ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 10: Digitaalinen säätö, perusteet, jatkuu

Transkriptio

1 ELEC-C230 Säätötekniikka Luku 0: Digitaalinen äätö, peruteet, jatkuu

2 Johdanto: Digitaalinen (dikreetti, dikreettiaikainen) äätöjärjetelmä r(t k ) + _ e(t k ) Säädin u(t k ) D/A u(t) Proei y(t) A/D y(t k ) y(t) A/D-muunnokea analoginen ignaali näytteitetään (ampling); D/A-muunnokea dikreetti äätöignaali muunnetaan analogieki (pito). ZOH (zero order hold) =nollannen kertaluvun pito eli ignaali pidetään vakiona näytepiteiden välillä

3 Kaki perulähetymitapaa tietokoneäädön uunnitteluun a. Jatkuva-aikainen äädin dikretoidaan, b. proei dikretoidaan ja iirrytään äätöpiirin uunnittelua kokonaan dikreettiin maailmaan a. r(t) A/D Säädin D/A u(t) Proei y(t) y(t) r(t k ) u(t k ) Säädin D/A Proei A/D y(t k ) b. y(t k )

4 Jatkuva-aikaiten ignaalien näytteitäminen Periodinen näytteenotto Näyteväli, h t k kh Näytteitytaajuu, f Näytteityken kulmataajuu f / h (Hz) 2 / h 2 f (rad/) Nyquitin taajuu, f N f N /( 2 h) (Hz) 2 / (2 h) / h2 f (rad/) N N

5 Alia-ilmiö eli taajuuden lakotuminen (ylikuria: vain lopputulo oattava: mitä Alia-ilmiö ja näytteenottoteoreema tarkoittavat) Signaali f ja en Fourier-muunno F ovat it F( ) e f( t) dt Tarkatellaan jakollita taajuutaon ignaalia (jako ) F ( ) F( k ) h Tämän Fourier-arja on it f () t e F( ) d 2 k

6 Alia-ilmiö eli taajuuden lakotuminen F ( ) k C e k ikh Komplekinen Fourier-arja ikh Ck e F( ) d Kertoimet 0 Ck f( kh) Ooitetaan euravaki, että arjan kertoimet ovat ite aiaa näytepiteet.

7 Alia-ilmiö eli taajuuden lakotuminen Nimittäin ikh Ck e F( k) d h 0 k ikh ikh ikh h 0 h 0 h 0 e F( ) d e F( ) d e F( ) d K Huomaamalla, että h 2 ja vaihtamalla muuttujaa integraaleia ikh ikh ikh Ck e F( ) d e F( ) d e F( ) d ikh e F( ) d f ( kh)

8 Alia-ilmiö eli taajuuden lakotuminen Sii funktio f(kh), k =...-, 0,,2,3,4,... määrää ykikäitteieti funktion F (). Jo aikataon ignaalin pektri on nolla taajuualueen (- 0, 0 ) ulkopuolella ja jo näyteväli valitaan iten, että 2 0 niin hf( ), ( /2) F( ) 0, ( / 2) eli ignaalin pektri aadaan täyin määrättyä näytteiden (pektrin) avulla. Informaatiota ei ole kadonnut näytteenotoa.

9 Näytteenotto ja jatkuvan ignaalin rekontruointi Shannonin näyttenottoteoreema: Jatkuva ignaali, jonka Fourier-muunno on nolla välin [-w 0, w 0 ] ulkopuolella, on ykikäitteieti määritelty taaväliillä näytteillä (ignaalin arvoilla), jo näytteenottotaajuu w on uurempi kuin 2w 0. Jatkuva ignaali voidaan tällöin määrittää näytteitään interpolointiyhtälön avulla: k f () t f ( kh) in( 2 ( t kh)) ( t kh) 2 Taajuutta w N = w /2 kututaan Nyquitin taajuudeki.

10 Näytteenotto ja jatkuvan ignaalin rekontruointi Johdetaan vielä Shannonin rekontruointikaava /2 /2 /2 it h it f() t e F( ) d e F ( ) d 2 2 h 2 /2 it ikh e e f( kh) d k Vaihtamalla integroinnin ja ummalauekkeen järjetytä aadaan /2 h itikh f () t f( kh) e d 2 k /2 joa integroinnin lakeminen auki antaa uoraan Shannonin kaavan

11 Tulo: Alia-ilmiö eli taajuuden lakotuminen Kun jatkuvata ignaalita, jolla on Fourier-muunno F, otetaan taavälieti näytteitä (näytteenottotaajuudella w ), niin aadaan dikreetti ignaali, jolla on Fourier-muunno F. F on periodinen funktio; ite aiaa ama kuin F, joka vain toituu w :n välein. F() F() N N N N N N N N N N

12 Eim. Alia-ilmiö eli taajuuden lakotuminen Kun kahdeta jatkuvata eri ignaalita otataan näytteitä (h = ), niin aadaan täyin identtinen näytejoukko näytejoukko y(t)=in(0.2*pi*t) y (t) = in(0.2pi t) y 2 (t) = in(.8pi t) Alkuperäiet ignaalit ovat toitena aliakia kyeiellä näytteenottotaajuudella y(t)=in(.8*pi*t)

13 Eim.. Alia-ilmiö eli taajuuden lakotuminen Laketaan edellien eimerkin Fourier-muunnoket ja tarkatellaan niiden uhdetta näytteenotto- ja Nyquitin taajuukiin. h f, 2, N Puhtaati harmonielle värähtelylle on helppo lakea Fouriermuunno, koka ignaalit iältävät ainoataan yhtä taajuutta. R S T y y 2 in( 02. t) in( 8. t) R S T F F 2 (. 02) (. 8)

14 Eim..Alia-ilmiö eli taajuuden lakotuminen Näiden kuvaajat ovat F () F 2 () N N N Näytteenoton jälkeen kummankin dikreetin ignaalin Fourier-muunno on identtinen F () ja F 2 () N N N N N N N N N N N N N

15 Alia-ilmiö eli taajuuden lakotuminen Voidaan todeta, että kaikki taajuudet peilautuvat Nyquitin taajuuden kautta peilikuvina yhtä kaua Nyquiin taajuuden toielle puolelle. Näitä peilikuvataajuukia ja alkuperäiiä taajuukia, joita ei voida eroittaa toiitaan dikreetiä taoa kututaan toitena aliakiki ja ne voidaan määrittää kuten alla on eitetty. Taajuu on ii alia taajuukille,,2,2,3,3, 0 N

16 Eiuodatu Shannonin näytteenottoteoreeman mukaan Nyquitin taajuutta uuremmat taajuudet lakotuvat matalammille taajuukille, joten ideaaliea tapaukea ignaalien Fourier-muunnoten pitäii kadota Nyquitin taajuutta uuremmilla taajuukilla. Käytännön ignaaleilla näin ei luonnollieti tapahdu, joten mikäli ignaalin lakotuminen tahdotaan välttää on korkeat taajuudet uodatettava ignaalita poi. Toinen vaihtoehto on tietyti kavattaa näytteenottotaajuutta, jolloin myö Nyquitin taajuu iirtyy pidemmälle taajuuakelilla.

17 Eiuodatu Mikäli ignaalia, jota otetaan näytteitä, on korkeita taajuukia, niin ne tavallieti poitetaan uodattimella. Yleenä käytetään näytteenoton edeä analogita uodatinta. Tyypillinen toien kertaluvun uodatin on eimerkiki 2 G () f Hyvin yleieti käytetty uodatin on myö Beelin uodatin.

18 Eiuodatu, eimerkki Tarkatellaan eiuodatuken merkitytä eimerkin avulla y To Workpace3 y0 To Workpace2 Pule Generator InOut Filter Zero-Order Hold y To Workpace Sine Wave y2 Zero-Order T o Workp a ce Hold In w*w 2+2*ki*w+w*w Tranfer Fcn w*w 2+2*ki*w+w*w Tranfer Fcn w*w 2+2*ki*w+w*w Tranfer Fcn2 Out

19 Eiuodatu, eimerkki Akelfuntioon liätty inimuotoita kohinaa Vaemmalla ignaali ja en uora näytteity.(alia- ilmiö) Oikealla uodatetut ignaalit. (ylh. jatkuvata, alh. dikretoiduta ignaalita)

20 Jatkuva-aikaiten äätimien dikreetti approkimointi (kuuluu kuriin). Eimerkki: Servoprobleema, Robottikäden ohjau Proei (kakoiintegraattori): G( ) Ykinkertainen ervoäädin (huom. Tämä on n. 2. vapauateen äädin, joa etukompenaattori (vahvitu ½) on luupin ulkopuolella ja luupin iällä oleva äädin on vatahaaraa). (Lake muuten taattinen vahvitu referenitä Uc ulotuloon.) 2 U( ) Uc ( ) Y( ) 2 2 2

21 Eimerkki: Dikreetin äätöjärjetelmän uunnittelu jatkuvan äätöteorian peruteella. jatkoa... Johdetaan äätimetä digitaalinen imitaatio korvaamalla differentiaali differenillä 2 U( ) Uc ( ) Y( ) 2 2 Laplace-muuttuja :llä kertominen vataa derivointia aikataoa (derivointioperaattori p) F( ) p f () t f () t

22 Eimerkki: Dikreetin äätöjärjetelmän uunnittelu jatkuvan äätöteorian peruteella. jatkoa... Derivaatan määritelmätä aadaan f () t f ( t t) f ( t) t Tää tapaukea t = kh ja Δt = h. Otetaan liäki käyttöön iirtooperaattori q (q:lla kertominen vataa ajaa eteenpäin ja q:lla jakaminen ajaa taakepäin iirtymitä. f ( kh h) f ( kh) q f ( kh) f ( kh) q f ( kh) f ( kh) h h h

23 Eimerkki: Dikreetin äätöjärjetelmän uunnittelu jatkuvan äätöteorian peruteella. jatkoa... Laplace- ja Z-taojen välille aadaan euraava likimääräinen riippuvuu q z F( ) f ( t) f ( kh) F ( z) h h Laplace-taon iirtofunktiota aadaan likimääräinen Z-taon puliniirtofunktio korvaamalla Lapace-muuttuja itä vataavalla z- muuttujan funktiolla. z h

24 Eimerkki: Dikreetin äätöjärjetelmän uunnittelu jatkuvan äätöteorian peruteella. jatkoa... Analogita äädintä imitoiva digitaalinen äädin on: z ( ) ( ) h z h U z Uc z Y( z) Uc( z) Y( z) 2 z 2 2 z 2h h 2 z ( h2) U( z) Uc ( z) Y( z) 2 z (2h)

25 Eimerkki: Dikreetin äätöjärjetelmän uunnittelu jatkuvan äätöteorian peruteella. Jatkoa... Otetaan vielä vertailukohdaki dikreettiin äätöteoriaan perutuva dead-beat-äädin ja imuloidaan robottikäden käyttäytymitä kullakin eri äätimellä äädettynä. (Dead-beat-äädin perutuu n. tarkkaan dikretointiin. Käitellään eim. kurilla Digitaalinen ja optimaalinen äätö ).

26 Eimerkki: Dikreetin äätöjärjetelmän uunnittelu jatkuvan äätöteorian peruteella. Jatkoa... Analoginen äädin verrattuna digitaalieen imitoivaan äätimeen eri näytteenottotaajuukilla. Menee epätabiiliki, kun näyteväli kavaa. oho AS-laito h = 0. robottikäi h =. ohjau ohjau robottikäi h = robottikäi h =. ohjau robottikäi ohjau

27 Eimerkki: Dikreetin äätöjärjetelmän uunnittelu jatkuvan äätöteorian peruteella. Jatkoa... Analoginen äädin verrattuna dead-beat äätimeen eri näytteenottotaajuukilla. Pyyy tabiilina ja on nopea. Toin vaatii uuren ohjauken. h= h= AS-laito h= h=

28 Differentiaaliyhtälöiden approkimaatiot Derivaattaoperaattori p (tai Laplace ) korvataan iirtooperaattori q:lla (tai Z-muunnoken z:lla) Taakepäin derivointi BD: backward difference Eulerin approkimaatio eli eteenpäin derivointi Tutinin approkimaatio p p p q q h qh q q q h h 2 q h q 2 q h q

29 Siirtofunktioiden approkimaatiot BD: H () bd z G F HG I KJ F HG z G z h zh I K J Euler: Tutin: H () e z G F HG F HG H () 2 z t z G h z I KJ F HG z G z hz h I KJ F HG I K J 2 z G h z I K J

30 Integraalin approkimaatiot Integraaleja voidaan approkimoida ummina. Alla yläja alaummat. Integraalin approkimointi ei ii myökään ole ykikäitteitä. Käytännöä p (tai ) korvataan kuten edellä. f(t) f(t) hhhhhhh t hhhhhhh t zt k p f () t f ( ) d f ( ih ) h i zt k p f () t f ( ) d f ( ih ) h i

31 Dikreettiaikainen PID-äätäjä PID-äätäjä on teolliuudea eniten käytetty ykikköäädin. Jatkuva-aikaiena en peruverio on F t HG I z ut K et ed T de () () () () t KJ Pt It Dt T dt D () () () F I U() GPID() E() K HG TE KJ D () P () I () D () T I Ideaalita derivointia ei pidä yleenäkään käyttää (derivointi vahvitaa häiriöitä) eikä myökään uoraan dikretoida. I

32 Dikreetti PID-äädin Derivointitermiin liätään yleenä ylimääräinen lag-termi T D T D TN D Ti D Ti D Ti N D Muita käytännön modifikaatioita ovat: - Derivoidaan vain lähtöuuretta negatiiviena (ajatellaan että refereni on vakio ja muuttuu harvoin) - Vain oa aetuarvota (b) vaikuttaa vahvitukeen.

33 Käytännön PID-äätäjä T D U() KbYREF () Y() ( YREF () Y()) Y() T I TD N P () I() D (), N 40 m m Dikretointi itten approkimoimalla, kuten edellä on eitetty. Huomaa, että aatu puliniirtofunktio voidaan helpoti muuntaa aikataon algoritmiki ohjelmointitoteututa varten (eim. Matlabin M-kripti). Eim. z Yz () Uz () 2 z azb yk ( 2) ayk ( ) byk ( ) uk ( ) yk ( ) ayk ( ) byk ( 2) uk ( )

34 Dikreetti PID-äädin Kaikki jatkuvan PID-äätimen modifikaatiot voidaan myö toteuttaa dikreetillä PID-äätimellä. Tärkeimpiä modifikaatioita integraattorille ovat antiwinup-toiminto aturoituville toimilaitteille, pehmeä moodinvaihto automatiikan ja käiajon moodinvaihdoia ja hyppäykettömät parametripäivityket itevirittyviä ja adaptiiviia PID-algoritmeia. Eim. toimilaitteen aturoituea on vaarana, että integraattori jatkaa integroimitaan kohtuuttoman uuriin arvoihin. Kun tilanne norma lioituu (toimilaite eimerkiki vaihdetaan uuteen), äätöpiirin toiminnan palautuminen normaaliki ketää kauan juuri integraattorin takia

35 u Integrator windup ja antiwindup Ilmiö on nimeltään Integrator windup ja en korjaava toi minta antiwindup. Ykinkertaiin tapa antiwindup-toiminnolle on ykinkertaieti lopettaa integrointi epänormaalia tilanteea. Katkoviivalla on kuvattu y windup-ilmiön vaikutu äätöpiirin toiminnalle. Kiinteä viiva puoletaan kuvaa amaa tilannetta, kun antiwindup-piiri on toiminnaa. Antiwindup-toimintoa ei aa unohtaa käytännön äätöpiirien toteutukea!

36 Eimerkki äätöuunnitteluta (vain eimerkki, ei tarvite tutkia tarkati) Hakkuriteholähteen äätöuunnittelu (Buck-tyyppinen eli lakeva hakkuri) Kytkin toimii uurella taajuudella, eim. 00 khz. Muuttamalla auki/kiinni-uhdetta (duty cycle) jakon aikana iirretään tehoa kuormaan ja äädetään kuorman yli vaikuttavaa jännitettä. Switch L r L + v in - i L C r C + v out - i o AS-laito Z in Z out

37 Kytkemällä AC/DC-teholähteitä rinnan ja varmitamalla vielä akulla aadaan opiva lähde eim. Telecom-kuormalle. Rectifier Telecom Switching Sytem ~ = = = = = ~ = = = Storage Battery Hankala monimuuttujajärjetelmä, MIMO = multiple input, multiple output. Vrt SISO = ingle input, ingle output

38 DC Bu u in EMI EMI Load Load EMI Load Eikä homma yhtään helpotu, kun rakennetaan nyky- Maailman teolliuuden vaatimia teholähdejärjetelmiä; kytketään järjetelmiä rinnan, varutetaan ne tulouotimilla (EMI), kuormat ovat vaihtelevia ja komplekiia. Tarvitaan ytemaattiia menetelmiä = tarvitaan teoriaa! Ja nykypäivän ana on digitaliointi. (Jee!)

39 Negatiivinen takaiinkytkentä = takaiinkytketty äätö, RC-piiri on kuorma. Verrataan mitattua lähtöjännitettä haluttuun lähtöjännitteeeen (refereniin) ja käytetään dikreettiä PID-äädintä ohjaamaan kytkintä. + + v in DC/DC Converter - v out R V - d - Sawtooth waveform + Digital PID Controller - + v ref

40 Säätötekniikan kielellä voidaan yteemejä kuvata lohkokaavioeitykenä. PWM (pulinleveymodulaatio) muuntaa äätäjän eli kompenaattorin ignaalin kytkimen ohjauuhteeki (duty cycle); kye on ii periaatteea toimilaitteeeen kuuluvata elementitä. Tulojännite V g ja kuorman ottama virta i load ovat äädön kannalta häiriöitä. Säädön robutiuu = kyky ietää häiriöitä ja mallivirheitä. Switching converter v g i load Diturbance v ref + - Compenator v c PWM d Control input v Senor gain

41 Kirjoittamalla lohkojen toimintaa (=dynamiikkaa) kuvaavat iirtofunktiot päätään tutkimaan kvantitatiivieti uljetun yteemin toimintaa. v g () G vg () i load () v ref () + - v c () d() G c () /V m G vd () + + v() H() G G vg vd ( ) ( ) VinR Crc 2 LC Rr RCr RCr Crr L Rr c c l l c l b g DR Cr b g b c g 2 LC R r RCr RCr Crr L R r c c l l c l

42 Proeille on uunniteltu vaiheenjättö- / johtokompenaattori käyttämällä Boden diagrammia apuvälineenä. Avoimen proein aivan riittämätön vaihevara (2 atetta) on aatu paljon paremmaki (n. 50 atetta). Stabiiliuu on taattava. G G c ( ) G cm 33.8, 257( rad / ), l cm z l z 068( rad / ) p p 906( rad / ) * c c 4500 ( rad / ( rad ), * m / ), m 2 50

43 ) ( ) ( G N T T T K N T T T K G G PID d d i d d i p l z cm c Mutta kompenaattoria voidaan approkimoida PID-äätimellä:

44 Ja tämä puoletaan voidaan dikretoida tietokoneäätöä varten eli ii iihen tarkoitukeen, että äätimenä toimii proeoripohjainen järjetelmä. v ref + - e Digital PID Controller v c DC/DC Converter v out T z Td ( z ) ( z) v ( z) K v ( z) v ( z) K v ( ) vc ( z) K bvref out ref out out z T z Td T i d T z N N Säätimen ja mittauken toimintataajuu ovat nyt uuia aioita, joita on tarkateltava. Tää näytteenottotaajuu 20 khz eli näyteväli /20000.

45 Säätimen toimintaa voidaan imuloida. Kuvia yteemiin tulee häiriöitä; alla zoomatut kuvat, joia kytkimen toiminta tulee ilmeieki.

46 Havaitaan, että PID-äätimen erilaiilla viritykillä voidaan nopeutta liätä, mutta hintana ovat kavavat värähtelyt.

47 Säätöuunnittelun kulku Proeimallin laadinta fyikaaliita yhtälöitä tai identifioimalla. Mallin analyyi ja lineariointi tarvittaea; iirtofunktioiden muodotaminen Säätöprobleeman formulointi Säätöuunnittelu aika- tai taajuutaoa Säätimen dikretointi ja dikreetin äätimen toteutu eim. digitaaliella ignaaliproeorilla (DSP) Vaihtoehtoieti: proeimallin (mallien) dikretointi ja uunnittelu uoraan dikreetiä ajaa LOPPU

48 Kurin oleellinen iältö Dynaamiet ja taattiet mallit Laplace-muunno Siirtofunktio, tilaeity, mallien väliet yhteydet Lohkokaavioalgebra, uljettu äätöpiiri Tila- ja tulo-lähtötabiiliuu, Routhin kaavio PID-äädin Tilamenetelmät: aavutettavuu, tarkkailtavuu, tilatakaiinkytketty äätö, tilatarkkailija Taajuutaon eity, Boden ja Nyquitin diagrammit Vahvitu- ja vaihevarat, Nyquitin tabiiliuulaue Suoritukyvyn mitat, taajuukompenaattorit Johdatu digitaaaliäätöön Z-muunno, (pulin)iirtofunktio Dikreetin järjetelmän tabiiliuu Näytteenotto, jatkuvien äädinten dikreetit approkimaatiot

49 ELEC-C230 Säätötekniikka (5 op) 2. välikoe ja vaihtoehtoieti tentti harjoituaikana tortaina klo 4:00-7, Sali AS2 (eniijainen) ja Tu2. 2. välikokeen yhteydeä voi tehtävät nähtyään valita tekeekö tentin vai välikokeen. Seuraava rätitentti maanantaina Välikoetta ei voi uuia. Rätitentteihin on ilmoittauduttava. Välikokeiiin (tai 2. välikokeen yhteydeä pidettävään tenttiin) ei tarvite ilmoittautua. Rätitenttejä järjetetään 7.5 tentin jälkeen vielä yki, ennen kuin kuri alkaa uudelleen keväällä 209. Kotitehtäväpiteet ja Quizit ovat voimaa, kunne kuri alkaa uudelleen. Yhdeä koetilaiuudea voi tehdä vain yhden kokeen. Rätitentiä voi tehdä vain tentin.

50 Hyvää onnea ja menetytä jatkoa!