SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU"

Transkriptio

1 ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Eno Ikonen profeori äätö- ja yteemitekniikka Oulun yliopito Teknillinen tiedekunta Älykkäät koneet ja järjetelmät - yteemitekniikka Jan 2019

2 ENSO IKONEN PYOSYS 2 Säätöjärjetelmien uunnittelu SäSu 2019 Kurin www-ivut: IMS/yteemitekniikka: Eno Ikonen, prof. (Jukka Hiltunen, lehtori) aikataulu ti (PR105) ke (PR104/105) to (PR104) luentomateriaali Ikonen (2013) Säätöjärjetelmien uunnittelu, n pdf, alaana äu harjoituten materiaali täydentyy harjoitukia eitiedot Säätöjärjetelmien analyyi (477621A) differentiaaliyhtälöt integraalimuunnoket; Matlab; proeidynamiikan mallinnu; kurin iällöt: lti-peruteet (1-3) PID-äätö (4-5) taajuutaon uunnittelu (7-9) dikreetit järjetelmät ja identifiointi (6, 10) Matlab omalle läppärille! tentti välikokein & (2x2h) tai loppukokeena Akvaarioa (3h)

3 ENSO IKONEN PYOSYS 3 Säätöjärjetelmien uunnittelu Kaikille proeitekniikan opikelijoille (3.vk) klaien äätöteorian peruelementit automaatiotekniikan o. automaatio mittau & väylät äätö & ohjau automaatiojärjetelmät optimointi & euranta kunnoapito, jne äätötekniikka äädön ja en uunnittelun peruteet & menetelmät proce control monitorointi, äätö, optimointi menetelmät & laitteet proeit vaativat automaatiojärjetelmän toimiakeen turvalliuu tehokkuu joutavuu teolliuu/toimialariippumaton ellu&paperi, voimalaito, veilaito, kaivo, tilau, terä, metalli,... kone- ja tuotantoautomaatio, robotiikka, dynaamiten järjetelmien hallinnan menetelmät ovat geneeriiä

4 ENSO IKONEN PYOSYS 4 Miki ihmeeä?..proei-ininöörin kannattaa olla kiinnotunut yteemien dynamiikata? Ajatellaan maataetta (eim.) V dc dt t Wt Qct kvct vact Wt Kct 1 C K W V 1 jolla on 1.krtluvun dynamiikka: Dynamiikan käittely ei ole ongelma. Mutta! jo näitä oayteemejä on arjaa ja/tai rinnan (eim., äiliöitä, järviä,..): korkean kertaluvun järjetelmät! Mutta! jo oayteemien välillä on kuljetuta/kulkeutumita (eim., putkito, joki,...): viiveet! Mutta! jo haluat ohjata yteemiä muuttamalla en iäänmenoja (eim. venttiili, yläjuokun pato,...): takaiinkytkentä! Nämä, (ja moni muu...) tuottavat komplekita dynamiiikkaa, jonka hallinta ei enää ole triviaalia, vaan vaatii omat työkaluna. K

5 ENSO IKONEN PYOSYS 5 Luku 1: Oppimitavoitteet Opikelija... käittää Laplace-muunnoken integraalimuunnokena, ja näkee en merkityken uunnittelua helpottavana työkaluna. kykenee itenäieti Laplace-muuntamaan ode-eityken, ratkaiemaan en Laplace-taoa, ja palaamaan takaiin aikataoon oamurtoja käyttäen. ymmärtää iirtofunktion käitteen (konvoluutiointegraalina Laplace-taoa), ja oaa itenäieti muodotaa yhtälöitä lohkokaaviodiagrammita. Opikelija oaa määritellä iirtofunktioita Matlabiin (ltiobjektit), ja tarkitaa iirtofunktioiden perulakutoimituten tulokia Matlabilla.

6 ENSO IKONEN PYOSYS 6 1 Säätöuunnittelun työkalut 1.2 LTI-järjetelmät & Laplace-muunno (45min+harj) 1.3 Siirtofunktiot & Lohkokaaviot (45min+harj) 1.4 Lakuharjoitukia + Matlabin lti-objektit (2x45min harjoituket) 1.2 LTI-järjetelmät ode Laplace-muunno Laplacekäänteimuunno Oamurtokehitelmät Z-muunno

7 ENSO IKONEN PYOSYS ODE Ordinary differential equation Funktion f(x) derivaatta piteeä x=c on raja-arvo: ODE iältää funktioita vain yhdetä riippumattomata muuttujata erotukena p.d.e. tä Yleenä f on ajan funktio, f(t), f(kh) dynamiikka: yteemin iäänmenon muutoken eteneminen ajan funktiona (yteemin vate) Monelaita merkintätapaa df dx f ' c df dt lim h0 n d y a0 n dt m d u b0 m dt f x h f x h 2 d f dt xc c t tc, f '' c t xc 2 t f t n c y n d f n dt t b m u t t tc

8 ENSO IKONEN PYOSYS Laplace-muunno integraalimuunno Ode n derivaatta voidaan korvata komplekimuuttujalla => algebrallinen laue Tulkinta operaattorina L t f t f t e dt F t 0 0 e -t =1 =0 =0.1 =1 =-0.1 d dt t Yhtälö, funktio tai laueke on algebrallinen, jo e on eitetty pelkkien numeroiden, muuttujien ja aritmeettiten operaattoreiden avulla: yhteenlaku, vähennylaku, kertolaku ja jakolaku.

9 ENSO IKONEN PYOSYS Laplace-muunno integraalimuunno Ode n derivaatta voidaan korvata komplekimuuttujalla => algebrallinen laue Tulkinta operaattorina 0 f L fg f ' f ' g L fg' t f t f t e dt F t t t e f ' t e dt f t 0 t 0 b a 0 e f 0e Lf ' t Lf t f ' t Lf t f 0 fg 0 b a 0 f ' g e b a t fg' dt =0

10 ENSO IKONEN PYOSYS 10 M X X Laplace-muunno integraalimuunno Ode n derivaatta voidaan korvata komplekimuuttujalla => algebrallinen laue Tulkinta operaattorina M d dt 2 2 x 2 L t K t K xt f t K X K X F M 2 d d 1 K dx dt d K Example : F t f t f t e dt F 0

11 ENSO IKONEN PYOSYS Laplace-muunno Laplace-muunnotaulukot Ode n derivaatta voidaan korvata komplekimuuttujalla => algebrallinen laue Tulkinta operaattorina L t f t f t e dt F 0 d dt

12 ENSO IKONEN PYOSYS Laplace-muunno Laplace-muunnotaulukot: ykikköakel L u t f t t0 t e t dt t u e dt t0 t 0 e t dt 1 1 / 0 e t e e 0 1 1/

13 ENSO IKONEN PYOSYS Laplace-muunno Laplace-muunnotaulukot ja käänteimuunno Ode n derivaatta voidaan korvata komplekimuuttujalla => algebrallinen laue Tulkinta operaattorina L t f t f t e dt F 0 Lineaarinen operattori L{af(t)+bg(t)}=aF()+bG() Voidaan käyttää ode n ratkaiemieen Laplace käänteimuunnoken kautta taulukot funktiopareille:f(t) v.f()

14 Eimerkki Laplace-käänteimuunno ENSO IKONEN PYOSYS 14

15 Eimerkki Laplace-käänteimuunno ENSO IKONEN PYOSYS 15

16 Eimerkki jatkuu Laplace-käänteimuunno & oamurtokehitelmät ENSO IKONEN PYOSYS 16

17 Eimerkki jatkuu Laplace-käänteimuunno & oamurtokehitelmät ENSO IKONEN PYOSYS 17

18 ENSO IKONEN PYOSYS 18 Harjoitu Laplace-muunno ja käänteimuunno Järjetelmää kuvaa: a) Laplace-muunna ode b) ratkaie c out Mikä on järjetelmän vate kun iäänmenoon c in tehdään kolmen ykikön uuruinen akel hetkellä t=0? c) tee Laplacekäänteimuunno Mikä on järjetelmän aikavakio?

19 Harjoitu Laplace-muunno ja käänteimuunno ENSO IKONEN PYOSYS 19

20 Harjoitu Laplace-muunno ja käänteimuunno ENSO IKONEN PYOSYS 20

21 ENSO IKONEN PYOSYS 21 Laplace-käänteimuunno L{f(t)g(t)} L{f(t)}L{g(t)} Laplace-muunno on integraalimuunno, jolle L{f(t)g(t)} L{f(t)}L{g(t)} I{g}+I{f}=8 I{g+f}=8 I{g(t})=2 L -1 {F()G()} L -1 {F()}L -1 {G()} I{f(t)}=6 mutta lineaariuuden anioita L -1 {F()+G()} = L -1 {F()}+L -1 {G()} 2x6 6 f(t)g(t) I{f(t)g(t)}=6

22 ENSO IKONEN PYOSYS 22 Lakueimerkkejä Mikä on vakioignaalin f(t)=c Laplacemuunno? Mikä on ekponentiaalieti vaimenevan ignaalin f(t)=c*exp(-at) Laplacemuunno? Mikä on ignaalin F() = ( ) loppuarvo? Muunna aikataoon 1 Y() = ? ( 2 +1)

23 ENSO IKONEN PYOSYS Lohkokaaviot Siirtofunktiot konvoluutiointegraali Lohkokaavioalgebra arjaa rinnan takaiinkytkentä

24 ENSO IKONEN PYOSYS Siirtofunktiot LTI-dynamiikka (linear time-invariant) Perutyökalu LTIyteemien eittämieen ulotulon y uhde iäänmenoon u: G U Y U b b Y a U b U b Y Y a t u b t dt d b t y t y dt d a m m n m m n m m m n n n m m a b b U Y G

