Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41

Transkriptio

1 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A ominaisarvo. b) Osoita, että jos matriisi A on nollamatriisi, niin matriisin A ainoa ominaisarvo on 0. a) Aloitetaan ominaisarvon määritelmästä ja kerrotaan yhtälön molemmat puolet A:n käänteismatriisilla. A Ax =A λx Ix =A λx A x = λ x Nyt λ on ominaisarvo matriisille A. b) Aloitetaan jälleen ominaisarvon määritelmästä ja kerrotaan matriisilla A, käyttäen hyväksi tietoa että A = 0. AAx =Aλx 0 =Aλx Yllä olevan yhtälön on pädettävä kaikilla x, joten λ = 0. (Lisäksi huomioidaan että jos A on nollamatriisi, niin sen ainoa ominaisarvo on 0.)

2 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Tehtävä 6 (L): Mitkä ovat matriisin A = ominaisarvojen algebralliset ja geometriset kertaluvut? (A λi)x =0 det(a λi) =0 Muodostetaan karakteristinen polynomi: 0 λ λ λ = λ 0 λ 0 4 λ = ( λ) λ 0 λ 0 + ( ) λ 4 = ( λ)(λ + λ ) (4λ ) λ λ + 5λ 4λ + = λ λ + λ = 0 Kyseessä on kolmannen asteen polynomi. Yksi sen ratkaisu on λ =, ja jakamalla (λ + ):lla saadaan polynomi muotoon (λ + )( λ + λ ) = 0 Tulon jälkeisen osan nollakohdat saadaan toisen asteen ratkaisukaavalla: λ = + i, λ = i Koska polynomille ei löytynyt moninkertaisia juuria, on jokaisen ominaisarvon algebrallinen kertaluku. Lisäksi, koska tiedetään että geometrinen kertaluku ei voi olla algebrallista suurempi, on jokaisen ominaisarvon geometrisen kertaluvunkin oltava.

3 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Tehtävä 7 (L): Osoita, että kolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot. (A λi)x =0 det(a λi) =0 Mikäli A on kolmiomatriisi, on myös A λi kolmiomatriisi, sillä vain diagonaalilla olevat alkiot muuttuvat. Tälläisen kolmiomatriisin determinantti on sen diagonaalialkioiden tulo. (Tämä voidaan selittää alideterminanttikehitelmän avulla. Kun aloitamme alideterminanttikehitelmän teon alakolmiomatriisin ylimmältä riviltä (jossa kaikki paitsi ensimmäinen alkio ovat nollia), saame det(a) = a det(a..n,..n ). Sama päättely voidaan toistaa yhä pienemmille alakolmiomatriiseille, jolloin saadaan det(a) = n a ii. Yläkolmiomatriisin tapauksessa voidaan ensin ottaa transpoosi, sillä i= det(a) = det(a T ).) Käyttämällä tätä sääntöä kolmiomatriisille A λi saadaan karakteristiseksi polynomiksi det(a λi) = (a λ) (a λ) (a nn λ) = 0 Tämän polynomin nollakohdat ovat λ = a, λ = a,..., λ n = a nn, eli kolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot. Tehtävä 8 (P): Tarkastellaan kärjistä ja särmistä koostuvaa graafia, jonka kärjet on numeroitu kokonaisluvuin,..., n. Tällöin graafin vierusmatriisi A R n n on matriisi, jonka alkio a ij =, jos kärkien i ja j välillä on särmä, ja 0, jos ei ole. (Huomaa, että a ii = 0 kaikilla i =,..., n.) Olkoot λ i, i =,..., n, graafin vierusmatriisin A ominaisarvot. Tällöin n i= λ i on graafin särmien lukumäärä ja 6 n i= λ i on graafin särmistä muodostuvien kolmioiden lukumäärä. Tarkista näiden faktojen paikkansapitävyys oheisten yksinkertaisten graafien tapauksissa: a) b)

4 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 a) Muodostamme ensimmäiseksi vierusmatriisin. Sitten selvitämme sen ominaisarvot: A = λ λ 0 0 λ = 0 λ λ = 0 λ = 0, λ =, λ = Nyt voimme laskea särmien lukumäärän kaavan avulla: λ i = (0 + + ( ) ) = i= Tämä täsmää graafin särmien lukumäärään. Lasketaan myös muodostuvien kolmioiden lukumäärä: λ i = 6 6 (0 + + ( ) ) = 0 i= Joten jälkimmäinenkin kaava pätee. b) Toimitaan samoin vielä toiselle matriisille: 0 A = 0 0 λ λ λ = 0 6 λ + λ + = 0 λ =, λ =, λ = λ i = (( ) + ( ) + ) = i= λ i = 6 (( ) + ( ) + ) = i= Graafilla on selvästi kolme särmää ja yksi muodostunut kolmio. Siispä myös toisella graafilla molemmat kaavat pätevät. 4

5 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Tehtävä 9 (P): Alla on annettu matriisi M, joka on erään graafin vierusmatriisi. Tee jompi kumpi (tai molemmat) seuraavista: i) Käyttäen apuna Matlabia tai jotain muuta matemaattista ohjelmistoa selvitä graafin särmien ja kolmioiden lukumäärät. ii) Piirrä graafi ja laske siitä särmien ja kolmioiden lukumäärät. M = i) Vierusmatriisi voidaan näpytellä Matlabiin näin: A = { ; ; ; ; ; ; ; ; } Helpommalla päästään, kun luodaan muutuja A ja syötetään siihen arvot Variablesvälilehdellä. Seuraavaksi selvitetään ominaisarvot käskyllä e = eig(a) Komento tuottaa vektorin e = ( 4 ) T Graafin särmien lukumäärä voidaan nyt laskea joko käsin tai käskyllä (/)*sumsqr(e) josta saadaan vastaukseksi 8. Vektorin alkioiden kuutioiden summalle ei taas ole omaa funktiota, mutta tämä onnistuu alla olevalla lyhyellä skriptillä: sum = 0; for i = :9 sum = sum + e(i)^; end kolmiot = (/6)*sum Käsky tuottaa vastaukseksi luvun 6. Tämäkin voidaan helposti tarkistaa käsin. b) Piirtämisen tuloksena voisi olla jotain tämän suuntaista: 5

6 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Kuvasta voidaan laskea, että särmiä on juurikin 8 kappaletta. Samoin särmistä koostuvia kolmioita löytyy 6 kappaletta. 6