Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Transkriptio

1 Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = y 2 + 2y, (b) y = y 2 y 6, (c) y = (y 2 4)(y + 1) (a) Olkoon y + ay + by = Ae cx, a, b, c R. (1) Näytä, että jos c on (1):n karakteristisen polynomin r 2 + ar + b yksinkertainen juuri, niin sopivalla K:n valinnalla on (1):n ratkaisu. (b) Ratkaise y y = 4e x. (c) Ratkaise y y = 4e x. 4. Ratkaise seuraavat differentiaaliyhtälöt: (a) y 3y + 2y = 4x, (b) y 2y + 5y = 13 sin 2x, (c) y + 2y 3y = 1 + x 2 + e 3x, (d) y 2y y + 2y =. y = Kxe cx Vinkki: 3. kertaluvun yhtälö voidaan ratkaista samoin kuin 2. kertaluvun yhtälö karakteristisen polynomin avulla. 5. Ratkaise seuraavat alkuarvo-ongelmat: (a) y + 3y + 7y =, y() =, y () = 1; (b) y 2y + 2y = e x, y() = 1, y () = ; (c) y 6y + 9y = 12e 3x, y() = 1, y () = Ratkaise seuraavat differenssiyhtälöt: (a) 2y t+1 7y t + 3y t 1 = t, y o = 1, y 1 = 2; (b) y t+2 2y t+1 + y t = 2e 3t ; (c) y t+2 + 2y t + 6 = 3 sin 4t.

2 7. Tutkitaan Eulerin yhtälöä missä α, β R. t 2 y (t) + αty (t) + βy(t) =, (a) Osoita, että muuttujanvaihdolla x = log t, Eulerin yhtälö palautuu vakiokertoimiseksi yhtälöksi y (x) + (α 1)y (x) + βy(x) =. (b) Ratkaise yhtälö t 2 y (t) 3ty (t) + 7y(t) =. 8. Laske seuraavien funktioiden Laplace-muunnokset: (a) f(t) = t n, n Z + ; (b) f(t) = cos(at), a R; (c) f(t) = g(ct), avulla); (d) f(t) = e at sin(bt), a, b R. c R, (ilmoita ratkaisu funktion g Laplace-muunnoksen 9. Ratkaise seuraavat alkuarvotehtävät käyttämällä Laplace-muunnosta: (a) y 2y + y = e t. y() = 1, y () = ; (b) y 3y + 2y =, y() = 1, y () = 1; (c) y 6y + 8y = 2, y() =, y () =. 1. Merkitään u a (t) = u(t a), missä u on Heavisiden funktio. Ratkaise seuraavat differentiaaliyhtälöt käyttämällä Laplace-muunnosta: (a) y + 4y = sin t u 2π (t) sin(t 2π), y() =, y () = ; (b) y + y = u(t) u 3 (t), y() =, y () = ; (c) y (4) + 2y + y = e 2t, y() = y () = y () = y (3) () =. 11. Olkoon δ(t) Diracin delta-funktio. (a) Ratkaise alkuarvo-ongelma Vinkki: Voit käyttää hyväksi tietoa, että L(t sin(t)) = ( 2 s s 2 ) 2 ja L(t cos(t)) = s2 1 ( +1 s 2 ) y + 2y 15y = 6δ(t 9), y() = 5, y () = 7. (b) Ratkaise alkuarvo-ongelma 2y + 1y = 3u 12 (t) 5δ(t 4), y() = 1, y () = 2. (c) Käyttämällä Laplace-muunnosta ja tehtävän 2 konvoluutiokaavaa, johda alkuarvo-ongelmalle yleinen ratkaisukaava. y + 4y = g(t), y() = 3, y () = 1,

3 12. Osoita, että jos y 1, y 2 C 1 (I) ja W (y 1, y 2 )(x o ) jollain x o I, niin y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. (Huomaa, että käänteinen ei päde yleisesti, mutta pätee, jos y 1 ja y 2 ovat lineaarisen yhtälön ratkaisuja, kuten tehtävässä 19. osoitamme.) 13. (a) Olkoon I R avoin väli ja p, r C (I). Olkoot y 1, y 2 C 2 (I) yhtälön y + p(x)y + r(x)y = ratkaisuja, joille y 1 () = 7, y 2 () = 1, y 1() = 14 ja y 2() = 2. Näytä, että funktiot y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippuvia. (b) Olkoot y 1, y 2 : R R, y 1 (x) = x 3 ja y 2 (x) = x 4. Ovatko y 1 ja, y 2 lineaarisesti riippumattomia? 14. (a) Laske seuraavien funktioiden gradientit: f(x, y) = x 3 y 2 ; g(x, y) = e x cos y; h(x, y) = sin y log x. (b) Määritä seuraavien funktioiden Jacobin determinantit: F (x, y) = (x 4 y 3, cos y log x); G(t, τ) = (sin(t τ), log(tτ 2 )); H(x, y) = (y 4 log x, e xy ). Vinkki: Käytä hyväksi tehtävää Kirjoita seuraavia systeemejä vastaavat eksaktit yhtälöt ja ratkaise ne: (a) (b) (c) dt = 2y + 2x2, dt = 3x2 4xy; dt = ex cos y + 2 cos x, dt = ex sin y + 2y sin x; dt = sin x + x2 e y 1, dt = y cos x 2xey. 16. Mitkä seuraavista yhtälöistä ovat eksakteja? Ratkaise ne yhtälöt, jotka olivat. (a) 2xy 3 + 2x + (3x 2 y 2 + 1)y = (b) 2xy + (y 2 3x 2 )y = (c) 1 + (1 + xy)e xy + (1 + x 2 e xy )y = (d) y2 2 2yex + (y e x )y = 17. Etsi integroivat tekijät niille tehtävän 16 yhtälöille, jotka eivät olleet eksakteja ja ratkaise ne löytämäsi integroivan tekijän avulla.

4 18. Ratkaise seuraavat yhtälöt käyttämällä sopivaa integroivaa tekijää: (a) y + (2x ye y )y =, (b) 2x 2 y 1 + x 3 y =, (c) x 2 y 3 + x(1 + y 2 )y =. Vinkki: Kokeile integroivaa tekijää µ(x, y) = 1/xy 3. Teoreettiset tehtävät 19. Tässä tehtävässä todistetaan luentojen Lause 3.6.6: Olkoot y 1, y 2 C 2 (I) yhtälön y (x) + p(x)y (x) + r(x)y(x) = ratkaisuja. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (i) W (y 1, y 2 )(x o ) jollain x o I, (ii) W (y 1, y 2 )(x) kaikilla x I, (iii) y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. Todistetaan tehtävä useassa osassa seuraavasti: (a) Osoita, että Wronskin determinantti w(x) := W (y 1, y 2 )(x) toteuttaa differentiaaliyhtälön w (x) + p(x)w(x) = ( ja totea, että w(x) = w(x ) exp x x p(t) dt (b) Päättele (a)-kohdasta, että (i) (ii). (c) Osoita vastaoletuksella, että jos y 1, y 2 } on lineaarisesti riippumaton, niin W (y 1, y 2 )(x o ) jollain x o I. ). Vinkki: Tapaus y 2 (x) kaikilla x: Tutki funktion y 1 (x) y 2 (x) derivaattaa. Tapaus y 2(ξ) =, y 2 (ξ) jollain ξ: Osoita, että y(x) := y 1 (x) y 1 (ξ) y 2 (ξ) y 2(x) on nollafunktio. (d) Viimeistele todistus keräämällä yhteen kohdat (a) (c). 2. Määritellään funktioiden f : [, ) R ja g : [, ) R konvoluutio asettamalla f(t) g(t) = (f g)(t) := (a) Todista, että jos h(t) = f(t) g(t), niin f(t τ)g(τ) dτ. H(s) = Lh(t)} = Lf(t)} Lg(t)} = F (s)g(s), missä H, F ja G ovat funktioiden h, f ja g Laplace-muunnokset. Vinkki: Tuplaintegraalin muuttujanvaihdolle x = φ(t, τ), y = ψ(t, τ) pätee = J dt dτ, missä [ ] dφ dφ J = det dt dτ dψ dψ dt dτ.

5 (b) Ratkaise Volterran yhtälö y(t) + kun k(t) = t ja f(t) = sin 2t. (c) Ratkaise integro-differentiaaliyhtälö y (t) 1 2 k(t s)y(s) ds = f(t), (t s) 2 y(s) ds = t, y() = 1.