25 ENSO IKONEN PYOSYS Siirtofunktiot enimmäien ja toien kertaluvun proeit Enimmäien kertaluvun viivellinen proei vahvitu aikavakio viive Toien kertaluvun viivellinen proei kaki aikavakiota aikavakiot voivat olla komplekiia (reaali+imaginäärioat) Y U k e 1 1Y ke U d dt Y U Y R y t yt kut k 1 1 Eimerkki : 2 M b k e

26 ENSO IKONEN PYOSYS Siirtofunktiot navat, nollat ja vahvitu (ja viive) Siirtofunktio voidaan kirjoittaa ooittajan ja nimittäjän polynomien juurien avulla num()=0 => nollat den()=0 => navat Napojen p i ijainti määrää yteemin dynaamien käyttäytymien vahvitu k on yteemin (vahvitu)kerroin G k num den m b0 a z 1 z2 zm p p p n b 1 n m

27 ENSO IKONEN PYOSYS Konvoluutiointegraali Y() = G()U() Käitellään dikreettiä vatinetta Kirjoitetaan ennuteet p=0,1,2,... y p p gp ku k y y y k 0 0 g0u 0 1 g1 u 0 g0u 1 2 g2u 0 g1 u 1 g0u 2 T. painofunktio g(x) kertoo kuinka x akelta itten tapahtunut iäänmeno vaikuttaa proein tämänhetkieen ulotuloon y(x). - Jo u(0)=1 ja muutoin u=0, niin g on järjetelmän impulivate: y(0)=g(0), y(1)=g(1), y(2)=g(2),... Toditaminen ivuutetaan, kt. luentomateriaali

28 ENSO IKONEN PYOSYS Lohkokaaviot monimutkaiten yteemien eittäminen Eittävät ignaaleja joita muutetaan (iirtofunktioiden avulla) toiiki ignaaleiki lohkot = iirtofunktiot, ykinkertaiet algebralliet operaatiot Y arjaa : U Y rinnan : U Y W takaiin - : kytkentä N i1 N i1 F i F i KG KG 1

29 ENSO IKONEN PYOSYS 29 Harjoitu (5min) Negatiivinen ykikkötakaiinkytkentä Ooita, että ykikkötakaiinkytketylle järjetelmälle on voimaa: feedback : Y erie : U Y parallel : U Y W N F i i1 N F i i1 KG 1 KG. Y KG E E W Y Y (1 KG) Y Y W KG( W Y ) KGW KG 1 KG Y GU U KE E W Y

30 ENSO IKONEN PYOSYS 30 Harjoitu (10min) tankkiyteemin lohkokaavio Laplace-muunnetaan: AH() H ( ) Q 1 1 A in Q () Q in out () () kh() Q in 1 + kh A k 1 H

31 ENSO IKONEN PYOSYS 31 Harjoitu (10min) Johda aetuarvon akelvate aikataoa, kun P-äädöllä takaiinkytkettyä proeia kuvaa k G() = T + 1 Ohje: muodota uljetun piirin iirtofunktio muodota L-muunnettu akelvateignaali tee oamurtohajotelma koota aikataon vate hajotelman Laplacekäänteimuunnokita. (luku 1.2.5)

32 ENSO IKONEN PYOSYS 32 Harjoitu (N2.25) (10 min) Ooita että kuvan lohkokaaviot kuvaavat identtitä toimintaa. Ohje: Johda kullekin lohkokaaviolle iirtofunktio y/y r

33 ENSO IKONEN PYOSYS 33 Oppimitavoitteet Opikelija... käittää Laplace-muunnoken integraalimuunnokena, ja näkee en merkityken uunnittelua helpottavana työkaluna. kykenee itenäieti Laplace-muuntamaan ode-eityken, ratkaiemaan en Laplace-taoa, ja palaamaan takaiin aikataoon oamurtoja käyttäen. ymmärtää iirtofunktion käitteen konvoluutiointegraalina Laplace-taoa, ja oaa itenäieti muodotaa yhtälöitä lohkokaaviodiagrammita. Opikelija oaa määritellä iirtofunktioita Matlabiin (ltiobjektit), ja tarkitaa iirtofunktioiden perulakutoimitukien tulokia Matlabilla.

34 ENSO IKONEN PYOSYS 34 Matlab äätötekniikan työkaluna Matlabin peruteet (45min) Matlab-ohjelman käynnitäminen Äärimmäien lyhyt intro Harjoitu: Säädetyn proein imulointi Mitä liäinfoa / yhden ivun komentokokoelma Matlabin Control Sytem Toolbox / ltiobjektit (45min)

35 Matlab ohjelmointityökaluna Matlab matriiialgebra (MATrix LABoratory) geneerinen ohjelmointiympäritö paljon eri alojen kirjatoja (toolbox) Matlabin käynnity Komentoikkuna >> käyttötapoja: kirjoittamalla komennot komentoikkunaan kirjoittamalla komennot kriptiin Simulink, Toolboxien käyttöliittymät, Muuttujat ja peruoperaatiot >>aa=55 % kalaari >>bb=[1 2;3 4] % matriii >>cc=[5 6] % vektori ja tranpooi >>dd=bb*cc % matriiialgebra >>bb(2,1) % elementin luku >>bb(2,1)=9 % ijoitu Hakemito ja kripti >>mkdir omahakemito % hakemiton luominen >>cd omahakemito % hakemitoon iirtyminen Skripti, luuppi ja piirtäminen >>edit omaimu % omaimu.m for i=1:10, % i aa arvot 1,2,3,,10 i % lakenta luupia.. end plot(bb) % käyrän piirtäminen xlabel( aika ) % akelien tektit ylabel( bb ) >>omaimu % kriptin uorittaminen

36 Demo: P-äädetun piirin imulointi (ilman en kummempia työkaluja, onnituu kaikilla ohjelmointikielillä amaan tapaan..) % P-äädetyn piirin imulointikripti >> omaimu k_p=5, tau=10, h=3 % vakioita kt. eimerkki a=exp(-h/tau) % dikretointi luvua b=(1-exp(-h/tau))*k_p K_P = tau/(k_p*h) % äätimen vahvitu % aetuarvoekveni: w = [ ] y(1) = 0 % alkuarvo for k=1:length(w) e = w(k)-y(k) % erouure u(k) = K_P*e % äädin y(k+1) = a*y(k)+b*u(k) % proei end plot(y) % piirto G()= 5 / (10+1) P-äätö

37 Getting tarted with Matlab Matlab i an interactive program for numerical computation and data viualization. Univ Oulu licence allow the tudent alo to intall the program on a home computer. Software Ditribution Service: /matlab/getting-tarted-withmatlab.html Dektop Baic Matrice and Array Array Indexing Calling Function Programming and Script /matlab/function.html

38 Matlab in one page Dektop baic >> workpace command window = a = 1, b=2, c=a+b () d= co(a) ; c=a*b; clc, clear cd, path cd Matrice and array [] ; A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] zero, one, eye create matrice uing function A+1, in(a), randn matrix operation A inv inv(a)*a. A.*A ^ A^3, A.^3 [A A] B=[A A] i 3+2i Array indexing A(r,c) A(2,3) A(i) A(8) : A(1:2,3), A(:,3), b=[1:2:10] end A(2:end,3) length, ize ize(a) Workpace variable who ave ave tmp load load tmp Text and char mytext = Hello, world printf T=36.5; mytext = printf( Temp = %gc,t) Calling function () [oarg1,oarg2] = fun(iarg1,iarg2) help help max Plotting plot x=[0:pi/100:2*pi]; y=in(x); plot(x,y) axi axi([-1 2*pi+1-2 2]) xlabel, ylabel xlabel( x ), ylabel( in(x) ) title title( inifunktio ) tyle plot(x,y, r: ) ubplot ubplot(211); plot(x,y); ubplot(212); plot(xy,co(x)); tair tair(x,y) Programming edit edit tmpfun - ave >> tmpfun execute cript/function for - end for k=1:10, k, end if eleif ele end Function & cript mfile function b = myfunction(a) b = 2*a end Stored a a myfunction.m -file >> myfunction(pi) anonymou qr x.^2; A function handle >> qr(5) integral(qr,0,1) Data type double default numeric type char c = Hello, world tring c = [ Hello, world, Hello, moon ] truct.field.a = 1.b = { A, B, C } cell C = {1,2,3, hello,rand(3,2)}

39 ENSO IKONEN PYOSYS 39 Matlabin CST/lti-objekteita iirtofunktion muodotaminen: >> G = tf(num,den) num ja den ovat polynomien kertoimet Eim. >> num=2, den=[5 1] >> G = tf(num,den) iirtofunktion ominaiuukia: >> dcgain(g), pole(g) >> get(g) >> minreal(g) imulointi: >> impule(g) >> tep(g) >> lim(g,u,t) polynomioperaatiota: - polynomin juuret (eli nollakohdat) >> root(den) - kahden polynomin tulo >> conv(den1,den2) Eim. (5+1)(2+1) = : >> den1= [5 1], den2=[2 1] >> den3 = conv(den1,den2) >> root(den3) eli (+1/2)(+1/5)=0 (2+1)(5+1)=0. - oamurtohajotelma: >> [R,P,K]=reidue(num,den) dikretointi: >> Gd = c2d(g,h)

40 ENSO IKONEN PYOSYS 40 Matlab CST harj./demo Määritä/yötä Matlabiin proei G, kun G()=2/(10+1)? >> G = tf(2,[10 1]) Mikä on P-äädöllä K P =1 uljetun piirin iirtofunktio T? >> KP=1; T = KP*G/(1+KP*G) Simuloi uljettua piiriä? >> tep(t); hg Vaihda äätimen parametriarvoki K P =100 ja imuloi? >> K=100; T = K*G/(1+K*G) >> tep(t); hg T:n navat/nollat, ivennä T? >> [num,den]=tfdata(t,'v') >> root(num), root(den), >> minreal(t) Dikretoi G? >> h = 0.1 >> Gd = c2d(g,h) Oamurtokehitelmä? >> help reidue >> [R,P,K]=reidue(num,den) Totea imuloimalla, että hajoitelma on oikein. >> tf1=tf(r(1),[1 -P(1)]) >> tf2=tf(r(2),[1 -P(2)]) >> tep(tf1+tf2,t)

41 ENSO IKONEN PYOSYS 41 Suljetun piirin imulointi Matlabin CST:llä (10min) (harjoitu) Simuloi P-äädettyä järjetelmää (akelvate aetuarvoa) Matlabin CST työkaluilla: Säädettävä proei: G() = 5/(10+1) = k p /(tau*+1) Sämpläyväli h=3 P-äätö, KP=tau/(k p *h) Piirrä proein ulotulo Ohje: ratkaie iirtofunktio Y/W ja imuloi limkomennolla Bonutehtävä: Miltä ohjauignaali näyttää? (Ratkaie U/W ja imuloi.) >> G = tf(5,[10 1]); >> h=3, Gd = c2d(g,h); >> T = KP*Gd/(1+KP*Gd); >> w = [zero(10,1);one(10,1);-2*one(10,1)]; >> lim(t,w); >> Z = KP/(1+KP*Gd) % Z=U/W >> lim(z,w)

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät. Kem-9.7 Proeiautomaation peruteet Perutehtävät Tentti 9.. Tehtävä. Vaihtoehtotehtävät. Oikea vatau,p, väärä vatau -,p ja ei vatauta p Makimi,p ja minimi p TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN

Lisätiedot

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät / systeemitekniikka Jan 019

Lisätiedot

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Teknillinen tiedekunta Älykkäät koneet ja järjestelmät, Systeemitekniikka

Lisätiedot

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät / Systeemitekniikka Jan 2019

Lisätiedot

Harjoitus (15min) Prosessia P säädetään yksikkötakaisinkytkennässä säätimellä C (s+1)(s+0.02) 50s+1

Harjoitus (15min) Prosessia P säädetään yksikkötakaisinkytkennässä säätimellä C (s+1)(s+0.02) 50s+1 ENSO IKONEN PYOSYS Harjoitus (15min) Prosessia P säädetään yksikkötakaisinkytkennässä säätimellä C. 1 P(s) = -----------------(s+1)(s+0.02) C(s) = 50s+1 --------50s Piirrä vasteet asetusarvosta. Kommentoi

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät, Systeemitekniikka Feb 2019

Lisätiedot

SaSun VK1-tenttikysymyksiä 2019 Enso Ikonen, Älykkäät koneet ja järjestelmät (IMS),

SaSun VK1-tenttikysymyksiä 2019 Enso Ikonen, Älykkäät koneet ja järjestelmät (IMS), SaSun VK1-tenttikysymyksiä 2019 Enso Ikonen, Älykkäät koneet ja järjestelmät (IMS), 5.2.2019 Tentin arvosteluperusteita: o Kurssin alku on osin kertausta SäAn ja prosessidynamiikkakursseista, jotka oletetaan

Lisätiedot

ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 5: Navat ja nollat, systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri

ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 5: Navat ja nollat, systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri ELEC-C3 Säätötekniikka Luku 5: Navat ja nollat, yteemin nopeu, tabiiliuu ja värähtelyt, Routh-Hurwitz-kriteeri Syteemin käyttäytyminen Syteemin tai järjetelmän tärkein ominaiuu on tabiiliuu. Muita ominaiuukia

Lisätiedot

ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 10: Digitaalinen säätö, perusteet, jatkuu

ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 10: Digitaalinen säätö, perusteet, jatkuu ELEC-C230 Säätötekniikka Luku 0: Digitaalinen äätö, peruteet, jatkuu Johdanto: Digitaalinen (dikreetti, dikreettiaikainen) äätöjärjetelmä r(t k ) + _ e(t k ) Säädin u(t k ) D/A u(t) Proei y(t) A/D y(t

Lisätiedot

SATE1050 Piirianalyysi II syksy 2016 kevät / 6 Laskuharjoitus 3 / Laplace-muunnos

SATE1050 Piirianalyysi II syksy 2016 kevät / 6 Laskuharjoitus 3 / Laplace-muunnos SAE1050 Piirianalyyi II yky 016 kevät 017 1 / 6 ehtävä 1. Muodota alla olevaa kuvaa eitetyn muotoien jännitteen aplace-muunno. u(t) - t Kuva 1. Jännitteen kuvaaja tehtävään 1. Määritetään funktio paloittain:

Lisätiedot

Säätö- ja systeemitekniikan kehittyneet menetelmät (477607S) Advanced control and systems engineering (477607S)

Säätö- ja systeemitekniikan kehittyneet menetelmät (477607S) Advanced control and systems engineering (477607S) Säätö- ja systeemitekniikan kehittyneet menetelmät (477607S) Advanced control and systems engineering (477607S) 2019 Enso Ikonen säätö- ja systeemitekniikan professori professor of control and systems

Lisätiedot

ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 4: Lohkokaaviomuunnokset, PID-säädin ja kompensaattorit,

ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 4: Lohkokaaviomuunnokset, PID-säädin ja kompensaattorit, ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 4: Lohkokaaviomuunnoket, PID-äädin ja kompenaattorit, Järjetelmien kokoaminen oayteemeitä Edelliillä luennoilla on tarkateltu ykittäiiä ilmiöitä ja niiden malleja (luento

Lisätiedot

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Teknillinen tiedekunta Systeemitekniikan laboratorio Jan 2019

Lisätiedot

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006 Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 2. välikoe

S Piirianalyysi 2 2. välikoe S-55.22 Piirianalyyi 2 2. välikoe 6.5.23 Lake tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muita kirjoittaa jokaieen paperiin elväti nimi, opikelijanumero, kurin nimi ja koodi. Epäelvät vataupaperit voidaan

Lisätiedot

Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla

Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jui Talja Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta en avulla Informaatiotieteiden ykikkö Matematiikka Huhtikuu 2 Tampereen yliopito Informaatiotieteiden

Lisätiedot

Aikatason vaste vs. siirtofunktio Tehtävä

Aikatason vaste vs. siirtofunktio Tehtävä Aikatason vaste vs. siirtofunktio Tehtävä Millainen toisen kertaluvun siirtofunktio vastaa systeemiä jonka ylitys on 10% ja asettumisaika 4 min? Y s X s = 2 n s 2 2 2 n s n M p =e t r 1.8 n t s 4.6 n 1

Lisätiedot

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Teknillinen tiedekunta Älykkäät koneet ja järjestelmät helmikuu

Lisätiedot

MATLAB harjoituksia RST-säädöstä (5h)

MATLAB harjoituksia RST-säädöstä (5h) Digitaalinen säätöteoria MATLAB harjoituksia RST-säädöstä (5h) Enso Ikonen Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio November 25, 2008 Harjoituskerran sisältö kertausta (15 min) Napojensijoittelu

Lisätiedot

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät helmikuu 2019 ENSO IKONEN PYOSYS

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002 Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Matlabin perusteita Grafiikka

Matlabin perusteita Grafiikka BL40A0000 SSKMO KH 1 Seuraavassa esityksessä oletuksena on, että Matlabia käytetään jossakin ikkunoivassa käyttöjärjestelmässä (PC/Win, Mac, X-Window System). Käytettäessä Matlabia verkon yli joko tekstipäätteeltä,

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Säätötekniikan alkeita

Säätötekniikan alkeita Säätötekniikan alkeita Säätötekniikan avulla pyritään ohjaamaan erilaisia i i järjestelmiäj älyä sisältävällä menetelmällä. Tavoitteena on saada systeemi käyttäytymään halutulla tavalla luotettavasti,

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen

Lisätiedot

H(s) + + _. Ymit(s) Laplace-tason esitykseksi on saatu (katso jälleen kalvot):

H(s) + + _. Ymit(s) Laplace-tason esitykseksi on saatu (katso jälleen kalvot): ELEC-C3 Säätötekniikka 5. laskuharjoitus Vastaukset Quiz: Luennon 4 luentokalvojen (luku 4) lopussa on esimerkki: Sähköpiiri (alkaa kalvon 39 tienoilla). Lue esimerkki huolellisesti ja vastaa seuraavaan:

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x

Lisätiedot

Heikki Apiola, Juha Kuortti, Miika Oksman. 5. lokakuuta Matlabperusteita, osa 1

Heikki Apiola, Juha Kuortti, Miika Oksman. 5. lokakuuta Matlabperusteita, osa 1 Matlab-perusteita, 5. lokakuuta 2015 Matlab-perusteita, Mikä on Matlab Matriisilaboratorio [Cleve Moler, Mathworks inc.] Numeerisen laskennan työskentely-ympäristö Suuri joukko matemaattisia ja muita funktioita,

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

Tietokoneavusteinen säätösuunnittelu (TASSU)

Tietokoneavusteinen säätösuunnittelu (TASSU) Ohjeita ja esimerkkejä kurssin 470463A näyttökoetta varten Tietokoneavusteinen säätösuunnittelu (TASSU) Enso Ikonen 9/2006 Oulun yliopisto, Prosessi- ja ympäristötekniikan osasto, systeemitekniikan laboratorio

Lisätiedot

Piiriteoria II Laskuharjoitukset - Kevät 2015

Piiriteoria II Laskuharjoitukset - Kevät 2015 Piiriteoria II Lakuharjoituket Kevät 5 TkT Marko Neitola marko.neitola@ee.oulu.fi office: TS3 Siällyluettelo... ivu Harjoitu... 3 Harjoitu... 7 Harjoitu 3... 35 Harjoitu 4... 45 Harjoitu 5... 55 Harjoitu

Lisätiedot

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman

Lisätiedot

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

SIMULINK S-funktiot. SIMULINK S-funktiot

SIMULINK S-funktiot. SIMULINK S-funktiot S-funktio on ohjelmointikielellä (Matlab, C, Fortran) laadittu oma algoritmi tai dynaamisen järjestelmän kuvaus, jota voidaan käyttää Simulink-malleissa kuin mitä tahansa valmista lohkoa. S-funktion rakenne

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

HARJOITUS. KYSYMYKSET U 2 U 1 U 3 F 2A Laske kuvan 1 verkon portissa a-b näkyvä impedanssi.

HARJOITUS. KYSYMYKSET U 2 U 1 U 3 F 2A Laske kuvan 1 verkon portissa a-b näkyvä impedanssi. Harjoitu Harjoitu. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Kirjoita alla olevalle piirille ilmukkavirtayhtälöt matriiimuodoa. H H H 4. Lake kuvan verkon portia ab näkyvä impedani. / / a I I I 3 /F F v v kuva b. Kirjoita

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

Osa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos

Osa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos Oa VII Laplace muunno 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 181 / 246 A.Raila,

Lisätiedot

Laplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0

Laplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0 Laplacemuunnoten peruteet kurilla S; v.. Jarmo Malinen. joulukuuta 29 Siältö Alkuanat 2 2 Määritelmiä 2 3 Laplace-muunnoken ominaiuukia 6 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin

Lisätiedot

Piiriteoria II Laskuharjoitukset - syksy 2015

Piiriteoria II Laskuharjoitukset - syksy 2015 Piiriteoria II Lakuharjoituket yky 5 TkT Marko Neitola marko.neitola@ee.oulu.fi TS3 Siällyluettelo... ivu Harjoitu... 3 Harjoitu... 7 Harjoitu 3... 33 Harjoitu 4... 43 Harjoitu 5... 53 Harjoitu 6... 65

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4. DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Laskuharjoitus 9, tehtävä 6

Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Automaatiotekniikan laskentatyökalut (ALT)

Automaatiotekniikan laskentatyökalut (ALT) Ohjeita ja esimerkkejä kurssin 477604S näyttökoetta varten Automaatiotekniikan laskentatyökalut (ALT) Enso Ikonen 6/2008 Oulun yliopisto, Prosessi- ja ympäristötekniikan osasto, systeemitekniikan laboratorio

Lisätiedot

ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä Harjoitus M1,

ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä Harjoitus M1, ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä Harjoitus M1, 16.3.2017 1. Syntaksista, vektoreista ja matriiseista: Tehtävän eri kohdat on tehtävä järjestyksessä. Myöhemmissä kohdissa oletetaan, että

Lisätiedot

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät. Kem-9.47 Prosessiautomaation perusteet Tentti.4. Tehtävä. Vaihtoehtotehtävät. Oikea vastaus +,5p, väärä vastaus -,5p ja ei vastausta p Maksimi +5,p ja minimi p TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Matemaattiset ohjelmistot A. Osa 2: MATLAB

Matemaattiset ohjelmistot A. Osa 2: MATLAB Matemaattiset ohjelmistot 802364A Osa 2: MATLAB Mikko Orispää 30. lokakuuta 2013 Sisältö 1 MATLAB 2 1.1 Peruslaskutoimitukset......................... 2 1.2 Muuttujat................................ 3

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

2. kierros. 1. Lähipäivä

2. kierros. 1. Lähipäivä 2. kierros. Lähipäivä Viikon aihe Vahvistimet, kohina, lineaarisuus Siirtofunktiot, tilaesitys Mitoitus Kontaktiopetusta: 8 tuntia Kotitehtäviä: 4 + 4 tuntia Tavoitteet: tietää Yhden navan vasteen ekvivalentti

Lisätiedot

Tilayhtälötekniikasta

Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälöesityksessä it ä useamman kertaluvun differentiaaliyhtälö esitetään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Jokainen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

Lisätiedot

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,

Lisätiedot

Harjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt.

Harjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt. Harjoitus Malliratkaisut Tehtävä L[f(t)] ˆ f(t) e (t α) cos(ω t + β) f(t)e st dt ˆ e st t+α cos(ω t + β)dt cos(ω t + β) 2 (ej(ωt+β) + e j(ωt+β) ) L[f(t)] 2 eα 2 ˆ ˆ e st t+α (e j(ω t+β) + e j(ω t+β) )

Lisätiedot

mplperusteet 1. Tiedosto: mplp001.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x 1 ( mplp002.tex (PA P1 s.2011)

mplperusteet 1. Tiedosto: mplp001.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x 1 ( mplp002.tex (PA P1 s.2011) Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mplperusteet. Tiedosto: mplp00.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x ( x )( + x ). Kokeile funktiota simplify. 2. mplp002.tex

Lisätiedot

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan Plots/Insert Plot/XY plot Huomaa - ja y-akselin paikanvaraajat (ja näissä valmiina yksikön syöttöruutu). Siirrä - akselia ylös/alas. Palauta origo perinteiseen

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

Piiriteoria II Laskuharjoitukset - syksy 2016

Piiriteoria II Laskuharjoitukset - syksy 2016 Piiriteoria II Lakuharjoituket yky 6 TkT Marko Neitola marko.neitola@oulu.fi TS3 Siällyluettelo... ivu Harjoitu... 3 Harjoitu... 5 Harjoitu 3... 3 Harjoitu 4... 4 Harjoitu 5... 5 Harjoitu 6... 63 Harjoitu

Lisätiedot

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7, HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä

Lisätiedot

Harjoitus 5: Simulink

Harjoitus 5: Simulink Harjoitus 5: Simulink Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Simulinkiin Differentiaaliyhtälöiden

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

f (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2

f (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2 BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa

Lisätiedot

Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0

Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0 Laplace-muunnos (Kr. 6. Aalto Mat-.32/332, C3-II/KP3-II, 8/23, Kari Eloranta Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. Määritelmä

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Y (z) = z-muunnos on lineaarinen kuten Laplace-muunnoskin

Y (z) = z-muunnos on lineaarinen kuten Laplace-muunnoskin Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.429 Systeemien Identifiointi 3. harjoituksen ratkaisut. Vapaan vasteen löytämiseksi asetetaan ohjaukseksi u(t)

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

Harjoitus 4: Differentiaaliyhtälöt (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 4: Differentiaaliyhtälöt (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 4: Differentiaaliyhtälöt (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Matlab:n solver komento differentiaaliyhtöiden

Lisätiedot

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus.

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus. TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen) 6.4.5 Määrittele lyyeti euraavat käitteet a) Kvantiointivire. b) äytetaajuuden interpolointi. ) Adaptiivinen uodatu. a) Kvantiointivire yntyy, kun ignaalin ykittäinen

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

Mat-1.C Matemaattiset ohjelmistot

Mat-1.C Matemaattiset ohjelmistot Mat-.C Matemaattiset ohjelmistot Luento ma 9.3.0 $z; Error, (in rtable/product) invalid arguments.z; z C z C z3 3 C z4 4 C z5 5.Tr z ; z C z C z3 3 C z4 4 C z5 5 ; Error, (in rtable/power) eponentiation

Lisätiedot

Kaikkien paikallisten ääriarvojen haku

Kaikkien paikallisten ääriarvojen haku Kaikkien paikallisten ääriarvojen haku 30.4.2017 Heikki Apiola Tiedosto: opi_minimointiliven.mlx, opi_minimointiliven.m Funktio: lok_min.m (help lok_min) Lisää esimerkkejä: ex_lok_min.m Abstrakti Lähdetään

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä

mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä osittaisderivaatoista: y 1... J F =.

Lisätiedot

Zeon PDF Driver Trial

Zeon PDF Driver Trial Matlab-harjoitus 2: Kuvaajien piirto, skriptit ja funktiot. Matlabohjelmoinnin perusteita Numeerinen integrointi trapezoidaalimenetelmällä voidaan tehdä komennolla trapz. Esimerkki: Vaimenevan eksponentiaalin

Lisätiedot

Laplace-muunnos: määritelmä

Laplace-muunnos: määritelmä Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011 S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

gallup gallup potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima

gallup gallup potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima aup Kuinka pajon käytät kurikirjaa (tai jotain muuta oppikirjaa)? a) Tututun aiheeeen ennen uentoja b) Luen kirjaa uentojen jäkeen c) Luen oppikirjaa ähinnä akareita tehdeä d) n koke oppikirjaan aup Kappae

Lisätiedot

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab. Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download

Lisätiedot

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon: TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Matlabperusteita, osa 1. Heikki Apiola Matlab-perusteita, osa 1. Heikki Apiola. 12. maaliskuuta 2012

Matlabperusteita, osa 1. Heikki Apiola Matlab-perusteita, osa 1. Heikki Apiola. 12. maaliskuuta 2012 Matlab-perusteita, 12. maaliskuuta 2012 Matlab-perusteita, Ohjelmahahmotelma 1. viikko: Matlab 2. viikko: Maple (+ annettujen Matlab tehtävien ratkaisuja) 3. viikko: Maple ja Matlab (lopputyöt) Matlab-perusteita,

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden

Lisätiedot

järjestelmät Luento 8

järjestelmät Luento 8 DEE-111 Lineaariset järjestelmät Luento 8 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214 Luento 7 - Recap Z-muunnos ja sen ominaisuudet Lineaaristen dierenssiyhtälöiden käsittely Alku- ja loppuarvot

Lisätiedot

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU ENSO IKONEN PYOSYS SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Teknillinen tiedekunta Älykkäät koneet ja järjestelmät helmikuu

Lisätiedot

Matlab- ja Maple- ohjelmointi

Matlab- ja Maple- ohjelmointi Perusasioita 2. helmikuuta 2005 Matlab- ja Maple- ohjelmointi Yleistä losoaa ja erityisesti Numsym05-kurssin tarpeita palvellee parhaiten, jos esitän asian rinnakkain Maple:n ja Matlab:n kannalta. Ohjelmien

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot