(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:

Transkriptio

1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa Idea on se, että muunnoksen avulla diff yhtälö saadaan kirjoitettua ns Laplace-tasossa algebralliseksi yhtälöksi Muunnos määritellään seuraavasti: Lyt yte st Y s 0 Muunnoksen toimivuus perustuu oleellisesti siihen, että se on lineaarinen ja, että Ly n t s n Y s [s n y0++y n 0], missä y i 0 on y:n i:nnen derivaatan alkuarvo Laplace-muunnetaan nyt tarkasteltava diff yhtälö puolittain: Lineaarisuuden perusteella ja Ly t + 2y t + 5yt Lsint Ly t + 2Ly t + 5Lyt Lsint s 2 Y s sy0 y 0 + 2[sY s y0] + 5Y s }{{} s 2 + 9, s 2 Y s+2sy s+5y s s missä sint:n Laplace-muunnos saadaan integroimalla tai suoraan muunnostaulukoista Siten saamme ratkaistua Y s:n algebrallisesti: Y s s 2 + 9s 2 + 2s s + s 2 + 2s + 5 Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon: yt L Y s L [ s 2 + 9s 2 + 2s + 5 ] + s + L [ s 2 + 2s + 5 ], koska myös käänteismuunnos on lineaarinen Tämä on nyt kirjoitettava muotoon, josta käänteismuuntaminen taulukon avulla on mahdollista Jälkimmäinen termi voidaan kirjoittaa muodossa L s + [ s 2 + 2s + 5 ] s + L [ s ] e t cos2t

2 Edellinen termi onkin vähän vaikeampi ja se on kirjoitettava ensin osamurtokehitelmäksi: s 2 + 9s 2 + 2s + 5 As + B s Cs + D s 2 + 2s + 5 Tämän yhtälön oikea puoli voidaan laventaa vasemman puolen kanssa samannimiseksi ja valitsemalla vakiot se molemmat puolet ovat identtiset: s 2 + 9s 2 + 2s + 5 As + B s Cs + D s 2 + 2s + 5 As + Bs2 + 2s Cs + Ds s 2 + 9s 2 + 2s + 5 A + Cs + 2A + B + Ds 2 + 5A + 2B + 9Cs + 5B + 9D s 2 + 9s 2 + 2s + 5 A + C 2A + B + D 5A + 2B + 9C 5B + 9D Siten saadaan, että A 26, B, C 26 ja D 6, joten s 2 + 9s 2 + 2s s 2 s s + 4 s 2 + 2s + 5 Tästä summasta saadaan nyt käänteismuunnettua taulukon avulla ratkaisuksi yt e t cos2t + 26 cost 2 sint + e t cos2t + 2 e t sin2t 2 a Merkitään yhtälön oikeaa puolta vt u t + 2ut ja Laplace-muunnetaan systeemi: s 2 Y s + 4sY s + 4Y s V s, josta saadaan Y s s 2 + 4s + 4 V s s + 2 2V s GsV s Ohjatun vasteen laskemisessa ut e t, jolloin jonka Laplace-muunnos Tällöin vt u t + 2ut 7e t, V s 7 s + Y s GsV s 7 s s + Tämä on vielä käänteismuunnettava, joten kirjoitetaan Y s osamurtokehitelmäksi Y s A s B s C 2 s +, 2

3 jossa tulee olla A 7,B 7 ja C 7 Tässä muodossa esitettynä voidaan käänteismuunnos laskea taulukosta, jolloin x 2 yt 7e 2t + te 2t + e t b Tilayhtälömuotoon siirtyäksemme otetaan käyttöön apumuuttujat x y ja x 2 y, jolloin x y ja x 2 u, mikä on vektorimuodossa x 0 x 0 + u, 0 0 Alkuehtonamme oli x 0 x 2 0 joten systeemi on esitetty nyt muodossa missä ja x 2 ẋ Ax + Bu, A B Tämän muotoisen diff yhtälön ratkaisu on xt e At x0 + t missä e At voidaan laskea sarjakehitelmästä e At k! Atk k0 0 e At τ Buτdτ, Tässä tehtävässä tuo sarja on helppo laskea, koska A k k 2, jolloin t e At I + At 0 Siten xt t 0, t t τ 0 + uτdτ 0 0 t t t τ + uτdτ 2 0 Kun ut, saadaan vapaaksi vasteeksi t xt Kun ut, niin vasteeksi saadaan integroimalla t + 05t 2 xt + t

4 a Systeemiä kuvaava differentiaaliyhtälö saadaan suoraan Kirchhoffin ja Ohmin laeista Ohmin lain mukaan jännitehäviö vastuksessa on Rit, käämissä L dit ja epälineaarisessa komponentissa kit 2 Kirchhoffin lain mukaan puolestaan piirissä jännitehäviöt summautuvat nollaksi, joten saadaan ut Rit L dit eli differentiaaliyhtälömalliksi tulee kit 2 dit R L it k L it2 + ut fit,ut L b Ratkaistaan tasapainotila yhtälöstä 0 dit fi 0,u 0 L Ri 0 ki u 0, josta saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisuna virran tasapainoarvoksi i 0 R 2k ± R 2 4k 2 + u 0 k Linearisoidaan nyt systeemi tasapainotilan ympäristössä Merkitään it it i 0 ja ut ut u 0 Tällöin linearisoitu systeemi on missä d it A B A it + B ut, f R i i0,u 0 L 2k L i 0, f i0,u 0 L, joten haettu linearisoitu systeemi on d it R + 2ki 0 it + L L ut c Pienillä poikkeamilla tasapainotilasta linearisoitu systeemi käyttäytyy lähes kuten alkuperäinenkin Suurilla poikkeamilla erot kasvavat, koska linearisoitu systeemi ei enää approksimoi alkuperäistä hyvin Käytä tarkastelussa malleja lh2t5_nonlinmdl ja lh2t5_linmdl 4 a Sijoitetaan vt tehtäväpaperin ensimmäiseen differentiaaliyhtälöön Saadaan, että 0 Ft Dvt,ht m 0 +mtg Ft Hvt 2 e βht m 0 +mtg, 4

5 josta saadaan nopeudeksi e βh v H F m 0 + mg, missä on luonnollisesti oletettava, että työntövoima on riittävä, eli F m 0 + mg b Valitaan tilavektoriksi xt x t x 2 t x t vt mt ht, ja sisäänmenoksi ohjaukseksi ut Ft Näillä merkinnöillä saadaan tehtäväpaperissa esitetty systeemi muotoon H ẋ t m 0 + x 2 t x t 2 e βxt + m 0 + x 2 t ut g : f xt,ut ẋ 2 t c ut : f 2xt,ut ẋ t x t : f xt,ut Nyt siis tunnettiin työntövoimaprofiili, jolloin ut u t antaa tietyn ratkaisutrajektorin x t Linearisoidaan systeemi nyt u,x :n ympristössä Merkitään xt xt x t ja ut ut u t Linearisoitu systeemi on siten muotoa ẋt At xt + Bt ut, missä matriisit At ja Bt ovat fxt, ut:n Jacobin matriisit evaluoituna xt x t,ut u t:ssä Siten A ij t f j x i ja B i t f i A on siis -matriisi ja Bt -vektori, koska ohjaus on yksiulotteinen Derivaatat voidaan myös kirjoittaa auki, jolloin saadaan f 2Hx t x x m t,u t 0 + x 2t e βx t f Hx t 2 e βx t u t x 2 m 0 + x 2t 2 5

6 f x x x 2 x f x f x 2 f x f f βhx t 2 m 0 + x 2t e βx t c m 0 + x 2t Huomataan, että systeemi on todellakin aikavariantti, eli matriisit A ja B ovat aidosti ajan funktioita c Kokeile mallissa lh2t6_nonlinmdl esimerkiksi seuraavia parametriarvoja: m0 000,h0,v0,u t 20000,g 98,c 00,β,H 2000 Kokeile myös työntövoimaprofiilia, jossa u t on ensin iso jolloin raketti kiihdyttää Tämän jälkeen ajetaan hetken aikaa u:lla, joka pitää yllä vauhtia Tämän jälkeen työntovoima on nolla Ajettuasi epälineaarisen simulointimallin voit käyttää lineaarista mallia lh2t6_linmdl Se linearisoi systeemin sen ohjauksen u ympäristössä, jota käytit epälineaarisessa mallissa Kokeile poikkeuttaa ohjausta tasapaino trajektorilta u 6