Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Transkriptio

1 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7

2 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen, jolloin Dx = x ja 1 U kx 1 Jousen päässä vaakasuoralla alustalla liikkuvan kappaleen mekaaninen kokonaisenergia on E K U 1 mv x 1 kx Kappaleella on pisteissä x = ± A pelkästään potentiaalienergiaa ja pisteessä x = 0 pelkästään liike-energiaa

3 Siten E 1 ( x A) U ( x A) ka ja E( x 0) K( x 0) m( vmax 1 ) Jos tilanne oletetaan kitkattomaksi, mekaaninen energia säilyy, joten E(0) = E(± A), ts. 1 mv max 1 ka eli v max Harmonisen värähdysliikkeen kinematiikasta saimme aikaisemmin A v max fa A T Vertaamalla näitä kahta tulosta näemme, että k m A Tilanteen varsinainen fysiikka on tässä yhtälössä. Huomaa: Värähtelijän mekaaninen kokonaisenergia on verrannollinen amplitudin neliöön. Huomaa: Värähtelyn jakso T ja taajuus f eivät riipu amplitudista!

4 Esimerkki Ötökkä, jonka massa on 0.5 g, jää kiinni hämähäkin verkkoon. Verkko alkaa värähdellä taajuudella 4.0 Hz. Mikä on verkon jousivakio k? Millä taajuudella verkko värähtelisi, jos siihen tarttuisi 0.50 g:n massainen ötökkä? Malli: Pidetään verkkoa yksinkertaisena harmonisena värähtelijänä. (Todellisuudessa värähtelyjä on useammanlaisia.) Ratkaisu: Kaavoista ratkaistaan k: k ( f ) m ( ) (4.0/s) ( kg) 0.16 N/m. Taajuus on verrannollinen m -1/, joten f 0. 5 g g (4.0 Hz).8 Hz.

5 Esimerkki Jouseen kiinnitetty kappale (massa 500 g) vedetään tasapainoasemasta 0 cm ja päästetään irti. Kappale alkaa heilahdella ja sen heilahdusaika on 0.80 s. Missä kohtaa tai kohdissa kappaleen nopeus on 1.0 m/s? Malli Liike on yksinkertaista harmonista värähdysliikettä. Mekaaninen energia säilyy eli oletetaan kitkavoimat ja vastusvoimat pieniksi. Ratkaisu Kappale lähtee liikkeelle heilahduksen amplitudin etäisyydeltä tasapainopisteestä eli sillä on alussa maksimipoikkeama. Sen energia on alussa siten E U max 1 ka Myöhemmällä hetkellä kappaleella on liike-energiaa ja potentiaalienergiaa, siten että kokonaisenergia on sama kuina alussa. Jos kappaleen nopeus on silloin v x ja etäisyys tasapainosta x, on siis

6 1 mv x 1 kx 1 ka Ratkaistaan tästä x: x A mv k x A v x jossa on käytetty relaatiota k/m =. Kulmataajuus saadaan värähdysajasta: 7.85 rad/s. T Kappaleen paikaksi saadaan silloin x (0.0 m) 1.0 m/s 7.85 rad/s 0.15 m Ratkaisuja on kaksi, koska kappale voi olla kummalla tahansa puolella tasapainoasemaa, kun sen nopeus on 1 m/s.

7 Edellisellä luennolla yksinkertaisen harmonisen liikkeen kiihtyvyydelle saatiin a x Newton II yhtälö on silloin F x d dt v x ma x d dt d dt m x. Nyt voima on jousivoima F x = -kx, joten Newtonin II yhtälö on Värähtelijän liikeyhtälö x x ma x kx k a x x m d x k dt m x eli eli Jousen päässä olevan kappaleen liikeyhtälö. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö.

8 Liikeyhtälön ratkaiseminen Liikeyhtälö d x( t) dt k m x( t) on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio, tässä tapauksessa pitää löytää funktio x(t). Selvästi x(t) voisi olla kosini- ja sini-funktio, koska ne kahdesti derivoituna palautuvat itsekseen. Tehdään siis yrite eli arvataan funktiolle jokin muoto ja katsotaan toimiiko se ja millä ehdolla. Yrite: x( t) Acos( t 0) ( Ccost Dsint) Derivoidaan kahdesti: dx Asin( t 0), dt d x Acos( t 0) dt A ja 0 ovat integroimisvakioita (samoin C ja D) Sijoitetaan liikeyhtälöön: k A cos( t 0) Acos( t 0) m k Toteutuu joka hetkellä, jos. m

9 Yrite siis toimii, ja ratkaisuksi saadaan k x( t) Acos( t 0) m Ratkaisuun jää kaksi vapaata parametria (integroimisvakiota), A ja f 0, jotka määräytyvät kulloisenkin fysikaalisen tilanteen alkuehdoista. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat integroimisvakioita vaille yksikäsitteisiä, joten olemme löytäneet kaikki liikeyhtälön mahdolliset ratkaisut.

10 Gravitaation vaikutus jousen värähtelyyn Gravitaatio vaikuttaa jousi-massa-systeemin tasapainoasemaan Tasapainoasemassa Hooken lain mukainen jousivoima F sp (ylös) ja kappaleeseen vaikuttava gravitaatiovoima F G (alas) kumoavat toisensa: ( F ) ( F ) ( F ) kl mg 0 net y sp y G y eli L mg / k = jousen venymä. Asetetaan y-akselin origo uuden tasapainoaseman kohdalle. Kuvassa oikealla jousta on työnnetty kasaan niin, että kpl on kohdassa y. Jousivoima on silloin F sp = +k(δl y), joten nettovoima on ( Fnet ) y k( L y) mg ( kl mg) ky ky 0 Voima riippuu poikkeamasta samalla tavalla kuin vaakasuorassa värähtelyssä. Siten k y ( t) A ( t 0) ( m cos )

11 Heiluri Massa m ripustettu massattoman langan päähän. Vaikuttavat voimat ovat Gravitaatiovoima F G Langan jännitysvoima T Liikkeen suunnassa vaikuttava voima on d s sin L L d ( F ) mgsin G t Tämä voima aiheuttaa kappaleen ratakiihtyvyyden a t d s/ dt. Newton II: ( FG ) t mat eli d s gsin dt Tarkastellaan pieniä heilahduksia ja tehdään pienen kulman approksimaatio sin s / L. Kulma radiaaneina! Heilurin liikeyhtälö pienillä kulmilla d s dt g L Yksinkertainen harmoninen värähtely eli s( t) Acos( t ) ( t) cos( t max s f 0 0 g L tai )

12 Kysymys Kuinka pitkä on sellaisen heilurin lanka, jonka heilahdusjakso on T = 1? 0.48 m. 1s ) (9.81 m/s / 1/ T g L g L f T

13 Esimerkki Kulma on pieni, joten pienen kulman approksimaatio OK.

14 Fysikaalinen heiluri Massa(piste) langan päässä on yksinkertainen heiluri tai matemaattinen heiluri. Fysikaalinen heiluri on heilahdusliikettä suorittava makroskooppinen kappale. Kuvassa gravitaatiovoima aiheuttaa akselin suhteen vääntömomentin Mgd Mglsin Pienen kulman approksimaatiossa Mgl Vääntömomentti riippuu lineaarisesti kulmasta, joten liike oletettavasti yksinkertaista harmonista liikettä. Liikeyhtälö on t = I = I d / dt eli d Mgl dt I Vertaamalla aikaisempiin tilanteisiin, saamme kulmataajuudeksi d l f Mgl I

15

16 Kiertoheiluri Torsiovaaka koostuu ohuesta langasta (esim. silkkilanka) ja siitä riippuvasta kappaleesta. Kun kappaletta kierretään pois tasapainoasemasta, lanka kiertyy ja aiheuttaa vääntömomentin, joka pyrkii palauttamaan systeemin tasapainoasemaa kohti. Systeemi muodostaa harmonista värähdysliikettä suorittavan kiertoheilurin. Kun kiertokulma on pieni, vääntömomentti on suoraan verrannollinen siihen: τ κθ κ kiinnityslangan torsiovakio Pyörimisliikkeen iikeyhtälö on t = I eli I. Etenemisliikkeen ja pyörimisliikkeen välisen analogian (t F, x, I m, a, k) perusteella kulmataajuudeksi saadaan. I Kiertokulma ajan funktiona on ( t) m cos( t ) Alkuehdoista

17

18 Yksinkertaisen harmonisen liikkeen periaatteet Poikkeamaan suoraan verrannollinen voima