Laplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0"

Transkriptio

1 Laplacemuunnoten peruteet kurilla S; v.. Jarmo Malinen. joulukuuta 29 Siältö Alkuanat 2 2 Määritelmiä 2 3 Laplace-muunnoken ominaiuukia 6 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin 9 5 Uein eiintyvien funktioiden Laplace-muunnokia

2 Alkuanat Laplace-muunno on yki arvokkaimpia ignaalinkäittelyn, äätöteorian ja piirianalyyin matemaattiita työkaluita. Sen avulla differentiaaliyhtälöillä erityieti alkuarvotehtävinä kuvattuja fyikaaliia tilanteita voidaan tarkatella algebralliina yhtälöinä. Piirianalyyia ja äätöteoriaa Laplace-muunno johtaa lähe välittömäti iirtofunktiotekniikoihin. Tämä monite on johdanto Laplace-muunnomenetelmän käyttöön ykinkertaiimmia tilanteia. Sovellutukena tarkatellaan vakiokertoimita lineaarita differentiaaliyhtälöä. Konvoluutiota, Diracin δ-funktiota, viivätettyjen ja ekp. vaimennettujen funktioiden muunnokia ja Laplace-muunnoken käänteimuunnokaavoja ei käitellä. Materiaalin laajuu on 3 4 luentotuntia, ja e on tarkoitettu avuki TKK:n kurilla Piirianalyyi II tarvittavaan matematiikkaan. Monite euraa joain määrin Martion ja Sarvaken kirjaa Tavalliet differentiaaliyhtälöt olevaa uppeaa eitytä. Moniteeta löytyvitä (varmati lukuiita) virheitä pyydän ilmoittamaan ähköpotite: Jarmo Malinen 2 Määritelmiä Ennen kuin voimme määritellä Laplace-muunnoken erään integraalin avulla, on tarpeen rajata e joukko funktioita, joille muunnoken lakeminen on ylipäätään mahdollita. Määritelmä. Funktio f : R + C on Laplace-muuntuva mikäli f on paloittain jatkuva, ja on olemaa vakio > jolle () lim t e t f(t) =. Lukua M f =inf{ > : lim t e t f(t) =} kututaan funktion f kavurajaki. Laplace-muuntuvan funktion f(t) kavun (kun t ) tulee ii hävitä ekponenttifunktiolle e t jollain äärelliellä, mahdollieti hyvin iolla luvulla >. Kaikki funktiot Laplace-muuntuvuudelle voidaan antaa paljon yleiempiäkin määritelmiä, joiden avulla ueammille funktioille voidaan lakea Laplace-muunno. Tällaiet yleityket eivät kuitenkaan ole tämän moniteen aihepiiriä. 2

3 eivät toteuta tätä; eimerkkinä tätä g(t) =e t2. Erikoieti jokainen rajoitettu, paloittain jatkuva funktio on Laplace-muuntuva kurituperiaatteen nojalla: jo f(t) M jokaiella t, niin e t f(t) Me t kunt. Jokaien rajoitetun funktion kavuraja on aina =. Huomautu 2. Olkoon f Laplace-muuntuva, ja merkitään en kavurajaa M f. Vaikka ehto () toteutuu tällöin jokaielle >M f (välittömäti joukon infimumin eli uurimman alarajan määritelmän mukaan), ehto ei välttämättä toteudu kun = M f. Eimerkiki funktio h(t) =e t,jollepätee M h =. Laplace-muunno määritellään eräällä epäoleelliella integraalilla, joa funktiota joudutaan integroimaan koko poitiivien reaaliakelin R + yli. Paloittain jatkuvan funktion g : R + C epäoleellien, joukon R + yli ulotetun integraalin g(t) dt anotaan olevan olemaa eli uppenevan, mikäli raja-arvo on olemaa kaavaa I = lim M I M joa I M := M g(t) dt. Tällöin merkitään epäoleellita 2 integraalia lyhyeti g(t) dt := I. Nyt voimme vihdoin määritellä Laplace-muunnoken: Määritelmä 3.Olkoon f : R + C Laplace-muuntuva, ja merkitään en kavurajaa M f. Tällöin (i) f:n Laplace-muunno on funktio ˆf :(M f, ) C, jonka arvot määräytyvät epäoleellieta integraalita (2) ˆf() := e t f(t) dt. (ii) Laplace-muunnooperaattori on kuvau L : f ˆf, joa f ja ˆf toteuttavat (2). Funktion f Laplace-muunnota funktiona merkitään joko ymbolilla ˆf tai L[f]. Näiden funktioiden arvoja piteeä >M f merkitään tällöin ˆf() tail[f](). Muuttujaa t on tapana kutua aikataon muuttujaki tai aikaparametriki. Ueia tehtäviä e todellakin vataa fyikaalita aikaa. Muuttujaa kututaan taajuutaon muuttujaki, jaite Laplace-muunnooperaation L anotaan ininöörikielellä antavan yhteyden aikataon ja taajuutaon välillä. Lukija mieltäjääehkä kalvamaan epäily iitä, onko epäoleellinen integraali (2) ylipäätään olemaa millään arvolla >; ja onko Määritelmä 3 ylipäätään varmalla pohjalla. Onneki Laplace-muuntuvuuehdon () toteutuea epäoleellinen integraali uppenee: 2 Vaikka jokainen M g(t) dt on määritelty Riemann-integraalina, ei niiden raja-arvoa g(t) dt ole uoraan määritelty Riemannin ylä/alaummien avulla. Tämän takia raja-arvoa kututaan epäoleellieki integraaliki. 3

4 Lemma 4. Olkoon f : R + C Laplace-muuntuva, ja merkitään en kavurajaa M f. Tällöin epäoleellinen integraali (2) uppenee (iteieti). Toditu. Olkoon >M f mielivaltainen. Koka f on paloittain jatkuva ja funktio t e t, on niinikään näiden funktioiden tulo t e t f(t) paloittain jatkuva joukoa R +. Koka paloittain jatkuvat ovat Riemann-integroituvia jokaiella oavälillä [,M], jokainen Riemann-integraali I M := M e t f(t) dt on olemaa kun M. Pitää ii tutkia, mitä tapahtuu luvuille I M kun annetaan M. Vaaditun raja-arvon olemaaololle joudutaan käyttämään nk. Cauchyn konvergenikriteeriä, jonka matemattinen perutelu ohitetaan 3. Cauchyn kriteerin mukaan lim M I M C on olemaa, jo ja vain jo jokaiella ɛ> on olemaa luku N = N(ɛ) > iten että toteutuu min (M,M 2 ) >N(ɛ) Rightarrow I M I M2 <ɛ. Olkoon nyt ɛ>, ja poimitaan jokin luku (M f,). Sovitaan että luvuita M ja M 2 uurempaa merkitään aina M 2 :lla. Tällöin integraalilakun äännöillä aadaan M 2 M M 2 I M2 I M = e t f(t) dt e t f(t) dt = (3) e t f(t) dt M 2 e t f(t) M 2 dt = e ( )t e t f(t) dt. M M M Koka f on Laplace-muuntuva ja >M f, euraa lim t e t f(t) =. Mutta nollaan uppenevat funktiot R + :lla ovat elväti rajoitettuja (yritä vaikkapa piirtää ellainen joka ei olii!), ja on ii olemaa vakio C> jolle pätee e t f(t) C kaikilla t. Nyt voidaan yllä olevaaepäyhtälöketjua jatkaa: / M2 (4) M 2 e ( )t e t f(t) M 2 dt C e ( )t C dt = M M e ( )t M = Ce ( )M ( ) e ( )(M 2 M ) 2Ce ( )M. Koka >, voidaan viimeieä termiä lukua M = min(m,m 2 ) kavattaa riittävän ioki (eli >N(ɛ)), niin että lopulta toiaankin toteutuu epäyhtälöitä (3) ja(4) johdettu Cauchyn konvergenikriteerin vahvitava epäyhtälö I M2 I M 2Ce ( )M <ɛ. Jätämme lukijalle tehtäväki lakea logaritmien avulla laueke luvulle N(ɛ), jokaita ɛ> kohden. 3 Huomaa, että Cauchyn kriteeri on varin järkevä: Jotta raja-arvo lim M I M voii olla olemaa, on tarpeen että kaikki arvot I M ja I M2 ovat lähellä toiiaan, kunhan molemmat M,M 2 ovat vain riittävän uuria. 4

5 Huomautu 5. Uein Laplacemuunnoken ˆf() muuttujan allitaan olevan komplekiluku, joka toteuttaa Re > M f. Huomautu 6. Uein funktion f tarkan kavurajan M f määrääminen on vaikeaa. Käytännön lakujen kannalta on kuitenkin olennaita vain e, että äärellinen kavuraja on olemaa jolloin myö Laplace-muunno on olemaa. Tarvittavat lakut tehdään tällöin kaikilla riittävän ioilla luvuilla >, eikä ole niin nökönuukaa tietää kuinka ioilla luvuilla >M f oikeataan laketaan. Käytännön eimerkki valaikoon edellä olevaa teoreettita tarkatelua. Huomaa, ettäuein lakut on pakko tehdä komplekitaoa. Eimerkki 7. Funktion e at Laplace-muunno, kun a R. Ei ole epäilytä, etteikö ekponenttifunktio olii Laplace-muuntuva. Ite lakukin on lähe naiivi: L[e at ]() = e t e at dt = lim M kunhan >a. (Varmita, että ymmärrät miki!) M e ( a)t dt = lim M Eimerkki 8. Funktion in t Laplace-muunno. / e ( a)t ( a) = a, Tämä on jatkuva ja rajoitettu funktio, joten e on niinmuodoin Laplace-muuntuva; kavurajan ollea =. Olkoon > mielivaltainen. Eulerin kaavan avulla, epäoleellita integraalia hieman epämuodollieti käitellen aadaan lakettua (5) = 2i e t in tdt= / e ( i)t ( i) 2i e t ( e it e it) dt = 2i 2i / e (+i)t ( + i). e ( i)t dt 2i e (+i)t dt Jotta ijoitutermi + :ä aadaan lakettua, tarvitaan raja-arvot lim M e (±i)m kullekin >. Mikäli imaginääriykikköä ei kaavaa lainkaan eiintyii, nähtäiiin uoraan että haluttu raja-arvo on nolla, ja ofitikoitunut veikkau olii ama myö komplekilukutapaukea. Kurituperiaatteella ja komplekimuuttujan ekponenttifunktion lakuäännöillä aadaan e (±i)m = e Re[ (±i)m] = e M kun M. Sii ijoitutermit + :ä katoavat kaavaa (5), ja aadaan alarajatermeitä (huomaa miinumerkki!) L[in ]() = e t in tdt= ( ) 2i ( i) + ( + i) =

6 Eimerkki 9. Funktion co t Laplace-muunno. Koinin Laplace-muunno voidaan lakea uoraan inin Laplace-muunnoketa, käyttämällä kaavaa co t =in(π/2 t) ja tekemällä integraalin iällä muuttujan vaihto v = π/2 t, dv = dt. Jätetään lukijalle helpoki harjoitutehtäväki, jonka tulo on L[co ]() = Eimerkki. Akelfunktion Laplace-muunno. Paiti iniaaltoa, uein ignaaleina käytetään myö akelfunktiota {, kun t [,a] χ [,a] (t) =, kun t>a. Laplace-muunno tulee uoralla lakulla kaikille > L[χ [,a] ]() = e t χ [,a] (t) dt = a e t dt = / a e t = ( ) e a Laplace-muunnoken ominaiuukia Johdamme euraavaki Laplace-muunnooperaation L peruominaiuukia, joiden takia iitä tulee käyttökelpoinen ininöörimatematiikan työkalu. Laue. Laplace-muunnooperaatio L on lineaarinen kuvau, joka on määritelty kaikilla paloittain jatkuvilla funktioilla. Jatkuvien funktioiden joukkoon C(R + ) rajoitettuna L on liäki injektiivinen. Perutelu. Että L on lineaarinen, euraa uoraan (epäoleelliten) integraalien lakuäännöitä. Paloittain jatkuville funktioille f(t) jag(t), ekä vakioille α, β C pätee 4 L[αf + βg]() = = lim R α = α lim R R R e t (αf(t)+βg(t)) dt = lim R e t f(t) dt + β R e t f(t) dt + β lim R e t g(t) dt R R e t (αf(t)+βg(t)) dt e t g(t) dt = αl[f]()+βl[g](). Yllä oleva laku on oikea jokaielle >max (M f,m g ). Erityieti huomaa, että funktioiden kavurajat aina toteuttavat epäyhtälön M αf+βg max (M f,m g ). 4 On hyvää harjoitutaepäoleellien integraalin lakuäännöille, jo käy edellien päättelyketjun akel akeleelta, ajatuken kana läpi. 6

7 Kuten matriiilakua matriiien nolla-avaruukia tutkittaea, injektiiviyyden tarkitamieki riittää ooittaa euraava: Jokainen Laplace-muuntuva jatkuva funktio f, jolle pätee L[f]() = kaikilla > M (jollain vakiolla M>M f ) on ite aiaa nollafunktio: f(t) = kaikilla t>. Valitettavati tämän väitteen toditaminen vaatii edityneempiä työkaluja, kuin tällä kurilla voidaan eittää. Lineaariuuden avulla voidaan antaa funktion h(t) = αf(t) + βg(t), α, β C Laplacemuunno välittömäti, kunhan ˆf ja ĝ ovat tunnettuja. Mikäli taa L ei olii injektiivinen, olii ueilla eri (jatkuvilla) funktiolla amat Laplace-muunnoket. Tämä tekii Laplace-muunnotekniikan käyttökelvottomaki, koka käänteimuunnoken lakeminen olii tällöin mahdotonta. Uein aika-akelia halutaan venyttää tai kutitaa iten, että funktion f(t) ijata halutaan tutkia funktiota f a (t) :=f(at), joa a>onvakio: Laue 2. Olkoon f Laplace-muuntuva ja a >. Tällöin funktio f a (t) := f(at) on Laplace-muuntuva, ja en muunno toteuttaa L[f a ]() = ( ) a L[f]. a Perutelu. Tämä on harjoitu integraalilakennon muuttujanvaihdota: Jokaielle > max (M f,m fa )pätee L[f a ]() = = a e t f(at) dt = a e (/a)τ f(τ) dτ = a L[f] ( a joa muuttujanvaihtona 5 käytettiin τ = at, dτ = adt. e (τ/a) f(τ) dτ Eimerkki 3. Funktioiden in at ja co at Laplace-muunnoket, kun a >. Lauetta 2 oveltamalla Eimerkeiä 8 ja 9 annettuihin muunnokiin, aadaan eritaajuiille inivärähtelyille muunnokaavat L[in at]() = ), a 2 + a 2 ja L[co at]() = 2 + a 2. Jotta differentiaaliyhtälöitä voitaiiin käitellä Laplace-muunnokin, tulee tietää kuinka derivointi vaikuttaa funktion Laplace-muunnokeen 5 Mikäli yllä oleva olii tehty matemaattieti tämälliemmin, olii jokainen integraali lakettu enin oleelliena integraalina välillä [,R], ja vata lopuki iirrytty epäoleellieen integraaliin antamalla R. Laueen toditukea näin jakettiin vielä tehdä, mutta tätä eteenpäin fukaamme hieman. 7

8 Laue 4. Jo f ja f ovat Laplace-muuntuvia, niin tällöin L[f ]() =L[f]() f(). Perutelu. Tämäonepäoleellien integraalin oittaiintegrointia. Jokaielle >max M f,m f ) pätee L[f ]() = e t f (t) dt = / e t f(t) ( e t )f(t) dt = f() + L[f]() joa oittaiintegroinnia käytettiin ijoituta U = e t, dv = f (t) dt, du = e t,ja V = f(t). Luku onyllä olevaa lakua kiinteä vakio, jotakohdellaan kuin mitä tahana komplekilukua erityieti en voi tuoda ulo integraalimerkin alta. Tehdyn ijoituken ylärajatermi :ä katoaa, koka lim R e t f(t) = funktion f Laplace-muuntuvuuden peruteella. Huomaa, että funktio f voi aivan hyvin olla Laplace-muuntuva, ilman että en derivaatta f on. Eimerkiki kelpaa rajoitettu, jatkuvati derivoituva funktio f(t) =ine t2,jonka kavuraja on M f =. Sen derivaatta f (t) =2te t2 co e t2 kavaa turhan monia piteiä nopeammin kuin mikään ekponenttifunktio niinpä illä eioleäärellitä kavurajaa. Yritä huvikei kuvitella miltä tällainen funktio kuulotaii kuulokkeita oitettuna. Eimerkki 5. Funktion co t Laplace-muunno toiella tavalla lakettuna. Koinin Laplace-muunno voidaan lakea inin Laplace-muunnoketa käyttämällä hyväki =cot. Saadaan uoraan Laueen 4 peruteella tietoa d in t dt L[co ]() =L[in ]() in = 2 + = 2 +. Korkeampien derivaattojen tapau voidaan hoitaa oveltamalla Lauetta 4 ueati peräkkäin: Korollaari 6. Jo funktiot f,f,...,f (n) ovat Laplace-muuntuvia, niin tällöin n (6) L[f (n) ]() = k L[f]() n j f (j) (). j= Jokainen derivaatoita (Korollaarin oletuten ollea voimaa) f,f,...,f (n ) on iteaiaa jatkuva funktio (miki?). Korkeimman kertaluvun derivaatalta f (n) riittää vaatia, että e on ainoataan paloittain jatkuva. Korollaarin perutelu tapaukea n =2. Käyttämällä Lauetta 4 kaki kertaa aadaan jokaielle >max (M f,m f,m f ): L[f ]() =L[f ]() f () = (L[f]() f()) f () = 2 L[f]() f() f (). Ken vielä epäilee yleitä kaavaa (6) vääräki, ruokikoon iteään induktiotoditukella tai lakemalla auki tapauket n = 3, n = 4... kunne ielunrauha on aavutettu. 8

9 Funktion f(t) derivoiminenn kertaa kertoo ii Laplace-muunnoken ˆf funktiolla n, mikäli unohdetaan n ateinen polynomihäiriö n j= n j f (j) (), joka tulee ijoitutermeitä. Integroiminen aiheuttaa luonnollieti päinvataien ilmiön: Laue 7. Olkoon f(t) jatkuva, Laplace-muuntuva funktio, ja määritellään en erä antiderivaatta F (t) = t f(v) dv. Tällöin F on Laplace-muuntuva, ja jokaielle > max (M f,m F ) pätee L[F ]() = L[f](). Perutelu. Integraalilakennon päälaueen mukaan F (t) =f(t) jokaiella t>. Koka liäki F () = tällä nimenomaiella antiderivaatalla, aadaan Laueen 4 avulla L[f]() =L[F ]() =L[F ]() F () = L[F ](). Jakamalla yhtälön pää ja häntä muuttujalla aadaan väite toditetuki. 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin Tarkatelemme vaimentamattoman jouimaayteemin (tai LC-piirin) analyyiä edellä kuvatulla Laplace-muunnotekniikalla. Oletetaan, että kuormatekijänä on inimuotoinen värähtely, jolloin alkuarvotehtävä voi olla eimerkiki muotoa { x (t)+4x(t) =int kun t>, (7) x() = x, x () = v. Olkoon nyt x(t) alkuarvotehtävän ykikäitteinen ratkaiu, joka voitaiiin löytää eimerkiki vakioidenvariointitekniikalla. Merkitään lyhyemmin ˆx() = L[x]() kaikilla riittävän uurilla >; tehdään e (vata myöhemmin oikeaki ooittautuva) oletu, että ratkaiu x(t) derivaattoineen on Laplace-muuntuva. Käyttämällä hyväki annettuja alkuehtoja, aadaan Korollaarin 6 peruteella L[x ]() = 2ˆx() x v. Laplace-muunnoken lineaariuuden peruteella (k. Laue ) voidaan differentiaaliyhtälö alkuarvotehtävätä (7) muuntaa euraavati: (8) =L[x +4x in]() =L[x ]()+4ˆx() L[in]() = ( 2 +4 ) ˆx() x v 2 +, joa viimeiellä rivillä onkäytetty Eimerkiä 8 johdettua kaavaa inifunktion Laplacemuunnokelle. Koka yhtälö (8) pätee kaikille >Mjollain luvulla M >, voidaan ratkaita (9) ˆx() = x + v kaikilla >M. ( 2 +)( 2 +4) 9

10 Alkuarvotehtävän (7) ratkaiu edellyttäii nyt funktion ˆx()kääntei-Laplace-muuntamita, joka ooittautuu olevan tämän menetelmän työläin akel. Uein tulee käyttää valmiita Laplace-muunnotaulukoita käänteieen uuntaan taitavati ja luovati termejä ryhmitellen. Tutkitaanpa, kuinka yhtälötä (9)päätellään funktion x(t) muoto. Alkuehtojen määräämä termi x +v yhtälöä (9) voidaan onneki eittää helpoti kombinaationa venytetyn 2 +4 inin ja koinin Laplace-muunnokita (k. Laue 2 ja Eimerkki 3 ): kaikille > pätee nimittäin () x + v 2 +4 = x v = x L [co 2t]()+ v 2 L [in 2t]() =L [ x co 2t + v 2 in 2t ] (). Jälkimmäinen, differentiaaliyhtälön epähomogeeniuudeta johtuva termi yhtälöä (9) vaatii enemmän kekeliäiyyttä. Se ei ole uoraan inin ja koinin Laplace-muunnoten näköinen, mutta rationaalifunktioiden integraalilakennota tutun oamurtolukukehitelmän avulla e voidaan aattaa muotoon ( 2 +)( 2 +4) = A B 2 +4 eräillä vakioilla A ja B. Ritiinkertomalla aadaan yhtälö (A + B) 2 +(4A + B) =,joka toteutuu kaikilla > vain jo A + B =ja4a + B =. Ratkaiemalla aadaan A =/3 ja B = /3. Niinpä () ( 2 +)( 2 +4) = /3 2 + / = joka pätee kaikilla >. = 3 L [in t]() 6 L [in 2t]() =L [ 3 in t 6 in 2t ] (), Yhditämällä yhtälöt () ja () yhtälöön (9) aadaan [ ˆx() =L x co 2t + v 2 in 2t + 3 in t ] in 2t () 6 kaikilla x>m. Kahdella eri jatkuvalla funktiolla ei voi olla amaa Laplace-muunnota (Laueen injektiiviyyväitteen takia) ja yhtälön (7) ratkaiu on jopa kahdeti derivoituva. Siki edellietä yhtälötä voidaan kuoria poi Laplace-muunnooperaatio L, ja aadaan ( v x(t) =x co 2t + 2 ) in 2t in t kaikilla t >. Tämä on alkuarvotehtävän (7) etitty ratkaiu, joka on (rajoitettuna, jatkuvana funktiona) Laplace-muuntuva. Niinpä jokainen edellä tehty akel oli iteaiaa matemaattieti oikea, ja lukuna M olii voitu käyttää M = (paiti, että lakujen ollea kekeneräiiä emme itä vielä iinä vaiheea tienneet).

11 Huomautu 8. Ueia ininööriovellutukia ei alkuperäielle funktiolle x(t) ole käyttöä, vaan lakuia voidaan jo pyähtyä helpoti aavutettuun yhtälöön kuten (). Tällöin kaikki tehtävän vaatima analyyi tehdään Laplace-muunnoken puolella, n. taajuualuetekniikoilla (engl. frequency domain technique). Huomautu 9. Monimutkaiemmat ja korkeampiateiet tapauket käitellään amalla tavalla kuin edellä annettu eimerkki. Käänteimuunnokea vaaditut teknilliet vaiheet ovat kuitenkin monimutkaiempia. Huomautu 2. Laplace-muunnokella voidaan myö käitellä vektoriarvoiia yhtälöitä x (t) =Ax(t)+f(t), mutta tarvittavat yleityket eivät enää olenäiden luentojen aihepiiriä. 5 Uein eiintyvien funktioiden Laplace-muunnokia Funktio f(t),t Laplace-muunno ˆf() ja en määrittelyjoukko kun > e ax kun >max (,a) a b in bx; b R kun > 2 + b 2 co bx; b R kun > 2 + b 2 x n n! ; n N kun > n+ x n e ax n! ; n N kun >max (,a) ( a) n+ e ax in bx; e ax co bx; a, b R a, b R b ( a) 2 + b 2 kun > x a ( a) 2 + b 2 kun >. Laajempia taulukoita löytyy mm. ammattikirjalliuudeta ja erikoifunktioita käittelevien kirjojen liitteinä.

Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla

Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jui Talja Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta en avulla Informaatiotieteiden ykikkö Matematiikka Huhtikuu 2 Tampereen yliopito Informaatiotieteiden

Lisätiedot

Osa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos

Osa VII. Laplace muunnos. Laplace-muunnos. Laplace-muunnos Oa VII Laplace muunno 1 Määritelmä ja peruominaiuudet 2 Differentiaalilakenta 3 Yleiiä Laplace-muunnokia A.Raila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan perukuri KP3-i 11. lokakuuta 27 181 / 246 A.Raila,

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

Luku 16 Markkinatasapaino

Luku 16 Markkinatasapaino 68 Luku 16 Markkinataaaino 16.1 Markkinataaainon määrity Tarkatelemme kilailulliia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaiuna uhteea makimihintoihin talouenitäjien

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 2. välikoe

S Piirianalyysi 2 2. välikoe S-55.22 Piirianalyyi 2 2. välikoe 6.5.23 Lake tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muita kirjoittaa jokaieen paperiin elväti nimi, opikelijanumero, kurin nimi ja koodi. Epäelvät vataupaperit voidaan

Lisätiedot

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Pinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen

Pinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Rakenteien Mekaniikka Vol. 44, Nro, 0,. 93-97 Pinta-alan variaatio Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Tiivitelmä. Artikkelia tarkatellaan taoalueen pinta-alan variaation eittämitä vektorilakennan avulla.

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

gallup gallup potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima

gallup gallup potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima aup Kuinka pajon käytät kurikirjaa (tai jotain muuta oppikirjaa)? a) Tututun aiheeeen ennen uentoja b) Luen kirjaa uentojen jäkeen c) Luen oppikirjaa ähinnä akareita tehdeä d) n koke oppikirjaan aup Kappae

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0

Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0 Laplace-muunnos (Kr. 6. Aalto Mat-.32/332, C3-II/KP3-II, 8/23, Kari Eloranta Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. Määritelmä

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011 S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista

Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anni Meisalmi Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan 87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

ELEC-C4120 Piirianalyysi II 2. välikoe

ELEC-C4120 Piirianalyysi II 2. välikoe LC-C4 Piirianalyyi II 2. välikoe 8.4.4 Vataa KOLMN tehtävään.. e (t) R C Oheiea piiriä vaikuttaa taajännitelähde = V ekä e (t) = ê in(ω 0 t)+ê 2 in(2ω 0 t). Lake vatukea kuluva pätöteho P. ê = 2 V ê 2

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle

Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä malleissa on usein pieniä/suuria parametreja miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle jatkuvuus ja rajayhtälöt säännölliset ja epäsäännölliset häiriöt

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

= r, s. Jokaisella diedriryhmällä on vastaavanlainen esitys ryhmän O(2) < GL 2 (R) aliryhmänä. r 2 (C) r 2 (B) r 2 (A) s s

= r, s. Jokaisella diedriryhmällä on vastaavanlainen esitys ryhmän O(2) < GL 2 (R) aliryhmänä. r 2 (C) r 2 (B) r 2 (A) s s 6. Symmetinen yhmä Ääellien n alkiota kootuvan joukon { 2...n} pemutaatioyhmää kututaan ymmetieki yhmäki S n.hajoitutehtävän5nojallaminkätahanan alkion joukon pemutaatioyhmä on iomofinen yhmän S n kana.

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset SMG-4200 Sähkömagneettiten järjetelmien lämmöniirto Harjoituken 1 ratkaiuehdotuket Vata 1800-luvun puoliväliä ymmärrettiin että lämpöenergia on atomien ja molekyylien atunnaieen liikkeeeen värähtelyyn

Lisätiedot

7. Pyörivät sähkökoneet

7. Pyörivät sähkökoneet Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien

Lisätiedot

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus.

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus. TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen) 6.4.5 Määrittele lyyeti euraavat käitteet a) Kvantiointivire. b) äytetaajuuden interpolointi. ) Adaptiivinen uodatu. a) Kvantiointivire yntyy, kun ignaalin ykittäinen

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }. Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos

Lisätiedot