Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Transkriptio

1 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö (eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen f maali. LM2, Kesä /160

2 Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitään f (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. X f Y x f(x) LM2, Kesä /160

3 Määritelmä Lineaarikuvaus Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Kuvaus L: V W on lineaarikuvaus, jos seuraavat ehdot pätevät kaikilla ū, v V ja c R: (a) L(ū + v) = L(ū) + L( v) (b) L(c v) = cl( v). Jos kuvaus L on lineaarikuvaus, voidaan myös sanoa, että L on lineaarinen. V L W ū v c v ū + v L(ū) L( v) L(c v) = cl( v) L(ū + v) = L(ū) + L( v) LM2, Kesä /160

4 Esimerkki 18 Tarkastellaan kuvausta f : R R, f (x) = 3x. Osoitetaan, että f on lineaarikuvaus. Lineaarikuvaus f(u + v) = f(u) + f(v) f(v) Oletetaan, että u, v R ja c R. Tällöin f(u) f (u + v) = 3(u + v) = 3u + 3v 2u u v u + v = f (u) + f (v) ja f (cv) = 3(cv) = c(3v) = cf (v). f( 2u) = 2f(u) LM2, Kesä /160

5 Esimerkki 19 Kuvaus, joka ei ole lineaarinen Tarkastellaan kuvausta g : R R, g(x) = x 3 2x + 1. Osoitetaan, että g ei ole lineaarikuvaus. Valitaan esimerkiksi u = 1 ja v = 2. Tällöin f (u + v) = f (1) = 0 mutta f (u) + f (v) = f ( 1) + f (2) = = 7. Siis f ( 1 + 2) f ( 1) + f (2), joten f ei ole lineaarikuvaus. LM2, Kesä /160

6 Lineaarikuvaus Esimerkki 20 Merkitään enintään ensimmäistä astetta olevien polynomien joukkoa P 1 = { a 1 x + a 0 a 1, a 0 R }. Osoitetaan, että kuvaus L: R 2 P 1, jolle L(a, b) = ax + b, on lineaarikuvaus. Oletetaan, että (a, b), (c, d) R 2 ja r R. Tällöin L((a, b) + (c, d)) = L(a + c, b + d) = (a + c)x + (b + d) = ax + b + cx + d = L(a, b) + L(c, d) ja L(r(a, b)) = L(ra, rb) = rax + rb = r(ax + b) = rl(a, b). LM2, Kesä /160

7 Matriisi määrää lineaarikuvauksen Lause 21 Oletetaan, että A on m n -matriisi. Matriisin A määräämä kuvaus L A : R n R m, L A ( v) = A v on lineaarikuvaus. (Tässä avaruuden R n alkiot tulkitaan sarakevektoreiksi eli n 1-matriiseiksi.) Todistus. Oletetaan, että v, w R n ja c R. Nyt matriisien laskutoimitusten ominaisuuksien perusteella L A ( v + w) = A( v + w) = A v + A w = L A ( v) + L A ( w) ja L A (c v) = A(c v) = ca v = cl A ( v). Siten L A on lineaarinen. LM2, Kesä /160

8 Esimerkki 22 Matriisi määrää lineaarikuvauksen Tarkastellaan kuvausta L: R 2 R 2, joka peilaa jokaisen pisteen vaaka-akselin suhteen: (1,2) (x 1, x 2 ) (1, 2) (x 1, x 2 ) Jos (x 1, x 2 ) R 2, niin L(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ). LM2, Kesä /160

9 Tulkitsemalla avaruuden R 2 alkiot 2 1 -matriiseina saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x1 x x1 L = = x x 2 x 1 + x = x 2 Siis kuvaus L on matriisin A = [ ] määräämä kuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Näin ollen L on lineaarinen lauseen 21 nojalla. LM2, Kesä /160

10 L L(1, 2) = (1,2) (x 1, x 2 ) L(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) (1, 2) LM2, Kesä /160

11 Esimerkki 23 Matriisi määrää lineaarikuvauksen Tutkitaan, millaisen lineaarikuvauksen antavat matriisit [ ] [ ] [ ] A =, B = ja C = Matriisista A saadaan kuvaus L A : R 2 R 2, L A ( v) = A v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi (2x 1, x 2 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 2 0 x1 2x1 = = 0 1 x 2 x 2 Tästä nähdään, että kuvaus L A venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa. LM2, Kesä /160

12 L A LM2, Kesä /160

13 Matriisista B saadaan kuvaus L B : R 2 R 2, L B ( v) = B v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi ( x 1, x 2 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 = = 0 1 x 2 x 2 Tästä nähdään, että kuvaus L B peilaa vektorit pystyakselin suhteen. L B LM2, Kesä /160

14 Matriisista C saadaan kuvaus L C : R 2 R 2, L C ( v) = C v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi ( x 2, x 1 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 0 1 x1 x2 = = 1 0 x 2 x 1 Kuvaus L C kiertää vektoreita origon ympäri 90 vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan. L C LM2, Kesä /160

15 Voidaan osoittaa, että matriisin [ ] cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ määräämä lineaarikuvaus kiertää vektoreita origon ympäri kulman ϕ verran (positiiviseen kiertosuuntaan, jos ϕ > 0, ja negatiiviseen kiertosuuntaan, jos ϕ < 0). Matriiisi C = [ ] on tällainen kiertomatriisi, jossa kulma ϕ = 90. LM2, Kesä /160

16 Lause 24 Lineaarikuvauksen ominaisuuksia Oletetaan, että L: V W on lineaarikuvaus. Tällöin L( 0 V ) = 0 W. Todistus. Kuvauksen L lineaarisuuden nojalla L( 0 V ) = L( 0 V + 0 V ) = L( 0 V ) + L( 0 V ). Lisätään tämän yhtälön molemmille puolille avaruuden W vektori L( 0 V ), jolloin saadaan L( 0 V ) L( 0 V ) = L( 0 V ) + L( 0 V ) L( 0 V ). Näin ollen 0 W = L( 0 V ). LM2, Kesä /160

17 Määritelmä Yhdistetty kuvaus Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f tarkoittaa kuvausta X Z, jolla (g f )(x) = g(f (x)) eli x g(f (x)). X f Y g Z y g(y) x f(x) g(f(x)) g f LM2, Kesä /160

18 Lineaarikuvausten ominaisuuksia Lause 25 Oletetaan, että L: U V ja T : V W ovat lineaarikuvauksia. Tällöin yhdistetty kuvaus T L: U W on lineaarinen. Todistus. Oletetaan, että ū 1, ū 2 U ja a R. Tarkistetaan lineaarikuvauksen määritelmän ehdot: (a) Yhdistetyn kuvauksen määritelmän, kuvauksen L lineaarisuuden ja kuvauksen T lineaarisuuden avulla saadaan (T L)(ū 1 + ū 2 ) = T (L(ū 1 + ū 2 )) = T (L(ū 1 ) + L(ū 2 )) = T (L(ū 1 )) + T (L(ū 2 )) = (T L)(ū 1 ) + (T L)(ū 2 ) LM2, Kesä /160

19 (b) Yhdistetyn kuvauksen määritelmän, kuvauksen L lineaarisuuden ja kuvauksen T lineaarisuuden avulla saadaan (T L)(aū 1 ) = T (L(aū 1 )) = T (al(ū 1 )) = at (L(ū 1 ))) = a(t L)(ū 1 ) LM2, Kesä /160

20 Matriisien määräämien lineaarikuvausten yhdistäminen Matriisien määräämillä lineaarikuvauksilla kuvausten yhdistäminen vastaa matriisien kertomista keskenään: Lause 26 Oletetaan, että A on m n -matriisi ja B on n p -matriisi. Tällöin L A L B = L AB eli tulomatriisin AB määräämä kuvaus L AB : R p R m on sama kuvaus kuin yhdistetty kuvaus L A L B : R p R m. LM2, Kesä /160

21 Lauseen 26 todistus. Oletetaan, että v R p. Tällöin matriisien laskusääntöjen mukaan L AB ( v) = (AB) v = A(B v) = L A (B v) = L A (L B ( v)) = (L A L B )( v). Siis L AB : R p R m ja L A L B : R p R m ovat sama kuvaus. LM2, Kesä /160

22 Määritelmä Osajoukon kuva Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja ja f : X Y on kuvaus. Osajoukon A X kuva kuvauksessa f on joukko Huom. f [A] = { y Y y = f (a) jollakin a A }. Kuva voidaan kirjoittaa lyhyesti myös muodossa X f Y fa = { f (a) a A }. Joukko on itsensä osajoukko: X X. A f A LM2, Kesä /160

23 Aliavaruuden kuva Esimerkki 27 Tarkastellaan esimerkin 22 lineaarikuvausta L: R 2 R 2, joka peilaa jokaisen pisteen vaaka-akselin suhteen: (1,2) (x 1, x 2 ) (1, 2) (x 1, x 2 ) LM2, Kesä /160

24 Osoitettiin, että kuvaus L on matriisin [ ] 1 0 A = 0 1 määräämä lineaarikuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Olkoon w = (3, 1) ja W = span( w). Tällöin W on vektorin w virittämä aliavaruus; tarkemmin sanottuna origon kautta kulkeva suora: W = span( w) LM2, Kesä /160

25 Aliavaruuden W kuva on L[W ] = { ū R 2 ū = L( v) jollakin v W } = { ū R 2 ū = L( v) jollakin v span( w) } = { ū R 2 ū = L(t w) jollakin t R } = { L(t w) t R } = { tl( w) t R } = { t(3, 1) t R } = span ( (3, 1) ) L[W] = span ( (3, 1) ) LM2, Kesä /160

26 L W = span ( (3,1) ) L[W] = span ( (3, 1) ) LM2, Kesä /160

27 Lineaarikuvauksen ominaisuuksia Lineaarikuvauksesssa aliavaruudet kuvautuvat aliavaruuksiksi. Lause 28 Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Jos W on avaruuden V aliavaruus, niin kuva L[W ] on avaruuden V aliavaruus. LM2, Kesä /160

28 Lauseen 28 todistus. Oletetaan, että W on avaruuden V aliavaruus. Osoitetaan, että kuva L[W ] on avaruuden V aliavaruus. Oletetaan, että u, w L[W ] ja a R. Tällöin on olemassa sellaiset u, w W, että L(u) = u ja L(w) = w. (a) Tutkitaan summaa u + w käyttäen hyväksi kuvauksen L lineaarisuutta: u + w = L(u) + L(w) = L(u + w), missä u + w W, koska W on aliavaruus ja u, w W. Siis u + w L[W ]. LM2, Kesä /160

29 (b) Tutkitaan skalaarimonikertaa au käyttäen hyväksi kuvauksen L lineaarisuutta: au = al(u) = L(au), missä au W, koska W on aliavaruus ja u W. Siis au L[W ]. (c) Koska W on aliavaruus, niin 0 V W. Koska L on lineaarikuvaus, niin L( 0 V ) = 0 V lauseen 24 nojalla. Siten 0 V L[W ]. LM2, Kesä /160

30 Lineaarikuvauksen ydin Määritelmä Oletetaan, että L: V W on lineaarikuvaus. Sen ydin on joukko Ker L = { v V L( v) = 0 W }. Huom. Ydin on aina joukko (ei koskaan pelkkä yksittäinen alkio). Ytimessä ovat ne vektorit, jotka kuvautuvat nollavektoriksi. Ydin ei ole koskaan tyhjä joukko, sillä nollavektori on aina ytimessä (lause 24). Ytimessä on siis ainakin yksi alkio, mahdollisesti useita alkioita. LM2, Kesä /160

31 Esimerkki 29 Lineaarikuvauksen ydin Tarkastellaan kuvausta L: R 2 R 2, joka projisoi jokaisen pisteen vaaka-akselille: (1,2) (1,0) (x 1,0) (x 1, x 2 ) Jos (x 1, x 2 ) R 2, niin L(x 1, x 2 ) = (x 1, 0). LM2, Kesä /160

32 Tulkitsemalla avaruuden R 2 alkiot 2 1 -matriiseina saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x1 x x1 L = = x x 0 2 = x 2 x 2 Siis kuvaus L on matriisin A = [ ] määräämä kuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Näin ollen L on lineaarinen lauseen 21 nojalla. Määritetään lineaarikuvauksen L ydin. LM2, Kesä /160

33 Lineaarikuvauksen L: R 2 R 2 ydin on Ker L = { v R 2 L( v) = 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 (v 1, 0) = (0, 0) } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 = 0 } = { (0, v 2 ) v 2 R } = { v 2 (0, 1) v 2 R } = span ( (0, 1) ). LM2, Kesä /160

34 Lineaarikuvauksen L ydin on siis vektorin j = (0, 1) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin j suuntainen suora: L Ker L LM2, Kesä /160

35 Lineaarikuvauksen ydin Esimerkki 30 Määritetään esimerkin 20 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, ydin. Huom. Ker L = { v R 2 L( v) = 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 x + v 2 = 0x + 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 = 0 ja v 2 = 0 } = { (0, 0) } = { 0}. Vektoriavaruuden P 1 nollavektori on nollapolynomi, jonka kaikki kertoimet ovat nollia. Sitä voidaan merkitä lyhyesti 0 tai kuten edellä 0x + 0. LM2, Kesä /160

36 Lause 31 Lineaarikuvauksen ydin Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Tällöin ydin Ker L on avaruuden V aliavaruus. Todistus. Ker L on määritelmänsä mukaan vektoriavaruuden V osajoukko. Oletetaan, että w, ū Ker L ja c R. Tällöin L( w) = 0 V ja L(ū) = 0 V. Tarkistetaan aliavaruuden määritelmän ehdot: (a) Kuvauksen L lineaarisuuden nojalla L( w + ū) = L( w) + L(ū) = 0 V + 0 V = 0 V, joten w + ū Ker L. (b) Vastaavasti L(c w) = cl( w) = c 0 V = 0 V ja siten c w Ker L. (c) Lauseen 24 nojalla L( 0 V ) = 0 V, joten 0 V Ker L. LM2, Kesä /160

37 Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla a, b X yhtälöstä f (a) = f (b) seuraa, että a = b. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on injektio, jos ja vain jos kaikilla lähdön alkioilla on eri kuva-alkiot. Injektiivisen kuvauksen tapauksessa maalin kullekin alkiolle kuvautuu korkeintaan yksi lähdön alkio. LM2, Kesä /160

38 Kuvaus g ei ole injektio: X g Y a b g(a) = g(b) LM2, Kesä /160

39 Injektio Kuvaus h on injektio: X h Y a = b h(a) = h(b) LM2, Kesä /160

40 Lineaarikuvauksen injektiivisyys Lause 32 Lineaarikuvaus L: V V on injektio, jos ja vain jos Ker L = { 0 V }. LM2, Kesä /160

41 Todistus. : Oletetaan, että L on injektio. Tiedetään, että L( 0 V ) = 0 V, joten 0 V Ker L. Injektiivisyyden nojalla mikään muu alkio ei voi kuvautua neutraalialkiolle, joten ytimessä on vain yksi alkio, 0 V. : Oletetaan, että Ker L = { 0 V }. Oletetaan lisäksi, että alkioille v, w V pätee L( v) = L( w). Lisäämällä yhtälön molemmille puolille vektori L( w) saadaan L( v) L( w) = 0 V. Koska L on lineaarikuvaus, seuraa tästä, että L( v w) = 0 V. Siis v w Ker L. Koska Ker L = { 0 V }, täytyy päteä v w = 0 V. Kun tämän yhtälön molemmille puolille lisätään vektori w, saadaan v = w. On siis osoitettu, että f on injektio. LM2, Kesä /160

42 Esimerkki 33 Lineaarikuvauksen injektiivisyys Esimerkin 29 lineaarikuvauksen L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0) ydin on vektorin j = (0, 1) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin j suuntainen suora: L Ker L Ker L { 0}, joten L ei ole injektio lauseen 32 nojalla. LM2, Kesä /160

43 Lineaarikuvauksen injektiivisyys Esimerkki 34 Esimerkin 30 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, ydin on Ker L = { 0}, missä 0 tarkoittaa nollavektoria 0 = (0, 0) R 2. Näin ollen L on injektio lauseen 32 nojalla. LM2, Kesä /160

44 Lineaarikuvauksen kuva Määritelmä Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen L kuva on joukko Im L = { L( v) v V }. Huom. Lineaarikuvauksen kuva on erityistapaus aiemmin määritellystä osajoukon kuvan käsitteestä. Aiemman määritelmän merkinnöillä Im L = L[V ]. LM2, Kesä /160

45 Esimerkki 35 Lineaarikuvauksen kuva Tarkastellaan esimerkin 29 lineaarikuvausta L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0), joka projisoi jokaisen pisteen vaaka-akselille: (1,2) (1,0) (x 1,0) (x 1, x 2 ) Määritetään lineaarikuvauksen L kuva. LM2, Kesä /160

46 Lineaarikuvauksen L: R 2 R 2 kuva on Im L = { L( v) v R 2 } = { (v 1, 0) R 2 (v 1, v 2 ) R 2 } = { (v 1, 0) R 2 v 1 R } = { v 1 (1, 0) v 1 R } = span ( (1, 0) ). LM2, Kesä /160

47 Lineaarikuvauksen L kuva on siis vektorin ī = (1, 0) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin ī suuntainen suora: L Im L LM2, Kesä /160

48 Lineaarikuvauksen kuva Esimerkki 36 Määritetään esimerkin 20 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, kuva. Im L = { L( v) v R 2 } = { v 1 x + v 2 (v 1, v 2 ) R 2 } = { v 1 x + v 2 v 1, v 2 R } = P 1. LM2, Kesä /160

49 Lineaarikuvauksen kuva Lause 37 Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Tällöin kuva Im L on avaruuden V aliavaruus. Todistus. Tämä seuraa lauseesta 28, jonka mukaan lineaarikuvauksessa aliavaruuden kuva on aina aliavaruus. Nimittäin V on itsensä aliavaruus ja Im L = L[V ]. LM2, Kesä /160

50 Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, että f (x) = y. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on surjektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu ainakin yksi lähdön alkio. Lineaarikuvaus L: V V on surjektio, jos ja vain jos Im L = V. LM2, Kesä /160

51 Kuvaus g ei ole surjektio: X g Y y g(x) kaikilla x X LM2, Kesä /160

52 Surjektio Kuvaus h on surjektio: X h Y LM2, Kesä /160

53 Esimerkki 38 Lineaarikuvauksen surjektiivisuus Esimerkin 35 lineaarikuvauksen L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0) kuva on vektorin ī = (1, 0) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin ī suuntainen suora: L Im L Im L R 2, joten L ei ole surjektio. LM2, Kesä /160

54 Lineaarikuvauksen surjektiivisuus Esimerkki 39 Esimerkin 36 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, kuva on Im L = P 1, joten L on surjektio. LM2, Kesä /160