LCL-suodattimella varustetun verkkosuuntaajan virtasäätö tilasäädintä ja havaitsijaa käyttäen

Transkriptio

1 LCL-uodattimella varutetun verkkouuntaajan virtaäätö tilaäädintä ja havaitijaa käyttäen Kimmo Haanpää Sähkötekniikan korkeakoulu Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkatettavaki diplomi-ininöörin tutkintoa varten Epooa Työn valvoja: Prof. Marko Hinkkanen Työn ohjaaja: DI Jarno Kukkola

2 aalto-yliopito ähkötekniikan korkeakoulu diplomityön tiivitelmä Tekijä: Kimmo Haanpää Työn nimi: LCL-uodattimella varutetun verkkouuntaajan virtaäätö tilaäädintä ja havaitijaa käyttäen Päivämäärä: Kieli: Suomi Sivumäärä: 380 Sähkötekniikan ja automaation laito Profeuuri: Tehoelektroniikka ja ähkökäytöt Koodi: S-8 Työn valvoja: Prof. Marko Hinkkanen Työn ohjaaja: DI Jarno Kukkola Tää työä LCL-verkkouodattimella varutetun kolmivaiheien, jännitelähteellien uuntaajan virtaäätö toteutetaan tilaäädintä- ja havaitijaa hyödyntäen. Tilatakaiinkytkennää verkkovirrat on mitattu. Kondenaattorin jännitteet ja uuntaajan virrat etimoidaan tilahavaitijalla. Suuntaaja mallinnetaan kytkentäjakon yli kekiarvoiena lineaariena kytkinmallina, ja järjetelmätä luodaan jatkuva-aikainen malli. Tää työä LCL-uodattimeta ja virtaäätimetä luodaan tilaeityket, joiden avulla ratkaitaan äätimen virityyhtälöt. Rakennettua äädintä analyoidaan ekä jäykää että heikoa verkoa. Säädintä verrataan verrokkiäätimeen, joa amaa tilaäädintä ja -havaitijaa käyttäen on mitattu uuntaajan virrat. Säädin viritetään verrokkiäätimen äätöparametrien arvoilla. Tämän työn äätimen ja verrokiäätimen herkkyyttä parametrivirheille analyoidaan käyttämällä juuriuraa. Simuloimalla äätimen referenin akelvatetta ja verkkojännitteen notkahduta verrataan äädinten dynamiikkaa toiiina virheettömillä parametrin arvoilla. Stabiiliuumarginaaliki valitaan 0,7...,3-kertainen arvo annettujen parametrien nimelliarvoihin verrattuna. Juuriurat ooittavat, että verkkovirran takaiinkytkennällä virtaäädin on herkempi parametrivirheille verrokkiäätimeen verrattuna. Juuriurat ooittavat myö, että järjetelmä menee epätabiiliki, kun uodattimen parametrit ovat uuremmat kuin,2-kertaiet nimelliarvoihin verrattuna. Tämän työn äädin ei täytä vaadittua robutiutta verrokkiäätimen virityparametrien arvoilla. Työä ehdotetaan reonoivien napaparien vaimennuvakiolle uurempaa arvoa. Ehdotetulla vaimennuvakiolla aadaan äädin tabiiliki vaaditulla tabiiliuualueella. Simuloimalla ooitetaan, että tämän työn ja verrokkiäätimen dynamiikat ovat verrokin virityparametreilla identtiet vakiovirhettä lukuun ottamatta. Ehdotetulla vaimennuvakion arvolla äätövoiman tarve ei merkittäväti kava. Avainanat: LCL-uodatin, tilahavaitija, tilaäädin, verkkouuntaaja, verkkovirta, virtaäätö

3 aalto univerity chool of electrical engineering abtract of the mater thei Author: Kimmo Haanpää Title: Current control of a grid converter equipped with an LCL filter uing tate-pace controller and oberver Date: Language: Finnih Number of page: 380 Department of Electrical Engineering and Automation Profeorhip: Power electronic and electrical drive Code: S-8 Supervior: Prof. Marko Hinkkanen Advior: M.Sc. (Tech.) Jarno Kukkola In thi thei, the control of a three-phae, voltage ource converter, equipped with an LCL filter, i implemented uing a tate-pace controller and oberver. The grid current are meaured for the tate-pace controller. Capacitator voltage and converter current are etimated uing a tate oberver. A continuou-time witching-cycle-averaged model i preented for the converter. A continuou-time model i created. The controller i analyzed in tiff and weak grid. State pace repreentation are created for the LCL filter and current controller. Equation are derived for tuning the controller. The controller i compared to a reference controller, that ue the ame tate-pace controller and meaure converter current. The controller i tuned uing the tuning parameter of the reference controller. The current controller and the reference controller enitivity to parameter error i analyzed uing the root locu. The controller dynamic are compared to each other by imulating the reference tep repone and grid voltage ag uing the correct parameter value. A tability margin of 0,7...,3 time the nominal value of the given parameter i choen. The root loci indicate that with the feedback of the grid current, the current controller i more enitive to parameter error compared to the reference controller. The root loci alo how that the ytem i untable, when the parameter of the LCL filter are,2 time higher than the nominal value. The controller preented in thi thei i unable to fulfill the required robutne uing the reference controller tuning parameter. Thi thei propoe a higher value for the damping ratio of the reonating pole. The propoed damping ratio i ued to tabilize the controller within the required tability area. Simulation how the propoed controller dynamic and the reference controller to be identical when uing the reference controller tuning parameter. The propoed damping ratio wa found not to ignificantly increae the need for control effort. Keyword: current control, grid converter, grid current, LCL filter, tate control, tate oberver

4 iv Eipuhe Tämä diplomityö on tehty opinnäytetyönä Aalto-yliopitolle. Työn valvojana on toiminut profeori Marko Hinkkanen ja ohjaajana DI Jarno Kukkola. Haluan kiittää profeori Marko Hinkkata iitä, että hän tarjoi minulle mahdolliuuden tehdä diplomityön Aalto-yliopitolle. Haluan myö kiittää ohjaajaani Jarno Kukkolaa aktiivieta ohjauketa, ja erityieti iitä, että hän on aina ollut valmi vataamaan lukemattomiin tätä työtä kokeviin kyymykiini. Kiitän myö molempia hyödylliitä ja ohjaavita kommenteita työn aikana. Lopuki haluan kiittää puolioani Mariaa ekä perhettäni tueta ja kannutuketa, jota olen aanut tämän työn ja opikelujeni aikana. Otaniemi, Kimmo Haanpää

5 v Siällyluettelo Tiivitelmä Tiivitelmä (englanniki) Eipuhe Siällyluettelo Symbolit ja lyhenteet ii iii iv v vii Johdanto 2 Työkalut 4 2. Clarke-muunno Park-muunno Tilaeity Tilaäädin Tilahavaitija Verkkouuntaajan, LCL-uodattimen ja verkon mallinnu 4 3. Järjetelmän kuvau Malli tationaariea koordinaatitoa Malli tahtikoordinaatitoa Verkon induktanin huomioiva malli Säätömenetelmät PI-äätimen rajoituket ja eri äätömenetelmät Paiivinen vaimennu Virtuaalireitani Suodatumenetelmät Korkeamman kertaluvun äätimet ja tilaäädin Takaikytketyn tilaäätimen uunnittelu Tilaäädin Tilahavaitija Vaihelukittu ilmukka Viiveen kompenointi Tilahavaitijan tilaeity verkon induktanilla Virtaäätimen analyointi Herkkyyanalyyi parametrivirheille Säätömenetelmän herkkyy verkon induktanin muutokelle Simulointi Johtopäätöket

6 vi 7 Yhteenveto 7 Viitteet 73 A Tilaäätimen ja -havaitijan eparoituvuu 77 B Viiveen kompenointi Park-muunnokea 79

7 vii Symbolit ja lyhenteet Symbolit 0 nollamatriii Γ 0, Γ, Γ 2, Γ 3, Γ 4, Γ 5, yleien kolmannen kertaluvun uodattimella äädetyn järjetelmän halutun nimittäjäpolynomin kerroin α 0, α, α 3 yleien kolmannen kertaluvun äätimen ooittajapolynomin parametri havaitijan enimmäien ateen napa α 0 β 0, β, β 3 yleien kolmannen kertaluvun äätimen nimittäjäpolynomin parametri ζ vaimennuvakio ζ ζ 2 ζ o2 ζ P LL θ g ˆθ g ω 0 ω o2 ω f ω g ˆω g ω k ω n ωp ωz ω ω 2 ω P LL A A c A dominoivan napaparin vaimennuvakio reonoivan napaparin vaimennuvakio havaitijan vaimennuvakio vaihelukitun ilmukan vaimennuvakio verkon tahtikiertokulma verkon etimoitu tahtikiertokulma ominaikulmataajuu havaitijan ominaikulmataajuu vaiheenjohtopiirin reonanitaajuu verkon kulmataajuu verkon etimoitu kulmataajuu k:nne harmoninen kulmataajuu kaitanetouodattimen nollavahvituken kulmataajuu LCL-uodattimen reonanitaajuu LCL-uodattimen antireonanitaajuu dominoivan napaparin ominaivärähtelykulmataajuu reonoivan napaparin ominaivärähtelykulmataajuu vaihelukitun ilmukan ominaivärähtelykulmataajuu yteemimatriii tahtikoordinaatitoa myötäkytketyn integroivan tilaäätimen yteemimatriii yteemimatriii tationaariea koordinaatitoa

8 viii A A A Â Ã B ˆB B B ˆB f B g ˆB g B g B g B g C C f C C DC C f C fn Ĉ f verkon induktanin huomioiva yteemimatriii tahtikoordinaatitoa verkon induktanin huomioiva yteemimatriii tationaariea koordinaatitoa yteemimatriii kaikkilla takaiinkytkentävahvitukilla etimoitu yteemimatriii tahtikoordinaatitoa äädetyn järjetelmän yteemimatriii yöttömatriii tahtikoordinaatitoa etimoitu yöttömatriii tahtikoordinaatitoa äädetyn järjetelmän yöttömatriii tahtikoordinaatitoa yöttömatriii tationaariea koordinaatitoa etimoitu kondenaattorin jännitteen yöttömatriii verkon jännitteen yöttömatriii tahtikoordinaatitoa etimoitu verkon induktanin huomioiva verkon jännitteen yöttömatriii tahtikoordinaatitoa äädetyn järjetelmän verkon jännitteen yöttömatriii tahtikoordinaatitoa verkon jännitteen yöttömatriii tationaariea koordinaatitoa verkon induktanin huomioiva verkon jännitteen yöttömatriii tationaariea koordinaatitoa ulotulovektori tahtikoordinaatitoa kondenaattorin jännitteen valiteva ulotulovektori tahtikoordinaatitoa äädetyn järjetelmän ulotulovektori tahtikoordinaatitoa verkkouuntaajan välijännitepiirin kondenaattori LCL-uodattimen kondenaattorin kapaitani LCL-uodattimen kondenaattorin kapaitani nimelliarvo LCL-uodattimen etimoitu kondenaattorin kapaitani c, c 2 kolmannen kertaluvun yleien äätimen takaiinkytkentävahvituket f, f tahtikoordinaatiton komplekinen funktio f F f w G tationaarien koordinaatiton funktio kolmannen kertaluvun yleinen äädin uuntaajan kytkentätaajuu iirtofunktio tahtikoordinaatitoa

9 ix G G L G ucig G ig,ref i g G u ci c G u ci f G u ci g G u cu f G K ic,u c,ref i c G K if,u c,ref i c G K ig,u c,ref i c G K uf,u c,ref i c G N,u c,ref i c G R pc,u ci c G R pf,u ci c G R pg,u ci c G R c,u ci c G R f,u ci c G R g,u ci c I i c i g i c i C f I d i g i ca, i cb, i cc iirtofunktio tationaariea koordinaatitoa kuritimen iirtofunktio tahtikoordinaatitoa iirtofunktio uuntaajan jännitteetä verkkovirtaan tahtikoordinaatitoa kolmannen kertaluvun äätimellä äädetyn LCL-uodattimen iirtofunktio tahtikoordinaatitoa iirtofunktio uuntaajan jännitteetä uuntaajan virtaan tationaariea koordinaatitoa iirtofunktio uuntaajan jännitteetä kondenaattorin virtaan tationaariea koordinaatitoa iirtofunktio uuntaajan jännitteetä verkkovirtaan tationaariea koordinaatitoa iirtofunktio uuntaajan jännitteetä kondenaattorin jännitteeeen tationaariea koordinaatitoa iirtofunktio kun takaiinkytkentävahvitu on uuntaajan virrata iirtofunktio kun takaiinkytkentävahvitu on kondenaattorin virrata iirtofunktio kun takaiinkytkentävahvitu on verkkovirrata iirtofunktio kun takaiinkytkentävahvitu on kondenaattorin jännitteetä LCL-uodattimen ja kaitanetouodattimen yhteinen iirtofunktio iirtofunktio uuntaajan puolen kuritimen rinnakkaivatukella iirtofunktio kondenaattorin rinnakkaivatukella iirtofunktio verkon puolen kuritimen rinnakkaivatukella iirtofunktio uuntaajan puolen kuritimen arjavatukella iirtofunktio kondenaattorin arjavatukella iirtofunktio verkon puolen kuritimen arjavatukella identiteettimatriii uuntaajan virta tahtikoordinaatitoa verkkovirta tahtikoordinaatitoa uuntaajan virta tationaariea koordinaatitoa LCL-uodattimen kondenaattorin virta tationaariea koordinaatitoa vaimennuvatuken virran teholliarvo verkkovirta tationaariea koordinaatitoa uuntaajan vaihevirrat

10 x i k K K c K o k, k 2, k 3 k I K c K c K o k p,p LL k I,P LL K ic K if K ig K uf k d k p k I k 4, k 5 L l, l 2, l 3 L L L c L cn ˆL c L g L gn ˆL g k:nne harmoninen virtakomponentti tilatakaiinkytkennän vahvitumatriii mitatun tilan vahvitumatriii havaittujen tilojen vahvitumatriii tilatakaiinkytkennän vahvitumatriiin vahvitu integroivan oan vahvitu tilaäätimen karakteritinen polynomi verkon induktanin huomioiva tilaäätimen karakteritinen polynomi tilahavaitijan karakteritinen polynomi vaihelukitun ilmukan vahvitu vaihelukitun ilmukan integraattorin vahvitu uuntaajan virran takaiinkytkentävahvitu kondenaattorin virran takaiinkytkentävahvitu verkkovirran takaiinkytkentävahvitu kondenaattorin jännitteen takaiinkytkentävahvitu vaiheenjohtopiirin vahvitu PI-äätimen vahvitu PI-äätimen integroinnin vahvitu uodattamalla äädetyn järjetelmän myötäkytkentävahvitu havaitijan vahvituvektori havaitijan vahvitumatriiin vahvitu vaiheenjohtopiirin iirtofunktio kuritimen induktani LCL-uodattimen uuntaajan puoleien kuritimen induktani LCL-uodattimen uuntaajan puoleien kuritimen induktanin nimelliarvo LCL-uodattimen etimoitu uuntaajan puoleien kuritimen induktani LCL-uodattimen verkon puoleien kuritimen induktani LCL-uodattimen verkon puoleien kuritimen induktanin nimelliarvo LCL-uodattimen etimoitu verkon puoleien kuritimen induktani

11 xi N P c P o P P d q r R c R g R f R pc R pg R pf t T / a T d T u, T / b, T c / u ca, u cb, u cc u c u c,ref u cα u cβ u DC U d u fa, u fb u fc u f kaitanetouodattimen iirtofunktio ohjattavuumatriii havaittavuumatriii kolmannen kertaluvun äätimellä äädetyn järjetelmän haluttu polynomi vatuken tehohäviö kaitanetouodattimen laatutekijä tilaäätimen refereni LCL-uodattimen uuntaajan puolen kuritimen arjavatu LCL-uodattimen verkon puolen kuritimen arjavatu LCL-uodattimen kondenaattorin arjavatu LCL-uodattimen uuntaajan puolen kuritimen rinnakkaivatu LCL-uodattimen verkon puolen kuritimen rinnakkaivatu LCL-uodattimen kondenaattorin rinnakkaivatu Laplace-muuttuja myötäkytkennän vahvitu verkkouuntaajan puolijohdekytkimet uuntaajan viive näytteityaika ohjauuure verkkouuntaajan vaihejännitteet verkkouuntaajan jännite tationaariea koordinaatitoa virtaäätimen referenijännite tationaariea koordinaatitoa uuntaajan jännitteen tationaarien koordinaatiton reaaliakelin uuntainen komponentti uuntaajan jännitteen tationaarien koordinaatiton imaginaariakelin uuntainen komponentti verkkouuntaajan välipiirin jännite vaimennuvatuken jännitteen teholliarvo kondenaattorin vaihejännitteet LCL-uodattimen kondenaattorin jännite tationaariea koordinaatitoa

12 xii u f u ga, u gb, u gc u g u g u gn u gd û g u g u g u k u L c u qd v v v a, v b, v c v α v β x x I ˆx x y ŷ Z g LCL-uodattimen kondenaattorin jännite tahtikoordinaatitoa verkon vaihejännitteet verkkojännitteen huippuarvo yhteien kytkeytymipiteen jännite verkkojännitteen nimellinen huippuarvo verkkojännitteen tahtikoordinaatiton reaaliakelin uuntainen komponentti verkkojännitteen etimoitu huippuarvo verkon jännite tationaariea koordinaatitoa yhteien kytkeytymipiteen jännite tationaariea koordinaatitoa k:nne harmoninen jännitekomponentti uuntaajan puolen kuritimen jännite tationaariea koordinaatitoa verkkojännitteen tahtikoordinaatiton imaginaariakelin uuntainen komponentti tahtikoordinaatiton uure tationaarien koordinaatiton uure kolmivaiheuuret tationaarien koordinaatiton reaaliakelin uuntainen komponentti tationaarien koordinaatiton imaginaariakelin uuntainen komponentti tilavektori integroiva tila etimointivirheen tilavektori tilavektorin etimointivirhe ulotulouure etimoitu ulotulouure verkon impedani Operaattorit e j0 e j 2π 3 0 kulmaa oleva komplekinen ooitin 20 kulmaa oleva komplekinen ooitin

13 xiii e j 2π 3 e jθg 240 kulmaa oleva komplekinen ooitin kierto-operaattori Lyhenteet EMC LQR PCC PI PLL PWM ROGI SRF electromagnetic compatibility linear-quadratic regulator point of common coupling proportional-integral phae lock loop pule-width modulation reduced-order generalized integrator ynchronou reference frame

14 Johdanto Viime vuoina uuiutuvien energianlähteiden käyttö on kavanut uureti. Syy tähän on ollut foiiliten polttoaineiden käytötä eurannut ilmatonmuuto ja ympäritön aatuminen. Valtioiden tiukentaea ympäritölainäädäntöä, ja mielipidemuutoken euraukena uuiutuvita energianlähteitä on tullut kannattavaa liiketoimintaa. Erilaiia uuiutuvia energianlähteitä on tutkittu ja kehitetty, ja varinkin tuuli- ja aurinkovoiman hyödyntäminen on kavanut. Kuvata nähdään, että aennetun tuuli- ja aurinkovoiman tehokapaiteetti on kavanut ekponentiaalieti viimeiten 4:n vuoden ajan. Kuva : Aennetun tuuli- ja aurinkovoiman tehokapaiteetin kavu vuodeta 2000 vuoteen 204 []. Tuuli- ja aurinkovoimatuotannon kavun euraukena on yntynyt tarve kehittää uuntaajatekniikoita, joilla energian iirtyminen verkkoon olii mahdolliimman tehokata ja häviötöntä. Näiden energiantuotantomuotojen tokatien tuotannon ja taaähkön (aurinkovoima) vaihtouuntauken vuoki ne on kytkettävä verkkoon verkkouuntaajan kautta. Suuntaaja mahdollitaa verkkoon yötettävän jännitteen ja taajuuden vakauden ekä optimoi hyötyuhteen laajalla tehoalueella tuotantotehon muuttuea. Verkkouuntaajan hyviä dynaamiia ominaiuukia tarvitaan niin tulopuolen energiantuotannon muutokia (tuulen ja auringon äteilyn muutokia) kuin verkon häiriöiäkin. Tulevaiuudea tuuli- ja aurinkovoiman tuotannon liääntyeä näille tuotantotavoille tulee tiukemmat tandardioidut vaatimuket, koka niiden ouu verkon kokonaituotannoa kavaa ja niiden vaikutu verkon laatuun liääntyy. Verkkovaatimuket aettavat uurimman haateen uuntaajan uunnittelulle ja uoritukyvylle.

15 Verkkovaatimukia ovat muun muaa uuntaajan kytkemitapa verkkoon, turvalliuuvaatimuket, ähkömagneettinen yhteenopivuu ja jännitteen, taajuuden ja tehon laatu ekä vaatimuket uuntaajan toiminnaa verkon poikkeavaa tilaa. Tuulivoimalakäytöä vaatimukia kututaan verkkokoodeiki. Tulevaiuudea ioilta tuulivoimalapuitoilta vaaditaan amoja ominaiuukia kuin perinteiiltä tuotantolaitokilta. Saarekekäytön tunnitaminen ja itä euraava tehonyötön katkaiu on merkittävä haate verkkouuntaajien äätöä uunniteltaea. [2, , 45 67] Yleenä uuntaajat ovat jännitelähteelliiä, jolloin ne katkovat välijännitepiiriä olevaa taajännitettä muodotaakeen inimuotoita virtaa. Tätä kututaan pulinleveymoduloinniki, joa jännitteen muoto on kanttiaaltoa. Kanttiaalto ja kytkentätaajuu iältävät perutaajuuden liäki perutaajuuden monikertoja, jotka aiheuttavat yliaaltovirtoja [3]. Yliaaltovirrat voivat häiritä verkoa olevia muita laitteita ja kyllätää muuntajia [4]. Jotta verkon vaatimuket näiden harmoniten häiriöiden oalta täyttyvät, täytyy uuntaajan lähtöjännitettä uodattaa verkkouodattimella [5]. Perinteieti on käytetty kuritinta (L-uodatin) vaimentamaan yliaaltoja. Pelkkä kuritin ei kuitenkaan välttämättä riitä täyttämään ärövirtojen vaimennuken vaatimukia [6]. Pelkällä kuritinratkaiulla virran häiriökomponenttien vaimennu on taapainottelua kuritimen induktanin koon, uuntaajan kytkentätaajuuden ja häviöiden keken [6]. Tiukentuneiden vaatimuten ja uurempitehoiten uuntaajien takia on iirrytty käyttämään LC- tai LCL-verkkouodattimia, koka illoin on kyetty pienentämään uodattimea olevien käämien kokoa ja aavuttamaan parempi vaimennu korkeilla taajuukilla. LC- ja LCL-uodattimien haittana on niiden reonaniominaiuu, mikä täytyy erityieti ottaa huomioon äädintä uunniteltaea. LCL-uodatin tarjoaa korkeilla taajuukilla uuremman vaimennuken aman kokoieen LC-uodattimeen verrattuna, ja illä aadaan parempi kytkeytyminen verkkoon [6]. Kondenaattorin kapaitanin valinnaa täytyy huomioida, että uuri kapaitani aiheuttaa uuren loivirran verkkovirtaan illoin kun uuntaaja on kytketty irti verkota. Kun uuntaaja on kytketty verkkoon, ama loivirta on yötettävä uuntaajata [7]. Tämä puoletaan pienentää hyötyvirran määrää ja heikentää hyötyuhdetta. Näin ollen enenevää määrin on iirrytty käyttämään LCL-uodatinta, joka tarjoaa kompaktin koon ja hyvän vaimennuken reonanitaajuuden jälkeen (60 db/dekadi). Tää työä LCL-verkkouodattimella varutetun kolmivaiheien jännitelähteellien uuntaajan äätö toteutetaan tilaäädintä ja -havaitijaa hyödyntäen. Verkkovirrat ja -jännitteet mitataan ja niiden avulla havaitaan uodattimen kondenaattoreiden jännitteet ja uuntaajan virrat. Työä kekitytään vain virtaäätimeen ja tehonäätö jätetään poi. Suuntaaja mallinnetaan lineaariena kekiarvoiena kytkinmallina. Järjetelmätä luodaan jatkuva-aikainen matemaattinen malli ja rakennetaan jatkuvaaikainen imulointimalli Matlab/Simulink:iin. Säädintä analyoidaan ekä jäykää että heikoa verkoa. Säädön herkkyyttä parametrivirheelle analyoidaan juuriuran avulla. Säädintä tetataan imuloimalla. Tulokia verrataan verrokkiäätimeen [8], joa on mitattu uuntaajan virrat ja verkon jännitteet. Lopuki verrataan tämän 2

16 työn äädintä ja verrokkiäädintä toiiina. 3

17 4 2 Työkalut Tää luvua käydään läpi työn kannalta tärkeimmät muunnoket ja yhtälöt, joiden avulla muodotetaan järjetelmän ja äätimen matemaattinen malli ja analyoidaan niitä. Kappaleea 2. eitellään Clarke-muunno, jonka avulla kolmivaiheinen järjetelmä voidaan eittää kakivaiheiena. Kappaleea 2.2 kerrotaan Park-muunnoketa, joa tationaarien koordinaatiton uureet muunnetaan tahtikoordinaatitoon ja kappaleea 2.3 käydään läpi tilaeity ja tilaäätö ja -havaitija iinä laajuudea kuin niitä tää työä tullaan tarvitemaan. Tilaäädin ja -havaitija eitetään iinä muodoa kuin ne eiintyvät yhden uureen mittaukella ja referenillä. 2. Clarke-muunno Kolmivaiheien järjetelmän uureet ijaitevat koordinaatitoa, joa vaaka-akelilla on aika ja pytyakelilla vaiheuureiden arvot jokaiella ajanhetkellä. Tätä koordinaatitoa kututaan luonnollieki koordinaatitoki. Luonnolliea koordinaatitoa ymmetrien kolmivaiheien järjetelmän vaiheuureiden umma on kaikilla ajanhetkillä nolla. Kolmivaiheinen järjetelmä voidaan muuntaa Clarke-muunnoken avulla kakivaiheieki järjetelmäki. Muunnoken avulla yhtälöiden määrä vähenee ja järjetelmän analyointi helpottuu. [9, ] Muunno ei pyty kuvaamaan kolmivaihejärjetelmän nollakomponentteja (0., 3., 9.,...), jotka ummautuvat muunnokea nollaki. Yleenä voimaniirtoverkoia ei ole nollajohdinta, eli iellä ei eiinny nollakomponentin virtoja, joten Clarkemuunno kuvaa tällaien järjetelmän oikein [9,. 6-62]. Tää työä on valittu Clarke-muunnoken komplekinen muoto en kompaktimman eitymuodon takia. Komplekiea Clarke-muunnokea kolmivaiheiet reaaliet arvot viedään luonnollieta koordinaatitota komplekitaoon komplekiluvuki. Clarke-muunnoken muodotamaa taoa kututaan tationaarieki koordinaatitoki. Clarke-muunno on v = 2 3 ( va e j0 v b e j 2π 3 vc e j 2π 3 ) = vα jv β = v e jθ, () joa v a, v b ja v c ovat kolmivaiheuureiden arvot luonnolliea koordinaatitoa, e j0, e j 2π 3 ja e j 2π 3 ovat komplekitaon ykikkövektorit, v on avaruuvektori, v α ja v β ovat avaruuvektorin komponentit ja θ on kiertokulma. Muunnokea () vaiheuureet kaalaavat komplekitaolla olevia ykikkövektoreita, jotka ovat 2π 3 (20 ) vaiheiirroa toitena uhteen, kuten kuvaa 2 on eitetty. Jo vaiheuureet eivät muutu eli ne ovat taauureita, pyyy avaruuvektori paikallaan, kun taa pyyvää tilaa ymmetrieti inimuotoieti vaihtelevat vaiheuureet piirtävät komplekitaolle ympyräjäljen, joka liikkuu tahtikiertokulmalla θ g [0,. 3].

18 5 Im vbe vce 2 j j 3 θ v e 2 j0 3 va e 2 Re -j 3 v jv Kuva 2: Clarke-muunnoken kuvau tationaariea koordinaatitoa (komplekitaoa). 2.2 Park-muunno Jo halutaan käyttää taauureiiin perutuvia äätömenetelmiä, kuten perinteitä vektoriäätöä, pitää tationaariea koordinaatitoa oleva, tahtinopeudella pyörivä avaruuvektori aada näyttämään taauureelta. Park-muunnokea v = v e jθg = v d jv q, (2) joa v on komplekiluku ekä v d ja v q komplekiluvun komponentit, operoidaan avaruuvektoriin kierto-operaattorilla e jθg, jonka argumenttina on tahtikiertokulma. On helppo nähdä, että ijoittamalla yhtälön (2) avaruuvektorin v tilalle Clarkemuunnoken () napakoordinaattieity, joa avaruuvektorin kiertokulman on θ g, kumoavat kierto-operaattorit toiena ja aadaan pelkkä avaruuvektorin iteiarvo v. Park-muunno voidaan ajatella iten, että tationaarien koordinaatiton päällä pyöritetään komplekita koordinaatitoa (tahtikoordinaatitoa), joka pyörii amalla tahtinopeudella kuin avaruuvektori (kuva 3 (a)). Tahtikoordinaatiton uhteen tarkateltuna avaruuvektori pyyy paikallaan eli e näyttää taauureelta (kuva 3 (b)). Uein on kätevää eittää tahtikoordinaatiton uureiden d- ja q-komponentit tavalliea aikariippuvaa luonnolliea koordinaatitoa.

19 6 Im Im q θ g v - j 2 e v j 3 v Re v v jv d q d Re (a) (b) Kuva 3: (a) Tahtikoordinaatito pyörii tationaarien koordinaatiton uhteen tahtikulmanopeudella θ g. (b) Tahtinopeudella pyörivä avaruuvektori tahtikoordinaatitoa. 2.3 Tilaeity Lineaariet differentiaaliyhtälöt voidaan palauttaa enimmäien kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmäki, joa yhtälöryhmää olevien yhtälöiden lukumäärä on yhtä uuri kuin alkuperäien differentiaaliyhtälön kertaluku [,. 33]. Yhtälöryhmätä voidaan muodotaa matriiiyhtälöryhmä, jota kututaan tilaeitykeki. Tilaeity on dx = Ax Bu dt, (3) y = Cx joa x = [x x 2... x n ] T on tilavektori ja alaindeki n on yteemimatriiin pytyrivien lukumäärä, A on yteemimatriii, B on yöttömatriii, u on ohjauuure, y on ulotulouure ja C on ulotulomatriii. C:llä valitaan ulotulouureeki y e tila, jota halutaan tarkatella (mitata). Kuvaa 4 tilaeity on eitetty lohkokaaviona. Syteemimatriii kuvaa järjetelmän käyttäytymien ja iitä aadaan järjetelmän navat, jotka vataavat lineaarialgebran ominaiarvoja [,. 325]. Syöttömatriii kaalaa ohjauvektoria ja vaikuttaa järjetelmän nolliin. Tilaeitykeä eiintyvät matriiit voivat olla lohkomatriieja, joten uurempien järjetelmien mallintaminen tilaeityken avulla on mahdollita. Tilaeityketä voidaan muodotaa iirtofunktio Laplace-taoon. Siirtofunktio aadaan yhtälön

20 7 u B C y A Kuva 4: Tilaeityken (3) lohkokaavioeity. G() = C(I A) B, (4) avulla, joa on Laplace-muuttuja ja I on identiteettimatriii [2, ]. Navat aadaan lakemalla karakteritien polynomin nollakohdat. K() = det(i A) (5) 2.3. Tilaäädin Tää työä käytetään äätimen uunnittelua napojen aettelumenetelmää. Napojen aettelumenetelmää muodotetaan uljetun järjetelmän iirtofunktio ja aetetaan en navat haluttuun paikkaan äätimen vahvituten avulla. Napojen aettelumenetelmää on tärkeä elvittää, pytytäänkö äädetyn järjetelmän navat aettamaan vapaati. Vaatimu täyttyy, jo järjetelmä on aavutettava. Järjetelmän on aavutettava, jo ja vain jo en ohjattavuumatriiin rangi on täyi. Koka tää työä tarkatellaan ellaiia ohjaumatriieja, jotka ovat neliömatriieja, ohjattavuumatriiin rangi on täyi, jo en determinantti on eri uuri kuin nolla. Ohjattavuumatriii aadaan lohkomatriiina yteemimatriiin ja iääntulomatriiin avulla euraavati [2,. 836] P c = [ A 0 B A B... A n B ] (6) Tilaäätimen uunnittelua oletetaan, että kaikki tilat ovat mitattavia. Tilat kytketään takaiin tilatakaiinkytkennän vahvituken K = [k k 2... k n ] kautta. Syöttömatriii u on myötäkytkennän vahvituken t kautta kaalatun referenin r ja tilatakaiinkytkennän erotu. Myötäkytkennän vahvituvektori t mitoitetaan tavallieti iten, että äädetyn järjetelmän taattinen vahvitu aadaan ykköeki, jolloin pyyvä poikkeama katoaa. Kuvaa 5 on eitetty tilatakaiinkytketyn äätimen lohkokaavio.

21 8 r t - u B C y A K Kuva 5: Tilatakaiinkytketyn äätimen lohkokaavio. Tilatakaiinkytketyn äätimen äätölaki on u = tr Kx (7) Sijoittamalla äätölaki tilaeitykeen (3) voidaan muodotaa tilatakaiinkytketyn äätimen tilaeity dx = (A BK) x Btr dt. (8) y = Cx Säädetyn järjetelmän yteemimatriii on muotoa A BK, joten vektorilla K voidaan aettaa järjetelmän navat. Tällainen äädin kykenee vataamaan tiloihin yntyviin häiriöihin ja e reagoi dynaamiea mieleä kaikkiin häiriöihin uunnitellulla tavalla, mutta kuormituhäiriöitä johtuvaa pyyvää poikkeamaa e ei pyty poitamaan. Siki täytyy rakentaa integroiva oa, joka äätää referenin ja mitatun uureen erotuken nollaan, jolloin pyyvä poikkeama poituu. Integroivaa oaa myötäkytkennän vahvitu t muuttuu integroivan oan vahvitukeki k I. Referenin ja mitatun tilan erotuken integraalita voidaan tehdä uui tilauure x I. Kuvaa 6 on eitetty integroivan oan liääminen tilatakaiinkytkettyyn äätimeen. Integroivan tilaäätimen äätölaki on ja integroivan tilan derivaatta on u = k I x I Kx (9) dx I = Cx r. (0) dt Käyttämällä äätölakia (9) ja integroivan tilan derivaattaa (0) aadaan integroivan tilaäätimen tilaeity lohkomatriiiki

22 9 r - k I - - u B C y A K Kuva 6: Integroivan tilaäätimen lohkokaavio. [ d x dt x I ] [ A BK BkI = C 0 [ ] x y = [C 0]. x I ] [ x x I ] [ 0 ] r () Integroivaan tilaäätöön voidaan liätä myö myötäkytkentävahvitu k T. Myötäkytkennällä kaalattu refereni ummataan uoraan ohjauvektoriin, kuten nähdään äätölaita (7). Tämä antaa yhden vapauateen nollien ijoitteluun uljetua järjetelmää [3,. 40]. k T r - k I - - u B C y A K Kuva 7: Myötäkytketty integroiva tilaäädin. Myötäkytketyn integroivan tilaäätimen äätölaki on Myötäkytketyn integroivan tilaäätimen tilaeity on u = k T r k I x I Kx (2)

23 0 [ d x dt x I ] [ A BK BkI = C 0 [ ] x y = [C 0]. x I ] [ x x I ] [ BkT ] r (3) Olkoon yteemimatriii A c = [ A BK BkI C 0 ], (4) jolloin vahvitukilla K ja k I voidaan ijoittaa äätimen karakteritien polynomin navat haluttuun paikkaan. K c () = det(i A c ) (5) Tilahavaitija Tilaäätimen uunnittelun lähtökohtana oli, että kaikki tilat ovat aatavilla. Ueimmiten tämä ei kuitenkaan ole mahdollita tai kutannutehokata [, ]. Tilahavaitijalla voidaan etimoida mitattujen tilojen avulla muut tilat. Tää työä käytetään täyden kertaluvun tilahavaitijaa, joa kaikki tilat havaitaan. Tilan etimointivirhe on todelliten tilojen x ja havaittujen tilojen ˆx erotu x = x ˆx. Tilahavaitijan dynamiikka voidaan valita vapaati, jo järjetelmä on tarkkailtava. Järjetelmä on tarkkailtava, jo järjetelmä on havaittava. Järjetelmä on havaittava, jo ja vain jo en havaittavuumatriiin rangi on täyi. Tää työä tarkatellaan vain havaittavuumatriieja, jotka ovat neliömatriieja, joten havaittavuumatriiin rangi on täyi, jo en determinantti on eri uuri kuin nolla. Havaittavuumatriii aadaan lohkomatriiina yteemimatriiin ja ulotulomatriiin avulla euraavati [2,. 839] P o = [ CA 0 CA... CA n ] T Tilahavaitijaa muodotetaan järjetelmää vataava tilaeity. Ideaaliea tilanteea havaitijan matriiit oliivat identtiet järjetelmän matriiien kana. Silloin voitaiiin tilat etimoida iten, että yötetään havaitijaan ama äätövektori kuin järjetelmään. Todelliuudea havaitijan matriiien parametrivirheet ekä järjetelmään kytkeytyvät häiriöt aiheuttaiivat en, että etimaatti on harhainen [3,. 48]. Muodotamalla takaiinkytkentä todellien mitatun tilan ja etimoimalla aadun tilan erotuketa ja ummaamalla e vahvituvektorin L kautta tilahavaitijan iääntuloon aadaan etimointivirheen harhaiuu pienemmäki. Havaitija on nimeltään Luenbergerin tilahavaitija ja e on muotoa (6)

24 dˆx dt = ˆx ˆBu L (y ŷ), (7) ŷ = Cˆx joa ˆx on etimoidut tilat,  on järjetelmän etimoitu yteemimatriii, ˆB on järjetelmän etimoitu yöttömatriii, L = [l l 2... l n ] T on havaitijan vahvituvektori ja ŷ on tilahavaitijan etimoitu mittau [2,. 847]. Tilahavaitijan yhtälöt (7) aadaan muokattua matriiimuotoon etimoitujen tilojen avulla ja en tilaeity on dˆx dt = [  LC ŷ = Cˆx ] ˆx [ ˆB LC ] [ u x ]. (8) Kuvaa 8 on yhditetty myötäkytketty integroiva tilaäädin ja Luenbergerin tilahavaitija. Kk T r Kk - - I - u Järjetelmä B C y A Tilahavaitija B BL C - A K Kuva 8: Myötäkytketty integroiva tilaäädin tilahavaitijalla, joa käytetään vain takaiinkytkennää havaittuja tiloja. Kuvan 8 mukaiea tilamallia kaikki takaiinkytketyt tilat ovat havaittuja. Joiain tapaukia takaiinkytkennää kannattaa käyttää vain havaittuja tiloja en luonnollien uodatuominaiuuden takia, jo eimerkiki mitatut tilat ovat kohinaiia [8]. Tää työä käytetään takaiinkytkennää mitattuja tiloja ja muut

25 tilat aadaan havaitijalta. Kokonaijärjetelmää täytyy vielä muokata iten, että iinä on erotettu mitattujen tilojen ja havaittujen tilojen vahvitu. Kuvaa 9 oleva K c on mitatun tilan vahvituvektori ja K o on havaittujen tilojen vahvituvektori. 2 r - Kk T K k - I - u Järjetelmä B C y A Tilahavaitija B K c BL C - A K o Kuva 9: Myötäkytketty integroiva tilaäädin tilahavaitijalla, joa mitatuilla ja havaituilla tiloilla on omat vahvitumatriiit. Kuvan 9 mukaien tilaäätimen äätölaki on u = k T r k I x I K c x K oˆx. (9) Liäämällä Luenbergerin tilahavaitijaan äätölaki (9) ja muodotamalla yhtälöt tilojen x, x I ja ˆx derivaatoille aadaan euraava kokonaijärjetelmän tilaeity d dt x x I ˆx = A BK c Bk I BK o C 0 0 LC ˆBK c ˆBk I Â ˆBK o LC y = [C 0 0] x x I ˆx x x I ˆx Bk T ˆBk T r, (20) joa 0 on nollamatriii.

26 Jo järjetelmän ja havaitijan yteemimatriiit ja iääntulomatriiit ovat identtiet, on kokonaijärjetelmän navat yhdite tilaäätimen ja tilahavaitijan navoita. Tätä euraa, että äädin ja havaitija voidaan uunnitella erikeen [,. 359]. Liitteeä A on toditettu eparoituvuu hyödyntämällä Gauin algoritmia. Tilahavaitijan dynamiikka aetetaan etimointivirheen x yteemimatriiin kautta olettamalla, että järjetelmän ja havaitijan matriiit ovat identtiet. Käyttämällä Luenbergerin tilaeitytä (7) ja tilaeitytä (3) aadaan etimointivirheen tilayhtälöki 3 dx dt dˆx dt = d x = (A LC) x. (2) dt Lakemalla etimointivirheen yteemimatriiin karakteritinen polynomi K o () = det[i (A LC)], (22) voidaan navat aettaa vahvituvektorilla L.

27 3 Verkkouuntaajan, LCL-uodattimen ja verkon mallinnu Tää luvua eitellään uuntaaja ja LCL-uodatin ja muodotetaan niitä matemaattinen malli. Kappaleea 3. eitellään järjetelmä yleieti ja kappaleea 3.2 muodotetaan matemaattinen malli tationaarieen koordinaatitoon. Kappaleea 3.3 iirretään matemaattinen malli tahtikoordinaatitoon ja kappaleea 3.4 muodotetaan verkon induktanin huomioon ottava matemaattinen malli järjetelmätä. 3. Järjetelmän kuvau Kuvaa 0 on eitetty verkkouuntaajan ja LCL-uodattimen topologia. Järjetelmä voidaan jakaa kolmeen eri oaan: uuntaaja, LCL-uodatin ja verkko. 4 i DC T a T b T c u DC C DC u ca u cb i ca i cb L ca L cb i fa L ga L gb i ga i gb u ga u gb T a T b T c u cc i cc L cc u fa i fb u fb i fc u fc L gc i gc u gc PCC C fa C fb C fc Kuva 0: LCL-uodattimella varutettu jännitelähteellinen verkkouuntaaja. Tää työä uuntaaja on jännitelähteellinen kokoaaltouuntaaja. Suuntaajaa on välijännitepiiri. Kondenaattori C DC on välijännitepiirin energiavarato, jonka tarkoitukena on pitää välipiirin jännite taaiena. Suuntaajan kuui puolijohdekytkintä (T a /, T / b, T c / ) kytkevät välipiirin jännitettä vaihejohtimiin. Kaikkien kytkimien rinnalla on vatarinnan kytketty diodi, mikä mahdollitaa loivirran iirtymien uuntaajan ja verkon välillä. Suuntaaja pytyy iirtämään tehoa välijännitepiiritä verkkoon (vaihtouuntaaja) tai verkota välijännitepiiriin (taauuntaaja). Suuntaaja tuottaa pulinleveymoduloitua (PWM) jännitettä vaiheiiin u ca, u cb ja u cc. Kytkimille tuleva modulointiignaali kytkee välijännitteen u DC poitiivien (T ) tai negatiivien (T ) jännitteen vaihejohtimeen. Moduloidut vaihejännitteet ovat muodoltaan kanttiaaltoa. Modulointi toteutetaan iten, että vaihejännitteiden kanttiaaltojen perutaajuiet komponentit muodotavat ymmetrien, inimuotoien, kolmivaiheien jännitteen. Vaihejännitteen perutaajuuden liäki kanttiaalto pitää iällään myö jännitteen perutaajuuden ja kytkentätaajuuden monikertoja, joita

28 5 aiheutuu häiriövirtoja [7,. 33]. Häiriövirrat haittaavat verkon muita laitteita, joten kanttiaaltoita jännitettä on uodatettava. Jännitelähteellien uuntaajan uodatukea on käytettävä uodaturatkaiuja, joia enimmäinen uodatuate on arjaan kytketty induktiivinen komponentti. Kuritinta on perinteieti käytetty uuntaajan virran uodattamieen. Sen etuna on kytkennän ja uuntaajan äädön ykinkertaiuu. Kuritimen uodatu perutuu iihen, että en impedani kavaa taajuuden kavaea, joten uuritaajuiilla jännitteillä muodotunut virran amplitudi on pienempi. Kuritin uodattaa virtaa vaimentamalla virtakomponentteja. Kuritimen virran amplitudi voidaan lakea euraavata yhtälötä, kun oletetaan, että kuritin on lineaarinen ja häviötön i k = u k ω k L, joa k viittaa perutaajuuden monikertaan, i k on virran amplitudi, u k on jännitteen amplitudi, ω k on kulmataajuu ja L on kuritimen induktani. Häviötön kuritin tarjoaa 20 db/dekadin vaimennuken koko taajuualueella. Voimakkaampi vaimennu uuntaajan kytkentätaajuudelle ja en monikerroille aadaan joko kavattamalla induktania tai kavattamalla uuntaajan kytkentätaajuutta. Suurempi induktani iirtää kuritimen vahvitukäyrää horiontaalieti alapäin, jolloin jokaien taajuukomponentin vaimennu kavaa. Suurempi induktani tarkoittaa uurempaa käämivyyhtiä ja rautaydäntä, jolloin ekvivalenttinen arjareitani kavaa, mitä euraa johtohäviöiden kavu. Suurempi induktani myö hidataa verkkovirraa tapahtuvia muutokia, jolloin uuntaajan dynamiikka kärii [6]. Suuntaajan kytkentätaajuuden kavattaminen taa iirtää yliaaltoiältöä korkeammille taajuukille, joa käämin vaimennu on uurempaa. Kytkentätaajuuden kavattamieta euraa, että kytkinten johtohäviöt kavavat, jolloin voidaan joutua valitemaan kalliimpia puolijohdekomponentteja [7,. 0]. Suurempi kytkentätaajuu liää myö EMC-häiriöitä (electromagnetic compatibility), mikä tarkoittaa, että uuntaajan kutannuket kavavat entietään, koka näille häiriöille täytyy rakentaa omat uodattimet. Pelkkä kuritinratkaiu ei tätä yytä ole kutannukiltaan kannattava. Siki on iirrytty käyttämään reonaniin perutuvia LC- ja LCL-uodattimia. Näiden uodattimien haittapuolena äädön kannalta on, että ne vaativat monimutkaiemman äätöalgoritmin kuritimeen verrattuna ja reonani on otettava huomioon äädintä uunniteltaea. Suodattimien reonanitaajuu jakaa taajuudet pieniin taajuukiin (reonanitaajuutta matalammat taajuudet) ja uuriin taajuukiin (reonanitaajuutta korkeammat taajuudet). Jo oletetaan, että uodattimia ei ole reitiiviiä komponentteja, avoimena järjetelmänä ne ovat reonanitaajuudella marginaalieti tabiileja. LC-uodatin tarjoaa reonanitaajuuden jälkeen 40 db/dekadin vaimennuken, joten illä on voimakkaampi vaimennu kuritimeen verrattuna [6]. LC-uodattimen

29 Admittani (S) reonanitaajuu riippuu voimakkaati verkon induktanita, jolloin heikoia verkoia uodattimen ja äädön uunnittelua täytyy ottaa verkon impedani ja en mahdollinen muuto huomioon L LC LCL Kulmataajuu (rad/) Kuva : Kuritimen, LC- ja LCL-uodattimen admittanit uuntaajan jännitteetä verkkovirtaan, kun kuormana on 0 mω vatu ja induktanien ummat ovat kaikia amat, ja LC:ä ja LCL:ä on ama reonanitaajuu 922,4 rad/. Kuvaa on piirretty kuritimen ekä LC- ja LCL-uodattimien verkkovirran vahvitukäyrät uuntaajan jännitteetä verkkovirtaan, jotka vataavat admittaneja, kun kuormana on 0 mω vatu. Suodattimien induktanien ummat ovat yhtä uuret ja LC:n ja LCL:n reonanitaajuu ama. Käyritä nähdään, että uurilla taajuukilla uodattimien vaimennuken muuto on uurin LCL-uodattimella, ja pienin pelkällä kuritimella. LC-uodattimen vaimennuken voimaka riippuvuu verkon induktanita ja koka LCL-uodattimella toteutettu uuntaajan äätöalgoritmi ei ole merkittäväti monimutkaiempi kuin LC-uodattimen, on LCL-uodatin kavattanut uoiotaan uuntaajan uodatukea. LCL-uodatin tarjoaa paremman vaimennuken reonanitaajuuden jälkeen (60 db/dekadi) kuin LC-uodatin tai kuritin. Myö uodattimen verkonpuoleinen induktani mahdollitaa paremman kytkeytymien verkkoon.

30 7 L c i c i f i g L g Z g u c u f u g C f u g PCC Kuva 2: Verkon ykivaiheinen piirikaavio, joa on mukana verkon impedani. Verkon induktanin vaihtelut eivät tätä yytä vaikuta uodattimen reonanitaajuuteen niin voimakkaati kuin pelkällä LC-uodattimella [6]. Pienillä taajuukilla LCL-uodatin voidaan kuvata likipitäen induktaniena ummana (kuva ). Eräät äätömenetelmät pohjautuvatkin pientaajuumalliin, joa uodatin mallinnetaan pelkkänä kuritimena [8]. Korkeille taajuukille kondenaattori tarjoaa pieni-impedanien reitin, joten uuntaajan kanttiaaltoien jännitteen euraukena yntyvä ykevirta kulkee en kautta. LCL-uodattimen uodatu eroaa kuritimen uodatuketa iten, että kuritin vaimentaa verkkovirran amplitudia, kun taa LCL-uodatin ekä vaimentaa että pienentää verkkovirran yliaaltopitoiuutta tarjoamalla ohitupiirin kondenaattorin kautta. LCL-uodatin on kytketty verkkoon yhteien kytkeytymipiteen (point of common coupling, PCC) kautta, kuten kuvaa 0 on eitetty. Kuvata on jätetty poi verkon impedani Z g, jonka voidaan yleenä olettaa olevan pelkkä arjainduktani. Kuvaa 2 on eitetty ykivaiheinen ijaikytkentä, joa verkon impedani Z g on iällytetty malliin. Heikon verkon tapaukea arjainduktani ei ole nolla ja e voi vaihdella verkon tilanteiden mukaan, mikä täytyy ottaa huomioon uuntaajan ja uodattimen uunnittelua. Tätä euraa, että yhteieä kytkeytymipiteeä oleva jännite u g on eri uuri kuin verkon jännite u g, ja e vaihtelee verkon induktanin mukaan. Vahvaa verkoa voidaan olettaa, että induktani on nolla, joten u g, on yhtä uuri kuin u g. 3.2 Malli tationaariea koordinaatitoa Verkkouuntaajan malli Tää työä tutkitaan virtaäätöä ja uuntaajan välipiirin jännite oletetaan vakioki ja riippumattomaki uuntaajan ja verkon tiloita. Koka välipiirin jännite on vakio, voidaan uuntaaja mallintaa käyttämällä lineaarita kekiarvoita kytkinmallia (average witching model), jolloin uuntaajan kytkinten kytkemifunktiot voidaan

31 korvata uuntaajan jännitteen funktiolla, mikä kuvaa kytkinten kekimääräitä arvoa kytkentäjakon yli [20]. Suuntaajan viive T d liätään funktioon, joka mallintaa uuntaajan vatetta referenijännitteelle. Suuntaajan jännite u c on joa u c,ref on äätimen referenijännite. LCL-uodattimen ja verkon malli 8 u c = u c,ref(t T d ), (23) Oletetaan LCL-uodatinta ja verkkoa mallinnettaea euraavat aiat: Vahva verkko Verkoa ei ole nollajohdinta eli kyeeä on kolmijohdinverkko Symmetriet vaiheuureet Häviötön LCL-uodatin. Stationaariea koordinaatitoa ykivaiheien LCL-uodattimen nimelliet parametrit L cn, C fn ja L gn ovat amat kuin verrokkiäätimeä ja ne on annettu taulukoa, joa verkon kulmataajuu merkitään ω g ja vaihejännitteen nimellinen huippuarvo on u gn. Taulukko : Verkon ja uodattimen parametrien nimelliarvot. [8] Parametri Arvo u gn V ω g 2π 50 rad/ L cn{a,b,c} 2,94 mh C fn{a,b,c} 0 µf L gn{a,b,c},96 mh Suuntaajan jännite tationaariea koordinaatitoa on u c = 2 ( ) uca e j0 u cb e j 2π 3 ucc e j 2π 3 = ucα ju cβ. (24) 3 Muut kolmivaiheiet uureet muunnetaan amaan tapaan. Stationaarien koordinaatiton uuret on merkitty yläindekiä olevalla -kirjaimella. Kuvaa 3 on muodotettu kolmivaiheieta järjetelmätä (kuva 0) tationaarien koordinaatiton ijaikytkentä. Sijaikytkennälle (kuva 3) määritetään yhtälöryhmä uuntaajan virran i c, kondenaattorin jännitteen u f ja verkkovirran i g avulla. Suuntaajan virran yhtälö aadaan

32 9 L c i c i f i g L g u c u f u g C f Kuva 3: Stationaariea koordinaatitoa oleva LCL-uodattimen ijaikytkentä. uuntaajan puolen kuritimen yli olevan jännitteen u L c avulla. Kuritimen yli oleva jännite on uuntaajan virran aikaderivaatta kerrottuna induktanilla L c. Toiaalta käämin jännitteen tulee olla uuntaajan jännitteen ja kondenaattorin jännitteen erotu, joten näitä hyödyntäen aadaan kirjoitettua enimmäien kertaluvun differentiaaliyhtälö uuntaajan virralle u di c L c = L c dt = u c u f (25) Samalla tavalla aadaan muodotettua verkkovirran differentiaaliyhtälö. Kondenaattorin jännitteen yhtälö aadaan puoletaan kondenaattorin virran i C f avulla. Kondenaattorin läpi kulkeva virta on yhtä uuri kuin kondenaattorin jännitteen aikaderivaatta kapaitanilla kerrottuna i f = C f du f dt. (26) Toiaalta Kirchoffin virtalaita aadaan, että kondenaattorin virta on uuntaajan virran ja verkkovirran erotu. Muodotamalla edellä mainitut yhtälöt ja ratkaiemalla ne derivaattojen avulla aadaan yhtälöryhmä di c = dt L c u f L c u c du f = dt C f i c C f i g di g = dt L g u f L g u g, (27) joka on järjetelmän matemaattinen malli tationaariea koordinaatitoa. Yhtälöryhmätä (27) voidaan muodotaa lohkokaavioeity, joka on eitetty kuvaa 4. Yhtälöryhmätä aadaan muodotettua kappaleea 2.3. annetua tilaeitykeä (3) eiintyvä tilayhtälö

33 20 u g u c i c i u f f - L - C c f - L g i g Kuva 4: Stationaariea koordinaatitoa olevan LCL-uodattimen lohkokaavio. dx dt = 0 L c 0 C f 0 C f 0 L g 0 }{{} A i c u f i g }{{} x L c 0 0 } {{ } B u c 0 0 L g }{{} B g u g, (28) joa x on tilavektori, A on yteemimatriii ja B on yöttömatriii tationaariea koordinaatitoa. Verkon jännite u g kytketyy häiriönä matriiin B g kautta ja e ummataan tilayhtälöön. Käyttämällä yhtälöä (4) aadaan tationaarien koordinaatiton iirtofunktiot uuntaajan jännitteetä uuntaajan virtaan G u ci c, uuntaajan jännitteetä kondenaattorin jännitteeeen G u cu f ja uuntaajan jännitteetä verkkovirtaan G u ci g G u ci c () = G u cu f () = G u ci g () = i c () = 2 (ωz) 2 u c() L c [ ] (29) 2 (ωp) 2 u f () = (30) u c() L c C f 2 (ωp) 2 i g () = u c () L c C f L g [ ], (3) 2 (ωp) 2 L cl g L cc f L g joa ωz = C f L g = 742,9 rad/ on tationaarien koordinaatiton reonanitaajuu ja ωp = = 922,4 rad/ on tationaarien koordinaatiton antireonanitaajuu. Kondenaattorin virta aadaan uoraan muuntamalla kondenaattorin virran differentiaaliyhtälö (26) Laplace-taoon. Kondenaattorin virran yhtälö Laplace-taolla on i f() = C f u f(), jolloin iirtofunktio kondenaattorin jännitteetä kondenaattorin virtaan on G u f i f () = i f() u f () = C f, jonka avulla aadaan iirtofunktio uuntaajan jännitteetä kondenaattorin virtaan [2]

34 2 G u ci f () = G i f u f ()G u cu f () = i f() u f() u f () u c() = L c 2 (ωp). (32) 2 Siirtofunktioiden (29), (30), (3) ja (32) taajuu- ja vaihevateet on piirretty kuvaa 5. Kuvan 5 vahvitukäyrät kuvaavat vahvitukia uuntaajan jännitteetä haluttuun uureeeen. Kuvaajita huomataan, että pienillä taajuukilla uuntaajan virran ja verkkovirran vahvituket lähetyvät toiiaan aymptoottieti ja kondenaattorin virran vahvitu pienenee, mikä tarkoittaa, että uuntaajan ja verkon vahvituket yhtyvät. Tämä voidaan ajatella iten, että LCL-piiri reduoituu pelkätään kahden kuritimen muodotamaki piiriki. Suurilla taajuukilla uuntaajan virran ja kondenaattorin virran vahvituket puoletaan yhtyvät ja verkkovirran vahvitu pienenee. Korkeilla taajuukilla LCL-piiri reduoituu pelkätään uuntaajan kuritimen ja kondenaattorin muodotamaki ilmukaki. Kuten vahvitukäyrätä G i gu c huomataan, uodatin vaimentaa verkkovirtaa voimakkaati (60 db/dekadi) reonanitaajuuden jälkeen, mikä tarkoittaa parempaa verkkovirran laatua. Suuntaajan virralla on nollavahvitu antireonanitaajuudella ω z, joten tällä taajuudella uuntaaja ei ideaaliea tapaukea kykene yöttämään virtaa verkkoon. Siirtofunktiot kuvaavat häviötöntä LCL-uodatinta. Todelliuudea uodattimea on reitiiviiä komponentteja, jolloin nolla ja ääretön vahvitu korvautuvat pienellä vahvitukella antireonanitaajuudella ja ääreelliellä vahvitukella reonanitaajuudella. Näin ollen edellä eitetty nolla ja ääretön vahvitu ovat teoreettiia. Vahvitukäyrät ovat opuoinnua alipäätöuodattimena toimivan LCL-piirin kana. Pientaajuiet virrat menevät uoraan verkkoon, koka kondenaattori näkyy uuri-impedaniena reittinä. Suurtaajuiet virrat taa ohjautuvat kondenaattorin kautta, koka kondenaattorin impedani on pieni näillä taajuukilla. Kuvaan 6 on piirretty iirtofunktioiden G i cu c ja G igu c navat ja nollat komplekitaoon ja uuntaajan virran kaki nollaa voidaan havaita ylemmää kuvaa. 3.3 Malli tahtikoordinaatitoa Virtaäädin toteutetaan hyödyntäen taaäätömenetelmää, joten yhtälöryhmä (27) on muutettava tahtikoordinaatitoon. Muunno toteutetaan iten, että ratkaitaan Park-muunnoketa (2) tationaarien koordinaatiton uure ja ijoitetaan e tationaarieen yhtälöryhmään (27). Suuntaajan tationaarien koordinaatiton jännite Park-muunnoken avulla eitettynä on u c = u c e jθg. (33) Tahtikoordinaatiton uureiiin viitatea yläindeki on jätetty poi. Muut tationaarien koordinaatiton uureet muunnetaan amaan tapaan. Saatu yhtälöryhmä täytyy

35 22 Kuva 5: Siirtofunktioiden Gic uc, Guf uc, Gif uc, ja Gig uc taajuu- ja vaihevateet.

36 Kuva 6: Siirtofunktioiden G i cu c (ylempi) ja G i gu c (alempi) navat ja nollat Laplacetaolla 23

37 muokata iten, että ille aadaan yhtälöryhmän (27) tandardin differentiaaliyhtälöryhmän mukainen muoto. Kierto-operaattorin derivoimiea täytyy huomioida tulon derivoimiääntö ekä muunnokea olevan tahtinopeudella pyörivän kiertokulman θ g integraali, joka on 24 θ g (t) = t t 0 ω g dτ θ 0, (34) joa ω g on tahikulmanopeu. Edellä olevien avulla aadaan yhtälöryhmä tahtikoordinaatitoa di c = jω dt g i c L c u f L c u c du f = dt C f i c jω g u f C f i g (35) di g = dt L g u f L g u g jω g i g ja edelleen tilaeity dx dt = jω g L c 0 C f jω g C f 0 L g jω g }{{} A i c u f i g }{{} x Bu c B g u g, (36) joa x on tilavektori ja A yteemimatriii tahtikoordinaatitoa ekä B = B ja B g = B g. Tilayhtälötä (36) nähdään, että kulmanopeu ω g kytkeytyy yteemimatriiin A diagonaalille. Tätä voidaan hyödyntää lakettaea iirtofunktiot tahtikoordinaatitoa. Tehdään Laplace-muuttujaan muuttujanvaihto = jω g. Uui muuttuja voidaan ijoittaa tationaarien koordinaatiton iirtofunktioiden Laplace-muuttujaan ja näin aadaan iirtofunktiot tahtikoordinaatitoa G u ci c ( ) = G uci c () = L c ( jω g ) 2 (ω z) 2 G ucu f () = G uci g () = ( jω g ) [ ( jω g ) 2 (ω p) 2] (37) L c C f ( jω g ) 2 ωp 2 (38) L c C f L g ( jω g ) [ ( jω g ) 2 (ωp) 2]. (39) Siirtofunktioita voidaan päätellä, että vahvitu- ja vaihekäyriä on jω g uuruinen tranlaatio vaaka-akelilla, joten tahtikoordinaatitoa vahvitu- ja vaihevarakäyrät ovat ii iirtyneet ω g verran vaemmalle puolelle taajuuakelilla.

38 25 L c i c i f i g L g L ǵ u c u f u ś g u g C f PCC Kuva 7: Stationaariea koordinaatitoa oleva LCL-uodattimen ijaikytkentä, johon on liätty verkon induktani 3.4 Verkon induktanin huomioiva malli Kuvaa 7 on tationaariea koordinaatitoa oleva LCL-uodattimen ijaikytkentä, johon on liätty verkon induktanin L g ja yhteien kytketymipiteen jännite u g. Kun verkon induktani poikkeaa nollata, ei yhteien kytkeytymipiteen jännite ole ama kuin verkon jännite, joten yhtälöryhmän (27) verkkovirran differentiaaliyhtälö täytyy muokata iten, että e vataa kuvaa 7. LCL-uodattimen verkon puolen induktanin L g ja verkon induktanin L g differentiaaliyhtälöt verkkovirran uhteen ovat di g dt di g dt = u f u g L g L g (40a) = u L g u g L g. (40b) g Aettamalla yhtälöiden (40a) ja (40b) verkkovirran derivaatat yhtä uuriki aadaan yhteien kytkeytymipiteen jännitteeki u g = L g u L f L g u g L g L g L g. (4) g Sijoittamalla yhteien kytkeytymipiteen jännite verkkovirran differentiaaliyhtälöön (40a) aadaan uudeki verkkovirran yhtälöki di g dt = u L f u g L g L g. (42) g L g Jo yhtälön (42) verkon induktani on nolla, aadaan alkuperäinen verkkovirran differentiaaliyhtälö kuten pitääkin. Uui yhtälö on myö opuoinnua en kana, että LCL-uodattimen näkökulmata LCL-uodattimen verkon puoleinen induktani kavaa verkon induktanin verran. Uudeki verkon induktanin huomioivaki

39 26 tilayhtälöki tationaariea koordinaatitoa aadaaan dx dt = 0 L c 0 C f 0 C f 0 0 L g } Lg {{} A x L c 0 0 u c 0 0 L g }{{ Lg } B g u g, (43) Tilayhtälö (43) aadaan tahtikoordinaatitoon amalla tavalla kuin kappaleea 3.3.

40 27 4 Säätömenetelmät Tää luvua käitellään LCL-uodattimella varutetun uuntaajan eri virtaäätömenetelmiä. Kappaleea 4. eitetään PI-tyyppien äätimen rajoituket, ja eitetään lyhyeti kirjalliuudea eitettyjä äätömenetelmiä ja kriteerejä, joilla äätimiä voidaan verrata toiiina. Kappaleea 4.2 kerrotaan paiivieta vaimennumenetelmätä. Kappaleea 4.3 eitetään virtuaalireitanimenetelmä. Kappaleea 4.4 käydään läpi äätömenetelmiä, joia käytetään vaiheen johtopiiriä tai kaitanetouodatinta. Viimeieä kappaleea 4.5 tarkatellaan korkeamman kertaluvun äätimiä ja tilaäädintä. Tää luvua oa iirtofunktioita on eitetty tationaariea koordinaatitoa niiden ykinkertaiemman muodon takia. Kaikki tuloket pätevät myö tahtikoordinaatitoa. 4. PI-äätimen rajoituket ja eri äätömenetelmät LCL-uodattimella varutetun uuntaajan äätö Vaimennumenetelmä* Korkeamman kertaluvun äädin Tilaäädin Paiivinen Aktiivinen Kakadiäätö Korkeamman kertaluvun uodatin Vaimennuvatu Virtuaalireitani Suodatu *Virtaäätö on toteutettu PI-äätimellä kuritimen tapaan Kuva 8: LCL-uodattimella varutetun verkkouuntaajan virtaäätömenetelmien luokittelu. PI-äädin on hyvin tunnettu ja yleiin äädintyyppi teolliuudea [,. 480]. PIäätimen rajoitukena on kuitenkin, että illä kyetään aettamaan vapaati navat vain enimmäien kertaluvun järjetelmille. Säädintä voidaan toki käyttää uuremman kertaluvun järjetelmän äätöön, mutta äädetyn järjetelmän napoja ei aada aetettua vapaati.

41 Kuritimella varutettu uuntaaja on enimmäien kertaluvun järjetelmä, joten PIäätimellä voidaan ijoittaa äädetyn järjetelmän navat vapaati. Jo mallinnetaan uuntaajan jännite pelkällä ykikkövahvitukella tahtikoordinaatitoa, aadaan järjetelmän iirtofunktioki uuntaajan jännitteetä verkkovirtaan 28 G L () = L jω g L. (44) Säätämällä kuritinta (44) PI-äätimellä ja lakemalla äädetyn järjetelmän iirtofunktio ja aettamalla en nimittäjäpolynomi yhtä uureki valitun polynomin 2 2ζω 0 ω 2 0 kana, joa ω 0 ominaikulmataajuu ja ζ vaimennuvakio, aadaan äätimen parametreiki [ kp k i ] [ 2Lζω0 jω = g L Lω0 2 ], (45) jota nähdään, että parametrit ovat täyin määrätyt ja ykielitteiet. LCL-uodatin puoletaan on kolmannen kertaluvun järjetelmä uuntaajan jännitteetä uuntaajan virtaan tai verkkovirtaan, kuten iirtofunktioita (37) ja (39) voidaan todeta. Kolmannen kertaluvun PI-äätimellä äädetyn järjetelmän iirtofunktion nimittäjäpolynomin ateluku on neljä, joten PI-äätimellä ei aada aetettua tällaien järjetelmän napoja vapaati. PI-äätimen käyttöä korkeamman kertaluvun reonoivien järjetelmien äädöä on tutkittu ja ehdotettu menetelmää, jolla napoja voidaan aettaa tietyä rajoia [22]. PI-äädin on kuitenkin tunnettu ja käytetty äätömenetelmä, joten itä on haluttu käyttää LCL-uodattimella varutetun uuntaajan virran äätöön. Tätä yytä on kehitetty erilaiia menetelmiä, joia käytetään PI-äädintä virran äätöön, mutta äädetyn järjetelmän vaimennu on toteutettu joko liäämällä vaimennuvatukia LCL-piiriin, toteuttamalla vaimennuvatuket virtuaalieti käyttämällä virtuaalireitanimenetelmää tai mittauuretta uodattamalla. Näitä menetelmiä kututaan vaimennumenetelmiki. Vaimennumenetelmille on yhteitä, että niillä muokataan kokonaijärjetelmän vahvitukäyrää iten, että reonanitaajuudella ei eiinny enää ääretöntä vahvituta. Kun uodattimen vaimennu on toteutettu erikeen, voidaan virran äätö toteuttaa perinteieen tapaan PI-äätimellä. Toinen vaihtoehto on uunnitella korkeamman kertaluvun äädin tai käyttää tilaäädintä. Vaimennumenetelmät voi jakaa kahteen oaan. Vatuken liäämitä LCL-piiriin kututaan paiivieki vaimennukeki. Paiiviella vaimennukella muutetaan fyyieti LCL-uodattimen ominaiuukia, jolloin uodattimen vahvitukäyrää ei enää eiinny ääretöntä vahvituta. Aktiivinen vaimennu puoletaan toteutetaan erikeen algoritmina, käyttämällä joko virtuaalireitani- tai uodatumenetelmiä. Aktiiviea menetelmää LCL-uodattimen ominaiuudet (vahvitu- ja vaihekäyrä) pyyvät amana. Menetelmää uuntaajan jänniteohjetta kompenoidaan ellaiella

42 kytkentäekvenillä, että reonanitaajuudelle aadaan ääreellinen vahvitu [23]. Näin kokonaijärjetelmän vahvitukäyrää ei enää eiinny ääretöntä vahvituta. Koka aktiivinen vaimennu toteutetaan digitaaliena, e voidaan implementoida vain en taajuuden ollea Nyquitin rajataajuuden alapuolella, mikä tarkoittaa puolta näytteenottotaajuudeta [2]. Liäki on huomioitava, että todelliuudea PI-äädin ja aktiivinen vaimennu vaikuttavat toiiina. Tämä on otettava huomioon uunniteltaea aktiivien vaimennuken ja PI-äätimen dynamiikkaa, jotta järjetelmän tabiiliu ja dynamiikka aadaan riittävän lähelle uunniteltua [2]. Paiivielle ja aktiivielle menetelmällä yhteitä on, että virran äätö toteutetaan PI-äätimellä. Kolma tapa toteuttaa äätö on joko käyttää korkeamman kertaluvun äätimiä (kakadimenetelmä tai korkeamman kertaluvun uodatu) tai käyttää tilaäädintä. Kuvaa 8 on eitetty eri menetelmien periaatteellinen äätöluokittelu. Jotta eri menetelmiä voidaan verrata toiiina, on määriteltävä hyvyykriteerit. Tää työä käytetään euraavia kriteereitä hyvyyden määräämieen: Mittauten lukumäärä Säädettävyy (napojen aettelun vapau) Säätöalgoritmin komplekiuu Herkkyy parametrivirheille. Mittauten lukumäärä vaikuttaa ekä verkkouuntaajan hintaan varinkin pienitehoiia uuntaajia, joiden tuotantomäärät ovat uuret, että kavattaa todennäköiyyttä vialle. Perinteieä kuritimen äädöä tarvitaan verkkojännitteen ja verkkovirran mittau, jota pidetään vertailuarvona mittauten lukumäärälle. Kun mittauten lukumäärä on uurempi kuin kaki vaikuttaa e negatiivieti hyvyyteen. Säädettävyy tarkoittaa mahdolliuutta aettaa järjetelmän dynamiikka vapaati. Vapaa napojen aettaminen katotaan äätömenetelmän eduki. Säätöalgoritmin komplekiuu vaikuttaa järjetelmän hintaan, koka mitä komplekiempi äätöalgoritmi, itä nopeampi ja uuremman muitikapaiteetin omaava mikroproeori tarvitaan, mikä puoletaan on kalliimpaa. Järjetelmän parametrit on aatu joko etimoimalla tai dokumenteita. Etimointivirheetä ja komponenttien vanhentumieta euraa, että todelliet järjetelmän parametrit ja viritykeen käytettävät parametrit poikkeavat toiitaan. Tätä yytä äädön tulii olla riittävän robuti parametrivirheille. 4.2 Paiivinen vaimennu Häviötön LCL-uodatin on ideaalinen värähtelijä, joka ei pyty vaimentamaan reonanitaajuutta. Paiiviea vaimennukea liätään LCL-piiriin vatu tai vatukia, jolloin vaimentamatonta värähtelyä ei enää eiinny. Se myö poitaa nollavahvituken. Vatu voidaan aettaa kuuteen eri paikkaan: joko käämien ja kondenaattorin kana arjaan R c, R g, R f tai rinnan R pc, R pg, R pf. Kuvaa 9 on eitetty eri 29

43 30 R pc R pg L c R c R g L g R f C f R pf Kuva 9: Vaimennuvatuten mahdolliet paikat LCL-piiriä. vatuten paikat LCL-piiriä. Vaimennuvatukia voi käyttää ueampaa amanaikaieti. Rajoitukena ovat rinnankytketyt vatuket, joita voi käyttää vain yhtä kerrallaan, koka kaki rinnankytkettyä vatuta muodotaiivat reitiivien kytkeytymien joko verkoon (R pc ja R pg ) tai nollaan (R pc tai R pg ja R pf ). Tätä euraii häviötehon liääntyminen reitiivien kytkeytymien euraukena ja yliaaltojen vaimennuken heikkeneminen. Alla on eitetty LCL-piirin iirtofunktiot eri vatukilla uuntaajan jännitteetä uuntaajan virtaan. [ G R pc,u ci c () = 2 (ωz) 2] ( Rcp L c ) R cp [ 2 C f R cp (ωp) 2 ] G R c,u ci c () = L c 2 (ω z) 2 3 Rc L c 2 (ω p) 2 Rc L c (ω z) 2 G R pf,u ci c () = L c 2 C f R fp (ω z) 2 [ 2 C f R fp (ω p) 2] G R f,u ci c () = L c 2 R f L g (ω z) 2 [ 2 R f C f (ω p) 2 (ω p) 2] G R pg,u ci c () = L c 2 C f R gp (ω z) 2 [ 2 C f R gp (ω p) 2] G R g,u ci c () = L c 2 Rg L g (ω z) 2 3 Rg L g 2 (ω p) 2 Rg L g (ω z) 2 (46a) (46b) (46c) (46d) (46e) (46f) LCL-uodattimen iirtofunktioita nähdään, että nimittäjäpolynomeia ei eiinny

44 3 enää imaginaariakelilla olevia napoja. Vatuket iirtävät reonoivat navat komplekitaon vaemmalle puolelle, jolloin niihin aadaan vaimennu. Vatuken reitanin arvolla aadaan haluttu vaimennu LCL-uodattimeen. Kuvaan 20 on piirretty iirtofunktioiden vahvitu- (admittanit) ja vaihekäyrät eimerkkinä, kun vatu on arjaa uuntaajan kuritimen G R c,u ci c ja rinnan kondenaattorin G R pf,u ci c kana. Kuvata 20 nähdään, että ääretön vahvitu reonanitaajuudella on vaimentunut ja vaihevateia ei eiinny enää akelmaiia muutokia. Suuntaajan kuritimen kana arjaa oleva vatu R c ei poita uodattimen nollavahvituta tai akelmaita muutota vaihevateea, mikä on odotettua, koka e on eurau verkon puolen kuritimeta ja kondenaattorita ω z = C f L g. Paiivien menetelmän heikkoutena on, että e liää uodattimen häviötä, jolloin hyötyuhde pienenee. Sarjaa olevan vatuken häviöteho voidaan lakea yhtälötä P d = 3R I d (h) 2, h joa R on arjaa oleva vaimennuvatu ja I d on h:nne virtakomponentti vatuken läpi [24]. Rinnan olevan vatuken häviöteho aadaan puoletaan yhtälötä

45 32 Kuva 20: LCL-uodattimen vahvitu- ja vaihevateet uuntaajan jännitteetä uuntaajan virtaan, kun vaimennuvatu on ijoitettu uuntaajan käämin kana arjaan (Rc ) ja kondenaattorin kana rinnan (Rf p ).