Laplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laplacemuunnosten perusteet kurssilla S1; v.1.0"

Transkriptio

1 Laplacemuunnoten peruteet kurilla S; v.. Jarmo Malinen. joulukuuta 29 Siältö Alkuanat 2 2 Määritelmiä 2 3 Laplace-muunnoken ominaiuukia 6 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin 9 5 Uein eiintyvien funktioiden Laplace-muunnokia

2 Alkuanat Laplace-muunno on yki arvokkaimpia ignaalinkäittelyn, äätöteorian ja piirianalyyin matemaattiita työkaluita. Sen avulla differentiaaliyhtälöillä erityieti alkuarvotehtävinä kuvattuja fyikaaliia tilanteita voidaan tarkatella algebralliina yhtälöinä. Piirianalyyia ja äätöteoriaa Laplace-muunno johtaa lähe välittömäti iirtofunktiotekniikoihin. Tämä monite on johdanto Laplace-muunnomenetelmän käyttöön ykinkertaiimmia tilanteia. Sovellutukena tarkatellaan vakiokertoimita lineaarita differentiaaliyhtälöä. Konvoluutiota, Diracin δ-funktiota, viivätettyjen ja ekp. vaimennettujen funktioiden muunnokia ja Laplace-muunnoken käänteimuunnokaavoja ei käitellä. Materiaalin laajuu on 3 4 luentotuntia, ja e on tarkoitettu avuki TKK:n kurilla Piirianalyyi II tarvittavaan matematiikkaan. Monite euraa joain määrin Martion ja Sarvaken kirjaa Tavalliet differentiaaliyhtälöt olevaa uppeaa eitytä. Moniteeta löytyvitä (varmati lukuiita) virheitä pyydän ilmoittamaan ähköpotite: Jarmo Malinen 2 Määritelmiä Ennen kuin voimme määritellä Laplace-muunnoken erään integraalin avulla, on tarpeen rajata e joukko funktioita, joille muunnoken lakeminen on ylipäätään mahdollita. Määritelmä. Funktio f : R + C on Laplace-muuntuva mikäli f on paloittain jatkuva, ja on olemaa vakio > jolle () lim t e t f(t) =. Lukua M f =inf{ > : lim t e t f(t) =} kututaan funktion f kavurajaki. Laplace-muuntuvan funktion f(t) kavun (kun t ) tulee ii hävitä ekponenttifunktiolle e t jollain äärelliellä, mahdollieti hyvin iolla luvulla >. Kaikki funktiot Laplace-muuntuvuudelle voidaan antaa paljon yleiempiäkin määritelmiä, joiden avulla ueammille funktioille voidaan lakea Laplace-muunno. Tällaiet yleityket eivät kuitenkaan ole tämän moniteen aihepiiriä. 2

3 eivät toteuta tätä; eimerkkinä tätä g(t) =e t2. Erikoieti jokainen rajoitettu, paloittain jatkuva funktio on Laplace-muuntuva kurituperiaatteen nojalla: jo f(t) M jokaiella t, niin e t f(t) Me t kunt. Jokaien rajoitetun funktion kavuraja on aina =. Huomautu 2. Olkoon f Laplace-muuntuva, ja merkitään en kavurajaa M f. Vaikka ehto () toteutuu tällöin jokaielle >M f (välittömäti joukon infimumin eli uurimman alarajan määritelmän mukaan), ehto ei välttämättä toteudu kun = M f. Eimerkiki funktio h(t) =e t,jollepätee M h =. Laplace-muunno määritellään eräällä epäoleelliella integraalilla, joa funktiota joudutaan integroimaan koko poitiivien reaaliakelin R + yli. Paloittain jatkuvan funktion g : R + C epäoleellien, joukon R + yli ulotetun integraalin g(t) dt anotaan olevan olemaa eli uppenevan, mikäli raja-arvo on olemaa kaavaa I = lim M I M joa I M := M g(t) dt. Tällöin merkitään epäoleellita 2 integraalia lyhyeti g(t) dt := I. Nyt voimme vihdoin määritellä Laplace-muunnoken: Määritelmä 3.Olkoon f : R + C Laplace-muuntuva, ja merkitään en kavurajaa M f. Tällöin (i) f:n Laplace-muunno on funktio ˆf :(M f, ) C, jonka arvot määräytyvät epäoleellieta integraalita (2) ˆf() := e t f(t) dt. (ii) Laplace-muunnooperaattori on kuvau L : f ˆf, joa f ja ˆf toteuttavat (2). Funktion f Laplace-muunnota funktiona merkitään joko ymbolilla ˆf tai L[f]. Näiden funktioiden arvoja piteeä >M f merkitään tällöin ˆf() tail[f](). Muuttujaa t on tapana kutua aikataon muuttujaki tai aikaparametriki. Ueia tehtäviä e todellakin vataa fyikaalita aikaa. Muuttujaa kututaan taajuutaon muuttujaki, jaite Laplace-muunnooperaation L anotaan ininöörikielellä antavan yhteyden aikataon ja taajuutaon välillä. Lukija mieltäjääehkä kalvamaan epäily iitä, onko epäoleellinen integraali (2) ylipäätään olemaa millään arvolla >; ja onko Määritelmä 3 ylipäätään varmalla pohjalla. Onneki Laplace-muuntuvuuehdon () toteutuea epäoleellinen integraali uppenee: 2 Vaikka jokainen M g(t) dt on määritelty Riemann-integraalina, ei niiden raja-arvoa g(t) dt ole uoraan määritelty Riemannin ylä/alaummien avulla. Tämän takia raja-arvoa kututaan epäoleellieki integraaliki. 3

4 Lemma 4. Olkoon f : R + C Laplace-muuntuva, ja merkitään en kavurajaa M f. Tällöin epäoleellinen integraali (2) uppenee (iteieti). Toditu. Olkoon >M f mielivaltainen. Koka f on paloittain jatkuva ja funktio t e t, on niinikään näiden funktioiden tulo t e t f(t) paloittain jatkuva joukoa R +. Koka paloittain jatkuvat ovat Riemann-integroituvia jokaiella oavälillä [,M], jokainen Riemann-integraali I M := M e t f(t) dt on olemaa kun M. Pitää ii tutkia, mitä tapahtuu luvuille I M kun annetaan M. Vaaditun raja-arvon olemaaololle joudutaan käyttämään nk. Cauchyn konvergenikriteeriä, jonka matemattinen perutelu ohitetaan 3. Cauchyn kriteerin mukaan lim M I M C on olemaa, jo ja vain jo jokaiella ɛ> on olemaa luku N = N(ɛ) > iten että toteutuu min (M,M 2 ) >N(ɛ) Rightarrow I M I M2 <ɛ. Olkoon nyt ɛ>, ja poimitaan jokin luku (M f,). Sovitaan että luvuita M ja M 2 uurempaa merkitään aina M 2 :lla. Tällöin integraalilakun äännöillä aadaan M 2 M M 2 I M2 I M = e t f(t) dt e t f(t) dt = (3) e t f(t) dt M 2 e t f(t) M 2 dt = e ( )t e t f(t) dt. M M M Koka f on Laplace-muuntuva ja >M f, euraa lim t e t f(t) =. Mutta nollaan uppenevat funktiot R + :lla ovat elväti rajoitettuja (yritä vaikkapa piirtää ellainen joka ei olii!), ja on ii olemaa vakio C> jolle pätee e t f(t) C kaikilla t. Nyt voidaan yllä olevaaepäyhtälöketjua jatkaa: / M2 (4) M 2 e ( )t e t f(t) M 2 dt C e ( )t C dt = M M e ( )t M = Ce ( )M ( ) e ( )(M 2 M ) 2Ce ( )M. Koka >, voidaan viimeieä termiä lukua M = min(m,m 2 ) kavattaa riittävän ioki (eli >N(ɛ)), niin että lopulta toiaankin toteutuu epäyhtälöitä (3) ja(4) johdettu Cauchyn konvergenikriteerin vahvitava epäyhtälö I M2 I M 2Ce ( )M <ɛ. Jätämme lukijalle tehtäväki lakea logaritmien avulla laueke luvulle N(ɛ), jokaita ɛ> kohden. 3 Huomaa, että Cauchyn kriteeri on varin järkevä: Jotta raja-arvo lim M I M voii olla olemaa, on tarpeen että kaikki arvot I M ja I M2 ovat lähellä toiiaan, kunhan molemmat M,M 2 ovat vain riittävän uuria. 4

5 Huomautu 5. Uein Laplacemuunnoken ˆf() muuttujan allitaan olevan komplekiluku, joka toteuttaa Re > M f. Huomautu 6. Uein funktion f tarkan kavurajan M f määrääminen on vaikeaa. Käytännön lakujen kannalta on kuitenkin olennaita vain e, että äärellinen kavuraja on olemaa jolloin myö Laplace-muunno on olemaa. Tarvittavat lakut tehdään tällöin kaikilla riittävän ioilla luvuilla >, eikä ole niin nökönuukaa tietää kuinka ioilla luvuilla >M f oikeataan laketaan. Käytännön eimerkki valaikoon edellä olevaa teoreettita tarkatelua. Huomaa, ettäuein lakut on pakko tehdä komplekitaoa. Eimerkki 7. Funktion e at Laplace-muunno, kun a R. Ei ole epäilytä, etteikö ekponenttifunktio olii Laplace-muuntuva. Ite lakukin on lähe naiivi: L[e at ]() = e t e at dt = lim M kunhan >a. (Varmita, että ymmärrät miki!) M e ( a)t dt = lim M Eimerkki 8. Funktion in t Laplace-muunno. / e ( a)t ( a) = a, Tämä on jatkuva ja rajoitettu funktio, joten e on niinmuodoin Laplace-muuntuva; kavurajan ollea =. Olkoon > mielivaltainen. Eulerin kaavan avulla, epäoleellita integraalia hieman epämuodollieti käitellen aadaan lakettua (5) = 2i e t in tdt= / e ( i)t ( i) 2i e t ( e it e it) dt = 2i 2i / e (+i)t ( + i). e ( i)t dt 2i e (+i)t dt Jotta ijoitutermi + :ä aadaan lakettua, tarvitaan raja-arvot lim M e (±i)m kullekin >. Mikäli imaginääriykikköä ei kaavaa lainkaan eiintyii, nähtäiiin uoraan että haluttu raja-arvo on nolla, ja ofitikoitunut veikkau olii ama myö komplekilukutapaukea. Kurituperiaatteella ja komplekimuuttujan ekponenttifunktion lakuäännöillä aadaan e (±i)m = e Re[ (±i)m] = e M kun M. Sii ijoitutermit + :ä katoavat kaavaa (5), ja aadaan alarajatermeitä (huomaa miinumerkki!) L[in ]() = e t in tdt= ( ) 2i ( i) + ( + i) =

6 Eimerkki 9. Funktion co t Laplace-muunno. Koinin Laplace-muunno voidaan lakea uoraan inin Laplace-muunnoketa, käyttämällä kaavaa co t =in(π/2 t) ja tekemällä integraalin iällä muuttujan vaihto v = π/2 t, dv = dt. Jätetään lukijalle helpoki harjoitutehtäväki, jonka tulo on L[co ]() = Eimerkki. Akelfunktion Laplace-muunno. Paiti iniaaltoa, uein ignaaleina käytetään myö akelfunktiota {, kun t [,a] χ [,a] (t) =, kun t>a. Laplace-muunno tulee uoralla lakulla kaikille > L[χ [,a] ]() = e t χ [,a] (t) dt = a e t dt = / a e t = ( ) e a Laplace-muunnoken ominaiuukia Johdamme euraavaki Laplace-muunnooperaation L peruominaiuukia, joiden takia iitä tulee käyttökelpoinen ininöörimatematiikan työkalu. Laue. Laplace-muunnooperaatio L on lineaarinen kuvau, joka on määritelty kaikilla paloittain jatkuvilla funktioilla. Jatkuvien funktioiden joukkoon C(R + ) rajoitettuna L on liäki injektiivinen. Perutelu. Että L on lineaarinen, euraa uoraan (epäoleelliten) integraalien lakuäännöitä. Paloittain jatkuville funktioille f(t) jag(t), ekä vakioille α, β C pätee 4 L[αf + βg]() = = lim R α = α lim R R R e t (αf(t)+βg(t)) dt = lim R e t f(t) dt + β R e t f(t) dt + β lim R e t g(t) dt R R e t (αf(t)+βg(t)) dt e t g(t) dt = αl[f]()+βl[g](). Yllä oleva laku on oikea jokaielle >max (M f,m g ). Erityieti huomaa, että funktioiden kavurajat aina toteuttavat epäyhtälön M αf+βg max (M f,m g ). 4 On hyvää harjoitutaepäoleellien integraalin lakuäännöille, jo käy edellien päättelyketjun akel akeleelta, ajatuken kana läpi. 6

7 Kuten matriiilakua matriiien nolla-avaruukia tutkittaea, injektiiviyyden tarkitamieki riittää ooittaa euraava: Jokainen Laplace-muuntuva jatkuva funktio f, jolle pätee L[f]() = kaikilla > M (jollain vakiolla M>M f ) on ite aiaa nollafunktio: f(t) = kaikilla t>. Valitettavati tämän väitteen toditaminen vaatii edityneempiä työkaluja, kuin tällä kurilla voidaan eittää. Lineaariuuden avulla voidaan antaa funktion h(t) = αf(t) + βg(t), α, β C Laplacemuunno välittömäti, kunhan ˆf ja ĝ ovat tunnettuja. Mikäli taa L ei olii injektiivinen, olii ueilla eri (jatkuvilla) funktiolla amat Laplace-muunnoket. Tämä tekii Laplace-muunnotekniikan käyttökelvottomaki, koka käänteimuunnoken lakeminen olii tällöin mahdotonta. Uein aika-akelia halutaan venyttää tai kutitaa iten, että funktion f(t) ijata halutaan tutkia funktiota f a (t) :=f(at), joa a>onvakio: Laue 2. Olkoon f Laplace-muuntuva ja a >. Tällöin funktio f a (t) := f(at) on Laplace-muuntuva, ja en muunno toteuttaa L[f a ]() = ( ) a L[f]. a Perutelu. Tämä on harjoitu integraalilakennon muuttujanvaihdota: Jokaielle > max (M f,m fa )pätee L[f a ]() = = a e t f(at) dt = a e (/a)τ f(τ) dτ = a L[f] ( a joa muuttujanvaihtona 5 käytettiin τ = at, dτ = adt. e (τ/a) f(τ) dτ Eimerkki 3. Funktioiden in at ja co at Laplace-muunnoket, kun a >. Lauetta 2 oveltamalla Eimerkeiä 8 ja 9 annettuihin muunnokiin, aadaan eritaajuiille inivärähtelyille muunnokaavat L[in at]() = ), a 2 + a 2 ja L[co at]() = 2 + a 2. Jotta differentiaaliyhtälöitä voitaiiin käitellä Laplace-muunnokin, tulee tietää kuinka derivointi vaikuttaa funktion Laplace-muunnokeen 5 Mikäli yllä oleva olii tehty matemaattieti tämälliemmin, olii jokainen integraali lakettu enin oleelliena integraalina välillä [,R], ja vata lopuki iirrytty epäoleellieen integraaliin antamalla R. Laueen toditukea näin jakettiin vielä tehdä, mutta tätä eteenpäin fukaamme hieman. 7

8 Laue 4. Jo f ja f ovat Laplace-muuntuvia, niin tällöin L[f ]() =L[f]() f(). Perutelu. Tämäonepäoleellien integraalin oittaiintegrointia. Jokaielle >max M f,m f ) pätee L[f ]() = e t f (t) dt = / e t f(t) ( e t )f(t) dt = f() + L[f]() joa oittaiintegroinnia käytettiin ijoituta U = e t, dv = f (t) dt, du = e t,ja V = f(t). Luku onyllä olevaa lakua kiinteä vakio, jotakohdellaan kuin mitä tahana komplekilukua erityieti en voi tuoda ulo integraalimerkin alta. Tehdyn ijoituken ylärajatermi :ä katoaa, koka lim R e t f(t) = funktion f Laplace-muuntuvuuden peruteella. Huomaa, että funktio f voi aivan hyvin olla Laplace-muuntuva, ilman että en derivaatta f on. Eimerkiki kelpaa rajoitettu, jatkuvati derivoituva funktio f(t) =ine t2,jonka kavuraja on M f =. Sen derivaatta f (t) =2te t2 co e t2 kavaa turhan monia piteiä nopeammin kuin mikään ekponenttifunktio niinpä illä eioleäärellitä kavurajaa. Yritä huvikei kuvitella miltä tällainen funktio kuulotaii kuulokkeita oitettuna. Eimerkki 5. Funktion co t Laplace-muunno toiella tavalla lakettuna. Koinin Laplace-muunno voidaan lakea inin Laplace-muunnoketa käyttämällä hyväki =cot. Saadaan uoraan Laueen 4 peruteella tietoa d in t dt L[co ]() =L[in ]() in = 2 + = 2 +. Korkeampien derivaattojen tapau voidaan hoitaa oveltamalla Lauetta 4 ueati peräkkäin: Korollaari 6. Jo funktiot f,f,...,f (n) ovat Laplace-muuntuvia, niin tällöin n (6) L[f (n) ]() = k L[f]() n j f (j) (). j= Jokainen derivaatoita (Korollaarin oletuten ollea voimaa) f,f,...,f (n ) on iteaiaa jatkuva funktio (miki?). Korkeimman kertaluvun derivaatalta f (n) riittää vaatia, että e on ainoataan paloittain jatkuva. Korollaarin perutelu tapaukea n =2. Käyttämällä Lauetta 4 kaki kertaa aadaan jokaielle >max (M f,m f,m f ): L[f ]() =L[f ]() f () = (L[f]() f()) f () = 2 L[f]() f() f (). Ken vielä epäilee yleitä kaavaa (6) vääräki, ruokikoon iteään induktiotoditukella tai lakemalla auki tapauket n = 3, n = 4... kunne ielunrauha on aavutettu. 8

9 Funktion f(t) derivoiminenn kertaa kertoo ii Laplace-muunnoken ˆf funktiolla n, mikäli unohdetaan n ateinen polynomihäiriö n j= n j f (j) (), joka tulee ijoitutermeitä. Integroiminen aiheuttaa luonnollieti päinvataien ilmiön: Laue 7. Olkoon f(t) jatkuva, Laplace-muuntuva funktio, ja määritellään en erä antiderivaatta F (t) = t f(v) dv. Tällöin F on Laplace-muuntuva, ja jokaielle > max (M f,m F ) pätee L[F ]() = L[f](). Perutelu. Integraalilakennon päälaueen mukaan F (t) =f(t) jokaiella t>. Koka liäki F () = tällä nimenomaiella antiderivaatalla, aadaan Laueen 4 avulla L[f]() =L[F ]() =L[F ]() F () = L[F ](). Jakamalla yhtälön pää ja häntä muuttujalla aadaan väite toditetuki. 4 Sovellutu vakiokertoimiiin lineaariiin differentiaaliyhtälöihin Tarkatelemme vaimentamattoman jouimaayteemin (tai LC-piirin) analyyiä edellä kuvatulla Laplace-muunnotekniikalla. Oletetaan, että kuormatekijänä on inimuotoinen värähtely, jolloin alkuarvotehtävä voi olla eimerkiki muotoa { x (t)+4x(t) =int kun t>, (7) x() = x, x () = v. Olkoon nyt x(t) alkuarvotehtävän ykikäitteinen ratkaiu, joka voitaiiin löytää eimerkiki vakioidenvariointitekniikalla. Merkitään lyhyemmin ˆx() = L[x]() kaikilla riittävän uurilla >; tehdään e (vata myöhemmin oikeaki ooittautuva) oletu, että ratkaiu x(t) derivaattoineen on Laplace-muuntuva. Käyttämällä hyväki annettuja alkuehtoja, aadaan Korollaarin 6 peruteella L[x ]() = 2ˆx() x v. Laplace-muunnoken lineaariuuden peruteella (k. Laue ) voidaan differentiaaliyhtälö alkuarvotehtävätä (7) muuntaa euraavati: (8) =L[x +4x in]() =L[x ]()+4ˆx() L[in]() = ( 2 +4 ) ˆx() x v 2 +, joa viimeiellä rivillä onkäytetty Eimerkiä 8 johdettua kaavaa inifunktion Laplacemuunnokelle. Koka yhtälö (8) pätee kaikille >Mjollain luvulla M >, voidaan ratkaita (9) ˆx() = x + v kaikilla >M. ( 2 +)( 2 +4) 9

10 Alkuarvotehtävän (7) ratkaiu edellyttäii nyt funktion ˆx()kääntei-Laplace-muuntamita, joka ooittautuu olevan tämän menetelmän työläin akel. Uein tulee käyttää valmiita Laplace-muunnotaulukoita käänteieen uuntaan taitavati ja luovati termejä ryhmitellen. Tutkitaanpa, kuinka yhtälötä (9)päätellään funktion x(t) muoto. Alkuehtojen määräämä termi x +v yhtälöä (9) voidaan onneki eittää helpoti kombinaationa venytetyn 2 +4 inin ja koinin Laplace-muunnokita (k. Laue 2 ja Eimerkki 3 ): kaikille > pätee nimittäin () x + v 2 +4 = x v = x L [co 2t]()+ v 2 L [in 2t]() =L [ x co 2t + v 2 in 2t ] (). Jälkimmäinen, differentiaaliyhtälön epähomogeeniuudeta johtuva termi yhtälöä (9) vaatii enemmän kekeliäiyyttä. Se ei ole uoraan inin ja koinin Laplace-muunnoten näköinen, mutta rationaalifunktioiden integraalilakennota tutun oamurtolukukehitelmän avulla e voidaan aattaa muotoon ( 2 +)( 2 +4) = A B 2 +4 eräillä vakioilla A ja B. Ritiinkertomalla aadaan yhtälö (A + B) 2 +(4A + B) =,joka toteutuu kaikilla > vain jo A + B =ja4a + B =. Ratkaiemalla aadaan A =/3 ja B = /3. Niinpä () ( 2 +)( 2 +4) = /3 2 + / = joka pätee kaikilla >. = 3 L [in t]() 6 L [in 2t]() =L [ 3 in t 6 in 2t ] (), Yhditämällä yhtälöt () ja () yhtälöön (9) aadaan [ ˆx() =L x co 2t + v 2 in 2t + 3 in t ] in 2t () 6 kaikilla x>m. Kahdella eri jatkuvalla funktiolla ei voi olla amaa Laplace-muunnota (Laueen injektiiviyyväitteen takia) ja yhtälön (7) ratkaiu on jopa kahdeti derivoituva. Siki edellietä yhtälötä voidaan kuoria poi Laplace-muunnooperaatio L, ja aadaan ( v x(t) =x co 2t + 2 ) in 2t in t kaikilla t >. Tämä on alkuarvotehtävän (7) etitty ratkaiu, joka on (rajoitettuna, jatkuvana funktiona) Laplace-muuntuva. Niinpä jokainen edellä tehty akel oli iteaiaa matemaattieti oikea, ja lukuna M olii voitu käyttää M = (paiti, että lakujen ollea kekeneräiiä emme itä vielä iinä vaiheea tienneet).

11 Huomautu 8. Ueia ininööriovellutukia ei alkuperäielle funktiolle x(t) ole käyttöä, vaan lakuia voidaan jo pyähtyä helpoti aavutettuun yhtälöön kuten (). Tällöin kaikki tehtävän vaatima analyyi tehdään Laplace-muunnoken puolella, n. taajuualuetekniikoilla (engl. frequency domain technique). Huomautu 9. Monimutkaiemmat ja korkeampiateiet tapauket käitellään amalla tavalla kuin edellä annettu eimerkki. Käänteimuunnokea vaaditut teknilliet vaiheet ovat kuitenkin monimutkaiempia. Huomautu 2. Laplace-muunnokella voidaan myö käitellä vektoriarvoiia yhtälöitä x (t) =Ax(t)+f(t), mutta tarvittavat yleityket eivät enää olenäiden luentojen aihepiiriä. 5 Uein eiintyvien funktioiden Laplace-muunnokia Funktio f(t),t Laplace-muunno ˆf() ja en määrittelyjoukko kun > e ax kun >max (,a) a b in bx; b R kun > 2 + b 2 co bx; b R kun > 2 + b 2 x n n! ; n N kun > n+ x n e ax n! ; n N kun >max (,a) ( a) n+ e ax in bx; e ax co bx; a, b R a, b R b ( a) 2 + b 2 kun > x a ( a) 2 + b 2 kun >. Laajempia taulukoita löytyy mm. ammattikirjalliuudeta ja erikoifunktioita käittelevien kirjojen liitteinä.

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut 1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011 S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.

Lisätiedot

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset SMG-4200 Sähkömagneettiten järjetelmien lämmöniirto Harjoituken 1 ratkaiuehdotuket Vata 1800-luvun puoliväliä ymmärrettiin että lämpöenergia on atomien ja molekyylien atunnaieen liikkeeeen värähtelyyn

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

7. Pyörivät sähkökoneet

7. Pyörivät sähkökoneet Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011

S-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011 S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Nokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille

Nokian kaupungin tiedotuslehti Kolmenkulman yrityksille Nokian kaupungin tiedotulehti Kolmenkulman yritykille Hyvä nykyinen ja tuleva kolmenkulmalainen U ui yrityalueemme alkoi yntyä Öljytien varteen ijaitee Nokian puolella. Tampereella iitä on yli 200 heh-

Lisätiedot

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Äänen nopeus pitkässä tangossa

Äänen nopeus pitkässä tangossa IXPF24 Fyiikka, ryhälaboratoriotyö IST4S1 / E1 / A Okanen Janne, Vaitti Mikael, Vähäartti Pai Jyväkylän Aattikorkeakoulu, IT-intituutti IXPF24 Fyiikka, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pai Repo Äänen nopeu

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa,

Kuva 22: Fraktaalinen kukkakaali. pituus on siis 4 AB. On selvää, että käyrän pituus kasvaa n:n kasvaessa, Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus

METSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.

Lisätiedot

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Pikaohje Verio 1.0 marrakuu 2002 www.behringer.com SUOMI TURVALLISUUSOHJEET VAROITUS: Älä poita kantta (tai takaoaa) ähkäikuvaaran vähentämieki. Siällä ei ole käyttäjän huollettavia oia; käänny huolloa

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että

Lisätiedot

NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.10.06

NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.10.06 NAANTALI KARJALUOTO - PIRTTILUOTO ASEMAKAAVALUONNOS 3.0.06 Siniellä värillä on eitetty rakennuala/rakennualan oa, joka ijaitee kahden metrin korkeukäyrän alapuolella. Silta Epoon Suviaaritoa. Yleitä Aemakaavaonnoken

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Triathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner

Triathlon Training Programme 12-week Sprint Beginner 12 viikon kilpailuuunnitelma--kilpailumatka: printti Urheilijan tao: aloitteleva urheilija, 1 tai 2 vuoden kokemu printtitriathlonkilpailuita Tunteja viikoa: 5-6 Tätä harjoituuunnitelmaa käytetään Garminin

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

BINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO KAISTARAJOITTAMATTOMILLA MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVITETTU SUODATIN JA SEN SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA

BINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO KAISTARAJOITTAMATTOMILLA MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVITETTU SUODATIN JA SEN SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA BINÄÄRINN SYNKRONINN IDONSIIRO KAISARAJOIAMAOMILLA MILIVALAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVIU SUODAIN JA SN SUORIUSKYKY AWGN-KANAVASSA Millaiia aalomuooja perupuleja yypilliei käyeään? 536A ieoliikenneekniikka

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT

( ) ( ) 14 HARJOITUSTEHTÄVIÄ SÄHKÖISET PERUSSUUREET SÄHKÖVERKON PIIRIKOMPONENTIT 4 HAJOTUSTHTÄVÄ SÄHKÖST PUSSUUT -auton akku (84 V, 700 mah on ladattu täyteen Kuinka uuri oa akun energiata kuluu enimmäien viiden minuutin aikana, kun oletetaan moottorin ottavan vakiovirran 5 A? Oletetaan

Lisätiedot

020* 23 8,7 0,4 0,6 780 1400 397 355 510 645 95 0,20 2000 130 025 23 17 0,8 1,4 800 1450 488 434 540 690 110 0,25 3500 225

020* 23 8,7 0,4 0,6 780 1400 397 355 510 645 95 0,20 2000 130 025 23 17 0,8 1,4 800 1450 488 434 540 690 110 0,25 3500 225 Standard lkuperäinen Standardikouran tupla ylinterit* antaa matalan ja taaien akelikuormituken, joka tarkoittaa pienempää kulumita. Kärkien uunnittelu ja muotoilu mahdollitaa kouran pehmeän ja nopean täytön,

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Kestävä tuotanto ja tuotteet. Suomen Akatemian tutkimusohjelma kestävä tuotanto ja tuotteet KETJU 2006 2010

Kestävä tuotanto ja tuotteet. Suomen Akatemian tutkimusohjelma kestävä tuotanto ja tuotteet KETJU 2006 2010 Ketävä tuotanto ja tuotteet Suomen Akatemian tutkimuohjelma ketävä tuotanto ja tuotteet KETJU 2006 2010 Ketävä tuotanto ja tuotteet (KETJU) 2006 2010 KETJU lyhyeti Tuotanto ja tuotteet vaikuttavat ympäritöön

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

SOSIAALIPÄIVYSTYKSEN KEHITTÄMISEN VUODET KESKI-SUOMESSA

SOSIAALIPÄIVYSTYKSEN KEHITTÄMISEN VUODET KESKI-SUOMESSA 0..0 () SOSIAALIPÄIVYSTYKSEN KEHITTÄMISEN VUODET KESKI-SUOMESSA Soiaalipäivytyke kehittämiellä o maakaamme eide voie jatkmo. Alkyäyke ille atoi vode valtioevoto periaatepäätö, joa aetettii tavoitteeki

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson 3 Esipuhe Matematiikka tieteiden kuningatar ja palvelija on lukioihin ja ammattikorkeakouluihin suunnattuun koulukohtaiseen valinnaiseen syventävään kurssiin perustuva kirja. Kirjan tarkoituksena on kerrata

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004 MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 004 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Phyica 9 aino (8) 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää : 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää 0 a) Sähköknttä aikuttaa arattuun hiukkan oialla F = QE Poitiiiti aratull hiukkall oian uunta on ähkökntän

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

B-CONTROL FADER BCF2000 B-CONTROL ROTARY BCR2000 Lyhyt käyttöopa Verio 1.0 marrakuu 2003 SUOMI TÄRKEITÄ TURVALLISUUSOHJEITA YKSITYISKOHTAISET TURVALLISUUSOHJEET: 1) Lukekaa nämä ohjeet. HUOMIO: Sähköikulta

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................

Lisätiedot

KANTRI 2007 KONTIO KANTRI. www.kontio.fi Osoitelähde: Kontiotuote Oy:n asiakasrekisteri.

