Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jui Talja Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta en avulla Informaatiotieteiden ykikkö Matematiikka Huhtikuu 2

2 Tampereen yliopito Informaatiotieteiden ykikkö TALJA, JUSSI: Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöjen ratkaiemieta en avulla Pro gradu -tutkielma, 4., liite. Matematiikka Huhtikuu 2 Tiivitelmä Tämä tutkielma käittelee Laplace-muunnota ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemita en avulla. Laplace-muunno on integraalimuunno, joka on aanut nimenä rankalaien matemaatikon ja tähtitieteilijän Pierre-Simon Laplacen mukaan. Laplace-muunnokella on monia käytännön ovellukohteita niin fyiikan kuin matematiikan ongelmia. Tutkielman alkuoaa paneudutaan Laplace-muunnokeen, en ominaiuukiin ja erilaiten funktioiden Laplace-muunnoten ja käänteimuunnoten määrittämieen. Erityitä huomiota kiinnitetään Laplace-muunnoken olemaaolon tarkateluun, illä olemaaololle on tietyt vaatimuket, jotka funktion tulee toteuttaa, jotta illä olii Laplace-muunno. Erilaiten funktioiden Laplace-muunnoten ja käänteimuunnoten ratkaieminen on tärkeä oa Laplace-muunnoten oveltamita erilaiia tilanteia, joita tutkielman lopua paneudutaan tarkemmin differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieen. Laplace-muunno on differentiaaliyhtälöiden ratkaiemiea hyvä työväline, koka ongelmaa ratkaitaea ei tarvite etiä differentiaaliyhtälön yleitä ratkaiua, vaan alkuehdot voidaan ottaa uoraan huomioon ratkaiumenetelmää. Liäki voidaan hyödyntää ueita Laplace-muunnoken ominaiuukia, joita eitetään laueiden muodoa tutkielman kolmannea luvua. Tutkielmaa on päälähteinä käytetty teokia Dyke, P.: An Introduction to Laplace Tranform and Fourier Serie, Nagle, R., Saff, E., Snider, A.: Fundamental of Differential Equation and Boundary Value Problem ja Schiff, J.: The Laplace Tranform: Theory and Application. 2

3 Siältö Johdanto 4 2 Valmitelevia tarkateluja 5 3 Laplace-muunnoketa 7 3. Laplace-muunnoken määritelmä Käänteinen Laplace-muunno Laplace-muunnoken ominaiuukia Derivaattafunktioiden Laplace-muunno Ykikköakelfunktio ja Laplace-muunno Konvoluutio ja Laplace-muunno Differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta Laplace-muunnoken avulla 3 Viitteet 38 Liite 39 3

4 Johdanto Laplace-muunno on aanut nimenä rankalaien matemaatikon ja tähtitieteilijän Pierre-Simon Laplacen ( ) mukaan [6]. Laplace-muunno on integraalimuunno, jonka ynty ajoittuu 76-luvulle Eulerin tutkimukiin. Hän käytti käänteieen Laplace-muunnokeen verrattavaa menetelmää ratkoeaan toien ateen lineaariia differentiaaliyhtälöitä. [4,. (johdanto)]. Ilmeieti vuonna 782 Laplace innotui Eulerin kehittämitä integraaleita, joita hän itten kehitti edelleen lähemmä itä muotoa, miten niitä tänä päivänä käytetään [5]. Laplacen työtä ovat myöhemmin jatkaneet muun muaa Poincaré ja Pincherle (oveltamalla Laplace-muunnota komplekimuuttujan funktioille) ekä Picard (kahden muuttujan funktion Laplace-muunno)[4,. (johdanto)]. Pierre-Simon Laplace oli matemaattiten ongelmien liäki kiinnotunut tähtitieteetä ja todennäköiyykitä. Sen liäki, että hän kehitti Laplaceyhtälön ja loi perutan nykymuotoielle Laplace-muunnoken käytölle eri ovellualueilla, hänet muitetaan mm. yhtenä enimmäiitä tiedemiehitä, jotka ukoivat mutien aukkojen olemaaoloon. [6]. Vuonna 82 Laplace julkaii teoken Théorie analytique de probabilité, joa hän eitteli monta myöhemmän tilatotieteen perutulota [6] ja [4,. (johdanto)]. Saavututena aniota Laplace nimitettiin vuonna 86 kreiviki ja myöhemmin 87 hän ai markiiin arvonimen. Laplace on myö yki niitä 72 henkilötä, jonka nimi on kaiverretty Eiffel-torniin. [6]. Kuten jo todettua, yki Laplace-muunnoken tärkeitä ovellualueita on differentiaaliyhtälöiden ratkaieminen. Laplace-muunno on tää yhteydeä hyvä työväline, koka ongelmaa ratkaitaea ei tarvite etiä differentiaaliyhtälön yleitä ratkaiua, vaan alkuehdot voidaan ottaa uoraan huomioon ratkaiumenetelmää [4,. 59]. Laplace-muunnokella voidaan matemaattiten ongelmien liäki ratkaita ueita fyiikan alaan kuuluvia ongelmia. Tämän tutkielman tarkoitu on antaa lukijalle perutiedot Laplace-muunnoketa ja en ominaiuukita. Tutkielman alkuoaa paneudutaan Laplacemuunnokeen, en ominaiuukiin ja erilaiten funktioiden Laplace-muunnoten ja käänteimuuttoten määrittämieen. Tutkielman lopua paneudutaan tarkemmin yhteen Laplace-muunnoken tärkeään ovellualueeeen, differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieen. Tutkielman toiea luvua eitetään pohjatietona käite funktion paloittainen jatkuvuu, joka on edellytykenä Laplace-muunnoken olemaaololle. Liäki eitellään muutama muu tutkielmaa myöhemmin eiintyvä määritelmä ja laue. Tutkielman kolmannen luvun aluki käydään läpi Laplace-muunnoken ja käänteien Laplace-muunnoken määritelmät ja laueen muodoa niiden lineaariuu. On tärkeää huomata, että kaikille funktioille ei voida määrittää Laplace-muunnota, vaan funktion tulee toteuttaa tietyt ehdot. Nämä käydään läpi laueea 3.. Kappaleen 3.4 pääpaino on derivaattafunktioi- 4

5 den Laplace-muunnokiin liittyviä laueia, joita myöhemmin luvua 4 hyödynnetään differentiaaliyhtälöiden ratkaiua. Kappaleea 3.5 kekitytään ykikköakelfunktion Laplace-muunnoken määrittämieen ja eitellään toinen tranlaatiolaue, jota niin ikään käytetään myöhemmin hyväki differentiaaliyhtälöitä ratkaitaea. Kolmannen kappaleen viimeinen luku on omitettu konvoluutiofunktion Laplace-muunnoken käittelylle. Tutkielman neljä ja viimeinen luku käittelee differentiaaliyhtälöiden ratkaiemita edelliiä luvuia eitettyjen laueiden ja määritelmien avulla. Jokainen eimerkki poikkeaa toiita iinä käytettyjen ratkaiukeinojen oalta, jotka on mainittu ennen kutakin eimerkkiä. Lukijan edellytetään hallitevan yhden ja uean muuttujan funktion analyyin ekä komplekianalyyin peruteet. Tutkielmaa on päälähteinä käytetty teokia Dyke, P.: An Introduction to Laplace Tranform and Fourier Serie, Nagle, R., Saff, E., Snider, A.: Fundamental of Differential Equation and Boundary Value Problem ja Schiff, J.: The Laplace Tranform: Theory and Application. 2 Valmitelevia tarkateluja Jotta tietylle funktiolle voidaan määrittää Laplace-muunno, tulee funktion olla paloittain jatkuva tai jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tätä yytä määritellään eniki, mitä tarkoittavat käitteet hyppyepäjatkuvuu ja paloittainen jatkuvuu. Määritelmä 2. (Hyppyepäjatkuvuu). (K.[4,. 8].) Funktiolla f(t) anotaan olevan hyppyepäjatkuvuukohta piteeä t, mikäli funktion toipuoleiet raja-arvot piteeä t ovat äärelliinä olemaa, mutta niiden arvot eivät ole amat. On ii voimaa mutta L M. lim f(t) L ja lim f(t) M, t t t t + Määritelmä 2.2 (Paloittainen jatkuvuu). (Vrt.[,. 3], [3,. 38], [4,. ].) Funktion f(t) anotaan olevan paloittain jatkuva uljetulla välillä [a, b], mikäli e on jatkuva välin jokaiea piteeä lukuun ottamatta äärellitä määrää hyppyepäjatkuvuukohtia τ, τ 2,..., τ n [a, b]. Funktion f(t) anotaan olevan paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ), mikäli ( ) lim f(t) f(), t + ( ) funktio f on jatkuva jokaiella välin [, ) uljetulla oavälillä [, N] kaikilla N > lukuun ottamatta äärellitä määrää hyppyepäjatkuvuukohtia τ, τ 2,..., τ n [, N]. 5

6 Määritelmätä 2.2 ja jatkuvien funktioiden ominaiuukita euraa, että paloittain jatkuva funktio f(t) on paiti jatkuva, myö rajoitettu jokaiella välin [, ) oavälillä. Toiin anoen on ii olemaa äärellinen määrä lukuja M i, i, 2,..., n, joille f(t) M i, τ i < t < τ i+. [4,..] Seuraavaa laueea eiteltävän Leibnizin laueen avulla voidaan ratkaita ellaiia matemaattiia ongelmia, joia tulee määrittää integaalilauekkeen derivaatta. Tällöin, mikäli funktio toteuttaa vaaditut oletuket Leibnizin laueen käyttämielle, voidaan en avulla vaihtaa integroimien ja derivoimien järjetytä tehtävän ratkaiun helpottamieki [3,. 389]. Tää tutkielmaa lauetta käytetään avuki laueen 3. toditamiea. Laue 2. (Leibnizin laue). (K. [3,. 447].) Olkoot kahden muuttujan funktiot f ja f jatkuvia piteiä v ja t ja olkoot funktiot a(t) ja b(t) derivoituvia. Tällöin t b(t) b(t) d f f(v, t) dv dt t (v, t) dv + f ( b(t), t ) db dt (t) f ( a(t), t ) da dt (t). a(t) a(t) Määritellään euraavaki kahden funktion konvoluutio. Konvoluutiolla on tärkeitä ovellualueita fyiikaa ja myö differentiaaliyhtälöiden ratkaiemiea [4,. 9], kuten tutkielman luvua 4 käy ilmi. Määritelmä 2.3 (Konvoluutio). (K.[,. 37], [3,. 425], [4,. 9].) Olkoot funktiot f(t) ja g(t) paloittain jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Tällöin niiden konvoluutio (f g) määritellään integraalin avulla euraavati: (f g)(t) t f(τ)g(t τ) dτ. Seuraavaa laueea eitellään konvoluution ominaiuukia. Laue 2.2. Olkoot funktiot f(t), g(t) ja h(t) paloittain jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Tällöin () (2) (3) (4) (5) f g g f, f (g + h) (f g) + (f h), (f g) h f (g h), f, c(f g) cf g f cg, miä c on vakio. 6

7 Toditu (k. [3, ], [4,. 9]). Toditetaan euraavaki edellien laueen kohdat () ja (3). Aloitetaan kohdata (). Määritelmän 2.3 mukaan (f g)(t) Kun merkitään u t τ, aadaan (f g)(t) t t t f(τ)g(t τ) dτ. f(u)g(t u) ( du) g(t u)f(u) du (g f)(t), joka toditaa laueen 2.2 kohdan (). Jatketaan toditamalla kohta (3). Nyt merkitemällä x u τ, aadaan ( ) t (f (g h) (t) t f(τ) (g h) (t τ) dτ f(τ) t t τ t u t τ g(x)h(t τ x) dx dτ f(τ)g(u τ)h(t u) du dτ f(τ)g(u τ) dτ h(t u) du ( (f g) h) ) (t). Muiden kohtien todituket ivuutetaan. 3 Laplace-muunnoketa 3. Laplace-muunnoken määritelmä Määritelmä 3. (Laplace-muunno). (Vrt.[3, ], [4,. 2].) Olkoon funktio f välillä [, ) määritelty reaali- tai komplekiarvoinen reaalimuuttujan t > funktio, ja olkoon en reaalinen tai komplekinen parametri. Tällöin funktion f Laplace-muunno on funktio F, joka määritellään 7

8 integraalin avulla () (2) F () L ( f(t) ) lim e t f(t) dt R e t f(t) dt. Laplace-muunno on määritelty kaikilla parametrin arvoilla, joilla integraali () on olemaa. Tällöin myö raja-arvo (2) on olemaa ja anotaan, että integraali () uppenee. Jo raja-arvo (2) ei ole olemaa, integraali () hajaantuu, jolloin funktiolle f ei voida määritellä Laplace-muunnota. Funktion f Laplace-muunnokelle käytetään lähteetä riippuen merkintöjä F, L(f) ja L ( f(t) ). Tää tutkielmaa käytetään jälkimmäitä merkintätapaa. Eimerkki 3.. ([4,. 5], tehtävä.) Määritetään funktion f(t) e 2t Laplace-muunno. Funktio f(t) on jatkuva välillä [, ), joten määritelmän 3. mukaan L ( f(t) ) lim e t e 2t dt e (2 )t dt R e (2 )t dt / R lim 2 e(2 )t lim ( 2 e(2 )R 2 Koka e (2 )R, kun R ( > 2), aadaan L ( f(t) ) 2. Jotta tietyn funktion Laplace-muunno olii olemaa, tulee funktion olla ekponentiaalita kertalukua jollakin vakiolla. Määritellään euraavaki mitä tämä käite tarkoittaa. Määritelmä 3.2 (Ekponentiaalinen kertaluku). (Vrt.[3,. 383], [4,. 2].) Funktion f anotaan olevan ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, jo on olemaa ellaiet vakiot M > ja α R, että jollain t, f(t) Me αt, t t. ). 8

9 Eimerkki 3.2. ([3,. 385], tehtävä 29.) Ooitetaan, että funktio f(t) e t3 ei ole ekponentiaalita kertalukua millään vakiolla α. Jotta funktio f(t) e t3 olii ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, tulii määritelmän 3.2 mukaan olla olemaa ellaiet vakiot M > ja α R, että jollain t, e t3 Me αt, t t. Nyt e t 3 e t 3, joten tulii löytää ellainen M >, että () Kuitenkin lim t e t3 M. eαt e t3 lim α) eαt t et(t2 +, joten epäyhtälö () ei toteudu millään M >, eikä funktio f(t) e t3 ole ekponentiaalita kertalukua millään vakiolla α. iten 3.2 Käänteinen Laplace-muunno Uealla matemaattiella operaatiolla on käänteinen operaatio. Laplace-muunno on yki näitä operaatioita. ([,. 9].) Käänteinen Laplace-muunno muuntaa Laplace-muunnetun funktion takaiin alkuperäieki funktioki. Käänteiellä Laplace-muunnokella on tärkeitä ovellualueita varinkin fyiikaa. ([4,. 23].) Määritelmä 3.3 (Käänteinen Laplace-muunno). (Vrt.[,. 9], [3,. 393], [4,. 23,. 5 52].) Olkoon F () funktio. Jo on olemaa ellainen puoliavoimella välillä [, ) paloittain jatkuva ekponentiaalita kertalukua oleva funktio f(t), jolle L ( f(t) ) F (), anotaan tällöin funktion f(t) olevan funktion F () käänteinen Laplace-muunno ja merkitään L ( F () ) f(t), t. Huomautu 3.. Jo parametri on komplekinen, t. muotoa x + iy, aadaan L ( F () ) f(t) määritettyä kaavalla f(t) 2πi x+i x i e t F () d y lim 2πi x+iy x iy e t F () d, Re() x > α. Tällöin funktion f määrittelyjoukkoa laajennetaan niin, että funktio f on määritelty avoimella välillä (, ), ja f(t), kun t <. 9

10 3.3 Laplace-muunnoken ominaiuukia Laue 3. (Laplace-muunnoken olemaaolo). Olkoon funktio f paloittain jatkuva välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Tällöin en Laplace-muunno L ( f(t) ) on olemaa kaikilla luvuilla C, Re() > α ja e uppenee iteieti. Toditu (Vrt. [3, ], [4,. 3]). Laueen toditamieki täytyy ooittaa, että integraali ( ) e t f(t) dt uppenee iteieti, kun Re() > α. Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, on määritelmän 3.2 nojalla olemaa ellaiet vakio M > ja α R, joilla f(t) M e αt, t t. Edelleen funktio f on paloittain jatkuva ja rajoitettu välin [, ) uljetulla oavälillä [, t ]. Olkoon M 2 > ellainen vakio, että f(t) M 2, < t < t. Koka ekponenttifunktiolla e αt on poitiivinen minimi uljetulla välillä [, t ], voidaan valita riittävän io vakion M arvo, jolle on voimaa Tällöin f(t) Me αt, t >. ( ) R e t f(t) R dt M e (x α)t dt / R Me (x α)t (x α) Me (x α)r x α + M x a. Nyt, koka Re() x > α, niin Me (x α)r, kun R, ja yhtälö ( ) x α tulee muotoon e t f(t) M dt x α. Näin olemme ooittaneet, että integraali ( ) uppenee iteieti, kun Re() > α, ja laue on toditettu.

11 Huomautu 3.2. (K.[4,. 2].) Edellieä laueea 3. toditettiin, että välillä [, ) paloittain jatkuvien ja ekponentiaalita kertalukua jollakin vakiolla α olevien funktioiden Laplace-muunnoket ovat olemaa ja ne uppenevat iteieti. Tällöin ii ( ) e t f(t) dt uppenee. Sen liäki, että integraali ( ) uppenee iteieti, e uppenee taaieti. Tämän toditamieki oletetaan, että edellien laueen oletuket ovat voimaa. Tällöin määritelmän 3.2 nojalla f(t) Me αt, t t. Kun valitaan x R iten, että x Re() > α, pätee e t f(t) dt e xt f(t) dt t t M t / t e (x α)t dt Me (x α)t (x α) Me (x α)t x α. Kun reaaliet luvut x ja x valitaan niin, että x x > α, aadaan edellielle oamäärälle yläraja, jolloin ( ) Me (x α)t x α M x α e (x α)t. Valitemalla nyt t riittävän uureki, aadaan yhtälön ( ) oikea puoli mielivaltaien pieneki. Tällöin jokaita lukua ε > kohti on olemaa ellainen T >, että kun t T, e t f(t) dt < ε t jokaiella luvulla C, Re() x > α. Näin väite on toditettu. Laue 3.2. Olkoon funktio f(t) paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Tällöin F () L ( f(t) ), kun Re().

12 Toditu (k. [4,. 2 22]). Laueen 3. toditukea ooitettiin, että e t f(t) dt Kun nyt x, oamäärä M x α M, kun Re() x > α. x α, jota väite euraa. Seuraavaa laueea 3.3 eitetään ja toditetaan yki tärkeimmitä ja käytetyimmitä Laplace-muunnoken ominaiuukita, lineaariuu [,. 5]. Laue 3.3 (Laplace-muunnoken lineaariuu). Olkoot a C ja b C mielivaltaiet vakiot. Olkoot f (t) ja f 2 (t) funktioita, joiden Laplace-muunnoket ovat olemaa. Tällöin L ( af (t) + bf 2 (t) ) al ( f (t) ) + bl ( f 2 (t) ). Toditu (vrt. [,. 5], [4,. 6 7]). Koka f (t) ja f 2 (t) ovat funktioita, joiden Laplace-muunnoket ovat olemaa, on laueen 3. nojalla on olemaa ellaiet vakiot M > ja M 2 >, että aina, kun C, Re() > α f (t) M e αt, ja aina, kun C, Re() > α 2 f 2 (t) M2 e α2t. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla af (t) + bf 2 (t) f a (t) f2 + b (t) ( a M + b M 2 ) e αt, miä α max{α, α 2 }, joten laueen 3. nojalla myö funktiolla L ( af (t) + bf 2 (t) ) on Laplace-muunno. Edelleen määritelmän 3. ja funktioiden integroimiääntöjen nojalla L ( af (t) + bf 2 (t) ) ( af (t) + bf 2 (t) ) e t dt ( af (t)e t + bf 2 (t)e t) dt a f (t)e t dt + b f 2 (t)e t dt al ( f (t) ) + bl ( f 2 (t) ). 2

13 Eimerkki 3.3. ([4,. 22], tehtävä.) Määritetään funktion f(t) 2t+3e 2t + 4 in 3t Laplace-muunno. Funktio f(t) toteuttaa laueen 3. vaatimuket, joten funktion f(t) Laplace-muunno on olemaa. Laplace-muunnotaulukon ja Laplace-muunnoken lineaariuuden nojalla Lf(t) L(2t + 3e 2t + 4 in 3t) L(2t) + L(3e 2t ) + L(4 in 3t) 2L(t) + 3L(e 2t ) + 4L(in 3t) Laue 3.4 (Laplace-muunnoken ykikäitteiyy). Olkoot funktiot f(t) ja g(t) paloittain jatkuvia välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Olkoon L ( f(t) ) F () ja L ( g(t) ) G(). Jo F () G(), niin f(t) g(t). Toditu (vrt. [2,. 55]). Jo x Re() on riittävän uuri, aadaan huomautuken 3. nojalla f(t) L ( F () ) 2πi 2πi x+i x i +i i L ( G() ) g(t). e t F () d e t G() d Laueea 3.3 toditettiin Laplace-muunnoken lineaariuuominaiuu. Seuraavaki toditamme, että myö käänteiellä Laplace-muunnokella on ama ominaiuu, joka on yki en tärkeimmitä ominaiuukita eri ovelluten kannalta ([,. 9]). Laue 3.5 (Laplace-muunnoken käänteimuunnoken lineaariuu). Olkoot a C ja b C mielivaltaiet vakiot. Oletetaan, että Laplace-muunnoken käänteimuunnoket L ( F () ) ja L ( F 2 () ) ovat olemaa ja ne ovat välillä [, ) jatkuvia funktioita. Tällöin L ( af () + bf 2 () ) al ( F () ) + bl ( F 2 () ). 3

14 Toditu (tekijän ite laatima). Huomautuken 3. mukaan L ( af () + bf 2 () ) 2πi 2πi a 2πi x+i x i x+i x i x+i x i e t( af () + bf 2 () ) d e t( af () ) d + 2πi e t( F () ) d + b 2πi al ( F () ) + bl ( F 2 () ). x+i x i x+i x i e t( bf 2 () ) d e t( F 2 () ) d Eimerkki 3.4. ([3,. 394], eimerkki 2.) Määritetään funktion käänteinen Laplace-muunno. Laueen 3.5 nojalla L ( 5 6 5L ( 6 Kun nyt kirjoitetaan 6 ) ) ( ) 6L + 3 ( L ) ja ( + 2) 2 +, 2 aadaan Laplace-muutotaulukota Tällöin ( ) ( ) L e 6t, L co 3t ja ( ) L e 2t in t. ( + 2) L ( 5 6 5L ( 6 6 ) ) ( ) 6L + 3 ( L 5e 6t 6 co 3t + 3e 2t 2 in t )

15 Laue 3.6. Olkoon f(t) välillä [, ) paloittain jatkuva ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α oleva funktio, jonka Laplace-muunno F () L ( f(t) ) on olemaa, kun C, Re() > α. Tällöin t L f(τ) dτ L( f(t) ). Toditu (vrt. [2,. 522], [4, ]). Olkoon g(t) t f(τ) dτ. Tällöin g (t) f(t) lukuun ottamatta äärellitä määrää funktion f epäjatkuvuukohtia. Liäki g(). Toditetaan aluki, että funktio g(t) on ekponentiaalita kertalukua. Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua, on määritelmän 3.2 mukaan olemaa ellaiet vakiot M > ja K >, että kun K > M > g(t) t f(τ) dτ M t e Kτ dτ M K (ekt ) e Kt. Koka myö funktio g(t) on ekponentiaalita kertalukua, on en Laplacemuunno laueen 3. nojalla olemaa. Nyt ( ) L ( g(t) ) lim e t g(t) dt / R lim g(t)e t + g(r)e R R g()e e t f(t) dt + R e t f(t) dt. Koka g(), upituu yhtälön ( ) oikea puoli muotoon lim ( ) g(r)e R + R e t f(t) dt lim lim ( ) g(r)e R + lim ( ) g(r)e R + L( f(t) ). R e t f(t) dt Ooitetaan vielä, että yhtälön ( ) enimmäinen termi on nolla, jolloin laue tulee toditetuki. Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua, 5

16 aadaan R g(r)e R e xr f(τ) dτ Me xr R e ατ dτ M α (e (x α)r e xr ), kun R, miä x Re() > α >. Näin yhtälö ( ) upituu muotoon t L f(τ) dτ L( f(t) ), ja laue on toditettu. Laue 3.7 (Enimmäinen tranlaatiolaue). Olkoon f(t) funktio, jonka Laplacemuunno F () L ( f(t) ) on olemaa kaikilla luvuilla C, Re() >. Tällöin F ( a) L ( e at f(t) ), miä a R, Re() > a. Toditu (K. [3,. 386], [4, ]). Olkoon Re() > a. Tällöin määritelmän 3. ja ekponenttifunktion lakuääntöjen mukaan F ( a) e ( a)t f(t) dt e (a )t f(t) dt e t e at f(t) dt L ( e at f(t) ). Eimerkki 3.5. ([3,. 39], tehtävä 2.) Tiedetään, että funktion co bt Laplace-muunno on F () L ( co bt ) 2 + b 2. Määritetään tranlaation avulla funktion e at co bt Laplace-muunno. Laueen 3.7 nojalla L ( e at co bt ) a F ( a) ( a) 2 + b. 2 6

17 3.4 Derivaattafunktioiden Laplace-muunno Tää kappaleea eitettävät derivaattafunktioiden Laplace-muunnokiin liittyvät laueet muodotavat kekeien oan niitä työkaluja, joilla differentiaaliyhtälöitä ratkaitaan Laplace-muunnoten avulla. Differentiaaliyhtälön ratkaiuproeia voidaan euraavien laueiden tulokiin uoraan iällyttää tehtävän alkuehdot, jolloin ratkaiun lyötyminen helpottuu. Laue 3.8 (Derivaattafunktion Laplace-muunno). Olkoon funktio f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α L ( f (t) ) e t f (t) dt F () f(). Toditu (vrt. [,. 4 5], [3,. 387], [4,. 54]). Koka f (t) on paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, on en Laplace-muunno L ( f (t) ) laueen 3. nojalla olemaa. Määritelmän 3. mukaan oittaiintegroimalla aadaan ( ) L ( f (t) ) lim lim e t f (t) dt R / R e t f (t) dt R e t f(t) + e t f(t) dt R lim e R f(r) f() + lim e t f(t) dt lim e R f(r) f() + F (). Koka funktio f(t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, on määritelmän 3.2 nojalla olemaa ellainen vakio M >, että jokaiella luvulla C, Re() x > α e R f(r) e xr Me αr Me (x α)r, kun R. Tällöin yhtälö ( ) aadaan muotoon ja näin laue on toditettu. L ( f (t) ) F () f(), 7

18 Eimerkki 3.6. Ooitetaan, että L ( co 2 t ) ( 2 + 4). Olkoon f(t) co 2 t, jolloin f (t) 2 in t co t in 2t ja f() co 2. Nyt laueen 3.3 ja Laplace-muunnotaulukon nojalla Edelleen laueen 3.8 nojalla L ( f (t) ) L ( in 2t ) L ( in 2t ) L ( f (t) ) L ( f(t) ) f(), eli Tällöin L ( f(t) ) L ( f (t) ) + f() L ( f(t) ) L ( co 2 t ) ( 2 + 4). Laue 3.9. Olkoot funktiot f(t) ja f (t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α L ( f (t) ) e t f (t) dt 2 F () f() f (). Toditu (vrt. [,. 5]). Koka f (t) on jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja f (t) on paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ) ja kumpikin funktioita on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, ovat niiden Laplace-muunnoket L ( f (t) ) ja L ( f (t) ) laueen 3. nojalla olemaa. Määritelmän 3. ja laueen 3.8 8

19 nojalla ( ) L ( f (t) ) e t f (t) dt R lim e t f (t) dt / R R lim e t f (t) + e t f (t) dt lim e R f (R) f () + ( F () f() ) lim e R f (R) + 2 F () f() f (). Vataavati kuten laueen 3.8 toditukea, voidaan ooittaa, että lim e R f (R). Tällöin yhtälö ( ) aadaan muotoon ja laue on toditettu. L ( f (t) ) 2 F () f() f (), Eimerkki 3.7. ([4,. 58], tehtävä 3a.) Ooitetaan, että L ( ω 2 inh ωt ) ω3 2 ω 2 käyttämällä pelkätään laueen 3.9 ja määritelmän 3. tulokia. Olkoon f(t) inh ωt, joten f (t) ω coh ωt, f (t) ω 2 inh ωt, f() ja f () ω. Laueen 3.9 mukaan jota aadaan L ( ω 2 inh ωt ) 2 L ( inh ωt ) ω L ( f (t) ) 2 L ( f(t) ) f() f (), lim 2 2 lim e t inh ωt dt ω R R lim R e t inh ωt dt ω e t eωt e ωt 2 dt ω ( e t( ω) e t(+ω)) dt ω 9

20 2 2 lim R 2 2 lim e t( ω) dt 2 2 / R 2 2 ω ω ω 2 ω 2 ω 2 ω ω3, kun > ω. 2 ω2 lim R ω e t( ω) lim e t(+ω) dt ω / R + ω e t(+ω) ω Edellien eimerkin tarkoitu on havainnollitaa laueen 3.9 käyttöä ratkaiukeinona. Lukijan on hyvä huomata, että tehtävän ratkaiu oltaiiin aatu uoraan laueen 3.3 avulla kirjoittamalla L ( ω 2 inh ωt ) ω 2 L ( inh ωt ) ja ratkaiemalla tämä. Laue 3.. Olkoot funktiot f(t), f (t),..., f (n ) (t) jatkuvia välillä [, ) ja olkoon f (n) (t) paloittain jatkuva välillä [, ), ja olkoot kaikki edelliet funktiot ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α () L ( f (n) (t) ) n L ( f(t) ) n f() n 2 f () f (n ) (). Toditu (tekijän ite laatima). Toditetaan laue induktiolla n:n uhteen. Ooitetaan enin (peruakel), että () on toi, kun n. Sen jälkeen induktioakeleea oletetaan, että () on toi, kun n k (induktio-oletu), ja ooitetaan itten, että () on toi, kun n k + (induktioväite). Peruakel, n. Laueen 3.8 yhteydeä toditettiin, että L ( f (t) ) F () f(). 2 Induktioakel. Induktio-oletu: oletetaan, että () on toi, kun n k, eli L ( f (k) (t) ) k L ( f(t) ) k f() k 2 f () f (k ) (). Induktioväite: () on toi, kun n k +. 2

21 Toditu. Oittaiintegroimalla aadaan ( ) L ( f (k+) (t) ) lim lim e t f (k+) (t) dt R / R e t f (k+) (t) dt R e t f (k) (t) + e t f (k) (t) dt R lim e R f (k) (R) f (k) () + lim e t f (k) (t) dt lim e R f (k) (R) f (k) () + L ( f (k) (t) ). Koka funktio f (k) (t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α, voidaan laueen 3.8 todituken tapaan ooittaa, että lim e R f (k) (R). Tällöin induktio-oletuken nojalla yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( f (k+) (t) ) L ( f (k) (t) ) f (k) () [ k L ( f(t) ) k f() k 2 f () f (k ) () ] f (k) () k+ L ( f(t) ) k f() k f () f (k ) () f (k) (). Näin ollen induktioperiaatteen mukaan väite on toi ja laue on toditettu. Laue 3.. Olkoon funktio f(t) paloittain jatkuva välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Olkoon F () L ( f(t) ). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α () d n d n F () L( ( ) n t n f(t) ), n, 2, 3,... Toditu (tekijän ite laatima). Toditetaan laue induktiolla n:n uhteen. Ooitetaan enin (peruakel), että () on toi, kun n. Sen jälkeen induktioakeleea oletetaan, että () on toi, kun n k (induktio-oletu), ja ooitetaan itten, että () on toi, kun n k + (induktioväite). 2

22 Peruakel, n. Laueen 2. avulla aadaan d d F () d e t f(t) dt d e t f(t) dt te t f(t) dt L ( tf(t) ). 2 Induktioakel. Induktio-oletu: oletetaan, että () on toi, kun n k, eli d k d k F () L( ( ) k t k f(t) ). Induktioväite: () on toi, kun n k +. Toditu. Nyt voidaan kirjoittaa d k+ jolloin induktio-oletuken mukaan d k d F () d k+ d d F (), k ( ) d k+ d F () d k+ d L( ( ) k t k f(t) ) ( ) k d d L( t k f(t) ). Merkitään nyt g(t) t k f(t), jolloin L ( t k f(t) ) L ( g(t) ). Tällöin yhtälö ( ) aadaan muotoon d k+ d k+ F () ( )k d d L( g(t) ), jolloin perualkeleen todituken mukaan d k+ d F () d k+ ( )k d L( g(t) ) ( ) k L ( t g(t) ) ( ) k L ( t t k f(t) ) L ( ( ) k+ t k+ f(t) ). Näin ollen induktioperiaatteen mukaan väite on toi ja laue on toditettu. 22

23 Eimerkki 3.8. ([4,. 34], tehtävä.) Määritetään funktion f(t) t coh ωt Laplace-muunno L(t coh ωt), kun tiedetään, että L(coh ωt). Laueen 3. 2 ω 2 nojalla L(t coh ωt) d d F () d L(coh ωt) d d d 2 ω ω 2 ( 2 ω 2 ). 2 Laue 3.2. Olkoon funktio f paloittain jatkuva välillä [, ) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α. Olkoon liäki F () L ( f(t) ) ja olkoon rajaarvo lim t + f(t) t olemaa. Tällöin F (x) dx L jokaiella luvulla C, Re() > α. ( ) f(t) Toditu (vrt. [4,. 33]). Koka funktio f(t) paloittain jatkuva välillä [, ) f(t) ja ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja raja-arvo lim t + on olemaa, on Laplace-muunno L ( ) t f(t) t laueen 3. nojalla olemaa. Integroimalla puolittain yhtälö miä x R, aadaan F (x) F (x) dx lim w Huomautuken 3.2 peruteella t e xt f(t) dt, w e xt f(t) dt dx. e xt f(t) dt uppenee taaieti, kun w x > α. Vaihtamalla integroimijärjetytä aadaan ( ) F (x) dx lim w lim w w / w e xt e xt f(t) dx dt t f(t) dt t f(t) wt f(t) e dt lim e dt. t w t 23

24 Nyt, kun w, laueen 3.2 nojalla edellien yhtälön ( ) termi. Tällöin yhtälö ( ) ievenee muotoon ja laue on toditettu. t f(t) F (x) dx e dt t ( ) f(t) L, t e wt f(t) t Eimerkki 3.9. ([4,. 34], tehtävä 2a.) Ooitetaan laueen 3.2 avulla, että L ( ) e t t ( log + ), ( > ). Olkoon nyt f(t) e t. Määritetään enin funktion f(t) Laplace-muunno L (f(t)). Määritelmän 3. nojalla L (f(t)) e t f(t) dt R lim e t ( e t ) dt lim lim R R / R lim lim Laueen 3.2 nojalla ( e t e t(+)) dt R e t dt lim e t(+) dt e t / R lim ) + [ ( e R +. ( ) e t L t 24 e t(+) ( + ) ( ) e R(+) lim ( + ) ( x ) dx x + x 2 + x dx + ]. + dt

25 / ( log + ) x ( log + ). Laue 3.3. Olkoon funktio f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Tällöin lim f(t) lim F (), miä R. t + Toditu (k. [4,. 88]). Koka funktio f (t) on ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ), on en Laplacemuunno laueen 3. nojalla olemaa. Olkoon L ( f (t) ) G(). Tällöin laueen 3.2 nojalla G(), kun. Laueen 3.8 nojalla G() L ( f (t) ) F () f(), > α. Ottamalla raja-arvo puolittain, kun, aadaan Tätä aadaan jota väite euraa. lim G() lim (F () + f()). f() lim F (), Laue 3.4. Olkoon funktio f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F (). Olkoon funktio f (t) niin ikään ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja paloittain jatkuva puoliavoimella välillä [, ). Olkoon liäki raja-arvo lim t f(t) olemaa. Tällöin lim t f(t) lim F (), miä R. Toditu (k. [,. 24]). Laueen 3.8 nojalla ( ) L ( f (t) ) e t f (t) dt F () f(). Ottamalla raja-arvo puolittain, kun, aadaan ( ) R lim e t f (t) dt lim lim e t f (t) dt lim lim (e t f(r) f()) lim f(r) f() lim f(t) f(). t 25

26 Nyt yhditämällä yhtälöt ( ) ja ( ) aadaan lim f(t) f() lim F () f(), t jota liäämällä puolittain f() aadaan ja laue on toditettu. lim f(t) lim F () t 3.5 Ykikköakelfunktio ja Laplace-muunno Määritelmä 3.4 (Ykikköakelfunktio). (K.[,. 3], [3,. 4], [4,. 25].) Ykikköakelfunktio u(t) määritellään euraavati:, kun t <, u(t), kun t >. Ykikköakelfunktio voidaan myö määritellä parametrin a avulla euraavati:, kun t < a, u a (t), kun t > a. Tällöin funktiolla u a (t) on hyppyepäjatkuvuukohta piteeä t a. Ykikköakelfunktio tunnetaan myö nimellä Heaviiden funktio. Eimerkki 3.. ([3,. 42], tehtävä 5.) Määritetään funktio, < t <, 2, < t < 2, g(t), 2 < t < 3, 3, 3 < t uudelleen ykikköakelfunktion avulla. Nyt funktion g(t) arvo muuttuu kaki ykikköä arvota arvoon 2, kun < t < 2, joten enimmäinen uudelleenmääritellyn funktion lauekkeen termi on 2u(t ). Seuraavaki funktion g(t) arvo muuttuu yhden ykikkön arvota 2 arvoon, kun 2 < t < 3, joten toinen uudelleenmääritellyn funktion lauekkeen termi on u(t 2) ja vataavalla tavalla aadaan viimeinen termi 2u(t 3). Tällöin funktion g(t) lauekkeeki aadaan g(t) 2u(t ) u(t 2) + 2u(t 3). Laue 3.5. Ykikköakelfunktion u a (t), a Laplace-muunno on jokaiella luvulla C, Re() >. L ( u a (t) ) e a, 26

27 Toditu (k. [3,. 42], [4,. 25]). Olkoon a. Tällöin, kun Re() >, määritelmän 3. nojalla L ( u a (t) ) a / a e t u a (t) dt e t dt e a, e t e t (koka, kun t ). Laueen 3.5 tulo pätee myö käänteieti, eli ( ) e L a u a (t). [3,. 42], [4,. 25]. Huomautu 3.3. (Vrt.[3,. 43].) Edellien todituken yhteydeä käytettiin hyväki ykikköakelfunktion määritelmää 3.4, jonka peruteella tiedetään, että u a (t), kun t < a, ja u a (t), kun t > a. Tätä euraa, että koka e t u a (t) dt a a a e t u a (t) dt + e t dt, e t u a (t) dt. a e t u a (t) dt Seuraavaki eitettävää toita tranlaatiolauetta voidaan käyttää apuna ratkaitaea differentiaaliyhtälöitä, joia eiintyy paloittain määritelty funktio. Laue 3.6 (Toinen tranlaatiolaue). Olkoon f(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α oleva funktio, jolle F () L ( f(t) ) jokaiella luvulla C, Re() > α. Tällöin jokaiella luvulla a, (3.) L ( u a (t)f(t a) ) e a F (). 27

28 Toditu (k. [,. 8], [3,. 43], [4,. 29]). Olkoon a. Tällöin määritelmän 3. nojalla ja edellien huomautuken mukaan ( ) L ( u a (t)f(t a) ) a e t( u a (t)f(t a) ) dt e t f(t a) dt. Merkitään nyt v t a. Tällöin dv dt ja yhtälö ( ) aadaan muotoon a e t f(t a) dt e a e v f(v) dv e a e v f(v) dv e a F (). Käytännöä yleiemmin eiintyy ongelma, joa tulee määrittää Laplacemuunno funktion u a (t)f(t a) ijaan funktiolle, joka on muotoa u a (t)g(t). Tällöin Laplace-muunnoken L ( u a (t)g(t) ) määrittämieki laueen 3.6 avulla käytetään merkintää f(t) g(t + a), jolloin yhtälö (3.) tulee muotoon (3.2) L ( u a (t)g(t) ) e a L ( g(t + a) ). [3,. 43]. Eimerkki 3.. ([3,. 42], tehtävä 3.) Määritetään funktion t 2 u(t 2) Laplace-muunno. Merkitään nyt g(t) t 2 ja a 2, jolloin g(t + a) g(t + 2) (t + 2) 2 t 2 + 4t + 4. Laueen 3.3 ja Laplace-muunnotaulukon peruteella Tällöin yhtälön (3.2) nojalla L ( g(t + a) ) L(t 2 + 4t + 4) L ( t 2 u(t 2) ) e 2 ( ). 28

29 3.6 Konvoluutio ja Laplace-muunno Laue 3.7 (Konvoluutiolaue). Olkoot funktiot f(t) ja g(t) ekponentiaalita kertalukua vakiolla α ja jatkuvia puoliavoimella välillä [, ). Olkoon L ( f(t) ) F () ja L ( g(t) ) G(). Tällöin jokaiella luvulla C, Re() > α L ( (f g)(t) ) L ( f(t) ) L ( g(t) ). Toditu (vrt. [, ], [3,. 426], [4, ]). Määritelmän 3. nojalla ( ) L ( f(t) ) L ( g(t) ) ( ( e τ f(τ) dτ ) ( e (τ+u) f(τ)g(u) du e u g(u) du Merkitään nyt t τ + u, jolloin du dt. Rajataan funktion g määrittelyä niin, että kun t <, g(t). Tällöin g(t τ), kun t < τ. Nyt yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( f(t) ) L ( g(t) ) ) dτ. e t f(τ)g(t τ) dt dτ. Koka funktiot f(t) ja g(t) toteuttavat laueen 3. ehdot, uppenevat niiden Laplace-muunnoket ko. laueen nojalla iteieti. Tätä euraa, että myö edellien yhtälön oikea puoli uppenee iteieti. Toiin anoen e t f(τ)g(t τ) dt dτ uppenee. Tähän perutuen voidaan nyt vaihtaa integrointijärjety, jolloin L ( f(t) ) L ( g(t) ) ( t e t f(t)g(t τ) dτ dt ( t e t e t f(τ)g(t τ) dτ L ( (f g)(t) ). f(τ)g(t τ) dτ ) ) dt dt ) 29

30 Eimerkki 3.2. ([3,. 43], tehtävä 5.) Määritetään laueen 3.7 avulla funktion ( ) käänteinen Laplace-muunno ( 2 + ) ( ) L. ( 2 + ) Funktio ( ) voidaan ilmaita tulomuodoa 2 +. Nyt Laplace-muunnotaulukota nähdään, että / L() ja /( 2 + ) L(in t). Tällöin laueen 3.7 nojalla jolloin L() L(in t) 2 + ( ) L in t ( 2 + ) t / t L( in t), in (t τ) dτ co (τ t) co co ( t) co t. 4 Differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta Laplace-muunnoken avulla Yki Laplace-muunnoken ovellualueita on differentiaaliyhtälöiden ratkaieminen. Laplace-muunno on tää yhteydeä hyvä työväline, koka ongelmaa ratkaitaea ei tarvite etiä differentiaaliyhtälön yleitä ratkaiua, vaan alkuehdot voidaan ulauttaa uoraan ratkaiumenetelmään [4,. 59]. Tää luvua havainnollitetaan eimerkkien kautta itä, mitä Laplace-muunnoken ominaiuutta tai Laplace-muunnokeen liittyvää lauetta voidaan käyttää ratkaitaea erityyppiiä differentiaaliyhtälöitä. Erityien hyödylliiä ovat 3

31 Laplace-muunnoken ja käänteimuunnoken lineaariuuteen liittyvät laueet, ekä derivaattafunktioiden Laplace-muunnokiin liittyvät laueet. Ennen kutakin eimerkkiä on kerrottu edelliten liäki tehtävän ratkaiua käytetyt tuloket, joita käytetään yleenä tehtävän lopua käänteimuunnoten määrittämieä. Differentiaaliyhtälöiden ratkaiemiea Laplace-muunnoken avulla voidaan erottaa kolme pääkohtaa [3,. 43], [4,. 6]. Nämä kohdat edelliiä mukaillen ovat: ) Määritetään differentiaaliyhtälön kummankin puolen Laplace-muunnoket. 2) Ratkaitaan aatu yhtälö termin L ( y(t) ) uhteen, jolloin aadaan yhtälö L ( y(t) ) F (). 3) Määritetään yhtälön L ( y(t) ) F () käänteiet Laplace-muunnoket puolittain, jolloin yhtälö aadaan muotoon y(t) L ( F () ), joka on differentiaaliyhtälön ratkaiu. Enimmäieä eimerkkitehtävää havainnollitetaan differentiaaliyhtälön ratkaiun proeia, joa tarvitaan oamurtokehitelmää yhtälön L ( y(t) ) F () oikean puolen jakamieki tekijöihin käänteimuunnoten määrittämitä varten. Eimerkki 4.. ([4,. 73], tehtävä.) Ratkaitaan Laplace-muunnoken avulla differentiaaliyhtälö ( ) y (t) y(t) co t; y(), Otetaan yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain, jolloin yhtälö tulee muotoon ( ) Alkuehdon ja laueen 3.8 nojalla L ( y (t) ) L ( y(t) ) 2 +. L ( y (t) ) L ( y(t) ) y() L ( y(t) ) +. Käyttämällä hyväki edellitä tulota aadaan yhtälö ( ) muotoon L ( y (t) ) L ( y(t) ) 2 + L ( y(t) ) + L ( y(t) ) 2 + ( )L ( y(t) ) + 2 +, 3

32 jota aadaan ( ) L ( y(t) ) 2 + ( 2 + ) ( 2 + )( ). Jotta aadaan määritettyä differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu, tulee määrittää yhtälön ( ) termien käänteiet Laplace-muunnoket. Tätä yytä tulee yhtälö ( ) jakaa oamurtokehitelmän avulla oamurtoihin, jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu aadaan määrittämällä edellien yhtälön termien käänteimuunnoket Laplace-muunnotaulukon avulla. Oamurtokehitelmän avulla yhtälö ( ) aadaan muotoon Tätä aadaan 2 + ( 2 + )( ) A + B + C 2 + jota aadaan kertoimiki Nyt yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( y(t) ) 2 A(2 + ) ( )(B + C) + ( 2 + )( ) ( 2 + )( ) (A + B)2 + (C B) + A C. ( 2 + )( ) A + B, C B, A C, A, 2 B, 2 C. 2 ( ), jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on laueen 3.5 nojalla [ y(t) L ( )] [ ( ) ( ) ( L + L L )],

33 jota Laplace-muunnotaulukon avulla käänteimuutoket määrittämällä aadaan ratkaiuki y(t) 2 (et + co t in t). Seuraavaa eimerkiä käytetään tehtävän ratkaiun löytämieen enimmäitä tranlaatiolauetta (laue 3.7). Eimerkki 4.2. ([3,. 49], tehtävä.) Ratkaitaan Laplace-muunnoken avulla differentiaaliyhtälö ( ) y (t) 2y (t) + 5y(t) ; y() 2, y () 4. Otetaan yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain, jolloin yhtälö tulee muotoon ( ) L ( y (t) ) L ( 2y (t) ) + L ( 5y(t) ). Seuraavaki voidaan käyttää hyväki laueiden 3.8 ja 3.9 tulokia ekä Laplacemuunnoken lineaariuutta. Lineaariuuominaiuuden nojalla L ( 5y(t) ) 5L ( y(t) ). Alkuehtojen ja laueen 3.8 nojalla L ( 2y (t) ) 2 [ L ( y(t) ) y() ] ja alkuehtojen ekä laueen 3.9 nojalla 2L ( y(t) ) 2, L ( y (t) ) 2 L ( y(t) ) y() y () 2 L ( y(t) ) 2 4. Edelliiä tulokia käyttämällä yhtälö ( ) aadaan muotoon L ( y (t) ) L ( 2y (t) ) + L ( 5y(t) ) 2 L ( y(t) ) 2 4 [ 2L ( y(t) ) 2 ] + 5L ( y(t) ) ( )L ( y(t) ) 2 2, jota aadaan ( ) L ( y(t) ) ( ) ( ) ( )

34 Differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu aadaan nyt etimällä yhtälön ( ) termien käänteimuunnoket. Laueen 3.7 nojalla jolloin käänteieti pätee F ( a) L ( e at f(t) ), L ( F ( a) ) e at f(t), jonka mukaan differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on y(t) 2e t co 2t + e t in 2t. Seuraava eimerkki havainnollitaa ykikköakelfunktion käyttöä differentiaaliyhtälön ratkaiemiea. Eimerkki 4.3. ([4,. 73], tehtävä g.) Ratkaitaan differentiaaliyhtälö ( ) y co t, kun t π, (t) + y(t), kun t > π; y(), y (). Merkitään co t, kun t π, f(t), kun t > π, jolloin ottamalla yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain aadaan ( ) L ( y (t) ) + L ( y(t) ) L ( f(t) ). Alkuehtojen ja laueen 3.9 nojalla L ( y (t) ) 2 L ( y(t) ) y() y () 2 L ( y(t) ). Edellitä tulota käyttämällä yhtälön ( ) vaen puoli aadaan muotoon L ( y (t) ) + L ( y(t) ) 2 L ( y(t) ) + L ( y(t) ) ( 2 + )L ( y(t) ). Tarkatellaan euraavaki yhtälön ( ) oikeaa puolta. Määritelmän 3. ja integraalin lineaariuuominaiuuden nojalla L ( f(t) ) π e t f(t) dt e t f(t) dt + 34 π e t f(t) dt

35 Kun nyt huomioidaan funktion f(t) määrittely, nähdään, että e t f(t) dt π e t dt. Välillä [, π] funktio f(t) co t, joten L ( f(t) ) π / π e t co t dt e t (in t co t) e π + e π Kokoamalla edelliet tuloket yhteen aadaan yhtälö ( ) muotoon π jota aadaan ( ) ( 2 + )L ( y(t) ) e π +, 2 + e π + L ( y(t) ) e π + ( 2 + ) 2 ( 2 + ) 2 e π + ( 2 + ) 2, jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on ( ) ( ( ) L ( 2 + ) 2 e π + L )+L ( 2 + ) 2 ( 2 + ) 2 e π. ( 2 + ) 2 Laplace-muunnotaulukota nähdään, että ( ) L t in t. ( 2 + ) 2 2 Tarkatellaan euraavaki yhtälön ( ) enimmäitä termiä Laueen 3.6 mukaan jolloin käänteieti pätee L ( u a (t)f(t a) ) e a F (), L ( e a F () ) u a (t)f(t a). 35 ( 2 + ) 2 e π.

36 Edellien tuloken mukaan ( ) L ( 2 + ) 2 e π 2 u π(t)(t π) in (t π), joten differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on y(t) 2 t in t + 2 u π(t)(t π) in (t π) 2[ t in t + uπ (t)(t π) in (t π) ]. Viimeieä eimerkiä differentiaaliyhtälön ratkaiu aadaan määritettyä konvoluution avulla. Eimerkki 4.4. ([3,. 43], tehtävä.) Ratkaitaan differentiaaliyhtälö ( ) y (t) 2y (t) + y g(t); y(), y (), miä g(t) on puoliavoimella välillä [, ) paloittain jatkuva ekponentiaalita kertalukua oleva funktio. Laueen 3. nojalla funktion g(t) Laplace-muunno L ( g(t) ) on olemaa, ja ottamalla yhtälötä ( ) Laplace-muunnoket puolittain yhtälö tulee muotoon ( ) L ( y (t) ) L ( 2y (t) ) + L ( y(t) ) L ( g(t) ). Ottamalla huomioon alkuehdot aadaan Laplace-muunnoken lineaariuuominaiuuden ja laueiden 3.8 ja 3.9 nojalla yhtälö ( ) muotoon 2 L ( y(t) ) y() y () 2 [ L ( y(t) ) y() ] + L ( y(t) ) L ( g(t) ) jota aadaan ( )L ( y(t) ) + 3 L ( g(t) ) ( ) 2 L ( y(t) ) + 3 L ( g(t) ), ( ) L ( y(t) ) L( g(t) ) + 3 ( ) 2 ( ) 2 L( g(t) ) ( ) ( ). 2 Differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiun etimieki tulee määrittää edellien yhtälön ( ) termien käänteiet Laplace-muunnoket. Laueen 3.5 ja Laplace- 36

37 muunnotaulukon peruteella aadaan [ y(t) L ( ) 2 L( g(t) ) ] ( ) ( ) 2 [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] [ ] [ ] L + L 3 ( ) 2 ( ) 2 [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] ( + t)e t + 3te t [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] + 2te t e t. Laplace-muunnotaulukon peruteella tiedetään, että Tällöin laueen 3.7 nojalla [ ] L te t. ( ) 2 [ L ( ) 2 L( g(t) ) ] te t g(t), jolloin differentiaaliyhtälön ( ) ratkaiu on y(t) 2te t e t + t e t τ (t τ)g(τ) dτ. 37

38 Viitteet [] Dyke, P. An Introduction to Laplace Tranform and Fourier Serie. Lontoo: Springer-Verlag London Limited, 24. [2] Mathew, J., Ruell, W. Complex Analyi for Mathematic and Engineering. Boton: Jone and Bartlett Publiher Inc., 2. [3] Nagle, R., Saff, E., Snider, A. Fundamental of Differential Equation and Boundary Value Problem. Boton: Pearon Education Inc., 28. [4] Schiff, J. The Laplace Tranform: Theory and Application. New York: Springer-Verlag New York Inc., 999. [5] [Verkkodokumentti]. Laplace tranform. Wikipedia, the free encyclopedia. [Viitattu ]. URL [6] [Verkkodokumentti]. Pierre-Simon Laplace. Wikipedia, the free encyclopedia. [Viitattu ]. URL 38

39 Liite Laplace-muunnokia. f(t) F () t t n (n )! 2 (n, 2, 3,... )) n e at a a (eat ) in at co at e at e bt a b ae at be bt a b ( + at)e at ) e bt in at e bt co at inh at coh at ( a) a 2 + a a 2 ( a)( b) ( a)( b) ( a) 2 a ( b) 2 + a 2 b ( b) 2 + a 2 a 2 a 2 2 a 2 (a b) (a b) 39

40 2a (in at at co at) 3 ( 2 + a 2 ) 2 (t in at 2a ( 2 + a 2 ) 2 2a (in at + at co at) 2 ( 2 + a 2 ) 2 co at 2 at in at 3 t co at ( 2 + a 2 ) 2 2 a 2 ( 2 + a 2 ) 2 2a (at coh at inh at) 3 ( 2 a 2 ) 2 (t inh at 2a e bt inh at e bt coh at ( 2 a 2 ) 2 a ( b) 2 a 2 b ( b) 2 a 2 t n e at n! ( a) n+ 4

Osa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos

Osa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos Oa VII Laplace muunno 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 181 / 246 A.Raila,

Lisätiedot

Laplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0

Laplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0 Laplacemuunnoten peruteet kurilla S; v.. Jarmo Malinen. joulukuuta 29 Siältö Alkuanat 2 2 Määritelmiä 2 3 Laplace-muunnoken ominaiuukia 6 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

Kompleksinen Laplace-muunnos

Kompleksinen Laplace-muunnos TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Päivikki Mäki Kompleksinen Laplace-muunnos Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MÄKI, PÄIVIKKI:

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista

Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anni Meisalmi Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö

Lisätiedot

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt

Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt 8. marraskuuta 216 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja.

Lisätiedot

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }. Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Luku 16 Markkinatasapaino

Luku 16 Markkinatasapaino 68 Luku 16 Markkinataaaino 16.1 Markkinataaainon määrity Tarkatelemme kilailulliia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaiuna uhteea makimihintoihin talouenitäjien

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 2. välikoe

S Piirianalyysi 2 2. välikoe S-55.22 Piirianalyyi 2 2. välikoe 6.5.23 Lake tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muita kirjoittaa jokaieen paperiin elväti nimi, opikelijanumero, kurin nimi ja koodi. Epäelvät vataupaperit voidaan

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan 87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

= r, s. Jokaisella diedriryhmällä on vastaavanlainen esitys ryhmän O(2) < GL 2 (R) aliryhmänä. r 2 (C) r 2 (B) r 2 (A) s s

= r, s. Jokaisella diedriryhmällä on vastaavanlainen esitys ryhmän O(2) < GL 2 (R) aliryhmänä. r 2 (C) r 2 (B) r 2 (A) s s 6. Symmetinen yhmä Ääellien n alkiota kootuvan joukon { 2...n} pemutaatioyhmää kututaan ymmetieki yhmäki S n.hajoitutehtävän5nojallaminkätahanan alkion joukon pemutaatioyhmä on iomofinen yhmän S n kana.

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka

Lisätiedot

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

ELEC-C4120 Piirianalyysi II 2. välikoe

ELEC-C4120 Piirianalyysi II 2. välikoe LC-C4 Piirianalyyi II 2. välikoe 8.4.4 Vataa KOLMN tehtävään.. e (t) R C Oheiea piiriä vaikuttaa taajännitelähde = V ekä e (t) = ê in(ω 0 t)+ê 2 in(2ω 0 t). Lake vatukea kuluva pätöteho P. ê = 2 V ê 2

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.

Lisätiedot

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus.

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus. TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen) 6.4.5 Määrittele lyyeti euraavat käitteet a) Kvantiointivire. b) äytetaajuuden interpolointi. ) Adaptiivinen uodatu. a) Kvantiointivire yntyy, kun ignaalin ykittäinen

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

L p -keskiarvoalueista

L p -keskiarvoalueista L p -keskiarvoalueista Jenni Alamehtä Matematiikan pro gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu 4 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFOS UNIVESITET UNIVESITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0

Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0 Laplace-muunnos (Kr. 6. Aalto Mat-.32/332, C3-II/KP3-II, 8/23, Kari Eloranta Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. Määritelmä

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),... Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 5: Navat ja nollat, systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri

ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 5: Navat ja nollat, systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri ELEC-C3 Säätötekniikka Luku 5: Navat ja nollat, yteemin nopeu, tabiiliuu ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri Syteemin käyttäytyminen Syteemin tai järjetelmän tärkein ominaiuu on tabiiliuu. Muita ominaiuukia

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Harjoitus 1, tehtävä 1

Harjoitus 1, tehtävä 1 Heikki Kallasjoki, 66H, htkallas@cc.hut.fi /34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f C(R) on π-jaksollinen funktio ja a R. Näytä, että f(t + a) dt f(t) dt a+π f(t) dt. a () () (3) Tarkastellaan ensin lauseketta

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja

Lisätiedot

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Derivaatta 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, funktion raja-arvo

Derivaatta 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, funktion raja-arvo Derivaatta 1/6 Sisältö Derivaatan määritelmä funktio Olkoon kiinteä tarkastelupiste. Reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion f deri- (reaali-) vaatta tässä pisteessä merkitään f () voidaan luonnetia kadella

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4. DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa

Lisätiedot

Pinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen

Pinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Rakenteien Mekaniikka Vol. 44, Nro, 0,. 93-97 Pinta-alan variaatio Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Tiivitelmä. Artikkelia tarkatellaan taoalueen pinta-alan variaation eittämitä vektorilakennan avulla.

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

Sosiaalihuollon kertomusmerkintä

Sosiaalihuollon kertomusmerkintä Soiaalihuollon kertomumerkintä Kommentoitava materiaali Terveyden ja hyvinvoinnin laito (THL) L 30 (Mannerheimintie 166) 0071 Helinki Telephone: 09 54 6000 www.thl.fi Siällyluettelo Soiaalihuollon kertomumerkintä...

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011 S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla 4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu

Lisätiedot

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot