y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

Transkriptio

1 BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen kohdan DY:n ratkaisu, kun y(0) = y (0) = 0 (c) Edellisen kohdan tapauksessa, laske raja-arvot lim x y(x) ja lim x y(x) (a) Ensin ratkaistaan homogeeninen DY 3y 9y + 6y = 0 y 3y + y = 0 y h (x) = C 1 e x +C e x Sitten ratkaistaan epähomogeenisuusosan 1 3 e10x huomioiva y p. Nyt y 1 = e x, y = e x ja r(x) = 1 3 e10x W =y 1 y y 1y = e 3x y p (x) = e x ex = e x ( = e x 1 3 e8x 1 8 = 1 4 e10x 1 7 e10x ( ) 1 = e 10x ( ) 3 = e 10x 4 7 = 1 16 e10x y(x) = y h (x) + y p (x) 13 e10x e e 3x dx + e x x 13 e10x e 3x dx 1 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = C 1 e x +C e x e10x ) + e x ( 1 3 e9x 1 9 )

2 (b) Nyt tarkastellaan alkuehtojen kanssa y(0) = y (0) = 0 y (x) =C 1 e x +C e x e10x C 1 e 0 +C e e10 0 = C 1 e 0 +C e e10 0 = 0 C 1 +C = C 1 +C = 0 1 C = 0 C 1 = 1 4 C = = 55 7 y(x) = 1 4 ex ex e10x (c) Lasketaan raja-arvot lim x y(x) ja lim x y(x) Suoraan ratkaisusta nähdään, että lim x y(x) = ja lim x y(x) = 0 3. Ratkaise differentiaaliyhtälö y + 4y + y = 0 ehdoilla y(0) = 1,y (0) = 0 Yhtälö saadaan muotoon y +y +y = 0 joka on toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö. Ratkaistaan karakteristinen yhtälö eli λ 1, = ± λ 1, = 1. Koska saimme kaksoisjuuren, on y:n lauseke muotoa y = C 1 e ax +C xe ax = C 1 e x +C xe x = C 1 e x +C xe x Selvitetän nyt mitä ovat kertoimet C 1 ja C. Huomioimalla alkuehdot saamme y (x) = C 1 e x ( 1) +C e x +C xe x ( 1) y(0) = C 1 e 0 +C 0 e 0 = 1 y (0) = C 1 e 0 +C e 0 C 0 e 0 = 0 C 1 = 1 C = 1 y:n lauseke on tällöin y(x) = e x + xe x

3 4. Jos suureen arvo y noudattaa differentiaaliyhtälöä y 4y +4y = r(t) niin kuinka "ohjaustermi"r(t) täytyy valita jotta y:n kasvunopeus olisi suoraan verrannollinen aikaan t nähden (verrannollisuuskerron k = 5) kun y:n arvo alussa (t = 0) on? Nyt siis y (t) = ky(t) joten y(t) = Ce kt = Ce 5t. Tiedetään myös että y(0) = Ce 0 = eli C =. Näin ollen r(t) = y (t) 4y (t) + 4y(t) = 5 e 5t 4 5 e 5t + 4 e 5t = 18e 5t. S 5. Tiedetään, että eräässä vastuksen, kondensaattorin, kelan ja tasavirtalähteen sisältävässä piirissä virta noudattaa seuraavaa lauseketta Li (t) + Ri(t) + 1 q(t) = E, C missä R = 8, L =, C = 0.1, E = 10. Lisäksi tiedetään, että q (t) = i(t), q(0) = 0, i(0) = 0. Ratkaise i(t):n lauseke. Vinkki: derivoi yhtälö ensin puolittain niin näyttää paljon tutummalta. Li (t) + Ri(t) + 1 C q(t) = E d dt Li (t) + Ri (t) + 1 C i(t) = 0 : L i (t) + R L i (t) + 1 CL i(t) = 0 Yhtälö on toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, jolloin saadaan λ + 4λ + 5 = 0 λ 1, = 4 ± = 4 ± 4 Koska juuren alle tuli negatiivinen luku, lasketaan w:n arvo Tällöin Ratkaistaan kertoimet. Tiedämme, että alkuehdosta Toisaalta w = = i(t) = C 1 e at/ cos(wt) +C e at/ sin(wt) = C 1 e t cos(t) +C e t sin(t) q(t) = C(E Li (t) Ri(t)) = 1 0.i (t) 0.8i(t) q(0) = 1 0.( C 1 +C ) = C 1 0.C = 0 i(0) = C 1 1 cos(0) +C 1 sin(0) = 0 C 1 = 0 C = 1 0. = 5

4 8. Funktioiden f (x) = x + 1 ja g(x) = e x kuvaajilla ei ole tunnetusti paljon yhteistä mutta tutkitaan näitä funktioita nyt harjoituksen vuoksi. Tästä saamme lausekkeen i(t) = 5e t sin(t) 6. (a) Mitkä ovat DY:n y + ay + by = 0 kertoimet a ja b, kun tiedetään että DY:n ratkaisu on y(x) = C 1 e 3x cos(4x) +C e 3x sin(4x)? DY on. asteen homogeeninen differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu on mallia Näistä tiedoista saamme y = C 1 e ax/ cos(ωx) +C e ax/ sin(ωx) a = 3 ω = b 1 4 a = 4 a = 6 b 9 = 4 b = 5 (b) Olkoon y + ay + 4y = 0. Määrää vakiolle a ehdot siten, että varmasti lim t y(t) = 0 Yhtälö on muotoa y + ay + by = 0 y:n lauseke voi olla kolmea eri muotoa riippuen karakteristisen yhtälön arvoista. Selvästi lim t y(t) = 0 toteutuu tapauksissa ja 3, jos a > 0 Tällöin saamme tapauksessa (eli kaksoisjuuri tapauksessa) ja tapauksessa 3 (negatiivinen juuri) eli 4 > a > 0. Tapauksessa 1 saisimme ehdon a 4b = 0 a = 16 a = 4 a 4b < 0 a < 4 a ± a 4b 7. Erääseen kappaleeseen vaikuttaa voima, joka riippuu kappaleen paikasta ja nopeudesta. Voima aiheuttaa kappaleelle kiihtyvyyden joka voidaan ilmaista alla annetun differentiaaliyhtälön mukaisesti. Ratkaise kappaleen paikka ajanhetkellä t. Laske (a)-kohdassa myös erityisratkaisu joka vastaa alkuarvoja s(0) = 1, s (0) = 3. < 0 (a) d s ds = 4ds dt 4s (b) d s ds = ds dt 4s

5 (a) Osoita että Wronskin determinantti W( f,g) = 0 kun x = 0. (Huom! Tämä osoittaa että pisteessä x = 0 funktiot f ja g ovat varsin samanlaisia, eli on olemassa kertoimet a ja b siten että a f (0) + bg(0) = 0 ja a f (0) + bg (0) = 0, muissa pisteissä f ja g voivatkin sitten olla varsin erilaisia) (b) Osoita Wronskin determinantin avulla että f ja g ovat lineaarisesti riippumattomia. (c) Luennoilla rakennettiin koko Wronskin determinantin ja lineaarisen riippuvuuden välinen idea sopivaa yhtälöryhmää tutkimalla mutta tähän tarvittiin derivointia. Minkälainen toinen yhtälöryhmä voisi tulla kyseeseen jos tahdotaan osoittaa sen avulla f :n ja g:n lineaarinen riippumattomuus, mutta ilman derivointia?

6 Vastauksia: Teht.#1: y = C e 4 3 x +C 1 ja y = C e 4 3 x +C ex Teht.#: (a) y(x) = C 1 e x +C e x e10x (b) y(x) = 1 4 ex ex e10x (c) lim x y(x) = ja lim x y(x) = 0 Teht.#3: y(x) = e x + xe x Teht.#4: 18e 5t Teht.#5: i(t) = 5e t sin(t) Teht.#6: (a) a = 6 ja b = 5 (b) a > 0 Teht.#7: (a) s(t) = (1 +t)e t (b) s(t) = C 1 e t cos( 3t) +C 1 e t sin( 3t). Teht.#8: