3Ae 3x ) 16(Ae 3x ) = e 3x 9A + 18A 16A = A = Vakio löytyi, joten erikoisratkaisu totetuttaa DY:n. Eräs erikoisratkaisu siis muotoa: y(t) = C 1 e 8x + C e x e 3x y (t) = 8C 1 e 8x + C e x 6e 3x, jolloin: alkuehdoilla saadaan vakiot: y(0) = C 1 e 0 + C e 0 e 0 = 1 C = 3 C 1 y (0) = 8C 1 + C 6 = 0 = 8C C 1 = 10C 1 C 1 = 0 C = 3 Eksplisiittinen ratkaisu siis: y(x) = 3e x e 3x 8
9 b) y 6y + 9y = 9x + 1, y(0) = 0, y (0) = 1. Edetään samalla tavalla, kuin a-kohdassa. Tässä tapauksessa yritefunktio kuitenkin on hieman erilainen. HY:n ratkaisu (b): C 1 e 3x + C xe 3x Erityisratkaisu DY:lle polynomiyritteellä ax + bx + c, jolloin: y = ax + b y = a Nyt siis DY: a 6(ax + b) + 9(ax + bx + c) = 9x + 1 9ax + (9b 1a)x + (a 6b + 9c) = 9x + 1 Nyt voimme ratkaista kunkin asteen polynomitermin kertoimen: x : 9a = 9 a = 1 x 1 : 9b 1a = 0 b = 4 3 Nyt saamme yleiseksi ratkaisuksi: x 0 : a 6b + 9 = 1 c = 7 9 y(x) = C 1 e 3x + C xe 3x + x x Nyt alkuehdoilla: y (x) = 3C 1 e 3x + C e 3x + 3C xe 3x + x y(0) = C = 0 C 1 = 7 9 y (0) = 3C 1 + C = 1 = 3( 7 9 ) + C = 1 Ratkaisu siis: C = C 1 = 7 9 y(t) = 7 9 e3x + xe 3x + x x
10 Palautettava tehtävä 8: Kaukolämpöputken sisäsäde on 1 ja ulkosäde. Putken sisäpinnan lämpötila on 100 ja ulkopinnan lämpötila 0. Määritä putken lämpötila u = u(r) säteen r funktiona arvoilla 1 r, kun lämpötila toteuttaa differentiaaliyhtälön ru + u = 0. Vihje: Merkitään u (r) = v(r), jolloin u = v. Ratkaise ensin v(r) ja sen jälkeen u(r) integroimalla. Menetelmä on nimeltään kertaluvun pudotus. (Vast: ln r/ ln ) Ratkaisu 8: Lämpötila toteuttaa differentiaaliyhtälön ru + u = 0 alkuehdoilla u(1) = 100 ja u() = 0. Yhtälö ei sisällä nollannen kertaluokan termiä u(r) vaan ainoastaan tämän derivaattoja. Voidaan siis tehdä kertaluvun pudotus. Merkitsemällä u (r) = v(r) saadaan rv (r) + v(r) = 0. Tämä on separoituva, joten voidaan ratkaista r dv dr = v dv dr v = r ln v = ln r + C v = e ln( 1 r )+ C = 1 r e C = C r. Alkuperäisen differentiaaliyhtälön ratkaisu on siis 1 u(r) = v(r) dr = C dr = C ln r + D. r Alkuehdoista saadaan { u(1) = C ln 1 + D = 100 u() = C ln = 0 { D = 100 C = 100 ln. Palautettava tehtävä 9: Määritä differentiaaliyhtälön y 5y + 6y = e x yleinen ratkaisu. Ratkaisu 9: Kyseessä jälleen toisen asteen epälineaarinen DY. Ratkaistaan ensin karakteristinen yhtälö: HY:n yleinen ratkaisu λ 5λ + 6 = 0 λ = 5 ± = 5 ± 1 C 1 e x + C e 3x 10 = tai 3
11 Etsitään nyt erikoisratkaisu yritteellä y = Axe x. (Ae x ei toteuttaisi yhtälöä). DY siis: Nyt saadaan yleinen ratkaisu: y = Axe x + Ae x y = 4Axe x + 4Ae x y 5y + 6y = e x A(4xe x ) 5A(e x + xe x ) + 6Axe x = e x 4A + 4Ax 5A 10Ax + 6Ax = y(x) = C 1 e x + C e 3x xe x A = Palautettava tehtävä 10: Besselin differentiaaliyhtälön x y + xy + (x m )y = 0 ratkaisu y(x) = J 0 (x) parametrin arvolla m = 0 kuvaa mm. pyöreän rummun kalvon radiaalisten ominaisvärähtelyjen muotoa. Tässä tehtävässä johdetaan funktion J 0 (x) sarjakehitelmä. Täydennä seuraavat välivaiheet: Sijoita yhtälöön x y + xy + x y = 0 (ei kannata supistaa x:llä!) yleinen potenssisarja y(x) = c k x k ja siirrä x-termit sarjan sisälle. Jotta kaikkiin sarjoihin saadaan samat x:n potenssit x k, niin viimeiseen sarjaan täytyy tehdä summausindeksin siirto k k, joka vaikuttaa myös summauksen alarajaan. Tällöin vain keskimmäisessä sarjassa esiintyy indeksiä k = 1 vastaava termi, josta seuraa c 1 = 0. Muilla indeksin arvoilla täytyy termien x k kerrointen summan olla = 0. Tämä johtaa palautuskaavaan c k = c k k. Edellisistä seuraa, että c n+1 = 0 aina ja Vihje: Kokeile aluksi pienillä n:n arvoilla. k=0 c n = c n (n) c n = ( 1)n n (n!) c 0. Valitsemalla c 0 = 1 saadaan differentiaaliyhtälön ratkaisu ( 1) n J 0 (x) = n (n!) xn. n=0 11
12 Ratkaisu 10: Tällöin: Sijoitus: x y + xy + (x m )y = 0, y(x) = y (x) = x k= c k kx k 1, k=1 c k kx k 1 + x y (x) c k x k k=0 c k k(k 1)x k k= c k kx k 1 + x k=1 k=0 c k x k = 0 Muokataan viimeistä sarjaa, jotta saadaan samat potenssit x k -termeille ja siirretään summien ulkopuolella olevat x-termit summien sisälle c k kx k + x c k kx k + x k= Nyt voidaan verrata x k -termien kertoimia k=1 k= c k x k = 0 k = 1 : c 1 1 x = 0 c 1 = 0 kaikilla x : n arvoilla k : c k k(k 1) + c k k + c k = 0 c k = c k k Nyt nähdään sijoittamalla k:n arvoja: että Toisaalta voisimme tutkia arvoja: c 1 = 0 c 3 = c 1 3 = 0 c 5 = c 3 5 = 0 jne. c n+1 = 0 Aina. k = n : c n = c n n n = 1 : c = c 0 1 n = : c 4 = c = + c 0 ( 1) n = 3 : c 6 = c 4 3 = c 0 6 (3 1) jne. Elikkäs: c n = ( 1)n n (n!) 1
13 Nyt saamme valitsemmalla c 0 = 1 DY:n ratkaisuksi: Suppenemissäde R =.. = y(x) = J 0 (x) = n=0 ( 1) n n (n!) xn 13
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Matematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko
MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Mat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu
Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
y + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
Differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).
Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3 K. Tuominen 16. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 20.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi
10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
Luento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r
Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20 Vaimennettu värähtely
Luento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................
4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
Tampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
Mekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut
BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti
Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Matemaattinen Analyysi
Vaasan liopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analsi 8. harjoitus, viikko 18 R1 ma 16 18 D115 (27.4.) R2 ke 12 14 B209 (29.4.) 1. Määritä funktion (x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun (0) = 2 ja
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely Motivointi Viime luennolla käsittelimme integroinnin perussääntöjä: Vakiolla kerrotun funktion integrointi: af x dx = a f x
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Luento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x