HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I

Transkriptio

1 HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen jakauma, että en kvantiilifunktio q X aadaan en kertymäfunktion F X käänteifunktiona (eli jakon 2.9 alua mainitut oletuket ovat voimaa). Olkoon > 0 ja c R, ja määritellään Y = X + c a) Miten F Y (y) aadaan ilmaitua m:n X kf:n F X avulla? b) Miten m:n Y kvantiilifunktio q Y (u) aadaan ilmaitua kvantiilifunktion q X avulla? Huomaa, että piteet (q X (u), q Y (u)) attuvat tietylle uoralle, kun 0 < u <. Mikä on kyeien uoran kulmakerroin ja mikä on en ja y-akelin leikkaupite? Ratkaiu: a) Y :n kertymäfunktioki aadaan F Y (y) = P(Y y) = P(X + c y) = P ( X y c Koka > 0, epäyhtälön uunta äilyy :llä jaettaea. ) ( ) y c = F X. b) F Y on yhditetty funktio F Y = F X h, miä h(y) = y c, joten en käänteifunktio on (F X h) = h FX, eli q Y (u) = FY (u) = FX (u) + c = q X (u) + c. Suoran kulmakerroin on ii ja e leikkaa y-akelin piteeä c. 2. Logitinen jakauma parametreilla µ R ja > 0 voidaan määritellä iten, että e on atunnaimuuttujan Y jakauma, kun Y = µ + ln X X, ja X U(0, ). Johda logitien jakauman tiheyfunktio. Ratkaiu: Määritellään funktio g : (0, ) R, joa g(x) = µ + ln X. Tällöin Y = g(x). X Funktio on aidoti kavava välillä (0, ) ja logaritmifunktio ln() on aidoti kavava kaikilla > 0, joten g on aidoti kavava koko määrittelyjoukoaan. Tällöin (ja koka g on urjektio) on olemaa käänteifunktio h : R (0, ). Nyt

2 voidaan elvittää käänteifunktion konkreettinen laueke yhtälötä: y = µ + ln y µ = ln ep( y µ ) = ( ) ep( y µ = ) = ep( ) + ep( ) ep( ) +ep( Määrittelemällä = h(y), aadaan h(y) =. Funktiot g ja h ovat jatkuvien ) funktioiden yhditeinä jatkuvia. Liäki kaikilla (0, ) pätee g () = D( ) = ( ) = 2 ( ) joten g on jatkuvati derivoituva. Liäki tiedetään, että D(ep( )) = Merkitään ξ(y) = ep( ), jolloin ξ (y) = ξ(y). h (y) = D ( ) ξ(y) = + ξ(y) ξ(y)( + ξ(y)) ξ(y) ξ(y) = ( + ξ(y)) 2 ep( ). ξ(y) ( + ξ(y)) = ep( ) 2 ( + ep( = ))2 ( + ep( µ y )( + ep( )) Sii h on jatkuvati derivoituva. Nyt käyttämällä määritelmää 2.0, voidaan todeta h:n olevan diffeomorfimi. Kun y R, laueen 2.2 nojalla Y:llä on jatkuva jakauma ja f Y (y) = f X (h(y)) h (y) Koka X U(0, ), niin f X (h(y)) = kaikilla h(y) (0, ), ja liäki h(y) (0, ) kaikilla y R. Koka h (y) > 0 tiheyfunktioki aadaan f Y (y) = h (y) = ( + ep( )( + ep( µ y y R. )), 3. Heitetään 6-ivuita noppaa kaki kertaa. V on enimmäien heiton ilmäluku ja V 2 toien heiton ilmäluku. Määritellään atunnaimuuttujat X = min(v, V 2 ) ja Y = ma(v, V 2 ). Perutele, miki atunnaimuuttujien X ja Y yptnf on /, kun = y 6, f (X,Y ) (, y) = 2/, kun < y 6, 0, muuten. Tarkita myö, että f (X,Y ) todella on yptnf. Johda reuna-ptnf:t f X ja f Y yptnf:n reunaummina. Ratkaiu: Oletetaan tavallieen tapaan, että V ja V 2 ovat riippumattomia. Koka X = min(v, V 2 ) ja Y = ma(v, V 2 ), pätee X Y, jolloin f X,Y (, y) = 0 kun > y. Liäki elväti f X,Y = 0, kun (, y) / {,..., 6} {,..., 6}. Seuraavaki

3 huomataan, että X =, Y = = V =, V 2 =. Nyt riippumattomuuden nojalla aadaan P(V =, V 2 = ) = P(V = )P(V 2 = ). Kun vielä tiedämme, että, {,..., 6} 6 P(V = ) = P(V 2 = ) = 0, / {,..., 6} voidaan todeta, että = y = f X,Y (, y) = P(X = Y ) = ( 6 )2 =. Tutkitaan vielä tapau < y ja (, y) {,..., 6} {,..., 6}. Tällöin {X =, Y = y} = {V =, V 2 = y} {V = y, V 2 = }. Nämä kaki joukkoa ovat erilliet, joten tn-mitan additiiviuuden nojalla P(X =, Y = y) = P(V =, V 2 = y) + P(V = y, V 2 = ) = P(V = )P(V 2 = y) + P(V = y)p(v 2 = ) = ( 6 )2 + ( 6 )2 = 2. Tarkitetaan vielä, että kyeeä on yptnf. Merkitään S = {,..., 6} {,..., 6}, jolloin f X,Y : S R on ei-negatiivinen funktio ja pitetodennäköiyykien umma on (taulukota apua): Reunajakaumien arvot aadaan taulukota ummaamalla toinen muuttuja poi, ii toiin ilmaituna funktiot voidaan määritellä euraavati: 2y, y {,..., 6} f Y (y) = 0, y / {,..., 6} ja 3 2, {,..., 6} f X = 0, / {,..., 6} 4. Jatkoa tehtävään 3. a) Ovatko tehtävän 3 atunnaimuuttujat X ja Y riippumattomia? b) Eitä tapahtuma {X > } muodoa {V > v, V 2 > v 2 } kekimällä opivat v ja v 2. c) Päättele ilmälukujen V ja V 2 riippumattomuuden ja kohdan b) avulla m:n X kf F X. d) johda kohdan c) kertymäfunktiota F X vataava reuna-ptnf f X (toivottavati ait aman kuin edellieä tehtävää) Ratkaiu:

4 a) Ooitetaan vataeimerkillä, että eivät ole: P(X >, Y = ) = 0 25 P(X > )P(Y = ) = b) Tapahtuma {X > } vaatii, että molemmat nopanheitot ovat ilmäluvultaan uurempia kuin. Voimme ii muotoilla tapahtuman uudelleen: {X > } = {V >, V 2 > }. c) Oletetaan, että {, 2, 3, 4, 5, 6}. Suoralla lakulla aadaan F X (X ) = P(X ) = P(X > ) = P(V >, V 2 > ) = P(V > )P(V 2 > ) = ( 6 ) 2 = 6 2 2, Koka X on dikreetti ja en arvojoukko on [; 6] N, aamme F X :tä kertymäfunktion täydentämällä en paloittain vakioki oikealta jatkuvaki porrafunktioki, jonka epäjatkuvuukohdat ovat X :n arvojoukoa. Liäki kun <, F X = 0 ja kun > 6, F X =. d) Kyeeä on dikreetti atunnaimuuttuja, joten kun {,..., 6}, aadaan ptnf lakemalla f X () = F X () F X ( ) = 2 2 2( ) ( )2 = Heitetään tavallita lanttia neljä kertaa (ja oletetaan, että heitot ovat riippumattomia). Määritellään atunnaimuuttujat X j = { j. heitto kruuna }, kun j =, 2, 3, 4. Määritellään näiden avulla atunnaimuuttujat W = 4X 2 +2X 3 +X 4 + ja V = 8X ekä Y = W + V. a) Selitä perutellen, miki W V. b) Määrää ptnf f Y ja tunnita atunnaimuuttujan Y jakauma. Ratkaiu: a) Määritellään funktiot h ja h 2 euraavati: h : R 3 R, h (, y, z) = 4 + 2y + z +, h 2 : R R, h 2 () = 8. Määritellään atunnaivektori Z = (X 2, X 3, X 4 ). Nyt W = h (Z) ja V = h 2 (X ). Koka atunnaimuuttujat X j ovat riippumattomia, myö atunnaivektorit Z ja X ovat riippumattomia ja tällöin myö niiden muunnoket h (Z) = W ja h 2 (X ) = V ovat riippumattomia. b) Määritellään atunnaivektori X = (X, X 2, X 3, X 4 ) ja funktio g : R 4 R, g(x) = 8X + 4X 2 + 2X 3 + X 4 +. Nyt Y = g(x). Merkitään X :n arvojoukkua S :llä, ii S = {(, 2, 3, 4 ) i {0, }} Tällöin P (X = ) =, illä jokainen 6:ta neljän kolikon kombinaatiota on 6 yhtä todennäköinen. f Y (y) = P(Y = y) = P (g(x) = y) = P(g(X) = y, X S) = S P(g(X) = y, X = ) = {g() = y}p(x = ) = {y {, 2,..., 5, 6}} S 6 Y noudattaa ii dikreettiä taajakaumaa arvojoukkona luonnolliet luvut yhdetä kuuteentoita.

5 6. Jatkoa tehtävään 3. Kuten tehtävää 3, määritellään X = min(v, V 2 ) ja Y = ma(v, V 2 ) kun V ja V 2 ovat 6-ivuien nopan heittoja. Lake EX ja EY käyttämällä määritelmää 4.. Ratkaiu: X ja Y ovat dikreettejä atunnaimuuttujia, joilla on äärelliet arvojoukot. Odotuarvot ovat ii olemaa, ja ne voidaan lakea uoraan määritelmätä käyttämällä tehtävää kolme aatuja tiheyfunktioita. X Y E(X) = f X () = f X () = R = = = = 9. E(Y ) = 6 2 yf Y (y) = yf X (Y ) = y 2y y R y= y= = + +6 = 9 = 6