Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jui Talja Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta en avulla Informaatiotieteiden ykikkö Matematiikka Huhtikuu 2

2 Tampereen yliopito Informaatiotieteiden ykikkö TALJA, JUSSI: Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöjen ratkaiemieta en avulla Pro gradu -tutkielma, 4., liite. Matematiikka Huhtikuu 2 Tiivitelmä Tämä tutkielma käittelee Laplace-muunnota ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemita en avulla. Laplace-muunno on integraalimuunno, joka on aanut nimenä rankalaien matemaatikon ja tähtitieteilijän Pierre-Simon Laplacen mukaan. Laplace-muunnokella on monia käytännön ovellukohteita niin fyiikan kuin matematiikan ongelmia. Tutkielman alkuoaa paneudutaan Laplace-muunnokeen, en ominaiuukiin ja erilaiten funktioiden Laplace-muunnoten ja käänteimuunnoten määrittämieen. Erityitä huomiota kiinnitetään Laplace-muunnoken olemaaolon tarkateluun, illä olemaaololle on tietyt vaatimuket, jotka funktion tulee toteuttaa, jotta illä olii Laplace-muunno. Erilaiten funktioiden Laplace-muunnoten ja käänteimuunnoten ratkaieminen on tärkeä oa Laplace-muunnoten oveltamita erilaiia tilanteia, joita tutkielman lopua paneudutaan tarkemmin differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieen. Laplace-muunno on differentiaaliyhtälöiden ratkaiemiea hyvä työväline, koka ongelmaa ratkaitaea ei tarvite etiä differentiaaliyhtälön yleitä ratkaiua, vaan alkuehdot voidaan ottaa uoraan huomioon ratkaiumenetelmää. Liäki voidaan hyödyntää ueita Laplace-muunnoken ominaiuukia, joita eitetään laueiden muodoa tutkielman kolmannea luvua. Tutkielmaa on päälähteinä käytetty teokia Dyke, P.: An Introduction to Laplace Tranform and Fourier Serie, Nagle, R., Saff, E., Snider, A.: Fundamental of Differential Equation and Boundary Value Problem ja Schiff, J.: The Laplace Tranform: Theory and Application. 2

3 Siältö Johdanto 4 2 Valmitelevia tarkateluja 5 3 Laplace-muunnoketa 7 3. Laplace-muunnoken määritelmä Käänteinen Laplace-muunno Laplace-muunnoken ominaiuukia Derivaattafunktioiden Laplace-muunno Ykikköakelfunktio ja Laplace-muunno Konvoluutio ja Laplace-muunno Differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta Laplace-muunnoken avulla 3 Viitteet 38 Liite 39 3

4 Johdanto Laplace-muunno on aanut nimenä rankalaien matemaatikon ja tähtitieteilijän Pierre-Simon Laplacen ( ) mukaan [6]. Laplace-muunno on integraalimuunno, jonka ynty ajoittuu 76-luvulle Eulerin tutkimukiin. Hän käytti käänteieen Laplace-muunnokeen verrattavaa menetelmää ratkoeaan toien ateen lineaariia differentiaaliyhtälöitä. [4,. (johdanto)]. Ilmeieti vuonna 782 Laplace innotui Eulerin kehittämitä integraaleita, joita hän itten kehitti edelleen lähemmä itä muotoa, miten niitä tänä päivänä käytetään [5]. Laplacen työtä ovat myöhemmin jatkaneet muun muaa Poincaré ja Pincherle (oveltamalla Laplace-muunnota komplekimuuttujan funktioille) ekä Picard (kahden muuttujan funktion Laplace-muunno)[4,. (johdanto)]. Pierre-Simon Laplace oli matemaattiten ongelmien liäki kiinnotunut tähtitieteetä ja todennäköiyykitä. Sen liäki, että hän kehitti Laplaceyhtälön ja loi perutan nykymuotoielle Laplace-muunnoken käytölle eri ovellualueilla, hänet muitetaan mm. yhtenä enimmäiitä tiedemiehitä, jotka ukoivat mutien aukkojen olemaaoloon. [6]. Vuonna 82 Laplace julkaii teoken Théorie analytique de probabilité, joa hän eitteli monta myöhemmän tilatotieteen perutulota [6] ja [4,. (johdanto)]. Saavututena aniota Laplace nimitettiin vuonna 86 kreiviki ja myöhemmin 87 hän ai markiiin arvonimen. Laplace on myö yki niitä 72 henkilötä, jonka nimi on kaiverretty Eiffel-torniin. [6]. Kuten jo todettua, yki Laplace-muunnoken tärkeitä ovellualueita on differentiaaliyhtälöiden ratkaieminen. Laplace-muunno on tää yhteydeä hyvä työväline, koka ongelmaa ratkaitaea ei tarvite etiä differentiaaliyhtälön yleitä ratkaiua, vaan alkuehdot voidaan ottaa uoraan huomioon ratkaiumenetelmää [4,. 59]. Laplace-muunnokella voidaan matemaattiten ongelmien liäki ratkaita ueita fyiikan alaan kuuluvia ongelmia. Tämän tutkielman tarkoitu on antaa lukijalle perutiedot Laplace-muunnoketa ja en ominaiuukita. Tutkielman alkuoaa paneudutaan Laplacemuunnokeen, en ominaiuukiin ja erilaiten funktioiden Laplace-muunnoten ja käänteimuuttoten määrittämieen. Tutkielman lopua paneudutaan tarkemmin yhteen Laplace-muunnoken tärkeään ovellualueeeen, differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieen. Tutkielman toiea luvua eitetään pohjatietona käite funktion paloittainen jatkuvuu, joka on edellytykenä Laplace-muunnoken olemaaololle. Liäki eitellään muutama muu tutkielmaa myöhemmin eiintyvä määritelmä ja laue. Tutkielman kolmannen luvun aluki käydään läpi Laplace-muunnoken ja käänteien Laplace-muunnoken määritelmät ja laueen muodoa niiden lineaariuu. On tärkeää huomata, että kaikille funktioille ei voida määrittää Laplace-muunnota, vaan funktion tulee toteuttaa tietyt ehdot. Nämä käydään läpi laueea 3.. Kappaleen 3.4 pääpaino on derivaattafunktioi- 4

5 den Laplace-muunnokiin liittyviä laueia, joita myöhemmin luvua 4 hyödynnetään differentiaaliyhtälöiden ratkaiua. Kappaleea 3.5 kekitytään ykikköakelfunktion Laplace-muunnoken määrittämieen ja eitellään toinen tranlaatiolaue, jota niin ikään käytetään myöhemmin hyväki differentiaaliyhtälöitä ratkaitaea. Kolmannen kappaleen viimeinen luku on omitettu konvoluutiofunktion Laplace-muunnoken käittelylle. Tutkielman neljä ja viimeinen luku käittelee differentiaaliyhtälöiden ratkaiemita edelliiä luvuia eitettyjen laueiden ja määritelmien avulla. Jokainen eimerkki poikkeaa toiita iinä käytettyjen ratkaiukeinojen oalta, jotka on mainittu ennen kutakin eimerkkiä. Lukijan edellytetään hallitevan yhden ja uean muuttujan funktion analyyin ekä komplekianalyyin peruteet. Tutkielmaa on päälähteinä käytetty teokia Dyke, P.: An Introduction to Laplace Tranform and Fourier Serie, Nagle, R., Saff, E., Snider, A.: Fundamental of Differential Equation and Boundary Value Problem ja Schiff, J.: The Laplace Tranform: Theory and Application. 2 Valmitelevia tarkateluja Jotta tietylle funktiolle voidaan määrittää Laplace-muunno, tulee funktion olla paloittain jatkuva tai jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tätä yytä määritellään eniki, mitä tarkoittavat käitteet hyppyepäjatkuvuu ja paloittainen jatkuvuu. Määritelmä 2. (Hyppyepäjatkuvuu). (K.[4,. 8].) Funktiolla f(t) anotaan olevan hyppyepäjatkuvuukohta piteeä t, mikäli funktion toipuoleiet raja-arvot piteeä t ovat äärelliinä olemaa, mutta niiden arvot eivät ole amat. On ii voimaa mutta L M. lim f(t) L ja lim f(t) M, t t t t + Määritelmä 2.2 (Paloittainen jatkuvuu). (Vrt.[,. 3], [3,. 38], [4,. ].) Funktion f(t) anotaan olevan paloittain jatkuva uljetulla välillä [a, b], mikäli e on jatkuva välin jokaiea piteeä lukuun ottamatta äärellitä määrää hyppyepäjatkuvuukohtia τ, τ 2,..., τ n [a, b]. Funktion f(t) anotaan olevan paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ), mikäli ( ) lim f(t) f(), t + ( ) funktio f on jatkuva jokaiella välin [, ) uljetulla oavälillä [, N] kaikilla N > lukuun ottamatta äärellitä määrää hyppyepäjatkuvuukohtia τ, τ 2,..., τ n [, N]. 5

6 Määritelmätä 2.2 ja jatkuvien funktioiden ominaiuukita euraa, että paloittain jatkuva funktio f(t) on paiti jatkuva, myö rajoitettu jokaiella välin [, ) oavälillä. Toiin anoen on ii olemaa äärellinen määrä lukuja M i, i, 2,..., n, joille f(t) M i, τ i < t < τ i+. [4,..] Seuraavaa laueea eiteltävän Leibnizin laueen avulla voidaan ratkaita ellaiia matemaattiia ongelmia, joia tulee määrittää integaalilauekkeen derivaatta. Tällöin, mikäli funktio toteuttaa vaaditut oletuket Leibnizin laueen käyttämielle, voidaan en avulla vaihtaa integroimien ja derivoimien järjetytä tehtävän ratkaiun helpottamieki [3,. 389]. Tää tutkielmaa lauetta käytetään avuki laueen 3. toditamiea. Laue 2. (Leibnizin laue). (K. [3,. 447].) Olkoot kahden muuttujan funktiot f ja f jatkuvia piteiä v ja t ja olkoot funktiot a(t) ja b(t) derivoituvia. Tällöin t b(t) b(t) d f f(v, t) dv dt t (v, t) dv + f ( b(t), t ) db dt (t) f ( a(t), t ) da dt (t). a(t) a(t) Määritellään euraavaki kahden funktion konvoluutio. Konvoluutiolla on tärkeitä ovellualueita fyiikaa ja myö differentiaaliyhtälöiden ratkaiemiea [4,. 9], kuten tutkielman luvua 4 käy ilmi. Määritelmä 2.3 (Konvoluutio). (K.[,. 37], [3,. 425], [4,. 9].) Olkoot funktiot f(t) ja g(t) paloittain jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Tällöin niiden konvoluutio (f g) määritellään integraalin avulla euraavati: (f g)(t) t f(τ)g(t τ) dτ. Seuraavaa laueea eitellään konvoluution ominaiuukia. Laue 2.2. Olkoot funktiot f(t), g(t) ja h(t) paloittain jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Tällöin () (2) (3) (4) (5) f g g f, f (g + h) (f g) + (f h), (f g) h f (g h), f, c(f g) cf g f cg, miä c on vakio. 6

7 Toditu (k. [3, ], [4,. 9]). Toditetaan euraavaki edellien laueen kohdat () ja (3). Aloitetaan kohdata (). Määritelmän 2.3 mukaan (f g)(t) Kun merkitään u t τ, aadaan (f g)(t) t t t f(τ)g(t τ) dτ. f(u)g(t u) ( du) g(t u)f(u) du (g f)(t), joka toditaa laueen 2.2 kohdan (). Jatketaan toditamalla kohta (3). Nyt merkitemällä x u τ, aadaan ( ) t (f (g h) (t) t f(τ) (g h) (t τ) dτ f(τ) t t τ t u t τ g(x)h(t τ x) dx dτ f(τ)g(u τ)h(t u) du dτ f(τ)g(u τ) dτ h(t u) du ( (f g) h) ) (t). Muiden kohtien todituket ivuutetaan. 3 Laplace-muunnoketa 3. Laplace-muunnoken määritelmä Määritelmä 3. (Laplace-muunno). (Vrt.[3, ], [4,. 2].) Olkoon funktio f välillä [, ) määritelty reaali- tai komplekiarvoinen reaalimuuttujan t > funktio, ja olkoon en reaalinen tai komplekinen parametri. Tällöin funktion f Laplace-muunno on funktio F, joka määritellään 7

8 integraalin avulla () (2) F () L ( f(t) ) lim e t f(t) dt R e t f(t) dt. Laplace-muunno on määritelty kaikilla parametrin arvoilla, joilla integraali () on olemaa. Tällöin myö raja-arvo (2) on olemaa ja anotaan, että integraali () uppenee. Jo raja-arvo (2) ei ole olemaa, integraali () hajaantuu, jolloin funktiolle f ei voida määritellä Laplace-muunnota. Funktion f Laplace-muunnokelle käytetään lähteetä riippuen merkintöjä F, L(f) ja L ( f(t) ). Tää tutkielmaa käytetään jälkimmäitä merkintätapaa. Eimerkki 3.. ([4,. 5], tehtävä.) Määritetään funktion f(t) e 2t Laplace-muunno. Funktio f(t) on jatkuva välillä [, ), joten määritelmän 3. mukaan L ( f(t) ) lim e t e 2t dt e (2 )t dt R e (2 )t dt / R lim 2 e(2 )t lim ( 2 e(2 )R 2 Koka e (2 )R, kun R ( > 2), aadaan L ( f(t) ) 2. Jotta tietyn funktion Laplace-muunno olii olemaa, tulee funktion olla ekponentiaalita kertalukua jollakin vakiolla. Määritellään euraavaki mitä tämä käite tarkoittaa. Määritelmä 3.2 (Ekponentiaalinen kertaluku). (Vrt.[3,. 383], [4,. 2].) Funktion f anotaan olevan ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, jo on olemaa ellaiet vakiot M > ja α R, että jollain t, f(t) Me αt, t t. ). 8

9 Eimerkki 3.2. ([3,. 385], tehtävä 29.) Ooitetaan, että funktio f(t) e t3 ei ole ekponentiaalita kertalukua millään vakiolla α. Jotta funktio f(t) e t3 olii ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, tulii määritelmän 3.2 mukaan olla olemaa ellaiet vakiot M > ja α R, että jollain t, e t3 Me αt, t t. Nyt e t 3 e t 3, joten tulii löytää ellainen M >, että () Kuitenkin lim t e t3 M. eαt e t3 lim α) eαt t et(t2 +, joten epäyhtälö () ei toteudu millään M >, eikä funktio f(t) e t3 ole ekponentiaalita kertalukua millään vakiolla α. iten 3.2 Käänteinen Laplace-muunno Uealla matemaattiella operaatiolla on käänteinen operaatio. Laplace-muunno on yki näitä operaatioita. ([,. 9].) Käänteinen Laplace-muunno muuntaa Laplace-muunnetun funktion takaiin alkuperäieki funktioki. Käänteiellä Laplace-muunnokella on tärkeitä ovellualueita varinkin fyiikaa. ([4,. 23].) Määritelmä 3.3 (Käänteinen Laplace-muunno). (Vrt.[,. 9], [3,. 393], [4,. 23,. 5 52].) Olkoon F () funktio. Jo on olemaa ellainen puoliavoimella välillä [, ) paloittain jatkuva ekponentiaalita kertalukua oleva funktio f(t), jolle L ( f(t) ) F (), anotaan tällöin funktion f(t) olevan funktion F () käänteinen Laplace-muunno ja merkitään L ( F () ) f(t), t. Huomautu 3.. Jo parametri on komplekinen, t. muotoa x + iy, aadaan L ( F () ) f(t) määritettyä kaavalla f(t) 2πi x+i x i e t F () d y lim 2πi x+iy x iy e t F () d, Re() x > α. Tällöin funktion f määrittelyjoukkoa laajennetaan niin, että funktio f on määritelty avoimella välillä (, ), ja f(t), kun t <. 9

10 3.3 Laplace-muunnoken ominaiuukia Laue 3. (Laplace-muunnoken olemaaolo). Olkoon funktio f paloittain jatkuva välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Tällöin en Laplace-muunno L ( f(t) ) on olemaa kaikilla luvuilla C, Re() > α ja e uppenee iteieti. Toditu (Vrt. [3, ], [4,. 3]). Laueen toditamieki täytyy ooittaa, että integraali ( ) e t f(t) dt uppenee iteieti, kun Re() > α. Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, on määritelmän 3.2 nojalla olemaa ellaiet vakio M > ja α R, joilla f(t) M e αt, t t. Edelleen funktio f on paloittain jatkuva ja rajoitettu välin [, ) uljetulla oavälillä [, t ]. Olkoon M 2 > ellainen vakio, että f(t) M 2, < t < t. Koka ekponenttifunktiolla e αt on poitiivinen minimi uljetulla välillä [, t ], voidaan valita riittävän io vakion M arvo, jolle on voimaa Tällöin f(t) Me αt, t >. ( ) R e t f(t) R dt M e (x α)t dt / R Me (x α)t (x α) Me (x α)r x α + M x a. Nyt, koka Re() x > α, niin Me (x α)r, kun R, ja yhtälö ( ) x α tulee muotoon e t f(t) M dt x α. Näin olemme ooittaneet, että integraali ( ) uppenee iteieti, kun Re() > α, ja laue on toditettu.

11 Huomautu 3.2. (K.[4,. 2].) Edellieä laueea 3. toditettiin, että välillä [, ) paloittain jatkuvien ja ekponentiaalita kertalukua jollakin vakiolla α olevien funktioiden Laplace-muunnoket ovat olemaa ja ne uppenevat iteieti. Tällöin ii ( ) e t f(t) dt uppenee. Sen liäki, että integraali ( ) uppenee iteieti, e uppenee taaieti. Tämän toditamieki oletetaan, että edellien laueen oletuket ovat voimaa. Tällöin määritelmän 3.2 nojalla f(t) Me αt, t t. Kun valitaan x R iten, että x Re() > α, pätee e t f(t) dt e xt f(t) dt t t M t / t e (x α)t dt Me (x α)t (x α) Me (x α)t x α. Kun reaaliet luvut x ja x valitaan niin, että x x > α, aadaan edellielle oamäärälle yläraja, jolloin ( ) Me (x α)t x α M x α e (x α)t. Valitemalla nyt t riittävän uureki, aadaan yhtälön ( ) oikea puoli mielivaltaien pieneki. Tällöin jokaita lukua ε > kohti on olemaa ellainen T >, että kun t T, e t f(t) dt < ε t jokaiella luvulla C, Re() x > α. Näin väite on toditettu. Laue 3.2. Olkoon funktio f(t) paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Tällöin F () L ( f(t) ), kun Re().

12 Toditu (k. [4,. 2 22]). Laueen 3. toditukea ooitettiin, että e t f(t) dt Kun nyt x, oamäärä M x α M, kun Re() x > α. x α, jota väite euraa. Seuraavaa laueea 3.3 eitetään ja toditetaan yki tärkeimmitä ja käytetyimmitä Laplace-muunnoken ominaiuukita, lineaariuu [,. 5]. Laue 3.3 (Laplace-muunnoken lineaariuu). Olkoot a C ja b C mielivaltaiet vakiot. Olkoot f (t) ja f 2 (t) funktioita, joiden Laplace-muunnoket ovat olemaa. Tällöin L ( af (t) + bf 2 (t) ) al ( f (t) ) + bl ( f 2 (t) ). Toditu (vrt. [,. 5], [4,. 6 7]). Koka f (t) ja f 2 (t) ovat funktioita, joiden Laplace-muunnoket ovat olemaa, on laueen 3. nojalla on olemaa ellaiet vakiot M > ja M 2 >, että aina, kun C, Re() > α f (t) M e αt, ja aina, kun C, Re() > α 2 f 2 (t) M2 e α2t. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla af (t) + bf 2 (t) f a (t) f2 + b (t) ( a M + b M 2 ) e αt, miä α max{α, α 2 }, joten laueen 3. nojalla myö funktiolla L ( af (t) + bf 2 (t) ) on Laplace-muunno. Edelleen määritelmän 3. ja funktioiden integroimiääntöjen nojalla L ( af (t) + bf 2 (t) ) ( af (t) + bf 2 (t) ) e t dt ( af (t)e t + bf 2 (t)e t) dt a f (t)e t dt + b f 2 (t)e t dt al ( f (t) ) + bl ( f 2 (t) ). 2

13 Eimerkki 3.3. ([4,. 22], tehtävä.) Määritetään funktion f(t) 2t+3e 2t + 4 in 3t Laplace-muunno. Funktio f(t) toteuttaa laueen 3. vaatimuket, joten funktion f(t) Laplace-muunno on olemaa. Laplace-muunnotaulukon ja Laplace-muunnoken lineaariuuden nojalla Lf(t) L(2t + 3e 2t + 4 in 3t) L(2t) + L(3e 2t ) + L(4 in 3t) 2L(t) + 3L(e 2t ) + 4L(in 3t) Laue 3.4 (Laplace-muunnoken ykikäitteiyy). Olkoot funktiot f(t) ja g(t) paloittain jatkuvia välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Olkoon L ( f(t) ) F () ja L ( g(t) ) G(). Jo F () G(), niin f(t) g(t). Toditu (vrt. [2,. 55]). Jo x Re() on riittävän uuri, aadaan huomautuken 3. nojalla f(t) L ( F () ) 2πi 2πi x+i x i +i i L ( G() ) g(t). e t F () d e t G() d Laueea 3.3 toditettiin Laplace-muunnoken lineaariuuominaiuu. Seuraavaki toditamme, että myö käänteiellä Laplace-muunnokella on ama ominaiuu, joka on yki en tärkeimmitä ominaiuukita eri ovelluten kannalta ([,. 9]). Laue 3.5 (Laplace-muunnoken käänteimuunnoken lineaariuu). Olkoot a C ja b C mielivaltaiet vakiot. Oletetaan, että Laplace-muunnoken käänteimuunnoket L ( F () ) ja L ( F 2 () ) ovat olemaa ja ne ovat välillä [, ) jatkuvia funktioita. Tällöin L ( af () + bf 2 () ) al ( F () ) + bl ( F 2 () ). 3

14 Toditu (tekijän ite laatima). Huomautuken 3. mukaan L ( af () + bf 2 () ) 2πi 2πi a 2πi x+i x i x+i x i x+i x i e t( af () + bf 2 () ) d e t( af () ) d + 2πi e t( F () ) d + b 2πi al ( F () ) + bl ( F 2 () ). x+i x i x+i x i e t( bf 2 () ) d e t( F 2 () ) d Eimerkki 3.4. ([3,. 394], eimerkki 2.) Määritetään funktion käänteinen Laplace-muunno. Laueen 3.5 nojalla L ( 5 6 5L ( 6 Kun nyt kirjoitetaan 6 ) ) ( ) 6L + 3 ( L ) ja ( + 2) 2 +, 2 aadaan Laplace-muutotaulukota Tällöin ( ) ( ) L e 6t, L co 3t ja ( ) L e 2t in t. ( + 2) L ( 5 6 5L ( 6 6 ) ) ( ) 6L + 3 ( L 5e 6t 6 co 3t + 3e 2t 2 in t )

15 Laue 3.6. Olkoon f(t) välillä [, ) paloittain jatkuva ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α oleva funktio, jonka Laplace-muunno F () L ( f(t) ) on olemaa, kun C, Re() > α. Tällöin t L f(τ) dτ L( f(t) ). Toditu (vrt. [2,. 522], [4, ]). Olkoon g(t) t f(τ) dτ. Tällöin g (t) f(t) lukuun ottamatta äärellitä määrää funktion f epäjatkuvuukohtia. Liäki g(). Toditetaan aluki, että funktio g(t) on ekponentiaalita kertalukua. Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua, on määritelmän 3.2 mukaan olemaa ellaiet vakiot M > ja K >, että kun K > M > g(t) t f(τ) dτ M t e Kτ dτ M K (ekt ) e Kt. Koka myö funktio g(t) on ekponentiaalita kertalukua, on en Laplacemuunno laueen 3. nojalla olemaa. Nyt ( ) L ( g(t) ) lim e t g(t) dt / R lim g(t)e t + g(r)e R R g()e e t f(t) dt + R e t f(t) dt. Koka g(), upituu yhtälön ( ) oikea puoli muotoon lim ( ) g(r)e R + R e t f(t) dt lim lim ( ) g(r)e R + lim ( ) g(r)e R + L( f(t) ). R e t f(t) dt Ooitetaan vielä, että yhtälön ( ) enimmäinen termi on nolla, jolloin laue tulee toditetuki. Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua, 5

16 aadaan R g(r)e R e xr f(τ) dτ Me xr R e ατ dτ M α (e (x α)r e xr ), kun R, miä x Re() > α >. Näin yhtälö ( ) upituu muotoon t L f(τ) dτ L( f(t) ), ja laue on toditettu. Laue 3.7 (Enimmäinen tranlaatiolaue). Olkoon f(t) funktio, jonka Laplacemuunno F () L ( f(t) ) on olemaa kaikilla luvuilla C, Re() >. Tällöin F ( a) L ( e at f(t) ), miä a R, Re() > a. Toditu (K. [3,. 386], [4, ]). Olkoon Re() > a. Tällöin määritelmän 3. ja ekponenttifunktion lakuääntöjen mukaan F ( a) e ( a)t f(t) dt e (a )t f(t) dt e t e at f(t) dt L ( e at f(t) ). Eimerkki 3.5. ([3,. 39], tehtävä 2.) Tiedetään, että funktion co bt Laplace-muunno on F () L ( co bt ) 2 + b 2. Määritetään tranlaation avulla funktion e at co bt Laplace-muunno. Laueen 3.7 nojalla L ( e at co bt ) a F ( a) ( a) 2 + b. 2 6

17 3.4 Derivaattafunktioiden Laplace-muunno Tää kappaleea eitettävät derivaattafunktioiden Laplace-muunnokiin liittyvät laueet muodotavat kekeien oan niitä työkaluja, joilla differentiaaliyhtälöitä ratkaitaan Laplace-muunnoten avulla. Differentiaaliyhtälön ratkaiuproeia voidaan euraavien laueiden tulokiin uoraan iällyttää tehtävän alkuehdot, jolloin ratkaiun lyötyminen helpottuu. Laue 3.8 (Derivaattafunktion Laplace-muunno). Olkoon funktio f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α L ( f (t) ) e t f (t) dt F () f(). Toditu (vrt. [,. 4 5], [3,. 387], [4,. 54]). Koka f (t) on paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, on en Laplace-muunno L ( f (t) ) laueen 3. nojalla olemaa. Määritelmän 3. mukaan oittaiintegroimalla aadaan ( ) L ( f (t) ) lim lim e t f (t) dt R / R e t f (t) dt R e t f(t) + e t f(t) dt R lim e R f(r) f() + lim e t f(t) dt lim e R f(r) f() + F (). Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, on määritelmän 3.2 nojalla olemaa ellainen vakio M >, että jokaiella luvulla C, Re() x > α e R f(r) e xr Me αr Me (x α)r, kun R. Tällöin yhtälö ( ) aadaan muotoon ja näin laue on toditettu. L ( f (t) ) F () f(), 7

18 Eimerkki 3.6. Ooitetaan, että L ( co 2 t ) ( 2 + 4). Olkoon f(t) co 2 t, jolloin f (t) 2 in t co t in 2t ja f() co 2. Nyt laueen 3.3 ja Laplace-muunnotaulukon nojalla Edelleen laueen 3.8 nojalla L ( f (t) ) L ( in 2t ) L ( in 2t ) L ( f (t) ) L ( f(t) ) f(), eli Tällöin L ( f(t) ) L ( f (t) ) + f() L ( f(t) ) L ( co 2 t ) ( 2 + 4). Laue 3.9. Olkoot funktiot f(t) ja f (t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α L ( f (t) ) e t f (t) dt 2 F () f() f (). Toditu (vrt. [,. 5]). Koka f (t) on jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja f (t) on paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja kumpikin funktioita on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, ovat niiden Laplace-muunnoket L ( f (t) ) ja L ( f (t) ) laueen 3. nojalla olemaa. Määritelmän 3. ja laueen 3.8 8

19 nojalla ( ) L ( f (t) ) e t f (t) dt R lim e t f (t) dt / R R lim e t f (t) + e t f (t) dt lim e R f (R) f () + ( F () f() ) lim e R f (R) + 2 F () f() f (). Vataavati kuten laueen 3.8 toditukea, voidaan ooittaa, että lim e R f (R). Tällöin yhtälö ( ) aadaan muotoon ja laue on toditettu. L ( f (t) ) 2 F () f() f (), Eimerkki 3.7. ([4,. 58], tehtävä 3a.) Ooitetaan, että L ( ω 2 inh ωt ) ω3 2 ω 2 käyttämällä pelkätään laueen 3.9 ja määritelmän 3. tulokia. Olkoon f(t) inh ωt, joten f (t) ω coh ωt, f (t) ω 2 inh ωt, f() ja f () ω. Laueen 3.9 mukaan jota aadaan L ( ω 2 inh ωt ) 2 L ( inh ωt ) ω L ( f (t) ) 2 L ( f(t) ) f() f (), lim 2 2 lim e t inh ωt dt ω R R lim R e t inh ωt dt ω e t eωt e ωt 2 dt ω ( e t( ω) e t(+ω)) dt ω 9

20 2 2 lim R 2 2 lim e t( ω) dt 2 2 / R 2 2 ω ω ω 2 ω 2 ω 2 ω ω3, kun > ω. 2 ω2 lim R ω e t( ω) lim e t(+ω) dt ω / R + ω e t(+ω) ω Edellien eimerkin tarkoitu on havainnollitaa laueen 3.9 käyttöä ratkaiukeinona. Lukijan on hyvä huomata, että tehtävän ratkaiu oltaiiin aatu uoraan laueen 3.3 avulla kirjoittamalla L ( ω 2 inh ωt ) ω 2 L ( inh ωt ) ja ratkaiemalla tämä. Laue 3.. Olkoot funktiot f(t), f (t),..., f (n ) (t) jatkuvia välillä [, ) ja olkoon f (n) (t) paloittain jatkuva välillä [, ), ja olkoot kaikki edelliet funktiot ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α () L ( f (n) (t) ) n L ( f(t) ) n f() n 2 f () f (n ) (). Toditu (tekijän ite laatima). Toditetaan laue induktiolla n:n uhteen. Ooitetaan enin (peruakel), että () on toi, kun n. Sen jälkeen induktioakeleea oletetaan, että () on toi, kun n k (induktio-oletu), ja ooitetaan itten, että () on toi, kun n k + (induktioväite). Peruakel, n. Laueen 3.8 yhteydeä toditettiin, että L ( f (t) ) F () f(). 2 Induktioakel. Induktio-oletu: oletetaan, että () on toi, kun n k, eli L ( f (k) (t) ) k L ( f(t) ) k f() k 2 f () f (k ) (). Induktioväite: () on toi, kun n k +. 2

21 Toditu. Oittaiintegroimalla aadaan ( ) L ( f (k+) (t) ) lim lim e t f (k+) (t) dt R / R e t f (k+) (t) dt R e t f (k) (t) + e t f (k) (t) dt R lim e R f (k) (R) f (k) () + lim e t f (k) (t) dt lim e R f (k) (R) f (k) () + L ( f (k) (t) ). Koka funktio f (k) (t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, voidaan laueen 3.8 todituken tapaan ooittaa, että lim e R f (k) (R). Tällöin induktio-oletuken nojalla yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( f (k+) (t) ) L ( f (k) (t) ) f (k) () [ k L ( f(t) ) k f() k 2 f () f (k ) () ] f (k) () k+ L ( f(t) ) k f() k f () f (k ) () f (k) (). Näin ollen induktioperiaatteen mukaan väite on toi ja laue on toditettu. Laue 3.. Olkoon funktio f(t) paloittain jatkuva välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Olkoon F () L ( f(t) ). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α () d n d n F () L( ( ) n t n f(t) ), n, 2, 3,... Toditu (tekijän ite laatima). Toditetaan laue induktiolla n:n uhteen. Ooitetaan enin (peruakel), että () on toi, kun n. Sen jälkeen induktioakeleea oletetaan, että () on toi, kun n k (induktio-oletu), ja ooitetaan itten, että () on toi, kun n k + (induktioväite). 2

22 Peruakel, n. Laueen 2. avulla aadaan d d F () d e t f(t) dt d e t f(t) dt te t f(t) dt L ( tf(t) ). 2 Induktioakel. Induktio-oletu: oletetaan, että () on toi, kun n k, eli d k d k F () L( ( ) k t k f(t) ). Induktioväite: () on toi, kun n k +. Toditu. Nyt voidaan kirjoittaa d k+ jolloin induktio-oletuken mukaan d k d F () d k+ d d F (), k ( ) d k+ d F () d k+ d L( ( ) k t k f(t) ) ( ) k d d L( t k f(t) ). Merkitään nyt g(t) t k f(t), jolloin L ( t k f(t) ) L ( g(t) ). Tällöin yhtälö ( ) aadaan muotoon d k+ d k+ F () ( )k d d L( g(t) ), jolloin perualkeleen todituken mukaan d k+ d F () d k+ ( )k d L( g(t) ) ( ) k L ( t g(t) ) ( ) k L ( t t k f(t) ) L ( ( ) k+ t k+ f(t) ). Näin ollen induktioperiaatteen mukaan väite on toi ja laue on toditettu. 22

23 Eimerkki 3.8. ([4,. 34], tehtävä.) Määritetään funktion f(t) t coh ωt Laplace-muunno L(t coh ωt), kun tiedetään, että L(coh ωt). Laueen 3. 2 ω 2 nojalla L(t coh ωt) d d F () d L(coh ωt) d d d 2 ω ω 2 ( 2 ω 2 ). 2 Laue 3.2. Olkoon funktio f paloittain jatkuva välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Olkoon liäki F () L ( f(t) ) ja olkoon rajaarvo lim t + f(t) t olemaa. Tällöin F (x) dx L jokaiella luvulla C, Re() > α. ( ) f(t) Toditu (vrt. [4,. 33]). Koka funktio f(t) paloittain jatkuva välillä [, ) f(t) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja raja-arvo lim t + on olemaa, on Laplace-muunno L ( ) t f(t) t laueen 3. nojalla olemaa. Integroimalla puolittain yhtälö miä x R, aadaan F (x) F (x) dx lim w Huomautuken 3.2 peruteella t e xt f(t) dt, w e xt f(t) dt dx. e xt f(t) dt uppenee taaieti, kun w x > α. Vaihtamalla integroimijärjetytä aadaan ( ) F (x) dx lim w lim w w / w e xt e xt f(t) dx dt t f(t) dt t f(t) wt f(t) e dt lim e dt. t w t 23

24 Nyt, kun w, laueen 3.2 nojalla edellien yhtälön ( ) termi. Tällöin yhtälö ( ) ievenee muotoon ja laue on toditettu. t f(t) F (x) dx e dt t ( ) f(t) L, t e wt f(t) t Eimerkki 3.9. ([4,. 34], tehtävä 2a.) Ooitetaan laueen 3.2 avulla, että L ( ) e t t ( log + ), ( > ). Olkoon nyt f(t) e t. Määritetään enin funktion f(t) Laplace-muunno L (f(t)). Määritelmän 3. nojalla L (f(t)) e t f(t) dt R lim e t ( e t ) dt lim lim R R / R lim lim Laueen 3.2 nojalla ( e t e t(+)) dt R e t dt lim e t(+) dt e t / R lim ) + [ ( e R +. ( ) e t L t 24 e t(+) ( + ) ( ) e R(+) lim ( + ) ( x ) dx x + x 2 + x dx + ]. + dt

25 / ( log + ) x ( log + ). Laue 3.3. Olkoon funktio f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tällöin lim f(t) lim F (), miä R. t + Toditu (k. [4,. 88]). Koka funktio f (t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ), on en Laplacemuunno laueen 3. nojalla olemaa. Olkoon L ( f (t) ) G(). Tällöin laueen 3.2 nojalla G(), kun. Laueen 3.8 nojalla G() L ( f (t) ) F () f(), > α. Ottamalla raja-arvo puolittain, kun, aadaan Tätä aadaan jota väite euraa. lim G() lim (F () + f()). f() lim F (), Laue 3.4. Olkoon funktio f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon liäki raja-arvo lim t f(t) olemaa. Tällöin lim t f(t) lim F (), miä R. Toditu (k. [,. 24]). Laueen 3.8 nojalla ( ) L ( f (t) ) e t f (t) dt F () f(). Ottamalla raja-arvo puolittain, kun, aadaan ( ) R lim e t f (t) dt lim lim e t f (t) dt lim lim (e t f(r) f()) lim f(r) f() lim f(t) f(). t 25

26 Nyt yhditämällä yhtälöt ( ) ja ( ) aadaan lim f(t) f() lim F () f(), t jota liäämällä puolittain f() aadaan ja laue on toditettu. lim f(t) lim F () t 3.5 Ykikköakelfunktio ja Laplace-muunno Määritelmä 3.4 (Ykikköakelfunktio). (K.[,. 3], [3,. 4], [4,. 25].) Ykikköakelfunktio u(t) määritellään euraavati:, kun t <, u(t), kun t >. Ykikköakelfunktio voidaan myö määritellä parametrin a avulla euraavati:, kun t < a, u a (t), kun t > a. Tällöin funktiolla u a (t) on hyppyepäjatkuvuukohta piteeä t a. Ykikköakelfunktio tunnetaan myö nimellä Heaviiden funktio. Eimerkki 3.. ([3,. 42], tehtävä 5.) Määritetään funktio, < t <, 2, < t < 2, g(t), 2 < t < 3, 3, 3 < t uudelleen ykikköakelfunktion avulla. Nyt funktion g(t) arvo muuttuu kaki ykikköä arvota arvoon 2, kun < t < 2, joten enimmäinen uudelleenmääritellyn funktion lauekkeen termi on 2u(t ). Seuraavaki funktion g(t) arvo muuttuu yhden ykikkön arvota 2 arvoon, kun 2 < t < 3, joten toinen uudelleenmääritellyn funktion lauekkeen termi on u(t 2) ja vataavalla tavalla aadaan viimeinen termi 2u(t 3). Tällöin funktion g(t) lauekkeeki aadaan g(t) 2u(t ) u(t 2) + 2u(t 3). Laue 3.5. Ykikköakelfunktion u a (t), a Laplace-muunno on jokaiella luvulla C, Re() >. L ( u a (t) ) e a, 26

27 Toditu (k. [3,. 42], [4,. 25]). Olkoon a. Tällöin, kun Re() >, määritelmän 3. nojalla L ( u a (t) ) a / a e t u a (t) dt e t dt e a, e t e t (koka, kun t ). Laueen 3.5 tulo pätee myö käänteieti, eli ( ) e L a u a (t). [3,. 42], [4,. 25]. Huomautu 3.3. (Vrt.[3,. 43].) Edellien todituken yhteydeä käytettiin hyväki ykikköakelfunktion määritelmää 3.4, jonka peruteella tiedetään, että u a (t), kun t < a, ja u a (t), kun t > a. Tätä euraa, että koka e t u a (t) dt a a a e t u a (t) dt + e t dt, e t u a (t) dt. a e t u a (t) dt Seuraavaki eitettävää toita tranlaatiolauetta voidaan käyttää apuna ratkaitaea differentiaaliyhtälöitä, joia eiintyy paloittain määritelty funktio. Laue 3.6 (Toinen tranlaatiolaue). Olkoon f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α oleva funktio, jolle F () L ( f(t) ) jokaiella luvulla C, Re() > α. Tällöin jokaiella luvulla a, (3.) L ( u a (t)f(t a) ) e a F (). 27

28 Toditu (k. [,. 8], [3,. 43], [4,. 29]). Olkoon a. Tällöin määritelmän 3. nojalla ja edellien huomautuken mukaan ( ) L ( u a (t)f(t a) ) a e t( u a (t)f(t a) ) dt e t f(t a) dt. Merkitään nyt v t a. Tällöin dv dt ja yhtälö ( ) aadaan muotoon a e t f(t a) dt e a e v f(v) dv e a e v f(v) dv e a F (). Käytännöä yleiemmin eiintyy ongelma, joa tulee määrittää Laplacemuunno funktion u a (t)f(t a) ijaan funktiolle, joka on muotoa u a (t)g(t). Tällöin Laplace-muunnoken L ( u a (t)g(t) ) määrittämieki laueen 3.6 avulla käytetään merkintää f(t) g(t + a), jolloin yhtälö (3.) tulee muotoon (3.2) L ( u a (t)g(t) ) e a L ( g(t + a) ). [3,. 43]. Eimerkki 3.. ([3,. 42], tehtävä 3.) Määritetään funktion t 2 u(t 2) Laplace-muunno. Merkitään nyt g(t) t 2 ja a 2, jolloin g(t + a) g(t + 2) (t + 2) 2 t 2 + 4t + 4. Laueen 3.3 ja Laplace-muunnotaulukon peruteella Tällöin yhtälön (3.2) nojalla L ( g(t + a) ) L(t 2 + 4t + 4) L ( t 2 u(t 2) ) e 2 ( ). 28

29 3.6 Konvoluutio ja Laplace-muunno Laue 3.7 (Konvoluutiolaue). Olkoot funktiot f(t) ja g(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F () ja L ( g(t) ) G(). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α L ( (f g)(t) ) L ( f(t) ) L ( g(t) ). Toditu (vrt. [, ], [3,. 426], [4, ]). Määritelmän 3. nojalla ( ) L ( f(t) ) L ( g(t) ) ( ( e τ f(τ) dτ ) ( e (τ+u) f(τ)g(u) du e u g(u) du Merkitään nyt t τ + u, jolloin du dt. Rajataan funktion g määrittelyä niin, että kun t <, g(t). Tällöin g(t τ), kun t < τ. Nyt yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( f(t) ) L ( g(t) ) ) dτ. e t f(τ)g(t τ) dt dτ. Koka funktiot f(t) ja g(t) toteuttavat laueen 3. ehdot, uppenevat niiden Laplace-muunnoket ko. laueen nojalla iteieti. Tätä euraa, että myö edellien yhtälön oikea puoli uppenee iteieti. Toiin anoen e t f(τ)g(t τ) dt dτ uppenee. Tähän perutuen voidaan nyt vaihtaa integrointijärjety, jolloin L ( f(t) ) L ( g(t) ) ( t e t f(t)g(t τ) dτ dt ( t e t e t f(τ)g(t τ) dτ L ( (f g)(t) ). f(τ)g(t τ) dτ ) ) dt dt ) 29

30 Eimerkki 3.2. ([3,. 43], tehtävä 5.) Määritetään laueen 3.7 avulla funktion ( ) käänteinen Laplace-muunno ( 2 + ) ( ) L. ( 2 + ) Funktio ( ) voidaan ilmaita tulomuodoa 2 +. Nyt Laplace-muunnotaulukota nähdään, että / L() ja /( 2 + ) L(in t). Tällöin laueen 3.7 nojalla jolloin L() L(in t) 2 + ( ) L in t ( 2 + ) t / t L( in t), in (t τ) dτ co (τ t) co co ( t) co t. 4 Differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta Laplace-muunnoken avulla Yki Laplace-muunnoken ovellualueita on differentiaaliyhtälöiden ratkaieminen. Laplace-muunno on tää yhteydeä hyvä työväline, koka ongelmaa ratkaitaea ei tarvite etiä differentiaaliyhtälön yleitä ratkaiua, vaan alkuehdot voidaan ulauttaa uoraan ratkaiumenetelmään [4,. 59]. Tää luvua havainnollitetaan eimerkkien kautta itä, mitä Laplace-muunnoken ominaiuutta tai Laplace-muunnokeen liittyvää lauetta voidaan käyttää ratkaitaea erityyppiiä differentiaaliyhtälöitä. Erityien hyödylliiä ovat 3

31 Laplace-muunnoken ja käänteimuunnoken lineaariuuteen liittyvät laueet, ekä derivaattafunktioiden Laplace-muunnokiin liittyvät laueet. Ennen kutakin eimerkkiä on kerrottu edelliten liäki tehtävän ratkaiua käytetyt tuloket, joita käytetään yleenä tehtävän lopua käänteimuunnoten määrittämieä. Differentiaaliyhtälöiden ratkaiemiea Laplace-muunnoken avulla voidaan erottaa kolme pääkohtaa [3,. 43], [4,. 6]. Nämä kohdat edelliiä mukaillen ovat: ) Määritetään differentiaaliyhtälön kummankin puolen Laplace-muunnoket. 2) Ratkaitaan aatu yhtälö termin L ( y(t) ) uhteen, jolloin aadaan yhtälö L ( y(t) ) F (). 3) Määritetään yhtälön L ( y(t) ) F () käänteiet Laplace-muunnoket puolittain, jolloin yhtälö aadaan muotoon y(t) L ( F () ), joka on differentiaaliyhtälön ratkaiu. Enimmäieä eimerkkitehtävää havainnollitetaan differentiaaliyhtälön ratkaiun proeia, joa tarvitaan oamurtokehitelmää yhtälön L ( y(t) ) F () oikean puolen jakamieki tekijöihin käänteimuunnoten määrittämitä varten. Eimerkki 4.. ([4,. 73], tehtävä.) Ratkaitaan Laplace-muunnoken avulla differentiaaliyhtälö ( ) y (t) y(t) co t; y(), Otetaan yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain, jolloin yhtälö tulee muotoon ( ) Alkuehdon ja laueen 3.8 nojalla L ( y (t) ) L ( y(t) ) 2 +. L ( y (t) ) L ( y(t) ) y() L ( y(t) ) +. Käyttämällä hyväki edellitä tulota aadaan yhtälö ( ) muotoon L ( y (t) ) L ( y(t) ) 2 + L ( y(t) ) + L ( y(t) ) 2 + ( )L ( y(t) ) + 2 +, 3

32 jota aadaan ( ) L ( y(t) ) 2 + ( 2 + ) ( 2 + )( ). Jotta aadaan määritettyä differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu, tulee määrittää yhtälön ( ) termien käänteiet Laplace-muunnoket. Tätä yytä tulee yhtälö ( ) jakaa oamurtokehitelmän avulla oamurtoihin, jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu aadaan määrittämällä edellien yhtälön termien käänteimuunnoket Laplace-muunnotaulukon avulla. Oamurtokehitelmän avulla yhtälö ( ) aadaan muotoon Tätä aadaan 2 + ( 2 + )( ) A + B + C 2 + jota aadaan kertoimiki Nyt yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( y(t) ) 2 A(2 + ) ( )(B + C) + ( 2 + )( ) ( 2 + )( ) (A + B)2 + (C B) + A C. ( 2 + )( ) A + B, C B, A C, A, 2 B, 2 C. 2 ( ), jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on laueen 3.5 nojalla [ y(t) L ( )] [ ( ) ( ) ( L + L L )],

33 jota Laplace-muunnotaulukon avulla käänteimuutoket määrittämällä aadaan ratkaiuki y(t) 2 (et + co t in t). Seuraavaa eimerkiä käytetään tehtävän ratkaiun löytämieen enimmäitä tranlaatiolauetta (laue 3.7). Eimerkki 4.2. ([3,. 49], tehtävä.) Ratkaitaan Laplace-muunnoken avulla differentiaaliyhtälö ( ) y (t) 2y (t) + 5y(t) ; y() 2, y () 4. Otetaan yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain, jolloin yhtälö tulee muotoon ( ) L ( y (t) ) L ( 2y (t) ) + L ( 5y(t) ). Seuraavaki voidaan käyttää hyväki laueiden 3.8 ja 3.9 tulokia ekä Laplacemuunnoken lineaariuutta. Lineaariuuominaiuuden nojalla L ( 5y(t) ) 5L ( y(t) ). Alkuehtojen ja laueen 3.8 nojalla L ( 2y (t) ) 2 [ L ( y(t) ) y() ] ja alkuehtojen ekä laueen 3.9 nojalla 2L ( y(t) ) 2, L ( y (t) ) 2 L ( y(t) ) y() y () 2 L ( y(t) ) 2 4. Edelliiä tulokia käyttämällä yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( y (t) ) L ( 2y (t) ) + L ( 5y(t) ) 2 L ( y(t) ) 2 4 [ 2L ( y(t) ) 2 ] + 5L ( y(t) ) ( )L ( y(t) ) 2 2, jota aadaan ( ) L ( y(t) ) ( ) ( ) ( )

34 Differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu aadaan nyt etimällä yhtälön ( ) termien käänteimuunnoket. Laueen 3.7 nojalla jolloin käänteieti pätee F ( a) L ( e at f(t) ), L ( F ( a) ) e at f(t), jonka mukaan differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on y(t) 2e t co 2t + e t in 2t. Seuraava eimerkki havainnollitaa ykikköakelfunktion käyttöä differentiaaliyhtälön ratkaiemiea. Eimerkki 4.3. ([4,. 73], tehtävä g.) Ratkaitaan differentiaaliyhtälö ( ) y co t, kun t π, (t) + y(t), kun t > π; y(), y (). Merkitään co t, kun t π, f(t), kun t > π, jolloin ottamalla yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain aadaan ( ) L ( y (t) ) + L ( y(t) ) L ( f(t) ). Alkuehtojen ja laueen 3.9 nojalla L ( y (t) ) 2 L ( y(t) ) y() y () 2 L ( y(t) ). Edellitä tulota käyttämällä yhtälön ( ) vaen puoli aadaan muotoon L ( y (t) ) + L ( y(t) ) 2 L ( y(t) ) + L ( y(t) ) ( 2 + )L ( y(t) ). Tarkatellaan euraavaki yhtälön ( ) oikeaa puolta. Määritelmän 3. ja integraalin lineaariuuominaiuuden nojalla L ( f(t) ) π e t f(t) dt e t f(t) dt + 34 π e t f(t) dt

35 Kun nyt huomioidaan funktion f(t) määrittely, nähdään, että e t f(t) dt π e t dt. Välillä [, π] funktio f(t) co t, joten L ( f(t) ) π / π e t co t dt e t (in t co t) e π + e π Kokoamalla edelliet tuloket yhteen aadaan yhtälö ( ) muotoon π jota aadaan ( ) ( 2 + )L ( y(t) ) e π +, 2 + e π + L ( y(t) ) e π + ( 2 + ) 2 ( 2 + ) 2 e π + ( 2 + ) 2, jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on ( ) ( ( ) L ( 2 + ) 2 e π + L )+L ( 2 + ) 2 ( 2 + ) 2 e π. ( 2 + ) 2 Laplace-muunnotaulukota nähdään, että ( ) L t in t. ( 2 + ) 2 2 Tarkatellaan euraavaki yhtälön ( ) enimmäitä termiä Laueen 3.6 mukaan jolloin käänteieti pätee L ( u a (t)f(t a) ) e a F (), L ( e a F () ) u a (t)f(t a). 35 ( 2 + ) 2 e π.

36 Edellien tuloken mukaan ( ) L ( 2 + ) 2 e π 2 u π(t)(t π) in (t π), joten differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on y(t) 2 t in t + 2 u π(t)(t π) in (t π) 2[ t in t + uπ (t)(t π) in (t π) ]. Viimeieä eimerkiä differentiaaliyhtälön ratkaiu aadaan määritettyä konvoluution avulla. Eimerkki 4.4. ([3,. 43], tehtävä.) Ratkaitaan differentiaaliyhtälö ( ) y (t) 2y (t) + y g(t); y(), y (), miä g(t) on puoliavoimella välillä [, ) paloittain jatkuva ekponentiaalita kertalukua oleva funktio. Laueen 3. nojalla funktion g(t) Laplace-muunno L ( g(t) ) on olemaa, ja ottamalla yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain yhtälö tulee muotoon ( ) L ( y (t) ) L ( 2y (t) ) + L ( y(t) ) L ( g(t) ). Ottamalla huomioon alkuehdot aadaan Laplace-muunnoken lineaariuuominaiuuden ja laueiden 3.8 ja 3.9 nojalla yhtälö ( ) muotoon 2 L ( y(t) ) y() y () 2 [ L ( y(t) ) y() ] + L ( y(t) ) L ( g(t) ) jota aadaan ( )L ( y(t) ) + 3 L ( g(t) ) ( ) 2 L ( y(t) ) + 3 L ( g(t) ), ( ) L ( y(t) ) L( g(t) ) + 3 ( ) 2 ( ) 2 L( g(t) ) ( ) ( ). 2 Differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiun etimieki tulee määrittää edellien yhtälön ( ) termien käänteiet Laplace-muunnoket. Laueen 3.5 ja Laplace- 36

37 muunnotaulukon peruteella aadaan [ y(t) L ( ) 2 L( g(t) ) ] ( ) ( ) 2 [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] [ ] [ ] L + L 3 ( ) 2 ( ) 2 [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] ( + t)e t + 3te t [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] + 2te t e t. Laplace-muunnotaulukon peruteella tiedetään, että Tällöin laueen 3.7 nojalla [ ] L te t. ( ) 2 [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] te t g(t), jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on y(t) 2te t e t + t e t τ (t τ)g(τ) dτ. 37

38 Viitteet [] Dyke, P. An Introduction to Laplace Tranform and Fourier Serie. Lontoo: Springer-Verlag London Limited, 24. [2] Mathew, J., Ruell, W. Complex Analyi for Mathematic and Engineering. Boton: Jone and Bartlett Publiher Inc., 2. [3] Nagle, R., Saff, E., Snider, A. Fundamental of Differential Equation and Boundary Value Problem. Boton: Pearon Education Inc., 28. [4] Schiff, J. The Laplace Tranform: Theory and Application. New York: Springer-Verlag New York Inc., 999. [5] [Verkkodokumentti]. Laplace tranform. Wikipedia, the free encyclopedia. [Viitattu ]. URL [6] [Verkkodokumentti]. Pierre-Simon Laplace. Wikipedia, the free encyclopedia. [Viitattu ]. URL 38

39 Liite Laplace-muunnokia. f(t) F () t t n (n )! 2 (n, 2, 3,... )) n e at a a (eat ) in at co at e at e bt a b ae at be bt a b ( + at)e at ) e bt in at e bt co at inh at coh at ( a) a 2 + a a 2 ( a)( b) ( a)( b) ( a) 2 a ( b) 2 + a 2 b ( b) 2 + a 2 a 2 a 2 2 a 2 (a b) (a b) 39

40 2a (in at at co at) 3 ( 2 + a 2 ) 2 (t in at 2a ( 2 + a 2 ) 2 2a (in at + at co at) 2 ( 2 + a 2 ) 2 co at 2 at in at 3 t co at ( 2 + a 2 ) 2 2 a 2 ( 2 + a 2 ) 2 2a (at coh at inh at) 3 ( 2 a 2 ) 2 (t inh at 2a e bt inh at e bt coh at ( 2 a 2 ) 2 a ( b) 2 a 2 b ( b) 2 a 2 t n e at n! ( a) n+ 4

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011 S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset SMG-4200 Sähkömagneettiten järjetelmien lämmöniirto Harjoituken 1 ratkaiuehdotuket Vata 1800-luvun puoliväliä ymmärrettiin että lämpöenergia on atomien ja molekyylien atunnaieen liikkeeeen värähtelyyn

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

7. Pyörivät sähkökoneet

7. Pyörivät sähkökoneet Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Integraalifunktio. Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5

Integraalifunktio. Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5 Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5 Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? Derivaatta a) 3x 2 Funktio

Lisätiedot

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa, Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Nokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille

Nokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille Nokian kaupungin tiedotulehti Kolmenkulman yritykille Hyvä nykyinen ja tuleva kolmenkulmalainen U ui yrityalueemme alkoi yntyä Öljytien varteen ijaitee Nokian puolella. Tampereella iitä on yli 200 heh-

Lisätiedot

( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT

( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT 4 HAJOTUSTHTÄVÄ SÄHKÖST PUSSUUT -auton akku (84 V, 700 mah on ladattu täyteen Kuinka uuri oa akun energiata kuluu enimmäien viiden minuutin aikana, kun oletetaan moottorin ottavan vakiovirran 5 A? Oletetaan

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.10.06

NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.10.06 NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.0.06 Siniellä värillä on eitetty rakennuala/rakennualan oa, joka ijaitee kahden metrin korkeukäyrän alapuolella. Silta Epoon Suviaaritoa. Yleitä Aemakaavaonnoken

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Äänen nopeus pitkässä tangossa

Äänen nopeus pitkässä tangossa IXPF24 Fyiikka, ryhälaboratoriotyö IST4S1 / E1 / A Okanen Janne, Vaitti Mikael, Vähäartti Pai Jyväkylän Aattikorkeakoulu, IT-intituutti IXPF24 Fyiikka, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pai Repo Äänen nopeu

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson 3 Esipuhe Matematiikka tieteiden kuningatar ja palvelija on lukioihin ja ammattikorkeakouluihin suunnattuun koulukohtaiseen valinnaiseen syventävään kurssiin perustuva kirja. Kirjan tarkoituksena on kerrata

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA LUKION FYSIIKKAKILPAILU 0..009, ratkaiut PERUSSARJA Vataa huolellieti ja iititi! Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooite, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on 00 inuuttia.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004 MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 004 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa

Lisätiedot

Residylause ja sen sovelluksia

Residylause ja sen sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Henry Joutsijoki Residylause ja sen sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 7 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Tilayhtälötekniikasta

Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälöesityksessä it ä useamman kertaluvun differentiaaliyhtälö esitetään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Jokainen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

Lisätiedot

BINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO KAISTARAJOITTAMATTOMILLA MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVITETTU SUODATIN JA SEN SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA

BINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO KAISTARAJOITTAMATTOMILLA MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVITETTU SUODATIN JA SEN SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA BINÄÄRINN SYNKRONINN IDONSIIRO KAISARAJOIAMAOMILLA MILIVALAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVIU SUODAIN JA SN SUORIUSKYKY AWGN-KANAVASSA Millaiia aalomuooja perupuleja yypilliei käyeään? 536A ieoliikenneekniikka

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Riikka Kangaslampi Syksy 214 2 Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 tueksi

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Fysiikkakilpailu 6.11.2007, avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA

Fysiikkakilpailu 6.11.2007, avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA Fyiikkakilpailu 6.11.007, avoimen ajan vatauket AVOIN SARJA Kijoita tektaten koepapeiin oma nimei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nimi ekä koului nimi. Kilpailuaikaa on 100 minuuttia. Sekä tehtävä-

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit Harjoitus 1 / syksy 2001 1. Laske seuraavat derivaatat 2 a) D ( 5x + 5) x, b) D (-e 2x ), c) D (-ln x) ja d) D (sin 2x + cos x). 2. Laske seuraavat integraalit 2 x 5x 5 dx, a) ( + ) x b) ( e 2 ) dx, c)

Lisätiedot

Tarpeenmukainen ilmanvaihto

Tarpeenmukainen ilmanvaihto YLEISKUVAUS Tarpeenmukainen ilmanvaihto Huipputuotteet tarpeenmukaieen ilmanvaihtoon! www.wegon.com Tarpeenmukainen ilmanvaihto tarjoaa hyvän viihtyiyyden ja pienet käyttökutannuket Kun huone on käytöä,

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

... MOVING AHEAD. Rexnord Laatuketjut. Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimppuketjut

... MOVING AHEAD. Rexnord Laatuketjut. Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimppuketjut ... MOVING HED Rexnord Laatuketjut Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimuketjut Siällyluettelo Rexnord-laadun ominaiiirteet......................... 6 7 Huomioita ketjun valinnata...........................

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot