Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Transkriptio

1 Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 Johdanto Diskreetit funktiot Z muunnos on Laplace-muunnoksen diskreetti versio. Z muunnosta voidaan käyttää differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen. Differenssiyhtälöitä voidaan käyttäää differentiaaliyhtälöiden numeerisessa approksimoinnissa ja niitä esiintyy myös mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja algoritmianalyysissä. Muunnos syntyi differenssiyhtälöitä soveltaneen tekniikan alan tutkimuksen yhteydessä 940-luvulla. Nimitys tulee muunnoksessa esiintyvästä muuttujasta z, ja sen on antanut Columbian yliopistossa vaikuttanut tilastotieteilijä John Raggazini tutkimusryhmineen 952. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322

2 Diskreetit funktiot Määritelmä Sanomme, että funktio f on diskreetti, jos se on määritelty vain (numeroituvassa) diskreetissä joukossa (D), esimerkiksi reaaliakselin tai kompleksitason erillisissä pisteissä. Rajoitumme tässä vain C-arvoisiin funktioihin. Lukujono on diskreetti funktio k x k ; jokaista k N vastaa luku x k. Toisaalta jokainen diskreetti funktio on lukujono: Numeroimalla joukon D pisteet D = {x n : n N} voidaan tarkastella diskreettiä funktiota g : n x n f (x n ) millä tahansa funktiolla f joka on määritelty joukossa D. g on itse asiassa kahden diskreetin funktion yhdiste. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 Lukujonon Laplace-muunnos Lukujono x(k) on funktiona määritelty vain luonnollisilla luvuilla. Emme siis suoraan voi laskea Laplace muunnosta x(t)e st dt. Asettamalla x(t) = 0, kun t R \ N, integraali suppenee mutta saamme muunnoksen arvoksi aina nolla. Osoittautuu että toimiva tulkinta on muokata integraalia ja asettaa integraalissa diskreettien pisteiden painoksi yksi ja muiden pisteiden painoksi nolla: Jonon x(k) Laplace-muunnos diskreetillä painofunktiolla on L {x}(s) = x(t)e st δ(t k) dt = x(k)e sk 0 }{{} paino = x(k) e}{{} sk z=e = s x(k)z k, k =z k eli jonon Z muunnos. Huomaa, että s {s C : Re s > α} z {z C : z > e α }. Z muunnos Määritelmä Oletetaan, että x : N R on funktio (lukujono). Määritellään funktion (lukujonon) Z muunnos X (z) = Z {x}(z) = x(k)z k, kaikille riittävän suurelle R jotta sarja suppenee. z C, z > R Merkitsemme siis jonon x(k) Z muunnosta tyypillisesti isolla kirjaimella X. Voimme myös tulkita Z muunnoksen kuvaukseksi jonosta potenssisarjaksi Z : {x k } x k w k, jossa w = /z. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322

3 Z muunnoksen ominaisuuksia Lineaarisuus: jos Z {x} = X ja Z {y} = Y niin Z {ax + by} = ax + by Vakiofunktio eli vakiojono x(k) = Z {x} = z k = Geometrinen jono x(k) = w k : Z {x} = z k w k = a, b C z = z z (z/w) = z z w Geometrisella funktiolla, k w k, (geometrisella jonolla) kertominen: y(k) = w k x(k) Y (z) = Z {y}(z) = Z {x}( z w ). = X ( z w ). Z muunnoksen ominaisuuksia Z muunnokselle pätee kaikki Laplace-muunnosta vastaavat ominaisuudet (onhan Z muunnos oikeastaan Laplace-muunnos erityistapauksessa). Delta-funktiota vastaa nyt diskreetti deltafunktio (jono) ja konvolutiota summa: (x y) k = 0 δ = {, 0, 0, 0,... } x(t)y(k t) δ(t k)dt = jolloin suoraan kahden sarjan summakaavasta seuraa ( ) ( ) Z {x}z {y} = x k z k x k z k = z k x j y k j. j=0 k x k y k j = Z {x y}. j=0 } {{ } (x y) k A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 Siirros Lukujonolle on helppo määrittää siirros: Lukujonosta x(n) {x n } muodostetaan uusi vasemmalle siirretty lukujono y(n) kirjoittamalla jolloin Z {ỹ} = y(n) = x(n + ) {y 0, y, y 2,... } = {x, x 2, x 3,... } x k z k+ = z x k z k = z(z {x} x 0 ) k= Vastaavasti siirrolle oikealle k= ỹ = {ỹ k } = {0, x 0, x, x 2,... } Z {ỹ} = x k z k = z Z {x} Tämä on tärkeä tulos ns. differenssiyhtälöitä ajatellen. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 Differenssiyhtälö Yleinen lineaarinen differenssiyhtälö Fibonaccin luvut A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322

4 Sovellus: Differenssiyhtälö Ratkaistaan jono y k, kun y k+ = αy k + x k, y 0 = ; x k = 2 2k, k 0 Merkitsemme β = /4 ja Z muunnamme yhtälön joten jos α β, z(y (z) y 0 ) = αy (z) + X (z), X (z) = z z β Y (z) = = y(k) = z (z β)(z α) + z z α [ α z α β z β β z ] + z z α z α ( α α β βk + β ) α β + α k Jos α = β, ( z Y (z) = z z β ) 2 } {{ } Z {a} joten b k = β k ja, koska Z {b b} = (Z {b}) 2 Saamme a k = (b b) k = y k = + z z β }{{} Z {b} k β j β k j = (k + )β k j=0 {, k = 0 a k + b k = β k (k + β), k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 Differenssiyhtälö N. kertaluvun lineaarisen, vakiokertoimisen differenssiyhtälön perusmuoto on N a n y(k n) = n=0 M b m x(k m), a 0 0. m=0 a 0 y k + a y k +... a N y k N = b 0 x k + b x k +... b N x k M jossa y ratkaistaan, kun x tunnetaan. Z muunnosta voidaan käyttää differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen samaan tapaan kuin Laplace-muunnosta käytetään differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Itseasiassa differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen differentiaaliyhtälöitä approksimoidaan differenssiyhtälöllä, esimerkiksi jatkuvan ajan t sijasta tarkastellaan diskreetteja ajanhetkiä t 0, t, t 2,... ja vastaavasti ratkaisua y(t) sijasta approksimaatiota y k y(t k ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 Esimerkki: Fibonaccin luvut Kuva: Leonardo Pisalainen (n ), joka tunnetaan paremmin nimellä Fibonacci (filius Bonacci, eli Bonaccion poika). Kuuluisa lukujono löytyy kanien lisääntymistä käsittelevästä tehtävästä kirjassa Liber Abaci (Laskujen Kirja). Kirja on myös Euroopassa ensimmäinen, jossa käytetään arabialaista (oikeimmin intialaista) lukujärjestelmää. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322

5 Esimerkki: Fibonaccin luvut, jatkoa Esimerkki: Fibonaccin luvut, jatkoa Tehdään Z muunnos differenssiyhtälöllä f (n + 2) = f (n + ) + f (n): Fibonaccin lukujono määritellään kaavalla f (n + 2) = f (n + ) + f (n). Tämä kaava voidaan tulkita differenssiyhtälöksi, missä alkuarvot ovat f () = f (0) =. Kysymys: Halutaan löytää suljettu muoto (eli kaava) funktiolle f (k), joka parametrilla k antaa k:nnen Fibonaccin luvun. Ratkaistaan ongelma Z muunnoksen avulla. z 2 (F (z) f (0) z f ()) = z(f (z) f (0)) + F (z). Sijoitetaan alkuarvot f () = f (0) = ja ratkaistaan yhtälö algebrallisesti z 2 F (z) = z 2 z. Etsitään nimittäjän nollakohdat; w ± = ( ± 5)/2. Nyt nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin: z 2 z = (z w + )(z w ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 Esimerkki: Fibonaccin luvut, jatkoa Etsitään osamurrot z (z w + )(z w ) = c + + c. z w + z w Saadaan c ± = ±w ± / 5, koska w w + = 5. Voidaan kirjoittaa (huomaa z osoittajassa) F (z) = 5 ( zw+ z w + Koska Z {w k ±} = z/(z w ± ), saadaan zw z w ). Esimerkki: Fibonaccin luvut, jatkoa Koska w + + w =, voidaan kirjoittaa w + = ϕ, w = ( ϕ), missä ϕ = on kultaisen leikkauksen suhde., Olemme johtaneet Jacques Binetin ( ) tunnetun kaavan: f (k ) = ϕk ( ϕ) k 5. f (k) = 5 (w k+ + w k+ ) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322

6 Vakiofunktio x(k) =, k 0 Tarkastellaan funktiota x(k) =. Lasketaan Z muunnos. Saadaan X (z) = Z {x(k)} = Kyseessä on geometrinen sarja. Saadaan z k. X (z) = z = z z. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 Porrasfunktio x(k) = k, k 0 Tarkastellaan funktiota x(k) = k. Lasketaan Z muunnos. Saadaan Jaetaan z:lla, siis X (z) = z + 2z 2 + 3z (4.) z X (z) = z 2 + 2z 3 + 3z (4.2) Lasketaan yhteen (4.) ja (4.2). Saadaan Siis ( z )X (z) = z + z 2 + z = z z. Z {x(k)} = z ( z ) 2. Funktio x(k) = k 2, k 0 Tutkitaan funktiota x(k) = k 2. Lasketaan Z muunnos: Kerrotaan z :llä: Z {k 2 } = z + 4z 2 + 9z z Z {k 2 } = z 2 + 4z 3 + 9z Vähennetään alempi yhtälö ylemmästä. Uudelleenjärjestämällä termejä saadaan: ( z )Z {k 2 } = z + 2[z + 2z 2 + 3z ] [z 2 + z 3 + z ] A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322

7 Funktio x(k) = k 2, k 0, jatkoa Havaitaan, että keskimmäinen sulkeissa oleva jono on Z {k}. Loput muodostavat geometrisen sarjan, joten saadaan Z {k 2 } = = z (z + ) ( z ) 3. 2z ( z ) 3 z ( z ) 2 = z (2 + z ) ( z ) 3 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta / 322