KANTRI 2007 KONTIO KANTRI. www.kontio.fi Osoitelähde: Kontiotuote Oy:n asiakasrekisteri. KANTRI 2007 KONTIO KANTRI Kontio Kantri - uomalaiille tehty uui huvilamallito, joa on ripau Amerikan herkkuja. www.kontio.fi Ooitelähde: Kontiotuote Oy:n aiakarekiteri. KANTRI ON KONTION UUS Kontion uui

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit 7.48 TY Juha Pyrhönen 7. Tahtikone Tahtikoneet muootavat kokonaien ähkökoneperheen. Päätyyppejä ovat vieramagnetoiut tahtikoneet, ynkroniet reluktanikoneet ja ketomagneettitahtikoneet. Vieramagnetoiut

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit Harjoitus 1 / syksy 2001 1. Laske seuraavat derivaatat 2 a) D ( 5x + 5) x, b) D (-e 2x ), c) D (-ln x) ja d) D (sin 2x + cos x). 2. Laske seuraavat integraalit 2 x 5x 5 dx, a) ( + ) x b) ( e 2 ) dx, c)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

... MOVING AHEAD. Rexnord Laatuketjut. Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimppuketjut

... MOVING AHEAD. Rexnord Laatuketjut. Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimppuketjut ... MOVING HED Rexnord Laatuketjut Rullaketjut Rotary-ketjut Levykimuketjut Siällyluettelo Rexnord-laadun ominaiiirteet......................... 6 7 Huomioita ketjun valinnata...........................

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

Fysiikkakilpailu 6.11.2007, avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA

Fysiikkakilpailu 6.11.2007, avoimen sarjan vastaukset AVOIN SARJA Fyiikkakilpailu 6.11.007, avoimen ajan vatauket AVOIN SARJA Kijoita tektaten koepapeiin oma nimei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nimi ekä koului nimi. Kilpailuaikaa on 100 minuuttia. Sekä tehtävä-

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA

LUKION FYSIIKKAKILPAILU 10.11.2009, ratkaisut PERUSSARJA LUKION FYSIIKKAKILPAILU 0..009, ratkaiut PERUSSARJA Vataa huolellieti ja iititi! Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooite, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on 00 inuuttia.

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Luotettavuusteknisten menetelmien soveltaminen urheiluhallin poistumisturvallisuuden laskentaan

Luotettavuusteknisten menetelmien soveltaminen urheiluhallin poistumisturvallisuuden laskentaan ESPOO 00 VTT TIEDOTTEITA 8 Tuoma Palopoki, Jukka Myllymäki & Heny Weckman Luotettavuutekniten menetelmien oveltaminen uheiluhallin poitumituvalliuuden lakentaan VTT TIEDOTTEITA RESEARCH NOTES 8 Luotettavuutekniten

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI

JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI JÄÄMEREN RAUTATIE ROVANIEMI-KIRKKONIEMI WWW.ARCTICCORRIDOR.FI KILPAILUKYKYÄ INVESTOIJILLE JA YRITYKSILLE Jäämeren rautatie parantaa yrityten ja invetoijien toimintamahdolliuukia arktiella alueella. Uuia

Lisätiedot

Residylause ja sen sovelluksia

Residylause ja sen sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Henry Joutsijoki Residylause ja sen sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 7 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen

Lisätiedot

Lyhyt käyttöopa Verio 1.1 maalikuu 2003 VAMPIRE VAMP PRO VAMP 2 SUOMI TÄRKEITÄ TURVALLISUUSOHJEITA YKSITYISKOHTAISET TURVALLISUUSOHJEET: 1) Lukekaa nämä ohjeet. 2) Säilyttäkää nämä ohjeet. 3) Huomioikaa

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2010

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2010 MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 010 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa

Lisätiedot

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia

Lisätiedot

Tarpeenmukainen ilmanvaihto

Tarpeenmukainen ilmanvaihto YLEISKUVAUS Tarpeenmukainen ilmanvaihto Huipputuotteet tarpeenmukaieen ilmanvaihtoon! www.wegon.com Tarpeenmukainen ilmanvaihto tarjoaa hyvän viihtyiyyden ja pienet käyttökutannuket Kun huone on käytöä,

Lisätiedot

Materiaalien murtuminen

Materiaalien murtuminen Määritelmä: Materiaalien murtuminen r Fracture i the eparation, or fragmentation, of a olid body into two or more part under the action of tre Murtumiproei voidaan jakaa kahteen oaan 4 Särön ydintyminen

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot