H(s) + + _. Ymit(s) Laplace-tason esitykseksi on saatu (katso jälleen kalvot):

Transkriptio

1 ELEC-C3 Säätötekniikka 5. laskuharjoitus Vastaukset Quiz: Luennon 4 luentokalvojen (luku 4) lopussa on esimerkki: Sähköpiiri (alkaa kalvon 39 tienoilla). Lue esimerkki huolellisesti ja vastaa seuraavaan: Sanotaan, että PID-säätimen I-termi poistaa pysyvän poikkeaman eli eron referenssisuureen ja säädetyn suureen välillä. Esimerkissä säädetään sähköpiiriä PIDsäätimellä alla olevan kuvan mukaisesti Yref(s) + _ E(s) Gc(s) Säädin U(s) Ymit(s) Laplace-tason esitykseksi on saatu (katso jälleen kalvot): + H(s) + Gm(s) Mittaus G(s) Prosessi Y(s) s+.s + s Y() s Y () () ref s + H s.s + s+ ( s+ )(.s + s+ ) Tarkastellaan erikseen tapauksia, joissa häiriösuureeseen H ja referenssisuureeseen Yref tulee askelmuutos. Jääkö kummassakaan tapauksessa piiriin pysyvä poikkeama? Jos jää, niin miksi? Ratkaisu: Yllä olevan yhtälön nimittäjän nollakohdat ovat vasemmassa puolitasossa. Siis stabiili vaste. Asettamalla vuoronperään askel referenssiin ja häiriöön saadaan loppuarvoteoreemaa soveltamalla (suoraan asettamalla s nollaksi), että y lähestyy edellisessä tapauksessa arvoa / ja jälkimmäisessä tapauksessa arvoa. Siis referenssimuutoksen jälkeen lähtösuureeseen jää pysyvä poikkeama. Tämä johtuu siitä, että mittaus on epäideaalinen (mittalohkon staattinen vahvistus ei ole ). un mittasignaali on stationääritilassakin väärän suuruinen, ei säätö voi korjata tätä. Säätö ei koskaan voi olla parempi kuin mittaus. Sitä vastoin häiriön vaikutus kuolee pois siinäkin tapauksessa, että sekä se että referenssi ovat molemmat muuttuneet samanaikaisesti. Voit halutessasi laskea siirtofunktiot referenssi- ja häiriösuureista erosuureeseen. Huomaat, että erosuure kyllä lähenee nollaa. Integraattori hoitaa tämän, mutta ei tiedä että y on silti referenssistä poikkeava. Tämä osaltaan selittää myös sen, miksi häiriösuureen vaikutus kuolee pois.

2 . 4 a. Polynomi: s + 6s + 3s + s Vastaava Routhin kaavio: s s 3 6 s s s 8 / / Ensimmäinen sarake on: [ 6 8/ 4]. Ensimmäisessä sarakkeessa ei ole merkinvaihtoja, joten polynomin kaikki navat ovat vasemmassa puolitasossa b. Polynomi: s + s + 3s + s + s + s + s + 3s + s + Vastaava Routhin kaavio: s 5 s 4 3 s s 6 3 ( 3) s 5 / ( 3) ( 6) 9 5 / 5 s 9 / 5 5 / 9 / 5 Ensimmäinen sarake on: [ -6 5/ 9/5 ]. Sarakkeessa on kaksi merkinvaihtoa: -6 ja 6 5/, joten polynomilla on kaksi napaa oikeassa puolitasossa. 4 3 c. Polynomi: s + s + 4s + 8s + Routhin kaavio: s 4 4 s 3 8 s 4 8 ε s ε 8 c ε s c ε c ε 8 Tarkastellaan termin c raja-arvoa, kun ε lähenee nollaa: ε

3 8ε lim{ c } lim 8 lim. ε ε ε ε ε Täten ensimmäisestä sarakkeesta tulee: [ - ]. Nyt ensimmäsessä sarakkeessa on kaksi merkinvaihtoa: - ja -, joten polynomilla on kaksi napaa oikeassa puolitasossa. Matlab ratkaisee juuret näppärästi roots-komennolla, kuten esimerkiksi b-kohdassa : >> roots([ 4 8 ]) ans i i i i. Järjestelmää kuvaa siirtofunktio G(s). Siirtofunktio on viety polynomimuotoon (sen osoittaja ja nimittäjä ovat s:n polynomeja): ( s) ( ) P G ( s) Q s ( ) ( ) Q s Q s G ( s) :n nimittäjän Q ( s) (pole) ja G ( s) :n osoittajan ( s) on karakteristinen polynomi on karakteristinen yhtälö :n nollakohdat karakteristisen yhtälön juuret järjestelmän navat P nollakohdat järjestelmän nollat (zero). Napa-nolla -kuviossa järjestelmän navat ja nollat kuvataan graafisesti kompleksitasossa (imaginääriakseli vs. reaaliakseli). - reaalikertoimisella polynomilla on aina asteluvun osoittama määrä juuria (juuret voivat tosin olla keskenään yhtä suuria) - kompleksijuuret esiintyvät aina parina: a+bi, a-bi. a. G ( s) s + 7s + + ei nollia navat: s p, s p 5 ( s + 5)( s ) Im Re -5 - t t Impulssivaste: y( t) 5 ( e e ) 3

4 heräte vaste t b. Matlabilla napojen ja nollien sekä impulssivasteiden mekaaninen piirtäminen käy helposti. >> pzmap(tf([],[ ])).5 Pole-zero map.5 Imag Axis Yksi napapari, joka sijaitsee imaginääriakselilla. Tällöin vasteen pitäisi olla harmonista värähtelyä. Laplace-käänteismuuntamalla saataisiin jälleen aikatason vaste, jonka voisi hahmotella käsin, mutta Matlabilla tämäkin hoituu helpommin. >> impulse(tf([],[ ])) Real Axis

5 Impulse Response From: U() Amplitude To: Y() uten kuvasta nähdään vaste on harmonista värähtelyä. c. >> pzmap(tf([3],[ 6 3])) Time (sec.) Pole-zero map.5 Imag Axis Real Axis Vasemmassa puolitasossa sijaitseva imaginäärinen napapari. Tällöin vaste on vaimenevaa värähtelyä. >> impulse(tf([3],[ 6 3])).6 Impulse Response From: U().4. Amplitude To: Y() Niinkuin onkin. Matlabin automaattinen aikaskaala on lyhyt, mutta tarkemmin katsottuna huomataan, että vaste painuu nollan alapuolelle, joten se on värähtelevä. d Time (sec.)

6 >> pzmap(tf([.5],[ -.5])) Pole-zero map Imag Axis Real Axis Yksi napa, joka sijaitsee oikeassa puolitasossa. Epästabiili. Impulse Response From: U() 6 5 Amplitude To: Y() Time (sec.) 3. Systeemi, jossa on epästabiili prosessi: R(s) + Säädin - s + s( s )( s + 4) Y(s) Muodostetaan koko systeemin siirtofunktio: s + Y ( s) s( s )( s + 4) ( s + ) R( s) s + s( s )( s + 4) + ( s + ) ( s + ) + 3 s( s )( s + 4) s + s + ( 8) s + atsotaan napojen paikat tekemällä Routhin kaavio polynomille s + s + ( 8) s + 3 : s 3-8 s s ( 8) 6 s ( 6) / ( 6) /

7 6 > Stabiilisuudelle saadaan ehdot: ja > Systeemi on asymptoottisesti stabiili, kun > 6. Epästabiilia systeemiä voidaan siis hyvin ohjata takaisinkytkennän ja P-säätimen avulla stabiilisti. 4. äsiteltävä systeemi: r + - u x x u x x + x y [ ] x y Luonnollista olisi laskea ensin prosessin siirtofunktio Y () s G() s C ( si A) B ja muodostaa sitten suljetun järjestelmän U() s siirtofunktio. Tehdään nyt kuitenkin toisin: uvan perusteella voidaan kirjoittaa seuraavat yhtälöt: x () t x() t ut () x() t + x() t x ( t) y( t) [ ] x ( t) u(t) r(t) y(t) ahdesta alemmasta saadaan: u( t) r( t) x ( t) x () t x() t + rt () x () t x () t Systeemi on stabiili silloin, kun karakteristisen yhtälön juuret ovat vasemmassa puolitasossa: s si A s s s +

8 det( s I A) s( s + ) ( ) s + s + atsotaan stabiilisuusehto Routhin kaaviolla: s s s Saadaan stabiilisuusehto: >. Samaan tulokseen olisi päässyt myös toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: s, ± 4 ± < < >