Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160"

Transkriptio

1 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö (eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen f maali. LM2, Kesä /160

2 Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitään f (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. X f Y x f(x) LM2, Kesä /160

3 Määritelmä Lineaarikuvaus Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Kuvaus L: V W on lineaarikuvaus, jos seuraavat ehdot pätevät kaikilla ū, v V ja c R: (a) L(ū + v) = L(ū) + L( v) (b) L(c v) = cl( v). Jos kuvaus L on lineaarikuvaus, voidaan myös sanoa, että L on lineaarinen. V L W ū v c v ū + v L(ū) L( v) L(c v) = cl( v) L(ū + v) = L(ū) + L( v) LM2, Kesä /160

4 Esimerkki 18 Tarkastellaan kuvausta f : R R, f (x) = 3x. Osoitetaan, että f on lineaarikuvaus. Lineaarikuvaus f(u + v) = f(u) + f(v) f(v) Oletetaan, että u, v R ja c R. Tällöin f(u) f (u + v) = 3(u + v) = 3u + 3v 2u u v u + v = f (u) + f (v) ja f (cv) = 3(cv) = c(3v) = cf (v). f( 2u) = 2f(u) LM2, Kesä /160

5 Esimerkki 19 Kuvaus, joka ei ole lineaarinen Tarkastellaan kuvausta g : R R, g(x) = x 3 2x + 1. Osoitetaan, että g ei ole lineaarikuvaus. Valitaan esimerkiksi u = 1 ja v = 2. Tällöin f (u + v) = f (1) = 0 mutta f (u) + f (v) = f ( 1) + f (2) = = 7. Siis f ( 1 + 2) f ( 1) + f (2), joten f ei ole lineaarikuvaus. LM2, Kesä /160

6 Lineaarikuvaus Esimerkki 20 Merkitään enintään ensimmäistä astetta olevien polynomien joukkoa P 1 = { a 1 x + a 0 a 1, a 0 R }. Osoitetaan, että kuvaus L: R 2 P 1, jolle L(a, b) = ax + b, on lineaarikuvaus. Oletetaan, että (a, b), (c, d) R 2 ja r R. Tällöin L((a, b) + (c, d)) = L(a + c, b + d) = (a + c)x + (b + d) = ax + b + cx + d = L(a, b) + L(c, d) ja L(r(a, b)) = L(ra, rb) = rax + rb = r(ax + b) = rl(a, b). LM2, Kesä /160

7 Matriisi määrää lineaarikuvauksen Lause 21 Oletetaan, että A on m n -matriisi. Matriisin A määräämä kuvaus L A : R n R m, L A ( v) = A v on lineaarikuvaus. (Tässä avaruuden R n alkiot tulkitaan sarakevektoreiksi eli n 1-matriiseiksi.) Todistus. Oletetaan, että v, w R n ja c R. Nyt matriisien laskutoimitusten ominaisuuksien perusteella L A ( v + w) = A( v + w) = A v + A w = L A ( v) + L A ( w) ja L A (c v) = A(c v) = ca v = cl A ( v). Siten L A on lineaarinen. LM2, Kesä /160

8 Esimerkki 22 Matriisi määrää lineaarikuvauksen Tarkastellaan kuvausta L: R 2 R 2, joka peilaa jokaisen pisteen vaaka-akselin suhteen: (1,2) (x 1, x 2 ) (1, 2) (x 1, x 2 ) Jos (x 1, x 2 ) R 2, niin L(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ). LM2, Kesä /160

9 Tulkitsemalla avaruuden R 2 alkiot 2 1 -matriiseina saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x1 x x1 L = = x x 2 x 1 + x = x 2 Siis kuvaus L on matriisin A = [ ] määräämä kuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Näin ollen L on lineaarinen lauseen 21 nojalla. LM2, Kesä /160

10 L L(1, 2) = (1,2) (x 1, x 2 ) L(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) (1, 2) LM2, Kesä /160

11 Esimerkki 23 Matriisi määrää lineaarikuvauksen Tutkitaan, millaisen lineaarikuvauksen antavat matriisit [ ] [ ] [ ] A =, B = ja C = Matriisista A saadaan kuvaus L A : R 2 R 2, L A ( v) = A v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi (2x 1, x 2 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 2 0 x1 2x1 = = 0 1 x 2 x 2 Tästä nähdään, että kuvaus L A venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa. LM2, Kesä /160

12 L A LM2, Kesä /160

13 Matriisista B saadaan kuvaus L B : R 2 R 2, L B ( v) = B v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi ( x 1, x 2 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 = = 0 1 x 2 x 2 Tästä nähdään, että kuvaus L B peilaa vektorit pystyakselin suhteen. L B LM2, Kesä /160

14 Matriisista C saadaan kuvaus L C : R 2 R 2, L C ( v) = C v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi ( x 2, x 1 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 0 1 x1 x2 = = 1 0 x 2 x 1 Kuvaus L C kiertää vektoreita origon ympäri 90 vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan. L C LM2, Kesä /160

15 Voidaan osoittaa, että matriisin [ ] cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ määräämä lineaarikuvaus kiertää vektoreita origon ympäri kulman ϕ verran (positiiviseen kiertosuuntaan, jos ϕ > 0, ja negatiiviseen kiertosuuntaan, jos ϕ < 0). Matriiisi C = [ ] on tällainen kiertomatriisi, jossa kulma ϕ = 90. LM2, Kesä /160

16 Lause 24 Lineaarikuvauksen ominaisuuksia Oletetaan, että L: V W on lineaarikuvaus. Tällöin L( 0 V ) = 0 W. Todistus. Kuvauksen L lineaarisuuden nojalla L( 0 V ) = L( 0 V + 0 V ) = L( 0 V ) + L( 0 V ). Lisätään tämän yhtälön molemmille puolille avaruuden W vektori L( 0 V ), jolloin saadaan L( 0 V ) L( 0 V ) = L( 0 V ) + L( 0 V ) L( 0 V ). Näin ollen 0 W = L( 0 V ). LM2, Kesä /160

17 Määritelmä Yhdistetty kuvaus Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f tarkoittaa kuvausta X Z, jolla (g f )(x) = g(f (x)) eli x g(f (x)). X f Y g Z y g(y) x f(x) g(f(x)) g f LM2, Kesä /160

18 Lineaarikuvausten ominaisuuksia Lause 25 Oletetaan, että L: U V ja T : V W ovat lineaarikuvauksia. Tällöin yhdistetty kuvaus T L: U W on lineaarinen. Todistus. Oletetaan, että ū 1, ū 2 U ja a R. Tarkistetaan lineaarikuvauksen määritelmän ehdot: (a) Yhdistetyn kuvauksen määritelmän, kuvauksen L lineaarisuuden ja kuvauksen T lineaarisuuden avulla saadaan (T L)(ū 1 + ū 2 ) = T (L(ū 1 + ū 2 )) = T (L(ū 1 ) + L(ū 2 )) = T (L(ū 1 )) + T (L(ū 2 )) = (T L)(ū 1 ) + (T L)(ū 2 ) LM2, Kesä /160

19 (b) Yhdistetyn kuvauksen määritelmän, kuvauksen L lineaarisuuden ja kuvauksen T lineaarisuuden avulla saadaan (T L)(aū 1 ) = T (L(aū 1 )) = T (al(ū 1 )) = at (L(ū 1 ))) = a(t L)(ū 1 ) LM2, Kesä /160

20 Matriisien määräämien lineaarikuvausten yhdistäminen Matriisien määräämillä lineaarikuvauksilla kuvausten yhdistäminen vastaa matriisien kertomista keskenään: Lause 26 Oletetaan, että A on m n -matriisi ja B on n p -matriisi. Tällöin L A L B = L AB eli tulomatriisin AB määräämä kuvaus L AB : R p R m on sama kuvaus kuin yhdistetty kuvaus L A L B : R p R m. LM2, Kesä /160

21 Lauseen 26 todistus. Oletetaan, että v R p. Tällöin matriisien laskusääntöjen mukaan L AB ( v) = (AB) v = A(B v) = L A (B v) = L A (L B ( v)) = (L A L B )( v). Siis L AB : R p R m ja L A L B : R p R m ovat sama kuvaus. LM2, Kesä /160

22 Määritelmä Osajoukon kuva Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja ja f : X Y on kuvaus. Osajoukon A X kuva kuvauksessa f on joukko Huom. f [A] = { y Y y = f (a) jollakin a A }. Kuva voidaan kirjoittaa lyhyesti myös muodossa X f Y fa = { f (a) a A }. Joukko on itsensä osajoukko: X X. A f A LM2, Kesä /160

23 Aliavaruuden kuva Esimerkki 27 Tarkastellaan esimerkin 22 lineaarikuvausta L: R 2 R 2, joka peilaa jokaisen pisteen vaaka-akselin suhteen: (1,2) (x 1, x 2 ) (1, 2) (x 1, x 2 ) LM2, Kesä /160

24 Osoitettiin, että kuvaus L on matriisin [ ] 1 0 A = 0 1 määräämä lineaarikuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Olkoon w = (3, 1) ja W = span( w). Tällöin W on vektorin w virittämä aliavaruus; tarkemmin sanottuna origon kautta kulkeva suora: W = span( w) LM2, Kesä /160

25 Aliavaruuden W kuva on L[W ] = { ū R 2 ū = L( v) jollakin v W } = { ū R 2 ū = L( v) jollakin v span( w) } = { ū R 2 ū = L(t w) jollakin t R } = { L(t w) t R } = { tl( w) t R } = { t(3, 1) t R } = span ( (3, 1) ) L[W] = span ( (3, 1) ) LM2, Kesä /160

26 L W = span ( (3,1) ) L[W] = span ( (3, 1) ) LM2, Kesä /160

27 Lineaarikuvauksen ominaisuuksia Lineaarikuvauksesssa aliavaruudet kuvautuvat aliavaruuksiksi. Lause 28 Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Jos W on avaruuden V aliavaruus, niin kuva L[W ] on avaruuden V aliavaruus. LM2, Kesä /160

28 Lauseen 28 todistus. Oletetaan, että W on avaruuden V aliavaruus. Osoitetaan, että kuva L[W ] on avaruuden V aliavaruus. Oletetaan, että u, w L[W ] ja a R. Tällöin on olemassa sellaiset u, w W, että L(u) = u ja L(w) = w. (a) Tutkitaan summaa u + w käyttäen hyväksi kuvauksen L lineaarisuutta: u + w = L(u) + L(w) = L(u + w), missä u + w W, koska W on aliavaruus ja u, w W. Siis u + w L[W ]. LM2, Kesä /160

29 (b) Tutkitaan skalaarimonikertaa au käyttäen hyväksi kuvauksen L lineaarisuutta: au = al(u) = L(au), missä au W, koska W on aliavaruus ja u W. Siis au L[W ]. (c) Koska W on aliavaruus, niin 0 V W. Koska L on lineaarikuvaus, niin L( 0 V ) = 0 V lauseen 24 nojalla. Siten 0 V L[W ]. LM2, Kesä /160

30 Lineaarikuvauksen ydin Määritelmä Oletetaan, että L: V W on lineaarikuvaus. Sen ydin on joukko Ker L = { v V L( v) = 0 W }. Huom. Ydin on aina joukko (ei koskaan pelkkä yksittäinen alkio). Ytimessä ovat ne vektorit, jotka kuvautuvat nollavektoriksi. Ydin ei ole koskaan tyhjä joukko, sillä nollavektori on aina ytimessä (lause 24). Ytimessä on siis ainakin yksi alkio, mahdollisesti useita alkioita. LM2, Kesä /160

31 Esimerkki 29 Lineaarikuvauksen ydin Tarkastellaan kuvausta L: R 2 R 2, joka projisoi jokaisen pisteen vaaka-akselille: (1,2) (1,0) (x 1,0) (x 1, x 2 ) Jos (x 1, x 2 ) R 2, niin L(x 1, x 2 ) = (x 1, 0). LM2, Kesä /160

32 Tulkitsemalla avaruuden R 2 alkiot 2 1 -matriiseina saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x1 x x1 L = = x x 0 2 = x 2 x 2 Siis kuvaus L on matriisin A = [ ] määräämä kuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Näin ollen L on lineaarinen lauseen 21 nojalla. Määritetään lineaarikuvauksen L ydin. LM2, Kesä /160

33 Lineaarikuvauksen L: R 2 R 2 ydin on Ker L = { v R 2 L( v) = 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 (v 1, 0) = (0, 0) } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 = 0 } = { (0, v 2 ) v 2 R } = { v 2 (0, 1) v 2 R } = span ( (0, 1) ). LM2, Kesä /160

34 Lineaarikuvauksen L ydin on siis vektorin j = (0, 1) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin j suuntainen suora: L Ker L LM2, Kesä /160

35 Lineaarikuvauksen ydin Esimerkki 30 Määritetään esimerkin 20 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, ydin. Huom. Ker L = { v R 2 L( v) = 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 x + v 2 = 0x + 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 = 0 ja v 2 = 0 } = { (0, 0) } = { 0}. Vektoriavaruuden P 1 nollavektori on nollapolynomi, jonka kaikki kertoimet ovat nollia. Sitä voidaan merkitä lyhyesti 0 tai kuten edellä 0x + 0. LM2, Kesä /160

36 Lause 31 Lineaarikuvauksen ydin Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Tällöin ydin Ker L on avaruuden V aliavaruus. Todistus. Ker L on määritelmänsä mukaan vektoriavaruuden V osajoukko. Oletetaan, että w, ū Ker L ja c R. Tällöin L( w) = 0 V ja L(ū) = 0 V. Tarkistetaan aliavaruuden määritelmän ehdot: (a) Kuvauksen L lineaarisuuden nojalla L( w + ū) = L( w) + L(ū) = 0 V + 0 V = 0 V, joten w + ū Ker L. (b) Vastaavasti L(c w) = cl( w) = c 0 V = 0 V ja siten c w Ker L. (c) Lauseen 24 nojalla L( 0 V ) = 0 V, joten 0 V Ker L. LM2, Kesä /160

37 Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla a, b X yhtälöstä f (a) = f (b) seuraa, että a = b. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on injektio, jos ja vain jos kaikilla lähdön alkioilla on eri kuva-alkiot. Injektiivisen kuvauksen tapauksessa maalin kullekin alkiolle kuvautuu korkeintaan yksi lähdön alkio. LM2, Kesä /160

38 Kuvaus g ei ole injektio: X g Y a b g(a) = g(b) LM2, Kesä /160

39 Injektio Kuvaus h on injektio: X h Y a = b h(a) = h(b) LM2, Kesä /160

40 Lineaarikuvauksen injektiivisyys Lause 32 Lineaarikuvaus L: V V on injektio, jos ja vain jos Ker L = { 0 V }. LM2, Kesä /160

41 Todistus. : Oletetaan, että L on injektio. Tiedetään, että L( 0 V ) = 0 V, joten 0 V Ker L. Injektiivisyyden nojalla mikään muu alkio ei voi kuvautua neutraalialkiolle, joten ytimessä on vain yksi alkio, 0 V. : Oletetaan, että Ker L = { 0 V }. Oletetaan lisäksi, että alkioille v, w V pätee L( v) = L( w). Lisäämällä yhtälön molemmille puolille vektori L( w) saadaan L( v) L( w) = 0 V. Koska L on lineaarikuvaus, seuraa tästä, että L( v w) = 0 V. Siis v w Ker L. Koska Ker L = { 0 V }, täytyy päteä v w = 0 V. Kun tämän yhtälön molemmille puolille lisätään vektori w, saadaan v = w. On siis osoitettu, että f on injektio. LM2, Kesä /160

42 Esimerkki 33 Lineaarikuvauksen injektiivisyys Esimerkin 29 lineaarikuvauksen L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0) ydin on vektorin j = (0, 1) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin j suuntainen suora: L Ker L Ker L { 0}, joten L ei ole injektio lauseen 32 nojalla. LM2, Kesä /160

43 Lineaarikuvauksen injektiivisyys Esimerkki 34 Esimerkin 30 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, ydin on Ker L = { 0}, missä 0 tarkoittaa nollavektoria 0 = (0, 0) R 2. Näin ollen L on injektio lauseen 32 nojalla. LM2, Kesä /160

44 Lineaarikuvauksen kuva Määritelmä Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen L kuva on joukko Im L = { L( v) v V }. Huom. Lineaarikuvauksen kuva on erityistapaus aiemmin määritellystä osajoukon kuvan käsitteestä. Aiemman määritelmän merkinnöillä Im L = L[V ]. LM2, Kesä /160

45 Esimerkki 35 Lineaarikuvauksen kuva Tarkastellaan esimerkin 29 lineaarikuvausta L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0), joka projisoi jokaisen pisteen vaaka-akselille: (1,2) (1,0) (x 1,0) (x 1, x 2 ) Määritetään lineaarikuvauksen L kuva. LM2, Kesä /160

46 Lineaarikuvauksen L: R 2 R 2 kuva on Im L = { L( v) v R 2 } = { (v 1, 0) R 2 (v 1, v 2 ) R 2 } = { (v 1, 0) R 2 v 1 R } = { v 1 (1, 0) v 1 R } = span ( (1, 0) ). LM2, Kesä /160

47 Lineaarikuvauksen L kuva on siis vektorin ī = (1, 0) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin ī suuntainen suora: L Im L LM2, Kesä /160

48 Lineaarikuvauksen kuva Esimerkki 36 Määritetään esimerkin 20 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, kuva. Im L = { L( v) v R 2 } = { v 1 x + v 2 (v 1, v 2 ) R 2 } = { v 1 x + v 2 v 1, v 2 R } = P 1. LM2, Kesä /160

49 Lineaarikuvauksen kuva Lause 37 Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Tällöin kuva Im L on avaruuden V aliavaruus. Todistus. Tämä seuraa lauseesta 28, jonka mukaan lineaarikuvauksessa aliavaruuden kuva on aina aliavaruus. Nimittäin V on itsensä aliavaruus ja Im L = L[V ]. LM2, Kesä /160

50 Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, että f (x) = y. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on surjektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu ainakin yksi lähdön alkio. Lineaarikuvaus L: V V on surjektio, jos ja vain jos Im L = V. LM2, Kesä /160

51 Kuvaus g ei ole surjektio: X g Y y g(x) kaikilla x X LM2, Kesä /160

52 Surjektio Kuvaus h on surjektio: X h Y LM2, Kesä /160

53 Esimerkki 38 Lineaarikuvauksen surjektiivisuus Esimerkin 35 lineaarikuvauksen L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0) kuva on vektorin ī = (1, 0) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin ī suuntainen suora: L Im L Im L R 2, joten L ei ole surjektio. LM2, Kesä /160

54 Lineaarikuvauksen surjektiivisuus Esimerkki 39 Esimerkin 36 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, kuva on Im L = P 1, joten L on surjektio. LM2, Kesä /160

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Katri Syvänen Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Lineaarista projektiivista geometriaa

Lineaarista projektiivista geometriaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Iiris Repo Lineaarista projektiivista geometriaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö REPO,

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista

Neliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Lineaarialgebra. Osa 2. Turun yliopisto. Markku Koppinen

Lineaarialgebra. Osa 2. Turun yliopisto. Markku Koppinen Lineaarialgebra Osa 2 Turun yliopisto Markku Koppinen Sisältö 1 Koordinaattivektorit ja kannan vaihdot 1 11 Koordinaattivektorit 1 12 Kannan vaihdot 2 2 Lineaarikuvaukset 6 21 Kuvauksista 6 22 Lineaarikuvaukset

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot