Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mekaniikan jatkokurssi Fys102"

Transkriptio

1 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7

2 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen, jolloin Dx = x ja 1 U kx 1 Jousen päässä vaakasuoralla alustalla liikkuvan kappaleen mekaaninen kokonaisenergia on E K U 1 mv x 1 kx Kappaleella on pisteissä x = ± A pelkästään potentiaalienergiaa ja pisteessä x = 0 pelkästään liike-energiaa

3 Siten E 1 ( x A) U ( x A) ka ja E( x 0) K( x 0) m( vmax 1 ) Jos tilanne oletetaan kitkattomaksi, mekaaninen energia säilyy, joten E(0) = E(± A), ts. 1 mv max 1 ka eli v max Harmonisen värähdysliikkeen kinematiikasta saimme aikaisemmin A v max fa A T Vertaamalla näitä kahta tulosta näemme, että k m A Tilanteen varsinainen fysiikka on tässä yhtälössä. Huomaa: Värähtelijän mekaaninen kokonaisenergia on verrannollinen amplitudin neliöön. Huomaa: Värähtelyn jakso T ja taajuus f eivät riipu amplitudista!

4 Esimerkki Ötökkä, jonka massa on 0.5 g, jää kiinni hämähäkin verkkoon. Verkko alkaa värähdellä taajuudella 4.0 Hz. Mikä on verkon jousivakio k? Millä taajuudella verkko värähtelisi, jos siihen tarttuisi 0.50 g:n massainen ötökkä? Malli: Pidetään verkkoa yksinkertaisena harmonisena värähtelijänä. (Todellisuudessa värähtelyjä on useammanlaisia.) Ratkaisu: Kaavoista ratkaistaan k: k ( f ) m ( ) (4.0/s) ( kg) 0.16 N/m. Taajuus on verrannollinen m -1/, joten f 0. 5 g g (4.0 Hz).8 Hz.

5 Esimerkki Jouseen kiinnitetty kappale (massa 500 g) vedetään tasapainoasemasta 0 cm ja päästetään irti. Kappale alkaa heilahdella ja sen heilahdusaika on 0.80 s. Missä kohtaa tai kohdissa kappaleen nopeus on 1.0 m/s? Malli Liike on yksinkertaista harmonista värähdysliikettä. Mekaaninen energia säilyy eli oletetaan kitkavoimat ja vastusvoimat pieniksi. Ratkaisu Kappale lähtee liikkeelle heilahduksen amplitudin etäisyydeltä tasapainopisteestä eli sillä on alussa maksimipoikkeama. Sen energia on alussa siten E U max 1 ka Myöhemmällä hetkellä kappaleella on liike-energiaa ja potentiaalienergiaa, siten että kokonaisenergia on sama kuina alussa. Jos kappaleen nopeus on silloin v x ja etäisyys tasapainosta x, on siis

6 1 mv x 1 kx 1 ka Ratkaistaan tästä x: x A mv k x A v x jossa on käytetty relaatiota k/m =. Kulmataajuus saadaan värähdysajasta: 7.85 rad/s. T Kappaleen paikaksi saadaan silloin x (0.0 m) 1.0 m/s 7.85 rad/s 0.15 m Ratkaisuja on kaksi, koska kappale voi olla kummalla tahansa puolella tasapainoasemaa, kun sen nopeus on 1 m/s.

7 Edellisellä luennolla yksinkertaisen harmonisen liikkeen kiihtyvyydelle saatiin a x Newton II yhtälö on silloin F x d dt v x ma x d dt d dt m x. Nyt voima on jousivoima F x = -kx, joten Newtonin II yhtälö on Värähtelijän liikeyhtälö x x ma x kx k a x x m d x k dt m x eli eli Jousen päässä olevan kappaleen liikeyhtälö. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö.

8 Liikeyhtälön ratkaiseminen Liikeyhtälö d x( t) dt k m x( t) on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio, tässä tapauksessa pitää löytää funktio x(t). Selvästi x(t) voisi olla kosini- ja sini-funktio, koska ne kahdesti derivoituna palautuvat itsekseen. Tehdään siis yrite eli arvataan funktiolle jokin muoto ja katsotaan toimiiko se ja millä ehdolla. Yrite: x( t) Acos( t 0) ( Ccost Dsint) Derivoidaan kahdesti: dx Asin( t 0), dt d x Acos( t 0) dt A ja 0 ovat integroimisvakioita (samoin C ja D) Sijoitetaan liikeyhtälöön: k A cos( t 0) Acos( t 0) m k Toteutuu joka hetkellä, jos. m

9 Yrite siis toimii, ja ratkaisuksi saadaan k x( t) Acos( t 0) m Ratkaisuun jää kaksi vapaata parametria (integroimisvakiota), A ja f 0, jotka määräytyvät kulloisenkin fysikaalisen tilanteen alkuehdoista. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat integroimisvakioita vaille yksikäsitteisiä, joten olemme löytäneet kaikki liikeyhtälön mahdolliset ratkaisut.

10 Gravitaation vaikutus jousen värähtelyyn Gravitaatio vaikuttaa jousi-massa-systeemin tasapainoasemaan Tasapainoasemassa Hooken lain mukainen jousivoima F sp (ylös) ja kappaleeseen vaikuttava gravitaatiovoima F G (alas) kumoavat toisensa: ( F ) ( F ) ( F ) kl mg 0 net y sp y G y eli L mg / k = jousen venymä. Asetetaan y-akselin origo uuden tasapainoaseman kohdalle. Kuvassa oikealla jousta on työnnetty kasaan niin, että kpl on kohdassa y. Jousivoima on silloin F sp = +k(δl y), joten nettovoima on ( Fnet ) y k( L y) mg ( kl mg) ky ky 0 Voima riippuu poikkeamasta samalla tavalla kuin vaakasuorassa värähtelyssä. Siten k y ( t) A ( t 0) ( m cos )

11 Heiluri Massa m ripustettu massattoman langan päähän. Vaikuttavat voimat ovat Gravitaatiovoima F G Langan jännitysvoima T Liikkeen suunnassa vaikuttava voima on d s sin L L d ( F ) mgsin G t Tämä voima aiheuttaa kappaleen ratakiihtyvyyden a t d s/ dt. Newton II: ( FG ) t mat eli d s gsin dt Tarkastellaan pieniä heilahduksia ja tehdään pienen kulman approksimaatio sin s / L. Kulma radiaaneina! Heilurin liikeyhtälö pienillä kulmilla d s dt g L Yksinkertainen harmoninen värähtely eli s( t) Acos( t ) ( t) cos( t max s f 0 0 g L tai )

12 Kysymys Kuinka pitkä on sellaisen heilurin lanka, jonka heilahdusjakso on T = 1? 0.48 m. 1s ) (9.81 m/s / 1/ T g L g L f T

13 Esimerkki Kulma on pieni, joten pienen kulman approksimaatio OK.

14 Fysikaalinen heiluri Massa(piste) langan päässä on yksinkertainen heiluri tai matemaattinen heiluri. Fysikaalinen heiluri on heilahdusliikettä suorittava makroskooppinen kappale. Kuvassa gravitaatiovoima aiheuttaa akselin suhteen vääntömomentin Mgd Mglsin Pienen kulman approksimaatiossa Mgl Vääntömomentti riippuu lineaarisesti kulmasta, joten liike oletettavasti yksinkertaista harmonista liikettä. Liikeyhtälö on t = I = I d / dt eli d Mgl dt I Vertaamalla aikaisempiin tilanteisiin, saamme kulmataajuudeksi d l f Mgl I

15

16 Kiertoheiluri Torsiovaaka koostuu ohuesta langasta (esim. silkkilanka) ja siitä riippuvasta kappaleesta. Kun kappaletta kierretään pois tasapainoasemasta, lanka kiertyy ja aiheuttaa vääntömomentin, joka pyrkii palauttamaan systeemin tasapainoasemaa kohti. Systeemi muodostaa harmonista värähdysliikettä suorittavan kiertoheilurin. Kun kiertokulma on pieni, vääntömomentti on suoraan verrannollinen siihen: τ κθ κ kiinnityslangan torsiovakio Pyörimisliikkeen iikeyhtälö on t = I eli I. Etenemisliikkeen ja pyörimisliikkeen välisen analogian (t F, x, I m, a, k) perusteella kulmataajuudeksi saadaan. I Kiertokulma ajan funktiona on ( t) m cos( t ) Alkuehdoista

17

18 Yksinkertaisen harmonisen liikkeen periaatteet Poikkeamaan suoraan verrannollinen voima

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike

Luento 13: Periodinen liike Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6 Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation

Lisätiedot

BM30A0240, Fysiikka L osa 4

BM30A0240, Fysiikka L osa 4 BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,

Lisätiedot

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen

Lisätiedot

BM30A0240, Fysiikka L osa 4. Värähtelyfysiikkaa. Luennot: Heikki Pitkänen

BM30A0240, Fysiikka L osa 4. Värähtelyfysiikkaa. Luennot: Heikki Pitkänen BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Värähtelyfysiikkaa 1 Luennot: Heikki Pitkänen Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Periodic motion Mechanical waves Sound and hearing Muuta - Diffraktio, interferenssi,

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta

Lisätiedot

- suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä kuin pieni voima - samanlainen voima aiheuttaa samalle kappaleelle aina samanlaisen vaikutuksen

- suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä kuin pieni voima - samanlainen voima aiheuttaa samalle kappaleelle aina samanlaisen vaikutuksen 3 Dynamiikka 3.1 Voima (force) - Jos työnnät jotain kevyttä kappaletta, se alkaa liikkua - jos työnnät sitä kovemmin, se liikkuu nopeammin Kyseinen suure on voima - suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto 20.09.2011. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Työ, energia ja energian säilyminen Antti Haarto 0.09.0 Voiman tekemä työ Voiman F tekemä työ W määritellään kuljetun matkan s ja matkan suuntaisen voiman komponentin tulona. Yksikkö:

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys12 Kevät 21 Jukka Maalampi LUENTO 11 Mekaaninen aaltoliike alto = avaruudessa etenevä järjestäytynyt häiriö. alto altoja on kahdenlaisia: Poikittainen aalto - poikkeamat kohtisuorassa

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20 Vaimennettu värähtely

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

Dissipatiiviset voimat

Dissipatiiviset voimat Dissipatiiviset voimat Luennon tavoitteena Mitä on energian dissipaatio? Ilmanvastus ja muita vastusvoimia, analyyttinen käsittely Toinen tärkeä differentiaaliyhtälö: eksponentiaalinen vaimeneminen Vaimennettu

Lisätiedot

Massakeskipiste Kosketusvoimat

Massakeskipiste Kosketusvoimat Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen

Lisätiedot

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA 1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA 5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista

Lisätiedot

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset

Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka

Lisätiedot

= vaimenevan värähdysliikkeen taajuus)

= vaimenevan värähdysliikkeen taajuus) Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 7: MEKAANINEN VÄRÄHTELIJÄ Teoriaa Vaimeneva värähdysliike y ŷ ŷ ŷ t T Kuva. Vaimeneva värähdysliike ajan funktiona.

Lisätiedot

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia

Luento 11: Potentiaalienergia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee

Lisätiedot

Värähtelevä jousisysteemi

Värähtelevä jousisysteemi Mathematican version 8 mukainen. (5.10.01 SKK) Värähtelevä jousisysteemi Jousen puristumista ja venymistä voidaan kuvata varsin yksinkertaisella matemaattisella mallilla m d x k x, d t missä x on jousen

Lisätiedot

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia-

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan

Lisätiedot

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka

Lisätiedot

Tehtävänä on määrittää fysikaalisen heilurin hitausmomentti heilahdusajan avulla.

Tehtävänä on määrittää fysikaalisen heilurin hitausmomentti heilahdusajan avulla. TYÖ 9d. FYSIKAALISEN HEILURIN HITAUSMOMENTTI Tehtävä Välineet Taustatietoja Tehtävänä on määrittää fysikaalisen heilurin hitausmomentti heilahdusajan avulla. Fysikaalisena heilurina on metrin teräsmittana,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe 1.6.2011, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Täydennä kuhunkin kohtaan yhtälöstä puuttuva suure tai vakio alla olevasta taulukosta. Anna vastauksena kuhunkin kohtaan ainoastaan

Lisätiedot

Theory Finnish (Finland)

Theory Finnish (Finland) Q1-1 Kaksi tehtävää mekaniikasta (10 pistettä) Lue yleisohjeet ennen tehtävien aloittamista. Osa A: Piilotettu kiekko (3,5 pistettä) Tässä tehtävässä käsitellään umpinaista puista sylinteriä, jonka säde

Lisätiedot

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista

Lisätiedot

Työ ja kineettinen energia

Työ ja kineettinen energia Työ ja kineettinen energia Kaikki mekaniikan probleemat voidaan periaatteessa ratkaista Newtonin lakien avulla, liikeyhtälöistä. Työ- ja energiakäsitteiden käyttöönottaminen kuitenkin yksinkertaistaa monia

Lisätiedot

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä: Mekaaninen energia Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa Suppea energian määritelmä: Energia on kyky tehdä työtä => mekaaninen energia Ei

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

dt 2. Nämä voimat siis kumoavat toisensa, jolloin saadaan differentiaaliyhtälö

dt 2. Nämä voimat siis kumoavat toisensa, jolloin saadaan differentiaaliyhtälö Mathematican version 8 mukainen. (25.10.2012 SKK) Tavallinen heiluri Otetaan tarkastelun kohteeksi tavallinen yksinkertainen heiluri. Tämä koostuu kitkattomaan niveleen kiinnitetystä (massattomasta) varresta

Lisätiedot

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Liike pyörivällä maapallolla

Liike pyörivällä maapallolla Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa

Lisätiedot

YLEINEN AALTOLIIKEOPPI

YLEINEN AALTOLIIKEOPPI YLEINEN AALTOLIIKEOPPI KEVÄT 2017 1 Saana-Maija Huttula (saana.huttula@oulu.fi) Maanantai Tiistai Keskiviikko Torstai Perjantai Vk 8 Luento 1 Mekaaniset aallot 1 Luento 2 Mekaaniset aallot 2 Ääni ja kuuleminen

Lisätiedot

Luento 15: Mekaaniset aallot

Luento 15: Mekaaniset aallot Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot Ajankohtaista Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus

Lisätiedot

Luento 14: Periodinen liike, osa 2

Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F ~ µ ~F t F ~ d ~F r m~g Ajankohtaista Poimintoja palautekyselystä Oli mukava luento. Mukavaa että luennoitsija mahdollisti

Lisätiedot

nopeammin. Havaitaan, että kussakin tapauksessa kuvaaja (t, ϕ)-koordinaatistossa on nouseva suora.

nopeammin. Havaitaan, että kussakin tapauksessa kuvaaja (t, ϕ)-koordinaatistossa on nouseva suora. nopeammin. Havaitaan, että kussakin tapauksessa kuvaaja (t, ϕ)-koordinaatistossa on nouseva suora. Teimme mittaukset käyttäen Pascon pyörimisliikelaitteistoa (ME-895) ja Logger Promittausohjelmaa. Kuva

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

Luento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot

Luento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot 1 / 40 Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Jani-Matti Hätinen 012327153 Työn pvm 1.11.2002 assistentti Stefan Eriksson 22.11.2002

Jani-Matti Hätinen 012327153 Työn pvm 1.11.2002 assistentti Stefan Eriksson 22.11.2002 Kimmoton törmäys Jani-Matti Hätinen 012327153 Työn pvm 1.11.2002 assistentti Stefan Eriksson 22.11.2002 1 1 Tiivistelmä Tutkittiin liikemäärän ja liike-energian muuttumista kimmottomassa törmäyksessä.

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

Jousen jaksonaikaan vaikuttavat tekijät

Jousen jaksonaikaan vaikuttavat tekijät 1 Jousen jaksonaikaan vaikuttavat tekijät Jarmo Vestola Koulun nimi Fysiikka luonnontieteenä FY5-Työseloste 6.2.2002 Arvosana: K (9) 2 1. Tutkittava ilmiö Tehtävänä oli tutkia mitkä tekijät vaikuttavat

Lisätiedot

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis 763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion

Lisätiedot

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

RATKAISUT. Luokka 1. Tehtävä 1. 1 a + 1 b = 1 f. , a = 2,0 m, b = 0,22 m. 1 f = a+ b. a) Gaussin kuvausyhtälö

RATKAISUT. Luokka 1. Tehtävä 1. 1 a + 1 b = 1 f. , a = 2,0 m, b = 0,22 m. 1 f = a+ b. a) Gaussin kuvausyhtälö RATKAISUT Luokka 1 Tehtävä 1 a) Gaussin kuvausyhtälö 1 a + 1 b = 1 f, a =,0 m, b = 0, m. 1 f = a+ b ab = f = ab,0 m 0, m = a+ b,0 m+ 0, m = 0,198198 m 0,0 m 1 p b) b = 0,5 m 1 a = b f bf a= bf b f = 0,5m

Lisätiedot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen

Lisätiedot

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää

Lisätiedot

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat

Lisätiedot

Matemaattisen mallinnuksen peruskurssin harjoitustyö Keinun pyöriminen

Matemaattisen mallinnuksen peruskurssin harjoitustyö Keinun pyöriminen Matemaattisen mallinnuksen peruskurssin harjoitustyö Keinun pyöriminen Teemu Kajava Lassi Miinalainen Juha Ronkainen Oulun yliopisto / OY2 12.12.2008 Tiivistelmä Työn aiheena oli mallintaa keinun pyörimistä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

Aaltoliike ajan suhteen:

Aaltoliike ajan suhteen: Aaltoliike Aaltoliike on etenevää värähtelyä Värähdysliikkeen jaksonaika T on yhteen värähdykseen kuluva aika Värähtelyn taajuus on sekunnissa tapahtuvien värähdysten lukumäärä Taajuuden ƒ yksikkö Hz (hertsi,

Lisätiedot

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman

Lisätiedot

Miltä työn tekeminen tuntuu

Miltä työn tekeminen tuntuu Työ ja teho Miltä työn tekeminen tuntuu Millaisia töitä on? Mistä tiedät tekeväsi työtä? Miltä työ tuntuu? Mitä työn tekeminen vaatii? Ihmiseltä Koneelta Työ, W Yksikkö 1 J (joule) = 1 Nm Työnmäärä riippuu

Lisätiedot